耦合波理论
第三章 模耦合理论及应用
B( z )
2
d 2 2 ( A( z ) B( z ) ) 0 dz
3.1.2模耦合理论的基本概念—同向传输
如果耦合区域在 0 z L范围内,而初始条 A(0) 1, B(0) 0 即:在起始处光功率在 件为 波导I处,即书上说的波导I被激励 如果 A(0) 0, B(0) 1 ，则是起始处在波导 II处。 则将模耦合方程求解得到：
3.1.1模耦合理论的基本概念—耦合方程
模耦合的基本思想：
有波导I和 II ，当它们离得充分远时，假设其 各自的简正模场分布为φaφb ，并分别以传输 常数βa βb进行传输，然后，将两个波导相互 靠近，简正模的场分布不再是φaφb，而是将 包含波导I、II 的整个体系看作是一个波导， 此时耦合波导体系中传输的将是两个新的简正 模φeφo传输常数φe φo 此是模耦合的基本 概念。 53页给出
3.1.2模耦合理论的基本概念—同向传输
则将模耦合方程求解得到：
A( z )
B( z ) e
iz
12
2 c 2
e iz sin ( c2 2 )1 / 2 2
2 1/ 2
cos(
2 c
)
z i 2 sin ( c2 2 )1/ 2 z ( c 2 )1/ 2
e
j ( b a ) z
表示两个模之间的耦合系数
表示两个模之间的相位匹配常数
3.1.1模耦合理论的基本概念—耦合方程
ab c f f b dxdy
* a II
其积分范围是波导II 的截面
C是 a , b 归一化相关常数
3.1.2模耦合理论的基本概念—同向传输
光纤光栅模耦合理论
单模均匀光纤光栅反射谱公式： 光纤光栅布喇格反射公式
光纤光栅耦合模理论
光纤光栅区域的光场满足模式耦合模方程：
dAin0 dz dAin0 dz K n0 m0 Aim0 exp[ j ( n0 m0 ) z ] K n0 m0 Aim0 exp[ j ( n0 m0 ) z ]
t Emt H mt H mz 考虑 j m H mt j0 z 是m模式的播常 H mt 2 m H m t H mz z j 0 n0 Em m zt t z
t (
A z 、B z 分别为光纤光栅区域中的前向波、后向波； k z 为耦合系数；q z 与光栅周期和传播常数 有关。
利用此方程和光纤光栅的折射率分布、结构参量及边界条件， 并借助数值算法，可以求出光纤光栅的光谱特性。
i t i 0 m i m mt i H t bi ' m H mt i ' 0 m
i i 2 t [ t (aim Emt )] z (bim H mt ) j 0 n aim Emt j0 z i0 m i0 m i0 m i
i i 2 t [ t (aim Emt )] z (bim H mt ) j 0 n aim Emt j0 z i0 m i0 m i0 m i
dbim )( z H mt ) j 0 (n 2 n0 2 )aim Emt ] 0 dz i 0 m i daim bim 1 1 {[( jb )( z E ) [( )( H i m m mt t t mt )]} 0 2 2 dz j n n i 0 m 0 0
耦合器基本原理
弱耦合理论的基本思想是：相耦合的两波导中
的场，各自保持了该波导独立存在时的场分布和传 输系数，耦合的影响表现在场的复数振幅的沿途变 化。
两光纤耦合过程光功率分配状况
P1(z)= 1-F2sin2( C z ) F P2(z)= F2sin2( C z ) F
熔锥型单模光纤耦合器
在单模光纤中，传导模是两个正交的的基模(HE11) 信号。传导模进入熔锥区后，纤芯变细，V值逐渐减少， 越来越多的光功率进入光纤包层。实际上的光功率是在 由包层作为芯，纤外介质(一般是空气)作为新的包层的
复合波导结构中传输的。
2πa V= λ
n12-n22
熔锥区截面示意图
两光纤波导之间的耦合
宽带单模耦合器
当前光纤通信中采用的1310nm或1550nm的半导体 激光器一般都有±30nm的波长偏差，因此需要耦合器在
一个较宽的波长范围都能达到设计要求。
目前通信领域的宽带耦合器的一般要求：1310nm 1550nm双窗口，每窗口带宽±50nm、分光比的变化不 大于5%。
宽带耦合器制作原理
用熔融拉锥工艺制作宽带耦合器的原理如图：
P1(z)是直通臂的光功率， P2(z)是耦合臂的 光功率，z为拉锥长度。
1 2
2
1/ F 1
2 3 2 1
( 1 2 ) 4C
2
2
耦合系数 C
U
W
2 2
2 U K 0 (Wd r ) rV K (W )
2
r ( k n co )
r ( k n cl )
耦合器的基本原理
刘新夫
2004-05
光学三波耦合过程教学课件
式中相位失配因子为 k k1 k2 k3 对于方程(3.1.24)、(3.1.25)和(3.1.26)，k的含 义分别是：
k k1 (k3 k2 ) k1 k2 k3 （差频）
