高等数学第三章 单调性及其判定
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单调性及其判定
Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法
例1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y ຫໍສະໝຸດ Baidu,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
f ( x ) , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例5
证
证明 x 0时 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的。 定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
1 x f ( x ) ln( x 1 x ) x 2 1 x 1 x2 ln( x 1 x 2 ) 1 0 f ( x ) 1 x2 x 0时 f ( x ) f ( x ) f (0) 0
2
x 0时 f ( x )
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
注
①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x ) 0( f ( x ) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
2 33 x
解 D : ( , ).
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( x ) f ( 0) 0
1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
例6 设 0 x
2
证明 x sin x
y
2
x y
Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法
例1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y ຫໍສະໝຸດ Baidu,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
f ( x ) , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例5
证
证明 x 0时 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的。 定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
1 x f ( x ) ln( x 1 x ) x 2 1 x 1 x2 ln( x 1 x 2 ) 1 0 f ( x ) 1 x2 x 0时 f ( x ) f ( x ) f (0) 0
2
x 0时 f ( x )
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
注
①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x ) 0( f ( x ) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
2 33 x
解 D : ( , ).
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
若在(a , b)内， f ( x ) 0,
则 f ( ) 0,
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( x ) f ( 0) 0
1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
例6 设 0 x
2
证明 x sin x
y
2
x y