冲剌名校中考数学最新题型-函数与一次函数

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2024年中考复习-重难点05 反比例函数与一次函数的综合(解析版)

重难点05反比例函数与一次函数的综合考点一：一次函数一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。

但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。

占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。

题型01一次函数图象上点的坐标特征解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；【中考真题练】1．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．故选：A．3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（，2）【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB ＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（5，2）．故选：C．4．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是×|﹣2|×2＝2．故答案为：2．5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系数法即可解得．【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．6．（2023•南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是1．【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出+的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），∴OA＝，OB＝﹣2k+3，∴+＝+＝﹣＝＝1，故答案为：1．7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是10．【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．故答案为：10．8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是24046．＝，证明△ABC∽△A1B1C1，【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC△ABC∽△A 2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，总结得出＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，从而得出＝22×2023×＝24046．【解答】解：∵OB＝2，∴B（2，0），∵AB⊥x轴，∴点A的横坐标为2，∵直线l1：y＝x，∴点A的纵坐标为＝，∴∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，∵直线l2：y＝x，∴C（x C，），∴＝，∴∠BOC＝60°，∴OC＝，∴C点的横坐标为：＝，＝＝，∴S△ABC∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，∴OB＝，OB1＝，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴，，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴，，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，∴＝4S△ABC∴＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，＝22×2023×＝24046．故答案为：24046．9．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；（2）利用描点法画图象即可；（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标是（2，0），∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4的图象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴点B的坐标是（4，4）；（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．【中考模拟练】1．（2024•长丰县模拟）如图，直线与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．B．（﹣6，0）C．D．【分析】直线与坐标轴交于点A、B，得到，结合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函数计算OC即可．【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故选：A．2．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．3．（2024•太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上，且x1＞x2，∴y1＜y2．故选：B．4．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（）A．3B．C．D．【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP 交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP ＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP 的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，证△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，则PF＝，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，则ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，∴点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵点P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，由勾股定理得：EF＝＝．故选：C．5．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是﹣．【分析】代入y＝1，求出x的值即可．【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，解得：x＝﹣，∴点A的横坐标是﹣．故答案为：﹣．6．（2023•郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y＝﹣2|x﹣…﹣5m﹣1131n﹣3﹣5…1|+3填空：m＝﹣3，n＝﹣1；（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范围是﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．【分析】（1）分别求出x＝﹣2和x＝3时对应的y值即可；（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；（4）分别求得y＝2与y＝﹣2时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，当x＝3时，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，故答案为：﹣3，﹣1；（2）根据描点连线，如图所示．（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）．故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）当y＝2时，即﹣2|x﹣1|+3＝2，解得：x＝0.5或x＝1.5，当y＝﹣2时，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2解得x＝﹣1.5或x＝3.5，根据函数图象可得，点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．7．（2023•太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：【特例探究】（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图象．【深入探究】（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（2，1）．归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（m，n）．【实践运用】（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为4，求k的值．【分析】（1）根据列表、描点、连线作图．（2）将x＝2代入解析式求解．（3）将x＝m代入解析式求解．（4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解．【解答】解：（1）列表：x﹣10123 y﹣5﹣3﹣113如图：（2）将x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，∴函数y＝k（x﹣2）+1的图象一定经过（2，1）．故答案为：（2，1）．（3）将x ＝m 代入y ＝k （x ﹣m ）+n 得y ＝n ，∴函数y ＝k （x ﹣m ）+n 的图象一定经过（m ，n ），故答案为：（m ，n ）．（4）将x ＝﹣2代入y ＝k （x +2）+3得y ＝3，∴点N 坐标为（﹣2，3），将x ＝0代入y ＝k （x +2）+3得y ＝2k +3，∴点A 坐标为（0，2k +3），∴OA ＝|2k +3|，∴S △OAN ＝OA •|x N |＝OA ＝|2k +3|＝4，解得k ＝﹣或k ＝．8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4（k ≠0）交x 轴于点A （8，0），交y 轴于点B ．