k k1 (k3 k2 ) k1 k2 k3 （差频） k [(k1 k2 ) k3] k3 (k1 k2 )（和频）
可见当倍频晶体长度达到有效倍频长度的2倍时，
E3(z) 已趋近 E1(0) ，即接近饱和，转换效率接近1。
这是平面光波条件下的结果，实际上对高斯光束，
L=2cm的KDP晶体，其转换效率小于60％。
最后给出基频耗尽条件下的倍频转换效率公式
P2 n2 tanh2 L
P n
LSHG
(3.2.20)
§3.2.3 相位匹配技术
三个波之间的耦合强度。
则（3.1.18） ～ （3.1.20）可以表示为：
E1 ( z ) z
i1
cn1
(2) (1; 2,3)E2*E3eikz
E2 ( z) z
i2
cn2
(2) (2;3, 1)E3E1*eikz
E3 ( z ) z
i3
cn3
(2) (3;1,2 )E1E2eikz
(3.1.21) (3.1.22) (3.1.23)
(3.2.5) (3.2.6)
E3 (L)
2d
cn2 k
E12 (0)(e ikL
1)
(3.2.7)
考虑到基波在 z 0处的光强和二次谐波在 z L
处的光强分别为：
I1
1 2
0
cn
E1
2
I3
1 2
0
cn2
E3
2
可以得到：I 3
定向耦合 奇模 偶模-概述说明以及解释
定向耦合奇模偶模-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述定向耦合是一种特殊的耦合方式，它在电磁波传输中起到了至关重要的作用。
定向耦合器被广泛应用于通信系统、雷达系统和微波电路等领域，以实现信号的传输和控制。
定向耦合器的设计和优化是这些系统中关键的一环，对系统性能的提高有着重要的意义。
在定向耦合器的设计中，奇模和偶模是两个重要的概念。
奇模是指当有一个输入端口有信号输入时，其他未激励的端口上产生的信号响应；而偶模是指当有两个相邻的输入端口有信号输入时，其他未激励的端口上产生的信号响应。
在定向耦合器的工作过程中，奇模和偶模的特性不仅直接影响了耦合的效果，还与定向耦合器的互联性能和参数有一定的关系。
本文将从定向耦合的概念、奇模和偶模的特点以及它们的相互关系等方面进行详细阐述，并探讨定向耦合在实际应用中的价值。
通过对定向耦合的深入研究，我们可以更好地理解定向耦合器的工作原理和性能特点，进一步提高通信系统和雷达系统等领域中的传输效果和控制能力。
在接下来的章节中，我们将逐一探讨定向耦合的各个方面，并通过实例和实验结果进行说明。
通过本文的阅读，相信读者能够对定向耦合具有更深入的理解，并将其应用于实际工程项目中，提升系统的性能和可靠性。
同时，本文也将为相关研究人员提供一些参考，以便于他们在该领域开展更加深入的研究和实践工作。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的整体组织和内容安排，以便读者更好地理解和阅读本文。
本文按照以下结构展开：第一部分为引言部分。
首先，我们将对定向耦合、奇模和偶模的概念进行简要的介绍，帮助读者了解本文的主要研究领域。
接着，我们将详细描述本文的结构和组织方式，以便读者了解各个章节的内容和目的。
最后，我们将明确本文的目的，即为了传达和探讨定向耦合、奇模和偶模的重要性和应用价值。
第二部分为正文部分。
在本节中，我们将深入探讨定向耦合的概念，并对其特点进行详细阐述。
光纤耦合器的理论_设计及进展
第30卷第1期 2010年3月物 理 学 进 展PROGRESS IN PH YSICS V ol.30No.1 M ar.2010文章编号:1000-0542(2010)01-0037-44收稿日期:2009-11-18基金项目:国家自然科学基金(10674075,10974100,60577018)、天津市应用基础与前沿技术研究计划重点项目、国家863计划项目(2006A A01Z 217)、光电信息技术科学教育部重点实验室开放基金项目资助*Ema il:zhangw g@nanka 光纤耦合器的理论、设计及进展林锦海,张伟刚(南开大学现代光学研究所,光电信息技术科学教育部重点实验室,天津300071)摘要: 系统总结了光纤耦合器的发展历程,归纳提炼出各个阶段的标志性事件;详细阐述了光纤耦合器的耦合类型、制作方法、性能参数;详细评述了光纤耦合器的理论分析方法;全面分析了X 型、星型、光栅型、混合型等各种典型光纤耦合器的基本结构、工作原理及耦合特性;指出并展望了光纤耦合器的发展方向和应用前景。
作者率先提出并设计了超长周期光纤光栅耦合器,实验上实现了两个超长周期光纤光栅之间的有效耦合。
关键词:光纤光学;光纤耦合器;光纤通信;光纤传感;超长周期光纤光栅中图分类号:T N253;T N929 文献标识码:A0 引言光纤耦合器是一种用于传送和分配光信号的光纤无源器件,是光纤系统中使用最多的光无源器件之一,在光纤通信及光纤传感领域占有举足轻重的地位。
