2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷

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江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题

06
解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
04
读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用

无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷(含答案解析)

无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1−i)=i，则复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由所确定的平面区域内整点的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个4.函数y=a−x与y=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.5.在中，，，则的面积为()A. B. C. D.6.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a=103，b=97，则输出n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 87.已知双曲线：x 2−y 24=1上一点P 到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为( ) A. 3B. 4C. 6D. 2+2√58.已知f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0； ⑤abc <4； ⑥abc >4．其中正确结论的序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑥C. ②③⑤D. ②④⑥二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =√2，CC 1=1，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是( ) A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分10. 已知(x +2)7=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+a 3(x +1)3+⋯+a 6(x +1)6+a 7(x +1)7，则( )A. a 5=21B. ∑(7i=0−1)ia i =0C. ∑i 7i=1a i =448D. a 0，a 1，a 2，…，a 7这8个数中a 6最大11. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1、F 2是双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 的横坐标为203 B. △PF 1F 2的周长为803 C. ∠F 1PF 2大于π3D. △PF 1F 2的内切圆半径为3212. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0，则下列说法正确的有( )A. 三棱锥P −B 1BM 的体积为定值B. 异面直线MN 与BC 1所成的角为60°C. AP +PC 1的长的最小值为√2+√6D. 点B 1到平面BCD 1的距离为2√23三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知二项式的各项系数和为，则的常数项为．14. 已知两条直线和互相垂直，则等于15. 底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为______时最省材料．16. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB =√3b ． (1)求角A 的大小；(2)若a =6，b +c =8，求△ABC 的面积． (3)若b =6，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18. 已知等差数列{a n }中，a 3a 7=−16，a 4+a 6=0 (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 3<a 2，S n 是数列{a n }的前n 项和，求{Snn}的前n 项和．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：A 1C//平面AB 1D ； (3)求二面角B −AB 1−D 的正切值．20. 北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，采用7局4胜制(若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格)，采用2−3−2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场)，以下是总决赛赛程：(1)若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为23，客场取胜的概率均为13，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；(2)根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关)，若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为12，设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X ，求X 的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=(x 2+mx +m)√1−2x ，(m ∈R)(1)当m =4时，求f(x)的极值．(2)若f(x)在区间(0,14)上单调递增，求m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l′：x =4的距离的比是常数12．(1)求点M 的轨迹C 方程；(2)设过点A(2,0)的直线l 与曲线C 交于点B(B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点P ，与y 轴交于点D ，若BF ⊥DF ，且∠POA ≤∠PAO ，求直线l 斜率的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：因为，所以，要使，只需．考点：集合的运算．2.答案：B解析：解：由z(1−i)=i，得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意画图如下阴影部分，所以阴影部分内部的整数点只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)(2,1)，(3,1)六个．故选：A．4.答案：C解析：解：∵在y=log a(−x)中，−x>0，∴x<0；∴图象只能在y轴的右侧，故排除A、D；当a>1时，y=log a(−x)是减函数，y=a−x=(1a)x是减函数，故排除B；当0<a<1时，y=log a(−x)是增函数，y=a−x=(1a)x是增函数，∴C满足条件；故选：C．用排除法，根据对数的真数大于0，排除A、D；讨论a的取值，排除B；从而得到正确答案．本题考查了函数的图象与对应函数之间的关系，是基础题．5.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于，，那么，那么可知则根据三角形的正弦定理，，然后结合三角形的面积公式可知，故选C．考点：解三角形点评：解决的关键是利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的面积，属于基础题。

江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试试题(二)(2021年整理)

12. 错误! 解析：易知 y＝sin2（x＋φ），即 y＝sin(2x＋2φ），∵ 图象过点错误!， ∴ sin错误!＝错误!，∴ 错误!＋2φ＝错误!＋2kπ 或错误!＋2φ＝错误!＋2kπ，k∈Z，即 φ＝ kπ 或 φ＝错误!＋kπ,k∈Z.∵ φ〉0，∴ φ 的最小值为错误!.本题考查普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二）数学
（满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 1。样本数据 x1,x2，…，xn 的方差 s2＝错误!错误!（xi－错误!）2，其中错误!＝错误!错误! i； 2. 锥体的体积公式：V＝错误!Sh，其中 S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分,共 70 分． 1. 已知集合 A＝{x|－1≤x≤1},则 A∩Z＝______________． 2 。若复数 z ＝（ 1 － i)(m ＋ 2i)(i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值为 ____________． 3. 数据 10,6，8，5,6 的方差 s2＝____________． 4。抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1，2，3,4 的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为 x,y，则错误!为整数的概率是________．
11. （0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数 f(x)＝－x2＋2x 的对称轴为 x＝1，∴ f(0)＝f(2），结合二次函数的图象可得 log2x<0 或 log2x〉2，解得 0〈x〈1 或 x〉4,∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞）．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．
(第 6 题) 5 。已知双曲线 x2 －错误! ＝ 1(m ＞ 0) 的一条渐近线方程为 x ＋错误! y ＝ 0, 则 m ＝ ______________． 6。执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________． 7. 底面边长为 2，侧棱长为 3的正四棱锥的体积为____________． 8。在等比数列{an}中，若 a1＝1，a3a5＝4（a4－1），则 a7＝__________． 9 。已知｜ a ｜＝ 1 ，｜ b ｜＝ 2 ， a ＋ b ＝（ 1 ，错误! ），则向量 a ， b 的夹角为 ____________． 10. 直线 ax＋y＋1＝0 被圆 x2＋y2－2ax＋a＝0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 ____________．

2022年江苏省无锡市天一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．02．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．635．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 26．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=7．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③8．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（） A ．2B 15C ．3D ．39．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．33B ．22C ．32D ．23310．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（）A ．6B ．7C ．8D ．912．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M C N 等于（）A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1256}，，，【答案】D 【解析】【分析】根据补集、并集的定义计算即可；【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x y <，则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，必有x y <”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.【详解】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件，故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件；故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（）A.B.C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模．【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4.设()1,3a =-，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则a 与c 的夹角余弦值为（）【答案】B 【解析】【分析】根据()1,3a =-，()1,1b =，表示c 的坐标，再由b c ⊥建立方程求得k ，得到c 的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-，()1,1b =，所以()1,3c a kb k k =+=-++，因为b c ⊥，所以()()11310k k -+⨯++⨯=，解得1k =-，所以()2,2c =-，因为8,10,22a c a c ⋅===，所以cos ,5102a c a c a c⋅===⋅⋅，所以a 与c . 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>的值等于（） A.95B.75C.65D. 3【答案】A【解析】【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则 1sin 222cos 2αα-++()12sin cos 21cos 2ααα=-⋅++()22sin cos 4cos ααα=-+189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A.【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（）附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100.050.010.0050k2.7063.8416.6357.879A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可.【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为700200140⨯=,女生有30020060⨯=.列出22⨯列联表有：故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7.25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，则该展开式中含9x 项的系数是（） A. 15- B. 5-C. 5D. 15【答案】B【解析】【分析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，令1x =，可得25(11)32a --=-，解得2a =，结合二项式展开通项公式，即可求得答案. 【详解】25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =，可得25(11)32a --= 故：5()32a -=- 解得：2a =故：()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为：()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为：()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=，可得1i r += 又05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩，由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩，由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（）A. (1,)+∞B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（）A. ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D. 22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值；对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10.直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（） A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】BC 【解析】【分析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可.【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳【答案】BD 【解析】【分析】根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知：2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%，2020年1月同比涨幅最大为5.4%，故A 错误，B 正确；根据环比折线图可知：2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨，故C 错误；2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题.12.抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（） A. |PM | +|PF |的最小值为3B. 抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C. 存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D. 若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上，所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______. 【答案】221105x y -=【解析】【分析】设所求双曲线方程为22126x y k -=，代入所过点的坐标，可求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=．故答案为：221105x y -=．【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b-=．14.已知) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】2y ex e =- 【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出0x >时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．【详解】) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >，30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得：3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-，可得1(1)2=f e e e =--故：2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是：()1y e e x +=-整理可得：2y ex e =- 故答案为：2y ex e =-【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ=______，若函数()f x 在[],a a -是减函数，则a 的最大值是______. 【答案】 (1). 6π (2). 12π 【解析】【分析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，结合诱导公式可求得ϕ的值，求得函数()y f x =的单调递减区间，由0x =属于该区间求得k 的值，再由区间的包含关系可求得a 的最大值.【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤，6πϕ∴=，令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，可得0k =，由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减，则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以，12512a a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得012a π<≤，则a 的最大值为12π.故答案为：6π；12π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OB C 中作11OM B C ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===, 因为1O 为三角形1AB E 的中心，所以111224323333B O B B ==⨯=在11Rt B OO 中，22111165333R OO B O =+=+=, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍，22.ABD CBD θ∠=∠= （1）若∠ABC =2π，求sin sin A C 的值；（2）若BC 2，AB =3，求边AC 的长. 【答案】（13217 【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可；（2）由题设条件结合三角形面积公式得出2cos 2θ=，进而得出334ABC πθ∠==，最后由余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，22ABD CBD θ∠=∠=，所以6πθ=.所以11sin 3sin 2326AB BD BC BD ππ⋅=⨯⋅，所以sin 3sin 3BC A AB C ==；（2）因为11sin 23sin 22AB BD BC BD θθ⋅=⨯⋅，即2cos 3AB BC θ= 所以2cos 2θ=,所以4πθ=，334ABC πθ∠==2292232172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以17AC =.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.给出以下三个条件:①数列{}n a 是首项为 2，满足142n n S S +=+的数列；②数列{}n a 是首项为2，满足2132n n S λ+=+（λ∈R ）的数列； ③数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列.. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =+++，21++=n n n n n c b b ，求数列{n c }的前n 项和n T ；（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】见解析【解析】【分析】先根据所填条件求出数列{}n a 的通项公式，再依次求{}n b ，{}n c 的通项公式，由111(1)1n c n n n n ==-++，用裂项相消求数列{n c }的前n 项和n T 即可.【详解】选①，由已知142n n S S +=+（1），当2n ≥时，142n n S S -=+（2），（1）-（2）得：()1144n n n n a S S a +-=-=，即14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+，由12a =，所以22422a +=⨯+，所以28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=，2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++，所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②，由已知2132n n S λ+=+（1），当2n ≥时，21132n n S λ--=+（2），（1）-（2）得，21212132232n n n n a +--=-=⋅，即212n n a -=，当1n =时，12a =满足212n na -=，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①；选③，由已知132n n S a +=-（1），则2n ≥时，132n n S a -=-（2），（1）-（2）得13n n n a a a +=-，即14n n a a +=，当1n =时，1232a a =-，而12a =，得28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n 项和.19.如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.（1）求证：//DA 平面EBC ；（2）若3BAC π∠=，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）15【解析】【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，推导出EH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ，再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ；（2）推导出四边形DAHE 为矩形，然后以点H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值.【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ，因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面ABC ，又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ；（2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2DEB DEC π∠=∠=，由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =，所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥，所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AHEH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a . 设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =，又(),3,0AB a a =-，()0,0,2AD a =.由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，得()3,1,0m =.设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =，因为(),3,2BD a a a =-，(),0,2BE a a =-.由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222232020ax ay az ax az ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =；设二面角A BD E --的平面角为θ，则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅，由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --的余弦值为15【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ 为正方形，△PF 1F 2的周长为()221.+（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16，证明：直线恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据四边形MNPQ 为正方形，可得到关于,a b 的一个方程，由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C 的方程.（2）对直线l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论. 【详解】解：（1）如图所示，设点()00,N x y ，由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ，因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以2220043x x b +=，即22023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，所以2200221x x a b+=，即2222133b a +=，所以2212b a =①，又△PF 1F 2的周长为)21，即)2221a c +=②，由①②解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上，所以2212A y m +=，即2212A y m =-，所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222124220kxkbx b +++-=，所以122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+，则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，将122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得： 121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-，解得，2b =-，所以直线l 恒过定点()0,2-.【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ （1）若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-，求a ；（2）若a e ≥，且x 1，x 2是()f x 的两个极值点，证明：()()()221212122f x f x x x e +<+-（其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈）【答案】（1）1a =-（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调性，再由最值，解出a 的值；（2）由题意结合韦达定理得出122x x a +=，122x x a =，2221244x x a a +=-，将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++，构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，利用导数得出其最大值，进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解：（1）()f x 定义域是0,，222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+，对称轴00x a =<因为1a >，()110g =>，所以当[]1,x e ∈时，()0g x >，即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.（2）由()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()'0f x =在0,有2个不等的实根即2220x ax a -+=在0,有2个不等的实根，则2480a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得2a >.122x x a +=，122x x a =，()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时，()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=，当a e ≥时，()'0h a <，所以()h a 在[),e +∞单调递减. 所以()()h a h e ≤即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-< 所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）ˆ0.320.08y t =+，20000人.（2）（i ）11万元，6.8（ii ）13.6万元【解析】【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将6t =代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）（i ）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；（ii ）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价. 【详解】解：（1）根据题意，得：3t =， 1.04y =52155ii t==∑，5118.8i i i t y ==∑5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时，2y =.所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人. （2）（i ）根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）. 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=.（ii ）竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.。

