探究定积分的定义,实现积分变量的替代
定积分的概念及其应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１４１㊀㊀定积分的概念及其应用定积分的概念及其应用Һ胡㊀林㊀（江苏食品药品职业技术学院，江苏㊀淮安㊀２２３００３）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着科学的进步和文化的普及，学习方法成为学习数学的重要元素之一．在数学领域，学习方法尤为重要．而定积分是常用的一种解决问题的方法，则探究定积分解决问题的思路成为必须．ʌ关键词ɔ数学；分割；定积分定积分是微积分学里很重要的内容，它不仅在数学中有很多应用，而且在物理学中也有很多应用．那么，定积分的概念以及其应用有怎样的联系呢？定积分的定义表达式怎样向积分表达式进行切换呢？一㊁定积分概念的产生问题：求由曲线ｙ＝ｅｘ与直线ｘ＝０㊁ｘ＝１以及ｘ轴所围成的平面图形的面积．解决问题：１．在平面区域ＡＢＯＣ内用垂直于ｘ轴的直线分割区间［０，１］为ｎ等份，令ｘ１＝０，ｘ２＝１ｎ， ，ｘｎ＝ｎ－１ｎ，ｘｎ＋１＝１，Δｘｉ＝１ｎ，ｉ＝１，２， ，ｎ．２．在区间［ｘｉ，ｘｉ＋１］内取ξｉ＝ｉｎ，ｉ＝１，２， ，ｎ，作积ｆξｉ()Δｘｉ＝ｅｉｎ㊃１ｎ，ｉ＝１，２， ，ｎ．３．求和ｆ（ξ１）Δｘ１＋ｆ（ξ２）Δｘ２＋ ＋ｆ（ξｎ）Δｘｎ＝ｅ１ｎ㊃１ｎ＋ｅ２ｎ㊃１ｎ＋ ＋ｅ㊃１ｎ＝１ｎｅ１ｎ＋ｅ２ｎ＋ ＋ｅ()＝１ｎ㊃ｅ１ｎ１－ｅｎｎ()１－ｅ１ｎ＝１ｎ㊃ｅ１ｎｅ－１()ｅ１ｎ－１．４．求极限ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１ｆξｉ()Δｘｉ＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ㊃ｅ１ｎｅ－１()ｅ１ｎ－１＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ㊃ｅ１ｎｅ－１()１ｎ＝ｅ－１．则所求平面图形的面积为ｅ－１．由上可知，我们通过特殊的分割方法，运用分割㊁求积㊁求和㊁求极限可以求出图形的面积．很显然，分割的方式以及取点的方式还有很多，计算还会更加复杂，那么，这样的一个复杂的计算过程可以有代替的方法吗？我们通过验证，可以找到这样的方法，就是牛顿－莱布尼茨公式．我们可以对前面的问题的计算表达式设定新的数学符号表达式ʏ１０ｅｘｄｘ，该表达式称为定积分表达式，这样就有了定积分的概念．那么，定积分概念中的元素怎么与定积分表达式中的元素建立联系呢？用定积分思维解决的问题怎样用定积分表达式表示呢？我认为可以有如下步骤：定积分表达式建立可以分为三个步骤：１．确定积分变量在定积分定义思维中，第一步是分割，那么，分割的对象就是积分变量．２．确定积分上㊁下限上㊁下限由积分变量所在的区间确定．３．确定被积函数在积分表达式中，被积表达式＝被积函数ˑｄ积分变量．则前面的问题可写成：平面图形的面积＝ʏ１０ｅｘｄｘ＝ｅｘ１０＝ｅ－１．二㊁定积分的应用下面，我们通过案例来体会一下上面的建立定积分表达式的三个步骤：２．１㊀定积分在几何上的应用２．１．１㊀用定积分求平面图形的面积案例１㊀求由曲线ｙ２＝ｘ＋２与直线ｘ－ｙ＝０所围图形的面积．解法一㊀由ｙ２＝ｘ＋２，ｘ－ｙ＝０，{得交点Ａ（－１，－１）及Ｂ（２，２）．１．用垂直于ｙ轴的直线分割平面图形，积分变量为ｙ；２．ｙ的数值范围为［－１，２］．３．分割的微元图形是矩形，矩形面积＝长ˑ宽，宽＝ｄｙ，ｘ右＝ｙ，ｘ左＝ｙ２－２．ｘ右表示右面曲线的横坐标，ｘ左表示左面曲线的横坐标，被积函数＝ｘ右－ｘ左＝ｙ－（ｙ２－２）定积分表达式为ʏ２－１ｙ－（ｙ２－２）[]ｄｙ．所求面积＝ʏ２－１ｙ－（ｙ２－２）[]ｄｙ㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４２㊀＝１２ｙ２－１３ｙ３＋２ｙ()２－１＝９２．解法二㊀１．用垂直于ｘ轴的直线分割平面图形，积分变量为ｘ．２．ｘ的数值范围分为两个区域［－２，－１］与［－１，２］．３．分割的微元图形是矩形，矩形面积＝长ˑ宽，宽＝ｄｘ，区域［－１，２］内ｙ上＝ｘ＋２，ｙ下＝ｘ．区域［－２，－１］内ｙ上＝ｘ＋２，ｙ下＝－ｘ＋２．ｙ上表示上面曲线的纵坐标，ｙ下表示下面曲线的纵坐标．所求面积＝ʏ－１－２ｘ＋２－－ｘ＋２()[]ｄｘ＋ʏ２－１ｘ＋２－ｘ()ｄｘ＝ʏ－１－２２ｘ＋２ｄｘ＋ʏ２－１ｘ＋２ｄｘ－１２ｘ２２－１＝４３（ｘ＋２）３２－１－２＋２３（ｘ＋２）３２２－１－１２ｘ２２－１＝９２．案例２㊀计算由椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１所围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积．解㊀１．用垂直于ｘ轴的直线分割ｘ轴，积分变量为ｘ．２．ｘ的数值范围为ｘɪ［－ａ，ａ］，因为椭圆的对称性，所以，只要求出第一象限内椭圆绕ｘ轴旋转所形成的体积就可以了，则选择ｘɪ［０，ａ］．３．所分割出的微元为圆柱，体积＝底面积ˑ高，底面的半径为ｙ，高为ｄｘ，则ｙ２＝ｂ２ａ２（ａ２－ｘ２），被积表达式＝πｙ２ｄｘ＝πｂ２ａ２（ａ２－ｘ２）ｄｘ．所求第一象限的旋转体积＝ʏａ０πｂ２ａ２（ａ２－ｘ２）ｄｘ＝πｂ２ａ２㊃ａ２ｘ－１３ｘ３()ａ０＝２３πａｂ２．所求旋转体体积＝２ˑ２３πａｂ２＝４３πａｂ２．２．２㊀定积分在物理上的应用案例１㊀已知弹簧每拉长０．０２ｍ要用９．８Ｎ的力，求把弹簧拉长０．１ｍ所做的功．解㊀匀力做功的计算公式：Ｗ＝Ｆ㊃ｓ（Ｗ表示功，Ｆ表示力，ｓ表示位移），由题意及物理学知识可知，变力函数为Ｆ＝９．８０．０２㊃ｓ＝４．９ˑ１０２ｓ．１．分割位移ｓ．２．ｓɪ０，０．１[]．３．被积表达式为Ｆｄｓ．则把弹簧拉长０．１ｍ所做的功为Ｗ＝ʏ０．１０４．９ˑ１０２ｓｄｓ＝２．４５（Ｊ）．综上可知，利用数学思维解决问题的过程是从分析到解决的过程，这个过程在数学知识建构中，更多的是以模型的方式出现，即数学思维模式化．因而，当理解了解决某种类型问题解决的数学思想以后，我们如果能以记忆的方式来解决问题，就可以提高解决问题的效率．以上，就是通过案例以及思维步骤来体会定积分模式化思维的应用．三㊁定积分在数学应用中的现状及存在的问题３．１㊀定积分在数学应用中的现状定积分的微元思想在实际应用中，可以求平面图形的面积㊁求立体几何的体积㊁求曲线的弧长．