探究定积分的定义,实现积分变量的替代

探究定积分的定义，实现积分变量的替代

山东省莱州市第一中学 赵 凯

学生为主体，教师为指导的新的教学理念逐步的被广大教师应用于教学实践中，提倡学生积极主动，勇于探索的学习这也是新的课程改革的要求。适时地提出问题，为学生创设探究思维的学习环境，是我们教育工作者面临的具有挑战性的任务。通过对定积分的教学使我有了更深的体会。

定积分的有关内容是课程改革后新增加的，定义的理解又是学习掌握着部分内容的基础。通过研究求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程，归纳出了定积分定义，得到：

⎰

b

a

f dx x )(=∞

→n lim

∑

=-n

i n

a

b 1

)(i f ξ。 借助定义求定积分，通过“四步曲”：分割，近似代替，求和，取极限显然比较麻烦，当然应用微积分基本定理是最好的方法。

如何把一个和式的极限转化成定积分的形式，是我们在教学过程中不得不向学生提出的问题，解决这个问题的关键就是对定积分定义的理解，引导学生对定义的再认识。

定义：如果函数)(x f 在区间[a , b]上连续，用分点

b a x x x x x n i i =<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=-110

将区间[a , b]等分成n 个小区间，在每个小区间[1-i x ，i x ]上任取一点i

ξ（i 1,2,3,n =鬃

）,作和式)(1

∑

=n

i i f ξx ∆=()i n

i f n

a

b ξ∑

=-1

当n ∞→时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()x f 在区间[a , b]上的定积分，记作

dx x f b

a

)(⎰

。

在定义中，i ξ常常取第i 个小区间的左端点（或取为右端点），而在这里第i 个小区间通过师生的共同探究，我们发现它的表现形式如下：()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-+--+

a b n i a a b n i a ,1

，i =n ⋅⋅⋅,2,1 积分上限正是这个区间的右端点()a b n

i

a -+

在i =n 时的值，积分下限正是它的左端点()a b n i a --+1

在=i 时的值，每个小区间的长度也正是,n a b -如果我们取n

a b x -=∆，

()a b n

i

a i -+=ξ ，那么积分式就是()dx x f

b a ⎰。如果我们再进一步对上面的和式进行探究，

便会发现：

()()()i n

i i

n

i f n a b f n a b ξξ∑∑==-=-1

11

等号右边撇开系数 a b -，重新审视

()i

n

i f n ξ∑=1

1

，它的极限也可以用定分式表示出来。

事实上，取第 i 个小区间为：⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡-n i n i ,1n i ⋅⋅⋅=3,2,1，积分上限是1，积分下限是0，每个小区间的长度是

n 1， x ∆取n 1，n

i

i =ξ，则有： ()()()i n i n i n

i n f n

a b f n a b ξξ∑∑=∞==∞=-=-111

lim lim ()()[]dx x a b a f a b ⎰-+-=10

不仅积分上下限改变了，被积分函数也相应的发生了改变。比较上述两个结果，显然易得：

()()()[]dx x a b a f a b dx x f b

a

⎰⎰

-+-=1

①

这是因为

()[]()x x a b a a b /

/

-=-+，即()[]()dx a b x a b a d -=-+ ，所以

()()[]()[]()()[]()()x a b a d x a b a f dx a b x a b a f dx x a b a f a b -+-+=--+=-+-⎰⎰⎰1

0101

0，

令()t x a b a =-+，[]1,0∈x ，那么[]b a t ,∈，得

()[]()()()()dx x f dt t f x a b a d x a b a f b

a

b

a

⎰⎰⎰==-+-+1

，上面的①式成立。

实际上改变了第 i 个小区间的表现形式 ，和式的极限转化成定积分的形式也相应的发生了变化，不仅积分区间由[]b a ,变成了[]1,0，被积分函数也由()x f 变成了()[]x a b a f -+，积分变量x 也被()x a b a -+替代了。这就为我们处理定积分问题中，改变积分变量，简化被积分函数提供了原始依据。 如：=

∑=∞

→n

i n n

i

n

1sin

lim

ππ

⎰

π

sin xdx 也可以写成

=∑=∞

→n

i n n i

n

1

sin lim

ππ

()⎰⎰=10

1

sin sin x xd xdx ππππ ，计算

⎰10

sin xdx ππ的值就可以先()⎰⎰=10

1

sin sin x xd xdx ππππ