江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析

江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π 【答案】B 【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC 的外接圆圆心2sin 332BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 4．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ix e x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.8．已知α22sin αα=，则cos2α等于（）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 B ．2C ．22D 3【答案】C 【解析】【分析】【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =，又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==，设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以22sin AFx ∠=，所以直线l 的斜率tan 22k AFx =∠=C ．12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠
肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（）
得
1 2
x
3
，其解集为
(
1 2
, 3)
，于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) ， 2
对于 A，A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ，A 不是； 2
对于 B，B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含，B 不是；
2
2
5
对于 C，C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ，C 是； 2
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（）
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 4 ， AD BC 5 ， E 为 CD 的中

江苏省天一中学2021届高三新高考统一适应性考前模拟试题(解析版)

2021届高三新高考统一适应性考试江苏省天一中学考前热身模拟试题高三英语本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)请听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一个小题，每段对话读一遍。

1.How does the woman's father go to work?A. By bus.B. By subway.C. On foot.2.Where does the man probably stop the car?A. At a parking lot.B. At a gas station.C. On the way.3.What's the weather normally like in Chicago?A. Cold.BWarm.C.Rainy.4.What does the man think about the boating race?A. Disappointing.petitive.C.Meaningful.5.What does the man want to donow?A. Return a ticket.B. Deal with an emergency.C. Catch a train.第二节（共15小题；每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

2021届八省市高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题解析

绝密★启用前2021届八省市高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-答案：C【分析】直接由交集的定义求解即可解：解：因为{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，所以{05}A B x x ⋂=≤<，故选：C 2．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1答案：C【分析】直接利用复数的基本概念得选项.解：1343434252525i z i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=，故选C.点评：该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目. 3．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63答案：A【分析】先利用三角函数的平移变换的应用得2()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦型函数单调减区间的整体思想的应用求出结果即可．解：把()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后，得到()sin(2)2g x x ϕπ=-+=sin(2)6x π+的图象， 0ϕπ<<，23πϕ∴=，即2()sin(2)3f x x π=+.令2222,232k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，可得函数()f x 的一个单调减区间为,]1212π5π[-. 故选：A ．4．设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要答案：C【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.解：()(3lg f x x x =+定义域为R ，()(3lg f x x x -=-+-()()((33lg lg lg10f x f x x x x x +-=+-+-==，函数为奇函数易知：3,lg y x y x y x ===在()0,∞+上单调递增，且()(300lg 00f =+=故()f x 在R 上单调递增当0a b +≥时，()()()()()0a b f a f b f b f a f b ≥-∴≥-=-∴+≥，充分性；当()()0f a f b +≥时，即()()()0f a f b f b a b a b ≥-=-∴≥-∴+≥，必要性；故选：C点评：本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.5．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两答案：C【分析】根据题意，设五人所得的钱数等差数列{}n a ，设公差为d ，根据110.4a =，5 5.6a =，得到d ，从而得到234,,a a a ，得到答案.解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ，则110.4a =，5 5.6a =，设公差为d ，所以514 5.6a a d =+=，即10.44 5.6d +=，解得 1.2d =-，可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=；31210.4 1.228a a d =+=-⨯=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-⨯=，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C.点评：本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题..6．函数()f x =A ．B ．C ．D ．答案：C【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．解：f （﹣x ）2x x1x e e--+==-+f （x ），即f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当x ＞0时，f （x ）＞0恒成立，排除A ，D 故选C ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．7．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A 21e e+-B 221e e +-C 21e e --D ．11e e+- 答案：A【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 解：依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e xe e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e xe e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

无锡市天一中学2021-2022学年高二上学期第一次教学质量监测数学试题

无锡市天一中学2021-2022学年度高二上学期第一次教学质量监测数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－84.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14- B.38+ C.14D.486.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.38.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.74C.916D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D.O ，A ，B ，C 四点不共面10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为22，四边形12A PA Q 内切圆的周长为26π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形12.设1e ，2e为单位向量，满足1222e e -≤12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有233AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．无锡市天一中学2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高二数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由题意可得{}1B x x =<-，则{}()212,1A B x x ⋂=-<<-=--.故选：A 2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<【答案】D 【解析】【分析】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，由此求得不等式的解集．【详解】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，解得11x -≤<，故不等式的解集为{|11}x x -≤<，故选：D ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－8【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，由2()(3x f x f x +=+，得到2()()3x f x f x +=+，再由函数在（0，＋∞）上为单调函数，得到23x x x +=-+或23x x x +=+求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()=()f x f x f x -=，又函数的图象是连续不断的，且在（0，＋∞）上为单调函数，2()()3x f x f x +=+，所以2()()3x f x f x +=+，所以23x x x +=-+或23x x x +=+，即()24203x x x ++=≠-或()22203x x x +-=≠-，设()24203x x x ++=≠-的两个根为m ，n ，则4m n +=-，()22203x x x +-=≠-的两个根为a ，b ，则2a b +=-，所以所有实数x 的和为-6.故选：A4.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =，解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2cos 04444f πππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确；故选：A5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14-B.38+C.14D.48【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知112sin184BCAC︒==，所以()2sin126sin 9036cos3612sin 18︒=︒+︒=︒=-︒2131121444⎛⎫--+=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C6.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：利用万能公式、余弦定理可得222a c b +=或222+=a b c ，结合已知进一步讨论所得结论，判断三角形的形状；法三：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一：∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②.①÷②，得：p b a a cp a b c b-+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，得()122a abc a ca c c ==+++⋅，即42a a c a c=++，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c bb c a c b +-=++-，整理得()()0a b a b c -+-=，又a b c +>，∴0a b -=，即a b =，因此，△ABC 为等腰直角三角形．法二：由万能公式，得：221tan 2cos 1tan 2AA A-=+，221tan 2cos 1tan 2BB B -=+．又tan 2A a b c =+，tan 2B b b c=+，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，从而可得22222121a b c a b c bc a b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭①，22222121b a c b b c ac b b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭②，由①式，得()()22222222b c ab c a bc b c a+-+-=++，利用等比定理，得()()()222222222222b c a b c a b c abcb c a bc+--+-+-=++-．即22222222b c a bcbc b c a +-=++，进而得()2224224b c a b c +-=，即()2224b c a -=．∴222b c a -=或222b c a -=-，即222a c b +=或222+=a b c ，（l）若222a c b +=，可知②式不成立；（2）若222+=a b c ，②式可化为()()22222222b c b a c bacb c b+-+-=++，即()()()()222222b c c a a c b c c a +--=++-，从而得()()()()222222a b c a c a c b c c c a ++-=+--，进而得()()()()2220b c a c c a a c +-+-+=，于是()()()20a c b a b a c --++=，∵20b a c ++>，c a >（由222+=a b c 即可推得），∴a b =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．法三：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos 1cos A BA B =++①，sin sin 1cos sin sin B BB A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A A C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ----=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠．∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，代入③得π1cos sin sin 2A A C ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即sin 1C =，∴π2C =，把π2C =代入④，得cos sin B A =，∴π4A B ==，△ABC 为等腰直角三角形．故选：D7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.3【答案】B 【解析】【分析】连接1BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，判断出当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.分别求出1120AA C '∠=︒,111,2AA A C '==,利用余弦定理即可求解.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥.当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-+-⨯⨯,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.8.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.4C.916D.2【答案】B 【解析】【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D .O ，A ，B ，C 四点不共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据OA ，OB ，OC 为空间的一个基底，由基底的定义逐项判断.【详解】因为OA，OB，OC为空间的一个基底，所以OA ，OB ，OC不共面，即O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线，且四点不共面，故选：ACD10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为，四边形12A PA Q 内切圆的周长为π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=【答案】AB 【解析】【分析】由四边形12A PA Q 的面积为ab =，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形12A PA Q 的面积可求出c ，进而得到关于a ，b 的两个方程，联立求解即可得答案．【详解】解：因为四边形12A PA Q的面积为所以1222a b ⨯⨯=ab =，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则262ππ3r =，得63r =．又142cr ⨯=，所以c =又2223c a b =+=，联立可得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为2212x y -=或2212y x -=．故选：AB.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBC S S S S ∆∆∆∆>>，可判断；选项D ，设,,PA x PB y PC z ===，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断.【详解】如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，则PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设,,DE a DI b DP c ===则222222sin sin sin 1αβγ++=++=，故选项A 正确；222222cos cos 2cos αβγ++=++=，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN 由三垂线定理可得，MN AB⊥由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON>故PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBCS S S S ∆∆∆∆>>PAB PAC PBC ABC OBC OAC OABS S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++故选项C 正确；不妨设,,PA x PB y PC z ===，则AB AC BC ===在ABC ∆中，222cos 0,cos 0,cos 0A B C ===因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力，属于较难题12.设1e ，2e 为单位向量，满足122e e -≤ 12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1【答案】CD 【解析】【分析】设单位向量1e ，2e的夹角为α，根据已知条件122e e -≤，求出3cos 14α≤≤，然后利用夹角公式可将2cos θ表示成关于cos α的函数，利用不等式的性质求出其值域即可.【详解】设单位向量1e ，2e的夹角为α，由122e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+ ，123b e e =+ ，||a ∴==r，同理||b =r 且44cos a b α=+⋅r rcosb b a a θ∴==⋅⋅rr r r =244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++3cos 14α≤≤Q ，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将2cos θ表示成关于cos α的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.【答案】1415【解析】【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.【详解】由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为114()1()11515P A P B =-=-=.故答案为：1415.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离，所以62i z --的最小值为11514PC -=-=-=．故答案为：4．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．【答案】-1【解析】【分析】设新数据的平均数为1x ，方差为21S ，可得131x x =+，2219S S =，由新数据的平均数比方差大4可得23194x S +=+，可得21133S x =-，代入22S x -可得其最大值.【详解】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21S ，可得：131x x =+，2219S S =，由新数据平均数比方差大4，可得23194x S +=+，可得21133S x =-，可得：222211111(63336S x x x x -=-=----，由211033S x =-≥，可得1x ≥，可得当1x =时，可得22S x -的最大值为：2111(11636---=-，故答案为：1-.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．【答案】3-或4333-【解析】【分析】由边角互化可得,(cos cos 03c a b c A a A +=-+=,所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.分两种情况将AO x AB y AC =+两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.【详解】由正弦定理得(cos cos 0c A a A +=，所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，由条件得233c a b +=，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.当,a c b ==时，23cos 2AB AC bc A c⋅== 由AO x AB y AC =+ ，得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即2221322c x c y c =⋅+⋅，所以231x y +=.——————————————①同理，由AO x AB y AC =+ ，得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即2221322b x c y b =⋅+⋅，即2221122b x b y b =⋅+⋅，所以21x y +=.——————————————②联立①②解得1,1x y =-=.故23x y -=-.当5,a c b ==时，同理可得231x y +=——③，189x y +=——④解得43233x y -=-.故答案为：3-或4333-.【点睛】（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；（2）若O 为ABC 的外心，则有221122AO AB AB c ×==，221122AO AC AC b ×==；（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得,x y 的关系式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.【答案】（Ⅰ）5m <;（Ⅱ）455MN =.【解析】【详解】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围;(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为()()22x 1y 25m-+-=-令5m 0->,所以m 5<（Ⅱ）圆()()22C :x 1y 25m -+-=-,圆心()C 1,2,半径r =圆()()22D :x 3y 116+++=圆心()C 1,2,半径r 4=因为圆C 与圆D 相外切4=+解得m 4=圆心()C 1,2到直线l :x 2y 40+-=的距离为d 5==所以MN 5==18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.【答案】（1）(2,4)-；（2）5-.【解析】【分析】（1）设(),b x y =r ，结合已知条件，解得,x y 即可；（2）先求a =r 5a b ⋅=- ，化简22()(2)2a b a b a a b b -⋅--⋅+= 计算即可.【详解】（1）设(),b x y =r ， ||b = ，2220x y ∴+=①，且(1,2)=- a ，若b a λ= ，得()(),1,2x y λ=-，,2x y λλ∴==-②，联立①②，解得2520,0,2λλλ=<∴=- ，2,4x y ∴=-=，即()2,4b =-.（2） (1,2)=- a ，∴a ==，且||b = ，若a 与b的夹角为23π，∴21cos 532a b a b π⎛⎫⋅==-=- ⎪⎝⎭，∴()22()(2255205)2a b a b a a b b -⋅+-⋅-=⨯--=--= .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题．19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+.12n n b =（2）3772nnn T +=-【解析】【分析】(1)由5342b b b =-列出方程求出q ，即可求得{}n b 的通项公式，由949S b =，利用等差数列的性质可求出516a =，从而求得d ，最后得到等差数列{}n a 的通项公式；(2)由n n OP OQ ⊥可得210n n n n n a b b c +--=，将{}n a 和{}n b 的通项公式代入上式求出{}n c 的通项公式，用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，∵5342b b b =-，∴221q q =-，得12q =，1q =-（舍），因为112b =，所以1112n n n b b q -==.∵949S b =，∴541992a ⨯=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d -===-，∴()41331n a n n =+-⨯=+.（2）由（1）得31n a n =+，12n nb =.∵n n OP OQ ⊥ ，∴210nn n n n a b b c +--=，∴312n nn c +=.234710312222n n n T +=++++ ，①①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++⋅⋅⋅+，②①-②得231433*********n n n T n ++=+++⋅⋅⋅+-23111111313222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭111113122312212n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--173722n n ++=-.∴3772n nn T +=-.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题.20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【答案】（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为q ，显然q >0，q ≠1.所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=，所以21616450q q +-=，解得54q =或49q =-（舍去），所以154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过n 年，总投入为41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t -+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得454lg 42lg 2(lg 3lg 5)3lg 2lg 3115log 5.94152lg 2lg 53lg 21lg 5n -+-->===≈--由此得n ≥6.所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入.21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）27979.【解析】【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，2AC =，O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且2OB =；在MAC △中，因为2M A M C A C ===，O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且6OM =；在MOB △中，因为2OB =，6OM =，2MB =，所以222BO OMMB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O = ，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====，2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M，AM =，(BC = ，由23BN BC = ，得222(,,0)33N ，则252,,0)33AN = ，设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则2520330AN m x y AM m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令y =(1)m =-- ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB =为平面AMC 的一个法向量，设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ=〈〉=因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin 79θ==．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC'=所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=;（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