‘高等数学“与‘数学分析“教材中都有该部分内容．３．２㊀定积分存在的问题在很多教材中，对于定积分表达式的建立，给出的思维步骤过于抽象，学生不能在问题解决的过程中写出正确的定积分表达式，这是很多数学内容构建方面存在的问题．对于学生而言，数学思维已很复杂和抽象，再去理解数学符号语言表达的思维就更难了．四㊁定积分的发展趋势４．１㊀教材内容语言表达方式定积分的微元思想在具体问题中呈现时，应在实例表达中明确以下几点：１．指出微元是谁．２．指出微元计算公式是什么．３．指出怎么求微元计算公式中的成员．４．２㊀教材内容呈现的方式将实际问题作为案例来呈现，使内容符合学生的认知结构，而不是空中楼阁．４．３㊀教师的教学语言改革数学教师都是在严谨的数学语言训练中成长的，在教学过程中，也常用严谨的数学语言进行教学，而对于大多数学生而言，这种语言就像天书，云里雾里，难以理解．故在教学中，教师应将语言形象化㊁语言逻辑化，以贴近学生的语言进行教学，例如：微元是长方形，微元计算是长ˑ宽，若分割ｘ，则宽为ｄｘ，长为上面曲线的纵坐标－下面曲线的纵坐标，标记为ｙ上－ｙ下．语言是人类交流的方式，教师与学生交流时，理所当然要以学生语言形式进行教学，并在此基础上，再将语言数学化．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］同济大学数学系．高等数学（上册）（第５版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．。
定积分替换公式范文
定积分替换公式范文一、换元法换元法又称为变量代换法，它通过引入一个新的变量来替换原来的积分变量，从而将原积分转化为新变量的积分，从而简化计算过程。
以下是换元法的一般步骤：1.选取合适的替换变量选择一个合适的替换变量是换元法的第一步。
一般来说，优先选择使得积分被替换变量在新变量下变得简单的替换变量。
另外，一些特殊函数的积分可以通过选择特殊的变量来简化计算。
2.确定替换变量的取值范围确定替换变量的取值范围是换元法的第二步。
为了保证计算的有效性，替换变量的取值范围必须和原变量的取值范围一致。
因此，在选取替换变量之后，应该确定它的取值范围。
3.计算被替换变量和微元的关系计算被替换变量和微元的关系是换元法的第三步。
根据替换变量和原变量的关系，可以得到微元的新表示形式。
然后，利用新表示形式计算被替换变量的取值范围内的积分。
4.利用替换公式计算积分利用替换公式计算积分是换元法的最后一步。
根据被替换变量和微元的关系，可以将原积分转化为新变量的积分，从而简化计算。
换元法常见的应用有以下几种：1.有理函数积分当被积函数为有理函数时，可以通过合理选择替换变量来简化计算。
常用的有理函数换元法有：三角代换、标准积分表中的换元法等。
2.分式函数积分当被积函数为分式函数时，可以通过合理选择替换变量来转化为有理函数的积分。
常用的分式函数换元法有：欧拉代换、倒代换等。
3.幂函数积分当被积函数为幂函数时，可以通过选择合适的变量使得幂次变为整数或者简化积分表达式。
常用的幂函数换元法有：幂函数的逆函数代换、平方完全代换等。
二、分部积分法的结合分部积分法是定积分计算的常见方法之一，通过将原积分拆分为两部分来计算，其中一部分由被积函数的导数和另一部分的原函数构成。
在分部积分法的基础上，可以结合换元法使用，以便进一步简化计算。
应用分部积分法的结合换元法的一般步骤如下：1.选择一个合适的替换变量和一个合适的分部积分公式拆分原积分。
2.通过将积分拆分为两部分分别进行计算，得到相应的结果。
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分的参数化代换法
定积分的参数化代换法定积分是高等数学中的一个重要分支，它对于各个领域的数学科学都有着重要的贡献。
在计算一些较为复杂的定积分时，常常采用参数化代换法，该方法通过对被积函数进行参数化，将复杂的积分式转化为简单的形式，从而方便计算。
以下，我们将从定积分的概念入手，详细介绍参数化代换法的具体应用。
一、定积分的概念在高等数学中，定积分是指对于一个函数f(x)，确定其在区间[a,b]上的某一部分的面积。
这个面积可以看作是由一系列无限小的短条形成的。
在[ a, b ]之间分出n等份，每份长度为(xᵢ₊₁- xᵢ)，取一点xᵢ*，其中i=0,1,2,...,n-1。
这时将[ xᵢ, xᵢ₊₁ ]看做一个小区间，将函数在这个小区间内的取值f(xᵢ*)看做是小区间的高，则小区间面积为f(xᵢ*)·(xᵢ₊₁ - xᵢ)，将所有小区间面积相加，这个和即为定积分，记作∫(下限a,上限b)f(x)dx。
具体公式如下：∫(a,b)f(x)dx=lim(Δt→0)Σf(xᵢ*)Δx二、参数化代换法的含义在实际计算定积分时，有时我们会面对一些较为复杂的被积函数，此时如果采用传统的积分方法，往往会变得非常繁琐。
这时，我们可以通过参数化代换法，对被积函数进行参数化，将变量替换成一组新的参数，从而化繁为简，方便计算。
具体来说，参数化代换法即是将原来的自变量x用一个或多个新的参数t表示出来，即x=x(t)，然后将原来的被积函数f(x)写成f(x(t))，此时，对于变量t，可以进行简单的积分计算，从而方便求出整个定积分。
这个过程可以看作是将原来的积分区域用一定的方式变形，从而使得被积函数变得更加简单。
三、参数化代换法的基本思路在采用参数化代换法计算定积分时，我们需要遵循以下基本思路：（1）选取合适的替代变量：一般情况下，我们会选择对称、周期或者特殊的函数作为替代变量。
（2）确定替换公式：确定替代变量后，需要根据替代变量和原函数的关系确定替换公式。
定积分变量代换积分上下限的问题
定积分变量代换积分上下限的问题定积分变量代换积分上下限的问题定积分变量代换是求解定积分的一个重要技巧，可以简化计算过程。
然而，在应用变量代换时，积分上下限的变化常常会导致新的问题，需要仔细处理。
以下是与此问题相关的常见问题及解释说明：1.如何进行变量代换？–变量代换是指通过引入新变量，将原积分中的积分变量换成新变量，以简化积分运算的过程。
通常我们会选择合适的代换变量，使得积分表达式中的某些部分可以进行简化。
2.变量代换后，积分上下限如何变化？–当进行变量代换时，积分上下限的变化是一个重要问题。
一般来说，变量代换会导致积分上下限的变化，新的上限和下限需要通过变量变换函数来计算。