（1）k 的值是﹣；（2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点D 的坐标为（6，0），点E 的坐标为（0，1），若四边形OECD 的面积是9，求点C 的坐标；②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，若四边形OECD 的周长是10，请直接写出点C 的坐标．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标，由四边形OECD 的面积是9，得出S 梯形CEOM +S △CDM ＝（1﹣m +4）•m +（﹣m +4）•（6﹣m ）＝9，解方程求得m 的值，即可求得C 的坐标；②由题意可知2（m ﹣m +4）＝10，解方程求得m 的值，即可求得C 的坐标【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案为：﹣；（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四边形OECD的面积是9，+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，∴S梯形CEOM整理得2m＝6，解得m＝3，∴点C的坐标为（3，）；②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，∴四边形CEOD是矩形，∵四边形OECD的周长是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．题型02一次函数的应用解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义【中考真题练】1．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y 与x的函数关系式．【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故选：B．2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/minC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D 选项．【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．4．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．【解答】解：由图可得，甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正确，符合题意；故选：C．5．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A．46B．48C．50D．52【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝得出小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．【解答】解：设小明家距离商场为s m，∵小明购物用时30min，∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），∴小明从家到商场的速度为（m/min），∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，∴小明返回所用时间为＝10（min），∴a＝42+10＝52，故选：D．6．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣10．【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，∴当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案为：y＝80x﹣10．7．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．（1）男装、女装的单价各是多少？（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意得：，解得：，答：男装单价为100元，女装单价为120元．（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，根据题意可得，解得：90≤a≤100，∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，∵20＞0，∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），此时，150﹣a＝60（套），答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．8．（2023•青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：品名A B进价（元/件）4560售价（元/件）6690（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值计算出来和第一次获利比较即可．【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：，解得，∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，＝﹣4×50+3000＝2800（元），∴当m＝50时，W取最大值，W大∵2800＜2880，∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．9．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a的值是120；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h）故可设直线BG 的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t 小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，解得k＝120，∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，故答案为：120；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，∵a＝120（km），∴货车卸货时与乙地相距120km，∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，解得x＝2，∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×（出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，解得b＝0，∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，∴G（8，480），∴F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，∴，∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，解得t1＝；②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，解得t2＝，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．【中考模拟练】1．（2024•兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．不确定【分析】利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断．【解答】解：设y甲＝kx，把（1200，960）代入，得1200k＝960，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x，当0＜x＜200时，设y乙＝ax，把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，所以y乙＝x；当x≥200时，设y乙＝mx+n，把（1200，900），（200，200）代入，得，解得．所以y乙＝，x＝620时，y甲＝0.8×620＝496，y乙＝0.7×620+60＝494，494＜496，∴从省钱的角度建议选择乙商场，故选：B．2．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（）A．a＝2100B．b＝2000C．c＝20D．【分析】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B 选项符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意．【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了（3×2800）米，且二者速度不变，∴c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；∵x＝35时，出现拐点，∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），明明的速度为140﹣80＝60（米/分），∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），所以b＝2000．故B选项不符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意；故选：D．3．（2024•中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先建立函数关系式，再根据题意逐个判断即可．【解答】解：设y＝kx，代入点（6，600）得：600＝6k，甲∴k＝100．∴y＝100x，＝kx，代入点（2，300）得：300＝2k．当0≤x≤2时，设y乙∴k＝150，＝150x，∴y乙当x≥2时，设y＝kx+b，代入点（2，300），（6，500）得：乙解得：k＝50，b＝200．＝50x+200．∴y乙∵600÷6＝100米/天，∴①正确．∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，∴②正确．＝100x＝400（米）．∵当x＝4时，y甲y乙＝50×4+200＝400（米）．∴③正确．＝100x＝600时，x＝6．当y甲＝50x+200＝600时，x＝8，当y乙8﹣6＝2，∴④正确．故选：D．4．（2024•市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发 2.1h后，两人相遇．【分析】根据图形求出两人的速度，设出发x小时后两人相遇，再根据两人相遇时路程之和等于60即可求解．【解答】解：根据图像：乙的速度为：（60﹣40）÷1＝20（km/h），甲的速度为：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），设出发x小时后两人相遇，根据题意得20（x﹣0.5）+x＝60，解得x＝2.1，。

