一元二次方程单元测试题B卷
一元二次方程单元测试题(含答案)
一元二次方程单元测试题(含答案)第二章一元二次方程测试题（1）一、选择题（每题3分，共30分）1.以下方程属于一元二次方程的是（A）（x-2）·x=x2 (B) ax+bx+c=0 (C) x+=5 (D) x2=02.方程x（x-1）=5（x-1）的解是（C）1或53.2a-1的值是（B）44.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（B）（x-2）2=45.以下方程中，无实数根的是（D）2x2-x-1=06.今世数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（A）47.方程（x+1）（x+2）=6的解是（D）x1=2，x2=38.若是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（C）x2+4x-3=09.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增加率是20%10.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5,400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（A）x2+130x-1,400=0二、填空题（每题3分，共24分）11.方程2x2-x-2=0的二次项系数是2，一次项系数是-1，常数项是-2.1.若方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根为 $-1$，则 $a-b+c=2a+a-b+c=2a-(-1)^2-b(-1)+c=2a-b+c+1=0$，所以 $2a-b+c=-1$。
2.已知 $x^2-2x-3=x+7$，移项得 $x^2-3x-10=0$，因此$(x-5)(x+2)=0$，所以 $x=5$ 或 $x=-2$。
3.设一元二次方程为 $ax^2+bx+c=0$，两根为 $-2$ 和 $3$，则可以列出方程组：begin{cases}a(-2)^2+b(-2)+c=0 \\a3^2+b3+c=0end{cases}化XXX：begin{cases}4a-2b+c=0 \\9a+3b+c=0end{cases}解得 $a=-1$，$b=2$，$c=-3$，因此所求方程为 $-x^2+2x-3=0$。
单元复习AB卷：第二十四章 一元二次方程(B卷-拔高卷)解析版
第二十四章 一元二次方程（B 卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知m 是方程x 2+x -1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【答案】D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1，则可表示出m 3=2m -1，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∴m 是方程x 2+x -1=0的根， ∴m 2+m -1=0， ∴m 2=-m +1，∴m 3=m （-m +1）=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2（-m +1）+2020=2m -1-2m +2+2020=2021． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，经过配方可转化为（ ） A ．()221x -= B ．()227x -=C ．()221x +=D ．()227x +=【答案】B【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可. 【详解】解：2430x x --= 移项得：243x x -=两边都加4得：2447x x -+= 227x故选：B.【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.3．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x 满足的方程为（ ） A ．1(1)100x x x +++= B ．(1)100x x +=C ．21100x x ++=D ．2100x =【答案】A【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人,即经过第一轮有（x +1）人感染,则经过第二轮有()()11x x x +++⎡⎤⎣⎦ 人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．【详解】解：由题可知1+x +x （1+ x ）=100． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．4．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ） A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x 元，根据题意得：180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）若关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =，则一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为（ ）． A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】A【分析】对一元二次方程()22212a x bxb +++=变形，设t ＝x ＋2得到2220at bt +-=，利用2220ax bx +-=的一个根是2022x =可得t ＝2022，从而求出x 即可．【详解】解：对于一元二次方程()22212a x bxb +++=即()()222220a x b x +++-=， 设t ＝x ＋2，则可得2220at bt +-=，而关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =， 所以2220at bt +-=有一个根为t ＝2022， 所以x ＋2＝2022， 解得x ＝2020， 所以一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为x ＝2020， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮阳·八年级期末）将4个数a ，b ，c ，d 记成a b c d：定义.a b ad bc c d=-，则方程243x x x=-的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根【答案】C【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可． 【详解】解：∵243x x x=-∴2x 2−4x =-3， 即22430x x -+=，∵b 2-4ac =(-4)2-4×2×3=-8﹤0， ∴原方程没有实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化． 7．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x 2+ax ＝b 2的解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，以点A 为圆心作弧交AB 于点D ，使AD ＝AC ，则该方程的一个正根是（ ）A ．CD 的长B ．BD 的长C ．AC 的长D ．BC 的长【答案】B【分析】由勾股定理可得：222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得22·,BD a BD b +=从而可得答案. 【详解】解： ∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，AD ＝AC ，222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：22·,BD a BD b += 而x 2+ax ＝b 2，∴ 方程的一个正根为线段BD 的长，故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.8．（2021·辽宁葫芦岛·九年级阶段练习）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =cm ，7BC =cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使PBQ ∆的面积为15cm 2，则点P 运动的时间是（ ）A ．3.5sB ．5sC ．4sD ．3s【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使△PBQ 的面积为15cm 2，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15cm 2， 则BP 为(8−t )cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得，12×(8−t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5（当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15cm 2． 故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．（2022·安徽合肥·八年级期中）对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（ ） A ．只有① B ．只有①② C ．①②③ D ．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【详解】由0a b c -+=，表明方程()200++=≠ax bx c a 有实数根﹣1，表明一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有实数解，则240b ac ∆=-≥，故①正确；∵方程20ax c +=有两个不相等的实根，∴方程2cx a=-有两个不相等的实根， 即a 与c 异号． ∴-ac >0，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；∵c 是方程20ax bx c ++=的一个根， ∴20ac bc c ++=， 即(1)0c ac b ++=当0c ≠时，一定有10ac b ++=成立；当c =0时，则10ac b ++=不一定成立，例如：方程2320x x +=，则130ac b ++=≠； 故③错误；∵0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴2000ax bx c ++=，∴200c ax bx =--，∴()0222222000044()442b ac b a ax bx ax ax b ax b -=---=++=+， 故④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．10．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S ．下列说法错误的是（ ）A ．若a ＝16，S ＝196，则有一种围法B ．若a ＝20，S ＝198，则有两种围法C ．若a ＝24，S ＝198，则有两种围法D ．若a ＝24，S ＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x 米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x 的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米，∴2402240,S x x x x当16a =时，采用图1围法，则此时1220,x当196S =时， 2240196,x x解得：12102,102,x x此时都不符合题意， 采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40216,AD BCx 则28,BC x 所以长为()28x -米，结合2816x 可得012,x ∴28196,x x解得：1214,x x 经检验不符合题意，综上：若a ＝16，S ＝196，则没有围法，故A 符合题意； 设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米， ∴2402240,Sx x x x当20a =时，采用图1围法，则此时1020,x当198S 时， 2240198,x x解得：1211,9,x x 经检验11x =符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40220,AD BCx 则30,BC x 所以长为()30x -米，结合3020x 可得010,x ∴30198,x x解得：121533,1533,x x 经检验1533x 符合题意， 综上：若a ＝20，S ＝198，则有两种围法，故B 不符合题意； 同理可得：C 不符合题意，D 不符合题意； 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·九年级专题练习）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人． 【答案】4【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，由题意得 1(1)25x x x +++= 解得4x =或6-（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人 故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是_____．【答案】24【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：x 2-16x +60=0， （x -6）（x -10）=0， x -6=0或x -10=0， 所以x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，则底边上的高此时三角形的面积=182⨯⨯当第三边长为10时，∵62+82=102, ∴三角形为直角三角形， 此时三角形的面积=12×8×6=24．故答案为：24【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理． 13．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A 组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A 组共有______支球队． 【答案】4【分析】设中国女足所在的A 组共有x 支球队，则每支球队需要比赛的场数为()1x -场，根据12×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．【详解】解：设中国女足所在的A 组共有x 支球队，根据题意得：()1162x x -=， 解得：14x =，23x =-（舍去） 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 14．（2022·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级阶段练习）《代数学》中记载，形如x 2+8x ＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+10x +m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．【答案】5x =-+5x =【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出2255504()(2),22x +⨯=+⨯解方程即可．【详解】解：∵阴影部分的面积为50，∴2255504()(2),22x +⨯=+⨯即75=（x +5）2，解得1255x x =-+=--∴x 的正数解为：5x =-+故答案为：5x =-+【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a 与b 数量关系是______．【答案】b = 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a +b )，右图是一个长方形，长、宽分别为(b +a +b )、b ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a +b )2=b (b +a +b )，解方程即可求出答案．【详解】解：依题意得(a +b )2=b (b +a +b )，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ，则a 2-b 2+ab =0，方程两边同时除以b 2， 则210a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：a b =， ∵a b 不能为负，∴a b =，∴b =，故答案为：b =． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题16．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）对于实数p ，q ，我们用符号{}max ,p q 表示p ，q 两数中较大的数，例如：{}max 1,22=，若{}22max (1),y x x =-，当y ＝4则x ＝______． 【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根据题意，进而可得max {（x ﹣1）2，x 2}＝4时分情况讨论，当x ＝0.5时，x ＞0.5时和x ＜0.5时，进而可得答案．【详解】∵max {（x ﹣1）2，x 2}＝4，()2210x x --> 解得12x <当x ＝0.5时，x 2＝（x ﹣1）2，不可能得出最小值为4，∴当x ＞0.5时，（x ﹣1）2＜x 2，则x 2＝4，解得：x 1＝-2（不合题意，舍去），x 2＝2，当x ＜0.5时，（x ﹣1）2＞x 2，则（x ﹣1）2＝4，x ﹣1＝±2，x ﹣1＝2，x ﹣1＝﹣2，解得：x 1＝-1，x 2＝3（不合题意，舍去），综上所述：x 的值为：2或﹣1．故答案为2或﹣1．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·广西崇左·八年级期中）解下列方程：(1)25210x x +-=；(2)2(y =．【答案】(1)1x =2x =(2)12y y ==【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵5a =，2b =，1c =-，∴42024∆=+=，∴x =∴1x =，2x =． （2）解：原方程可化为230y -+=，配方得，(20y =，∴12y y =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．18．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x 的方程210x kx k -+-=．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k 的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)2k ＜【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，22k k x ±-，分2k ≥和2k ＜两种情况进行讨论即可． （1）解：∵ ()()()222Δ41442k k k k k =---=-+=-≥0． ∴原方程有两个实数根．（2）解：∵210x kx k -+-=，其中1a =，b k =-，1c k =-，()22k =-△，∵x =∴22k k x ±-，若2k ≥，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，这与2k ≥矛盾，应舍去；若2k ＜，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，符合题意，综上，2k ＜．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·八年级期末）某水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg ；(2)从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg ，设销售该水果第x 天（1≤x <10）的利润为368元，求x 的值．【答案】(1)8.1(2)9 【分析】（1）根据“水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%”得两次降价后的价格为10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用当天销售该水果获得的利润=每斤的利润×当天的销售量-储藏和损耗费用，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x 的值为．（1）根据题意得：10（1-10）2=8.1（元/kg ）故答案为：8.1．（2）依题意得：（8.1-4.1）（120-x ）-（3x 2-64x +409）=368，整理得：x 2-20x +99=0．解得：x 1=9，x 2=11．又∵1≤x ＜10，∴x =9．答：x 的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =-- ()()3434x x =-+--()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求x y的值． 