小学数学五年级奥数3--排列组合(一)
五年级奥数培优必考知识点——组合
五年级奥数培优必考知识点组 合一、排列知识复习1．排列指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
注意：排列是有顺序性的。
2．排列数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做排列数，记为A m 。
二、组合大家一起来思考：如果从5个小朋友中选出3个小朋友组成一组去观看《喜洋洋与灰太狼之虎虎生威》，那么有多少种不同的选法呢？A 5÷A 3=10(种)1．排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，而组合没有顺序性。
2．组合指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
3．组合数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C m 。
Cm =[n ⨯(n -1)⨯(n -2)⨯(n -3)⨯⨯(n -m +1)]÷[m ⨯(m -1)⨯(m -2)⨯(m -3)⨯⨯ 3⨯2⨯1]4．组合的特殊公式⑴思考：从5个小朋友里一个人也不选有多少种方法数？要是从5个人里选5个人呢？C 5 ＝C 5 ＝1，即C n ＝C n ＝1⑵计算: C 3 和C 3 ；C 5 和C 5①C 3＝(3⨯2)÷(2⨯1) ＝3C 3 ＝3÷1＝3 n n n0 5 0 2 1 2 3 2 13 3 n②C 5＝(5⨯4)÷(2⨯1) ＝10C 5＝(5⨯4⨯3)÷(3⨯2⨯1) ＝10巩固练习：例：计算C 100 －2C 100【例 1】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排共有多少种站法？【例 2】10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行多少场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。
小学数学排列组合题目解析与解题技巧
小学数学排列组合题目解析与解题技巧排列组合是数学中一个重要的概念，也是小学数学中的一个重要知识点。
掌握排列组合的解题技巧，可以帮助我们更好地解决相关题目。
本文将为大家详细解析小学数学排列组合题目，并提供解题技巧。
一、排列组合题目解析在小学数学中，排列组合题目大多是基于以下两个概念进行考察的：1. 排列：指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。
当需要考虑元素的顺序时，就需要使用排列。
2. 组合：指的是从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。
当不需要考虑元素的顺序时，就可以使用组合。
接下来，我们通过一些具体的例题来解析排列组合的相关概念和解题技巧。
例题一：从1、2、3、4、5五个数字中任选两个数字，能够组成多少个不重复的两位数？解析：这是一个排列问题，我们要求的是选取两个数字进行排列，不同的排列方式构成了不同的两位数。
解题技巧：使用排列的计算公式n!/(n-r)!，其中n为总体样本数，r为选取的个数；"!"表示阶乘。
根据题目可知，n=5（因为有1、2、3、4、5五个数字），r=2（因为选取两个数字组成两位数）。
将这些值代入计算公式，得到结果：5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5*4 = 20所以，能够组成20个不重复的两位数。
例题二：从1、2、3、4、5五个数字中任选三个数字，能够组成多少个和为偶数的组合？解析：这是一个组合问题，我们要求的是选取三个数字进行组合，使得组合的数字之和为偶数。
解题技巧：使用组合的计算公式n!/(r!(n-r)!)，其中n为总体样本数，r为选取的个数。
根据题目可知，n=5（因为有1、2、3、4、5五个数字），r=3（因为选取三个数字进行组合）。
将这些值代入计算公式，得到结果：5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 5*4*3*2 / (3*2) = 10所以，能够组成10个和为偶数的组合。
二、解题技巧总结在解决小学数学排列组合题目时，我们可以总结以下解题技巧：1. 判断问题类型：首先要判断题目是排列问题还是组合问题。
五年级奥数思维排列组合
五年级奥数思维排列组合
排列组合是一种思维方式，它可以帮助孩子们更好地理解数学知识，提高学习效率。
五年级的孩子们正处在学习数学的关键时期，掌握排列组合的技能对他们来说至关重要。
首先，孩子们要学会排列组合的基本概念，比如排列和组合的定义，以及它们之间的区别。
其次，孩子们要学会如何计算排列组合的结果，比如从一组数字中挑选出三个数字的排列组合有多少种可能。
此外，孩子们还要学会如何利用排列组合来解决实际问题。
比如，如果有三个人要排队，那么他们可以有多少种排列方式？孩子们可以利用排列组合的思维方式来解决这个问题。
最后，孩子们要学会如何利用排列组合来解决更复杂的问题，比如从一组数字中挑选出三个数字，使它们的和等于某个特定的数字，这就是一个更复杂的问题，孩子们可以利用排列组合的思维方式来解决这个问题。
总之，排列组合是一种重要的思维方式，五年级的孩子们要学会掌握排列组合的技能，以便更好地理解数学知识，提高学习效率。
小学五年级奥数题及答案3
小学五年级奥数题一、工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别须要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时翻开甲乙两水管，5小时后，再翻开排水管丙，问水池注满还须要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队须要20天完成，乙队须要30天完成。
假如两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的非常之九。
如今安排16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，则两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
如今先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮番做，则恰好用整数天完工；假如第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮番做，则完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，假如分给男女生栽，平均每人栽6棵；假如单份给女生栽，平均每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管。
甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。
如今先翻开甲管，当水池水刚溢出时，翻开乙,丙两管用了18分钟放完，当翻开甲管注满水是，再翻开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队须要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发觉粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？二．鸡兔同笼问题1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？三．数字数位问题1．把1至2019这2019个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2019,这个多位数除以9余数是多少2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
五年级奥数题排列与组合的重难点
五年级奥数题排列与组合的重难点一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解：1、定义中包括两个根本容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情〞是“取出m 个元素，再按顺序排列〞2、一样的排列：元素完全一样，并且元素的排列顺序完全一样。
假设只有元素一样或局部一样，而排列顺序不一样，都是不同的排列。
比方abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的根本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=〔主要用于化简、证明等〕排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法〔排除法〕、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法〔排除法〕：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和细心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数的计算方法。
2. 教学难点：排列组合的综合应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实际操作理解排列组合的概念。