光纤耦合器一般具有以下几个特点:一是器件由光纤构成,属于全光纤型器件;二是光场的分波与合波主要通过模式耦合来实现;三是光信号传输具有方向性。
根据光的耦合原理,人们已经设计出了多种光纤耦合器器结构。
包括:X 型光纤耦合器、星型光纤耦合器、双包层光纤耦合器、光纤光栅耦合器、长周期光纤光栅耦合器、布拉格光纤耦合器、光子晶体光纤耦合器等。
随着各种光纤通信和光纤传感器件的广泛使用,光纤耦合器的地位和作用愈来愈重要,并已成为光纤通信和光纤传感领域不可或缺的一部分。
无线电传输在双线圈及四线圈系统中的耦合模理论
Transmission of Wireless Power in Two-Coil and Four-Coil Systems using Coupled Mode TheoryManasi Bhutada, Vikaram Singh, ChiragWartyDept. of Electrical and Electronics EngineeringIntelligent Communication LabMumbai, India无线电传输在双线圈及四线圈系统中的耦合模理论电气与电子工程系智能通信实验室印度，孟买姓名：学号：班级：日期：2016年7月2日Abstract—Wireless Power Transfer (WPT) systems are considered as sophisticated alternatives for modern day wired power transmission. Resonance based wireless power delivery is an efficient technique to transfer power over a relatively long distance. This paper presents a summary of a two-coil wireless power transfer system with the design theory, detailed formulations and simulation results using the coupled mode theory (CMT). Further by using the same theory, it explains the four-coil wireless power transfer system and its comparison with the two-coil wireless transfer power system. A four-coil energy transfer system can be optimized to provide maximum efficiency at a given operating distance. Design steps to obtain an efficient power transfer system are presented and a design example is provided. Further, the concept of relay is described and how relay effect can allow more distant and flexible energy transmission is shown.摘要——无线电源传输（WPT）系统被认为是复杂的现代有线输电的替代品。
基于严格耦合波理论的亚波长光栅优化设计
第３ ２卷 第 ６期 ２ １ 年 １ 月 ００ ２
光
学
仪
器
Ｖｏ ． ２，Ｎｏ ６ １３ ．
Ｄｅ ｅ ｅ ，２ １ ｃ ｍｂ ｒ ０ ０
ＯＰＴＩ ＡＬ ＮＳ Ｃ Ｉ ＴＲＵＭ ＥＮＴＳ
文章编号 ：１０ — ６ ０ ２ １ ） ６０ ４ —５ ０ ５５ ３ （０ ０ ０ —０ ００
基于严格耦合波理论的亚波长光栅优化设计
ｃ ｌ ｕ ａ ｉ ｇ ｆ ｉ ｒ ｃ ｉ ｎ ｆｉｉ ｎ ｙ ｏ ｓ ｂ ｗａ ｅｅ ｇ ｈ ｒ ｔ ｇ ｗｉｈ ｉ ｅ ｅ ｔ ｔ ｕ ｔ ｒ ａｃ ｌ ｔ ｏ ｄ ｆ ａ ｔｏ ｅ ｆ ｅ ｃ ｆ ｒ ｕ — ｖ ｌ ｎ ｔ ｇ ａ ｉ ｓ ｎ ｆ ｃ ｎ ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｆ
ｆｌ ｒｎ ｎ ｅ ｔｄｆｒ ｃｉｎ ｒ ｓ ｌ ａ Ａ＝ Ｏ ４ ５ ｕ ｙ ｃ ｃｅ０ ５ ７ ｒ／ ｇ一２ ３ ． ｉ ｅ ｉｇ ａ ｄ ｂ ｓ ｉｆａ ｔｏ ｅ ｕ ｔ ｔｄ／ ｔ ． ２ ，ｄ ｔ ｙ ｌ ． ０ ，ｎｄ ｎｒ ． ７