【答案】(1)(1)(7)x x --(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出x 与y 的关系，求出结果即可．（1）解：287x x -+2816167x x =-+-+()249x =-- ()()4343x x =-+--()()17x x =--；（2）解：2223x xy y +-222223x xy y y y =++--()224x y y =+- ()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-，∵22230x xy y +-=，∴()()30x y x y +-=，∴0x y -=或30x y +=，∴x y =或3x y =-， ∴1x y=或33x y y y -==-． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 21．（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了143m 个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，销量比第一周增加了2m 个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m 的值．【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元(2)15【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，依题意得：402030x y x y -=⎧⎨=⎩， 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+143m ）+（100-m -80）×（150+2m ）=13200，整理得：m 2-15m =0，解得：m 1=15，m 2=0（舍去）．答：m 的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P 在线段AB 上运动，，在2到5秒的时间段点P 在线段BC 上运动，即可求解；（2）从图2看，AB ＝2cm ，BC ＝5﹣2＝3（cm ），CD ＝6﹣5＝1（cm ），当点P 和点C 重合时，△ABP 的面积S为m，即可求解；（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，故答案为：0到2；2到5；（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即m＝S＝12×AB•BC＝12×2×3＝3（cm2），故答案为：2，3，1，3；（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．23．（2022·浙江金华·八年级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，BC 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段DB 的长度．(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，将Rt △ABC 沿∠B 的平分线BB '方向平移得到A B C '''，连接AA '，BC '．若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段BB '的长）为______．【答案】(1)①是；②BD 或5或 【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可；②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论；（2）根据由平移的性质易得BB ′=AA ′，A ′B ′AB ，A ′B ′=AB =4，B ′C ′=BC =3，A ′C ′=AC =5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．（1）解：①四边形ACBD 是等邻边四边形，理由：∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∴四边形ACBD 是等邻边四边形；故答案为：是；②如图1，过D 作DH ⊥BC 于H ，则∠DHC =∠DHB =90°，∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∠CAD =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴CD =AC =4，∠ACD =60°，∵∠ACB =90°，∴∠DCH =30°，∴DH =12CD =2，CH∵BC∴BH∴BD（2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∠ABC=45°，∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+3，BB，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2，∴x2+（x+3）2=52，解得：x（负值已舍），∴BB x（Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅳ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2，设B′D=BD=x，则x2+（x+3）2=42，解得：x，∴BB x，综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5故答案为：4或5．【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．。
第2章 一元二次方程单元测试卷（含解析）
第2章一元二次方程单元测试卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．2．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，23．下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1B．2C．3D．44．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．3D．不确定5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=26．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长7．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜38．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根9．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定10．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890二．填空题（共8小题，3*8=24）11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．12．方程3x2=5x+2的二次项系数为，一次项系数为．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．14．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为．15．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为．17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．18．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x=．三．解答题（共7小题，46分）19．（6分）解方程（1）6x2﹣x﹣12=0（用配方法）（2）（x+4）2=5（x+4）20．（6分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．21．（6分）一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．22．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．23．（6分）先阅读，再解题解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3=0．24．（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．25．（8分）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．2．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12 D．1，3，2【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1B．2C．3D．4【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．3D．不确定【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【解答】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，（a+b+c）（a2+a+1）=0，∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．6．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．8．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定【分析】可令Q﹣P，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出P、Q的大小关系．【解答】解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣m﹣m+1=m2﹣m+1=m2﹣m++=（m﹣）2+；由于（m﹣）2≥0，所以（m﹣）2+＞0；因此Q﹣P＞0，即Q＞P．故选：C．【点评】熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键．10．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．二．填空题（共8小题）11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=1．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．12．方程3x2=5x+2的二次项系数为3，一次项系数为﹣5．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为﹣5．【点评】此题主要考查确定一元二次方程的各项系数的方法．要求一元二次方程的系数首先必须把方程化成一般形式，才能确定各项系数．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=4．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：由题意两根不相等，∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．14．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为1．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．15．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为2．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．18．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x=﹣3．【分析】根据题意列出方程x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，公式法求解可得．【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，∵a=1，b=6，c=﹣2，∴△=36﹣4×1×（﹣2）=44＞0，则x==﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．（1）6x2﹣x﹣12=0（用配方法）（2）（x+4）2=5（x+4）【分析】（1）先把二次系数化为1得到x2﹣x=2，两边加上的平方后得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法求解；（2）先移项得到（x+4）2﹣5（x+4）=0，方程左边分解得（x+4）（x+4﹣5）=0，原方程化为x+4=0或x+4﹣5=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣x=2，x2﹣x+（）2=2+（）2，∵（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴x1=，x2=﹣；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x+4=0或x+4﹣5=0，∴x1=﹣4，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程．20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，解得k＞﹣3；（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．【分析】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm再根据长方形的面积可得方程（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3×．【解答】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3×，整理得：2x2﹣7x+3=0，【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意表示出无盖长方体盒子的长与宽．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．【分析】设每件衬衫应降价x元，利润为w元，由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出：（20+2x）件，此时每件盈利：（40﹣x）元，每天盈利w=（20+2x）（40﹣x），求出极值即可得出答案．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，则有w=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250即当x=15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据降价后销量的变化得出等式方程是解题关键．23．先阅读，再解题解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3=0．【分析】把3x﹣5看作一个整体，设y=3x﹣5，把原方程转化为y2+4y+3=0，求得方程的解，进一步代入求得原方程的解．【解答】解：设y=3x﹣5，则原方程转化为y2+4y+3=0，解得：y1=﹣1；y2=﹣3，当y=﹣1时，即3x﹣5=﹣1，解得x=，当y=﹣3时，即3x﹣5=﹣3，解得x=，所以原方程的解为x1=，x2=．【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体代换的思想是解决问题的关键．24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．25．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB 上（x＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=×6×8=24，（6﹣y）•2y=12，y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）=1，m2﹣10m+23=0，解得m1=5+，m2=5﹣，经检验，m1=5+不符合题意，舍去，∴m=5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）=1，n2﹣10n+25=0，解得n1=n2=5，经检验，n=5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）=1，k2﹣10k+23=0，解得k1=5+，k2=5﹣，经检验，k1=5﹣不符合题意，舍去，∴k=5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
第1章《一元二次方程》综合测试卷(B)
第 1 章《一元二次方程》综合测试卷(B)（考试时间:90 分钟 满分:120 分）一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1 .下列方程为一元二次方程的是( A. x 2 0 ) B. x22x 3 C. x4x 12D. xy1x 2 bx c 0的两根分别是 2 3 和 2 3 ，则b,c 的值分别为2.已知一元二次方程 ( ) A.－4，1 B. 4，1 C. －4，－1D. 4，－1.若关于 x 的二次三项式 x 2ax 2a 3是一个完全平方式，则 a 的值为( )3 4 5 6 A. －2B. －4C. －6D.2 或 6.若关于 x 的方程 A. a 1 xx 2 2 2x a0 不存在实数根，则 a 的取值范围是( B. a1C. a1 ) D. a 1.若关于 x 的方程 A. －2 3x a 0有一个根为－1，则另一个根为( B.2C.4 )D. －3.已知命题“关于 x 的一元二次方程 x bx 1 0必有实数解”是假命题，则在下列选项2中， b 的值可以是( A. －3)B. －2C. －1D.2x 2 12x 20 0的一个实数根，7.已知某三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 则该三角形的周长是( )A. 24C. 16 B. 24 或 16D. 228.如图，在长为 10 cm ，宽为 8 cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的 图形(图中阴影部分)的面积是原矩形面积的 80%，则截去的小正方形的边长是( ) A. 1 cm B. 2 cm D. 3 cmC. 1 cm 或 2 cm9.如图，把矩形 ABCD 沿着 AE 对折，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，若 AD =10 cm, AB = 8 cm ，则 DE 的长为( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 1 0.如图，已知ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形，动点 P,Q 同时从 A,B 两点出发，分别沿 AB,BC 运动，点 P 运动的速度为 1 cm/s ，点Q 运动的速度为 2 cm/s ，当点Q 到达点C9 3时， P,Q 两点都停止运动，则当 PBQ 的面积为 cm 2 时，运动的时间为()2A. 2.4 sB. 3 sC. 3.5 sD. 4 s二、填空题(每题 2 分，共 16 分) 2 x m 2 10 有一个根为 0, 则 m =111 1.若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x .2.写出以－1,2 为根的一元二次方程: .3.若关于 x 的一元二次方程 kx 2x 1 0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围2是 .x 22x3 x2 4x5 0 的解为.14.方程 a 2 ab(a b)1 5.对于实数 a,b ，定义新运算“*”： a *b = ，例如:4*2，因为 4>2，所以 ab b (a b) 24 *2=42－4X2=8.若 x , x 是一元二次方程 x1 225x 6 0 的两个根，则 x * x = . 1 2 16.如图是一幅长 20 cm ，宽 12 cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比2为 3:2.若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，则横彩条的宽度为.51 1 7.已知 x2 y 24x 6y13 0 ，且 x, y 为实数，则 x y =a 4.8.关于 x 的反比例函数 y 的图像如图， A,P 为该图像上的点，且关于原点成中心 x对称.在PAB 中， PB// y 轴， AB // x 轴， PB 与 AB 相交于点 B .若 PAB 的面积大于1 1 2，则关于 x 的方程 三、解答题(共 74 分) (a 1)x 2x 0 的根的情况是 .419.(18 分)解下列方程: (1) (y5) 2 36 0 ;(2) (x1) 2 (2x3)2 ;24x 1 0; (4) y(y 2) 3;(3) (5) x3 x21 4x ;(6) (x1)10(x 1) 90 .2 20. ( 8 分)已知关于 x 的一元二次方程 k x(4k 1)x 3k 3 0 ( k 是整数).2(1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根分别为 x , x (x x ) ，设 yx x ，判断:1 2 12 21 y 是否为变量 k 的函数?