八省联考江苏天一中学考前热身模拟试题(一)数学解析

2021届高三新高考统一适应性考试江苏省天一中学考前热身模拟试题数学试题一､选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-【答案】C【解析】由已知得{05}AB x x =≤<，故选C2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】由已知得342525z i =-，z 的实部为325，虚部为425-，共轭复数为342525i +，模为不为模为15，故选C3．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63【答案】A【解析】由已知得()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<向右平移4π个单位长度得到()sin(2)2g x x πϕ=+-，所以2=+2=2263k k πππϕπϕπ-+，(0)ϕπ<<，∴2=3πϕ，()sin(232)f x x π=+，()f x 的单调减区间是123222322k k x πππππ≤++≤+，即151212x k k ππππ-≤≤+，A 选项符合题意4．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得()f x 为奇函数，0a b +≥，a b ≥-，()()f a f b ≥-，即()()0f a f b +≥，故选C 5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C6．(本题5分)函数2()x x f x e e-=+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式可知得(()f x f x -=-为奇函数，且定义域为[]3,3-，0x >，则中()0f x >恒成立，故选C7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）ABCD ．11e e+- 【答案】A【解析】依题意，圆心为1(,0)C e e+，设P 点的坐标为(,ln )x x ，由两点间距离公式得()22222211||ln 21+ln PC x x x e x e e e e e x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦+,21()2+f x x e x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22+ln 1x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，12ln ln ()22+2()x e x x f x x e x e e x ex -⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，()0,f x x e '==，2ln ln 1ln =e x x x x ex x x ''--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知当()ln 0,,x x e x ∈递增，()ln ,,x x e x ∈+∞递减，故当=x e 时取得极大值也是最大值为0，ln 10x x e-≤，当()0,,x e ∈()0f x '≤，当(),,x e ∈+∞()0f x '≥，()0,f x x e '== ()0,,x e ∈()f x 单调递减，(),,x e ∈+∞()f x 单调递增，∴2min21()()e f x f e e+==，线段PQ 的长度的最1e e=，故选AA ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和0123456666666662=64C C C C C C C ++++++=,令=1x ，即可得到所有项的系数和为60=0，含有常数项为()3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,01234566666666,,,,,,C C C C C C C 中最大的项为36C ，第4项，，故选ABD9．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =- 【答案】BC【解析】由题意可知，7+0,+,6122k k Z ωππωπϕϕπ-==+∈，即41()32k ω=+，6πωϕ= 252212312T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，则=1k ，此时23πωϕ==，，()sin(2)3f x x π=+，∴26x ππ<< ∴242333x πππ<+<，∴()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误，由592+3=206πππ⨯，∴59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确，∴,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，min ()=()=4f x f π- 1sin()62π-=-，max ()=()=sin =1122f x f ππ，∴最大值与最小值的和为12，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到sin()3y x π=+的图象，再向左平移6π个单位，得到sin()=sin()=cos 632y x x x πππ=+++，即()cos g x x =故D 错误，BC 正确 10．(本题5分)下列结论正确的是（）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1). 【答案】BD【解析】A 、ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则ν是平面α的一个法向量；但=0λ时，()R λνλ∈为零向量，不是平面α的一个法向量B 、过点00(,)P x y 的直线方程为22+0(0)Ax By C A B +=+≠可得00+0Ax By C +=，即00C Ax By =--，代入直线方程得2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠，故B 正确；C 、直线l 方程为过点3(2)y k x -=+，原点到l 的距离是2，则32k d ，解得5=12k ±的方程是512260x y +-=，故C 不正确D 、设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)(2020,0)-、、 (0,4078380)，由相交弦定理得：20192020=20192020a ⨯⨯⨯，解得：=1a ，故另一个交点坐标为(0,1)，故D 正确11．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】解：∴数列{}n a 为递增数列，∴123a a a <<，又∴12n n a a n ++=，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩， ∴12123212244a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，∴101a <<，故A 正确.∴()()()22123421226102(21)2n n n S a a a a a a n n -=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=又∴{}n b 均为递增数列，∴123b b b <<，∴12(N)nn n b b n +⋅=∈∴122324b b b b =⎧⎨=⎩，∴2132b bb b >⎧⎨>⎩ ∴11b <，故B 正确.又∴()()12212213521242(21)(21)+2121n nn n n n b b T b b b b b b b b b b ---=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+=--()()))12212121nnnb b +-≥--，∴对于任意的*n N ∈，22n n S T <，故C 正确，D 错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 12．(本题5分)下列命题：∴2:,10p x R x x ∀∈++≥；∴000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；∴():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；∴:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)【答案】∴∴【解析】∴2=14010x x ∆-<++≥，为真命题，∴sin cos 2sin +24x x x π⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，不存在0x R ∈，使得00sin cos 2x x +=，为假命题，∴()1),()(1x x g x e x g x e '=+=--，当()0,()0x g x '∈-∞<，，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，即1x e x >+为真命题，∴若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若=0ab ，则=0a 为假命题13．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______. 【答案】-6480【解析】有关23ab c 的项为()()()()23231232323236532360236480C a C b C c ab c ab c ab c⋅⋅-=⋅⋅-=- 14．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【答案】22【分析】根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果.【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，因为Q 在PAD △内及边上，所以AB QA ⊥，CD QD ⊥，所以tan CD CQD DQ ∠=，tan AB BQA QA =，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD ABDQ QA=，因为2,CD AB ==，所以QD =，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：则(1,0)D -，(1,0)A ，(1,3)P ，设(,)P x y，则||DQ =||QA =QD ==22(3)8x y -+=，所以Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，如图所以，当Q 为圆22(3)8x y -+=与PA 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令1x =，解得2y =±，所以点Q到DA 的距离最大为2，也就是三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，因为122ABC S ==△以三棱锥Q ABC -的体积最大值为1233⨯=.故答案为：3.15．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___. 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【答案】0 1010【解析】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x ，111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n ，令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增，+1()log 302=-<n n f n n n ；+1()1>02=n f ，由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=【点睛】关键点点睛：在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题15分)在ABC 中，3A π=，b =∴、条件∴这两个条件中选择一个作为已知，求（∴）B 的大小；（∴）ABC 的面积 .条件∴：222b a c =+；条件∴：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件∴和条件∴分别解答，按第一个解答计分.【答案】（∴）4B π=（∴【分析】若选择条件∴：222b a c +=+. （∴）根据余弦定理求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.若选择条件∴：cos sin a B b A = （∴）根据正弦定理可求出4B π=；（∴）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.【解析】若选择条件∴：222b a c +=+.（∴）因为222b ac =+，由余弦定理222cos a c b B +-==，因为()0,B π∈，所以B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12222=+⨯=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△. 若选择条件∴：cos sin a B b A=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（∴）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+4=，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.17．(本题12分)已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a na n +=+数列{}nb 是等比数列，并满足12b =，且11b -，4b ，51b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=；2nn b =（2）()1122n n S n +=-⋅+. 【分析】（1）由数列{}n a 的递推公式判断数列{}n na 是常数列，从而求得{}n a 的通项公式，根据11b -，4b ，51b -成等差数列，列式求数列的公比q ，再求通项公式；（2）由（1）可知 2n nn nb c n a ==⋅，利用错位相减法求和.【解析】（1）由已知11a =，()11n n na n a +=+，所以{}n na 是常数列，所以111n na a =⋅=，故1n a n= 设{}n b 的公比是q ，由已知得()()415211b b b =-+-，所以3442q q =，所以2q，故2n n b =（2）由题意可知：2n nn nb c n a ==⋅，又121n n n S c c c c -=+++，代入可得：()1211222122n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅……∴()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅……∴ ∴-∴得：()123111212222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--所以()1122n n S n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.18．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD =．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）7【分析】（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由,BE BC AB BE B ⊥⋂=，得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠= 由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -，则()()()(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C EA (D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,140,33y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =则0,9y x ==，所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，由（1）知EA ⊥平面ABCD，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量.设二面角F AD C --的平面角为α，由图知α为锐角，则cos 23EA n EA nα⋅===⨯⋅所以二面角F AD C --.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.19．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2N ,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.【答案】（1）(1)0.016P X =≈，() 5.442E X =；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可. （2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可. 【解析】（1）由题意知：0.0470.6x ⨯=. ∴(2,](70.620.06,70.610.03](50.54,80.63]μσμσ-+=-+=，而11(2)()(22)0.818622P k P k P k μσμσμσμσμσμσ-≤+=-≤++-≤+=＜＜＜. 从而质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的概率为0.1814.因此12930(1)(0.8186)0.1814300.00300.18140.0163260.016P X C ==⨯≈⨯⨯=≈X 的数学期望为()300.1814 5.442E X =⨯=.（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k 与对应概率如下表所示：(14)t <<故每个包装胶带的利润50.1630.320.40.10.20.22y t t t t e e =⨯+⨯+⨯+⨯-=-+ 则()0.2 2.60.213tty e e '=-+=--，令0y '=，得ln13t =，故当(1,ln13)t ∈时，0y '>，当(ln13,4)t ∈时，0y '<，所以当ln13 2.6t =≈时，y 取得最大值，ln13max 0.2 2.6ln13 2..6 2.6 2.6 4.16y e =-+⨯≈-+⨯=（元），由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.1610004160⨯=（万元），而4160万元5000<万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.20．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，该点坐标10(3-,0)【分析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．【解析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由32OP =，123·4PF PF =-可得2294m n +=，(,)(,)c m n c m n ----22229344m c n c =-+=-=-，即有23c =，即c =，又c e a ==，可得2a =，1b ==，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ,2)y ，由题意可得(2,0)M -，若直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即120y y >，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．联立椭圆方程2244x y +=，化为：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，∴∴22226416(14)(1)0k m k m =-+->，化为：2214k m +>．122814km x x k ∴+=-+，21224(1)14m x x k-=+．由2παβ+=，可得tan tan 1αβ=，∴1212·122y y x x =++， 1212()()(2)(2)kx m kx m x x ∴++=++，化为：221212(1)(2)()40k x x mk x x m -+-++-=，222224(1)8(1)(2)()401414m km k mk m k k -∴-+--+-=++，化为22316200m km k -+=，解得2m k =，或103m k =． ∴直线AB 的方程可以表示为2y kx k =+（舍去），或103y kx k =+，则直线AB 恒过定点10(3-,0)．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．21．(本题12分)已知函数cos ()(,a xf x b a x=+b ∴R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+(i )求f (x )的解析式; (ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 【答案】（1）单调递减函数；（2）(i ) 3cos ()1xf x x=-； (ii ) 3个，理由见解析. 【分析】（1）当1,0a b ==时，求得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-，进而得到()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调性；（2）(i ) 求得函数的导数()'f x ，求得2()2af ππ-'=，得到26aππ-=-，求得a 的值，进而求得b 的值，即可求得函数的解析式； (ii ) 令()()312g x f x π=-+，求得()23(sin cos )x x x x g x -+'=，分(0,]2x π∈，3(,)22x ππ∈和3[,2]2x ππ∈三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【解析】（1）当1,0a b ==时，cos ()x f x x =，可得2sin cos ()x x xf x x⋅+'=-，因为(0,)2x π∈，所以sin cos 0x x x ⋅+>,即()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,)2π上为单调递减函数.（2）(i ) 由函数cos ()a x f x b x=+，可得2(sin cos )()a x x x f x x -⋅+'=，则2()2a f ππ-'= 因为函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为62y x π=-+，所以26aππ-=-，解得3a =，当2x π=，代入切线方程为6212y ππ=-⨯+=-，可得()12f b π==-，所以函数()f x 的解析式为3cos ()1xf x x=-. (ii ) 令()()33cos 3122x g f x x x ππ+=-=-，则()23(sin cos )x x x x g x -+'=，∴当(0,]2x π∈时，可得()0g x '<，()g x 单调递减，又由330(,022)()62g g πππππ->-=<=，所以函数()g x 在区间(0,]2π上只有一个零点；∴当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，可得()3cos 302x x g x π-=<恒成立，所以函数()g x 在区间3(,)22ππ上没有零点；∴当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，可得()cos 0h x x x '=>，所以()h x 在区间3[,2]2ππ单调递增，3(2)0,()02h h ππ><，所以存在03[,2]2x ππ∈，使得()g x 在03[,)2x π上单调递增，在0(,2]x π单调递减，又由(2)0,()02g g ππ=<，所以函数在3[,2]2ππ上有两个零点，综上可得，方程3()12f x π=-在(0,2]π上有3个解. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