一次函数和反比例函数综合问题(3易错7题型)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =，故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形，故答案为：AOB 的面积为272，（3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．）解：点点点A题型一一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值．【详解】（1）解：一次函数1，当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解．【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点，根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限；（2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+，整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围．题型三一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集．）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．）解：函数）函数在112y x =−中，当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标．坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=，故答案为：23；（2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =，观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积．【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。

中考数学考前小题狂做专题11函数与一次函数含解析

函数与一次函数1. 如图，0是边长为4cm 的正方形ABCD 勺中心，M 是BC 的中点，动点P 由A 开始沿折线A — B —M2. 在函数沪半中，自变量x 的取值范围是A.x >0B. x > -4C. x > -4 且 X M 03.函数y= 「一的自变量x 的取值范围为( X - XA. x > 2 B . X V 2 C . x W 2 D . x 工25.函数y=*3.：-.-吁中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是(D.6.二次函数y=ax 2+bx+c (0)的图象如图，则反比例函数同一坐标系内的图象大致是(C.-2-10 1? 万向匀速运动, 到M 时停止运动, 速度为1cm/s.设P 点的运动时间为t(s)，点P 的运动路径与OA 0P 所围成的图形面积为 2 2 S(cm),则描述面积S(cm)与时间t(s)的关系的图像可以 D. x > 0 且工-44. F 列说法中不正确的是(A. 函数 y=2x 的图象经过原点B. 函数 y=的图象位于第一、三象限C. 函数 y=3x - 1的图象不经过第二象限D. 函数 y=-的值随x 的值的增大而增大y - 一与一次函数 y=bx - c 在是( )A ab> 0 a2+ b>0 D、a+b>08. 在直角坐标系中, 点M N在同一个正比例函数图象上的是（A. M (2,—3) , N (-4, 6) B . M (—2, 3), N (4, 6)C. M (- 2,- 3), N (4,- 6)D. M (2, 3) , N (- 4, 6)9. 如图，在△ ABC中，AC=BC=25 AB=30, D是AB上的一点（不与A、B 重合），DE I BC 垂足是点E,设BD=x四边形ACED勺周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（)ACB=90 , AC=4 BC=2 P是AB边上一动点，PDL AC于点D,点E在P的右侧，且PE=1,连结CE P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动•在整个运动过程中，图中阴影部分面积S+S的大小变化情况是（A. —直减小B .一直不变C .先减小后增大D .先增大后减小参考答案1. 【考点】动点函数的图像问题•【分析】分别判断点P在AB在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA 0P所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可.【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm2)随着时间的增多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面积的四分之一，即 4 cm2；点P在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA 0P所围成的图形面积为S(cm2)随着时间的增多继续增大，S=4+S OBP；动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，故排除C, D;到达点M时，面积为4 +2=6(cm2)，故排除B.故选A.【点评】动点函数的图像问题•解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解•注意排除法在本题中的灵活运用•2. 【考点】函数自变量的取值范围.【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷带答案