若是，请写出 y 与 k 的函数表达式;若不是，请说明理由.21.(8 分)已知 k 0, x , x 是关于 x 的一元二次方程x 22(m1)x m5 0 的两实数根.2 1 2(1)若 (x 1)(x1) 28，求 m 的值;12 (2)已知等腰三角形 ABC 的一边长为 7，若 x , x 恰好是 ABC 另外两边的长，求这个三1 2角形的周长.22.(8分)某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少?(注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)23.(10分)某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查，月销售量不会突破30台.(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数表达式;(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么该月需售出多少辆汽车?(注:销售利润=销售额－成本)24.(10分)某物体从点P运动到点Q所用时间为7s，其运动速度v(m/s)关于时间t(s)的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现:该物体前3s运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积.由物理学知识还可知:该物体前n(3n7)s运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和.根据以上信息，完成下列问题:(1)当3t7时，用含t的代数式表示v;(2)①分别求该物体在0t3和3t7时，运动的路程s(m)关于时间t(s)的函数表达式;7②求该物体从点P运动到点Q总路程的时所用的时间.1025.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A B C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD 向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动.4(1)两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的?9(2)是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为5cm?若存在，求出运动所需的时间;若不存在，请说明理由.参考答案1-10CADBACABCB11.－12x x 20，答案不唯一12.1111113.k 1且k4.x 15.３或－３6.3cm7.－88.没有实数根19.(1)y 11,y 11223(2)x 4,x12(3)x 23,x 2312(4)y 3,y 1122727(5)x ,x2133(6)x 8,x 01220.(1)由题意得，k 0，且b24ac (4k 1)4k(3k 3)(2k1)2，21k是非零整数，所以k ,2k 10，所以b24ac (2k 1)0，故方程有两个22不相等的实数根.1(2)y是变量k的函数,y 2.k2221.(1)m 6(2)这个三角形的周长为17.2.小道进出口的宽度应为1m.30(0x 5,x为整数)3.(1)y .0.1x 30.5(5x 30,x为整数)(2)该月需售出10辆汽车.24.(1)v 2t 4(3t7).2t(0t 3)(2)①s ;27②点P运动到点Q总路程的时所用的时间为6s.10225.(1)s.375(2)当t或t时，点P与点Q之间的距离为5cm.33。
一元二次方程章末检测题(B)含答案
一元二次方程章末检测题（B）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6 2．小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个解x=1，则被漏掉的一个解是（）A.x=4B.x=3C.x=2D.x=03．解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（）A．（x﹣4）2=21 B．（x﹣4）2=11C．（x+4）2=21 D．（x+4）2=114．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．25．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9=0的常数项是0，则m等于（）A．﹣3 B．3 C．3或-3 D．96. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x﹣1）=45 B．12x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=457．给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2C．x 1=x2=0 D．x1=2，x2=﹣28．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k＞5 9．在□ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或810．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围．解：2x2-12x+14=2（x2-6x）+14=2（x2-6x+32-32）+14=2[（x-3）2-9]+14=2（x-3）2-18+14=2（x-3）2-4．∵无论x取何实数，总有（x-3）2≥0，∴2（x-3）2-4≥-4．即无论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数．问题：已知x可取任何实数，则二次三项式-3x2+12x+11的最值情况是（）A．有最大值-23 B．有最小值-23C．有最大值23 D．有最小值23二、填空题（每小题4分，共24分）11．一元二次方程x（x﹣7）=0的解是．12．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是 .13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2017=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．14．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．15．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．16．关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则a的取值范围是．三、解答题（共18分）17．（4分）解方程：x2-5x-1=0．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+5x+2m2﹣4m=0有一个根是﹣1，求m的值．19．（6分）已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解．20．（8分）请阅读下列材料：已知方程x2+x﹣3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=．把x=代入已知方程，得（）2+﹣3=0，化简，得y2+2y﹣12=0．故所求方程为y2+2y﹣12=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍．21. （8分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年该市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年该市能否完成计划目标.22. （8分）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．23．（8分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．24. （9分）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？25. （10分）已知关于x的一元二次方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0. （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.一元二次方程章末检测题（B ）参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. D ． 5. B 6.A 7. B 8.B 9.D 10. C二、11. x 1=0，x 2=7 12. x 2﹣3x ﹣1=0 13. 201714. 1 2 15. 2 16. a ≤三、17. x 1=52 ，x 2=218.解：把x=﹣1代入原方程，得2m 2﹣4m ﹣4=0，即m 2﹣2m ﹣2=0．解得m 1=1+，m 2=1-.所以m 的值是1+或1-.19.解：（1）依题意，得（k ﹣1）（k ﹣2）≠0，解得k ≠1且k ≠2；（2）依题意，得（k ﹣1）（k ﹣2）=0，且k ﹣1≠0，解得k=2. 此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5．四、20.解：设所求方程的根为y ，则y=3x ，∴x=．把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0，化简，得y 2+3y ﹣9=0.所以所求方程为y 2+3y ﹣9=0．21.解：（1）设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x ，根据题意，得950（1+x）2=1862.解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），所以这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%.（2）1862（1+40%）=2606.8.∵2606.8＞2400，∴2017年我市能完成计划目标.所以如果2017年仍保持相同的年平均增长率，2017年该市能完成计划目标．22.解：（1）∵（x-3）（x-2）=|m|，∴x2-5x+6-|m|=0，∴∆ =（-5）2-4（6-|m|）=1+4|m|.而|m|≥0，∴∆＞0.∴方程总有两个不等的实数根.（2）∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得m=±2.∴原方程为：x2-5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．所以m的值为±2，方程的另一个根是4.23.解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．x-）=800.根据题意，得（x-3）（500-10×40.1解得x1=7，x2=5．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．24. （1）设养鸡场的宽为x米，根据题意，得x（33-2x+2）=150.解得x1=10，x2=7.5，当x1=10时，33-2x+2=15＜18，当x2=7.5时33-2x+2=20＞18，故舍去.所以养鸡场的宽是10米，长为15米．（2）设养鸡场的宽为x米，根据题意，得x（33-2x+2）=200.整理得：2x2-35x+200=0，∆=（-35）2-4×2×200=-375＜0.所以该方程没有实数根.所以围成养鸡场的面积不能达到200平方米.25.解：（1）∵∆=b2-4ac=［-（3k+1）］2-4（2k2+2k）=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根．（2）①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴（k-1）2=0，解得k=1．此时原方程化为x2-4x+4=0.∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形.②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，代入方程：62-6（3k+1）+2k2+2k=0，解得k=3或5.则原方程化为x2-10x+24=0，或x2-16x+60=0.解得x1=4，x2=6；或x1=6，x2=10.所以b=6，c=4；或b=6，c=10.此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，所以△ABC的周长为6+6+4=16，或6+6+10=22.。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元综合检测题(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题1．（2020•顺平县一模）关于x 的一元二次方程2104ax x -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．0a >B ．1a >-C ．1a <D ．1a <且0a ≠2．（2020•安徽二模）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为( ) A ．32%B ．34%C ．36%D ．38%3．（2020•安徽一模）某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．则这两年投入教育经费的年平均增长率为( ) A ．10%B ．20%C ．25%D ．40%4．（2019春•鲤城区校级期末）已知一元二次方程2()0(0)a x m n a ++=≠的两根分别为3-，1，则方程2(2)0(0)a x m n a +-+=≠的两根分别为( ) A ．1，5B ．1-，3C ．3-，1D ．1-，55．（2018•鞍山）若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．14k >且0k ≠ B ．14k <且0k ≠ C ．14k且0k ≠ D ．14k <6．（2018秋•高阳县期末）我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( ) A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%7．（2018秋•老河口市期末）关于x 的一元二次方程225320x x m m ++-+=有一根为0，则另一根等于() A ．1B ．2C ．1或2D ．5-8．（2019秋•丰南区期中）关于x 的一元二次方程2(1)410m x x ---=总有实数根，则m 的取值范围( ) A ．5m 且1m ≠B ．3m -且1m ≠C ．3m -D ．3m >-且1m ≠二．填空题9．（2020•成都）关于x 的一元二次方程232402x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是 ． 10．（2020•浙江自主招生）关于x 的方程22(31)220x k x k k -+++=，若等腰三角形ABC ∆一边长为6a =，另两边长b ，c 为方程两个根，则ABC ∆的周长为 ． 11．（2019秋•皇姑区期末）设α、β是方程2202020x x +-=的两根，则22(20201)(20202)ααββ+-++= ．12．（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k +++-=的两根1x 和2x ，且21121222x x x x x -+=，则k 的值是 ．13．（2020春•雨花区校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一个根，则此三角形的周长是 ．14．（2002•内江）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足221m m -=，221n n -=，那么代数式222441999m n n +-+= ．15．（2013•锦江区模拟）已知a 是方程2201310x x -+=一个根，求22201320121a a a -++的值为 ． 16．（2009春•丽水期末）已知a ，b 是方程2(2)10x m x +++=的两根，则22(1)(1)a ma b mb ++++的值为 ． 三．解答题17．（2020•西城区校级三模）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个m 的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根． 18．（2020春•玄武区期末）解一元二次方程： （1）2210x x +-=； （2）2(3)26x x -=-．19．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A 、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买A 种口罩生产设备共花费360万元，购买B 种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元． （1）求A 、B 两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元?20．（2019秋•浉河区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?21．（2020春•潜山市期末）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是多少斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元?22．（2020•师宗县一模）已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=． （1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． 23．（2020•郫都区模拟）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件． （1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元． （2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大?最大利润是多少元?24．（2019秋•覃塘区期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x 元，则可卖出(35010)x -件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少?25．（2019秋•慈利县期中）如图，在矩形ABCD 中，10AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AB 以2/cm s 的速度向点终点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1/cm s 的速度向点终点C 运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P 、D 的距离是点P 、Q 的距离的2倍； （2）几秒后，DPQ ∆的面积是224cm ．26．（2019秋•青羊区校级期中）已知：如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ ∆的面积等于24cm ? （2）在（1）中，PQB ∆的面积能否等于27cm ?请说明理由．答案与解析一．选择题1．（2020•顺平县一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．且[解答]解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，解得：且． 故选：．2．（2020•安徽二模）某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了，转型成功后产值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，若三、四、五月份的增长率相同，则五月份与一月份相比增长的百分数约为 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设一月份产值为，从三月份开始，每月的增长率为， 由题意得，解得，（不合题意，舍去）所以．故选：．3．（2020•安徽一模）某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．则这两年投入教育经费的年平均增长率为 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设增长率为，根据题意得， 解得：，（舍去），答：这两年投入教育经费的年平均增长百分率是． 故选：．x 2104ax x -+=a ()0a >1a >-1a <1a <0a ≠x 2104ax x -+=0a ∴≠2214(1)4104b ac a a =-=--⨯⨯=->1a <0a ≠D 20%15.2%()32%34%36%38%a x 2(120%)(1)(115.2%)a x a-+=+10.220%x ==2 2.2x =-(115.2%) 1.2100%38%a aa +⨯-⨯≈D ()10%20%25%40%x 22500(1)3600x +=10.220%x ==2 2.2x =-20%B4．（2019春•鲤城区校级期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为 A ．1，5B ．，3C ．，1D ．