2. 采用案例教学法，分析典型例题，引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3. 采用讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨，提高学生的逻辑思维能力。
五、教学安排1. 课时：每课时约40分钟2. 教学步骤：引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案一、引入新课1. 老师：同学们，你们平时喜欢做游戏吗？今天我们就来玩一个有趣的游戏，请大家观察这些数字（出示数字卡片），看看你能发现什么规律？2. 学生观察数字卡片，发现规律。
二、讲解概念1. 老师：同学们观察得很仔细，这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。
什么是排列呢？2. 学生回答：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。
3. 老师：很好，那什么是组合呢？4. 学生回答：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合的个数。
5. 老师：同学们掌握得很好，我们来学习排列数和组合数的计算方法。
三、举例讲解1. 老师：我们以n=5，m=3为例，来计算排列数和组合数。
2. 学生计算排列数：5×4×3=60，计算组合数：C(5,3)=10。
3. 老师：同学们计算得很好，这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢？四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师：比如说，我们有一排5个位置，要从中选出3个位置来安排3个同学，就有60种排列方式，10种组合方式。
小学五年级奥数专题之排列组合题一及答案
1、7个人站成一排，若小明不在中间，共有_______________种站法；若小明在两端，共有_________________种站法。
2、4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有________________种不同的排法；要求2个女生紧挨着有________________种不同的排法；如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____________________种不同的排法。
3、A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，请问共有________________________种不同的排法。
4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B两人必须相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B、C三人不能相邻，一共有________________________种不同的站法。
5、10个相同的球完全分给3个小朋友，若每个小朋友至少得1个，那么共有__________________种分法；若每个小朋友至少得2个，那么共有__________________种分法。
6、小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有______________________种不同的吃法。
7、5个人站成一排，小明不在两端的排法共有__________________种。
8、停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有________________________种不同的停车文案。
9、将3盆同样的红花和4盆同样的黄花摆放在一排，要求3盆红花互不相邻，共有____________________种不同的放法。
10、12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有____________________种分法。
五年级下册数学奥数试题——排列组合应用
第2讲 排列组合应用一、知识点上一讲学习了排列组合的计算公式.这讲主要用排列组合解决一些实际问题.在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，从而确定应该用排列还是组合来计算. 排列与顺序有关，而组合与顺序无关.二、典型例题例1 9支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场.每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场.那么一共要举行多少场比赛？例2 围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？例3 周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生.（1）如果任意选择，一共有多少中选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？例4 由数字43210、、、、可以组成多少个（1）没有重复数字的三位数？（2）没有重复数字的三位奇数？（3）小于2000的四位数？例5 （1）6个人分成A 、B 两队拔河.要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河.要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？例6 五个同学照相，分别求出在下列条件下有几种排法？（1）五个人排成一排；（2）五个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；（3）五个人排成一排，某两人必须站在两头；（4）五个人排成一排，某两人不能站在两头；（5）五个人排成一排，某两人必须站在一起.三、水平测试1. 某班毕业生中有10名同学参加聚会，他们互相握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 小明走进一家商店要买些新衣服，现在从他看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？4. 将87654321，，，，，，，这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有________种不同的排法.A. 1152B. 864C. 576D. 288。
小学奥数之排列组合问题
计 数 问 题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等;5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数; 知识点拨： 例题精讲：一、 排 列 组 合 的 应 用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法1七个人排成一排；2七个人排成一排,小新必须站在中间.3七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. 4七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. 5七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. 6七个人战成两排,前排三人,后排四人.7七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排;【解析】 1775040P =种;2只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =种.3先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置．2×66P =1440种．4先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= 种． 5先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ⨯=种.6七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的．现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =种.7可以分为两类情况：“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880种．排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列;【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数【解析】 个位数字已知,问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题,已知5n =,2m =,根据排列数公式,一共可以组成255420P =⨯=个符合题意的三位数;【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数 【解析】 可以分两类来看：⑴ 把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有44432124P =⨯⨯⨯=种放法,对应24个不同的五位数；⑵ 把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,有336P =种选择．