Ｋｅ ｒ ｓ ｕ — ｖ ｌｎ ｔ ｒ ｔ ｇ；ｒｇ ｒ ｕ ｏ ｐ ｅ ｖ ｈ ｏ ｙ；ｏ ｔ ｌ ｅ ｉｎ ｙｗｏ ｄ ：ｓ ｂ ｗａ ｅｅ ｇ ｈ ｇ ａ ｉ ｎ ｉｏ ｏ ｓｃ ｕ ｌｄ ｗａ ｅｔ ｅ ｒ ｐｉ ｓ ｍａ ｄ ｇ
ＸＩ Ｊｉｈ ｏ．ＨＵＡＮＧ ｕ ｎ ｈ ｎ，ＺＨ ＵＤｏ ｇ ｕ Ａ ｃ ａ Ｙ ａ ｓｅ ｎｙ ｅ
耦合波理论
可以由 S(j)推出 S(j+1)，
经过递推，当 j = M–1 时，便得到了第 M 个零厚度层与 L0区 域间的 S 矩阵，也就是 LM与 L0区域间的矩阵 S(M)。将入射条件:
代入式(2)中，即可求出反射场和透射场的情况。反射光和透 射光的衍射效率可以用下面的式子算出：
谢谢！
消去Hgy可以得到得祸合波方程组
其中A=KX2 -E ，Kx为对角矩阵 对角元素为kmx / k0，I为单位矩阵。
三：求得各级衍射波的振幅及衍射效率
通过计算矩阵A的本征值和本征向量来求解耦合波方程, 光栅区的电场和磁场空间谐波振幅又可写为:
wmi,是矩阵W的元素;而qi和W分别为矩阵A的本征值的 正平方根和本征向量。 gmi是矩阵G一WQ的元素;Q为对角 矩阵,其对角元素为qi;系数ci+和ci-由边界条件确定。
耦合波理论计算普通光栅衍射效 率
耦合波理论：
(1)由麦克斯韦基本方程组求得入射区域及透射区域电磁场的表达式,但 这往往可以由Rayleigh展开式直接给出;
(2)将光栅区域内的介电常数及电磁场用傅里叶级数展开,并由麦克斯韦 基本方程组推导出耦合波方程组:
(3)在不同区域边界面上运用电磁场边界条件,通过一定的数学方法求得 各级衍射波的振幅及衍射效率。
(1)
(2)
光栅问题的求解即演化为对（1）式和（2）式联立的 微分方程组的求解。
（一）EZ的表示
根据Rayleigh展开式，LM与L0区域的电场强度可以表示为：
光栅区域中不是单一媒质，因此电场强度不能用 Rayleigh 展开式示 但由于光栅沿 x 方向的周期性，故 Ez可以展成 Fourier 级数形式：
（二）Fourier 展开与截断
耦合波导理论
第二章线性电光效应的耦合波理论 2001年，She 等人提出一种全新的理论，它从麦克斯韦方程出发，考虑二阶非线性极化强度(也就是只考虑线性电光效应)，忽略其余高阶极化强度，推出关于线性电光效应的耦合波方程，得到在电场作用下的晶体中光的两个独立电场分量的解析解。
这种方法，可运用于研究光在任意一个方向的电场作用下沿任意方向传播的各种线性电光效应的情况，并且不单可以用于研究光的振幅调制，也可以容易去解决光的相位调制问题。
另外对于给定的一个晶体(点群)，能根据需要利用该理论进行优化设计。
这全新的耦合波理论相对折射率椭球理论来说，它的物理图象清晰，得到的结果是解析解，不用再作任何数学变换。
我们不单可以方便地进行优化设计，而且也可用于电光调制器等电光器件性能的分析。
它的出现拓展电光材料的选择范围和优化调制器的调制方式，从而引起了电光效应研究领域内新一轮的探索。
2.1 理论推导波在介质中传播时，能够通过介质内的非线性极化而相互作用将导致形形色色的非线性光学现象，如高次谐波、参量转换、受激散射等等。
电光效应就是其中的一种非线性光学现象。
电(波)与光(波)的互作用，实质上又可以看作是几个处于不同波段的电磁波在非线性介质中的波耦合过程，因此可以象非线性光学那样，通过求解耦合波方程来获得电光作用的有关知识。
对于普克尔效应，是入射波为光+)(ω电波)(m ω产生一个输出光波)(m ωω+的三波耦合过程。
对于电光效应，它涉及到的是光与物质的相互作用，光是由麦克斯韦方程或场方程描述，物质体系是由光学布洛方程描述。
于是我们采用类似非线性光学方法，首先给出相应的非线性极化强度，把电场所感生的附加极化矢量当成一个微扰量P ∆，再将它视为新的极化光源引入麦克斯韦波动方程，通过整理最后可得到相应的耦合波方程。
线性电光效应耦合波理论就是以麦克斯韦波动方程为基础和出发点推导出来的。
我们可以由麦克斯韦方程组和物质方程推导出：220222)()]([)(t t P t c t E t E NLS ∂∂-=∂⋅∂+⨯∇⨯∇με （2-1） 根据矢量运算规则，E E E 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ （2-2）这样可得：2202222)()]([)()]([t t P t c t E t E t E NLS ∂∂-=∂⋅∂+∇-⋅∇∇με （2-3） ε 为介质的相对介电张量，0μ为真空中的磁导率，c 为真空中的光速，E （t ）为介质中的总电场强度，)(t P NLS 为只与电场强度E(t)有关的介质非线性极化强度，暂不考虑旋光效应。
耦合器基本原理.ppt
耦合比率与熔融拉锥长度的关系
1
0.9
0.8
C
D
0.7
P(1.55 0 Z) 0.6
A
E
P(1.31 0 Z) 0.5
Yc( Z )
0.4
B
0.3
0.2
0.1