天一大联考2020-2021学年高三阶段性测试(二)数学试题(含答案解析)

试卷类型:断高两版天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（二）考生注炼；1 .茶黑前,考生务必将由己的姓名、得生号附将在试总和答题卡上，畀将考生号备沙马格贴在卷题卡上妁指定拉工.2 .回答选株越时，选出毋小题答第后,用能比把茶题卡对应始口的冬拿标号涂黑•如£改动，用他戌擦干号后,再选涂其他答案标号.叫等非选舞题时，将答案写在芥题卡上・将在本试落上无效・3 .才被结束后，将本试落和在会卡L 外交囱.一,余项洁播超:本题共8小第，每小22 s 分，共40分.在每小册给出的四个洁项中■只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 二卜12-»<8| ,B = {3]>51,财 4U& = A.（5,8）B.（2,8）C. [2f ♦«）D.（ -8,8）2・若发数中铝f 网周=3 .已知i 。

」是公差为-2的等差数列.且5 ,明，勾成等比数列J1，1 A. -1 B.3C.250.494 .已知△48C 是边长为2的等边三角形•其中M 为8c 边的中点，乙招C 的平分线交线段AM 于点M 则AM •前之 A.B. -5C 一本D, -14 3 w5 .若函数式*） = cos x-^sin x #（ -a,a ）上有最大值,用。

的取值苞陶足A,信，fB.侍“） C 信用D.（普）6 .已知定义在R 上的儡函数/“）在（-,0）上单词递增，明 A./（2--） vf （l 崛6）（人岫 y ） BH2"*） </（1% </0叫6） C0吗6） <42"号）y ） D,/Q 隰6> /） <式2 +）7在三梭他/ -88中,AC =。

,点E 是4）的中点，则“平面雨口平面月CD”是“月6 = 6。

”的A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件D.既不充分也不必要条件8 .已知定义在R 上的曲数/（"满足/"） =4 -/（2 -G,若函数Y 与函数了 =〃幻的图象的交点为 .（*（ ,夕J,（孙必），…■（&，九），则工（与*7*）= A. nB.争C.3nt>.6n二、多项选择题;本题共4小题,将小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,9 .将函数y = 86 2名的图象上所有点向左平移上个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y 二人动的图绝容★启用前象，则⑷的图象的对称轴方程为刀二-泰+竽(A w Z)B J0)的图象的对称中心坐标为(竽+赤0)a W为C.汽乃的单调递增区间为［-碧+。

八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题(二)(含答案解析)

八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}1B x x =≥，则()UAB =（）A ．{}0x x >B ．{}1x x <C ．{}2x x <D ．{}01x x <<2．设53a -=，3log 0.2b =，2log 3c =，则（） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>3．已知sin α=()cos αβ-=，且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）A B C D 4．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（） A ．1360B ．16C ．115D ．7156．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m7．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦C ．1,33⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎢⎪⎣⎭8．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（）A ．1BC ．3D ．13-二、多选题9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A是两两互斥的事件 10．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=-11．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 12．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（） A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x = B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a = C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、填空题 13．若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.14．已知ABC 的外心为,34O AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B 的取值范围是_____________.15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.四、双空题16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.五、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n nS +=，数列{}n b 满足：2log n n a b =，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1,?(2) 2,? nn nn a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求2n T .18．已如函数()()2ππsin 2cos 12f x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2f A =，2a =，求ABC 面积的最大值．19．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.20．如图1，矩形ABCDBC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △ 向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A -BE -D 的正弦值.21．已知椭圆C .22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px Γ=：（0p >）共焦点，以椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，经过F 2的直线交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且满足22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭.（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;（2）若点D 在第三象限，且点A 在点B 上方，点C 在点D 上方，当△BF 1D面积取得最大值S 时，求212F F F B ⋅的值. 22．已知函数()()xf x xex =∈R ，其中e 为自然对数的底数．（1）当1x >时，证明：()()211ln 231f x x x x x --->-+；（2）设实数1x ，()212x x x ≠是函数()()()2112g x f x a x =-+的两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】解出集合A 中的不等式，然后可得答案. 【详解】因为{}{}220=02A x x x x x =-<<<，{}1B x x =≥所以{}1UB x x =<，所以()U AB ={}2x x <故选：C 2．D 【分析】利用对应指对数函数性质即可判断a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3x y =的性质知：01a <<，由3log y x =的性质知：0b <，由2log y x =的性质知：1c >，所以c a b >>. 故选：D 3．A 【分析】易知()()sin sinβααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin 5αβ∴-==±.当()sin 5αβ-=时， ()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---5757535=-⨯=-， 304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴= 当()sin αβ-=sin β=，符合题意.综上所述：sin β=. 故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.4．C 【分析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x x OA OB x ee -⋅=-并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101x x e x +=>-，即得1x 的范围，得命题②错误；构造函数1111()1x x F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题③正确. 【详解】()x f x e =，()x f x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-. 命题①中，若10x =，由121xe x =可得21x =，此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立，矛盾；10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<；若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<.所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠>，故①正确；命题②中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111x x x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故②错误；命题③中，因为21ln 2111x x x x ex ex --=-=-，由②知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >，故当10x <时，即11x <-，设1111()1x x F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故 ()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，因为21ln 2111x xx x e x e x --=-=-，故构造函数()x h x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，则()10xh x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()52222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+> ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题. 5．C 【分析】先求得总可能性为410A 种，再求得满足题意的可能性为2283A A 种，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种，琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻的概率2283410115A A P A ==. 故选：C 6．C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 7．A 【分析】根据三角形的面积关系，可得(1122222p a c c y +=，再根据||P y b ≤可得关于,a c 的不等式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】12PF F 的面积关系可得：(11222222p a c c y +=，∴()p a c c y +=≤，∴()a c +≤， ∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 8．A 【分析】先求出概率4()(2)(1)f p p p p =--，再求最大值，借助于均值不等式求解．【详解】解：设事件A ：检测5个人确定为“感染高危户”，事件B ：检测6个人确定为“感染高危户”. ∴4()(1)P A p p =-，5()(1)P B p p =-.即454()(1)(1)(2)(1)f p p p p p p p p =-+-=--. 设10x p =->，则()424()(1)(1)(1)1g x f p x x x x x =-=-+=-，∴()()242221()1222g x xxx x x ⎡⎤=-=⨯-⨯⨯⎣⎦ ()322222142327x x x ⎡⎤-++≤⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2222x x -=即x =时取等号，即013p p ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题． 9．BCD 【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A 、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A ，463535541()1011101110111102P M =⨯+⨯+⨯=≠，故A 错误；对B ，11146()61011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯===，故B 正确；对C ，当1A 发生时，6()11P M =，当1A 不发生时，5()11P M =，∴事件M 与事件1A 不相互独立，故C 正确；对D ，1A ，2A ，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 10．BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立；对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y ⎪=⎪+⎭=1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 11．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12．ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e-'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x x a e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e --'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos xxh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以42a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数x y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 13．1721- 【分析】先利用二项展开式的通项公式求解171a =，然后利用赋值法求解012316a a a a a ++++⋯+. 【详解】由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+， ∴171a =，令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－. 故答案为：1721-.14．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】作出图示，取BC 的中点D ，则有ODBC ，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出()2212AO BC b c ⋅=-，()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，代入已知得222+23a c b =，由余弦定理表示cos B ，再由基本不等式可求得范围.【详解】作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，因为ABC 的外心为O ,则OD BC ，因为()++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，又()()()()2222111+222AD BC AB AC AC AB AC AB b c ⋅=⋅-==--，所以()2212AO BC b c ⋅=-，同理可得()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，所以34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅化为()()()22222211134222b c a c b a ⨯-=⨯+--，即222+23a c b =.由余弦定理得()2222222221+2123cos 2232+a c a c a c ba c B acac ac+-+-===⨯，又22222+a c ac ac ≥=c =时，取等号，又0B π<<，所以cos 13B ≤<.故答案为：3⎫⎪⎪⎣⎭.【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题. 15．1003π 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解. 【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由12,4,BB BC AB AC ====可得14AB ==,14B E ==,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OBC 中作11OM BC ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM BC ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B可知1111122OO B C BC ===因为1O 为三角形1AB E 的中心，所以1112233B O B B ==⨯=在11Rt B OO中，3R ===, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.16．0 1010 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【详解】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减， 1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x 111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增+1()log 302=-<n nf n n n ； +1()1>02=n f由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k 所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010故答案为：①0；②1010 【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.17．（1）n a n =，2nn b =；（2）()2712622134n nT n =--+⨯ 【分析】（1）根据22n n n S +=，利用数列的通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）由（1）知，n a n =，2nn b =得到()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和法求解. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，当1n =时，111a S ==当2n ≥时，22n n n S +=，()21112n n n S --+-=，两式相减得：1n n n a S S n -=-=(2)n ≥ 又1n =时，11a =满足上式所以n a n =又2log n n a b =，所以2log n n b =，所以2nn b =.（2）()()()122n n n n a n c n b ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由（1）知，n a n =，2nn b =所以()()()11212n n n n n c n -⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++()()21111111 (1335212128)2n n n -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-+⎝⎭⎝⎭ 11111111124112335212114n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+-++-+ ⎪-+⎝⎭- 1121(1)(1)22134n n =-+-+ 71262(21)34nn =--+⨯ 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 18．（1）()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2【分析】（1）先将函数整理，得到()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，先求出π3A =，根据余弦定理，求出224b c bc bc =-+≥，进而可求出三角形面积的最值. 【详解】（1）()1πcos cos 222cos 22sin 226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由()πππ2π22π262k x k k -+≤-≤+∈Z ，得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）∵()2f A =，∴π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC 为锐角三角形， ∴ππ262A -=，∴π3A =．在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =-+≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A =≤△，∴当2b c ==时，()maxABC S =【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.19．（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值；（ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =，当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减；所以()f p 的最大值点034p =；（ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.20．（1）证明见解析；（2【分析】（1）先沿EF 将ABFE 折起，同时在平面ABFE 内再沿折痕AF 将面ABF 折起翻过来，使得B 落在FC 上，所以AB 与BF 始终垂直，及FC AB ⊥，若能证明FC BE ⊥，问题就获得解决，接下来就设出相关量，通过勾股定理等计算，证明EF EC =，12BF FC =，从而说明B 点是FC 的中点，从而达到证明目的.（2）建立空间直角坐标系，求出两面的法向量，即可得解.【详解】（1）证明：在平面ABCD 中，AF =FC ，BF +FC ，设AB =，则3BC a =，设BF =ED =x ，在BAF △中，2223(3)x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==，因为点B 落在线段FC 上，所以2BC a a a =-=，B 点是FC 的中点，又())222234EF a a a a =--+=，所以2EF a =根据等腰三角形三线合一得BE FC ⊥，又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点，FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,0,0),(,0),(,0,0)C a F E a B a ，(0,,0)BE =，易得平面ABE 的一个法向量为(2,0,0)FC a =，作DG EC ⊥于G ，因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5(4G a ，5(4D a ，1(4BD a =，设平面DBE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30104m BE ay m BD axy ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令z =(n =-，因为cos ,||||2n FC n FC nFC a ⋅〈〉===⋅⋅所以锐二面角A -BE -D 13= 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，抓住“到底是怎么翻折的”，“翻折后哪些量是不变的”，要树立“有些垂直关系是通过数量给出的”的意识.21．（1）22:184x y C +=；2:8y x Γ=；（2161-【分析】（1）利用已知条件，列出含,,a b c的方程组，进而出,,a b c 的解即可；（2）设直线AB 的倾斜角为θ，利用椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到2244;1cos 1cosep F D F B e θθ====-+ 进而得到2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ，列出面积的方程，进而利用导数的性质可求解【详解】解：（1）先作如下计算，设过2F 的直线AB 的倾斜角为θ，设22,F D x F C y ==，由椭圆定义得112,2F D a x FC a y =-=-，由余弦定理得2222cos (2)(2)x c c x a x θ⋅⋅=+--，整理可得2cos b x a c θ=-⋅，同理可求得2cos b y a c θ=+⋅，2112ax y b∴+=，∴222112a CF DF b +=；所以，222cos 1cos b b a F D c a c aθθ==-⋅-⋅；过,A B 两点分别向x 轴作垂线1AA 、1BB ，1A 、1B 为垂足，再设22,F A x F B y ==，可得，点A 的横坐标为cos 2p x θ+⋅，点B 横坐标为cos 2py θ-⋅，由抛物线定义知cos 22p p x x θ+⋅+=，cos 22p py y θ-⋅+=，所以，1cos p x θ=-，1cos py θ=+，此时， 112x y p +=，∴22112AF BF p+= 设椭圆C 的焦距为2c ，所以，2pc =，易知24y cx Γ=：，又因为椭圆的上下顶点M 、N 和左右焦点F 1、F 2所围成的四边形MF 1NF 2的面积为8，得1482bc ⨯=，得4bc =，又21p c=由22221111AF BF CF DF ⎫+=+⎪⎪⎭得，212a c b =，得2ac =，联立方程得，22224bc ac a b c =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得22842a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴22:184x y C +=，2:8y x Γ= （2）由（1）得，直线AB 的倾斜角为θ，且2ac =，得，椭圆离心率2e =，则222cos cos 1cos 1cos p b F D a c a c e e θθθθ====-⋅-⋅-⋅-⋅，得，2421cos 2p F D e θ===-⋅，又由（1）得241cos F B θ=+∴2241cos DB F D F B θ=-=-+，设1F 到BD 的距离为DB h ，则12sin 4sin DB h FF θθ==，112sin 421cos DB BF D DB h θθ⎫∆=⨯⨯=⎪+⎭()()()22sin 121cos 1cos cos f f θθθθθθθ'-=-⇒=-++()(()202cos 1cos 50f θθθ-'=⇔+=，根据cos θ的性质，只有cos θ=符合题意，根据导数的性质，可知，()f θ在cos θ=时，取得最大值，21221216116cos cos 1cosF F F B F F FB θθθ-∴•=⋅⋅==+，【点睛】关键点睛：解题关键在于根据椭圆和抛物线的焦半径公式的倾斜角式得到，2244;1cos 1cos ep F D F B e θθ====-+，进而列出面积方程，再求导后求解，本题的运算量相当大，属于难题22．（1）证明见解析；（2）(),0-∞．【分析】（1）构造函数()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-，证明最小值大0即可得解；（2）先求导()()2112x g x xe a x =-+可()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-，分0a =，0a <和0a >进行讨论即可得解.【详解】（1）设()()()11ln 21ln 2111x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-， ∴()112x h x e x -'=+-，∴()121x h x e x-''=-， ∵1x >，∴11x e ->，2101x <<，∴()1210x h x e x-''=->，∴()h x '在()1,+∞上单调递增，又()10h '=，∴1x >时，()()10h x h ''>=，()1ln 21x h x e x x -=+-+在()1,+∞上单调递增，又()10h =，∴1x >时，()()10h x h >=，故当1x >时，()1ln 211f x x x x ->-+--， ∴()()211ln 231f x x x x x --->-+．（2）∵()()2112x g x xe a x =-+， ∴()()()()()111x x g x x e a x x e a '=+-+=+-，当0a =时，易知函数()g x 只有一个零点，不符合题意．当0a <时，在(),1-∞-上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；又()110g e-=-<，()120g e a =->，不妨取4b <-且()ln b a <-时，()()()2ln 2111120222a g b be a b a b b -⎛⎫>-+=-++> ⎪⎝⎭， [或者考虑：当x →-∞，()g x →+∞]，所以函数()g x 有两个零点，∴0a <符合题意，当0a >时，由()()()10x g x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =．（ⅰ）当ln 1a =-，即1a e=时，在(),-∞+∞上，()0g x '≥成立，故()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．（ⅱ）当ln 1a <-，即10a e<<时，在(),ln a -∞和()1,-+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增；在()ln ,1a -上，()0g x '<，()g x 单调递减；又()110g e-=-<，且()()()2211ln ln ln 1ln 1022g a a a a a a a =-+=-+<，所以函数()g x 至多有一个零点()g x ，不符合题意．（ⅲ）当ln 1a >-即1a e>时，在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x '>，()g x 单调递增；在()1,ln a -上()0g x '<，()g x 单调递减，以()110g e-=-<，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(),0-∞．【点睛】本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题.解决本类问题的方法有以下几点：（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.。