常见的方法是将原积分上下限代入变量变换函数中，并进行相应的计算。
3.如何处理变量代换后的积分上下限？–在处理变量代换后的积分上下限时，需要注意两个问题：•a)上下限的变化：需要根据变量代换的具体形式，计算新的上下限，并与原积分上下限进行对应。
•b)上下限的顺序：在计算新的上下限时，需要保持积分上限大于积分下限的顺序，确保积分的区间是正确的。
4.举例：如何处理变量代换后的积分上下限？–假设我们有一个积分表达式∫[a,b] f(x) dx，需要进行变量代换为∫[c,d] g(t) dt，其中g(t) = h(x)，并已知变换函数关系式t = φ(x)。
在处理积分上下限时，可以按照以下步骤进行：•a)将a和b代入φ(x)得到c和d，即c=φ(a)，d=φ(b)。
•b)检查c和d的大小关系，确保c小于d。
•c)最后，将积分表达式变为∫[c,d] g(t) dt，并按照变量代换后的积分表达式进行计算。
总结：定积分变量代换是简化定积分计算的重要技巧，但在应用变量代换时需要注意积分上下限的变化。
我们需要根据具体的变量代换形式来计算变换后的积分上下限，并确保上限大于下限的顺序。
通过合理处理变量代换后的积分上下限，可以更方便地进行定积分的计算。
微积分中的函数积分与变量替换
微积分中的函数积分与变量替换在微积分的广袤领域中，函数积分与变量替换是两个极其重要的概念和方法。
它们不仅是解决数学问题的有力工具，也在物理、工程、经济等众多领域有着广泛的应用。
让我们先来聊聊函数积分。
简单来说，积分就是对函数进行求和的过程。
想象一下，有一条曲线代表着某个函数，积分就是要计算这条曲线与坐标轴之间所围成的面积。
比如，速度随时间变化的函数进行积分，就能得到位移；而加速度随时间变化的函数积分，就可以得到速度。
积分分为定积分和不定积分。
定积分有明确的上下限，它给出的是一个具体的数值，表示在特定区间内函数所围成的面积大小。
不定积分则是求原函数的过程，也就是找到一个函数，其导数等于给定的函数。
那变量替换又是什么呢？这就好比我们在解决问题时，换个角度看世界。
当原本的函数形式比较复杂，直接积分很困难的时候，我们通过巧妙地引入新的变量，将复杂的函数转化为更简单、更容易处理的形式。
比如说，我们有一个积分式子∫f(x)dx，通过令 x ＝ g(t)，把 x 用 t 表示，同时 dx 也会相应地变成关于 t 的表达式，这样原积分就变成了关于 t 的积分∫fg(t)g'（t)dt。
这个过程中，关键是要正确地求出 dx 关于 t的导数 g'（t)dt，并且要注意新的积分上下限也要根据变量替换进行相应的调整。
变量替换的好处在于，它能够化繁为简，把原本棘手的积分变得容易求解。
就像有时候我们走一条路觉得困难重重，但换条路可能就柳暗花明了。
为了更好地理解变量替换，我们来看几个具体的例子。
假设我们要计算∫（2x ＋ 1)＾2dx。
如果直接展开计算，会比较繁琐。
但我们令 u ＝ 2x ＋ 1，那么 du ＝ 2dx，dx ＝ du/2。
原积分就变成了1/2 ∫u^2du，这样计算起来就轻松多了。
再比如，计算∫1/（1 ＋ x^2)dx。
这时候我们令 x ＝ tan t，dx ＝sec^2 t dt，原积分就变成了∫1/（1 ＋ tan^2 t) sec^2 t dt ＝∫dt ＝ t ＋ C ＝arctan x ＋ C。
定积分的换元法
定积分的换元法定积分是高等数学中重要的一部分，也是数学中的基础概念之一。
通过定积分，我们可以求解一些曲线、图形的面积、体积等问题，为实际运用提供了一定的便利。
而在求解定积分的过程中，换元法是一种常用的方法，接下来就让我们来详细了解一下定积分的换元法吧。
定积分的定义在介绍定积分的换元法之前，首先需要了解定积分的定义。
定积分可以看作是对函数在一定区间上的面积进行求解的过程，可以用符号∫来表示。
其中，被积函数称为被积表达式，积分号内所表示的变量称为积分变量，积分区间则用a，b表示，如下所示：∫a^bf(x)dx其中，a和b分别为积分区间的上界和下界，f(x)为被积函数。
换元法的基本思路定积分的换元法即为一种变量代换的方法，将原来的函数进行代换，转换成一个新的被积函数，从而求解相应的积分。
换元法的基本思路是，将被积函数中的自变量进行一定的替换，从而得到一个新的、更加简单的被积函数，然后再进行积分运算。
具体来说，设有定积分∫f(x)dx，且f(x)为连续函数，若存在一个单调可导的函数g(x)，则新的积分表达式可以表示为：∫f(g(x))g'(x)dx通过对g(x)求导，得到dx=f'(g(x))dx，代入原式，可得出：∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du，其中u=g(x)这样，就可以将原来的定积分通过代换转换为一个更加简单的形式，从而求解相应的积分。
换元法的操作步骤通过上述的基本思路，换元法的具体操作步骤可以归纳为以下几点：1.为原来的定积分选取一个合适的代换。
2.通过求导，将被积函数中的自变量替换为新的变量，并求出dx的代换式。
3.将原来的定积分用新的变量表示，并将被积函数替换为新的表达式。
4.通过这种方式转换后，可以得到一个更加简单的被积函数，从而进行积分运算。
例如，若要计算∫sin^2xdx，可以采用代换u=sin x，从而得到：∫sin^2xdx=∫(1-cos^2x)dxu=sin x，dx=cos xdx，代入原式得：∫sin^2xdx=∫(1-cos^2x)dx=∫(1-u^2)cosudu通过这种方式进行代换后，可以将原来的定积分转换成一个更加简单的积分表达式，从而方便地进行计算。
利用定积分的概念求积分
利用定积分的概念求积分引言定积分是微积分中的重要概念之一。
它具体描述了曲线与坐标轴之间的面积关系，并在求解曲线下面积、曲线长度、物体质量等问题中发挥着重要作用。
本文将通过详细解释定积分的概念、性质和求解方法，以及应用定积分解决实际问题的案例，来探讨定积分的深入意义。
什么是定积分定积分是微积分中的一种运算符号，用来求解曲线与坐标轴之间的面积。
在数学上，定积分可以从微积分的角度解释为函数的积分与求导的逆运算。
对于一元函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x)dx其中，∫表示积分运算符，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