0 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000
Z
熔锥型多模光纤耦合器
在多模光纤中，传导模若干个分立的模式，当传导 模（靠近光轴的模式为低阶模，离光轴较远的为高阶模） 进入熔锥区后，纤芯变细，同样导致V值逐渐减少，纤芯 中束缚的模式数减少，较高阶的模进入包层中，形成包 层模。
指耦合器全部输出端口光功率总和相对全部输入光功率 的减少值。
Pin
Coupler
Pout1 Pout2
EL= -10×lg ∑Pout Pin
3、分光比（Coupling Ratio，CR） 指耦合器各部输出端口的光功率相对输出总功率的比值。
Pin
Coupler
Pout1 Pout2
Pouti CR=
X形耦合器(2×2 coupler)
Y形耦合器(1×2 coupler) 星形耦合器(M×N coupler,M、N>2) 树形耦合器(1、2×N coupler, N>2)
2.3 工作带宽
单窗窄带耦合器(Standard Coupler) 单窗宽带耦合器(WFC) 双窗宽带耦合器(WIC)
2.4 传导模式
×100%
∑Pout
4、方向性（Directivity） 指耦合器工作时，输入一侧非注入光的一端的输出光
功率与全部注入光功率的比较值。
Pin Coupler
耦合模理论的推导公式
CMT 可得
a1(t) (j 1)a1(t) jK 12a2(t) FS(t) a2(t) (j 2 1)a2(t) jK 12a1(t)
（6） （7）
在上述公式中， 1, 2, L 分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和
负载的吸收功率， K12 为两个线圈的耦合率， FS(t) 为励磁损耗（忽略不
所带的负载， K 2 和 K 3 分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得
U
R
j
L1
1 C
1
I
1
jM 2I 2
jM 3I 3
（10）
0
R
RL2
j
L
2
1 C
2
I
2
jM 2I 1
(11)
0
R
RL3
j
L
3
1 C 3
I
3
jM 3I 1
(12)
在谐振状态下的传输效率为
CT
P
I R 2 2 L2
在谐振状态下，
0
L1
1 0L1
,
L0 2
1 0L2
,
X
1
R,
X
2
R
，从而得到
CT
((RL
2M 2 RL R)R 2M 2 )(RL
R)
(5)
1.2 CMT 分析
CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主
线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数， 两个时间域线圈 a1(t), a2(t) 的原始储能可分别表示为 a1(t) 2 , a2(t) 2 。由
( L 2)(( L 2)1 K 122
耦合器基本原理
熔融拉锥型WDM耦合器
在两光纤耦合过程中，其耦合系数C是包含波长λ 的量，因此，耦合系数对波长是敏感的，在制作过程中， 可以通过改变熔融拉锥条件，来增强这种敏感性，从而 制成波分复用器(WDM)。
如拉锥曲线图，拉伸终止在E点，两输出端口的一 端将获得1310nm波长的全部输出光功率，而另一端获 得1550nm波长的全部输出光功率。
全
光纤蚀刻法
两光纤扭绞一起蚀刻，使光纤纤 心相接触实现耦合
方法简单，但产品不耐用对环 境温度敏感。
光 纤 型
光纤研磨法
对光纤侧面研磨，在磨面加匹配 液，再将光纤拼接。
可做成可调分光比耦合器，但 制作困难，成品率低，环境特 性不理想。
熔融拉锥法
平面波导型 平面光波导原理
体积小、分光比控制精确，易 于大批生产，尤其适合制作多 路均分耦合器。
耦合器的基本原理
刘新夫 2004-05
定义及分类
1、定 义 耦合器是一类能使传输中光信号在特殊结构的耦合区
发生耦合，并进行再分配的器件。
2、分 类 2.1 功能
光功率分配器(Splitter) 光波长耦合器(WDM coupler)
2.2 端口形式
X形耦合器(2×2 coupler)
Y形耦合器(1×2 coupler) 星形耦合器(M×N coupler,M、N>2) 树形耦合器(1、2×N coupler, N>2)
熔融拉锥型全光纤耦合器
熔融拉锥法（Fused Biconical Taper, FBT)
将两根（或两根以上）除去涂覆层的光纤以一 定的方式靠拢，在高温加热下熔融，同时向两侧拉 伸，最终在加热区形成双锥体形式的特殊波导结构， 实现传输光功率耦合的一种方法。
基于WKBZ理论的耦合简正波_抛物方程理论
ΔΔ
ρ
·
1 ρ
p + k2 p = 0 ,
(1)
式中 p ( r , z ,θ) 为声压 , k = ω/ c 为波数 ,ω为圆频率.
