常微分方程 3.2-解的延拓
第3章_第2节_解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)
max ( x 2 y 2 ) 8
( x , y )D2
( x , y )D2
f ( x, y)
a b 2，
b 2 1 h2 min{ a, } min{ 2, } . M2 8 4
当 f ( x , y) x 2 y 2 , ( x , y) D2时，
( x0 , y0 )
o
x0 h x0 x h =x 0 1
G x
的唯一解： y ( x ) ①
x I [ x1 h1 , x1 h1 ]
令 h min{2h, h1 }
(确保： x1 h x0 h )
y
Q ( x1 , y1 )
( x0 h) h x0 h h 2h 由解的唯一性，知
( G为G的边界，为欧氏距离). 对 有类似的结论.
例3 在区域 G {( x, y)
y 2}内, 讨论方程
dy y 2 分别通过点(1,1), ( 3, 1)的解的 dx 最大存在区间.
解 f ( x , y ) y 2 , f y ( x , y) 2 y 均在G内连续
∴ 所给方程过点 (1,1) 的解的最大
( 3 , 1 )
x
例4
设 f ( x , y ) 在R 2内满足： (1) 连续； ( 2) 有界； ( 3) f y ( x , y )连续，
dy 证明： 方程 f ( x , y )的任一解 y ( x ) dx 的最大存在区间是 ( , ).
证 设初值问题(1)的积分曲线 L : y ( x ), x I [ x0 h, x0 h] y 则 L G. 令 x1 x0 h, y1 ( x1 )
常微分方程解的延伸定理的特殊形式
第 ２ 期 周 羚 君 :常 微 分 方 程 解 的 延 伸 定 理 的 特 殊 形 式
１０１
例 常微分方程y′(x)＝x２ ＋y２ 的任何一条积分曲线的最大存在区间都是有限区间． 对 这 种 在 全 平 面 连 续 的 函 数 f(x,y),如 果 已 知 某 一 积 分 曲 线 的 最 大 存 在 区 间 为 有 限 区 间 ,该 解 在 最大存在区间的端点处渐近性质如何,几本经典的教科书中都没有给 出 具 体 结 论．事 实 上,不 难 得 到 这
用两种方法证明这一定理．
证法１ 如果y(x)在α 或β 处的极限存在,且为 (c,d)中的某值,则显然该解可在该点继续延拓,
因此 (α,β)不可能为最大存在区间,故只需证明y(x)在α 和β 处极限的存在性．
为此,使用反证 法,设 极 限 limy(x)不 存 在,于 是 存 在 单 调 递 增 趋 于β 的 序 列 {xn} 与 {x′n} ,使 得 x→β－
f(x,y)关于自变量x 的连续区间小,一个极端的例子 是 取 f(x,y)在 矩 形 区 域(－１,１)×(－１,１)恒 等
于
２,在
矩
形
外
无
定
义
,如
此
过
原
点
的
积
分
曲
线
的
最
大
存
在
区
间
显
然
为
æ
ç
è
－
１ ２
,１ ２
ö
÷
ø
．对
初
学
者
来
说
,比
较
难以想到的例子是,即使f(x,y)是定义在全平面的解析函数,积分曲线的最大 存 在 区 间 也 有 可 能 为 有
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
解常微分方程的三步Runge-Kutta方法
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指导教学 位 论 文
1
绪论
常微分方程作为微分方程的基本类型之一，广泛出现于物理、工程、生物、医 学、经济学、金融学、控制理论及计算机辅助设计等许多科学与工程领域，是生产 力和科学发展的的得力助手和工具。自然界和工程技术中的很多现象，其数学表述 归结为常微分方程定解问题。很多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近 似求解。因此，常微分方程的数值解法是偏微分方程数值分析的基础内容。由于生 产和技术需要的推动，经过长时间的发展，特别是电子计算机诞生以来的大发展， 常微分方程定解问题的数值解法是比较成熟的，理论是比较完善的，数值分析工作 者构造了许多有实用价值的方法。本文主要讨论初值问题的数值方法。
y ( x) = y0 + ∫ f (τ , y (τ ))dτ .
x0
x
于是
y ( x + h) = y ( x) + ∫
x+h x
f (τ , y (τ ))dτ .