，5[解答]解：一元二次方程的两根分别为，1，方程中或，解得：或3， 即方程的两根分别为和3，故选：．5．（2018•鞍山）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 A ．且 B ．且 C ．且 D ． [解答]解：关于的一元二次方程有实数根，且△，解得：且．故选：．6．（2018秋•高阳县期末）我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 A ．B ．C ．D ．[解答]解：设平均每次下调的百分率为， 由题意，得，解得：，（舍去）．答：平均每次下调的百分率为． 故选：．2()0(0)a x m n a ++=≠3-2(2)0(0)a x m n a +-+=≠()1-3-1-2()0(0)a x m n a ++=≠3-∴2(2)0(0)a x m n a +-+=≠23x -=-21x -=1x =-2(2)0(0)a x m n a +-+=≠1-B x 210kx x -+=k ()14k >0k ≠14k <0k ≠14k0k ≠14k <x 210kx x -+=0k ∴≠2(1)40k =--14k0k ≠C ()8%9%10%11%x 29000(1)7290x -=10.1x =2 1.9x =10%C7．（2018秋•老河口市期末）关于的一元二次方程有一根为0，则另一根等于A ．1B ．2C ．1或2D ．[解答]解：设方程的另一个根是， 则由根与系数的关系得：， 解得：， 故选：．8．（2019秋•丰南区期中）关于的一元二次方程总有实数根，则的取值范围A ．且B ．且C ．D ．且[解答]解：关于的一元二次方程总有实数根，且△，即，解得．的取值范围为且．故选：． 二．填空题9．（2020•成都）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．[解答]解：关于的一元二次方程有实数根， △，解得：， 故答案为：．10．（2020•浙江自主招生）关于的方程，若等腰三角形一边长为，另两边长，为方程两个根，则的周长为 16或22 ． [解答]解：根据题意得△，所以，则，，当时，解得，则、的长为2，而，不合题意舍去；x 225320x x m m ++-+=()5-a 05a +=-5a =-D x 2(1)410m x x ---=m ()5m 1m ≠3m -1m ≠3m -3m >-1m ≠x 2(1)410m x x ---=10m ∴-≠0164(1)(1)0m -+⨯-3m -m ∴3m -1m ≠B x 232402x x m -+-=m 72m x 232402x x m -+-=∴23(4)42()1681202m m =--⨯⨯-=-+72m72m x 22(31)220x k x k k -+++=ABC ∆6a =b c ABC ∆222(31)4(22)(1)0k k k k =+-+=-31(1)21k k x +±-=⨯11x k =+22x k =12k k +=1k =b c 226+<当时，解得，则，此时三角形的周长为； 当时，解得，则，此时三角形的周长为． 综上所述，的周长为16或22． 故答案为16或22．11．（2019秋•皇姑区期末）设、是方程的两根，则4 ．[解答]解：、是方程的两根，，，．故答案为4．12．（2020春•文登区期中）已知关于的一元二次方程的两根和，且，则的值是 或 ．[解答]解：，， ，，或．①如果，那么，将代入，16k +=5k =210k =661022++=26k =3k =14k +=66416++=ABC ∆αβ2202020x x +-=22(20201)(20202)ααββ+-++=αβ2202020x x +-=2202020αα∴+-=2202020ββ+-=220202αα∴+=220202ββ+=22(20201)(20202)ααββ∴+-++(21)(22)4=-+=x 22(21)20x k x k +++-=1x 2x 21121222x x x x x -+=k 2-94-21121222x x x x x -+=211212220x x x x x -+-=1121(2)(2)0x x x x ---=112(2)()0x x x --=120x ∴-=120x x -=120x -=12x =2x =22(21)20x k x k +++-=得，整理，得，解得； ②如果，则△．解得：．所以的值为或． 故答案为：或．13．（2020春•雨花区校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是 14 ．[解答]解：解方程得：或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为， 故答案为：14．14．（2002•内江）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 2013 ．[解答]解：由题意可知：，是两个不相等的实数，且满足，，所以，是两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：，又，，则242(21)20k k +++-=2440k k ++=2k =-120x x -=22(21)4(2)0k k =+--=94k =-k 2-94-2-94-27120x x -+=27120x x -+=3x =336+=44614++=m n 221m m -=221n n -=222441999m n n +-+=m n 221m m -=221n n -=m n 2210x x --=2m n +=221m m =+221n n =+222441999m n n +-+2(21)4(21)41999m n n =+++-+．故填空答案：2013．15．（2013•锦江区模拟）已知是方程一个根，求的值为 2012 ． [解答]解：是方程的一个根，， ，原式．故答案为：2012．16．（2009春•丽水期末）已知，是方程的两根，则的值为 4 ．[解答]解：，是方程的两根， ，，，，，，．三．解答题17．（2020•西城区校级三模）关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）写出一个的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．4284419994()2005m n n m n =+++-+=++4220052013=⨯+=a 2201310x x -+=22201320121a a a -++a 2201310x x -+=2201310a a ∴-+=220131a a ∴=-∴201312013120121201311a a a a a =--+=+--+211a a +=-2013111a a -+=-20131=-2012=ab 2(2)10x m x +++=22(1)(1)a ma b mb ++++a b 2(2)10x m x +++=(2)a b m ∴+=-+1ab =2(2)10a m a +++=2(2)10b m b +++=21(2)a m a∴+=-+21(2)b m b+=-+22(1)(1)[(2)][(2)](2)(2)4414a ma b mb m a ma m b mb a b ab ∴++++=-++-++=--==⨯=x 22(21)10x m x m +++-=m m[解答]解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：， 即的取值范围是； （2）由（1）知：当时，方程有两个不相等的实数根， 取， 则方程为，解得：，，即当时，方程的解是，．18．（2020春•玄武区期末）解一元二次方程：（1）；（2）．[解答]解（1），，，，，（2），，，，，x 22(21)10x m x m +++-=2224(21)4(1)450b ac m m m ∴-=+--=+54m -m 54m -54m >-∴1m =230x x +=13x =-20x =1m =13x =-20x =2210x x +-=2(3)26x x -=-2210x x +-=221x x ∴+=22111x x ∴++=+2(1)2x ∴+=1x ∴+=11x ∴=-21x =-2(3)26x x -=-(3)2(3)0x x ∴---=(3)(32)0x x ∴---=30x ∴-=320x --=，．19．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进、两种口罩生产设备若干台，已知购买种口罩生产设备共花费360万元，购买种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．（1）求、两种口罩生产设备的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元?[解答]解：（1）设种口罩生产设备的单价为万元，则种口罩生产设备的单价为万元，依题意有， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，则．答：种口罩生产设备的单价为60万元，则种口罩生产设备的单价为80万元；（2）设每盒口罩可涨价元，依题意有，解得，（舍去）．故每盒口罩可涨价5元．20．（2019秋•浉河区期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?[解答]解：（1）设每次下降的百分率为，根据题意，得：，解得：（舍或，13x ∴=25x =A B A B A B A x B (140)x -360480140x x=-60x =60x =1401406080x -=-=A B m (5040)(50020)6000m m -+-=15m =210m =a 250(1)32a -=1.8a =)0.2a =答：每次下降的百分率为；（2）设每千克应涨价元，由题意，得，整理，得，解得：，，因为要尽快减少库存，所以符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．21．（2020春•潜山市期末）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤（用含的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元?[解答]解：（1）将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤；（2）根据题意得：， 解得：，，当时，销售量是；当时，销售量是（斤．每天至少售出260斤，．答：水果店需将每斤的售价降低1元．22．（2020•师宗县一模）已知关于的一元二次方程：．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 20%x (10)(50020)6000x x +-=215500x x -+=15x =210x =5x =x x x 100201002000.1x x +⨯=+)(42)(100200)300x x --+=112x =21x =12x =11002002002602+⨯=<1x =100200300+=)1x ∴=x 21(21)4()02x k x k -++-=ABC ∆4a =b c ABC ∆[解答]（1）证明：△，无论取什么实数值，，△，无论取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：，，， ，恰好是这个方程的两个实数根，设，，当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长； 当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．综上所述，的周长为10．23．（2020•郫都区模拟）某商店将进货价为8元件的商品按10元件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大?最大利润是多少元?[解答]解：（1）设涨价元，，解得，，此时的售价为或，答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）利润为：，21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-k 2(23)0k -∴0∴k 21(23)2k k x +±-=121x k ∴=-22x =b c 21b k =-2c =a b 4a b ==214k -=52k =44210=++=b c 2b c ==b c a +=ABC ∆//x (108)(20020)700x x +-⨯-=13x =25x =∴10313+=10515+=22(108)(20020)2016040020(4)720x x x x x +-⨯-=-++=--+，当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．24．（2019秋•覃塘区期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少?[解答]解：根据题意，得整理，得解得，因为，即售价不能超过25.2元，所以不合题意，应舍去．故，从而卖出件，答：需要卖出100件商品，每件售价是25元．25．（2019秋•慈利县期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点终点运动，同时点从点出发沿以的速度向点终点运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；（2）几秒后，的面积是．[解答]解：（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，，四边形是矩形，，，，， 20a =-∴x (35010)x -120%(21)(350)400x x --=2567750x x -+=125x =231x =21120%25.2⨯=31x =25x =3501025100-⨯=ABCD 10AB cm =8AD cm =P A AB 2/cm s B Q B BC 1/cm s C P D P Q DPQ ∆224cm t P D P Q 2PD PQ ∴=ABCD 90A B ∴∠=∠=︒222PD AP AD ∴=+222PQ BP BQ =+24PD =2PQ， 解得：，；时，，答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；（2）设秒后的面积是， 则，整理得解得，答：4秒后，的面积是．26．（2019秋•青羊区校级期中）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于?（2）在（1）中，的面积能否等于?请说明理由．22228(2)4[(102)]t t t ∴+=-+13t =27t =7t =1020t -<3t ∴=P D P Q x DPQ ∆224cm 11182(102)(8)108024222x x x x ⨯⨯+-+-⨯=-28160x x -+=124x x ==DPQ ∆224cm ABC ∆90B ∠=︒5AB cm =7BC cm =P AAB B 1/cm s Q B BC C 2/cm s P Q A B PBQ ∆24cm PQB ∆27cm[解答]解：（1）设经过秒以后面积为，根据题意得，整理得：，解得：或（舍去）．答：1秒后的面积等于；（2）仿（1）得．整理，得，因为，所以，此方程无解．所以的面积不可能等于． x PBQ ∆24cm 1(5)242x x -⨯=2540x x -+=1x =4x =PBQ ∆24cm 1(5)272x x -=2570x x -+=2425280b ac -=-<PBQ ∆27cm。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③0322=++x x ；④﹣x 2+5x ＝0；⑤3132++xx ；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）A ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣23．下列语句中正确的是（ ）A ．方程x 2＝x 只有一个解x ＝1B ．方程x 2+1＝0没有解C ．对于任何实数m ,（m ﹣2）x 2+m x +2＝0是一元二次方程D ．x 2+4＝0不是一元二次方程4．若代数式x 2﹣2x ﹣3的值等于0,则x 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．35．用配方法解一元二次方程m 2﹣6m +8＝0,结果是下列配方正确的是（ ）A ．（m ﹣3）2＝1B ．（m +3）2＝1C ．（m ﹣3）2＝﹣8D ．（m +3）2＝96．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k ＝0的一个根是1,则另一个根是（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣77．若关于一元二次方程x 2+2x +k +2＝0的两个根相等,则k 的取值范围是（ ）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．28．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣3）＝2B ．2（x ﹣2）2＝x 2﹣4C ．x 2+3x ﹣1＝0D ．5（2﹣x ）2＝39．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2﹣2x +3＝0C ．2x 2﹣2x ﹣3＝0D ．3x 2﹣6x +1＝010．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x B ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x C ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x D ．()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定二．填空题（共4小题）13．方程()05112=+---mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 ．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ ．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ．第15题16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 ．三．解答题（共8小题）17．用合适的方法解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝0（3）x 2﹣5x +6＝0 （4）2x 2﹣7x +3＝0．18．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由．21．用配方法求：（1）3x2﹣4x+8的最小值；（2）﹣2x2+4x﹣1的最大值．22．设x1,x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x1+5）（x2+5）；（2）x12x2+x1x22．23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m的篱笆和长15m的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E的长为x m；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF围成,当花园面积为150m2时,求x的值；（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F构成,另三边由篱笆A D EF围成,当花园面积是150m2时,求B F的长．答案与解析一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③；④﹣x 2+5x ＝0；⑤；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[分析]本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．[解答]解：①5x 2＝2y ,方程含有两个未知数,故错误；②2x （x +3）＝x 2﹣5,符合一元二次方程的定义,正确；③,符合一元二次方程的定义,正确；④﹣x 2+5x ＝0,符合一元二次方程的定义,正确； ⑤,不是整式方程,故错误； ⑥mx 2+nx ＝0,方程二次项系数可能为0,故错误．故选：C ．2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）0322=++x x 3132++xx 0322=++x x 3132++xxA ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣2[分析]首先将一元二次方程化为一般形式,然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．[解答]解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0,二次项系数、一次项系数、常数项依次是2,﹣3,﹣2,故选：D ．3．下列语句中正确的是（）A ．方程x2＝x只有一个解x＝1B ．方程x2+1＝0没有解C ．对于任何实数m,（m﹣2）x2+m x+2＝0是一元二次方程D ．x2+4＝0不是一元二次方程[分析]对于方程x2＝x和x2+1＝0分别解方程即可判断A 与B 是否正确；一元二次方程中二次项系数不能为0,所以m﹣2≠0,即m≠2；判定一个方程是否为一元二次方程,只要二次项系数不为0即可．[解答]解：A 、方程x2＝x的解还可以是0；B 、x2＝﹣1,∵任何数的平方一定大于或等于0,∴方程x2+1＝0没有解；C 、当m＝2时,（m﹣2）x2+m x+2＝0中m﹣2＝0,原方程不是一元二次方程；D 、x2+4＝0是一元二次方程；故选：B ．4．若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0,则x的值是（）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．