微积分无穷级数
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
微积分 无穷级数
i 1
级数敛散性定义:
如果级数 un 的部分和数列 {sn} 有极限 s,即
n 1
则称无穷级数 un 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成
n 1
n
lim sn s ,
s un u1 u2 u3 un
n
lim [(u1 u2 un ) (v1 v2 vn )]
n
lim (sn n ) s .
n
微积分
第八章
无穷级数
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无穷级数的基本性质
性质1 性质 1 如果 un s ,则 kun ks .
n
(3)当q-1时,因为sn当n为奇数时等于a ；当n为偶数 时等于零。
所以 snn 的极限不存在,从而这时级数 aqn 也发散. 所以 s 的极限不存在,从而这时级数 aqn 也发散.
n 0 n 0
n 0
微积分
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无穷级数
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a 因此， 仅当|q|1 时, 几何级数 aq n (a0)收敛, 其和为 .
等比级数 aqn a aq n-1 2 aqn aq aq 几何级数 n 0 1 1 1 1 1 1 p 1 1p n p 2 p 3 p 2 p—级数 p n 3p n 1 n 1 n 1 1 1 1 11 n(n 1) 1 n(21) 12 n(n 1) 2 23 n 1 n 1 n 3
级数举例:
级数的展开形式 简写形式
一般项
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
微积分第七章无穷级数_OK
用法：常判别含有因子 n! 、a n或 nn 的级数敛散性。
20
例3 证明级数
11 1 1
1
1 12 123
123 (n-1)
是收敛的.
解解解: 因因为为 lliimmuunnn111 lliimm112233((nn--11)) lliimm110011,, nnn uunnn nnn 112233nn nnnnn
也是收敛的.
10
§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果
un
s
,则
kun
ks
.
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
,则 (un vn) s
.
n1
n1
n1
性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数 的敛散性不变.
性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后 所成的级数仍收敛, 且其和不变.
注意:
(1) 级 数 的 一 般 项 趋 于 零 并 不 是 级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ,
不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.
（2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条13 件.
例4
判断级数
n sin 1
n1
n
解:因为
lim
n
un
lim n n
所以级数 n sin 1
的敛散性。
2n 2n
,
而且
n=0
1 2n
收敛.
所以，由比较判别法可知，级 数
1
n0 sin 2n
收敛.
证(2) 因为
1 n(n 1)
1
1
, 而且
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
微积分的基本概念和性质
微积分的基本概念和性质微积分是数学的一个重要分支，也是自然科学中广泛应用的数学工具。
它是一门研究极限、导数、积分和无穷级数等概念和性质的学科。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微积分被广泛应用于描述和解决变化问题、优化问题、积分问题以及求解微分方程等。
一、微积分的基本概念微积分的基本概念包括极限、导数和积分。
1.1 极限极限是微积分的基石，它描述了数列和函数随着自变量趋近某个特定值时的行为。
对于数列，当其项逐渐接近某个常数时，我们说该数列收敛于该常数；对于函数，当自变量趋近某个值时，函数的取值趋于某个常数。
极限为微积分中的导数和积分提供了数学基础。
1.2 导数导数是描述函数变化速率的概念。
它表示函数在某个点处的斜率，或者函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的计算方法包括使用极限定义、常用的求导法则和微分运算等。
导数在物理学中常用于描述速度、加速度等概念，也被应用于最优化问题的求解中。
1.3 积分积分是导数的逆运算，它求解了函数在一定区间上的累积和。
积分的计算方法包括定积分和不定积分两种。
定积分用于求解曲线下的面积、物体的体积等问题，而不定积分则是求解原函数的过程，具有多个不同常数项的通解。
二、微积分的性质微积分具有一些重要的性质，包括可微性、连续性、积分中值定理和微分方程等。
2.1 可微性可微性是导数的基本性质之一，指函数在某个点处导数存在的性质。
可微性要求函数在该点处的左导数和右导数存在且相等。
可微性保证了函数在该点附近可以被线性逼近，从而对于局部性质的研究提供了便利。
2.2 连续性连续性是函数在某个区间上连续存在的性质，它与可微性密切相关。
连续函数的导数在其定义域内处处存在，因此可微性是连续性的一个重要推论。
连续性保证了函数在该区间上具有良好的整体性质。
2.3 积分中值定理积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它与导数和积分的关系密切。