中考数学总复习《一次函数》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.(2024·南宁模拟)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为( )A.-2B.-1C.-1D.222.(2024·玉林模拟)将直线y=5x+1向下平移2个单位长度,所得直线的解析式为( )A.y=5x-2B.y=5x-1C.y=5x+3D.y=5(x-1)3.(2024·崇左模拟)已知一次函数y=(m+1)x+5,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )A.m≤-1B.m>-1C.m≥-1D.m<-14.(2024·桂林模拟)如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0的解是( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-35.(2024·北海模拟)直线y=kx+3经过点A(2,1),则不等式kx+3≥0的解集是( )A.x≤3B.x≥3C.x≥-3D.x≤06.(2024·青海)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是( )A .(-32,0) B .(32,0) C .(0,3) D .(0,-3)7.对于某个一次函数y =kx +b (k ≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是( )A .k >0B .kb <0C .k +b >0D .k =-12b8.一种弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg 物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)之间的函数关系式为( )A.y =12-0.5xB.y =12+0.5xC.y =10+0.5xD.y =0.5x9.(2024·包头)在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请写出一个符合该条件的一次函数的解析式 .10.(2024·包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位: cm)随着碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据:x/个1234y/cm68.410.813.2(1)依据小亮测量的数据,写出y与x之间的函数解析式,并说明理由;(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm,求此时碗的数量最多为多少个?B层·能力提升x+3分别与x轴,y轴交于点A,B,将△OAB绕着11.(2024·桂林模拟)如图,直线y=-32点A顺时针旋转90°得到△CAD,则点B的对应点D的坐标为( )A.(2,5)B.(3,5)C.(5,2)D.(√13,2)12.(2024·柳州模拟)在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4…在x轴的正半轴上,点B1,B2,B3…在直线y=√3x(x≥0)上,若点A1的坐标为(2,0),且3△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,则点B2 025的坐标为.13.在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数解析式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3.分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值等于.C层·挑战冲A+14.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:脚长x(cm)…232425262728…身高y(cm)…156163170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=k(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地x反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.参考答案A层·基础过关1.(2024·南宁模拟)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为(D)A.-2B.-1C.-1D.222.(2024·玉林模拟)将直线y=5x+1向下平移2个单位长度,所得直线的解析式为(B)A.y=5x-2B.y=5x-1C.y=5x+3D.y=5(x-1)3.(2024·崇左模拟)已知一次函数y=(m+1)x+5,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(D)A.m≤-1B.m>-1C.m≥-1D.m<-14.(2024·桂林模拟)如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0的解是(D)A .x =2B .x =0C .x =-1D .x =-35.(2024·北海模拟)直线y =kx +3经过点A (2,1),则不等式kx +3≥0的解集是(A) A .x ≤3 B .x ≥3 C .x ≥-3 D .x ≤06.(2024·青海)如图,一次函数y =2x -3的图象与x 轴相交于点A ,则点A 关于y 轴的对称点是(A)A .(-32,0) B .(32,0) C .(0,3) D .(0,-3)7.对于某个一次函数y =kx +b (k ≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是(C)A .k >0B .kb <0C .k +b >0D .k =-12b8.一种弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg 物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)之间的函数关系式为(B)A.y=12-0.5xB.y=12+0.5xC.y=10+0.5xD.y=0.5x9.(2024·包头)在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请写出一个符合该条件的一次函数的解析式y=x+1(答案不唯一).10.(2024·包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位: cm)随着碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据:x/个1234y/cm68.410.813.2(1)依据小亮测量的数据,写出y与x之间的函数解析式,并说明理由;【解析】(1)由表中的数据,x的增加量不变∴y是x的一次函数设y=kx+b由题意得:{k+b=62k+b=8.4,解得:{k=2.4 b=3.6∴y与x之间的函数解析式为y=2.4x+3.6;(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm,求此时碗的数量最多为多少个?【解析】(2)设碗的数量有x个,则:2.4x+3.6≤28.8,解得:x≤10.5,∴x的最大整数解为10答:碗的数量最多为10个.B层·能力提升x+3分别与x轴,y轴交于点A,B,将△OAB绕着11.(2024·桂林模拟)如图,直线y=-32点A顺时针旋转90°得到△CAD,则点B的对应点D的坐标为(C)A.(2,5)B.(3,5)C.(5,2)D.(√13,2)12.(2024·柳州模拟)在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4…在x轴的正半轴上,点B1,B2,B3…在直线y=√3x(x≥0)上,若点A1的坐标为(2,0),且3△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,则点B2 025的坐标为(3×22 024,√3×22 024).13.在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数解析式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3.分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值等于5.C层·挑战冲A+14.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:脚长x(cm)…232425262728…身高y(cm)…156163170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);【解析】(1)描点如图所示:(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=k(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地x反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围);【解析】(2)∵y=kx(k≠0)转化为k=xy=23×156≠24×163≠25×170≠…∴y与x的函数不可能是y=kx故选一次函数y=ax+b(a≠0),将点(23,156),(24,163)代入解析式得:{23a+b=15624a+b=163,解得{a=7 b=−5∴一次函数解析式为y=7x-5.(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.【解析】(3)当x=25.8时,y=7×25.8-5=175.6.答:脚长约为25.8 cm时,估计这个人的身高为175.6 cm.。

中考数学考前小题狂做专题函数与一次函数含解析试题(共9页)