根据上式及积分中值定理
1
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
∫
可得
x n +1
第二章基本定理第二讲解的延拓
第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。
教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。
教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。
教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。
3.2_解的延拓
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注
若f y ( x, y)在G内连续, 则f ( x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
定理 对定义在平面区域 G上的初值问题
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解却不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
§3.2 解的延拓
问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
b 这里h min{a, }, M max f ( x, y ) ( x , y )R M 那么在大点的区间上解是什么样的就无从得知了， 因此上节课讲的存在唯一性定理也称局部存在唯一 性定理，确定的解称局部解。
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
3.2 解的延拓定理
§ 3.2 Extension Theorem
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界) 这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2
x
-1
-3
(ln2,-3)
§ 3.2 Extension Theorem
例2
讨论方程
dy 1 ln x 满足条件 y(1) 0 dx
x0 x1
§ 3.2 Extension Theorem
二、 解的延拓定理及其推论 1 解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y (x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果
2
x(t ) tan(x(0)t c) arctan x x(0)t
x(0) 0
x(t ) tan(x(0)t )
y(1) 1 and y (1) 1 的解的存在区间。
(1,2), (0,3)
dy p( x) y Q( x) 2 设线性方程 dx
当 P(x),Q(x) 在区间 (,) 上连续，则由任一初值
( x0 , y0 )
x0 (,) 所确定的解在整个区间
(,) 上都存在。
§ 3.2 Extension Theorem
2 解的延拓
设 y ( x) x [a, b] 是
dy ( f ( x, y).........3.1.1) dx ( x0 ) y 0 .......... 3.1.2) ...(
解的延拓,饱和解
P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并 满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。 注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。 如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向 的延拓有两种可能： （1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。 （2）经过 （ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过 （ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间 是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为 当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
( ,)
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常微分方程的一般理论
第三章：常微分方程的一般理论3.2 一阶常微分方程初值问题的存在和唯一性定义3.2.1 在区间I =[a,b]上给定某个连续函数序列f 1(x )，f 2(x )，…，f n (x )，…，如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ=δ(ε)>0，当x 1，x 2ϵI 且 |x 1−x 2|<δ时，对任意的n =1，2，…有|f n (x 1)−f n (x 2)|<ε成立，则我们称连续函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的。
如果存在一个与x 以及n 都无关的常数K ，使得|f n (x )|≤K ，x ∈I ，n =1，2，…成立，则我们称函数序列{f n (x )}n=1∞是一致有界的。
定理3.2.1 （Ascoli-Arzela 定理）有限闭区间I 上的一致有界，等度连续的函数列{f n (x )}n=1∞，至少存在一个I 上一致收敛的子序列 {f n k (x )}n=1∞，并且其极限函数在I 上连续。
引理3.2.1 设A 是有限闭区间I 的稠密子集。
