§2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
§2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
例2-2-2 机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧
第 6 页
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f ，外加牵引力为 FS (t ) ，其外加牵引力FS (t ) 与 刚体运动速度 v (t ) 间的关系可以推导出为
d FS (t ) d v (t ) d v (t ) m +f + kv (t ) 2 dt dt dt
7 页
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
X
d n r (t ) d n -1 r ( t ) d r (t ) C0 + C1 + + C n -1 + C n r (t ) n n -1 dt dt dt d m e( t ) d m -1 e ( t ) d e( t ) E0 + E1 + + E m -1 + E m e( t ) m m -1 dt dt dt
X
例2-2-1求并联电路的端电压v (t )与激励i (t ) 间的关系。 s
1 电阻 iR (t ) v (t ) R 1 t 电感 i L (t ) - v ( )d L d v (t ) 电容 iC (t ) C dt
iR i s (t ) R L iL C ic +
§2.2 系统数学模型 (微分方程)的建立
第
主要内容
复习系统微分方程的描述 物理系统的模型
2 页
微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
X
第
一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
拉普拉斯变换 例题解析
2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解传递函数的表示
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入 信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：
G(s)
Y (s) F (s)
mS
2
1 fS
k
21
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 关于传递函数的几点说明 （1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于 线性定常系统。 （2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号 的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。 （3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系 统响应的基本特点和动态本质。 （4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系 统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传 递函数表示。
；弹簧力与物体的位移成正比
10
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量 并整理得：
M d 2 y f dy Ky F
dt 2
dt
11
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出
33
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数
即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为：
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
34
第2章
第2章 控制系统的数学模型
4. 闭环系统的误差传递函数 （1）输入信号作用下的误差传递函数
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
微分方程的建立与求解
微分方程的建立与求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将探讨微分方程的建立与求解方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的概念与分类微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
它通常包含未知函数、自变量和它们的导数。
根据方程中含有的未知函数的最高阶导数的次数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是未知函数的导数只涉及一个自变量的微分方程，通常用于描述物理、生物等自然界现象。
偏微分方程是未知函数的导数涉及两个或两个以上自变量的微分方程，常用于描述流体力学、电磁场等现象。
二、微分方程的建立过程微分方程的建立是通过观察实际问题、分析其特点和规律，将问题转化为数学方程。
建立微分方程的过程通常涉及以下几个步骤：1. 确定未知函数：根据问题的背景和目标，确定需要求解的未知函数。
例如，根据物体的速度变化情况，可以确定未知函数为物体的位移函数。
2. 建立变量关系：分析问题中涉及到的各个变量之间的关系，建立它们之间的数学模型。
例如，根据牛顿第二定律和速度与加速度的关系，可以建立运动物体的微分方程。
3. 确定边界条件：根据问题的具体条件，确定微分方程的边界条件，以求解特定的解。
边界条件通常包括初始条件和边界值条件。
4. 化简方程：根据问题的特点和求解的需要，对微分方程进行适当的化简和变形，以便更好地求解。
三、微分方程的求解方法微分方程的求解是通过找到满足方程的函数，从而得到该方程的解。
常用的求解方法有：1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，得到两个只包含一个变量的方程，然后分别对两个方程进行积分，最后得到方程的解。
2. 变量代换法：通过适当的变量代换，将原微分方程转化为已知的、易于求解的微分方程。
3. 积分因子法：通过求解积分因子，将原微分方程化简为恰当微分方程，从而求解得到方程的解。
4. 拉普拉斯变换法：将微分方程通过拉普拉斯变换转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，最后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解。
微分方程的建立步骤
微分方程的建立步骤
嘿，朋友们！今天咱来聊聊微分方程的建立步骤，这可有意思啦！
你想想啊，微分方程就像是一个神秘的密码锁，咱得一步步找到正
确的解法才能打开它。
首先呢，得明确问题。
就好比你要去一个地方，得先知道目的地在
哪儿呀！咱得搞清楚到底要研究啥现象，要解决啥难题。
这一步可不
能马虎，得瞪大眼睛瞧仔细咯！
然后呢，找出关键因素。
这就像是在一堆乱七八糟的东西里找出宝
贝一样。
把那些和问题紧密相关的因素给拎出来，可别把无关紧要的
也掺和进来。
接下来，建立数学模型。
嘿，这就有点像搭积木啦！把那些关键因
素用数学的语言、符号给组合起来，搭建成一个漂亮的模型。