2021年高考模拟试卷02(江苏省)(解析版)

第 1 页共 27 页江苏省2021年新高考全真模拟卷（二）物理试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共6页，满分为100分，考试时间为75分钟。

考试结束后请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名准考证号与本人是否相符。

4.作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑；如需改动请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，必须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、单项选择题：共11题，每题4分，共44分每题只有一个选项最符合题意。

1．如图为氢原子的能级图。

用某种频率的单色光照射大量处于基态的氢原子，可辐射出a 、b 、c 三种不同频率的光，它们的频率关系a b c ννν>>。

若用光b 照射某种金属时恰能发生光电效应，下列判断正确的是（）A ．氢原子最高可跃迁至4n =能级B ．氢原子从3n =能级跃迁到2n =能级辐射出光aC ．用光c 照射该种金属，一定能发生光电效应D ．用光a 照射该种金属，产生光电子的最大初动能为1.89eV【答案】D 【解析】A ．大量氢原子可辐射出三种不同频率的光，根据23n C =可得氢原子最高可跃迁至3n =能级，故A 错误； B ．根据E h ν∆=由a b c ννν>>得知，氢原子由3n =能级跃迁到1n =、由2n =能级跃迁到1n =、由3n =能级跃迁到2n =分别射出光a 、b 、c ，故B 错误；C ．用光b 照射该金属时恰能发生光电效应，则该种金属逸出功为(13.6 3.40)eV 10.20eV b W h ν==-=因为b c νν>，所以用光c 照射该种金属，不能发生光电效应，故C 错误；D ．用光a 照射该种金属，根据爱因斯坦光电效应方程可得产生光电子的最大初动能为k (13.6 1.51)eV 10.20eV 1.89eV a E h W ν=-=--=故D 正确。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（二）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.1.已知全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =,则U()A B ⋃=( )A. {}3B. {}7C. {}3,7D. {}1,3,5【答案】B 【解析】【分析】先求出集合A 与B 的并集，再根据补集的定义即可求出．【详解】∵全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{5，3}， ∴A∪B＝{1,3,5}， ∴U()A B ⋃={7}，故选B ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.复数(12)1i i i++的虚部为（）A. 12-B.32C. 12i -D. 32-【答案】B 【解析】【分析】复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为a bi +的形式即可得出结果.【详解】()()(12)-2(-2)(1-)1313==1111222i i i i i i i i i i i +-+==-++++-,所以虚部为32. 故选:B.【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易.3.已知3log a e =，ln3b =，21()3c -=则（） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】借助指数和对数的性质即可判断,,a b c 与0和1直接的大小关系,即可得出结果. 【详解】33log log 31a e =<=,ln3ln 1b e =>=且2ln3ln 2b e =<=,2-1221()(3)3==3=9c --=a b c ∴<<.故选:A.【点睛】本题考查对数值和指数值大小比较,是基础题,解题时要注意认真审题,注意对数函数和指数函数性质的灵活运用.4.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据，社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量，是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标.如图所示为我国2010-2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图.根据统计图分析，下列说法错误的是（）A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降【答案】D 【解析】【分析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确,对于D, 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率,先上升后下降,所以错误. 故选:D.【点睛】本题考查了统计图的应用,从图表中准确获取信息是关键,属于简单题.5.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为（） A. 152 B. 134 C. 128 D. 102【答案】C 【解析】【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可.【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: 222n a n =.所以该数列第16项为21628=128a =⨯.故选:C.【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数是（） A. 6- B. 10- C. 10 D.–14【答案】B 【解析】【分析】由于225552111(1)()()()x x x x x xxx+---=+,及251()x x-展开式的通项可知,只需满足则103=1r -,即可计算出结果.【详解】二项式251()x x-展开式的通项为()521031551(1)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()r N ∈, 225552111(1)()()()x x x x x x x x+---=+,r N ∈,∴1030r -≠,只需103=1r -即可.∴二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数533()101C -=-.故选:B.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式及指定项的系数的性质,熟练掌握公式是解题的关键,属于基础题.8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）”.若输入8n =，输出的结果P 可以表示为（）A. 11114(1)35711P =-+-+-B. 11114(1)35713P =-+-++C. 11114(1)35715P =-+-+-D. 11114(1)35717P =-+-++【答案】C 【解析】【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果. 【详解】第1次循环:1,2S i ==;第2次循环:11,33S i =-=；第3次循环: 111,435S i =-+=;…第8次循环: 1111135715S =-+-+⋯-,9i = 此时满足判定条件,输出结果111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题9.已知椭圆2222:1(0)x y W a b b a +=>>的离心率为3，两点()0,0A 、()2,0B .若椭圆W 上存在点C ，使得ABC 为正三角形，则椭圆W 方程为（）A. 22113y x +=B. 22311010x y +=C. 22126x y +=D. 22123x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据已知ABC 为正三角形求出点C 坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出226,=2a b =,得出结果.【详解】由点()0,0A 、()2,0B 且ABC 为正三角形解得(1,C ,因为点C 在椭圆上,代入可得:22131b a +=，因为c e a ==,222a b c =+,所以223a b ,代入22131b a+=，即可解得226=2a b =，,故椭圆方程为22126x y +=. 故选:C.【点睛】本题考查椭圆性质,考查已知离心率求椭圆标准方程,难度一般.10.对任意闭区间Ⅰ，用I M 表示函数cos y x =在I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =，则a 的值为（） A.56π或1312π B.3πC.76π D.3π或56π 【答案】D 【解析】【分析】分a 在不同的区间进行讨论,得出符合条件的a 的值即可. 【详解】由题意得: [][]0,,22a a a M M =当[0,][,2]0,,2[0,],1,cos 2a a a a a M M a ππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,可得1=2cos a ,3a π=; 当[0,][,2],,2[,2],1,cos 2, 2a a a a a M M a ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦可得 12cos2a =,523a π=,56a π= 当[0,][,2]3,,2[2,3],1, 1 2a a a a a M M ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,不满足[][]0,,22a a a M M =;当[0,][,2]3,,1,1, 2a a a a M M π⎡⎤∈+∞==⎢⎥⎣⎦不满足[][]0,,22a a a M M =. 所以a 的值为3π或56π. 故选:D .【点睛】本题主要考查余弦函数的性质,分类讨论是解题的关键,难度较难.11.在ABC 中，已知4AB AC ⋅=，3BC =，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN ⋅的值是()A .5B.214C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】取BC 边的中点O ，由向量加法的三角形法则，把数量积转化为22||4AO OB -=，再由条件求得OB ，则AO 可求，把AM •AN 转化为|AO |2﹣|OM |2，再由已知求得12OM =，则答案可求．【详解】如图，设BC 的中点为O ，由4AB AC ⋅=，得()()()()22||4AO OB AO OC AO OB AO OB AO OB +⋅+=+⋅-=-=， ∵3BC =，∴29||4OB =，由此可得：225||4AO =，而()()()()AM AN AO OM AO ON AO OM AO OM ⋅=+⋅+=+⋅-=|AO |2﹣|OM |2，由已知12OM =， ∴|AO |2﹣|OM |2251644=-=， ∴AM AN ⋅=6．故选C ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，M 为线段AD （不含端点）上的动点，过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面记为Ω，设Ω在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S ，则S 可能的值为（） A. 9 B. 10C. 12D. 18【答案】C 【解析】【分析】由截面性质可知截面Ω即为平行四边形平面1MBND ,设()0,2AM x x =∈，,依次求出在六个面的投影,即可得出结果.【详解】由面面平行的性质可知,过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面即为平面1MBND ,则1//BN MD ,1//BM ND ,设AM x =，()0,2x ∈ 平面1MBND 在面1DC 的正投影面积为31=3⨯,同理在面1AB 的正投影面积为31=3⨯, 平面1MBND 在面AC 的正投影面积为()32x ⨯-,同理在面11A C 的正投影面积为()32x ⨯-, 平面1MBND 在面1BC 的正投影面积为1=x x ⨯,同理在面1AD 的正投影面积为x ,()3362-=18-4S x x x x =++++02x <<()=18-410,18S x ∴∈.故选:C.【点睛】本题考查面面平行的性质,考查正投影定义,考查面积公式,难度一般.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若112a =，246a a =，则4S =________. 【答案】152【解析】【分析】设公比为q ,由246a a =,化简可得24a q =.又341a a q =⋅.可解得q ,代入求和公式即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由246a a =,得222444,a a q a q =∴=.又332411,a a q a q q =⋅∴⋅=.且112a =. 2q ∴=.由等比数列求和公式可知()44112152122S ⨯-==-.故答案为: 152. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,考查学生的运算求解能力,属于基础题. 14.曲线()ln 2f x x x =-在点()()00,x f x 处的切线经过原点，则0x =__________. 【答案】e 【解析】【分析】求导得1()2f x x'=-,则斜率为()0012k f x x '==-,写出切线方程,切线经过原点()0,0代入化简即可得出结果.【详解】1()2f x x'=-,所以切线斜率为()0012k f x x '==-,所以切线方程为()()00001ln 22y x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--,切线经过原点()0,0代入切线方程得()()000010ln 202x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--, 即0ln 1x =,解得0e x =.故答案为:e .【点睛】本题主要考查导数的运算及其几何意义,意在考查考生的运算求解能力.15.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 【答案】38【解析】【分析】1篇稿件被录用分为两种情况:（1）稿件通过了两位初审专家；（2）稿件通过了一位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即可。