定积分的性质定积分具有以下几个重要性质：1.线性性质：定积分具有线性性质，即如果f(x)和g(x)在[a, b]上可积，c是任意常数，则有∫[a, b] (cf(x) + g(x))dx = c∫[a, b] f(x)dx +∫[a, b] g(x)dx。
2.区间可加性：对于相同的被积函数f(x)，在不同的积分区间上进行积分后可以进行区间的加法运算。
3.牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
求解定积分的方法求解定积分的方法有多种，常用的方法包括：1.几何解释法：对于一些简单的几何问题，可以通过几何形状的面积关系来求解定积分。
例如，求解一个直角三角形的斜边长度可以通过求解曲线y=x在区间[0, 1]上的定积分来实现。
2.分段函数法：对于一些函数在不同区间上具有不同表达式的情况，可以将被积函数进行分段处理，然后分别求解每个区间上的积分。
3.替换法：对于一些复杂的函数，在求解定积分时可以通过变量替换将其转化为简单的函数形式。
常见的替换方法包括换元积分法和三角函数替换法。
4.部分分式法：对于一些有理函数，可以通过拆分成部分分式的形式，再进行求解定积分。
微积分中的函数积分与变量替换
微积分中的函数积分与变量替换在微积分的广袤领域中，函数积分与变量替换是两个极为重要的概念和工具。
它们不仅在理论上有着深刻的数学内涵，而且在解决实际问题中发挥着关键作用。
首先，让我们来理解一下什么是函数积分。
简单地说，函数积分是一种数学运算，用于计算函数曲线下的面积。
想象一下，有一条函数曲线，比如 y ＝ x^2 ，从某个点 a 到另一个点 b ，我们想要知道这部分曲线与 x 轴之间所围成的区域的大小，这就是积分要解决的问题。
积分分为定积分和不定积分。
定积分有着明确的上下限，能给出一个具体的数值结果，代表着特定区间内的面积或者积累量。
不定积分则是求原函数的过程，它没有具体的上下限，但求出的结果加上一个常数 C 就是对应的定积分。
接下来谈谈变量替换。
变量替换就像是给问题穿上了一件新的“衣服”，让原本复杂的问题变得简单明了。
它是解决积分问题时常用的一种技巧。
为什么要进行变量替换呢？这是因为有些积分式子直接计算会非常困难，甚至几乎不可能。
但通过巧妙地引入新的变量，就能够将复杂的积分式子转化为更容易处理的形式。
比如说，我们有一个积分∫（2x ＋ 3)＾2 dx 。
直接计算这个积分可能会让人感到头疼。
但如果我们令 u ＝ 2x ＋ 3 ，那么 du ＝ 2dx ，dx＝ du/2 。
这样，原来的积分就变成了∫u^2 （du/2) ，计算起来就简单多了。
再举一个例子，考虑积分∫sin(2x) dx 。
令 u ＝ 2x ，则 du ＝ 2dx ，dx ＝ du/2 ，原积分就变成了（1/2) ∫sin(u) du ，结果就是（1/2)cos(u)＋ C ，再把 u ＝ 2x 代回去，就得到了最终的结果（1/2)cos(2x) ＋ C 。
在进行变量替换时，有几个关键的点需要注意。
首先，要确保新变量的导数存在且不为零，这样才能进行有效的替换。
其次，替换后的积分上下限也要相应地进行改变。
如果原来是从 a 到 b ，那么在新变量下，就要根据新变量与原变量的关系，计算出对应的新的上下限。
定积分变量替换规则
定积分变量替换规则
1. 嘿，你知道吗，定积分变量替换规则就像是一把神奇的钥匙！比如说，计算∫(x+1)^2dx，我们就可以令 u=x+1，哇，一下子问题就简单多了呢！这不是很妙吗？
2. 定积分变量替换规则简直太好用啦！就像找到了一条捷径。
好比算
∫sin(x^2)dx，通过合适的变量替换，就能轻松求解呀，你难道不想试试吗？
3. 哎呀呀，定积分变量替换规则可重要了呢！就像给你一双翅膀，让你在数学天空翱翔。
想想看，计算∫1/(1+x^2)dx，找对了替换，那可就迎刃
而解啦，是不是很神奇呀？
4. 定积分变量替换规则，这可是大法宝呀！好比游戏里的秘密武器。
像算∫cos(2x)dx，合适的替换马上让难题变简单，厉害吧！
5. 哇塞，定积分变量替换规则绝对是个厉害的家伙！就像一个超级助手。
试试计算∫e^(x^2)dx 时用变量替换，你会惊叹它的魔力哦，能不兴奋吗？
6. 定积分变量替换规则真的绝了呀！如同一个神奇的魔法。
在面对像
∫(sinx+cosx)^2dx 这样的式子时，用对了变量替换，问题就轻松解决啦，
太牛了啊！
我的观点结论就是：定积分变量替换规则是非常强大且实用的工具，能让我们在解决定积分问题时更加得心应手，一定要掌握好它！。
定积分的三角代换法
定积分的三角代换法定积分是数学中的一个重要概念，它在计算面积、体积和概率等领域有广泛的应用。
在定积分的计算过程中，有一种特殊的方法叫做三角代换法，下面我们来详细介绍一下。
一、三角代换法的基本思路三角代换法是指，在积分计算过程中，将被积函数的变量用三角函数表示，然后进行代换，从而简化计算。
具体来说，可以根据三角恒等式将三角函数转化为其他函数，或者通过三角函数的导数性质将三角函数的积分转化为其他函数的积分。
三角代换法的基本思路是将被积函数中的$x$用$\sin t$或$\cos t$来代替，换句话说，就是将$x$表示成$\sin t$或$\cos t$的形式。
二、三角代换法的具体操作三角代换法的具体操作步骤如下：1.观察被积函数，判断是否存在$\sqrt{a^2-x^2}$或$\sqrt{a^2+x^2}$这样的式子，如果存在，则考虑将$x$用$\sin t$或$\cos t$来代替。
2.根据三角函数的定义式，可以知道$\sin t$和$\cos t$在$t\in[0,\pi/2]$或$t\in[-\pi/2,0]$上是单调递增的，因此应该选取合适的区间来代替$x$。
3.根据代换公式$x=a\sin t$或$x=a\cos t$，将被积函数转化为含有$t$的式子。
4.将得到的式子进行合并、展开和化简，将$t$的范围转化为$x$的范围。
5.利用换元积分公式将含有$t$的积分转化为含有$x$的积分，从而完成三角代换法。
三、三角代换法的实例分析下面通过几个实例来说明三角代换法的应用。
1.计算$$\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}$$显然，被积函数中有$\sqrt{3}$，因此可以考虑将$x$用$\tant$来代替。