这可得
有点想象力和创造力哦！
再然后，确定变量和未知函数。
这就像是给每个角色起个名字一样，让它们在这个数学的舞台上各就各位。
之后呢，根据物理规律或者已知条件列出方程。
这就好比给这些角
色设定好他们的行动规则，让一切都有章可循。
在这个过程中，可别掉以轻心啊！就像走钢丝一样，得小心翼翼的。
建立好微分方程后，咱还得检查检查，看看有没有漏洞，有没有不合理的地方。
这就跟检查作业似的，可不能马马虎虎交差了事。
你说这建立微分方程的过程像不像一场刺激的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜！咱得用心去感受，去探索，才能找到那把解开神秘密码的钥匙。
总之啊，微分方程的建立步骤可不能小瞧，得认真对待，才能在数学的海洋里畅游无阻呀！大家加油哦！。
第二章系统数学模型的建立
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
自动控制原理第2章
略去高次项，
yy0 dfd(IT
第2章第20页
② 两个自变量
y=f(r1， r2)
静态工作点： y0=f(r10， r20)
在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即
y
f
(r10,r20)rf1
(r1
r10)rf2
(r2
r20)
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
（ rad/s ） ， Mc 为 折 算 到 电 ua 动机轴上的总负载力矩 _
（ N·m ） ， ua 为 电 枢 电 压 + （V）。设激磁电流恒定，
并忽略电枢反应。
_
ia La
ea Ra
Mc
负载
取得u: a为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一 种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响 应的影响。
EXIT
第2章第26页
1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数，记为G(s)，即：
例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量，k为弹簧系数，f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。列写系统的运动 方程。
F
k
m x
EXIT
第2章第10页
解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
微分方程的建立方法和步骤(精)
微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
非线性微分方程的线性化
广州大学机械与电气工程学院
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
系统微分方程的建立
ur
u1
R1
C1
i1
uc
R2
C2
i2
r
u
输入
c
u
输出
消去中间变量可得：
问题：
显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？
这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？
我们来试一下，由上例结果可得：
ur
u1
R1
C1
i1
uc
R2
C2
i2
r
u
输入
从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态微分方程组。
消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程。
列写微分方程式的方法步骤如下：
注意：负载效应
根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。 基尔霍夫定律，牛顿定律，热力学定律，能量守恒定律
系统的数学模型能用线性微分方程描述
线性系统
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
叠加原理：系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和
用非线性方程描述的系统称~，它不能使用叠加原理 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线性化：在工作点附近将非线性函数用泰勒级数展开，并取一次近似 忽略非线性因素，如消除机械间隙，或用补偿反复消除间隙的影响 对非线性因素，若不能简化和忽略，就需用非线性系统的分析方法来处理
若电路有分支，它就有节点，则汇聚到某节点的所有电流的代数和应等于零。
基尔霍夫电流定律
电气系统
R
i(t)
u(t)
C
i(t)
u(t)
简述建立微分方程的一般步骤
简述建立微分方程的一般步骤建立微分方程是研究数学建模和物理问题的重要方法，它能够描述自然现象、工程问题和经济现象等，通过数学模型的建立，可以求解相应的微分方程来获得问题的解析解或数值解。
下面将简要介绍建立微分方程的一般步骤。
一、问题的分析和建模：建立微分方程的第一步是对问题进行仔细的分析和审视，明确问题的性质、要求和约束条件等。
然后根据问题的特点，选择适当的数学模型进行建模。
数学模型分为确定性模型和随机模型，确定性模型基于确定性关系描述问题的行为，而随机模型则基于概率论描述问题的随机性行为。
二、定义变量和关系：在建立数学模型之前，需要定义所需的变量和它们之间的关系。
这些变量可以是时间、空间、强度、速度等物理量。
关系可以使用线性关系、非线性关系或微分关系来描述，并且可以是常微分方程或偏微分方程，具体取决于问题的性质和要求。
三、进行合理的假设：在建立数学模型时，通常需要进行一些合理的假设，以简化问题的复杂性。
假设可以是物理上的近似，也可以是数学上的简化。
合理的假设可以使问题的分析和求解更加容易和快速。
四、应用物理定律和数学关系：在数学建模的过程中，需要应用物理定律和数学关系来描述事物之间的相互作用和变化。
对于物理问题，常见的相关定律包括牛顿定律、欧姆定律、热传导定律等；对于数学关系，常见的包括导数、积分、微积分中的基本定理等。
根据问题的特点和要求，选择合适的物理定律和数学关系进行应用。
五、将现有的关系转化为微分方程：在应用物理定律和数学关系的基础上，将问题中已知的关系转化为微分方程。
这一过程涉及到微分运算、积分运算和代数运算。
通常需要使用导数或偏导数来表示物理变量的变化率，然后使用代数关系来将不同变量联系起来。
最终得到的微分方程称为问题的数学描述。
六、确定边界条件和初值条件：建立微分方程后，需要确定相应的边界条件和初值条件。
边界条件是在方程适用区域边界上给出的条件，用于限制解函数的取值；初值条件是在方程适用区域内某一点给出的条件，用于确定解函数的初始状态。
信号与系统 §202 微分方程式的建立与求解PPT课件
et4V
2 S R1 1
1 it iCt
C1F
et2V
iLt
L 1H 4
3
R2
2
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R 1 it v C t e t
vCtLddtiLtiLtR2
列结点电压方程
it变 t,把 量电路参数代
方程的特解。
1将 ett2代 入 方 ,得t程 2到 2t,右 为使等端 式两端
平衡，试选特解函数式
rptB 1t2B 2tB 3
这里, B1,B2,B3为待定系将数此。式代入方程得到
3 B 1 t 2 4 B 1 3 B 2 t 2 B 1 2 B 2 3 B 3 t 2 2 t