函数(hánshù)与一次函数1.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开场沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停顿运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间是为t(s)，点P的运动途径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，那么描绘面积S(cm2)与时间是t(s)的关系的图像可以是〔〕2. 在函数y=中，自变量x的取值范围是A.x＞0B. x≥-4C. x≥-4且x≠0D. x＞0且≠-43. 函数y=的自变量x的取值范围为〔〕A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≠24.以下说法中不正确的选项是〔〕A．函数y=2x的图象经过原点B．函数y=的图象位于第一、三象限C．函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限D．函数y=﹣的值随x的值的增大而增大5.函数y=中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的选项是〔〕A．B．C．D．6. 二次函数(hánshù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是〔〕A．B．C．D．7. 假设一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么以下不等式中总是成立的是〔〕A、ab＞0B、C、D、8. 在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是〔〕A．M〔2，﹣3〕，N〔﹣4，6〕B．M〔﹣2，3〕，N〔4，6〕C．M〔﹣2，﹣3〕，N〔4，﹣6〕D．M〔2，3〕，N〔﹣4，6〕9.如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点〔不与A、B重合〕，DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，那么以下图象能大致反映y与x 之间的函数关系的是〔〕A． B．C． D．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向(fāngxiàng)运动，当E到达点B时，P停顿运动．在整个运动过程中，图中阴影局部面积S1+S2的大小变化情况是〔〕A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小参考答案1.【考点】动点函数的图像问题.【分析(fēnxī)】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动途径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进展求解即可.【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm2)随着时间是的增多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面积的四分之一，即4 cm2；点P在BM上分别运动时，点P的运动途径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) 随着时间是的增多继续增大，S=4+S△OBP；动点P由A开场沿折线A—B—M方向匀速运动，故排除C，D；到达点M时，面积为4 +2=6(cm2)，故排除B.应选A．【点评】动点函数的图像问题. 解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解. 注意排除法在此题中的灵敏运用.2.【考点】函数自变量的取值范围．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件。