定积分中值定理指出了函数在某个区间上的平均值与其在该区间上某一点处的取值之间存在关系。
无穷级数公式
无穷级数公式无穷级数公式是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列无限求和的结果。
在数学中，无穷级数公式被广泛应用于各种领域，如微积分、概率论、统计学、物理学等。
本文将介绍无穷级数公式的定义、性质、应用及相关的重要定理等内容。
一、无穷级数公式的定义无穷级数公式是指一个数列的无限求和，通常表示为：$S=sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$ 其中，$a_n$表示数列的第n项，$S$表示无穷级数的和。
如果这个无穷级数的和存在，我们就称之为收敛的无穷级数，否则称之为发散的无穷级数。
二、无穷级数公式的性质1. 无穷级数的和具有可加性，即如果有两个收敛的无穷级数$S_1$和$S_2$，那么它们的和$S=S_1+S_2$也是一个收敛的无穷级数。
2. 如果一个无穷级数收敛，那么它的每一项必须趋近于零，即$lim_{ntoinfty}a_n=0$。
3. 如果一个无穷级数收敛，那么它的任意一个部分求和必定是有界的。
4. 如果一个无穷级数发散，那么它的任意一个部分求和必定是无穷大的。
5. 如果一个无穷级数收敛，那么它的各项之和的顺序可以改变，即可以通过重新排列项的顺序得到相同的和。
三、无穷级数公式的应用无穷级数公式在数学中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用：1. 微积分中的泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数，它可以把一个函数表示为无限项的多项式和，它在微积分中有着重要的应用。
2. 概率论中的期望：在概率论中，期望是一个随机变量的平均值，它可以通过一个无穷级数来表示。
3. 物理学中的级数电路：级数电路是一种由电阻、电容、电感等元件组成的电路，它可以通过无穷级数来描述。
4. 统计学中的正态分布：正态分布是一种常见的概率分布，它可以通过一个无穷级数来表示。
四、相关的重要定理1. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都非负，那么可以通过比较这个无穷级数与一个已知的收敛的无穷级数或发散的无穷级数来判断它的收敛性。
高等数学(微积分)课件--无穷级数复习题
3
n2 1
, 考虑 1
3
1 n
2 3
发散
1
n3 1 n 2 1 1 C. n , 几何级数q 1收敛 2 2 e n e D. ( ) , 几何级数q 1收敛
, 考虑
收敛
14
二 3、
3 : A. e
1 ( )2 n
n （－ 1 ） 3）当x 3时，原级数变为 收敛 n n 0 故收敛区间为 (3,3]
1
n
收敛区间(二、15，16) (x - 1) 二、 16.求幂级数 的收敛区间 3n 1
n
an 1 3n 1 解： 1) lim lim 1, R 1 n a n 3n 4 n X 1 1,0 X 2 (-1) 2)当x 0时，原级数变为 收敛 n 0 3n 1 1 3)当x 2时，原级数变为 发散 n 0 3n 1 故收敛区间为 [0,2)
7
一、17
8
一、20
9
10
11
二 1、
1 1 1 : 考虑 ( )的部分和S n (x) b n 1 n 1 b n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n (x) ( - ) ( - ) ( ) b1 b 2 b 2 b3 b n b n 1 b1 b n 1 1 1 1 1 1 lim S n (x) lim( ) lim - lim n n b n b n b b1 1 b n 1 1 n 1
1 S' (x) 1 x 两边取定积分：
x 1 0 1 t dt 0 S' (t )dt, ln 1 t ln 1 x S(x) x x 0
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律及其应用。
在微积分中，有许多重要的公式被广泛应用于各种问题的解决中。
本文将介绍16个微积分公式，并分别阐述其含义和应用。
一、导数的定义公式导数是微积分中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在这个公式中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
该公式的含义是通过计算函数在极限情况下的变化率来求得导数。
导数的应用非常广泛，包括求函数的极值、判断函数的增减性等。
二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是求导过程中常用的规则，它将导数与函数的四则运算相结合。
具体公式如下：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2) (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2这些公式可以通过对函数中的每一项进行求导，并按照四则运算法则进行组合计算。
它们对于求解复杂函数的导数提供了便利。
三、常用导数公式在微积分中，有一些常用的导数公式被广泛应用于各种问题的求解中。
这些公式包括：(1) (x^n)' = nx^(n-1)(2) (e^x)' = e^x(3) (lnx)' = 1/x(4) (sinx)' = cosx(5) (cosx)' = -sinx(6) (tanx)' = sec^2x这些公式可以帮助我们快速求取一些特定函数的导数，从而简化求解过程。
四、高阶导数公式除了一阶导数外，函数的高阶导数也是微积分中的重要概念。
江西财经大学 微积分二 无穷级数
∴f
(n)
0, n = 2k ⎧ (0) = ⎨ ⎩ (−1) k , n = 2 k + 1
( k = 0 , 1, 2 , ⋯ )
2 n −1 1 x 3+ 1 x 5 − ⋯ + ( −1) n −1 1 x +⋯ 得级数: x − 3 ( 2 n −1) ! ! 5!