由乘法原理,可以组成33654⨯⨯=个不同的五位数;由加法原理,可以组成245478+=个不同的五位数;【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数【解析】 从高位到低位逐层分类：⑴ 千位上排1,2,3或4时,千位有4种选择,而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择,因为数字不重复,也就是从9个元素中取3个的排列问题,所以百、十、个位可有39987504P =⨯⨯=种排列方式．由乘法原理,有45042016⨯=个．⑵ 千位上排5,百位上排0~4时,千位有1种选择,百位有5种选择,十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题,即288756P =⨯=,由乘法原理,有1556280⨯⨯=个．⑶ 千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时,个位也从剩下的七个数字中选择,有116742⨯⨯⨯=个．⑷ 千位上排5,百位上排6,十位上排8时,比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个． 综上所述,比5687小的四位数有20162804252343+++=个,故比5687小是第2344个四位数．【例 3】 用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数【解析】 按位数来分类考虑：⑴ 一位数只有1个3； ⑵ 两位数：由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成,每一组可以组成22212P =⨯=个不同的两位数,共可组成248⨯=个不同的两位数；⑶ 三位数：由1,2与3；1,3与5；2,3与4；3,4与5四组数字组成,每一组可以组成333216P =⨯⨯=个不同的三位数,共可组成6424⨯=个不同的三位数；⑷ 四位数：可由1,2,4,5这四个数字组成,有44432124P =⨯⨯⨯=个不同的四位数； ⑸ 五位数：可由1,2,3,4,5组成,共有5554321120P =⨯⨯⨯⨯=个不同的五位数． 由加法原理,一共有182424120177++++=个能被3整除的数,即3的倍数．【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数 【解析】 由于组成偶数,个位上的数应从2,4,6中选一张,有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张,有255420P =⨯=种选法．由乘法原理,一共可以组成32060⨯=个不同的偶数．【例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6；1,1,2,5；1,1,3,4；1,2,2,4；1,2,3,3；2,2,2,3六种;第一种中,可以组成多少个密码呢只要考虑6的位置就可以了,6可以任意选择4个位置中的一个,其余位置放1,共有4种选择；第二种中,先考虑放2,有4种选择,再考虑5的位置,可以有3种选择,剩下的位置放1,共有4312⨯=种选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种,与第一种的情形相似,3的位置有4种选择,其余位置放2,共有4种选择．综上所述,由加法原理,一共可以组成412121212456+++++=个不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 5】 两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,同一位置上坐不同的人算不同的坐法,那么共有多少种不同的坐法【解析】 第一个位置在6个人中任选一个,有166C =种选法,第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个,有133C =种选法．同理,第3,4,5,6个位置依次有2,2,1,1种选法．由乘法原理,不同的坐法有11111163221163221172P P P P P P ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=种;【例 6】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻,有A 为8,B 、D 应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不同的数字,所以有26P 种选法,而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字,所以有27P 种选法,所以共有26P ×27P =1260种选法;从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个;【例 7】 一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数 【解析】 设这个六位数为abcdef ,则有()a c e ++、()b d f ++的差为0或11的倍数．且a 、b 、c 、d 、e 、f 均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数;先考虑a 、c 、e 偶数位内,b 、d 、f 奇数位内的组内交换,有33P ×33P =36种顺序； 再考虑形如badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换,也有33P ×33P =36种顺序;所以,用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数包含原来的abcdef;所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数;【例 8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说：“很遗憾,你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况【解析】这道题乍一看不太像是排列问题,这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题,已知“甲和乙都未拿到冠军”,而且“乙不是最差的”,也就等价于5人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数,因为乙的限制最多,所以先排乙,有3种排法,再排甲,也有3种排法,剩下的人随意排,有333216P=⨯⨯=种排法．由乘法原理,一共有33654⨯⨯=种不同的排法;【例 9】4名男生,5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【解析】⑴先排甲,9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以,有6种选择,剩下的8个人随意排,也就是8个元素全排列的问题,有888765432140320P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种选择．由乘法原理,共有640320241920⨯=种排法．⑵甲、乙先排,有22212P=⨯=种排法；剩下的7个人随意排,有7 776543215040P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,共有2504010080⨯=种排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有22212P=⨯=种不同排列方法,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是4个元素与5个元素的全排列问题,分别有4 4432124P=⨯⨯⨯=种和5554321120P=⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,共有2241205760⨯⨯=种排法．⑷先排4名男生,有44432124P=⨯⨯⨯=种排法,再把5名女生排到5个空档中,有5 554321120P=⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,一共有241202880⨯=种排法;【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目;如果贝贝和妮妮不相邻,共有种不同的排法;【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120种;如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人,那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24种;因为贝贝和妮妮可以交换位置,所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48种；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72种;【例 10】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目,与6个演唱节目一起排,则是7个元素全排列的问题,有【解析】777!76543215040P==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．