3[分析]根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0,利用因式分解法解方程即可．[解答]解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0,整理,得（x﹣3）（x+1）＝0,解得x1＝3,x2＝﹣1．故选：A ．5．用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0,结果是下列配方正确的是（）A ．（m﹣3）2＝1B ．（m+3）2＝1C ．（m﹣3）2＝﹣8D ．（m+3）2＝9[分析]移项,配方,即可得出选项．[解答]解：m2﹣6m+8＝0,m2﹣6m＝﹣8,m2﹣6m+9＝﹣8+9,（m﹣3）2＝1,故选：A ．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1,则另一个根是（）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7[分析]设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,由根与系数的关系可得出α+β＝6,结合α＝1即可求出β值．[解答]解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,则有：α+β＝6,∵α＝1,∴β＝6﹣1＝5．故选：A ．7．若关于一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个根相等,则k的取值范围是（）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．2[分析]根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k+2）＝0,然后解一次方程即可．[解答]解：根据题意得△＝22﹣4（k+2）＝0,解得k＝﹣1．故选：C ．8．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A ．（x+1）（x﹣3）＝2B ．2（x﹣2）2＝x2﹣4C ．x2+3x﹣1＝0D ．5（2﹣x）2＝3[分析]先观察每个方程的特点,根据方程的特点逐个判断即可．[解答]解：A 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；B 、最适合用分解因式解方程,故本选项正确；C 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；D 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；故选：B ．9．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（）A ．x2+2x﹣3＝0B ．x2﹣2x+3＝0C ．2x2﹣2x﹣3＝0D ．3x2﹣6x+1＝0[分析]根据根与系数的关系对A 、C 、D 进行判断；根据判别式的意义对B 进行判断．[解答]解：A 、两实数根之和等于﹣2,所以A 选项错误；B 、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0,方程没有实数根,所以B 选项错误；C 、两实数根之和等于1,所以C 选项错误；D 、两实数根之和等于﹣2,所以D 选项正确．故选：D ．10．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 [分析]设该药品平均每次降价的百分率为x ,根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率）,则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x ）,第二次后的价格是12.5（1﹣x ）2,据此即可列方程求解．[解答]解：根据题意得：12.5（1﹣x ）2＝8．故选：B ．11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ． [分析]如果设调价前每件商品的利润是x 元,那么四月份的销量为,五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,根据题意可列出方程． [解答]解：根据题意,四月份的销量为, 五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,可得出方程为． 故选：A ．12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x 6x6()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xA ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定[分析]运用配方法变形x 2+14+6x ＝（x +3）2+5；得出（x +3）2+5最小时,即（x +3）2＝0,然后得出答案．[解答]解：∵x 2+14+6x ＝x 2+6x +9+5＝（x +3）2+5,∴当x +3＝0时,（x +3）2+5最小,∴x ＝﹣3时,代数式x 2+14+6x 有最小值．故选：B ．二．填空题（共4小题）13．方程是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 m ＝± ．[分析]根据一元二次方程的定义可得m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,再解即可．[解答]解：由题意得：m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,解得：,故答案为：．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ 6 ．[分析]把A 2+B 2视为一个整体,设A 2+B 2＝y ,则（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解出y 的值即可,[解答]解：设A 2+B 2＝y ,则原方程可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解之得：y 1＝6,y 2＝﹣4,∴A 2+B 2＝6,故答案为6．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ． ()05112=+---mx x m m 3±=m 3±=m[分析]把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的种植花草部分是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可．[解答]解：设道路的宽应为x 米,由题意有（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 故答案为：（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 24 ．[分析]利用因式分解法解方程得到x 1＝2,x 2＝5,再根据菱形的性质得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长,然后根据菱形的面积公式计算．[解答]解：x 2﹣7x +10＝0,（x ﹣2）（x ﹣5）＝0,x ﹣2＝0或x ﹣5＝0,∴x 1＝2,x 2＝5,∵菱形一条对角线长为6,∴菱形的边长为5,∵菱形的另一条对角线长＝,∴菱形的面积＝×6×8＝24． 三．解答题（共8小题）17．解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝02121835222=-21（3）x2﹣5x+6＝0 （4）2x2﹣7x+3＝0．[分析]（1）先变形得到（x+2）2＝25,然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．[解答]解：（1）（x+2）2＝25, x+2＝±5,所以x1＝﹣7,x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0, x+5＝0或x﹣1＝0,所以x1＝﹣5,x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0, x﹣2＝0或x﹣3＝0,所以x1＝2,x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0, 2x﹣1＝0或x﹣3＝0,所以x1＝,x2＝3．2118．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？[分析]先计算出△,△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21．当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式得到m 的范围；当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式得到m 的范围．[解答]解：△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21,当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式﹣12m +21＜0得,m ＞； 当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式﹣12m +21≥0得,m ≤． 所以当m ＞时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根； 当m ≤时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0有实数根． 19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．[分析]先将原方程化为一元二次方程的一般形式,然后根据根的判别式△＝B 2﹣4A C ＝0证明．[解答]证明：由原方程,得（B +C ）x 2﹣2A x ﹣B +C ＝0,∵关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,∴△＝4A 2﹣4（B +C ）（﹣B +C ）＝0,即A 2﹣C 2+B 2＝0,∴A 2+B 2＝C 2,∴这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．47474747（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由． [分析]（1）根据方程的系数结合△≥0,即可得出关于k 的一元一次不等式,解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2,结合,即可得出关于k 的方程,解之即可得出k 值,再结合（1）即可得出结论． [解答]解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根,∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0,解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根,∴x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2．∵, ∴, ∴k 2﹣6＝0,解得：k 1＝﹣,k 2＝．又∵k ≤﹣1, ∴k ＝﹣．∴存在这样的k 值,使得等式成立,k 值为﹣． 21121-=+k x x 21121-=+k x x 21121-=+k x x 2221212-=+=+k k x x x x 66621121-=+k x x 621．用配方法求：（1）3x 2﹣4x +8的最小值；（2）﹣2x 2+4x ﹣1的最大值．[分析]（1）先提取二次项系数,再配方,根据任何数的完全平方一定是非负数即可求解；（2）把原式根据配方法化成：﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1即可得出最大值．[解答]解：（1）3x 2﹣4x +8所以3x 2﹣4x +8的最小值是． （2）﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x 2﹣2x +1）+2﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1所以﹣2x 2+4x ﹣1的最大值是1．22．设x 1,x 2是一元二次方程3x 2﹣x ﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x 1+5）（x 2+5）；（2）x 12x 2+x 1x 22．[分析]根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）利用多项式乘法得到原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25,然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到原式＝x 1x 2（x 1+x 2）,然后利用整体代入的方法计算．3203233439434322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x 3203134[解答]解：根据题意得x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25＝﹣+5×+25＝； （2）原式＝x 1x 2（x 1+x 2）＝﹣×＝﹣． 23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？[分析]设每件降价x 元,则平均每天可售出件,根据总利润＝每件童装获得的利润×销售数量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论．[解答]解：设每件降价x 元,则平均每天可售出件, 依题意,得：（40﹣x ）＝1200, 整理,得：x 2﹣30x +200＝0,解得：x 1＝10,x 2＝20．又∵要尽量减少库存,∴x ＝20．答：每件降价20元．24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m 的篱笆和长15m 的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E 的长为xm ；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF 围成,当花园面积为150m 2时,求x 的值；31343431376343194⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F 构成,另三边由篱笆A D EF 围成,当花园面积是150m 2时,求B F 的长．[分析]（1）设平行于墙的一边D E 的长为xm ,则C D 的长为m ,利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程,解之取小于15的值即可得出结论；（2）设B F 的长为y ,利用矩形的面积公式即可得出关于y 的一元二次方程,解之即可求出结论． [解答]解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10,x 2＝30,∵30＞15∴x ＝30舍去,∴x ＝10m ；答：x 的值为10m ；（2）设B F ＝y ；则（25﹣y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝15,y 2＝﹣5（舍去）,答：B F 的长为15m ．240x -2121。
(完整版)一元二次方程单元综合测试题(含答案)
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大
销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
〔1〕假设商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
〔3〕
3
2
－
3
；
2
〔x+3
〕－4=0．
x=6x
〔4〕〔x+3〕+3
四、解答题〔18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分〕
x
18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求y的值．
19．阅读下面的材料，答复以下问题：鉀鈍鰩砻膿鞯滲饴諑败顯桠條繽恼。
-2-
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
3、如下列图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，
∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作
PD交AB于点D，(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，
求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，
3．把方程〔1－2x〕〔1+2x〕=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．
1
2
1
4．如果x2
－x
－8=0，那么x的值是________．
5．关于x的方程〔m2－1〕x2+〔m－1〕x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________．
第四章 一元二次方程 单元测试卷(B)
第四章 一元二次方程 单元测试卷(满分：100分 时间：60分钟)一、选择题(每题3分，共24分)1．(2011．成都) 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式mk x 42-的判断正确的是( )A ．042<-mk nB ．042=-mk nC ．042>-mk nD ．042≥-mk n2．（2011．荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 23．(2011．苏州) 下列四个结论中，正确的是( )A ．方程x ＋x 1=－2有两个不相等的实数根B ．方程x ＋x 1=1有两个不相等的实数根C ．方程x ＋x 1=2有两个不相等的实数根D ．方程x ＋x 1=a （其中a 为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根 4．(2010．毕节)已知方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是a (a ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是 ( )A ．abB ．a bC ．a ＋bD ．a －b 5．(2010．攀枝花)下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．9x 2－6x ＋1＝0C ．x 2－x ＋2＝0D ．x 2－2x －2＝06．若a 为方程(x)2＝100的一个根，b 为方程(y －4)2＝17的一个根，且a 、b 都是正数，则a －b 的值为 ( ) A ．5 B ．6 CD ．107．三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x －12x 十35＝0的一个根，则该三角形的周长为 ( )A ．14B ．12或14C ．12D ．以上都不对8．（2011．黄石）设一元二次方程（x －1）（x －2）=m(m >0)的两实根分别为α，β，则α，β满足A. 1<α<β<2B. 1<α<2 <βC. α<1<β<2D.α<1且β>2二、填空题(每题3分，共21分)9．(2010．无锡)方程x 2－3x ＋1＝0的解是_______．10．已知实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)＝8，则a 2＋b 2的值为_______．11．（2011．扬州）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是12．(2010．兰州)已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是_______．13．(2010．河北)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋m x ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为_______．14．阅读材料：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ．根据上述材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋4x ＋2＝0的两个实数根，则1211x x +=_______． 三、解答题(共55分)15．(3分)解方程：x 2＋2x －63＝0．16．(5分)试说明关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2m x ＋1＝0，不论m 为何值都是一元二次方程．17．(5分)(2010．茂名)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x －k 2＝0(k 为常数)．试说明方程有两个不相等的实数根．18．(6分)(2010．南充)关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请选择一个是的负整数值，并求出方程的根．19．(6分)若m为自然数，且4<m<40，且方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8＝0的两根均为整数，求m 的值．20．(6分)材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0……①，解得y1＝－2，y2＝3．当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x所以原方程的解为x1x2问题：(1)在原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了的数学思想；(2)利用本题的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0．21．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2－7x＋c＋7＝0的两根，求AB边上的中线长．22．(8分)有100米长的篱笆材料，想围成一矩形露天仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵长50米的旧墙．有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的矩形仓库，但面积只有400平方米，不合要求．现在请你设计仓库的长和宽，使它符合要求．23．(8分)（2011．东营）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。