用 CMPE 法求解波动方程 (1) ,可得如下形式的级数解[7] :
∞
∑ p ( r , z ,θ)
=
r-
1 2
[
kn (
r ,θ)
]-
1 2
un (
r ,θ)
<n ( z ;
∫η
l
2
ξ
k2 - ad z + φs ( a) + φb ( a) = 2 lπ
(11)
l
和
∫η l ξ l
2b k2 -
d z + ln | Vs ( a) Vb ( z) | + 2 bδ( a)
a
= 0.
(12)
∫η
当 波 速 为 分 段 线 性 时 , ( 11) 和 ( 12) 式 中 的 相 积 分 表 达 式 l k2 - ad z 及 其 导 数
1 2
1 ρ
Δ
ρ2 -
3 2ρ2
(
Δ
ρ) 2 .
(2) 式中 un 为待求的简正波系数 ,满足
5u 5r
=-
Aru + i
1 52 r2 5θ2
+
K2
1/ 2
u,
(5)
式中 u = [ u0 u1 u2 … uM ]T 为简正波系数矩阵 , Ar 为耦合系数矩阵 , K2 为本地简正波本征值矩
阵. 方程 (5) 可用分裂步抛物方程法[7]进行求解.
需代入相应的公式即可求出. 这样就可以大大简化本征值的计算 ,提高计算速度.
波导光学第二章 光波导耦合理论与耦合器
1
光耦合的介绍:
➢光耦合：使光信号从一个光学元 件进入到另一个光学元件
➢耦合器：实现光耦合的元器件统 称为耦合器，集成光学中常用的 耦合器有棱镜，光栅，楔面等。
平板波导模式分布-导模
Cladding
Core
qi
Substrate
导模的特点： • 包层的场成指数衰减。 • 传播常数取分立的值。 • 理论上没有损耗。 • 各个导模正交。
光波导的纵向非均匀性
光波导的纵向不均匀起因：制作不完善；使用时引入；人为引入
芯包分界面不均匀
芯子直径纵向变化 重力影响导致的光纤纵向受力不均，引 起几何尺寸和折射率分布不均匀
制作不完善 ∆纵向不均匀
使用时引入
人为引入：光纤光栅， 重要的光纤器件！
定向耦合器（Directional Coupler）
Input waveguideRin A
B Rout Output waveguide
Coupling region
1
3
D
s
2
4
A0
ZL
x axis
B0
y axis
z axis
波导中传输的导模在芯层外的倏逝场由于相互作用产生耦合，引起波导间模式功 率的相互转移。
8
模式耦合
同向耦合
模式耦合
导波模
应用实例：方向耦合器、Y分支、MZ
E(x, y) Em* (x, y)dxdy
2
功率耦合效率 m
Am 2
E(x, y) E*(x, y)dxdy
E(x, y) Em* (x, y)dxdy E(x, y) E*(x, y)dxdy
13
耦合波理论计算体全息衍射效率matlab程序
体全息光栅衍射效率计算程序耦合波理论半高全宽计算程序如下：clearformat longlam0=0.532;%um,%----------------记录--------------------k0=2*pi/lam0;n=1.68;k=n*k0;d=40;%um 厚度n0=n;%曝光后的平均折射率n1=0.003;%折射率调制度alpha0=0;%平均折射率虚部alpha1=0;%折射率虚部调制度couple_mode='prism'; % couple_mode='air';beta=[-50 3];beta1=beta(1);beta2=beta(2);%左侧入射为beta1，右侧为beta2 +z朝右 +x朝上switch couple_modecase 'air'beta1_media=asind(sind(beta1)/n);beta2_media=asind(sind(beta2)/n);k1=k*[cosd(beta1_media) sind(beta1_media)];%[z x]k2=k*[cosd(180+beta2_media) sind(180+beta2_media)];K=k1-k2;case 'prism'beta1_media=beta1;beta2_media=beta2;k1=k*[cosd(beta1_media) sind(beta1_media)];k2=k*[cosd(180+beta2_media) sind(180+beta2_media)];K=k1-k2;endnorm_K=norm(K);lam_p0=0.535; %--------衍射过程-----------kp0=2*pi/lam_p0;kp=n0*kp0;uni_norm_vec=[1 0];theta_pin=(-30:0.1:30)';theta_p=asind(sind(theta_pin)/n0);%介质外部入射到内部---------------kp_vec=kp*[cosd(theta_p) sind(theta_p)];for ii=1:length(theta_pin)kp_vec_ii=[kp_vec(ii,1),kp_vec(ii,2)];kappa_TE=n1/n0/2*kp-1j*alpha1/2;%TE wave %--coupled wave theory--- kappa=kappa_TE;zeta=(2*dot(kp_vec_ii,K)-norm_K^2)/(2*kp);cs=dot((kp_vec_ii-K),uni_norm_vec)/kp;%衍射光方向余弦，以+z为起始轴cr=dot(kp_vec_ii,uni_norm_vec)/kp;%入射光方向余弦，以+z为起始轴gamma1=-1/2*(alpha0/cs+alpha0/cr+1j*zeta/cs)...+1/2*sqrt((alpha0/cr-alpha0/cs-1j*zeta/cs)^2-4*kappa^2/(cr*cs));gamma2=-1/2*(alpha0/cs+alpha0/cr+1j*zeta/cs)...