如果I 中的函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的且对x ∈A ，{fn (x )}n=1∞收敛，则函数序列{f n (x )}n=1∞在I 中是一致收敛的且其极限函数f (x )在I 中连续。
定理3.2.2（皮亚诺存在性定理） 设f(x,y)在矩形区域R ={(x,y )：|x −x 0|≤a,|y −y 0|≤b}上连续，则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上至少存在一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理3.2.3（毕卡存在唯一性定理）设f(x,y)在矩形区域R={(x,y)：|x−x0|≤a,|y−y0|≤b}内连续，而且对y满足Lipschitz条件：存在一个常数L>0，使得对于所有的(x,y1)∈D和(x,y2)∈D，函数f(x,y)满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|y1−y2|则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上有并且只有一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理 3.2.4 设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件：f(x,y)在区域G内连续，而且满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤F|y1−y2|其中F(r)>0是定义在r>0上的连续函数。
常微分方程Ch22
区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的
矩形域R，在 R 上 f (x, y) 满足利普希兹条件。
（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）Fra bibliotek常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
4/18
2 解的延拓
设 y (x) x [a,b] 是
dy
dx
f (x, y).........(3.1.1)
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解，若 y (x) x [a1,b1] 也是初值问题的解，
[a,b] [a1,b1] ，当 x [a,b] 时， (x) (x)
则称解 (x) 是解 (x) 在区间 [a,b] 上的延拓。
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
8/18
解 ts0
2x(0) x(0) 1 x2 (0)
x(0) 0
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
18/18
x(t
s) s
x(t)
x(t) x(s) 1 x(t)x(s)
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
12/18
注意：
过点(ln2,-3)的解
y
1ex 1 ex
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界)
这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2 x
-1
-3 (ln2,-3)
常微分方程
§ 3.2 解的延拓定理
以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 y (x)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当 x m时，
(x,(x)) 趋近于区域 G 的边界。
常微分方程解的延伸
§3 解的延伸§1的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间h x x ≤-0上存在，其中),min(M b a h =，),(max ),(y x f m Ry x ∈=.当M 很大时，h 可能很小，甚至出现),(y x f 的定义域扩大后，Cauchy 问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy )2.3()1.3( 的解的存在区间h x x ≤-0反而缩小的现象.例如Riccati 方程的Cauchy 问题0)0(,22=+=y y x dx dy 当{}1,1),(1≤≤=y x y x R 时，211=h ，而当{}2,2),(2≤≤=y x y x R 时，41)82,2min(2==h .由此看到，21R R ⊆，反而21h h >，这说明在2R 上，由定理1得到的Cauchy 问题的解在]41,41[-有定义，至少可以把此解延伸在]21,21[-上仍有定义. 仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要.我们的问题是：能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.设微分方程)1.3(经过点0P 的解Γ有如下表达式)(:x y ϕ=Γ， （J x ∈）其中J 表示Γ的最大存在区间.先考察积分曲线Γ在点0P 右侧的延伸情况.令+J 为Γ在点0P 右侧的最大存在区间，即),[0+∞=+x J J .若),[0+∞=+x J ，则积分曲线Γ在区域G 内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域G 的边界.否则，就只有下面两种可能：1） +J 是有限闭区间.令],[10x x J =+，其中01x x >，方程)1.3(与条件)2.3(的解)(x y ϕ=存在于区间+J 上，当+∈J x 时，G x x ∈))(,(ϕ，我们按下述方式把解)(x y ϕ=向右延伸：令)(11x y ϕ=，则G y x ∈),(1.