微积分无穷级数

如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推 理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？
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第一节 无穷级数的概念
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分， 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具。
计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积
正 3 2n 形的面积
a1 a1
a2 a2
an
即 A a1 a2 an
2
1、级数的定义：
通项
un u1 u2 u3 un
n1
— (常数项)无穷级数
级数的前 n 项部分和数列 {Sn }
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,,
当 q 1时, Sn na 发散
当 q 1时, 级数变为a a a a
a, Sn 0,
n为 奇
数 ，
n为 偶 数
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述， aqn1
n1
当 | q | 1时, 收敛 当 | q | 1时, 发散
a 1q
8
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。 一天他正在散步，忽然发现在他前面一
.
10n
n个
0. a1a2
an
a1a2 an 999
n个
14
0. a1a2 an
a1a2 an 999
n个
例如：
0.7 7 , 9
0.23 23 , 99
0.457 457 . 999
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第二型：
0. b1b2 bma1a2 an
b1b2 bm 10m
a1a2 an 10mn
a1a2 an 10m2n
例2 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1
1) n
ln(n 1)
ln n
,
所以
Sn ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
所以级数发散.
6
例3 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和为 10
1000 10000 11111 ，
1 1
9
9
10
11
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛 程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯
n1
的收敛性.
解 如果 q 1，
Sn
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a
aq
aq2
aqn1
a aqn 1q
，
当 | q | 1时, lim qn 0 n
a
lim
n
Sn
1
q
收敛
当 | q | 1时,
lim qn
n
lim
n
Sn
发散
7
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
n1
如果 | q | 1，
23
100 1 1
23 . 99
100
0.42 3
423 990
4
419 990
.
小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。
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循环小数转化为分数的方法：
第一型：
0. a1a2 an
a1a2 an 10n
a1a2 an 102n
a1a2 an 10n
1 1
a1a2 an 10n 1
a1a2 an 999
千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿
基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：
“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，
我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试
一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。
当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐
诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，
引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米，…，
Sn u1 u2 un ,
n
Sn u1 u2 un ui i 1
3
2、级数的收敛与发散：
定义 对于级数 un ,如果它的前 n 项部分和数列{Sn } 收敛
n1
(设极限为S ) ，即
lim
n
Sn
S
,
则称该无穷级数收敛，
且称 S 为该级数的和，并记为
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称该无穷级数发散.
就要在距离起点1111 1 处追上并超过乌龟. 9
思考题：还有没有其他方法解此题？
10t 1000 t , t 1000 , s 10t 10000 .
9
9
这里已经假定可以追上。
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例4 把循环小数0.232323 表示成分数．
解 0.232323
23 100
23 1002
23 1003
(公比为 1 的等比级数,收敛) 100
刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来
越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知
道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事
呢？"
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假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿 基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前 进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等 等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前
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例1
讨论无穷级数
1 1 1
12 23
n (n 1)
的收敛性.
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
Sn
1 1 2
1 23
1 n (n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
2 23
n n1
1 1 1 (n ) , n1
所以级数收敛，且和为 1。 5
爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！
A
B
B
B1
B1 B2
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如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这 个悖论就会不攻自破。
设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完 1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路， 乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要 追赶的全部路程为