九年级中考数学高频考点突破--反比例函数与一次函数的综合

中考数学高频考点突破--反比例函数与一次函数的综合1．如图，已知，A （0，4），B （﹣3，0），C （2，0），D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y ＝k x的图象经过D 点．（1）证明：四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）设过点C 和点D 的一次函数y ＝kx+b ，求不等式kx+b ﹣k x＞0的解．（请直接写出当0x >时的答案）；（4）已知在y ＝k x 的图象上一点N ，y 轴上一点M ，且点A 、B 、M 、N 组成四边形是平行四边形，求M 点的坐标．2．如图，直线AB ：1y kx b =+与反比例函数：()2m y m 0x=≠的图象分别交于A 、B 两点，点坐标为A ()1,2--，B 坐标为()1,2，BD y ⊥轴于点D ，直线AD 交反比例函数的图象于点C ，连接BC ．(1)若12y y >，则x 的取值范围是___________．(2)求直线AD 的解析式；(3)证明：CD CB =．3．如图，双曲线y ＝k x （x ＞0）的图象经过点A （12，4），直线y ＝12x 与双曲线交于B 点，过A ，B 分别作y 轴、x 轴的垂线，两线交于P 点，垂足分别为C ，D ．（1）求双曲线的解析式；（2）求证：△ABP ∽△BOD ．4．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数5y x=-的图象相交于点(1,)A m -，(,1)B n -两点，与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求一次函数的表达式；（2）求COD △的面积．5．如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x =图像与反比例函数k y x=的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(),1m m -，点P 为反比例函数k y x =第一象限图像上一动点，且横坐标小于m ，直线,PA PB 分别与x 轴交于D ，C ．(1)求k ，m 的值；(2)若A 为PD 的中点，求证：PC PD =；(3)小亮说：当点P 运动时，ACD 的面积是一个定值？若正确，求出这个定值；若不正确，请说明理由．6．如图，函数(0,0)k y x k x=>>的图象经过(1,4)A ，(,)B m n ，其中1m >，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ，AC 与BD 相交于点E ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）四边形ABCD 能否成为平行四边形，若能，求点B 的坐标，若不能说明理由；（3）当AC BD =时，求证：四边形ABCD 是等腰梯形.7．如图，已知直线33y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数m y x =位于第一象限的图像上，点E 在反比例函数m y x=图像上，且在点C 上方．（1）求m 的值；（2）若点E 的横坐标为2，求证：EAC ABO ∠=∠．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点()12P -，，AB x ⊥轴于点E ，正比例函数y mx =的图象与反比例函数3n y x-=的图象相交于A 、P 两点．(1)求m 、n 的值；(2)求证：CPD AEO ∽△△；(3)求sin CDB ∠的值．9．如图，直线6y ax =+经过点()30A -,，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点()1,B m ．(1)求k 的值；(2)点D 为第一象限内反比例函数图象上点B 下方的一个动点，过点D 作DC y ⊥轴交线段AB 于点C ，连接AD ，求ACD 的面积的最大值．10．已知点(),2A a ma +、(),2B b mb +是反比例函数k y x=图象上的两个点，且0a >，0b <，0m >．(1)求证：2a b m+=-；(2)若222222OA OB a b +=+，求m 的值；(3)若33OAB OCD S S ==V V ，求km 的值．11．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A(0,-2),B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点M ，△OBM 的面积为2.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AM 的长度；（3）P 是x 轴上一点，当AM ⊥PM 时，求出点P 的坐标.12．在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A 、点B ，与双曲线m y x=()0,0m x >>交于()1,6C 、()3,D n 两点，CE y ⊥轴于点E ，DF x ⊥轴于点F .(1)填空：m ＝，n ＝；(2)求直线AB 的解析式；(3)求证：AC DB =．13．如图，一次函数y x b =-+与反比例函数(0)k y k x=≠的图象相交于(1,4)A -、(4,1)B -两点，直线l x ⊥轴于点(4,0)E -，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C 、D ，连接AC 、BC ，(1)求出b 和k ；(2)求证：ACD 是等腰直角三角形；(3)在y 轴上是否存在点P ，使PBC ABC S S =△△，若存在，请求出P 的坐标，若不存在，请说明理由．14．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，函数m y x=（x 0>，m 是常数）的图象经过点()A 1,4、点()B a,b ，其中a 1>，直线AB 交y 轴于点E ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接DC ．(1)若ABD 的面积为4，求点B 的坐标；(2)求证：四边形ACDE 为平行四边形；(3)若AD BC =，求直线AB 的函数解析式．15．如图1，直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，与反比例函数(0)k y k x=>的图像交于两点A 、E ，AG ⊥x 轴，垂足为点G ，3AOG S ＝．(1)k ＝；(2)求证：AD ＝CE ；(3)如图2，若点E 为平行四边形OABC 的对角线AC 的中点，求平行四边形OABC 的面积。