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．123．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤4．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，5．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（）A ．52-B ．2-C ．2D ．726．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（） A 62- B 21C 62+ D 219．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．53210．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.112．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷

2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图所示，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A={x|y=√2x−x2}，B={y|y=3x,x>0}，则A#B为()A. {x|0<x<2}B. {x|1<x≤2}C. {x|0≤x≤1或x≥2}D. {x|x=0或x>2}2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数−2+i和1−3i对应的点间的距离是()A. √5B. √10C. 5D. 253.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅、……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法(即农历).干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年(2020年)是庚子年，小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸出生那年的农历是()A. 庚子B. 甲辰C. 癸卯D. 丙申4.定义在R上的函数y=f(x)满足|f(x)|≤2|x−1|，且y=f(x+1)为奇函数，则y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.5. 在△ABC 中，AC =9，∠A =60°，D 点满足CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD =√37，则BC 的长为( )A. 3√7B. 3√6C. 3√3D. 66. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐( )A. 1120里B. 2250里C. 3375里D. 1125里7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，右焦点为F ，点P在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当△ABP 的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√22x C. y =±x D. y =±√2x8. 若不等式aln(x +1)−x 3+2x 2>0在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A. [92ln2,32ln5]B. (92ln2,32ln5)C. (92ln2,32ln5]D. (92ln2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是( )A. 若复数z =1+i1−i (i 为虚数单位)，则z 30=−1 B. 若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC. 若复数z =a +bi(a,b ∈R)，则z 为纯虚数的充要条件是a =0D. 若复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆10.已知(1+ax )(2x−1x)6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有()A. a=1B. 展开式中常数项为160C. 展开式系数的绝对值的和1458D. 若r为偶数，则展开式中x r和x r−1的系数相等11.已知点P是双曲线E：x216−y29=1的右支上一点，F1、F2是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有()A. 点P的横坐标为203B. △PF1F2的周长为803C. ∠F1PF2大于π3D. △PF1F2的内切圆半径为3212.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M为BC边的中点，下列结论正确的有()A. AM与D′B′所成角的余弦值为√1010B. 过三点A、M、D′的正方体ABCD−A′B′C′D′的截面面积为92C. 四面体A′C′BD的内切球的表面积为π3D. 正方体ABCD−A′B′C′D′中，点P在底面A′B′C′D′(所在的平面)上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是椭圆三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则−a0+a1−a2+a3−a4=______ ．14.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．15.《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍(音：刍cℎú甍méng)，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ−ABCD的体积为(体积单位：立方丈)______ ．16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，以A为球心半径为2√33的球面与正方体表面的交线长为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bcosA=c−√32a．(1)求角B；(2)若△ABC的面积为2√3，BC边上的高AH=1，求b，c．18.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，a n+2=a n+1+2a n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{1a n +1(n+1)⋅log2a n+1}的前n项和为S n，求证：32≤S n<3．19. 如图所示的几何体由等高的12个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD⏜的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面． (1)证明：BF ⊥平面BCG ．(2)若直线DF 与平面AFB 所成角为45°，求平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值．20. 射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康.为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动．(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有k(k ∈N ∗)发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为p(0<p <1)，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．(2)张三在休息之余用手机逛B 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M 1917，弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有m 发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行n(n ∈N)次射击后，记弹巢中空包弹的发数X n ．(ⅰ)当n∈N∗时，探究数学期望E(X n)和E(X n−1)之间的关系；(ⅰ)若无论m取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹(以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹)，求该种情况下最小的射击次数n0.(参考数据：lg2≈0.301、lg3≈0.477)21.已知a>0，函数f(x)=e xx2+a．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)已知函数f(x)存在极值点x1，x2，求证：|f(x1)−f(x2)|<e2⋅1−aa．22.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1的中点为Q，△OF1Q周长等于√3+√62．(1)求椭圆C的标准方程；(2)W为双曲线D：y2−x24=1上的一个点，由W向抛物线E：x2=4y做切线l1，l2，切点分别为A，B．(ⅰ)证明：直线AB与图x2+y2=1相切；(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN外接圆面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．x，y∈R，A={x|y=√2x−x2}={x|0≤x≤2}，B={y|y=3x,x>0}={y|y>0}，A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x≥0}，则A#B=∁A∪B(A∩B)={x|x=0或x>2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，由韦恩图求出A#B=∁A∪B(A∩B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，涉及到交集、并集、补集的定义、韦恩图、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数−2+i对应复平面内的点A(−2,1)，复数1−3i对应复平面内的点B(1,−3)∴|AB|=√(−222=5即复数−2+i和1−3i对应的点间的距离等于5故选：C．由题意不难得到两个复数在复平面内对应点的坐标，再结合直角坐标中两点距离的公式，可得它们的距离．本题给出两个复数，求它们在复平面内对应点之间的距离，考查了复数的几何意义和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单合情推理的应用，仔细分析题意，结合自然常识是解题的关键，是基础题．求解小华的爸爸的出生年，通过六十年一个甲子，干支纪年法求解选项．【解答】解：小华的爸爸今年10月10日是56周岁生日，小华爸爸出生于1964(2020−56=1964)年．按六十年一个甲子，今年(2020年)是庚子年，60年前(1960年)是庚子年，由干支纪年法知，1961，1962，1963，1964年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年．故选：B ．4.【答案】D【解析】解：∵y =f(x +1)为奇函数，∴f(x +1)=−f(−x +1)，则f(x +1)+f(−x +1)=0， ∴f(x)关于点(1,0)成中心对称，可排除AB ；又|f(1.5)|≤212=√2，可排除C ．故选：D ．分析可知，函数f(x)关于点(1,0)成中心对称，可排除AB ；由|f(1.5)|≤√2，可选C ．本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37，AC =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=9，A =60°，设AB =c ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =92c 则37=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9+49c 2+2c ， ∴整理可得，2c 2+9c −126=0∵c >0解可得，c =6，由余弦定理可得，a 2=c 2+b 2−2bc ⋅cosA =92+62−2×9×6×12=63， ∴BC 的长为3√7．故选：A ．由已知，结合向量的基本运算可求得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式．6.【答案】D【解析】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=−0.5；设长安至齐为x里，则a1+a2+⋯+a m+b1+b2+⋯+b m=103×9+9×8×132+97×9+9×8×(−0.5)2=2x，解得x=1125．故选：D．由题意知，良马每日行的距离成等差数列，驽马每日行的距离成等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由题意设P(c,y0)，y0>0，当△ABP的外接圆面积达到最小时，设其外接圆的半径r，即r最小，而ABsin∠APB=2r，所以sin∠APB最大时，△ABP的外接圆面积达到最小，可得tan∠APB最大，而∠APB=∠APF−∠BPF，tan∠APF=a+cy0，tan∠BPF=c−a y，所以tan∠APB=tan(∠APF−∠BPF)=tan∠APF−tan∠BPF1+tan∠APF⋅tan∠BPF=a+cy0−c−ay01+a+cy0⋅c−ay0=2ay0+b2y0≤2√y0⋅b2y0=ab，当且仅当y0=b2y0，即y0=b，所以P的坐标(c,b)，将P点坐标代入双曲线的方程可得c2a2−b2b2=1，即c2=2a2，可得a2+b2=2a2，所以a=b，所以渐近线的方程为：y =±x ，故选：C ．由题意设P 的坐标，当△ABP 的外接圆面积达到最小时，即外接圆的半径最小，由三角形的外接圆的求法可得半径最小时∠APB 的正弦值最大，可得其角的正切值最大，由两角差的正切公式，及均值不等式可得当P 的纵坐标为b 时满足条件，将P 的坐标代入双曲线的方程可得a ，c 的工作，再由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．本题考查双曲线的性质，三角形外接圆的半径的求法，均值不等式的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：令f(x)=aln(x +1)，g(x)=x 3−2x 2，则g′(x)=3x 2−4x =x(3x −4)，令g′(x)>0，得x >43或x <0；g′(x)<0，得0<x <43， ∴g(x)在(−∞,0)和(43,+∞)上单调递增，在(0,43)上单调递减， ∴g(x)min =g(43)=−3227，且g(0)=g(2)=0，当a ≤0时，f(x)>g(x)至多有一个整数解．当a >0时，f(x)>g(x)在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数，只需{f(3)>g(3)f(4)≤g(4)，即{aln4>27−18aln5≤64−32，解得：92ln2<a ≤32ln5，故选：C ．令f(x)=aln(x +1)，g(x)=x 3−2x 2，利用导数，判断g(x)的单调性，通过讨论当a ≤0时，f(x)>g(x)至多有一个整数解．当a >0时，f(x)>g(x)在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数，得到关于a 的不等式组，求实数a 的取值范围即可．本题考查利用导数研究不等式的解，考查学生的分析问题解决问题的能力，属于难题．9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了复数的周期性及其运算法则、几何意义及其有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．A先化简．复数z=1+i1−i，根据复数的周期性及其运算法则即可得出z30，即可判断出正误．B.举例z=i即可判断出正误．C.复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0，b≠0，即可判断出正误．D.根据复数的几何意义即可判断出正误．【解答】解：A.复数z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，∵i4=1，则z30=(i4)7⋅i2=−1，因此正确．B.复数z满足z2∈R，则z∈R，不正确，例如z=i满足z2=−1∈R，但是z∉R．C.复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0，b≠0.因此不正确．D.复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，根据复数的几何意义可知正确．综上可得：只有AD正确．故选AD．10.【答案】ACD【解析】解：令x=1，可得(1+ax )(2x−1x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)×1=2，∴a=1，故A正确；∵(1+ax )(2x−1x)6=(1+1x)(64x6−192x4+240x2−160+60x−2−12x−4+x−6)，故展开式中常数项为−160，故B不正确；(1+ax )(2x−1x)6的展开式中各项系数绝对值的和，即项(1+ax)(2x+1x)6的各系数和，为(1+a)⋅36=1458，故C正确；根据(1+ax )(2x−1x)6=(1+1x)(64x6−192x4+240x2−160+60x−2−12x−4+x−6)，可得若r为偶数，则展开式中x r和x r−1的系数相等，故D正确，故选：ACD．由题意令x=1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，双曲线E：x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，不妨设P(m,n)，m>0，n>0，由△PF1F2的面积为20，可得12|F1F2|n=cn=5n= 20，即n=4，由m216−169=1，可得m=203，故A正确；由P(203,4)，且F1(−5,0)，F2(5,0)，可得k PF1=1235，k PF2=125，则tan∠F1PF2=125−12351+12×125×35=360319∈(0,√3)，则∠F1PF2<π3，故C不正确；由|PF1|+|PF2|=√16+3529+√16+259=373+133=503，则△PF1F2的周长为503+10=803，故B正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，可得12r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=12⋅|F1F2|⋅4，可得803r=40，解得r=32，故D不正确．故选：ABD．