此时代换公式为$x=\sqrt{3}\tan t$，代入原式得到$$\int_0^{\pi/3}\frac{\sqrt{3}\sec^2 t}{3\tan^2t+1}dt$$ 利用$\sec^2t=1+\tan^2t$和$\tan^2t=\frac{1}{\sec^2t}-1$化简上式，得到$$\int_0^{\pi/3}\frac{dt}{\sqrt{3}}$$ 直接计算，得到$$\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{6}$$2.计算$$\int_0^1\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}dx$$此时，被积函数中有$\sqrt{1-x^2}$，因此可以考虑将$x$用$\sin t$来代替。
定积分变量代换积分上下限的问题(一)
定积分变量代换积分上下限的问题(一)定积分变量代换积分上下限的问题是数学中常见的一个问题，主要涉及如何通过变量代换来改变定积分的上下限。
下面是一些与此问题相关的问题及其解释说明：1.什么是定积分？–解释：定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线与坐标轴所围成的面积或者是一个函数在某个区间上的累积和。
2.为什么需要变量代换？–解释：变量代换可以帮助我们简化积分表达式，尤其是对于一些复杂的积分问题。
通过选择合适的变量代换，可以使积分问题更易求解。
3.变量代换对定积分上下限有什么影响？–解释：变量代换可以改变积分的上下限。
当我们进行变量代换时，需要同时改变积分的上下限，以保持积分的等价性。
4.如何进行变量代换？–解释：•针对积分中的函数部分，选择合适的变量代换，让积分表达式变得更简单。
•改变积分的上下限，确保代换后的积分上下限对应正确。
5.变量代换的常见方法有哪些？–解释：•代换法：通过选择合适的变量代换，将被积函数变换为一个更易积分的形式。
•几何代换法：利用几何特性，将积分区间做适当变换，以简化积分。
•特殊代换法：针对特定类型的积分问题，采用特殊的变量代换方法，如三角代换、指数代换等。
6.如何选择合适的变量代换？–解释：•观察被积函数的形式，选择适合的变量代换，使得积分更易求解。
•尝试适当的变换后，观察积分的形式是否变得更简单。
•注意变量代换后的积分上下限的变换。
7.变量代换的注意事项有哪些？–解释：•变量代换需要保证原函数与新函数的一一对应关系，即变换是可逆的。
•变量代换后，需要注意积分上下限的变换，确保积分结果的正确性。
总结：定积分变量代换积分上下限的问题是数学中常见的一个问题，通过变量代换可以简化积分表达式，改变积分的上下限。
选择合适的变量代换方法是解决该问题的关键，需要保持变换是可逆的，并注意变量代换后积分上下限的变换。
定积分变量代换参数方法
定积分变量代换参数方法使用方式: 作替换例1. 求定积分令, , 当x=-1时, u = 0; 当x=1时，u=2。
定义曲线之间的面积若f和g连续并在[a, b] 上,则在从a到b的曲线和之间的区域面积上从a到b的积分如何求两条曲线之间的面积?1.画曲线的图并画出一个典型矩形，这能显示出哪条曲线时f(上曲线)和那条曲线时g(下曲线).2.求积分限3.写出的表达式4.从a到b积分, 得到的数就是面积2.求抛物线和直线围成的面积。
为了方便大家理解，这里使用python的numpy和matplotlib 绘制图形。
绘制代码如下:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.arange(-3, 3, step=0.01)fx = 2 - np.power(x, 2)gx = -xplt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x) = 2 - x^2')plt.plot(x, fx)plt.show()可以看的出为上界,为下界。
令, 得, 。
和的相交点为和。
计算这里的曲线面积3.求抛物线和直线围成的面积。
使用如下代码绘制函数import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.arange(0, 6, step=0.01)fx = np.sqrt(x)gx = x - 2plt.axis([0, 4, 0, 4])plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.plot(x, fx, label = 'f(x) = √x')plt.plot(x, gx, label ='g(x) = x - 2')plt.legend()plt.show()得到:g(x)和x轴的交点为，g(x)和f(x)的交点为, 由图形可以看出这里的面积分为两个区域计算:[0, 2]区域的面积a1和[2, 4]区域的面积a2.。
定积分替换公式
定积分替换公式摘要：一、定积分替换公式简介1.定积分的概念2.替换公式的背景和意义二、替换公式的推导与证明1.替换公式的定义2.替换公式的推导过程3.替换公式的证明方法三、替换公式的应用1.在求解定积分中的应用2.在其他数学问题中的应用四、替换公式的局限性与扩展1.替换公式的适用范围2.替换公式与其他数学公式的关系3.替换公式在高等数学中的扩展正文：一、定积分替换公式简介定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积、长度、体积等。
而定积分替换公式则是求解定积分的一种有效方法，通过替换原函数，简化积分计算过程。
二、替换公式的推导与证明1.替换公式的定义：若函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，函数F(x) 是f(x) 在[a, b] 上的一个原函数，则对于任意常数k，有∫[a, b]f(x)dx = k∫[a, b]F(x)dx。
2.替换公式的推导过程：首先求出F(x)，然后用kF(b) - kF(a) 代替∫[a,b]F(x)dx，得到替换公式。
3.替换公式的证明方法：通过积分换元法，将原积分转换为另一个可积函数的积分，从而证明替换公式成立。
三、替换公式的应用1.在求解定积分中的应用：通过替换公式，可以将复杂的积分问题转化为简单的代数运算，简化求解过程。