第二步再排4个舞蹈节目,也就是4个舞蹈节【解析】目全排列的问题,有444!432124P==⨯⨯⨯=种方法．根据乘法原理,一共有504024120960⨯=种方法．⑵首先将6个演唱节目排成一列如下图中的“□”,是6个元素全排列的问题,一共有6 66!654321720P==⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．×□×□×□×□×□×□×第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间即上图中“×”的位置,这相当于从7个“×”中选4个来排,一共有477654840P=⨯⨯⨯=种方法．根据乘法原理,一共有720840604800⨯=种方法;【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种【解析】先排独唱节目,四个节目随意排,是4个元素全排列的问题,有44432124P=⨯⨯⨯=种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,也就是从三个节目选两个进行排列的问题,有2 3326P=⨯=种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目,有3种排法．由乘法原理,一共有2463432⨯⨯=种不同的编排方法．小结排列中,我们可以先排条件限制不多的元素,然后再排限制多的元素．如本题中,独唱节目排好之后,合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘,得出最后的答案;【例 11】 ⑴从1,2,…,8中任取3个数组成无重复数字的三位数,共有多少个只要求列式⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同的选法 ⑶3位同学坐8个座位,每个座位坐1人,共有几种坐法 ⑷8个人坐3个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法⑸一火车站有8股车道,停放3列火车,有多少种不同的停放方法⑹8种不同的菜籽,任选3种种在不同土质的三块土地上,有多少种不同的种法【解析】 ⑴按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8个数字8个元素取出3个往上排,有38P 种．⑵3种职务3个位置,从8位候选人8个元素任取3位往上排,有38P 种．⑶3位同学看成是三个位置,任取8个座位号8个元素中的3个往上排座号找人,每确定一种号码即对应一种坐法,有38P 种．⑷3个坐位排号1,2,3三个位置,从8人中任取3个往上排人找座位,有38P 种． ⑸3列火车编为1,2,3号,从8股车道中任取3股往上排,共有38P 种．⑹土地编1,2,3号,从8种菜籽中任选3种往上排,有38P 种;【巩固】 现有男同学3人,女同学4人女同学中有一人叫王红,从中选出男女同学各2人,分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： 1共有多少种选法2其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种 3参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种4参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有多少种 【解析】 1从3个男同学中选出2人,有223⨯=3种选法;从4个女同学中选出2人,有234⨯=6种选法;在四个人确定的情况下,参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法;3×6×24=432,所以共有432种选法;2在四个人确定的情况下,参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法; 3×6×12=216,所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种;3考虑参加数学小组的是王红时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人,从3个女同学中选出1人,3个人参加3个小组时的选法;3×3×3×2×1=54,所以参加数学小组的是王红时的选法有54种,432-54=378,所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种;4考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组,从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法;3×2×3=18,所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种,216-18=198,所以参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有198种;【例 12】 某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段进行,第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组,每组4人,分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛,确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛【解析】 第一阶段中,每个小组内部的6个人每2人要赛一场,组内赛26651521C ⨯==⨯场,共8个小组,有158120⨯=场；第二阶段中,每个小组内部4人中每2人赛一场,组内赛2443621C ⨯==⨯场,共4个小组,有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理,整个赛程一共有120244148++=场比赛;【例 13】 由数字1,2,3组成五位数,要求这五位数中1,2,3至少各出现一次,那么这样的五位数共有________个;2007年“迎春杯”高年级组决赛【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1,2,3至少各出现一次,没有确定1,2,3出现的具体次数,所以可以采取分类枚举的方法进行统计,也可以从反面想,从由1,2,3组成的五位数中,去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．法1分两类：⑴1,2,3中恰有一个数字出现3次,这样的数有135460C ⨯⨯=个；⑵1,2,3中有两个数字各出现2次,这样的数有2234590C C ⨯⨯=个．符合题意的五位数共有6090150+=个． 法2从反面想,由1,2,3组成的五位数共有53个,由1,2,3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)⨯-个,由1,2,3中的某1个数字组成的五位数共有3个,所以符合题意的五位数共有5533(22)3150-⨯--=个;【例 14】 10个人围成一圈,从中选出两个不相邻的人,共有多少种不同选法【解析】 法1乘法原理．按题意,分别站在每个人的立场上,当自己被选中后,另一个被选中的,可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人,每个人都有7种选择,总共就有71070⨯=种选择,但是需要注意的是,选择的过程中,会出现“选了甲、乙,选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择,而却算作了两种,所以最后的结果应该是10111---10235⨯÷=种．