其收敛半径为 R = +∞, 对任何有限数 x , 其余项满足
∑
x x x n 解 由 sin x= x − + − ⋯ + ( −1) +⋯ 3! 5! ( 2n + 1)! | x |< +∞
两边求导得
2n x2 x4 x cos x = 1 − + − ⋯ + ( −1) n +⋯ 2! 4! ( 2n)!
3
5
2 n+1
| x |< +∞
1 例7将函数 f ( x ) = 2 展开成 x 的幂级数. 1+ x ∞ 1 n n | x |< 1 = ( − 1 ) x 解 由 ∑ 1 + x n =0 ∞ 1 2 n 2n | x |< 1 即 | x |< 1 知 f ( x) = = ∑ ( −1) x , 2 1 + x n= 0 说明 若 f ( x )在( − R, R ) 内的展式已得到,
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 ∪ ( x0 )内具有 定理 充要 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) = 0 . 条件 条件是
n →∞
微积分复习课件 无穷级数(1)
则__________.
(A)
当
p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
绝对收敛
(B)
当p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
条件收敛
(C)
当0
p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
绝对收敛
(D)
当0
p
1 时, 2
级数 (1)n1unn1发散来自3．对正项级数 un ,
n1
lim un1 =q<1 是该正项级数收敛的__________. u n
(A) 1
(B)
3
(C)
3
1
(D)
3
8．幂级数 1 x n 的收敛域为__________. n1 n
(A) [1, 1] (B) [1,1)
(C) (1, 1 ] (D) (1, 1)
9．若级数 an (x 3)n 在点 x=8 处收敛, 则此级数在点 x=1 处____. n1
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定
10．B
11．Ｄ
1．(1, 1),
1 (1 x)2
2．
e (x 1)n , (, +)
n0 n!
三、解答题
1．(1) 比较判别法（有理化）收敛
(2) 比值判别法 0<e 时, 收敛; =e, 收敛; >e, 发散.
