重庆市高2010级高三上期一诊考试题(数学理)参考答案

高2010级（上）期末测试卷 数学（理工类）参考答案

11．)81,0(- 12．),2()81

,0(+∞ 13． 161 14． 1

2+n n 15． π)3(2n n +

三：解答题

16.（13分）解：

（Ⅰ）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=−→

−−→

−−→

−

),1,2(),1,3(m m AC AB --==−→

−−→− 由三点共线知m m -=-2)1(3

∴实数2

1

=

m 时，满足条件…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题设知),1(),1,3(m m BC BA ---=--=−→

−−→

−

ABC ∠ 为锐角，4

3

033->⇒>++=⋅∴−→

−−→−m m m BC BA ……………………………………12分

又由（1）可知，当21=m 时，,0

=∠ABC 故),2

1()21,43(+∞-∈ m …………………………13分 17.（13分）解:

（Ⅰ）()(1cos 2)sin 2)2b f x a x x x a φ=++=++

由题设知,2

14,1422

22

-=+-=+b a a b a 所以3,21==b a ……………………………………4分

所以2

1

)62sin(212cos 212sin 23)(++=++=

πx x x x f 所以)(x f 的最小正周期为π…………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由,6

3

2

26

22

2π

ππ

ππ

ππ

π

π+

≤≤-

⇒+

≤+

≤-

k x k k x k

所以)(x f 单调增区间为)(6,3

Z k k k ∈⎥⎦

⎤

+

⎢⎣

⎡

-πππ

π………………………………………………13分 18（13分）解：

（Ⅰ）)1(log log ,3log log 1331133-+=⋅=---n a a a a n n n n n ∴2

)

1(log ,2)1()1(21log log 3133-=-=

-+++=-n n a n n n a a n n )(25)9

(log *23N n n

n a S n n n ∈-==…………………………………………………………………4分

,211-==S b 当2≥n 时，,31-=-=-n S S b n n n

∴数列}{n b 的通项公式)(3*N n n b n ∈-=…………………………………………………………7分

（Ⅱ）设数列}{n b 的前n 项和为n T ，当03≤-=n b n 即3≤n 时，252

n n S T n n -=-=；

当3>n 时，2

12

5223+-=-=n n S S T n n .…………………………………………………………13分

19（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由

02>---a

x x

a 得:a x a <<-2 ……………………………………………………………2分

)(x f 为奇函数，∴12=⇒-=-a a a

经验证可知：1=a 时，)(x f 是奇函数，1=a 为所求……………………………………………5分

（Ⅱ）1

212)(,11log )(1

2+-=∴-+=-x x x f x x x f ………………………………………………………8分 法一：由x m x f

--⋅=2)(1

得：

32231

22)12(122)12(3)12(122)2(22-≥-+++=+++-+=+-=x x

x x x x x x m

当且仅当)12(log 2-=x 时，322min -=m

所以m 的取值范围[)

+∞-,322………………………………………………………………………12分 法二：原方程即02)1()2(2=-+-m m x

x

设t x

=2，则0)1(2

=-+-m t m t

原方程有实解，等价于方程0)1(2

=-+-m t m t 有正实解……………………………………………6分 令m t m t t g -+-=)1()(2

则

0)0(+=0210)0(m g 或2

(0)0

(1)4010

2g m m m ⎧

⎪>⎪∆=++≥⎨⎪+⎪>⎩…………………………………………………10分

0>⇒m 或0=m 或0322<≤-m

所以m 的取值范围是[)

+∞-,322……………………………………………………………………12分 20.（12分)解：

（Ⅰ）由椭圆定义知：42=a ，∴2=a ，故椭圆方程为1422

2=+b y x ，

把)1,1(代入得11412=+b 得342

=b ，则椭圆方程为

14

422=+y x ， ∴383442

2

2

=-

=-=b a c ，∴3

6

2=c ，故两焦点坐标为)0,362(),0,362(-．…………3分 （Ⅱ）用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点的坐标为)1,1(--，此时22=AB ，取椭圆上一点)0,2(-M ，则10=AM ，∴AB AM >，从而此时AB 不是最大，这与AB 最大矛盾，所以命题成立．………………………………………………………………………………………………7分

（Ⅲ）设AC 方程为：1)1(+-=x k y ，联立⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=14

341

)1(22y x x k y 消去y 得

0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k ，

点A （1，1）在椭圆上，∴1

31

6322+--=

k k k x c ……………………………………………………9分 直线AC 、AD 倾斜角互补，∴AD 的方程为1)1(+--=x k y ，

同理1

31

6322+-+=k k k x D ，………………………………………………………………………………11分

又1)1(,1)1(+--=+-=D D C C x k y x k y ，k x x k y y D C D C 2)(-+=- 所以3

1

=--=

D C D C CD x x y y k ，即直线CD 的斜率为定值31.…………………………………………12分

21.（12分）