因为区域G 是一个开集，所以存在矩形区域：1R : 11a x x ≤-, 11b y y ≤-,使得G R ⊆1.由定理3，01>∃h ，在11h x x ≤-上，方程)1.3(至少有一个解)(1x y ϕ=满足初始条件)(111x y ϕ=.令⎩⎨⎧=),(),()(1x x x y ϕϕ.,11110h x x x x x x +≤≤≤≤当当显然)(x y 是方程)1.3(的满足条件)2.3(的在区间],[110h x x +上有定义的解.因此，它是积分曲线Γ在区间],[110h x x +上的表达式.由于已设积分曲线Γ的最大右侧存在区间为],[10x x J =+，从而+J 必包含],[110h x x +，与假设矛盾.故+J 比可能是有限闭区间.2） +J 是有限半开区间.令),[10x x J =+，其中01x x >，而当+∈J x 时，有G x x ∈))(,(ϕ.下证对任何有限闭区域G G ⊂1，不可能使1))(,(G x x ∈ϕ，对一切+∈J x )3.3(成立.事实上，若不然，设1G 是G 内一个有限闭区域，使得)3.3(成立，则有00)(y x =ϕ和))(,()('x x f x ϕϕ=， 当 +∈J x )4.3(它等价于 ⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ， （10x x x <≤） )5.3( 由于),(y x f 在有限闭区域1G 上是连续的，故),(y x f 在1G 上有上界0>K ，再由)3.3(和)4.3(可推知，在+J 上)('x ϕ有上界K ，再由拉格郎日中值公式即可推得 2121)()(t t K t t -≤-ϕϕ， 当+∈J t t 21,.由此可证，当1x x →时，)(x ϕ的极限存在，设为1y ，即)(lim 11x y x x ϕ→= )6.3(令⎩⎨⎧=,),()(1y x x ϕϕ.,110x x x x x =≤≤当当可知这样定义的函数)(x y ϕ=是连续的，从而由)5.3(和)6.3(可知，)(x y ϕ=在10x x x ≤≤上满足 ⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ.由上一节定理1的证明知，)(x y ϕ=在区间],[10x x 上是微分方程)1.3(的满足初值条件)2.3(的一个解.这也就是说，上面的积分曲线Γ可延伸到区间],[10x x 上，这与Γ的最大存在区间为),[10x x 矛盾.故对任何有限闭区域G G ⊂1，关系式)3.3(是不可能成立的.由上述讨论可知，积分曲线Γ在0P 点的右侧将延伸到区域G 的边界.同理可证，积分曲线Γ在0P 点的左侧也将延伸到区域G 的边界.把上面的结果写成一个定理，即有定理4 设0P 为区域G 内一点，并设Γ是积分方程)1.3(经过0P 点的任一条积分曲线，则积分曲线Γ将在区域G 内延伸到边界.由定理1和定理4立即可得如下推论.推论 设函数),(y x f 在区域G 内连续，且对y 满足局部的李普希兹条件，则微分方程)1.3(经过G 内任一点0P 存在唯一的积分曲线Γ，并且Γ在G 内延伸到边界.例1 在平面上任取一点),(000y x P ，试证初值问题)(E ： 2)(xy e y x dxdy -=，00)(y x y = 的右行解（即从点0P 出发向右延伸的解）都在区间∞<≤x x 0存在.证 记2)(),(xy e y x y x f -=，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点0P 的区域G ，)](21[2y x xy e yf xy -+-=∂∂在R 上一致连续，所以对G y x ∈),(，N y y x f ≤∂∂),(，亦即),(y x f 在R 上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题)(E 的解存在且唯一，并且可以延伸到G 的边界.不难看出，直线L ：x y =是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在L 上方为负，因而积分曲线在L 上方是单调下降的，而在L 下方线素的斜率为正，故积分曲线在L 下方是单调上升的.现设0P 位于L 的上方，即有00y x <.利用)(E 的右行解Γ在条形域S : {}+∞<<-∞<≤y y x x y x ,),(00上的延伸定理，以及积分曲线Γ在L 上方的单调下降性，可推知Γ必与L 相交（如图 ）.再设0P 位于直线L 上或其下方，即00y x ≥.那么在区域G : {}+∞<<-∞∞<≤y x x y x ,),(0上应用右行解的延伸定理，可知)(E 的解Γ可延伸到G 的边界.又由前面讨论知，在L 下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线L 的下方穿越到上方.因此，积分曲线Γ必可延伸到∞<≤x x 0.例2 研究定义于条形区域G : {}+∞<<-∞<<-y x y x ,32),(中的方程2y dx dy =. 这里2),(y y x f =处处连续，且在条形区域G 中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解为xC y -=1，此外还有特解0=y .很显然，积分曲线0=y 的两端都能达到G 的边界.可以算出，经过点)1,1(的积分曲线是xy -=21，它的左端能达到2-=x ，但右端当-→2x 时，+∞→y ，故不能达到G 的边界3=x .仿此，经过点)1,1(-的积分曲线是x y 1-=，它的右端能达到3=x ，但在左端当+→0x 时，-∞→y ，故不能达到G 的边界2-=x .（如图 ）例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难.定理5 设微分方程),(y x f dxdy = )7.3( 其中函数),(y x f 在条形区域S : {}+∞<<-∞<<y x y x ,),(βα内连续，而且满足不等式 )()(),(x B y x A y x f +≤ )8.3(其中0)(≥x A 和0)(≥x B 在区间βα<<x 上是连续的.