-1/2*sqrt((alpha0/cr-alpha0/cs-1j*zeta/cs)^2-4*kappa^2/(cr*cs));E_refl_1order=-1j*kappa/(alpha0+1j*zeta+...cs*(gamma1*exp(gamma2*d)-gamma2*exp(gamma1*d))/(exp(gamma2*d)-exp(gamma1*d))...);E_refl_0order=cs*(gamma1-gamma2)*...((alpha0+1j*zeta+cs*gamma1)*exp(-gamma1*d)-...(alpha0+1j*zeta+cs*gamma2)*exp(-gamma2*d)...)^-1;eta_refl_1order(ii,1)=real(abs(cs)/cr*E_refl_1order*conj(E_refl_1order));%前面的因子是由于入射光和衍射光角度不同带来的因子，与投影面积相关eta_refl_0order(ii,1)=E_refl_0order*conj(E_refl_0order); %透射光和入射光角度相同，故没有投影面积的变换问题end找极大位置和半高全宽位置:posi_peak=find(eta_refl_1order==max(eta_refl_1order));%极大值位置halfMax=eta_refl_1order(posi_peak)/2;temp=abs(eta_refl_1order-halfMax);posi_halfMax(1)=find(temp==min(temp));if posi_halfMax(1)>posi_peaktemp(posi_peak:end)=1;elseif posi_halfMax(1)<posi_peaktemp(1:posi_peak)=1;endposi_halfMax(2)=find(temp==min(temp));posi_halfMax=sort(posi_halfMax,2);FWHM=theta_pin(posi_halfMax(2))-theta_pin(posi_halfMax(1))plot(theta_pin,eta_refl_1order)grid onxlabel('入射角 deg')ylabel('DE')。
耦合波理论
耦合波理论如图是用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。
z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。
边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。
光栅矢量K 垂直于边界平面，其大小为Λ=/2πK ，Λ为光栅周期，θ为入射角。
图2 布拉格光栅模型R---入射波，S---信号波，Φ---光栅的倾斜角，0θ---再现光波满足布拉格条件时的入射角（与z 轴所夹得角）；K---光栅矢量的大小，d---光栅的厚度，r θ和s θ---再现光波和衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ---光栅周期。
光波在光栅中的传播由标量波动方程描述022=+∇E k E （2）公式（2）中()z x E ,是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。
公式（2）中传播常数()z x k ,被空间调制，且与介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ相关： ωμσεωj c k -=222 （3）公式（3）中，在自由空间传播的条件下，c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。
在此模型中，介质常量与y 无关。
布拉格光栅的界面由介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ的空间调制表示：()()⎩⎨⎧⋅+=⋅+=X K X K cos cos 1010σσσεεε （4） 公式（4）中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，0σ是平均传导率。
假设对ε和σ进行相位调制。
为简化标志，我们用半径矢量X 和光栅矢量K⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y x X ； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=cos 0sin K ； Λ=K /2π 结合公式（3）和公式（4）()X jK X jK e e j k ⋅-⋅++-=κβαββ2222 （5） 此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α()λεπβ/2210=； ()21002/εσμαc = （6） 耦合常数κ定义为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21012101//241εσμεελπκc j （7） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。
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贝塞尔函数递推公式(II)
1 K ( x) K 1 ( x) K 1 ( x) 2 1 K ( x) K 1 ( x) K 1 ( x) 递推公式： x 2 1 x lim K ( x ) e 大宗量近似： x x
微分公式：
场解的选取
• 依据：
– 导模场分布特点:在空间各点均为有限值; 在 芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模 场在无限远处趋于零。 – 贝塞尔函数形式: J呈振荡形式, K则为衰减 形式。
• 本征解选取: 在纤芯中选取贝赛尔函数J, 在包层中选取变态汉克尔函数K..