2.在其他数学问题中的应用：替换公式不仅适用于求解定积分，还可以应用于求解微分方程、微分不等式等问题。
四、替换公式的局限性与扩展1.替换公式的适用范围：替换公式适用于大部分可积函数，但在某些特殊情况下，可能不适用。
2.替换公式与其他数学公式的关系：替换公式是求解定积分的一种方法，与泰勒公式、分部积分法等公式有密切联系。
3.替换公式在高等数学中的扩展：在高等数学中，替换公式可以进一步扩展到多重积分、线性微分方程等领域。
综上所述，定积分替换公式是一种求解定积分的重要方法，通过替换原函数，简化积分计算过程。
探究定积分的定义,实现积分变量的替代
探究定积分的定义，实现积分变量的替代山东省莱州市第一中学 赵 凯学生为主体，教师为指导的新的教学理念逐步的被广大教师应用于教学实践中，提倡学生积极主动，勇于探索的学习这也是新的课程改革的要求。
适时地提出问题，为学生创设探究思维的学习环境，是我们教育工作者面临的具有挑战性的任务。
通过对定积分的教学使我有了更深的体会。
定积分的有关内容是课程改革后新增加的，定义的理解又是学习掌握着部分内容的基础。
通过研究求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程，归纳出了定积分定义，得到：⎰baf dx x )(=∞→n lim∑=-ni nab 1)(i f ξ。
借助定义求定积分，通过“四步曲”：分割，近似代替，求和，取极限显然比较麻烦，当然应用微积分基本定理是最好的方法。
如何把一个和式的极限转化成定积分的形式，是我们在教学过程中不得不向学生提出的问题，解决这个问题的关键就是对定积分定义的理解，引导学生对定义的再认识。
定义：如果函数)(x f 在区间[a , b]上连续，用分点b a x x x x x n i i =<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=-110将区间[a , b]等分成n 个小区间，在每个小区间[1-i x ，i x ]上任取一点iξ（i 1,2,3,n =鬃）,作和式)(1∑=ni i f ξx ∆=()i ni f nab ξ∑=-1当n ∞→时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()x f 在区间[a , b]上的定积分，记作dx x f ba)(⎰。
在定义中，i ξ常常取第i 个小区间的左端点（或取为右端点），而在这里第i 个小区间通过师生的共同探究，我们发现它的表现形式如下：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+a b n i a a b n i a ,1，i =n ⋅⋅⋅,2,1 积分上限正是这个区间的右端点()a b nia -+在i =n 时的值，积分下限正是它的左端点()a b n i a --+1在=i 时的值，每个小区间的长度也正是,n a b -如果我们取na b x -=∆，()a b nia i -+=ξ ，那么积分式就是()dx x fb a ⎰。
定积分替换公式
定积分替换公式定积分是微积分中的一个重要概念，它表示一个函数在某个区间上的累积量。
在实际应用中，定积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域。
而定积分替换公式则是解决定积分问题的一种有效方法。
一、定积分的基本概念定积分是指函数f(x)在区间[a, b]上的累积量，可以用以下公式表示：∫[a, b]f(x)dx二、定积分的替换公式在定积分运算中，替换公式是一种常用的技巧。
替换公式为：∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(g(x))g"(x)dx其中，g(x)是一个原函数，即g"(x)是f(x)的原函数。
通过替换，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的积分问题，从而简化求解过程。
三、替换公式的应用实例1.实例一：求解∫[0, π] sin x dx替换：令g(x) = cos x，则g"(x) = -sin x∫[0, π] sin x dx = ∫[0, π] cos x × (-sin x) dx = ∫[0, π] -cos^2 x dx2.实例二：求解∫[0, 1] x^2 e^x dx替换：令g(x) = e^x，则g"(x) = e^x∫[0, 1] x^2 e^x dx = ∫[0, 1] x^2 × e^x dx = ∫[0, 1] x^2 g(x) g"(x) dx = ∫[0, 1] x^2 e^x dx + C四、注意事项和实用性1.在使用替换公式时，要注意替换后的函数是否含有原函数的因子，以便进行简化。
2.替换公式不仅可以应用于定积分，还可以应用于不定积分、微分方程等领域。
3.熟练掌握替换公式，可以提高求解积分问题的效率，简化计算过程。
总之，定积分替换公式是一种实用的求解定积分的方法。
通过替换，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的积分问题，从而简化求解过程。
定积分的等价代换及其应用
定积分的等价代换及其应用作者：李书轶 班级：光信1001班 关键词：定积分，等价替换，近似计算。
引子：对于定积分中经常会用到近似计算，由于等价替换也是可以当做近似来看待，因此如果能够引入进定积分的计算则会有很大帮助。
我通过运用定积分的定义证明了这个想法，同时利用这个结论在几何上证明了极坐标下的弧长公式。
以下为过程，请老师与同学们指正。