设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，求得双曲线的a，b，c，不妨设P(m,n)，m>0，n>0，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得tan∠F1PF2，由两点的距离公式，可得△PF1F2的周长，设△PF1F2的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：对于A ，建立空间直角坐标系如图所示，则有A(0,0，2)，M(1,2，2)，B′(0,2，0)，D′(2,0，0)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，所以cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||D′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√8=√1010，故选项A 正确；对于B ，取N 为CC′的中点，连结MN ，则有MN//AD′，如图所示，所以梯形AMND′为过三点A ，M ，D′的正方体ABCD −A′B′C′D′的截面，而MN =√2,AD′=2√2,AM =D′N =√5，可得梯形的高为3√22，所以梯形的面积为S =12×3√2×3√22=92，故选项B 正确；对于C ，如图所示，四面体A′C′BD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，所以V =8−4×13×12×8=83，而四面体的棱长都为2√2，其表面积为S =4×12×2√2×2√2×sin π3=8√3，设其内切球半径为r ，则有13×8√3⋅r =83，解得r =√33，所以内切球的表面积为4πr 2=4π3，故选项C 错误；对于D ，正方体ABCD −A′B′C′D′中，点P 在底面A′B′C′D′(所在的平面)上运动且∠MAC′=∠PAC′，即P 的轨迹为面A′B′C′D′截以AM ，AP 为母线，AC′为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,2),M(−√22,3√22,2),C′(0,2√2,0)，若P(x,y ，0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,3√22,0),AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,−2),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,−2)，所以cos∠MAC′=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155，所以cos∠PAC′=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2y+2√x 2+y 2+4×√3=√155，整理可得(y +10√2)2−9x 2=216(y >0)，即轨迹为双曲线的一支，故选项D 错误．故选：AB ．建立合适的空间直角坐标系，求出直线AM 与D′B′的方向向量，由向量的夹角公式求解，即可判断选项A ，取N 为CC′的中点，连结MN ，则有MN//AD′，得到过三点A ，M ，D′的正方体ABCD −A′B′C′D′的截面为梯形AMND′，然后求解面积即可判断选项B ，四面体A′C′BD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，然后利用等体积法求出内切球半径，求出内切球表面积，即可判断选项C ，建立空间直角坐标系，设点P 的坐标，然后利用角的关系构造等式，化简得到轨迹方程，即可判断选项D ．本题考查了空间线线角的计算，考查棱锥与球的位置关系，动点轨迹问题，综合性强，涉及知识点多，属于难题．13.【答案】−81【解析】解：在(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4中，令x=−1，得(−3)4=a0−a1+a2−a3+a4，所以−a0+a1−a2+a3−a4=−81．故答案为：−81．利用赋值法，在(2x−1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4中，利用x=−1求出a0−a1+a2−a3+a4的值．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．14.【答案】8【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=−1，∵抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点，∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6，∴∴|AB|=x1+x2+2=8，故答案为8．抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．15.【答案】5立方丈【解析】解：将楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥，则V三棱柱=12×3×1×2=3立方丈，2V四棱锥=2×13×1×3×1=2立方丈，故V楔体PQ−ABCD=V三棱柱+2V四棱锥=3+2=5立方丈．故答案为：5立方丈．将楔体PQ−ABCD分成一个三棱柱、两个四棱锥，然后根据棱柱与棱锥的体积公式进行求解即可．本题主要考查了组合体的体积，以及三棱柱、四棱锥的体积公式，同时考查了空间想象能力和运算求解能力，属于基础题．16.【答案】5√36π【解析】解：正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类： ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为π6，A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r =√33，故各段弧圆心角为π2．∴这条曲线长度为：3⋅π6⋅2√33+3⋅π2⋅√33=5√36π.故答案为：5√36π. 球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上；另一类在不过顶点A 的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ，所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ，可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得cos B 的值，结合B∈(0,π)，可得B的值．(2)在Rt△ABH中，由已知利用三角函数的定义可求c，利用勾股定理可求BH的值，进而根据三角形的面积公式可求HC的值，从而可得a，在△ABC中，由余弦定理即可求得b的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题设可得：a n q2=a n q+2a n，∵a n>0，∴q2−q−2=0，解得：q=2，又a1=1，∴a n=2n−1；(2)证明：由(1)可得：1a n +1(n+1)⋅log2a n+1=12n−1+1n(n+1)=12n−1+1n−1n+1，∴S n=1−1 2n1−12+1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=2−12n−1+1−1n+1=3−(12n−1+1n+1)<3，又S n随n增大而增大，∴S n≥S1=3−(1+12)=32，∴32≤S n<3．【解析】(1)利用等比数列的通项公式求得等比数列{a n}的公比q，即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得：1a n +1(n+1)⋅log2a n+1，然后利用分组求和法与裂项相消法求得其前n项和S n，再利用其单调性证明结论即可．本题主要考查等比数列基本量的计算、分组求和法及裂项相消法在数列求和中的应用、单调性在不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取弧AB的中点H，连结BH，GH，则∠ABF=∠ABH=45°，所以BF⊥BH，因为BC−−//GH，所以四边形BCGH为平行四边形，BF⊥GC，又因为BC⊥平面ABF，所以BC⊥BF，BC⊂平面BCG，CG⊂平面BCG，BC∩CG=C，所以BF ⊥平面BCG ．(2)解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，因为直线DF 与平面AFB 所成角为45°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，设平面BDF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{n⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得：{x +y =0−x +z =0，令x =1，则n ⃗ =(1,1,1)，同理可得：平面ABG 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(2,0,1)，则cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3×√5=√155，故平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为√155．【解析】(1)取弧AB 的中点H ，连结BH ，GH ，证明BF ⊥BH ，推出BF ⊥GC ，结合BC ⊥平面ABF ，证明BC ⊥BF ，即可证明BF ⊥平面BCG ．(2)以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求解平面BDF 的法向量，平面ABG 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，…，k −1，k ，因为张三每次打靶的命中率均为p(0<p <1)，则P(X =m)=p m (1−p)(m =0,1，2，…，k −1)，P(X =k)=p k ，所以X 的分布列为 X 0 1 2 … k −1 kP1−pp(1−p)p 2(1−p)…p k−1(1−p)p k所以X 的数学期望为E(X)=p(1−p)+2p 2(1−p)+3p 3(1−p)+⋯+(k −1)p k−1(1−p)+kp k ，令M =p +2p 2+3p 3+⋯+(k −1)p k−1①，则pM =p 2+2p 3+3p 4+⋯+(k −1)p k ②，所以①−②可得，(1−p)M =p +p 2+p 3+⋯+p k−1−(k −1)p k=p(1−p k−1)1−p−(k −1)p k ，则E(X)=M(1−p)+kp k =p−p k 1−p−(k −1)p k +kp k =p−p k+11−p；(2)(ⅰ)第n 次射击后，可能包含两种情况：第n 次射出空包弹或第n 次射出实弹；因为第n 次射击前，剩余空包弹的期望为E(X n−1)，若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为E(X n−1)6，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为E(X n−1)−1+1=E(X n−1)；若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为1−E(X n−1)6，所以此时空包弹的数量为E(X n−1)+1；综上，E(X n )=E(X n−1)6⋅E(X n−1)+[1−E(X n−1)6][E(X n−1)+1]=56E(X n−1)+1；(ⅰ)因为当n =0时，弹夹中有6−m 发空包弹，则E(X 0)=6−m ；由(i)可知：E(X n )=56E(X n−1)+1(n ∈N ∗)，则E(X n+1)−6=56[E(X n )−6](n ∈N)，所以{E(X n )−6}(n ∈N)是首项为−m ，公比为56的等比数列，则E(X n )−6=−m(56)n ，即E(X n )=6−m(56)n (n ∈N)，因此弹巢中实弹的发数的期望为6−E(X n )=m(56)n ，为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需m(56)n <1，则m <(65)n ，所以log 65m <n ，为使log 65m <n 恒成立，只需(log 65m)max <n ，而(log 65m)max =log 656=lg6lg 65=lg6lg6−lg5=lg2+lg3lg2+lg3−l+lg2=lg2+lg32lg2+lg3−l =0.301+0.4770.602+0.477−1≈9.848，又n ∈N ，所以最小的射击次数n 0=10．【解析】(1)由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，…，k −1，k ，因为张三每次打靶的命中率均为p(0<p <1)，可得P(X =m)=p m (1−p)(m =0,1，2，…，k −1)，P(X =k)=p k ，进而得出X 的分布列及其X 的数学期望为E(X)，可利用错位相减法、等比数列的求和公式得出．(2)(ⅰ)第n次射击后，可能包含两种情况：第n次射出空包弹或第n次射出实弹；由第n次射击前，剩余空包弹的期望为E(X n−1)，若第n次射出空包弹，可得此时对应的概率为E(X n−1)6，射击后要填充一发空包弹，此时空包弹的数量为E(X n−1)−1+1=E(X n−1)；若第n次射出实弹，可得此时对应的概率为1−E(X n−1)6，此时空包弹的数量为E(X n−1)+1；进而得出E(x n).(ⅰ)因为当n=0时，弹夹中有6−m发空包弹，可得E(X0)=6−m；由(i)可知：E(X n)=56E(X n−1)+1(n∈N∗)，变形利用等比数列的通项公式即可得出E(X n)，进而得出结论．本题考查了相互独立事件的概率计算公式及其数学期望、数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：(I)∵f(x)=e xx2+a，∴f′(x)=e x(a+x2−2x)(a+x2)2=e x[(x−1)2+a−1](a+x2)2，因为a>0，函数的定义域为R，若a≥1，f′(x)>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，若0<a<1，则当x<1−√1−a时，当x>1+√1−a时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当1−√1−a<x<1+√1−a时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，故a≥1时，f(x)在R上单调递增，若0<a<1，f(x)在(−∞,1−√1−a)，(1+√1−a,+∞)上单调递增，在(1−√1−a,1+√1−a)上单调递减；(II)由函数f(x)存在极值点x1，x2，结合(I)得，x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，∵a+x12=2x1，x22+a=2x2，∴f(x1)=e x12x1，f(x2)=e x22x2，设m=√1−a，则1−a=m2，因为e x≥x+1，则1−a +√1−a)+e√1−a(√1−a−1)]=1e m(1+m)−e m(1−m)<1+m1+m−(1+m)(1−m)=m2=1−a，∴f(x1)−f(x2)=e x1−e x22x1x2=e⋅e−√1−a(1+√1−a)−e⋅e√1−a(1−√1−a)2a，=e 2a[e−1√1−a +√1−a)+e √1−a(√1−a −1)]<e 2⋅1−a a．【解析】(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解； (II)结合(I)及函数极值存在的条件得，x 1=1−√1−a ，x 2=1+√1−a ，从而得a +x 12=2x 1，x 22+a =2x 2，代入得f(x 1)=e x 12x 1，f(x 2)=e x 22x 2，然后利用换元法，结合e x ≥x +1可证明．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论及转化思想的应用．22.【答案】解：(1)设|F 1F 2|=2c ，因为Q 为PF 1的中点，所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ，所以{a +c =√3+√62c a =√22，解得a =√3，b =c =√62，所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由x 2=4y 得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l 1：y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理：l 2=x 22x −x 224，设W(x 0,y 0)，因为W 为l 1，l 2的交点，所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，由题知直线AB 的斜率存在，设它的方程为y =kx +m ，将y =kx +m 代入x 2=4y 得：x 2−4kx −4m =0，所以x 0=2k ，y 0=−m ，因为y 02−x 024=1，所以m 2=1+k 2，所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ，所以直线AB 与圆O ：x 2+y 2=1相切． (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0，由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−31+2k 2，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， =3m 2−3k 2−31+2k =0，所以OM ⊥ON ，又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k =2|m|√4m 2+32m +1，方法一：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0，解得√32<m 或m <−√5+12，所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，所以0<t <2或0<t <√5−2， |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94，当t =12时，即m =√62时，|MN|有最大值，且最大值3√22，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．方法二：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0，解得√32<m 或m <−√5+12，|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22，当且仅当2m 2=4m 2−3，即m =√62(m =−√62舍)，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22，解得a ，c ，再由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程． (2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线l 1，l 2的方程，联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标，有点W 在双曲线上，推出m 2=1+k 2，进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =2=1=r ，即可得出答案．(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OM ⊥ON ，写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，0<t <2或0<t <√5−2，再由配方法可得|MN|的最大值．方法二：同方法一解得m 的取值范围，再由基本不等式可得|MN|的最大值，进而求出△OMN 外接圆面积的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2021届江苏省无锡市高三下学期2月教学质量检测数学试卷解析

