理数7答案

ADBAC CABCB CD 12【答案】D

【解析】设()y f x =与()()0y g x x =>在公共点()00,P x y 处的切线相同，

()()2

3'2,'a f x x a g x x

=+=

，由题意

()()()()

0000,''f x g x f x g x ==，即

222

000001323ln 2,22a x ax a x b x a x +=++=

，由2000

322a x a x a x +=+=得0x a =或03x a =-（舍去），即有2221223ln 2b a a a a =

+- 2253ln 2a a a =-，令()()225

3ln 02

h t t t t t =->，则()()'213ln h t t t =-，于是当()13ln 0t t ->，即1

3

0t e <<时， ()'0h t >；当()13ln 0t t -<，即

1

3

t e >时， ()'0h t <，故()h t 在13

0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

为增函数，在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，于是()h t 在()0,+∞的

最大值为123332

h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故b 的最大值为2

33

4e ，故选D.

13-16 必要不充分 3 [

)

1,2

17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

1λ=-．

18、解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为141

20050

P =

=

； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.

（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2

5

10C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，

18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．

②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．

()1290.110P ξ==

=， ()()12300.1,310.21010P P ξξ======， ()()()()2211

320.2,330.2,340.1,350.110101010

P P P P ξξξξ============

因而ξ的分布列为

ξ

29 30 31 32 33 34 35 P

0．1

0．1

0．2

0．2

0．2

0．1

0．1

所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.

19（1）由于平面AEF ⊥平面EFCB ， AEF ∆为等边三角形， O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥． （2）取CB 的中点D ，连接OD ，以O 为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角

坐

标

系

，，由于

平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为，设平面AEB 的法向量

，则

，二面角F AE B --的余弦值1212125cos ,5

n n n n n n ⋅〈〉=

=

=⋅，由二面角

F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的斜弦值为5

． 20．（1）22

11612

x y +=（2）()30-，（3）22

（1）∵左顶点为()4,0A -

∴4a =又∵12

e =∴2c =又∵222

12b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为

2211612x y +=． （2）直线l 的方程为()4y k x =+，由()221{16124x y y k x +==+消元得()22411612

k x x ⎡⎤+⎣

⎦+=

化简得， ()(

)

2

2

44316120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，则2

1221612

4,43

k x x k -+=-=+

当221612

43k x k -+=+时， 22216122444343k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，∴22

21612244343k k D k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭

， ∵点P 为AD 的中点

∴点P 的坐标为22216124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭

，，则()3

04op k k k =-≠.

直线l 的方程为()4y k x =+，令0x =，得点E 的坐标为()04k ，，假设存在定点()(),0Q m n m ≠使得OP EQ ⊥,则1OP EQ k k =-，即34•14n k k m

--=-恒成立，∴()41230m k n +-=恒成立 ∴4120{

30

m n +=-=即-3{

m n == ∴定点Q 的坐标为()30-，.

（3）∵//OM l ∴OM 的方程可设为y kx =，由22

1{1612x y y kx

+==得M

点的横坐标为x =由OM l ，

得2221612

82D A E A D A M M k x x x x x x AD AE OM x x -++-+--+====

⎫=

≥

=

k =时取等号，

∴当k =时， AD AE OM

+

的最小值为

21解：（1）

()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡

⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣

⎦，令()0f x '>．

当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， 所以0a >时函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；

0a <时函数()y f x =的单调递增区间是()0,1

（2）①

2211

()()()ln 22

h x g x x f x x a x ''==

-=-，由题意得()min 0h x ≤， 因为()2a x a h x x x x

-'=-

=(x x x +=，

所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；

当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；

min 1

()2

h x h a a ∴==

-

由1

02

a a ≤

-ln 1a ≤，则实数a 的取值范围是(]0,e （分离参数法亦可）

． ②由（1）知a e =时，()21

ln 02

h x x e x =-≥在()0,x ∈+∞

上恒成立，当x =

22ln x N e x x *∴∈<时，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得

()22222ln1ln 2ln3ln 123e n n +++

+<+++

+

即()()22222ln 123123,e

n n n N *⋅⋅⋅

⋅<+++

+∈

22（1）整理圆的方程得22

12110x y +++=，由222

{ x y cos x sin y ρρθρθ=+==可知圆C 的极坐标方程为

212cos 110ρρθ++=．