则微分方程)7.3(的每一个解都以区间βα<<x 为最大存在区间.证 设方程)7.3(满足初值条件00)(y x y =，S y x ∈),(00的一个解为Γ：)(x y y =.要证Γ的最大存在区间为βα<<x .用反证法.设它的右侧最大存在区间为),[00βx ，其中0β是常数，ββ<<00x ，在0β的两侧分别取常数21,x x ，使得ββ<<<<2010x x x ，且0112x x x x -<-.由假设条件知，)(x A 、)(x B 在有限闭区间],[20x x 上是连续有界的.设00,B A 分别为它们的正的上界，从而由)8.3(可得00),(B y A y x f +≤， （+∞<<-∞≤≤y x x x ,20） )9.3(不妨设012141A x x <-=α,由于)(x y y =在),[00βx 上存在，010β<<x x ，于是有11)(y x y =，S y x ∈),(11.现以),(11y x 点为中心作一矩形区域{}11111,),(b y y a x x y x R ≤-≤-=.这里正数1b 是充分大.显然，S R ⊂1.再由)9.3(有0110)(),(B b y A y x f ++≤， 111),(R y x ∈ )10.3( 成立.令01101)(B b y A M ++≤，),min(1111M b a h =，再以),(11y x 点为中心作一矩形区域 {}1111*1,),(b y y h x x y x R ≤-≤-=.显然，1*1R R ⊂，在*1R 内应用定理4，可以推知，微分方程)8.3(过),(11y x 的解Γ必可向右延伸到*1R 的边界.另一方面，由)10.3(式可知，解Γ在*1R 内必停留在扇形区域11111,h x x x x M y y ≤--≤-.因此，解Γ可向右延伸到),[110h x x +,又由于0141A a <及0111lim 1A M b b =+∞→.所以只要取充分大的正数1b ，就有1211111),min(x x a M b a h -===. 由此可知，Γ在20x x x <≤上存在.但是，由上述区域的构作可知，区间),[20x x 严格大于Γ的右侧最大存在区间),[00βx .故矛盾.从而证明Γ的右侧最大存在区间为),[0βx .同理可证Γ的左侧最大存在区间为],(0x α.因此，Γ的最大存在区间是),(βα.。
微分几何积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析
微分几何积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析微分几何是数学中的一个分支，主要研究曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。
积分则是微分的逆运算，用于求取曲线、曲面以及高维空间中的面积、体积等量。
在微分几何中，我们经常遇到一些具体问题，例如：给定一个曲线或曲面，我们想要求取其长度、面积或者体积等。
这些问题可以通过积分来表示和求解。
本文将探讨微分几何中积分表示问题的解析延拓证明，并进行逻辑解析。
首先，我们来讨论微分几何中的曲线。
对于给定曲线的长度，我们可以将曲线分割成无穷小的线段，每个线段的长度可以通过微积分的方法求得。
将无穷小的线段长度相加，即可得到整个曲线的长度。
这个过程可以用曲线的参数方程表示，其中积分的上下限为曲线的参数范围。
接下来，我们考虑微分几何中的曲面。
对于给定曲面的面积，我们可以将曲面划分成无穷小的面元，并计算每个面元的面积。
同样地，将无穷小的面元面积相加，即可得到整个曲面的面积。
这个过程可以用曲面的参数方程表示，其中积分的上下限为曲面的参数范围。
最后，我们讨论微分几何中的高维空间。
对于给定空间内的体积，我们可以将空间划分成无穷小的体元，并计算每个体元的体积。
将无穷小的体元体积相加，即可得到整个空间的体积。
这个过程可以用高维空间的参数方程表示，其中积分的上下限为空间的参数范围。
通过以上论述，我们可以看出微分几何中的积分表示问题的解析延拓证明。
通过分割曲线、曲面或者高维空间成无穷小的几何元素，并计算其长度、面积或体积，再通过积分将这些无穷小的几何元素相加，得到整体的长度、面积或体积。
逻辑上来讲，我们需要对输入的几何对象进行参数化处理，以方便表示。
然后利用微积分中的积分运算，对相应的几何元素进行积分求解。
最后将得到的积分结果进行求和，即可得到整个几何对象的长度、面积或体积。
综上所述，微分几何中的积分表示问题可以通过解析延拓证明和逻辑解析来求解。
通过将几何对象分割成无穷小的几何元素，并将这些元素的积分结果相加，可以得到整体的长度、面积或体积。
解的延拓
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分 应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
定义函数
*
(
x)
(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解. 这样我们已把方程(3.1)满足(2)的解
y (x),在定义区间向右延长了一段.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓,
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx
f (x, y),
3.2 解的延拓
为( x , ( x ))到区域G边界G的距离， 即 ( x ) inf
( x x )2 ( ( x ) y )2 ( x , y )第32-33页)。
推论3：如果G是一个无界区域，在定理2的条件下，微分 方程(3.1)的通过( x0 , y0 ) G的解y ( x )可以延拓。以向x 增加一方的延拓来说，有下面两种情形：
推论1：对于定义在平面R2上一个区域G中的Cauchy问题
dy f ( x, y) dx y( x0 ) y0 其中( x0 , y0 ) G .
