高中数学必修二第二章第一节课件

如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O

N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
x AN
y B
当 直 线 的 斜 率 为 负 时, 直线的倾斜角为钝角
N
A

x
O
图2 1 5 2
(图2 1 5 2) ,此 时,
k y BN tan
x AN
tan 1800 .
如何用数学语言刻画直线的方向, 进而建立 直 线 方 程? 如何利用直线的方程研究直线的位置关系?
2.1.1 直线的斜率
确 定 直 线 位 置 的 要 素 除了 点 之 外,还 有 直 线 的 倾 斜
程 度.通 过 建 立 直 角 坐 标 系,点 可 以 用 坐 标 来 刻 画,那 么,

0.
由 图2 1 3 可 以 看 出:
1当 直 线 的 斜 率 为 正 时,直 线 从 左 下 方 向 右 上 方倾 斜 l1 ; 2当 直 线 的 斜 率 为 负 时,直 线 从 左 上 方 向 右 下 方倾 斜 l2 ; 3当 直 线 的 斜 率 为0时,直 线 与x 轴 平 行 或 重 合l3 .
在 建 造 桥 梁 时,我 们 首 先 要 确 定 桥 拱 的 方 程 然后 才 能进 一 步 地 设 计 和 施 工.
引进平面直角坐标系,用有序数对x, y表示平面
内的点,根据曲线的几何性质,可以得到关于x, y
的一个代数方程f x, y 0.反过来,把代数方程 f x, y 0的解x, y看做平面上点的坐标, 这些
(3,2)
4 移4 个单位,得到点8,2. 通
-2 O
8 (8,-2)
图2 1 4 2
x 过点8,2 和点3,2画直线, 即得所求图2 1 42.
由于
4 5

4 5
,因 此 也 可 以 先 向 左 平 移5
个 单 位, 再
向上平移4 个单位,得到点 2,6.还有其他作法吗?
直 线 的 倾 斜 程 度 如 何 来刻 画 呢?
楼 梯 或 路 面 的 倾 斜 程 度可 用 坡 度 来 刻 画图2 1 1.
级宽
级高
坡度

高度 宽度

高度
图2 1 1
宽度
坡 度 指 斜 坡 起 止 点 间 的高 度 差 与 水 平 距 离 的 比值.铁 路 坡 度
用千分率0 / 00表示, 公路坡度用百分率0 / 0表示.
可以看出, 如果楼梯台阶的宽度级 宽不 变, 那么每一
级台阶的高度级 高越 大, 坡度就越大, 楼梯就越陡.
y
l
y2 Qx2, y2
y2 y1
y1
x2 x1
Px1, y1
ox1
x2 x
1
yl
y2
Qx2, y2
y1
Px1, y1
o
x1
x
2
在直角坐标系中, 我们可以类似地利 用这种方法来刻画直线的倾斜程度.
y 轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上.
如果我们从点3,2开始,向右平移4个单位, 再向上平移 3个单位, 就得到点7,5 . 因此,过点7,5和3,2画直线,即得所求图2 1 41.
y
(-2,6)
6
2
4 5

4 5
,因此, 将点
3,2
5
向右平移5 个单位, 再向下平
拉格朗日
高二（19）
现 实 世 界 中,到 处 有 美 妙 的 曲 线.从 飞 逝 的 流 星 到 雨 后 的 彩虹, 从 古 代 石拱桥到现代的立交桥 这 些 曲 线 都 和 方 程 息 息 相 关. 行 星 围 绕 太 阳 运 行,人 们 要 认 识 行 星 的 运 行 规 律,首 先 就 要 建 立 起 行 星 运 行 的 轨 道 方 程.
当 为钝角时,我们规定tan tan 1800 .
因此,当直线与x 轴不垂直时,直线的斜率k 与倾
斜角 之间满足 k tan .
单 击 图 标, 操 作 打 开 的 几 何 画 板, 检 验 直 线 上 任 意 两 点 确 定 的 斜 率 总 是 相 等 的.
y
l2
例1 如图2 1 3,直线l1 , l2 , l3 都经
l1 过点P3,2,又 l1 , l2 , l3 分别经过点Q1
5
Q3
P
-4
O1
Q1 -3
4
y
例2 经过点3,2画直线, 使直
5 (3,2)
O
(7,5)
3
4
7x
图2 1 41
线 的 斜 率 分 别 为:
1
3 4
;
2

4 5
.
分析 要画出直线,只需再确定
直 线 上 另 一 点 的 位 置.
解
1根据斜率

y x
,
斜率
3 4
表示直线上任一点沿x轴方向向右平移4个单位, 再沿
y2 Qx2, y2
y2 y1
y1
x2 x1
Px1, y1
ox1
x2 x
1
图2 1 2
图2 1 21,对于与x 轴不垂直
的直线 P Q,它们的斜率也可以看 做是
k

y2 x2
y1 x1

纵坐标的增量 横坐标的增量

y . x
对于一条与x 轴不垂直的定直线而言,它的斜率 是 一 个 定 值,由 该 直 线 上 任 意 两 点 确定 的 斜 率 总 是 相 等 的.
Q2
l3 2,1,Q2 4,2,Q3 3,2,试计算
直线l1 , l2 , l3 的斜率.
x
解 设 k1 , k2 , k3 分别表示直线
图2 1 3
l1 , l3 , l3 的斜率,则
k1ห้องสมุดไป่ตู้

12 23

3 5
, k2

22 43

4, k3

22 33