J0 J1
K0
K1
本征解的确定
贝塞尔方程及其解
• 纵向场分量满足：贝塞尔方程
2 d 2 F (r ) dF (r ) 2 2 ( k i ) 2 F ( r ) 0 2 dr rdr r
ki2 2 i 0 ni2 k02 ,
i 1,2
• 贝塞尔方程的解：
– 第一类和第二类贝塞尔函数：J, N – 第一类和第二类汉克尔函数：H(1) , H (2) – 第一类和方程的导出
• 边界条件：在r = a, Ez, Hz, E, H 连续
– – – – EIz|a = EIIz|a : HIz|a = HIIz|a : EI|a = EII|a : HI|a = HII|a : AJ(U)-CK(W)=0 BJ(U)-DK(W)=0 (5-1-20c) (5-1-20d)
2 • 归一化工作频率： V 2 a n12 n2 k0 an1 2 0
归一化工作参数
U a n12 k02 2 • 归一化横向传播常数：
2 2 2 • 归一化横向衰减常数： W a n2 k0
• 有效折射率： • 归一化工作参数：
neff = /k0
n n W b 2 V n n
波导场方程与解的基本形式
• 六个场分量：Er,Eφ ,Ez,Hr,Hφ ,Hz • 波导场方程： 2 2 E 2 z
( r
2
rr
j ) 0 H z
2
• 解的基本形式：
Ez (r , ) F (r )e j E (r , , z, t ) Et (r , ) Ez (r , ) z ˆ j (t z ) e ˆ H (r , , z , t ) H t (r , ) H z (r , ) z
• 纤芯(0<r<a)： E zI A Ur j I J ( ) e a H z B
• 包层(r>a)：
E C Wr j K ( )e a H D
II z II z
• 横向分量：（5-1-15）；（5-1-16）
1 2 (弱导近似)
§5-2 模式分类准则
• 0, Ez=0, or Hz=0, 对应于TE模或TM模 • 0, Ez=0, and Hz=0,对应于HE模或EH模 • 分类参数k:
• 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD 系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
2 ' J' K' k12 J' k2 K 1 2 2 2 1 ( )( ) ( 2 2 ) UJ WK UJ WK U W
–又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β 相联系,因此它实际是关于β 的 一个超越方程。当n1、n2、a和λ 0给定时, 对 于不同的值,可求得相应的β 值。由于贝塞 尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本 征值方程可以有多个不同的解β (0,1,2,3... 1,2,3...),每一个β 都对应于一个导模。
§5 阶跃折射率光纤中的场解
• • • • • 数学模型 园柱坐标系中的波导场方程 边界条件 本征解与本征值方程 本征值与模式分析
§5-1 数学模型及波动方程的解
• 数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF) 是一种理想的数学模型,即认为光纤是一 种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率 为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2; 光纤材料为线性、无损、各向同性的电 介质。
'
( 1)!2 1 x ( 1) K ( x) 2 小宗量近似： lim x 0 ln( ) ( 0) 1.781x
本征值方程的其它形式
（1 ）
1 1 2 ( 2 2 ) ( J K )(k12 J k22 K ) U W J' (U ) K' (W ) J ; K UJ (U ) WK (W )
2 2
1 1 （2） ( J K )(J K ) ( J K )(J K ) 0 2 2
J 1 (U ) J ; UJ (U )
（3 ）
K 1 (W ) K WK (W )
J 1 (U ) K 1 (W ) ; UJ (U ) WK (W )
2 2 eff 2 1
2 2 2 2
贝塞尔函数递推公式(I)
1 微分公式： J ( x) J ( x) J ( x) 1 1 2 1 递推公式： J ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) x 2 2 cos(x ) 大宗量近似： lim J ( x) x x 4 2 1 x J ( x ) ( ) 小宗量近似： lim x 0 ! 2