如果f ( x , y )在G内连续且关于y满足局部Lipschitz条件， 则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解(见尤秉礼《常 微分方程补充教程》第30-31页)。 dy f ( x, y) 推论2：设y ( x )为Cauchy问题 dx ，其中 y( x0 ) y0
设y ( x )是方程(3.1)的定义于区间(1 , 1 )内的一个解。 若存在方程(3.1)的另一个解y ( x )，它在区间( 2 , 2 ) 内有定义，并且满足
(1)(2 , 2 ) (1 , 1 )但(2 , 2 ) (1 , 1 )；
定理1：对于定义在平面R 2上一个区域G中的微分方程(3.1)， 设f ( x , y )在G内连续且关于y满足局部Lipschitz条件。如果 y ( x )为(3.1)的定义在闭区间， 上的一个解，则 y ( x )在 ， 上必可延拓。
由定理可知，一个由存在唯一性定理得到的解总可以向 左、右两边延拓。我们的问题是：是否任意一个解都可 以延拓为饱和解呢?
( x0 , y0 ) G的一个饱和解，I是该饱和解的饱和区间，
常微分第三章第2节解的延拓
f ( x, y ) 在某一区域 G
y
满足局部的利普希茨条件。
则方程（3.1）由存在唯一性定理确定的解一定 可以延拓为饱和解。 结论II 任一饱和解的最大存在区间必是一个开区间 ( , ).
事实上，若这个区间的右端是闭的，则
是有限数，且点 ( , ( )) G. 这样，y ( x)
| n ( x) y0 | b
(3.4)
命题3 函数序列
{ n ( x)}在 x0 h x x0 h
上一致收敛。 命题4 ( x) 是积分方程(3.3)的定义于 x0 h x x0 h 上的连续解。 命题5 设 ( x) 是积分方程(3.3)定义于 x0 h x x0 h 上的一个连续解，则
x m
时，或者
y ( x) 无界，或者点 ( x, ( x)) 趋于 G 的边界。
注： 解的延拓定理也可叙述为 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y ) 在区域 G （有界或无界）中连续，且在 G 内关于y满足 局部L-条件,则方程(3.1)的通过 G 内任何 一点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x) 向左右延拓，或 无限远离原点，或任意接近区域 G 的边界。
§3.2
解的延拓
孙书荣
2014-2015 学年第1学期
济南大学
存在唯一性定理
dy 满足利普希茨条件，则方程 f ( x. y ) (3.1) dx 存在唯一的解 y ( x) ,定义于区间 | x x | h 0
上,连续且满足初始条件 这里
如果 f ( x, y ) 在
R 上连续且关于 y
例1 讨论方程
(ln 2, 3) 的解的存在区间。
解常微分方程的三步Runge-Kutta方法
∑b φ
j =1 j
m
j
(t ) =
1 , r (t )
(1.1.3)
对一切阶 q ≤ p 的树 t 成立的结论。 由于截断误差的存在，计算值 yn 只是准确值 y ( x n ) 的一个近似，我们很自然地会 提出这样的问题：差 y ( x n ) − y n 是不是随着步长 h 的减小而减小,这就是收敛性问题。 收敛性的定义及收敛的充要条件已在[14]中给出，进一步，又给出了单步法整体截断 误差的表达式[15,17,20]：
其中 µ 是常数(可以是复数)。 以下我们列出几个低阶显式方法的绝对稳定区间（参见[13,16,20]） 。 方法 一级一阶 二级二阶 三级三阶 四级四阶 稳定函数 稳定区间
1.1 单步 Runge-Kutta 方法
考虑一阶常微分方程初值问题
y′( x) = f ( x, y ( x)), x ∈ ( x0 , b]. y ( x 0 ) = y0 .
（1.1.1）
其中，f 满足
f ( x, y ) − f ( x, z ) ≤ L y − z , y , z ∈ R n .