法2排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况,总的组合数为210C ,而被选的两个人相邻的情况有10种,所以共有21010451035C -=-=种; 【例 15】 8个人站队,冬冬必须站在小悦和阿奇的中间不一定相邻,小慧和大智不能相邻,小光和大亮必须相邻,满足要求的站法一共有多少种【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间,就意味着只要为这三个人选定了三个位置,中间的位置就一定要留给冬冬,而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻,则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：3212372423P P P 3360C C ⨯⨯⨯⨯=种 同时满足第一、三个条件,满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3222262322P P P P 960C ⨯⨯⨯⨯=种 因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400-=种;【例 16】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法 【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO 块糖分成了两部分;我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…,如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立,故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法;【巩固】 小红有10块糖,每天至少吃1块,7天吃完,她共有多少种不同的吃法 【解析】 分三种情况来考虑：⑴ 当小红最多一天吃4块时,其余各每天吃1块,吃4块的这天可以是这七天里的任何一天,有7种吃法；⑵ 当小红最多一天吃3块时,必有一天吃2块,其余五天每天吃1块,先选吃3块的那天,有7种选择,再选吃2块的那天,有6种选择,由乘法原理,有7642⨯=种吃法；⑶ 当小红最多一天吃2块时,必有三天每天吃2块,其四天每天吃1块,从7天中选3天,有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种吃法;根据加法原理,小红一共有7423584++=种不同的吃法．还可以用挡板法来解这道题,10块糖有9个空,选6个空放挡板,有639984==C C 种不同的吃法; 【巩固】 把20个苹果分给3个小朋友,每人最少分3个,可以有多少种不同的分法【解析】 法1先给每人2个,还有14个苹果,每人至少分一个,13个空插2个板,有21378C =种分法． 法2也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举;【巩固】 有10粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法 【解析】 如图：○○|○○○○|○○○○,将10粒糖如下图所示排成一排,这样每两颗之间共有9个空,从头开始吃,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的,九个空中画两条竖线,一共有98236⨯÷=种方法．【例 17】 某池塘中有A B C 、、三只游船,A 船可乘坐3人,B 船可乘坐2人,C 船可乘坐1人,今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船,为安全起见,有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同,那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同,所以儿童不能乘坐C 船．⑴若这5人都不乘坐C 船,则恰好坐满A B 、两船,①若两个儿童在同一条船上,只能在A 船上,此时A 船上还必须有1个成人,有133C =种方法；②若两个儿童不在同一条船上,即分别在A B 、两船上,则B 船上有1个儿童和1个成人,1个儿童有122C =种选择,1个成人有133C =种选择,所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C 船有369+=种安全方法；⑵若这5人中有1人乘坐C 船,这个人必定是个成人,有133C =种选择．其余的2个成人与2个儿童,①若两个儿童在同一条船上,只能在A 船上,此时A 船上还必须有1个成人,有122C =种方法,所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上,那么B 船上有1个儿童和1个成人,此时1个儿童和1个成人均有122C =种选择,所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C 船有61218+=种安全方法．所以,共有91827+=种安全乘法．【例 18】 从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下,分别有多少种选法 【例 19】 ⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生,某两名男生必须入选； 【例 20】 ⑷某两名女生,某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生,某两名男生最多入选两人;【解析】 ⑴恰有3名女生入选,说明男生有5人入选,应为3581014112C C ⨯=种； ⑵要求至少两名女生人选,那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法,从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758C C C C --⨯=；⑶4人必须入选,则从剩下的14人中再选出另外4人,有4141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：84181443758100142757C C -=-=．⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选,共：817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=;【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各一名,现要组成5人医疗小组送医下乡,按照下列条件各有多少种选派方法【巩固】 ⑴ 有3名内科医生和2名外科医生； 【巩固】 ⑵ 既有内科医生,又有外科医生； 【巩固】 ⑶ 至少有一名主任参加； 【巩固】 ⑷ 既有主任,又有外科医生;【解析】 ⑴ 先从6名内科医生中选3名,有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种选法；再从4名外科医生中选2名,共有2443621C ⨯==⨯种选法．根据乘法原理,一共有选派方法206120⨯=种．⑵ 用“去杂法”较方便,先考虑从10名医生中任意选派5人,有51010987625254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4人,所以不可能只派外科医生．如果只派内科医生,有51666C C ==种选派方法．所以,一共有2526246-=种既有内科医生又有外科医生的选派方法;⑶ 如果选1名主任,则不是主任的8名医生要选4人,有488765221404321C ⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯种选派方法；如果选2名主任,则不是主任的8名医生要选3人,有388761156321C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方法．根据加法原理,一共有14056196+=种选派方法． ⑷ 分两类讨论：①若选外科主任,则其余4人可任意选取,有4998761264321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选取方法；②若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余4人不能全选内科医生,用“去杂法”有4485876554326543214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯种选取法．根据加法原理,一共有12665191+=种选派方法;【例 21】 在10名学生中,有5人会装电脑,有3人会安装音响设备,其余2人既会安装电脑,又会安装音响设备,今选派由6人组成的安装小组,组内安装电脑要3人,安装音响设备要3人,共有多少种不同的选人方案【解析】 按具有双项技术的学生分类：⑴ 两人都不选派,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选派方法；⑵ 两人中选派1人,有2种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑,则还需2人安装电脑,有25541021C ⨯==⨯种选法,而另外会安装音响设备的3人全选派上,只有1种选法．由乘法原理,有10110⨯=种选法；若此人安装音响设备,则还需从3人中选2人安装音响设备,有2332321C ⨯==⨯种选法,需从5人中选3人安装电脑,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选法．由乘法原理,有31030⨯=种选法．根据加法原理,有103040+=种选法； 综上所述,一共有24080⨯=种选派方法． ⑶ 两人全派,针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑,则还需要从5人中选1人安装电脑,另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备,有515⨯=种选派方案；②两人一个安装电脑,一个安装音响设备,有22535432602121C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方案；③两人全安装音响设备,有355433330321C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方案．根据加法原理,共有5603095++=种选派方案．综合以上所述,符合条件的方案一共有108095185++=种．