《一元二次方程》单元测试卷(B卷)
《 元 二次 方程》 元 测试卷 （ 一 单 Ｂ卷 ）
江苏省 金坛 市华 罗庚 实验 学校 陈锁 华
一
、
填 空题
时 ， 一元 一次方 程 ； ｍ 是 当
１ ．关 于 的 方 程 （ 一 １ 。＋ （ ＋ １ ＋ ３ 一 １— ０ ｍ ） ｍ ） ｍ ，当 ｍ
根 及 ｃ的 值 ．
１ ．一 条 长 为 ６ ｍ 的 铁 丝 被 剪 成 两 段 ， 段 均 折 成 正 方 形 ． 两 ９ ４ｃ 每 若
个 正 方 形 的 面 积 和 等 于 １ ０ Ｃ Ｉ， 两 个 正 方 形 的 １ 长 分 别 是 多 少 ？ ６ ｌ２ 求 Ｔ ２ ＿
２ ．某 市 土 地 沙 漠 化 严 重 ， ０ ５年 沙 漠 化 土 地 面 积 为 １ ０ｋ ， ０ ２０ Ｏ ｍ
瓦 ・时 ， 么 这 个 月 除 了仍 要 交 １ 那 ０元 用 电 费 外 ， 出 部 分 要 按 每 千 瓦 ・ 超 时 元 交费 ． １ （ ）若 某 户 居 民 ２月份 用 电 ９ ０千 瓦 ・时 ， 过 规 定 的 Ａ 超 千 瓦 ・时 ， 超 过 部 分 的 电 费 是 多 少 元 ？ （ 表 示 ） 则 用 （ ）下 表 是 这 户 居 民 ３月 、 ２ ４月 的 用 电 情 况 和 交 费 情 况 ： 月 份
成 的 大 正 方 形 ， 图 ． 大 正 方 形 的 面 积 是 ３ 小 正 方 如 若 ２，
形 的面 积是 ４ 则每个 直 角三角形 的 周长是 ，
二 、选 择 题
．
— —
９ ．下 列 方 程 一 定 是 关 于 的 一 元 二 次 方 程 的 是 （
（ １ ＋ Ａ）
一
） ．
数学九年级上学期《一元二次方程》单元检测卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(每小题3分,共36分)1、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是DC BA OO O Ox yxyx yyx2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再张,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x ,则x 满足的方程是 A . 1011)1(2=+x B . 910)1(2=+x C . 101121=+x D . 91021=+x 3、根据下列表格中代数式c bx ax ++2与x 的对应值,判断方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根x的大致范围是( )x6.17 6.18 6.19 6.20 c bx ax ++2－0.03－0.010.020.06A ．6< x <6.17B ．6.17< x <6.18C ．6.18< x <6.19D ．6.19< x <6.20 4.已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形A B C 的两条边长,则三角形A B C 的周长为( ) A ． 10 B ． 14C ． 10或14D ． 8或105．已知分别是三角形的三边长,则一元二次方程的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为( )A 、60B 、60-C 、10D 、10- 7、若方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 是关于x 的一元二次方程,则必有( )．A ．A =B =C B ．一根为1 C ．一根为－1D ．以上都不对8、我们解一元二次方程3x 2﹣6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x ﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x ﹣2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是( ) A . 转化思想 B . 函数思想 C . 数形结合思想 D . 公理化思想9、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==10、小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1．他核对时发现所抄的C 比原方程的C 值小2,则原方程的根的情况是A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x =–1D ．有两个相等的实数根11、有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=,N ：20cx bx a ++=,其中0a c +=,以下列四个结论中,错误的是( )A 、如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根； B 、如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同； C 、如果5是方程M 的一个根,那么15是方程N 的一个根； D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是1x =. 12、已知实数m ,n 满足020092=-+m m ,()102009112-≠=--mn n n ,则1n m-=( ). A 、12009 B 、2009 C 、－2009 D 、12009- 二、填空题(每小题3分,共18分)13．如图,在一块长12m,宽8m 的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积77m 2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为__________．14、等腰三角形三边长分别为2a b 、、,且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根,则n 的值为 ．15、对于实数A ,B ,定义运算“﹡”：A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,则x 1﹡x 2=16、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1,则方程02=++a cx bx 的两根为 . 17、如果m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,那么代数式2n 2﹣mn +2m +2020= ． 18、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法,正确的是________．(写出所有正确说法的序号)．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=； ③2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,且,则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 三、解答题(共46分)19.(6分)如图,四边形 A C D E 是证明勾股定理时用到的一个图形,A 、B 、C 是 Rt ∆A B C 和 Rt ∆B ED 的边长,已知2=AE c ,这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220ax cx b的一++= ++=ax cx b,必有实数根；(3)若x=-1是“勾系一元二次方程” 220个根,且四边形A C D E的周长是62,求∆A B C 的面积．20、(8分)某网店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货．(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个,若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元？(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了A %(A ＞0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5A %,结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元,求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？21、(8分)阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程. 例：解方程2110x x ---=解：(1)当10x -≥即1x ≥时．11x x -=-,原方程化为2(1)10x x ---=,即20x x -=,解得1201x x ==，．∵1x ≥,故0x =舍去,1x =是原方程的解 (2)当10x -<即1x <时．1(1)x x -=--,原方程化为2(1)10x x +--=,即220x x +-=,解得1212x x ==-，．∵1x <,故1x =舍去,2x =-是原方程的解． 综上所述,原方程的解为1212x x ==-，. 解方程：22240x x ++-=22. (8分)关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,求此时m 的值．23．(8分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想--转化,把未知转化为已知．用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程．例如,一元三次方程x 3+x 2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0,解方程x=0和x 2+x-2=0,可得方程x 3+x 2-2x=0的解． (1)问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ,x 3= ； (2)拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；(3)应用：如图,已知矩形草坪A B C D 的长A D =8m ,宽A B =3m ,小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ,沿草坪边沿B A ,A D 走到点P 处,把长绳PB 段拉直并固定在点P ,然后沿草坪边沿PD 、D C 走到点C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C ．求A P 的长．24．(8分)实际问题：某商场为鼓励消费,设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券,奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所取的2个整数1,21,3,2,3如表①,所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数,其中最小是3,最大是5,所以共有3种不同的结果．(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表②如表②,所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,其中最小是3,最大是7,所以共有5种不同的结果．(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果． (4)从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有___ 种不同的结果． (2)从1,2,3,…,n (n 为整数,且4n ≥)这n 个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1,2,3,…,n (n 为整数,且5n ≥)这n 个整数中任取4个整数,这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1,2,3,…,n (n 为整数,且3n ≥)这n 个整数中任取()1a a n <<个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸：(1)从1,2,3,…,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3,4,5,…,3n +(n 为整数,且2n ≥)这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数,这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案一、选择题(每小题3分,共36分)1、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是DC BA[答案]B[分析]根据一元二次方程x 2﹣2x +kB +1=0有两个不相等的实数根, 得到判别式大于0,求出kB 的符号,对各个图象进行判断即可． [解析]∵x 2﹣2x +kB +1=0有两个不相等的实数根, ∴△=4﹣4(kB +1)＞0,解得kB ＜0,A ．k ＞0,B ＞0,即kB ＞0,故A 不正确；B ．k ＞0,B ＜0,即kB ＜0,故B 正确；C ．k ＜0,B ＜0,即kB ＞0,故C 不正确；D ．k ＞0,B =0,即kB =0,故D 不正确； 故选：B ．[考点]根的判别式；一次函数的图象．.[点评]本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再张,叫做涨停；当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x ,则x 满足的方程是 A . 1011)1(2=+x B . 910)1(2=+x C . 101121=+x D . 91021=+x [答案]B[分析]我们可以将整个原价假设为1(如果你觉得不放心,也可以假设为a 或m 等与现有字母不冲突的任何字母),那么跌停后的价格就是0.9.之后两天中的第一天,是在0.9的基础上增加了x ,那么就是到了)1(9.0x +；接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为x ,但是起步价变了,已经不是0.9,而是前一天收市之后的)1(9.0x +,它是在)1(9.0x +的基础上增加到了)1(x +倍(请注意增加和增加到的区别),因此,现在的股价是)1()]1(9.0[x x +⋅+,也就是2)1(9.0x +.[解析]跌停后,股价为0.9,连续两天按照x 的增长率增长后,股价为2)1(9.0x +,根据题意,得方程1)1(9.02=+x ,那么正确选项为B .[考点]本题考查了增长率的概念和方程的基本性质[点评]首先必须要分清楚增加(或减少)的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？ 其次,这个基础“1”前后是否发生了变化.3、根据下列表格中代数式c bx ax ++2与x 的对应值,判断方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根x的大致范围是( )A ．6< x <6.17B ．6.17< x <6.18C ．6.18< x <6.19D ．6.19< x <6.20 [答案]C[解析]当6.18< x <6.19时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正, 说明在6.18< x <6.19范围内一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=, 即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选C . [考点]利用夹逼法求近似解4.已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形A B C 的两条边长,则三角形A B C 的周长为( ) A ． 10 B ． 14C ． 10或14D ． 8或10[答案]B[分析]先将x =2代入x 2﹣2mx +3m =0,求出m =4,则方程即为x 2﹣8x +12=0, 利用因式分解法求出方程的根x 1=2,x 2=6,分两种情况： ①当6是腰时,2是等边；②当6是底边时,2是腰进行讨论． 注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． [解析]∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根,∴22﹣4m +3m =0,m =4,∴x 2﹣8x +12=0,解得x 1=2,x 2=6． ①当6是腰时,2是等边,此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时,2是腰,2+2＜6,不能构成三角形． 所以它的周长是14．故选B ．[考点]解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质． [点评]此题主要考查了一元二次方程的解,解一元二次方程﹣因式分解法,三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质,注意求出三角形的三边后,要用三边关系定理检验． 5．已知分别是三角形的三边长,则一元二次方程的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 [答案]A 解析：因为又因为分别是三角形的三边长,所以所以所以方程没有实数根.故答案选A[考点]一元二次方程根的判别式. 6、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为( ) A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- [答案]A[分析]设y x x =-+732,原方程化成23=-yy ,再整理成整式方程求解即可. [解析]设y x x =-+732,则23=-yy ∴0322=--y y ,解得11-=y ,32=y 当11-=y 时,1732-=-+x x ,解得2333±-=x 当32=y 时,3732=-+x x ,解得2=x 或5- ∴()605223332333=-⨯⨯--⨯+- [考点]换元法解分式方程.[点评]本题考查了用换元法解分式方程,解次题的关键是把732-+x x 看成一个整体来计算,即换元法思想.7、若方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 是关于x 的一元二次方程,则必有( )．A ．A =B =C B ．一根为1 C ．一根为－1D ．以上都不对[答案]B ．[解析]A 、当A =B =C 时,A -B =0,B -C =0,则式子不是方程,故错误；B 、把x =1代入方程的左边：A -B +B -C +C -A =0．方程成立,所以x =1是方程(A -B )x 2+(B -C )x +(C -A )=0的解；C 、把x =-1代入方程的左边：A -B +C -B +C -A =2(C -B )=0不一定成立,故选项错误；故选B ．[考点]一元二次方程的解8、我们解一元二次方程3x 2﹣6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x ﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x ﹣2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是( )A . 转化思想B . 函数思想C . 数形结合思想D . 公理化思想[答案]A[解析]我们解一元二次方程3x 2-6x =0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x (x -2)=0,从而得到两个一元一次方程：3x =0或x -2=0,进而得到原方程的解为x 1=0,x 2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想.(即将我们不熟悉的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程),故选A ．[考点]数学思想9、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == [答案]B ． [分析]由条件可知A +B +C =0,再根据方程根的判别式得到到B 2-4A C =0,整理可得出结论．