华中科技大学 硕士学位论文 解常微分方程的三步Runge-Kutta方法 姓名：布春霞 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：黄乘明 20070425
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
摘
要
常微分方程广泛出现于物理、生物、医学、工程、控制理论等许多科学与工程 领域，其数学表述归结为常微分方程定解问题。很多偏微分方程问题通过离散空间 变量后也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法 具有重要的科学意义。 经过长时间的发展, 常微分方程定解问题的数值解法是已日趋 成熟和完善，数值分析工作者构造了许多有实用价值的方法。本文主要是构造一种 新的数值方法，并对其进行理论分析与研究。 在本文的最开始，我们简要介绍 Runge-Kutta 方法（包括单步 Runge-Kutta 方 法和两步 Runge-Kutta 方法）的背景，回顾 Runge-Kutta 方法在解常微分方程初值问 题中的阶条件以及稳定性等理论的发展历程。 在第二章，我们首先介绍单步和两步 Runge-Kutta 方法阶条件。随后引入了一 类三步 Runge-Kutta 方法，研究了方法的零稳定性。重点按 Albrecht 的 A-－方法推 导新构造的三步 Runge-Kutta 方法的阶条件。 在第三章， 我们针对该类三步 Runge-Kutta 方法， 利用第二章推导出的阶条件， 构造该类一簇 3 阶三步 Runge-Kutta 方法， 用计算机搜索寻找到具有较大稳定区间的 方法，画出其稳定区域，并与三步显式 Adams 方法进行比较。 最后一章，我们对新方法进行数值实验43; ∫ f (τ , y (τ ))dτ .
《常微分方程》课程教学标准
《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。
本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。
同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。
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b 这里 h min( a, ), M Max f ( x, y ) ( x , y )R M
根据经验, 如果f ( x, y)的定义域R越大, 解的存在唯一 区间也应越大 ,但根据定理的结论 , 可能出现这种情况 ,
即随着f ( x, y)的定义域的增大 , 解的存在唯一区间反而 缩小, 这显然是我们不想看到 的.
( x), x0 h0 x x0 h0 定义函数 ( x) , ( x), x0 h0 x x1 h1
*
那么, y ( x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[ x0 h0 , x1 h1 ]
*
上有定义的唯一解 . 这样我们已把方程 (3.1)满足(2)的解
注 如果函数f ( x, y )在整个xy
平面上有定义 , 连续和有界, 同时存在关于 y的一阶连续 偏导数, 则方程(3.1)的解可 以延拓到区间 (,).
dy y 1 通过点(ln 2,3)的解存在区间 . dx 2
2
1 ce x y , x 1 ce 故通过点 (ln 2,3)的解为 1 ex y , x 1 e 这个解的存在区间为 (0,),
如图, 通过点(ln 2,3)的解向右可延拓到 , 但向左只能延拓到 0,因x 0时, y .
能达到G的边界.
1 方程过 (1,1)的解为 y , 它的左端达到 x 2, 2 x 但右端当x 2 时, y ; 故不能达到 G的边界x 3.
该例题说明, 虽然f ( x, y)在带形区域 2 x 3中 满足定理1的要求, 但方程的解都不能够延拓到整 个区间(2,3)上去.
dy x2 y2 , 例如 初值问题 dx y (0) 0 当取定义域为 R : 1 x 1,1 y 1时, 1 1 解的存在唯一区间 x h min{1, } . 2 2 当取定义域为 R : 2 x 2,2 y 2时, 2 1 解的存在唯一区间 x h min{2, } . 8 4
R1 G, 则初值问题
dy f ( x, y ) , (3) dx y ( x1 ) y1 存在唯一解y ( x), 解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因 ( x1 ) ( x1 ),由唯一性定理 , 在两区间的重叠部分 应有 ( x) ( x), 即当x1 h1 x x1时 ( x) ( x),
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论2
设y ( x)为初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0
一个饱和解 , 则该饱和解的饱和区间 I一定是开区间 .
证明 若饱和区间 I不是开区间 ,
设I ( , ], 则( , ( )) G
f ( x, y ) f ( x, y ) L1 y y
' " ' "
恒成立, 则称f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
注 若f ( x, y )及f y ( x, y )在G内连续, 则f ( x, y )在G内关于
y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理 定理 如果方程(3.1)右侧函数f ( x, y )在有界区域G
(1) ( 2 , 2 ) (1 , 1 )但( 2 , 2 ) (1 , 1 ), (2) 当x (1 , 1 )时, ( x) ( x);
则称解y ( x), x (1 , 1 )是可延拓的 , 并且称解 y ( x)是解y ( x)在( 2 , 2 )的一个延拓 .