正文：定理：在区间[a,b],将弧长分成小段λ，若在每一个小段λ上（0→λ）原来的函数u(x),均有u(x)~v(x)则⎰ba dx x u )(=⎰ba dx x v )( 首先，先证明一个引理引理：若在[]00σσ+-x x ，，0→σ有u(x)~v(x),则必存在x 1,x 2∈[]00σσ+-x x ，使得u(x 1)=V(x 2)证明：假设不存在，不妨设u(x)>v(x),有分析知必在[]00σσ+-x x ，有u m in (x)>v m ax (x) 设u m in (x)－v m ax (x)=M>0由图象的平移知有u(x)~v(x)－M 又u(x)~v(x)故v(x)~v(x)－M这显然不成立，故假设错误，原命题得证下面来证明定理对于函数f(x)有弧长积分⎰b a dx x u )(=∑=→∆n i i ix u 10)(lim ξλ，1--=∆i i i x x x ，)(max 11-≤≤-=i i ni x x λ 由引理知在[x 1-i ,x i ]内有u(ξi )=v(i η),又由于定积分的计算与点的取法无关故⎰ba dx x u )(=∑=→∆n i i i x u 10)(lim ξλ=∑=→∆n i i i x v 10)(lim ηλ=⎰b adx x v )(其中1--=∆i i i x x x ，)(max 11-≤≤-=i i ni x x λ 因此得证关于定理的运用1．在区间[a,b]上由于ds~22)()(dy dx +=dx y 2)'(1+因此L=dx y ds b a ba ⎰⎰+=2)'(1得证2．在极坐标下的弧长积分由余弦定理ds~θρρρρρρd d d cos )(2)22+-++（ θρρρρρρd d d cos )(2)22+-++（=222)()'()cos 1(2θρθρd d +-~222)](d )'([θρρ+故ds~θρρd 22)'（+ L=θρρd ds ba b a ⎰⎰+=22)'(。
定积分替换公式
定积分替换公式摘要：一、定积分替换公式概念二、定积分替换公式推导1.不定积分替换2.定积分替换三、定积分替换公式应用1.求解定积分2.计算面积和体积四、定积分替换公式的意义正文：定积分替换公式是微积分中一个非常重要的公式，它可以帮助我们在求解定积分时简化计算过程。
定积分替换公式指的是，当被积函数可以通过某个简单函数进行替换时，我们可以将原定积分替换为另一个更容易求解的定积分。
要推导定积分替换公式，我们首先需要了解不定积分替换。
设F(x)为原被积函数f(x)的不定积分，即F"(x) = f(x)。
我们可以将被积函数f(x)替换为F"(x)，即f(x) = F"(x)。
那么，原定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, b] F"(x)dx接下来，我们利用积分中值定理对上式进行求解。
根据积分中值定理，对于连续函数F(x)，在区间[a, b]上至少存在一个ξ，使得：F(b) - F(a) = ∫[a, b] F"(x)dx将F(x)替换为f(x)，我们有：f(b) - f(a) = ∫[a, b] f"(x)dx这就是定积分替换公式。
需要注意的是，定积分替换公式要求被积函数f(x)的原函数存在，并且替换后的函数F"(x)与f(x)在区间[a, b]上连续。
定积分替换公式在求解定积分时具有重要意义。
例如，当被积函数为多项式、指数函数、对数函数等常见函数时，我们可以利用定积分替换公式简化计算过程。
此外，定积分替换公式在计算面积和体积时也具有很大作用。
例如，当被积函数为x^2时，我们可以将其替换为1/3πx^3，从而求解曲线下面的面积。
总之，定积分替换公式是微积分中一个非常有用的公式。
定积分替换公式
定积分替换公式
摘要：
1.定积分替换公式的概念
2.定积分替换公式的例子
3.定积分替换公式的应用
4.定积分替换公式的注意事项
正文：
一、定积分替换公式的概念
在数学中，定积分替换公式是一种求解定积分的技巧，主要用于将较难求解的定积分问题转换为容易求解的问题。
替换公式可以帮助我们简化积分过程，提高求解效率。
二、定积分替换公式的例子
以下是一个使用定积分替换公式的例子：
求解积分：∫(x^2 + 3x - 2) dx
通过观察，我们可以将这个积分式替换为：∫(x^2 + 3x - 2) dx = ∫(x^2 + 2x + x - 2) dx
然后，我们可以将这个替换后的积分式分解为两个简单的积分：∫(x^2 + 2x) dx - ∫(2) dx
继续简化，我们得到：[x^3 / 3 + x^2 / 2] - 2
最后，我们可以得到积分的结果：(x^3 / 3 + x^2 / 2) - 2
通过这个例子，我们可以看到定积分替换公式可以帮助我们简化积分过程，提高求解效率。
三、定积分替换公式的应用
定积分替换公式在实际应用中有广泛的应用，例如在物理、工程等领域。
通过使用定积分替换公式，我们可以更快地求解定积分，从而为实际问题提供解决方案。
四、定积分替换公式的注意事项
在使用定积分替换公式时，我们需要注意以下几点：
1.替换公式应根据积分式的特点进行，不能盲目替换。
2.在替换后，需要对积分式进行适当的简化和求解。
3.替换公式并不是适用于所有积分问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
总之，定积分替换公式是一种求解定积分的有效方法，可以帮助我们简化积分过程，提高求解效率。
求定积分的一种特殊方法
求定积分的一种特殊方法定积分是微积分中的一个重要的概念，用于计算函数在给定区间上的面积或曲线下的积分值。
在求解定积分时，通常可以使用多种方法，其中包括特殊方法。
下面我将介绍一种特殊方法，换元法。
换元法（或叫变量代换法）是解决定积分问题中常用的一种方法。
它的核心思想是通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而使得求积分的过程更容易进行。
下面我将分为三个部分来详细介绍换元法的步骤和特点。
第一部分：换元法的基本思想换元法的基本思想是通过引入新的变量，将原来被积函数的形式进行简化，从而更容易求解。
换元法的核心是选择合适的代换变量，使得被积函数变得简单。
举个例子来说明，假设我们要求解积分 \`∫f(x) dx\`，并且我们通过引入新的变量 u = g(x) 将其转换为积分 \`∫h(u) du\`，这样的话求解过程可能会变得更容易，因为被积函数 h(u) 的形式更简单，我们可以更容易进行计算。
第二部分：换元法的一般步骤换元法的一般步骤可以总结为以下几个步骤：步骤一：选择合适的代换变量对于给定的被积函数f(x)，选择一个合适的代换变量u=g(x)就显得尤为重要。
通常情况下，我们选择的代换变量应该能够使得被积函数在新变量下变得更简单。
步骤二：计算代换变量的微分根据代换变量 u = g(x)，计算出代换变量 u 关于原变量 x 的导数du/dx，并将其表示为 dx 的函数。
即计算 dx = du/g'(x)。
步骤三：将被积函数进行替换将原来的被积函数f(x)用u表示，即将f(x)替换为h(u)。