[解析]由条件可知A +B +C =0,所以B =-(A +C ),又因为方程有两个相等的实数根,所以△=0,即B 2-4A C =0,所以(A +C )2-4A C =0,整理可得(A -C )2=0,所以A =C ,故选B ．[考点]根的判别式[点评]本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定,由条件到到知A +B +C =0和B 2-4A C =0是解题的关键．10、小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1．他核对时发现所抄的C 比原方程的C 值小2,则原方程的根的情况是A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x =–1D ．有两个相等的实数根[答案]A[解析]∵小刚在解关于x 的方程A x 2+B x +C =0(A ≠0)时,只抄对了A =1,B =4,解出其中一个根是x =–1,∴(–1)2–4+C =0,解得：C =3,故原方程中C =5,则B 2–4A C =16–4×1×5=–4<0,则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A ．[点睛]此题主要考查了根的判别式,正确得出C 的值是解题关键．11、有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=,N ：20cx bx a ++=,其中0a c +=,以下列四个结论中,错误的是( )A 、如果方程M 有两个不相等的实数根,那么方程N 也有两个不相等的实数根；B 、如果方程M 有两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同；C 、如果5是方程M 的一个根,那么15是方程N 的一个根； D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是1x =.[答案]D .[解析]根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系对各选项逐一分析作出判断：A 、∵M 有两个不相等的实数根,∴△＞0,即240b ac ->.∴此时N 的判别式△＝240b ac ->,故它也有两个不相等的实数根.B 、∵M 的两根符号相同：即120c x x a⋅=>,∴N 的两根之积＝a c ＞0,故N 两个根也是同号的. C 、如果5是M 的一个根,则有：2550a b c ++=①,我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立,代入得：110255c b a ++=②,比较①与②,可知②式是由①式两边同时除以25得到,故②式成立. D 、比较方程M 与N 可得：将M －N 得到： ()2a c x a c -=-,∴1x =±. 故可知,它们如果有根相同的根可是1或1-.故选D .[考点]一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.12、已知实数m ,n 满足020092=-+m m ,()102009112-≠=--mn n n ,则1n m -=( ). A 、12009 B 、2009 C 、－2009 D 、12009- [考点]一元二次方程根与系数的关系.[分析]根据题意：由020092=-+m m 得：011120092=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m ；由02009112=--n n 得：()()0120092=--+-n n ,又因为1-≠mn ,即n m -≠1,因此可以把m1,n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根,由根与系数的关系得：200911-=-n m . [解析]∵020092=-+m m ,02009112=--n n ∴011120092=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m ,()()0120092=--+-n n ∵1-≠mn ∴n m -≠1 ∴把m 1,n -作为一元二次方程0120092=-+x x 的两根 ∴()2009111-=-+=-n m n m [点评]本题考查的是用构造一元二次方程,利用根与系数的关系解答问题,本题的关键是利用已知进行变形是关键所在,不要忽视了1-≠mn 这个条件隐含的题意.二、填空题(每小题3分,共18分)13．如图,在一块长12m,宽8m 的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积77m 2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为__________．[答案](12–x )(8–x )=77[解析]∵道路的宽应为x 米,∴由题意得,(12–x )(8–x )=77,故答案为：(12–x )(8–x )=77．[点睛]此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．14、等腰三角形三边长分别为2a b 、、,且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根,则n 的值为 ．[答案]10.[解析]由题意可知,等腰三角形有两种情况:当A , B 为腰时,A =B ,由一元二次方程根与系数的关系,可得A +B =6 ,所以A =B =3,A B =9=n -1, 解得n =10;当2为腰时,A =2 (或B =2),此时2+B =6 (或A +2=6),解得B =4 (A =4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系,故不合题意.所以n 只能为10.故选B[考点]1.等腰三角形,2.一元二次方程根与系数的关系.15、对于实数A ,B ,定义运算“﹡”：A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,则x 1﹡x 2=[答案]3或﹣3[分析]首先解方程x 2﹣5x+6=0,再根据A ﹡B =()()22a ab a b ab b a b ⎧-≥⎪⎨-⎪⎩＜,求出x 1﹡x 2的值即可． [解析]∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根,∴(x ﹣3)(x ﹣2)=0,解得：x=3或2,①当x 1=3,x 2=2时,x 1﹡x 2=32﹣3×2=3；②当x 1=2,x 2=3时,x 1﹡x 2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．[考点]解一元二次方程-因式分解法．[点评]此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题,根据已知进行分类讨论是解题关键．16、已知关于x 的方程02=++c bx ax 的两根分别为3-和1,则方程02=++a cx bx 的两根为 .[答案]211=x ,12=x [分析]因为方程的两个根为3-和1,所以方程可以方程因式为()()013=-+x x a ,用含A 的式子表示B 和C ,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.[解析]∵02=++c bx ax 的两根为3-和1 ∴()()013=-+x x a整理得：0322=-+a ax ax ∴a b 2=,a c 3-=把B ,C 代入方程02=++a cx bx ,得：0322=+-a ax ax()()0112=--x x a ∴211=x ,12=x [考点]解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．[点评]本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,把方程的两根代入方程,整理后用含A 的式子表示B 和C ,然后把B ,C 代入后面的方程,用因式分解法可以求出方程的根.17、如果m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,那么代数式2n 2﹣mn +2m +2020= ．[答案]2031[分析]由于m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,可知m ,n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m +n =2,mn =﹣3,又n 2=n +3,利用它们可以化简2n 2﹣mn +2m +2020=2(n +3)﹣mn +2m +2020=2n +6﹣mn +2m +2020=2(m +n )﹣mn +2026,然后就可以求出所求的代数式的值．[解析]由题意可知：m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2﹣m =3,n 2﹣n =3,所以m ,n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根,则根据根与系数的关系可知：m +n =1,mn =﹣3,又n 2=n +3,则2n 2﹣mn +2m +2020=2(n +3)﹣mn +2m +2020=2n +6﹣mn +2m +2020=2(m +n )﹣mn +2026=2×1﹣(﹣3)+2026=2+3+2026=2031．故答案为：2031．[考点]根与系数的关系．.[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数,然后利用根与系数的关系式求值．18、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法,正确的是________．(写出所有正确说法的序号)．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程,则22450m mn n ++=；③2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程,且5b a =-,则方程20ax bx c ++=的一个根为54． [答案]②③．[解析]研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论,设其中一根为t ,则另一个根为2t ,因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+, 所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-,即0K =时,方程20ax bx c ++=为倍根方程； 下面我们根据此结论来解决问题： 对于①, 29102K b ac =-=,因此本选项错误； 对于②,2(2)20mx n m x n +--=,而29K (2)(2)02n m m n =---=, ∴22450m mn n ++=,因此本选项正确； 对于③,显然2pq =,而29K 302pq =-=,因此本选项正确； 对于④,由倍根方程的结论知2902b ac -=,又5b a =-,从而有509c a =,所以方程变为：250509ax ax a -+=,∴2945500x x -+=,∴1103x =,253x =,因此本选项错误． 故答案为：②③．[考点]1．新定义；2．根与系数的关系．三、解答题(共46分)19.(6分)如图,四边形 A C D E 是证明勾股定理时用到的一个图形,A 、B 、C 是 Rt ∆A B C 和 Rt ∆B ED 的边长,已知2=AE c ,这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”220++=ax cx b ,必有实数根；(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 220++=ax cx b 的一个根,且四边形 A C D E 的周长是2,求∆A B C 的面积．[答案](1)235240x x++=(答案不唯一)(2)见解析(3)1.[分析](1)直接找一组勾股数代入方程即可；(2)根据根的判别式即可求解；(3)根据方程的解代入求出A ,B ,C 的关系,再根据完全平方公式的变形进行求解.[解析](1)当A =3,B =4,C =5时,勾系一元二次方程为235240x x++=；(2)依题意得△=(2c)2-4A B =2C 2-4A B ,∵A 2+B 2=C 2,∴2C 2-4A B =2(A 2+B 2)-4A B =2(A -B )2≥0,即△≥0,故方程必有实数根；(3)把x=-1代入得A +B =2C ；∵四边形A C D E 的周长是62,即2(A +B )+ 2C =62,故得到C =2,∴A 2+B 2=4,A +B =22∵(A +B )2= A 2+B 2+2A B ∴A B =2,故∆A B C 的面积为12A B =1.[点睛]此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.20、(8分)某网店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个120元的价格进货．(1)经过市场调查发现,当每个背包的售价为140元时,月均销量为980个,售价每增长10元,月均销量就相应减少30个,若使这种背包的月均销量不低于800个,每个背包售价应不高于多少元？(2)在实际销售过程中,由于原材料涨价和生产成本增加的原因,每个背包的进价为150元,而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了A %(A ＞0),月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5A %,结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元,求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？[答案](1) 200元;(2) 190元[分析](1)设每个售价应为x元,根据月销量=980-30×14010x-,结合月销量不低于800个,即可得出关于x的一元一次不等式；(2)根据总利润=每个利润×销售数量,即可得出关于A 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论．[解析](1)设使背包的月销量不低于800个,每个售价是x 元,980﹣30×14010x -≥800,解得x ≤200, 故要使背包的月销量不低于800个,每个售价应不高于200元．(2)由题意可得：[200(1﹣A %)﹣150]•800(1+5A %)＝40000,整理,得：A %﹣20 (A %)2＝0, 解得：A 1＝5,A 2＝0(不合题意,舍去)．故200(1﹣A %)＝190(元)答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．…[点睛]本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题,解题关键是利润问题中数量关系,根据题目给出的条件,找出合适的不等关系和等量关系,列出不等式和方程,再求解．21、(8分)阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程.例：解方程2110x x ---=解：(1)当10x -≥即1x ≥时．11x x -=-,原方程化为2(1)10x x ---=,即20x x -=,解得1201x x ==，． ∵1x ≥,故0x =舍去,1x =是原方程的解(2)当10x -<即1x <时．1(1)x x -=--,原方程化为2(1)10x x +--=,即220x x +-=,解得1212x x ==-，． ∵1x <,故1x =舍去,2x =-是原方程的解．综上所述,原方程的解为1212x x ==-，.解方程：22240x x ++-=[分析]把22240x x ++-=中的绝对值去号求解,分别讨论即可.[解析](1)当20x +≥即2x ≥-时．22x x +=+,原方程化为22(2)40x x ++-=,即220x x +=,解得1202x x ==-，. ∵2x ≥-,故1202x x ==-，是原方程的解.(2)当20x +<即2x <-时．2(2)x x +=-+,原方程化为22(2)40x x -+-=,即2280x x --=,解得1242x x ==-，. ∵2x <-,故1242x x ==-，不是原方程的解.综上所述,原方程的解为1202x x ==-，.[考点]绝对值,解一元二次方程.22. (8分)关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,求此时m 的值．[分析](1)利用判别式的意义得到△＝(﹣3)2﹣4k ≥0,然后解不等式即可；‘(2)利用(1)中的结论得到k 的最大整数为2,解方程x 2﹣3x +2＝0解得x 1＝1,x 2＝2,把x ＝1和x ＝2分别代入一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0求出对应的m ,同时满足m ﹣1≠0．[解答]解：(1)根据题意得△＝(﹣3)2﹣4k ≥0,解得k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程x 2﹣3x +k ＝0变形为x 2﹣3x +2＝0,解得x 1＝1,x 2＝2,∵一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根,∴当x ＝1时,m ﹣1+1+m ﹣3＝0,解得m ＝；当x ＝2时,4(m ﹣1)+2+m ﹣3＝0,解得m ＝1,而m ﹣1≠0,∴m 的值为．[点评]本题考查了根的判别式：一元二次方程A x 2+B x +C ＝0(A ≠0)的根与△＝B 2﹣4A C 有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根；当△＜0时,方程无实数根．23．(8分)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解；类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想--转化,把未知转化为已知．用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程．例如,一元三次方程x 3+x 2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0,解方程x=0和x 2+x-2=0,可得方程x 3+x 2-2x=0的解．。
一元二次方程的解法(B卷)(含答案)-
一元二次方程的解法（B卷）一、学科内综合题：(每小题8分,共24分)1.你能用所学知识解下面的方程吗?试一试：2x2+5│x│-12=02.已知一直角三角形的三边为a,b,c,∠B=90°,请你判断关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.3.已知x和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式12 121 4x x x x <+-,试求m的取值范围.二、学科间综合题(12分)4.在某串联电路中有两个电阻R1,R2,其中R1=4Ω,当串联后安装在电压为6V的电路中时,R2实际消耗的功率为2瓦特,求R2的阻值.三、实践应用题(每小题10分,共20分)5.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.6.某开发区2002年人口20万,人均住房面积20m 2,预计到2004年底, 该地区人口将比2002年增加2万,为使到2004年底该地区人均住房面积达22m 2/人,试求2003年和2003年这两年该地区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几?四、创新题(28分)(一)教材中的变型题(8分)7.(教材P38第9题变型)如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问：( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法?(2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少?(二)一题多解(8分)8.设,αβ是方程x 2-3x-5=0的两根,求2223αββ+-的值.(三)一题多变(12分)9.当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2+4x-1=0有两个实数根?(1)一变：当a 取什么值时,关于x 的一元二次方程ax 2+4x-1=0有实根?(2)二变：当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2+4x-1=0有实根?(3)三变：当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2+4x-1=0的两根都是正数?五、中考题(10-12每题3分,13题7分,共16分)10.(常州)请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.11.(海南)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2-(2a-3)x+1=0的两个实数根,如果12112x x +=- ,那么a 的值等于_____________. 12.(天门)如果方程x 2+2x+m=0有两个同号的实数根,则m 的取值范围是________.13.(黑龙江)关于x 的方程kx 2+(k+1)x+4k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.答案 一、1．1233,22x x ==- 2．提示：2224()0a c b ∆=+-=3．5132m -<≤ 二、4．228R =ΩΩ或 三、5．20% 6．10%四、7．（1）垂直于墙的竹篱笆长10米，平行于墙的竹篱笆长15米（2）垂直于墙的竹篱笆长9.25米，平行于墙的竹篱笆长18米,最大面积166.5米28.24 提示：25350αβββ=-⎧⎨--=⎩,22222233αββαβββ+-=++- 9. 40a a ≥-≠且(1) 40a a ≥-≠且;(2) 4a ≥-;(3) 40a -≤<五、10．x 2-x=0 11. 1212. 01m <≤ 13.(1) 102k k >-≠且;(2)不承在。
