常微分方程 3.2-解的延拓

, 初值问题 证明 ( x0 , y0 ) G,由解存在唯一性定理
dy f ( x, y ) , (2) dx y ( x0 ) y0 存在唯一解 y ( x),解的存在唯一区间为 x x0 h0 . 取x1 x0 h0 , y1 ( x1 ),以( x1 , y1 )为心作一小矩形
(1) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 ,)((, x0 ],
(2) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 , m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时, 或者y (m)无界, 或者( x, ( x)) G
例1 讨论方程
解 该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为
这样解y ( x)还可以向右延拓 ,
从而它是非饱和解 , 矛盾 对I [ , )时,同样讨论
即x (或 )时, ( x, ( x)) G.
推论3 如果G是无界区域 , 在上面延拓定理条件下 ,
方程(3.1)的通过点( x0 , y0 )的解y ( x)可以延拓,以 向x增大(减少)一方的延拓来说 , 有下面的两种情况
( x), x0 h0 x x0 h0 定义函数 ( x) , ( x), x0 h0 x x1 h1
*
那么, y ( x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[ x0 h0 , x1 h1 ]
*
上有定义的唯一解 . 这样我们已把方程 (3.1)满足(2)的解
中连续, 且在在G内f ( x, y )关于y满足局部Lipschitz条 件.那么方程(3.1)通过G内任一点( x0 , y0 )的解y ( x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
以向x增大的一方来说 , 如果y ( x)只延拓到区 间x0 x m上, 则当x m时, ( x, ( x))趋于区域G的 边界.
b 这里 h min( a, ), M Max f ( x, y ) ( x , y )R M
根据经验, 如果f ( x, y)的定义域R越大, 解的存在唯一 区间也应越大 ,但根据定理的结论 , 可能出现这种情况 ,
即随着f ( x, y)的定义域的增大 , 解的存在唯一区间反而 缩小, 这显然是我们不想看到 的.
即得到(3.1)满足(2)的一个解y ( x).
它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.
推论1 对定义在平面区域 G上的初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0 若f ( x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lipschitz条件,
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解都不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
注 如果函数f ( x, y )在整个xy
平面上有定义 , 连续和有界, 同时存在关于 y的一阶连续 偏导数, 则方程(3.1)的解可 以延拓到区间 (,).
若不存在满足上述条件 的解y ( x),则称解y
( x), x (1 , 1 )为方程的一个不可延拓 解, 或饱和解 .
此时把不可延拓解的定 义区间(1 , 1 )称为一个饱和区间源自文库.
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 若函数f ( x, y )在区域G内连续, 且对G内的每
一点P, 有以P为中心完全含于 G内的闭矩形RP 存在, 在RP 上f ( x, y )关于y满足Lipschitz条件(对不同的点 , 域RP 大小和常数L可能不同),则称f ( x, y )在G内关 于y满足局部Lipschitz条件.
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f ( x, y ), 若对( x1 , y1 ) G, 矩形R1 {( x, y ) | x x1 a1 , y y1 b1} G及常数 L1 (与x1 , y1 , a1 , b1有关), 使对( x, y ' ), ( x, y '' ) R1有
R1 G, 则初值问题
dy f ( x, y ) , (3) dx y ( x1 ) y1 存在唯一解y ( x), 解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因 ( x1 ) ( x1 ),由唯一性定理 , 在两区间的重叠部分 应有 ( x) ( x), 即当x1 h1 x x1时 ( x) ( x),
y ( x), 在定义区间向右延长了 一段. 即方程(3.1)满足(2)的解y * ( x)为解y ( x)在定义
区间 x x0 h0的向右方延拓 ,
即将解延拓到较大区间 x0 h0 x x0 h0 h1上,
同样方法可把解 y ( x)向左方延拓 . 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止. 最后得到一条长长的积分曲线,
1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域 G上的微分方程
dy f ( x, y ), (3.1) dx 设y ( x)为方程(3.1)定义在区间 (1 , 1 )的连续解 ,
若存在方程(3.1)的另一解y ( x),它在区间 ( 2 , 2 )上 有定义, 且满足
dy x2 y2 , 例如 初值问题 dx y (0) 0 当取定义域为 R : 1 x 1,1 y 1时, 1 1 解的存在唯一区间 x h min{1, } . 2 2 当取定义域为 R : 2 x 2,2 y 2时, 2 1 解的存在唯一区间 x h min{2, } . 8 4
§3.2 解的延拓
y
y3 y4 y2 y1
O
x1
x2
x3
x4
x
问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
它的解在区间x x0 h上存在唯一 ,
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论2
设y ( x)为初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0
一个饱和解 , 则该饱和解的饱和区间 I一定是开区间 .
证明 若饱和区间 I不是开区间 ,
设I ( , ], 则( , ( )) G
正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做 解的局部存在唯一性定理。这种局部性质在实际使用过程 中产生了很大的问题，实践上要求解得存在区间尽量扩大 ，这样就需要讨论解得延拓的问题。（注：这个问题不是 计算上的问题，而是理论上大范围解得存在问题，当今数 学软件可以求大范围的解）。为此给出如下定义：
f ( x, y ) f ( x, y ) L1 y y
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注 若f ( x, y )及f y ( x, y )在G内连续, 则f ( x, y )在G内关于
y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理 定理 如果方程(3.1)右侧函数f ( x, y )在有界区域G
dy y 1 通过点(ln 2,3)的解存在区间 . dx 2
2
1 ce x y , x 1 ce 故通过点 (ln 2,3)的解为 1 ex y , x 1 e 这个解的存在区间为 (0,),
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
(1) ( 2 , 2 ) (1 , 1 )但( 2 , 2 ) (1 , 1 ), (2) 当x (1 , 1 )时, ( x) ( x);
则称解y ( x), x (1 , 1 )是可延拓的 , 并且称解 y ( x)是解y ( x)在( 2 , 2 )的一个延拓 .