【例 22】 有11名外语翻译人员,其中5名是英语翻译员,4名是日语翻译员,另外两名英语、日语都精通．从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人翻译日文,这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张【解析】 针对两名英语、日语都精通人员以下称多面手的参考情况分成三类：⑴ 多面手不参加,则需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择,需从4名日语翻译员中选出4人,有1种选择．由乘法原理,有515⨯=种选择．⑵ 多面手中有一人入选,有2种选择,而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译,则需从5名英语翻译员中再选出3人,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择,需从4名日语翻译员中选出4人,有1种选择．由乘法原理,有210120⨯⨯=种选择；如果参加日文翻译,则需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择,需从4名日语翻译员中再选出3名,有31444C C ==种选择．由乘法原理,有25440⨯⨯=种选择．根据加法原理,多面手中有一人入选,有204060+=种选择．⑶ 多面手中两人均入选,对应一种选择,但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中,还需从5名英语翻译员中选出2人,有25541021C ⨯==⨯种选择．需从4名日语翻译员中选4人,1种选择．由乘法原理,有110110⨯⨯=种选择．情况②中,需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人,有2443621C ⨯==⨯种选择．根据乘法原理,共有15630⨯⨯=种选择．情况③中,两人各译一个语种,有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择,需从4名日语翻译员中选出3人,有31444C C ==种选择．由乘法原理,有1210480⨯⨯⨯=种选择．根据加法原理,多面手中两人均入选,一共有103080120++=种选择． 综上所述,由加法原理,这样的分配名单共可以开出560120185++=张．二、 几何计数【例 23】 下图中共有____个正方形; 【解析】 每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个； 边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222432130+++=个正方形．现有5个44⨯的正方形,它们重。
小学数学排列与组合问题
小学数学排列与组合问题数学是一门让人们思考和逻辑能力得到提升的学科。
在小学阶段，数学教育旨在培养学生的基础数学知识和问题解决能力。
其中，排列与组合是数学中一个重要的概念，它涉及到数的排列和组合方法的计算。
在本文中，我们将探讨小学数学中的排列与组合问题，并通过一些例子来帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、排列问题排列是指从给定的元素中按照一定的规则选择若干个元素进行排列的问题。
在小学数学中，我们通常会碰到两种常见的排列问题：全排列和部分排列。
1. 全排列全排列是指从给定的元素中选择所有元素进行排列的问题。
假设我们有3个元素A、B、C，那么它们的全排列有6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
2. 部分排列部分排列是指从给定的元素中选择一部分元素进行排列的问题。
假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行排列，那么它们的部分排列有6种，分别是AB、AC、BA、BC、CA、CB。
在排列问题中，我们可以使用数学公式来计算全排列和部分排列的数量。
全排列的计算公式为n!（n的阶乘），其中n表示元素的个数。
部分排列的计算公式为n! / (n - m)!，其中n表示元素的个数，m表示选择的元素个数。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选择若干个元素进行组合的问题。
在小学数学中，我们通常会碰到两种常见的组合问题：无重复组合和有重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从给定的元素中选择若干个不重复的元素进行组合的问题。
假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行组合，那么它们的无重复组合有3种，分别是AB、AC、BC。
2. 有重复组合有重复组合是指从给定的元素中选择若干个元素进行组合的问题，允许选择的元素重复。
假设我们有3个元素A、B、C，我们要求从中选择2个元素进行组合，那么它们的有重复组合有6种，分别是AA、AB、AC、BB、BC、CC。
在组合问题中，我们可以使用数学公式来计算无重复组合和有重复组合的数量。
小学奥数-排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标：1. 让学生理解排列组合的概念，能够运用排列组合的知识解决实际问题。
2. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。
3. 提高学生解决数学问题的兴趣和自信心。
二、教学内容：1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：排列组合的概念、排列数公式、组合数公式及其应用。
2. 教学难点：排列组合问题的解决方法和技巧。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列组合的知识。
2. 运用案例教学法，让学生通过实际案例理解排列组合的概念和应用。
3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学安排：1. 第一课时：排列的概念和排列数公式2. 第二课时：组合的概念和组合数公式3. 第三课时：排列组合的应用举例4. 第四课时：练习与讲解六、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如抽签、排座位等，引出排列组合的概念。
2. 新课导入：介绍排列和组合的定义，讲解排列数公式和组合数公式。
3. 案例分析：分析实际问题，运用排列组合知识解决问题。
4. 练习与讲解：学生自主练习，教师讲解疑难问题。
七、课后作业：1. 复习本节课所学内容，掌握排列组合的概念和公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 搜集生活中的排列组合实例，下周分享。
八、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 生活实例分享：评价学生搜集的排列组合实例的创意性和实用性。
九、教学拓展：1. 深入了解排列组合在实际生活中的应用，如密码学、运筹学等。
2. 探索其他数学领域的知识，如数列、概率等，与排列组合知识相结合。
3. 鼓励学生参加奥数比赛和相关活动，提高数学素养。
十、教学反思：2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生积极探索、合作交流的学习习惯，增强学生的自信心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数公式的运用。
2. 教学难点：排列组合问题的理解和解决。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究、合作交流。
2. 运用实例分析，让学生直观理解排列组合的概念。
3. 练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教学课件或黑板2. 练习题3. 学生分组合作学习所需材料教案内容：一、排列的概念和排列数公式1. 排列的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做一个排列。
2. 排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
二、组合的概念和组合数公式1. 组合的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
2. 组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
三、排列组合的应用1. 题目示例：有红、蓝、绿三色的珠子，从中选出2个珠子，要求红珠子必须选中，求选法的总数。
2. 解题思路：这是一个排列问题，因为红珠子必须选中，只需要从蓝、绿两种颜色中再选一个珠子，按照排列的定义和公式，计算出排列数。
3. 解题步骤：a. 确定n=3（三种颜色），m=2（选两个珠子）。
b. 计算排列数：A3 = 3! / (3-2)! = 3×2 = 6。
c. 得出选法的总数为6种。
四、课堂练习a. A4 = ？b. A5 = ？a. C3 = ？b. C4 = ？五、总结与反思1. 本节课学习了排列和组合的概念及公式。
2. 通过对实例的分析，理解了排列组合的应用。
小学五年级奥数《排列组合》