绝密★启用前2021届江苏省无锡市高三下学期2月教学质量检测数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M∩N＝（） A ．[0，1) B ．(0，1)C ．(－1，+∞)D ．(1，+∞)答案：B首先求出集合M ，N ，再根据交集的定义计算可得；解：因为M={}|21xx >，1|01x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭所以{}{}|0,|11Mx x N x x =>=-<<，{}|01M N x x =<<，故选：B2．复数1+3i的虚部为（）A ．1B ．－1C ．－iD ．i答案：A()4133413i i i i-==++，所以虚部为1.故选：A. 3．函数ln ()x xf x x=的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：A将函数表达式化为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩，由函数奇偶性得到BC 不正确，再由特殊值得到最终结果. 因为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩是奇函数排除,B C ，且当1x >时，()0f x >. 故答案为A.点评：这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱答案：C根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=，故选：C.5．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22420x y y +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（）A B ．3C ．2D答案：C已知圆圆心为(0,2)C ，半径为r =C 到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立,a b 关系，进而得出,a c 关系，即可求解.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．又曲线22420x y y +-+=化为22(2)2x y +-=，则其圆心的坐标为(0,2)．圆心(0,2)到渐近线的距离1d ==，又由点到直线的距离公式，221a d c e====，所以2e =. 故选：C ．点评：本题考查双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（） A ．23天 B ．33天 C ．43天 D ．50天答案：B根据题设条件先求出m 、a ，从而得到1101220t h =⋅，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.1010202,10%120%20a m a m a m ⎧⎧==⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，故1102a =，故1101220t h =⋅，令12h =，∴10210,lg 2110tt=∴=，故10330.3t =≈，故选：B.7．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB=2，AC=4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（）A ．16165+ B ．1685+ C ．165D ．565答案：D建立如图所示的坐标系，根据25PB PC PD =-可求其最大值. 以A 为原点建系，()()0,2,4,0BC ，:142x yBC +=，即240x y +-=，故圆的半径为5r =，∴圆2216:5A x y +=，设BC 中点为()2,1D ，22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，max 555PD AD r =+=+=，∴()max8156555PB PC =-=，故选：D.8．已知函数()()402log 10x a e a x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，在定义域上单调递增，且关于x 的方程()2f x x =+恰有一个实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．114⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．114e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．(0，1)答案：C由()f x 递增，先求出a 的范围，再根据()2f x x =+恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.()f x 在定义域上单调增，∴01412a a <<⎧⎨+≥⎩，∴114a ≤<，∵4x ye a =+在0x =处切线为()41y a x -+=，即41y x a =++，又412a +≥故2y x =+与()40xy e a x =+>没有公共点 ∴2y x =+与()2log 1a y x =-+有且仅有一个公共点且为()0,2∴()2log 1ay x =-+在0x =处的切线的斜率必须大于等于1，()11ln y x a '=-+，11ln k a =-≥，∴ln 1a ≥-，∴1a e≥，综上：11a e≤< 故选：C.点评：本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题. 二、多选题9．有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B ．任取一个零件是次品的概率为0.0525C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27答案：BC运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.记i A 为事件“零件为第()1,2,3i i =台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为次品”则()10.25P A =，()20.3P A=，()30.45P A = 对于A ，即()()()1110.250.060.015P A B P A P B A =⋅=⨯=，A 错误. 对于B ，()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅=0.250.060.30.05+0.450.05=0.0525⨯+⨯⨯，B 正确.对于C ，()()()2220.30.0520.05257P A P B A P A B P B ⋅⨯===，C 正确.对于D ，()()()()3330.450.0530.05257P A P B A P A B P B ⋅⨯===，D 错误.故选：BC10．已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（）A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解答案：AC根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断即可.将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确；对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确；对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤，即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确；对于D ，()2x f x g ⎛⎫=⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC11．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（）A ．AS⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为22a C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱答案：ABD取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有112O B O S a ==，可求得球半径为2a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.如图所示：A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥，故A 正确；B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a 所以112O B O S ==，由()22211OB O B O S OS =+-得2222222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得22R a =，故B 正确；C 选项：设内切球半径为r，易求得侧面面积为221sin 234S a π=⋅=，由等体积法得22211143233a a a r r ⋅=⋅+⋅⋅解得4a r =，故C 错；D 选项：取SE 中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B--的二面角的平面角，由)22222221cos 2322BF DF BD BFD BF DF ⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭2222222221cos 232a a a AF BF BA AFD AF BF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫⎪⎝⎭，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD ===，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC 故正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确故选：ABD点评：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b+=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b ab ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210,0x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上一点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小答案：AC对于曲线中的任意一点()00,P x y ，选项A ：由圆22221x y R R+=知曲率3222220044x y R R RR ⎛⎫⋅⋅+ ⎪⎝⎭；选项B 、C ：由椭圆方程知2222000442421x y c x a b b a b +=-且220[0,]x a ∈即可得椭圆曲率的范围22,b a R a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；选项D ：由已知有01,2y ⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率半径384223331144R aa a --⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，应用导数判断R 的单调性，即可判断各项正误.圆：()22200,,xy R P x y +=，曲率半径为3222220044x y R R R R R⎛⎫⋅⋅+= ⎪⎝⎭，A 正确； ()00,P x y 在椭圆()22002210x y a b a b+=>>上，2222222222020000000444442222222111b b x x y x x x x x a a b a b a b a b a a b b-⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭2222002421,0,c x x a b a b⎡⎤=-∈⎣⎦， ∴2200442211,x y a b a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，22,b a R a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，B 错误，C 正确； 3333422222223044242111111144444R a y a a a aa a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33484222333342111114444a a a a aa --⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 令()8423331144f a a a a --=+-，1a >，()()11151142333324118403366f a a a a a a a ---=-+++-'=>，∴R 在1,上随a 增大而增大，D 错误.故选：AC ；点评：关键点点睛：应用曲线任意点处曲率公式，结合各选项中曲线方程得到对应曲率关于相关参数的函数关系，进而结合曲线的有界性，确定曲率范围或应用导数研究变化趋势. 三、填空题13．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则X 的数学期望为_________．答案：1 先利用分布列中概率和为1求解出q 的值，然后计算出数学期望.由21112q q q +-+-=得，21,22q q ==，∴()221553223331222222E X q q q q q =+-+-=+-=+-=+.故答案为：1+. 14．（1﹣2x ）5（1+3x ）4展开式中按x 的升幂排列的第3项为_____. 答案：﹣26x 2易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，……，故按x 的升幂排列，第三项为含x 2项，结合展开式的通项可求解.易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为x 2项.整个式子中x 2项可由（1﹣2x ）5，（1+3x ）4的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到：故所求为：()()0221122545454(3)23(2)C C x C x C x C x C ⨯+-⨯+-⨯=-26x 2.故答案为：﹣26x 2.点评：本题考查二项式展开式通项，以及利用通项法研究特定项的问题.属于基础题. 15．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy 平面上，将双曲线的一支2214x y -=及其渐近线12y x =和直线y=0，y=2围成的封闭图形记为D ，如图2中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖暅原理试求Ω的体积为________．答案：8π 分别求出直线()02y aa =≤<与渐近线以及与双曲线一支的交点，再求出D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω的水平截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．直线()02y aa =≤<与渐近线12y x =交于点()2,a a ，与双曲线一支2214x y -=交于点()221,a a +∵D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，过()()0,04y y ≤≤，作Ω的水平截面，则截面面积为(2222144S aa ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为4π，高为2的圆柱，428V ππ=⨯=.故答案为：8π 四、双空题16．若ln 1x ax b x +≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当0a =时，b 的最小值为_____；当0a >时，ba 的最小值是_______________．答案：11e-令0a =得到max ln 1x b x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造函数()ln 1x f x x+=，则求出()max f x ，即可求出b 的最小值；作出()f x 的图像，运用函数图像的性质数形结合确定ba的最小值. 解：0a =时，max ln 1x b x +⎛⎫≥⎪⎝⎭，令()ln 1x f x x+=，则()221ln 1ln x x f x x x --'==-，令()0f x '=，解得：1x =，且当01x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减， ∴()()max ln11111f x f +===， ∴1b ≥，故b 的最小值为1，()ln 1x f x x+=的图像如下所示：当0a >时，令0ax b +=，可得bx a=-，故ba取得最小值，直线0ax b +=在x 轴的截距最大，又ln 1x ax b x+≤+，结合图像可知：令()ln 10x f x x+==，可得1=x e ，则1x e-=-，故min1b a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：1，1e-.点评：关键点点睛：本题解题的关键是运用转化思想和构造函数，结合导数判断函数的单调性和最值. 五、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请在①cos sin b b C B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222ABCa b c S +-=这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）求∠C；（2）若a ＝5，c ＝7，延长CB 到D ，使cos ADC ∠=，求线段BD 的长度. 答案：（1）答案见解析；（2）5.（1）主要考查利用正余弦定理进行边角互化；（2）本题为多三角形问题，在ABD △中，需要算出BAD ∠的三角函数值，然后用正弦定理即可. （1）选①∵cos sin b b CB +=，及正弦定理，∴sin sin cos sin B BC C B +=，∵在ABC 中，()0,B π∈，∴sin 0B >cos 1C C -= ∴1sin coscos sinsin 6662C C C πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，则3C π=. 选②∵()2cos cos b a C c A -=，及正弦定理，∴2sin cos sin cos sin cos B C A C C A -= ∴()2sin cos sin B C A C =+ ∵在ABC 中，A B C π++=，∴()sin sin A C B +=，∴1cos 2C = ∵在ABC 中，()0,C π∈，∴3C π=.选③2221sin sin 3323ABC a b c S ab C ab C ∆+-===由余弦定理得：222cos 2a b c C C ab +-==∵在ABC 中，()0,C π∈，∴sin tan cos C C C ==3C π=. （2）第一问的答案都一样3C π=在ABC 中，∵5,7,3a c C π===，由余弦定理得212549225b b+-=⨯∴25240b b +-=，得8,3b b ==-（舍去）由正弦定理得：sin sin b c ABC C =∠，∴87sin sin 3ABC π=∠，则sin 7ABC ∠=，由余弦定理得：2222549641cos 22577a cb ABC ac +-+-∠===⨯⨯在ABC中，cos 7ADC ∠=，∴sin ADC ∠==∴()sin sin sin cos cos sin BAD ABC ADC ABC ADC ABC ADC ∠=∠-∠=∠∠-∠∠17=-=由正弦定理得：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，则5BD == 点评：本题需要熟练运用正余弦定理进行边角互化，遇到多三角形问题，可以从要求的结果出发，把所求量放在一个三角形中，然后逆向思考.18．已知等差数列的首项为2，前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的首项为1，且满足，前n 项和为a 3＝2b 2，S 5＝b 2＋b 4．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设()331log log nn n n c S b =-+，求数列{c n }的前26项和．答案：（1）2n a n =，13n n b -=；（2）328.（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.（2）利用裂项相消法和分组求和可求{}n c的前26项和.（1）由题意得：113 111225452a db qa db q b q+=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩即32221010d qd q q+=⎧⎨+=+⎩，∴390q q-=，∵{}n b是正项等比数列，∴3q=，则2d=，∴()2212na n n=+-=，11133n nnb--==.（2）()()12212nS n n n n=+=+，则()()()()()13331log1log31log1log11 n n nnnc n n n n n-⎡⎤=-++=-+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴{}n c的前26项和为：()()()26333333log1log20log2log31log3log42T=--+++++--++()()3333log25log2624log26log2725+--++++()3326025log1log2733253282⨯+=-++=+=.点评：思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19．如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，PB∥平面MAC．（1）求证：平面MAC平面PAD；（2）若PA ＝3，求平面PAB 和平面MAC 所成锐二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）330. （1）首先连接BD 交AC 于点E ，连接ME ，易证CA AD ⊥，PA CA ⊥，从而得到CA ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定即可证明平面MAC ⊥平面PAD .（2）首先以A 为原点，AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，再利用向量法求解二面角即可.（1）连接BD 交AC 于点E ，连接ME ，如图所示：∵//PB 平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC ME =，∴//PB ME ，∴2DE DM ADBE PM BC===，∴1BC =， ∵2AB =，60ABC ∠=∴1412232AC =+-⨯⨯=2224AC BC AB +==，090ACB ∠=， ∴90CAD ∠=，CA AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA CA ⊥， ∵PA AD A ⋂=，∴CA ⊥平面PAD ，∵CA ⊂平面MAC ， ∴平面MAC ⊥平面PAD ；（2）如图所示：以A 为原点，AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，则()()))20,0,3,0,0,0,3,1,0,3,0,0,0,,23P A BCM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()()()20,0,3,3,1,0,0,,2,3,0,03PA AB MA AC ⎛⎫=-=-=--=⎪⎝⎭，设平面PAB 和平面MAC 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，平面PAB 与平面MAC 所成锐二面角为θ，∴()11111130·01,3,0·030z n PA n n AB x y -=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨=-=⎪⎩ ()222222220·030,3,1·030y z n MA n n AC x ⎧⎧--==⎪⎪⇒⇒=-⎨=⎪⎪=⎩⎩， ∴121233330cos 20210n n n n θ===.20．已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：综合评价成绩（单位：分）[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)频数 510151055赞成人数4812431（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．参考公式：()()()()()22n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：答案：（1）表格见解析，不能；（2）30. （1）由已知完成列联表，结合公式计算2K 根据参考数据即可判断结果；（2）由分层抽样得在[)60,70里面抽6个，[)70,80里面抽4个，再用对立事件求解概率即可. （1）做个皮尔逊卡方检验的话，有()2250286412 3.125 3.84132184010K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯故此不能推翻零假设，不能认定成绩和态度有关. （2）这样分层抽样，会在[)60,70里面抽6个，[)70,80里面抽4个，设A 为没有人在[60，70)内的事件，则概率即为()1P P A =-3431029130C C =-= 21．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-，离心率为，抛物线216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．答案：（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.（1）根据题意，列出方程组，结合222c a b =-，求得,a b 的值，得出椭圆的标准方程，又由抛物线216y x =-，求得准线方程，即可求得A 的坐标；（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，求得,M N 的坐标，即可求得直线MN 的方程；（3）设()()4,,4,P t Q t -，得到:4MN x ky =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，得到1212y y ky y +=-，再由直线PM 和QN 的方程，求得交点的横坐标，即可求解. （1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-，离心率为2，可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-，解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,2x y ==±，当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,242M N ⎛-- ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；所以直线MN的方程为4)6y x =±-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+，设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-，又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---，交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.点评：直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．已知函数()ln a e f x x x -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值；（2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围．答案：（1）0a =；（2）1m e≥-. （1）设切点坐标为()()00,x f x ，根据题意只需满足()02f x e'=，()00002ln 2a e f x x x x e-=+=-，然后求解方程组得出a 的值及0x 的值；（2）记()()ln a e g x f x ma x ma x-=+=++，求导讨论函数()g x 的单调性，确定最值，使()min 0g x ≥成立，得到关于参数m 的不等式，然后利用参数分离法求解参数m 的取值范围.解：（1）设切点为()()00,x f x ，其中01x >，有()020012a e f x x x e -'=-=，且()00002ln 2a e f x x x x e-=+=- 得0021x a e x e -=-，所以004ln 30x x e+-=，易解得：0x e =，则0a =；（2）记()()ln a e g x f x ma x ma x -=+=++，有()2x a e g x x -+'=，当a e ≤，()20x a e g x x -+'=>恒成立，则函数()g x 在()0,∞+上递增，无最小值，不符合题意；当a e >时，当(),x a e ∈-+∞时，()0g x '>，当()0,x a e ∈-时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,a e -上递减，在(),a e -+∞上递增，所以()g x 在x a e =-处取得最小值，()()()min ln 10g x g a e a e ma =-=-++≥，则有()1ln a e m a +--≤，记()()()1ln a e h a a e a+-=>，有()()2ln e a e a eh a a---'=，易知()h a 在(),2e e 单调递增，在()2,e +∞单调递减，则()()max 12h a h e e ==，所以1m e-≤，得1m e ≥-. 点评：本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般方法如下：（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可.。