《一元二次方程》 单元测试卷 (含答案)
《一元二次方程》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）. （A ）2355()416x += （B ）2315()24x +=- （C ）2315()24x += （D ）2355()416x +=- 2.已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( )(A) 2()5x p -= (B) 2()9x p -=(C) 2(2)9x p -+= (D) 2(2)5x p -+=3.一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．(A)X l =1， x 2=3 (B)X l =1， x 2=-3(C)X 1=-1，X 2=3 (D)X I =-1， X 2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为（ ）.（A ）3 （B ）－2 （C ）3或－2 （D ）－3或25. 方程(3)x x x +=的根是（ ）.（A ）－2 （B ）0 （C ）无实根 （D ）0或－2 6. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x+的值为（ ）. （A ）3 （B ）－3 （C ）32 （D ）以上都不对 7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于（ ）. （A ）1 （B ）4或1 （C ）4 （D ）－4或－18. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是（ ）.（A ）2a ≠-且1a = （B ）2a ≠ （C ）2a ≠-且1a =- （D ）1a =-二、填空题 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________.11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.13. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x 2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________（只填符合条件的一个即可）15. 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.三、计算题17.用配方法解下列方程：（1）210257x x -+=； （2）261x x +=；（3）23830x x +-=；（4）2310x x -+=.18.用公式法解下列方程：（1）27180x x --=；（2）22980x x -+=；（3）29610x x ++=；（4）21683x x +=.19.用因式分解法解下列方程：（1）(41)(57)0x x -+=； （2）3(1)22x x x -=-；（3）2(23)4(23)x x +=+； （4）222(3)9x x -=-.20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0我们可以将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，•则（x 2-1）2=y 2，原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=x 1，x 2，x 3x 4解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;（2）利用上述方法解方程x 4-x 2-6=0．21. 若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．参考答案：一、选择题1.D ；2.B ；3.C ；4.A ；5.D ；6.A ；7.A ；8.C ；二、填空题 9. 19，13-； 10. －5或3；11．9或－2；12.4，－3，－5；13. x 1；x 2；14.如4 ， 提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．15. -•4或1；16.略；三计算题17.（1）15x =25x =（2）13x =-23x =-（3）113x =，23x =-；（4）132x +=，2x =； 18.（1）19x =，22x =-；（2）194x +=，294x =； （3）1213x x ==-； （4）114x =，234x =-； 19.（1）175x =-，214x =；（2）12 3x=-，21x=；（3）13 2x=-，21 2x=；（4）13x=，29x=.20. （1）换元，转化；（2）x=21. （1）3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．。
第2章《一元二次方程 》北师大版九年级数学上册单元测试卷(含答案)
第二章《一元二次方程》单元测试卷一、单选题（每题3分）1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A．n=0B．n=0或mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号3．方程的解是（）A．B．C．D．4．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（）A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．人B．人C．人D．人7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（）A．1B．2C．2.5D．38．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=09．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（）A．B．C．2D．410．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题3分）11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．12．若一元二次方程的一个根为0，则___________．13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．15．已知方程的两个实数根分别为、，则__．16．已知实数，满足，则的值为________．17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）=x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）=（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n=0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）=0，即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0，因此，方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n=0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2=0的解为_____．三、解答题19．解方程（8分）（1）；（2）；（3）（配方法）；（4）.20．用适当的方法解一元二次方程（8分）（1）；（2）；（3）；（4）．21．已知关于的方程.（6分）（1）当为何值时，方程只有一个实数根？（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（6分）（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．23．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．（6分）24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？（6分）25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（6分）（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？26．已知关于x的一元二次方程．（6分）（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．27．阅读理解:（7分）材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．28．（7分）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）答案一、单选题A．B．B．C．D．B．B.B．B.D．二、填空题11．m=﹣1；﹣2，﹣4，3．12．113．且．14．300（1+x）2＝363．15．-5．16．2.17．或．18．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、解答题19．（1）解：或，；（2）解：或，；（3）解：，；（4）解：①当时，，解得：；②当时，，若，即，；若，即，方程无解．20．（1）原方程可化为，∴，用直接开平方法，得方程的根为，．（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．用直接开平方法，得原方程的根为，．（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0，∴，．（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，，．21．（1）∵方程只有一个实数根，，解得（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得（3）∵方程有两个不相等的实数根，且，且，解得且.22．（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=323．解：设的长为，则的长为．依题意，得，解得，．当时，（不符合题意，舍去）．当时，．∴的长为．24．设销售单价降低x元，则销售单价为元，每天的销售量是件，由题意得：，整理得：，解得或，因为要求销售单价不得低于成本，所以，解得，因此和均符合题意，则或70，答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．25．（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．（2）设题图中直线的解析式为．把和代入得解得故直线解析式为．当时，进价为（元），售价为（元），则每台学习机可以获利（元）．（3）当时，每台学习机的利润是，则．解得（舍去）．当时，每台学习机的利润是，则，解得（舍去）．答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．26．解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，．27．解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴,即，令,解得,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．28．解：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．解：知识运用原式；解决问题（1），∵，∴，即，∴是等腰三角形；（2）①当时，，即，，即，若则，把它代入，得，解得，当时，，则，当时，，则，综上：的值为6或；②当，∵，∴，∵，∴，同理由，得，由，，若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，若，则，，，综上：，，．。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测含答案
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本题共计10小题，每题3分 ，共计30分 ）
1.如果关于x 方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A.±3B.3C.﹣3D.都不对
2.关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（ ）
D、方程x（x+2）（x-3）=0的实数根是x=0或x=-2或x=3，共3个．故本选项正确；
故选D．
[点睛]本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式Ax2+Bx+C=0（A≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中Ax2叫做二次项，A叫做二次项系数；Bx叫做一次项；C叫做常数项．一次项系数B和常数项C可取任意实数，二次项系数A是不等于0的实数，这是因为当A=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
16.已知 ， 分别是一元二次方程 的两个实数根，则 ________．
17.已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 ________．
18.若把代数式 化为 形式，其中 ， 为常数，则 ___．
19.把关于 的方程 配方成为 的形式，得___．
20.要给一幅长 ，宽 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为 ，则依据题意，列出的方程是：_____．
[详解]把x=2代入 得，4-6+k=0，
解得k=2.
故答案为B.
[点睛]本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值是解题的关键.
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第22章《一元二次方程》测试题
一、认真填一填：
1、把一元二次方程3(2)(2)40x x x -+-=化为一般形式是
2、方程2
20x x -=的根是
3、关于x 的一元二次方程2
0x x m +-=的一个根是－2, 则m= 4、当x= 时，代数式255x x -+的值为－1.
5、如果二次三项式221x m -+是一个完全平方式，那么m 的值是
6、关于x 的方程22
(2)510m m x
x ----=是一元二次方程，那么 m=
7、 若关于x 的一元二次方程2
20x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．
8、若关于x 的一元二次方程02=++n mx x 有两个相等的实数根，则符合条件的一组m ，n 的实数值可以是m ＝ ，n ＝ ；
9、制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是
10、某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共182件，若全组有x 名学生，则根据题意可列方程 二、精心选一选：
11、方程 (x+1)(x －3) = 5 的解是 ( )
A 、x 1=1 , x 2 = －3
B 、x 1= 4 , x 2 = －2
C 、x 1 = －1 , x 2 = 3
D 、x 1= －4 , x 2 = 2 12、下列一元二次方程中，有实数根的是 ( )
A 、x 2
－x +1= 0 B 、x 2
－2x+3 = 0 C 、x 2
+ x －1= 0 D 、x 2
+ 4 = 0 13、已知方程有一个根是，则下
列代数式的值恒为常数的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
14、若一个三角形的三边均满足2680x x -+=，则此三角形的周长为（ ） A 、6 B 、12 C 、10 D 、以上三种情况都有可能
15、关于x 的一元二次方程2
2
(1)10a x x a -++-=的一个根是0 . 则a 的值为 ( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、
12
16、如果关于x 的一元二次方程2
2(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A 、k ＞14-
B 、k ＞14-且0k ≠
C 、k ＜14-
D 、1
4
k ≥-且0k ≠ 三、细心算一算：
17、用适当的方法解下列方程：
（1）2
(21)3(21)x x +=+ （2）23310x x --=
18、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．
，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x 2
－3x ＋1＝0；②(x －1)2
＝3；③x 2
－3x ＝0；④x 2
－2x ＝4．
19、如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°, AC=8cm ,BC=6cm , 点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？
20、已知：关于x 的一元二次方程2
(1)60x k x -+-=, （1）求证：对于任意实数 k ，方程有两个不相等的实数根. （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根.
21、已知一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根. (1) 求 k 的取值范围；
(2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程2
40x x k -+= 与2
10x mx +-=有一个相同的根，求此时m 的值.
22、 (08′湘潭)阅读材料：
如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c
x x x x a a
+=-=.
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程
2630x x +-=的两根，求22
12
x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-Q 123,x x =-则 22
2212
112()2x x x x x x +=+-=2
(6)2(3)42--⨯-=. 请你根据以上解法解答下题： 已知12,x x 是方程2
420x x -+=的两根，求：（1）12
11
x x +的值；（2）212()x x -的值.
四、用心想一想：
23、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同. （1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税 .
24、如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
25、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每
天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
参考答案
1、5x 2
－4x －1=0 , 5x 2
, －4 2、x 1=3 ,x 2=－1 3、1 ,－2 4
、1211x x ==
5、≤2
6、0或3
7、8m 或6m
8、24
或、3或－1 10、20% 11、B 12、D 13、D 14、C 15、D 16、A
17、(1)122,1x x =-=
(2)12x x =
= 18、121
,12
x x == 19、123
,12
x x ==-
20、a =－1 , b =12- 21、（1）m≥12- (2)略 22、（1）由△=(k+2)2
－4k·4
k ＞0 ∴k＞－1
又∵k≠0 ∴k 的取值范围是k ＞－1，且k≠0 （2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx 2
+(k+2)x+4
k
=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系有： x 1+x 2=k k 2+-
，x 1·x 2=41， 又01121=+x x =0 则 k
k 2+-=0 ∴2-=k 由（1）知，2-=k 时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的k 的值。
23、(20－6x ) (30－4x ) (24x 2
－260x+600) 根据题意得，2
1
24260600(1)20303
x x -+=-⨯⨯ 整理得2
665500x x -+= 解得125,106x x =
=（舍去）则552,332
x x == 24、设矩形温室的宽为m x ，则长为2m x ．根据题意，得(2)(24)288x x --=g ．解这个方程，得110x =-（不合题意，舍去），214x =．所以14x =，221428x =⨯=． 25、解：设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游， 因为27000 > 25×1000 ，所以员工人数一定超过25人。
可得方程 []100020(5)27000x x --•= 整理，得 2
7513500x x -+=
解得：x 1=45 , x 2=30
当x 1=45 时，1000－20(x －25)=600<700 ，故舍去
当x 2=30 时，1000－20(x －25)=900 > 700 ，符合题意 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游 .。