2 ． 由 f (x) 是 二 阶 可 导 的 偶 函 数 , 得 f (0)=0, x=0 是 驻 点 , 又 因 为
n
(A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件
大学物理常用高数基础知识
06
无穷级数
总结词
无穷级数是微积分学中一个重要的概念，它表示一个无穷序 列的和。无穷级数具有收敛和发散两种性质，收敛的级数具 有和，而发散的级数不具有和。
详细描述
无穷级数是微积分学中一个非常重要的概念，它表示一个无穷 序列的和。无穷级数由一系列无穷多个项组成，每一项都有一 个系数，表示该项在级数中的权重。无穷级数具有收敛和发散 两种性质。如果一个无穷级数的和存在，则称该级数收敛，否 则称该级数发散。收敛的级数具有和，而发散的级数不具有和。
大学物理常用高数基础知识
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 积分 • 多元函数微积分 • 常微分方程 • 无穷级数
01
函数与极限
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了 两个变量之间的关系。每个输入值都 对应一个唯一的输出值，这个输出值 称为函数的值。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如奇偶性、 单调性、周期性等。这些性质决定了 函数的行为和特征。
函数的极限
极限的定义
极限是描述当一个数趋近于某个值时，函数值的变化趋势的概念。如果当x趋近于某点时，函数f(x)的值趋近于一 个确定的常数，则称此常数为函数f(x)在该点的极限。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。这些性质在研究函数的特性以及解决 与函数相关的问题时非常有用。
详细描述
常微分方程是微分学中用于描述一个或多个 变量随时间变化的数学模型。它的一般形式 为 y' = f(x, y)，其中 y' 表示 y 对 x 的导数， f(x, y) 是 x 和 y 的函数。常微分方程可以分 为线性微分方程和非线性微分方程两大类。
无穷级数微积分知识分享
正项级数及其审敛法
正项级数：级数 an，an 0
n 1
部分和数列 {S n }单调上升，若数列 {S n }有界，
则
lim
n
S
n
存在，级数
an收敛。
n 1
正项级数收敛的充要条 件是：
部分和数列 {S n }有界。
比较审敛法
设 a n， b n 是正项级数，
n 1 n 1
若 a n bn , n 1,2, , 则
0, 若 bn收敛，则
n 1
a n也收敛；
n 1
（3）lim n
an bn
，若
b n 发散，则
n 1
a n也发散。
n 1
可用于比较的级数
（1）几何级数
n 1
ar
n
收敛
发散
,| ,|
r r
| |
1时 ; 1时 .
（ 2） p级数
n 1
1 np
收敛 , p
发散
,
p
1时 ; 1时 .
i1
un (x)是x的函数。
例： sinn x sin x sin2 x sin3 x sinn x n1
收敛点
例 : sin n x sin x sin 2 x sin 3 x sin n x
n 1
x 时， 6
sin n sin sin 2 sin 3 sin n
ex
2：
n 1
sin 2 n2
n
ex 3： P 级数
, 1,
1,
n1 n p
1
ex 4 : sin
n 1
n
交错级数
(1)n1an a1 a2 a3 a4 (1)n1an
微积分所有知识点
微积分所有知识点1. 极限啊，那可是微积分的基石呀！就好比盖房子得先有稳固的地基一样。
你想想，函数在某个点无限趋近的值，这多神奇呀！比如，当 x 趋近于0 时，1/x 会趋近于无穷大，是不是很有意思呢？2. 导数呢，简直就是微积分的秘密武器！它就像汽车的速度表，能告诉你函数变化的快慢。
比如一个物体运动的路程函数，它的导数就是速度呀，想象一下你在赛跑，能实时知道自己的速度，酷不酷？3. 积分呀，那是在积累“财富”呢！把小小的部分一点点加起来，最后得到一个大的结果。
就好比你每天存一点钱，时间长了就有一笔可观的存款了。
例如求曲线下的面积，通过积分就能算出来啦，神奇吧！4. 微分中值定理，听起来高大上吧？其实就像在一段路程中总能找到一个特别的点一样。
比如说，在一段曲线中，肯定有一个地方的切线斜率和两端连线的斜率相等，厉害吧！5. 泰勒公式，那可是近似的好帮手哟！它能把复杂的函数用简单的多项式来近似。
就好像有个难搞的家伙，突然变得很听话好接近了。
比如可以用泰勒公式来近似计算三角函数的值哦！6. 定积分的应用，那可多了去了。
像计算体积呀、弧长呀什么的。
就像是在生活中，你可以用它来计算各种实际问题，多有用呀！比如说计算一个圆柱的体积。
7. 无穷级数，哇，那是数不尽的奇妙呀！就如同天上的星星一样多而神秘。
可以用它来表示一些无法用常规式子表示的东西呢，很厉害吧！比如用无穷级数来表示某些特殊函数。
8. 多元函数微积分，那可复杂又有趣呢！就像在一个丰富多彩的世界里探索。
比如研究一个三维物体的性质，是不是感觉很有挑战性呀！我觉得呀，微积分就像一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门，让人深陷其中，不能自拔！。
微积分无穷级数总结
无穷级数是微积分的一个重要组成部分，它是由无穷多个项组成的数列，每一项都是一个有穷的数。
无穷级数可以分为两类：收敛级数和发散级数。
收敛级数的和是有限的，而发散级数的和是无限的。
无穷级数在微积分中有许多应用，例如在求解定积分、求极限、研究函数的性质等方面都有应用。
无穷级数还可以用来逼近一些复杂的数学函数，例如三角函数、对数函数等。
无穷级数有一些重要的定理和性质，例如Abel定理、Cauchy定理、Dirichlet定理等。
这些定理可以帮助我们判断一个级数是收敛还是发散，以及如何求出级数的和。
无穷级数还有一些常见的类型，例如几何级数、调和级数、三角级数等。
这些级数都有各自的特点和应用。
总之，无穷级数是微积分中一个重要的概念，它有许多应用和定理。
掌握无穷级数的知识可以帮助我们更好地理解微积分的本质和应用。
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n
Sn u1 u2 un ui i 1
3
2、级数的收敛与发散：
定义 对于级数 un ,如果它的前 n 项部分和数列{Sn } 收敛
n1
(设极限为S ) ，即
lim
n
Sn
S
,
则称该无穷级数收敛，
且称 S 为该级数的和，并记为
un S
n1
如果数列{Sn } 没有极限,则称该无穷级数发散.
刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来
越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知
道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事
呢？"
9
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿 基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前 进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等 等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前
例2 讨论级数 ln(1 1 ) 的敛散性.
n1
n
解
un
ln(1
1) n
ln(n 1)
ln n
,
所以
Sn ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
所以级数发散.
6
例3 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！
A
B
B
B1
B1 B2
10
如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这 个悖论就会不攻自破。
设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完 1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路， 乌龟又向前爬了10米……，依次类推，阿基里斯需要 追赶的全部路程为
当 q 1时, Sn na 发散
当 q 1时, 级数变为a a a a
a, Sn 0,
n为 奇
数 ，
n为 偶 数
lim
n
Sn不
存
在,
发散
综上所述， aqn1
n1
当 | q | 1时, 收敛 当 | q | 1时, 发散
a 1q
8
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。 一天他正在散步，忽然发现在他前面一
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推 理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？
1
第一节 无穷级数的概念
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分， 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具。
计算圆的面积
4
例1
讨论无穷级数
1 1 1
12 23
n (n 1)
的收敛性.
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
Sn
1 1 2
1 23
1 n (n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
2 23
n n1
1 1 1 (n ) , n1
所以级数收敛，且和为 1。 5
就要在距离起点1111 1 处追上并超过乌龟. 9
思考题：还有没有其他方法解此题？
10t 1000 t , t 1000 , s 10t 10000 .
9
9
这里已经假定可以追上。
12
例4 把循环小数0.232323 表示成分数．
解 0.232323
23 100
23 1002
23 1003
(公比为 1 的等比级数,收敛) 100
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积
正 3 2n 形的面积
a1 a1
a2 a2
an
即 A a1 a2 an
2
1、级数的定义：
通项
un u1 u2 u3 un
n1
— (常数项)无穷级数
级数的前 n 项部分和数列 {Sn }
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,,
千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿
基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：
“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，
我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试
一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。
当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我
.
10n
n个
0. a1a2
an
a1a2 an 999
n个
14
0. a1a2 an
a1a2 an 999
n个
例如：
0.7 7 , 9
0.23 23 , 99
0.457 457 . 999
15
第二型：
0. b1b2 bma1a2 an
b1b2 bm 10m
a1a2 an 10mn
a1a2 an 10m2n
23
100 1 1
23 . 99
100
0.42 3
423 990
4
419 990
.
小课题：请编写一套把循环小数转化为分数方法：
第一型：
0. a1a2 an
a1a2 an 10n
a1a2 an 102n
a1a2 an 10n
1 1
a1a2 an 10n 1
a1a2 an 999
n1
的收敛性.
解 如果 q 1，
Sn
a
aq
aq2
aqn1
a aqn 1q
，
当 | q | 1时, lim qn 0 n
a
lim
n
Sn
1
q
收敛
当 | q | 1时,
lim qn
n
lim
n
Sn
发散
7
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a 0)
n1
如果 | q | 1，
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐
诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，
引发出以下著名的悖论：
如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米，…，
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和为 10
1000 10000 11111 ，
1 1
9
9
10
11
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛 程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