此时，原来的积分变为了以新变量u为自变量的积分。
步骤四：进行变量代换将原来的积分表达式中的 dx 替换为 du/g'(x)，即计算新的被积函数 h(u) 对 u 的积分 \`∫h(u) du\`。
步骤五：将u换回原变量将求得的新的积分结果以u的函数表示，并将u换回原变量x的函数表达式。
第三部分：换元法的特点和应用换元法的特点有以下几个方面：1.简化被积函数的形式：换元法可以通过合适的变量代换来简化被积函数的形式，使得积分计算更容易进行。
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探究定积分的定义，实现积分变量的替代
山东省莱州市第一中学 赵 凯
学生为主体，教师为指导的新的教学理念逐步的被广大教师应用于教学实践中，提倡学生积极主动，勇于探索的学习这也是新的课程改革的要求。
适时地提出问题，为学生创设探究思维的学习环境，是我们教育工作者面临的具有挑战性的任务。
通过对定积分的教学使我有了更深的体会。
定积分的有关内容是课程改革后新增加的，定义的理解又是学习掌握着部分内容的基础。
通过研究求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程，归纳出了定积分定义，得到：
⎰
b
a
f dx x )(=∞
→n lim
∑
=-n
i n
a
b 1
)(i f ξ。
借助定义求定积分，通过“四步曲”：分割，近似代替，求和，取极限显然比较麻烦，当然应用微积分基本定理是最好的方法。
如何把一个和式的极限转化成定积分的形式，是我们在教学过程中不得不向学生提出的问题，解决这个问题的关键就是对定积分定义的理解，引导学生对定义的再认识。
定义：如果函数)(x f 在区间[a , b]上连续，用分点
b a x x x x x n i i =<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=-110
将区间[a , b]等分成n 个小区间，在每个小区间[1-i x ，i x ]上任取一点i
ξ（i 1,2,3,n =鬃
）,作和式)(1
∑
=n
i i f ξx ∆=()i n
i f n
a
b ξ∑
=-1
当n ∞→时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()x f 在区间[a , b]上的定积分，记作
dx x f b
a
)(⎰。
在定义中，i ξ常常取第i 个小区间的左端点（或取为右端点），而在这里第i 个小区间通过师生的共同探究，我们发现它的表现形式如下：()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+--+
a b n i a a b n i a ,1
，i =n ⋅⋅⋅,2,1 积分上限正是这个区间的右端点()a b n
i
a -+
在i =n 时的值，积分下限正是它的左端点()a b n i a --+1
在=i 时的值，每个小区间的长度也正是,n a b -如果我们取n
a b x -=∆，
()a b n
i
a i -+=ξ ，那么积分式就是()dx x f
b a ⎰。
如果我们再进一步对上面的和式进行探究，
便会发现：
()()()i n
i i
n
i f n a b f n a b ξξ∑∑==-=-1
11
等号右边撇开系数 a b -，重新审视
()i
n
i f n ξ∑=1
1
，它的极限也可以用定分式表示出来。
事实上，取第 i 个小区间为：⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-n i n i ,1n i ⋅⋅⋅=3,2,1，积分上限是1，积分下限是0，每个小区间的长度是
n 1， x ∆取n 1，n
i
i =ξ，则有： ()()()i n i n i n
i n f n
a b f n a b ξξ∑∑=∞==∞=-=-111
lim lim ()()[]dx x a b a f a b ⎰-+-=10
不仅积分上下限改变了，被积分函数也相应的发生了改变。
比较上述两个结果，显然易得：
()()()[]dx x a b a f a b dx x f b
a
⎰⎰
-+-=1
①
这是因为
()[]()x x a b a a b /
/
-=-+，即()[]()dx a b x a b a d -=-+ ，所以
()()[]()[]()()[]()()x a b a d x a b a f dx a b x a b a f dx x a b a f a b -+-+=--+=-+-⎰⎰⎰1
0101
0，
令()t x a b a =-+，[]1,0∈x ，那么[]b a t ,∈，得
()[]()()()()dx x f dt t f x a b a d x a b a f b
a
b
a
⎰⎰⎰==-+-+1
，上面的①式成立。
实际上改变了第 i 个小区间的表现形式 ，和式的极限转化成定积分的形式也相应的发生了变化，不仅积分区间由[]b a ,变成了[]1,0，被积分函数也由()x f 变成了()[]x a b a f -+，积分变量x 也被()x a b a -+替代了。
这就为我们处理定积分问题中，改变积分变量，简化被积分函数提供了原始依据。
如：=
∑=∞
→n
i n n
i
n
1sin
lim
ππ
⎰
π
sin xdx 也可以写成
=∑=∞
→n
i n n i
n
1
sin lim
ππ
()⎰⎰=10
1
sin sin x xd xdx ππππ ，计算
⎰10
sin xdx ππ的值就可以先()⎰⎰=10
1
sin sin x xd xdx ππππ
在令x π=t 转化成
⎰10
sin xdx ππ=⎰
π
sin tdt （⎰=π
sin xdx ）。
应用信息技术，结合定积分的几何意义可以更直观地体现出来。
也容易理解:
()()()()()du u dt t t d t dt t t t x
x x
x ⎰⎰⎰⎰+-=+-=-+=+cos 10001cos 1cos cos 1sin cos sin
（令t u cos =）的道理了。
象这样，对一些疑难问题，引导学生究其实质，追根求源，使学生对定积分有了更高层次的认识。
发现数学规律，找到解决问题的途径，经历知识形成的过程，这是符合数学的认知规律，也是新课程改革的要求。