排列组合知识要点例1：用红绿黄蓝白五种颜色小旗，任取两种颜色组成一组，共可以组成多少种不同的情况？例2、在一个圆周上共有10个点，以这些点为顶点，可以围成多少个四边形？例3、某小学实验班有30明学生，其中正副中队长各一名，现在要选派5明学生参加课外活动，其中，正副中队长必须参加，一共有多少种选派方法？例4、学校举行一场篮球友谊赛，五年三班要从8名后先运动员中挑选5名上场比赛，共有多少种选法？例题5、从1~30这30个数中选取两个不同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？同步练习：1、计算C24C35C110C12122、扑克牌中的红桃、方片、黑桃、草花四种花色，任取两张不同的花色组成一组，可以组成多少个不同的花色组？3、在一个圆周上共有8个点，以这些点为端点，可以；连出多少条线段？4、在同一平面内有15个点，任何3个点不在同一直线上，以每3点为顶点画三角形，一共可以画多少个三角形？5、某生产小组有技术工人15人，要从中选出3名工人进行技术培训，共有多少中不同的选法？6、在产品检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现在从50件产品中任意抽出2件，一共有多少种不同的抽法？7、某学校要从5名选手中选派4名参加市里组织的演讲比赛。
共有多少种选法？8、产品验收小组从20件成品中任意抽取5件产品检验，一共有多少种不同的抽取法？9、从1，3，5，…，49这些奇数中，任意选取两个不同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？10、从4到17这些数中，选取两个不相同的数，使其和是偶数的选法共有多少种？课外练习：1、从6名同学中任意选取3名学生参加学校的植树活动。
有多少种不同的选法？2、右图中一共有多少个线段？3、在一个圆周上共有14个点，以这些点为端点，可以连出多少条线段？4、从8道不同的算式中任取两道，共有多少中不同的选法？5、某小学实验班有学生20人，现在要派5名学生参加宣传活动，共有多少种选派方法？6从26个英文字母中任选4个，共有多少种不同的选法？7、在同一平面内有10个点，任何3个点不在同一直线上，以每3点为顶点画三角形，一共可以画多少个三角形？8、从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？9、从13到56中，选取两个不同的数使其和是偶数的选法共有多少中？10、在一个圆周上共有12个点，以这些点为顶点，可以画出多少个五边形？11、某小学实验班有24名学生，其中正副中队长各一名，现在要选派4名学生参加知识竞赛，其中，正副中队长必须参加，一共有多少种选派方法？。
（完整）五年级奥数.计数综合.排列组合（abc级）.教师版
一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (mn )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (mn )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m nP ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]nm 个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m （）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m L （）（）（），即12.1m nPn n n n m L （）（）（），这里，m n ，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于mn 的情况，排列数公式变为12321nnPn n n L （）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则nn P 还可以写为：!nnPn ，其中!12321n n n n L L（）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(mn )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n )的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mnC ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数mn P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m m nnmP C P ．因此，组合数12)112321m m nnmmP n n n n m C m m m P L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：mn mnnC C (m n )这个公式的直观意义是：mn C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mnC 表示从n 个元素中取出(nm )个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(nm )个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C ．规定1nnC ，01nC ．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n 个空隙中放上(1)m 个插板，所以分法的数目为11m nC ．⑵m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a 个，还剩下[(1)]n m a 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C．⑶m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()nm 个，因此分法的数目为11m nm C ．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38B 、83C 、38AD 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
小学奥数专题--排列组合
.✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n! (n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m n = C n-m n来简化计算。
排列组合小学奥数
排列与组合（一）排列例1、张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法。
（1）、七个人排成一排；（2）、七个人排成一排，张华必须站在中间；（3）、七个人站成一排，张华，李明必须有一人站在中间；（4）、七个人站成一排，张华，李明必须站在两边；（5）、七个人站成一排，张华，李明都没有站在边上；（6）、七个人排成两排，前排三人，后排四人；（7）、七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华，李明不在同一排。
例2、用0，1，2，3四个数码可以组成（）个没有重复数字的四位偶数。
例3、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0的数字组成，且四个数字之和是9，为确保打开保险柜，至少要试（）次。
例4、从1，3，5中任选两个数字，从0，2，4中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数，其中偶数有（）个。
例5、在前10000个自然数中，不含数码“1”的数有（）个。
练习：1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。
（1）、甲拿到自己作业本的拿法有（）种；（2）、恰有一人拿到自己作业本的拿法有（）种；（3）、至少有一人没拿到自己作业本的拿法有（）种；（4）、谁也没拿到自己作业本的拿法有（）种。
2、用0，1，2，3，4，可以组成（）个小于1000的没有重复数字的自然数。
3、自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同，这样的数有（）个。
4、由1000到1999这1000个自然数中，有（）个千位，百位，十位，个位数字中恰有两个相同的数。
5、从1，3，5中任选两个数字，从2，4，6中任选两个数字，共可组成（）个没有重复数字的四位数。
6、用1，2，3，4，5这五个数字可以组成120个没有重复数字的四位数，将它们从小到大排列起来，4125是第（）个。
7、在所有的三位自然数中，组成数的三个数码既有大于5的数码，又有小于5的数码的自然数共有（）个。
学而思奥数网奥数专题 排列组合
学而思奥数网奥数专题排列组合
1、五年级排列组合问题：
难度：中难度
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数答：
2、五年级排列组合问题：
难度：中难度
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
答：
3、五年级排列组合问题：
难度：中难度
从19、20、21……93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?