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 e(t与) 响应信号 r (之t ) 间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
二．微分方程的列写
• 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
• 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关 系,KCL，KVL。
例2-2-1求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
微分方程的建立与求解
在航空和航海领域，微分方程用于描述流体 运动规律，如飞机和船舶的气动性能和流体 动力性能。
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通过建立微分方程，可以描述一 个国家或地区的经济增长率与时 间的关系。
在金融领域，微分方程可以用来 描述股票价格的变化规律，以及 最优投资组合的选择问题。
在工程学中的应用
控制理论
在自动化控制系统中，微分方程用于描述系 统的动态特性，如传递函数和状态方程。
航天器轨道
在航天工程中，微分方程用于描述航天器的轨道运 动，如地球同步轨道和太阳同步轨道等。
幂级数法
总结词
通过将解表示为幂级数的形式，逐步逼近精 确解。
详细描述
幂级数法是将微分方程的解表示为幂级数的 形式，通过逐步展开幂级数逼近精确解。这 种方法适用于具有特定形式的微分方程，如 形如y'' + y = 0的方程。通过选择适当的幂 级数形式，可以逐步逼近精确解，得到微分
方程的近似解。
04
热传导方程
在研究热量传递规律时，热传导 方程描述了温度随时间和空间的 变化规律。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波、 电磁波等）的运动规律，是偏微 分方程的重要应用之一。
在经济学中的应用
01
供需关系
微分方程可以用来描述市场供需 关系的变化，分析价格与数量的 动态关系。
02
经济增长模型
03
投资组合优化
通过几何关系建立微分方程
曲线和曲面
通过几何关系，如曲线的长度、曲率或曲线的变化率，可以建立微分方程。同 样，曲面的一些性质，如面积或体积，也可以通过微分方程来描述。
运动轨迹
描述物体运动轨迹的微分方程可以通过速度和加速度的几何关系来建立。
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
第2讲章数学模型的建立
（d）晶体管输出特性
非线性系统的线性化：
对于高阶微分方程，在数学上不可能求得一般形式的解。 因此，在研究这类问题时，在理论上将会遇到困难。矛盾 推动着事物不断向前发展，人们根据理想化的思想，找到 了“线性化”这一方法，较好地解决了很多非线性问题。 线性化是指将非线性微分方程，在一定条件下近似转化为 线性微分方程的过程。 小偏差线性化的实质是：在系统工作点附近，将方程利用 台劳级数展开，忽略高次项的方法。其几何意义是：在预 期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
例6 液压伺服机构 1. 明确 输入 x，输出y 2. 列写原始微分方程 设 p p1 p2
x
高压油 油池 油池 阀芯
my '' cy ' Ap p1 q Ay ' 液压油流量 p/ q f ( p, ) cd xx
y
q A
q p2
油缸
负载
m c
滑阀特性
3. 非线性函数线性化： (1) 确定系统预定工作点 (2) 二元泰勒公式展开 q q( x, p ) q( x0 , p0 ) x
o(t) 7xo(t) 4x i(t) 5xi(t) xo(t) 3x
o(t) 7xo(t) 4t 2 x i(t) 5xi(t) xo(t) 3x
线性定常系统 线性时变系统 非线性系统
o(t) 7xo(t) 4t 2x i(t) 5xi(t) xo(t) 3xo x
则
TaTm ( )'' Tm ( )' ( )
Cd (ua 0 ua ) CmTa ( M L0 M L )' Cm ( M L0 M L ) TaTm ( ) '' Tm ( ) ' Cd ua CmTa (M L ) ' Cm M L 增量化 1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同 2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
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例2-2-2 机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧
第 6 页
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f ，外加牵引力为 FS (t ) ，其外加牵引力FS (t ) 与 刚体运动速度 v (t ) 间的关系可以推导出为
d FS (t ) d v (t ) d v (t ) m +f + kv (t ) 2 dt dt dt
2
k
m
f
Fs
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方的描述
一个线性系统，其激励信号e(t ) 与响应信号r (t ) 之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
7 页
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
X
X
例2-2-1求并联电路的端电压v (t )与激励i (t ) 间的关系。 s
1 电阻 iR (t ) v (t ) R 1 t 电感 i L (t ) - v ( )d L d v (t ) 电容 iC (t ) C dt
iR i s (t ) R L iL C ic +
§2.2 系统数学模型 (微分方程)的建立
第
主要内容
复习系统微分方程的描述 物理系统的模型
2 页
微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
X
第
一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
3 页
X
第
二．微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
4 页
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.
d n r (t ) d n -1 r ( t ) d r (t ) C0 + C1 + + C n -1 + C n r (t ) n n -1 dt dt dt d m e( t ) d m -1 e ( t ) d e( t ) E0 + E1 + + E m -1 + E m e( t ) m m -1 dt dt dt
第 5 页
a
v (t )
-
b
根据KCL
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) iS (t )
代入上面元件伏安关系，并化简有 d i S (t ) d 2 v (t ) 1 d v (t ) 1 C + + v (t ) 2 dt R dt L dt 这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。