这样解y ( x)还可以向右延拓 ,
从而它是非饱和解 , 矛盾 对I [ , )时,同样讨论
即x (或 )时, ( x, ( x)) G.
推论3 如果G是无界区域 , 在上面延拓定理条件下 ,
方程(3.1)的通过点( x0 , y0 )的解y ( x)可以延拓,以 向x增大(减少)一方的延拓来说 , 有下面的两种情况
若不存在满足上述条件 的解y ( x),则称解y
( x), x (1 , 1 )为方程的一个不可延拓 解, 或饱和解 .
此时把不可延拓解的定 义区间(1 , 1 )称为一个饱和区间 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 若函数f ( x, y )在区域G内连续, 且对G内的每
y ( x), 在定义区间向右延长了 一段. 即方程(3.1)满足(2)的解y * ( x)为解y ( x)在定义
区间 x x0 h0的向右方延拓 ,
即将解延拓到较大区间 x0 h0 x x0 h0 h1上,
同样方法可把解 y ( x)向左方延拓 . 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止. 最后得到一条长长的积分曲线,
中连续, 且在在G内f ( x, y )关于y满足局部Lipschitz条 件.那么方程(3.1)通过G内任一点( x0 , y0 )的解y ( x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
以向x增大的一方来说 , 如果y ( x)只延拓到区 间x0 x m上, 则当x m时, ( x, ( x))趋于区域G的 边界.
一点P, 有以P为中心完全含于 G内的闭矩形RP 存在, 在RP 上f ( x, y )关于y满足Lipschitz条件(对不同的点 , 域RP 大小和常数L可能不同),则称f ( x, y )在G内关 于y满足局部Lipschitz条件.
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f ( x, y ), 若对( x1 , y1 ) G, 矩形R1 {( x, y ) | x x1 a1 , y y1 b1} G及常数 L1 (与x1 , y1 , a1 , b1有关), 使对( x, y ' ), ( x, y '' ) R1有
例2 研究定义于带域 2 x 3中的方程
dy y2 dx 通过点 (0,0), (1,1)的解存在区间 .
解
f ( x, y) y 2处处连续,
且在带域中关于 y满足局部Lipschitz条件, 1 , 此外还有解: y 0. 方程通解为 y cx 方程过(0,0)的解为y 0, 积分曲线y 0的两端都
, 初值问题 证明 ( x0 , y0 ) G,由解存在唯一性定理
dy f ( x, y ) , (2) dx y ( x0 ) y0 存在唯一解 y ( x),解的存在唯一区间为 x x0 h0 . 取x1 x0 h0 , y1 ( x1 ),以( x1 , y1 )为心作一小矩形
§3.2 解的延拓
y
y3 y4 y2 y1
O
x1
x2
x3
x4
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题提出
dy f ( x, y ) 对于初值问题 , R : x x0 a, y y0 b, dx y ( x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们 , 在一定条件下 ,
它的解在区间x x0 h上存在唯一 ,
正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做 解的局部存在唯一性定理。这种局部性质在实际使用过程 中产生了很大的问题，实践上要求解得存在区间尽量扩大 ，这样就需要讨论解得延拓的问题。（注：这个问题不是 计算上的问题，而是理论上大范围解得存在问题，当今数 学软件可以求大范围的解）。为此给出如下定义：
(1) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 ,)((, x0 ],
(2) 解y ( x)可以延拓到区间 [ x0 , m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时, 或者y (m)无界, 或者( x, ( x)) G
例1 讨论方程
解 该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为
1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域 G上的微分方程
dy f ( x, y ), (3.1) dx 设y ( x)为方程(3.1)定义在区间 (1 , 1 )的连续解 ,
若存在方程(3.1)的另一解y ( x),它在区间 ( 2 , 2 )上 有定义, 且满足
即得到(3.1)满足(2)的一个解y ( x).
它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.
推论1 对定义在平面区域 G上的初值问题
dy f ( x, y ) , 其中( x0 , y0 ) G. dx y ( x0 ) y0 若f ( x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lipschitz条件,