答：
4、五年级排列组合问题：
难度：高难度
已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？
答：
5、五年级排列组合问题：
难度：高难度
平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．
答：
学而思奥数网奥数专题（排列组合）
1、五年级排列组合问题答案：
2、五年级排列组合问题答案：
3、五年级排列组合问题答案：
两数之和为偶数时，必须是同奇或同偶，且加法可交换，故不必考虑顺序．因此只须分两类讨论即可．19、20……93、94共有38个奇数，38个偶数．从38个数中任选2个数的方法有
238C 3837(21)703=⨯÷⨯=种．
即 奇加奇、偶加偶各有703种，所以选法共有1406种．
4、五年级排列组合问题答案：
五年级排列组合问题答案：。
小学奥数排列组合解析
小学奥数排列组合解析
介绍
在小学奥数中，排列组合是一个重要的概念。
通过排列组合，我们可以确定不同物品的排列方式或组合方式。
在此文档中，我们将详细解析排列组合的概念和应用。
排列
排列指的是从一组物品中，取出一些物品按照一定的顺序进行排列的方式数。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的排列如下：
AB、AC、AD
BA、BC、BD
CA、CB、CD
DA、DB、DC
因此，从四个不同的物品中选出两个进行排列的方式数为：4 X 3 = 12
组合
组合指的是从一组物品中，取出一些物品进行组合的方式数。
与排列不同，组合不考虑排列顺序。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的组合如下：
AB、AC、AD、BC、BD、CD
因此，从四个不同的物品中选出两个进行组合的方式数为：4! / (2! * (4-2)!) = 6
应用
排列和组合在数学以及现实生活中有广泛应用。
例如，从一组球员中选出不同的首发阵容，从一组物品中选出特定的组合等等。
在小学奥数研究中，排列组合也是其他数学概念研究的基础，是培养逻辑思维和解决问题能力的关键部分。
结论
在小学奥数中，排列组合是重要的数学概念和应用，通过学习和理解排列组合可以帮助我们更好地理解其他有关概率和统计学的概念。
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排列组合（一）
例1：探究“排列”
从1、2、3、4、5中挑两个数字组成一个两位数，共可组成多少个不同的两位数？
乘法原理：排列原理：
例2：探究“组合”
从1、2、3、4、5中挑选两个数字，有多少种选法？
乘法原理：组合原理：
例3：排队问题
有6个年龄互不相同的人，3人一排，站成两排。
（1）如果可以随便站，那么一共有多少种排法？
（2）如果第一排的每一个人都比第二排的小，那么一共有多少种排法？
例4：圆圈连线
如图，在一个圆周上有9个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出（）条线段；（）个三角形；（）个四边形。
练习1：从5、6、7、8、9这五个数字中选出四个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？
练习2：甲、乙、丙、丁四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排法？
练习3：学生会召集各班正、副班长，学习委员开会。
五（2）班参加会议的班干部到会堂后，发现还有11个空座位，那么他们一共有多少种不同的坐法？
练习4：从1、2、3、4、5中任意取三个数字，从6、7、8、9中任取两个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
练习5：在一个圆周上有7个点，那么以这些点为顶点或者端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？
练习6：一个圆周上有10个点，任意两点用线段连接，那么这些线段在圆内最多有多少个交点？
练习7：学校举行四、五、六年级的足球比赛，其中四年级共有8个班，五年级共有7个班，六年级共有6个班。
比赛按年级分成3个小组，先各小组都进行单循环赛，然后再由各组的前两名共6个班进行单循环赛，决出冠亚军。
一共需要比赛多少场？
练习8：学校体操队有18名同学，从中选出2名同学，
（1）分别担任正副队长，有多少种不同的选法？
（2）去参加全市的体操比赛，有多少种不同的选法？
练习9：新学期的班会上，大家要从9名候选人中选出4名同学组成班委会，那么一共有多少种选法？如果贝贝一定要当选，有多少种不同的选法？
练习10：7本不同的故事书，任选4本分给4名同学，每人一本，有多少种不同的分法？
练习11：一本书有400页，数字1在这本书里出现了多少次？
第十二届中环杯决赛题选
如图，半圆连同直径上共有10个点，以这些点为顶点，可以构成（）
个三角形。