2025年中考数学考点分类专题归纳之一次函数

2025年中考数学考点分类专题归纳一次函数知识点一、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0，特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.知识点二、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.备注：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b|个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）备注：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限.（2）两条直线 1l ：11y k x b =+和 2l ：22y k x b =+ 的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象.知识点三、用函数的观点看方程、方程组、不等式1．（2024湖南湘潭）若b ＞0，则一次函数y ＝﹣x+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024湖南常德）若一次函数y ＝（k ﹣2）x+1的函数值y 随x 的增大而增大，则（）A ．k ＜2B ．k ＞2C ．k ＞0D ．k ＜03．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则k，b满足（）A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．（2024贵州贵阳）一次函数y＝kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）A．（﹣5，3）B．（1，﹣3）C．（2，2）D．（5，﹣1）5．（2024陕西）如图，在矩形AOBC中，A（﹣2，0），B（0，1）．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为（）A．B．C．﹣2 D．26．（2024江苏泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（）A．线段PQ始终经过点（2，3）B．线段PQ始终经过点（3，2）C．线段PQ始终经过点（2，2）D．线段PQ不可能始终经过某一定点7．（2024湖北荆州）已知：将直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y ＝kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小8．（2024四川南充）直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是（）A．y＝2（x+2）B．y＝2（x﹣2）C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+29．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，4），B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝4 C．x D．x10．（2024辽宁葫芦岛）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜411．（2024四川资阳）已知直线y1＝kx+1（k＜0）与直线y2＝mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（）A．x B．C．x D．012．（2024内蒙古呼和浩特）若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y x+b﹣1上，则常数b＝（）A．B．2 C．﹣1 D．113．（2024内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y＝kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC＝∠BCO，则k的值为（）A．B．C．D．214．晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（2024湖北潜江）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．（2024湖北咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（2024湖南邵阳）小明参加100m短跑训练，2024年1～4月的训练成绩如下表所示：月份 1 2 3 4 成绩（s）15.6 15.4 15.2 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（）（温馨提示；目前100m短跑世界纪录为9秒58）A．14.8s B．3.8sC．3s D．预测结果不可靠18．一次函数y＝kx﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是_____．19．如图，直线y x+4与坐标轴交于A，B两点，在射线AO上有一点P，当△APB是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是___________．20．（2024海南）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y＝﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y＝x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为________．21．（2024吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y＝2x 与线段AB有公共点，则n的值可以为________．（写出一个即可）22．（2024四川内江）如图，直线y＝﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+S n﹣1＝________．23．(2024浙江温州)如图，直线y x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为_________．24．（2024江苏扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y＝mx+m（m ≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为_________．25．（2024贵州安顺）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B n的坐标为________．（n为正整数）26．（2024湖南郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是__________．27．（2024云南昆明）如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_________．28．如图，直线y1＝﹣x+a与y2＝bx﹣4相交于点P，已知点P的坐标为（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是_____．29．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．30．（2024辽宁阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是_____km/h．31．（2024重庆A ）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有____千米．32．（2024重庆A）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．33．（2024陕西）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）40 38售价（元/袋）60 54根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．34．（2024河北）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．35．A、B两地相距千米，一天甲骑自行车从A地出发匀速赶往B地，半小时后乙也从A地开车前往B地，到B地后休息了一段时间后，按原速的返回，两人离A地的距离y（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示：根据图象回答下列问题：（1）甲的速度是____千米/小时，乙从A地到B地的速度是____千米/小时，乙出发_____小时第一次遇到甲．（2）乙出发多长时间时甲乙的距离为40千米？36．某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．37．（2024四川巴中）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求A，B两型桌椅的单价；（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总费用最少的购置方案．38．（2024广西梧州）我市从2024年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？39．（2024山东莱芜）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？40．(2024黑龙江齐齐哈尔)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）学校到景点的路程为____km，大客车途中停留了___min，a＝____；（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待____分钟，大客车才能到达景点入口．41．（2024广西防城港）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．。

一次函数及其应用(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题10一次函数及其应用一、单选题1(2023·四川乐山·统考中考真题)下列各点在函数y=2x-1图象上的是()A.-1，3D.2，3C.1，-1B.0，1【答案】D【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式y=2x-1，进行计算即可得到答案．【详解】解：∵一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式y=2x-1，A.当x=-1时，y=-3，故本选项错误，不符合题意；B.当x=0时，y=-1，故本选项错误，不符合题意；C.当x=1时，y=1，故本选项错误，不符合题意；D.当x=2时，y=3，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．2(2023·内蒙古·统考中考真题)在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为()A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x-3D.y=-2x-6【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得：y=-2(x-3)=-2x+6，故选：B．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．3(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象是()A. B.C. D.【答案】D【分析】依据一次函数y=2x-3的图象经过点0，-3和32，0，即可得到一次函数y=2x-3的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数y=2x-3中，令x=0，则y=-3；令y=0，则x=3 2，∴一次函数y=2x-3的图象经过点0，-3和32，0 ，∴一次函数y=2x-3的图象经过一、三、四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4(2023·新疆·统考中考真题)一次函数y=x+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】根据k=1>0,b=1>0即可求解．【详解】解：∵一次函数y=x+1中k=1>0,b=1>0，∴一次函数y=x+1的图象不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．5(2023·甘肃武威·统考中考真题)若直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，则k的值可为()A.-2B.-1C.-12D.2【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，∴k>0，∴k的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．6(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小，当x=2时，y 的值可以是()A.2B.1C.-1D.-2【答案】D【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把x=2代入函数y=kx-1，从而判断函数值y的取值．【详解】∵一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小∴k<0∴当x=2时，y=2k-1<-1故选：D.【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．7(2023·山东临沂·统考中考真题)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是()bA.k>0B.kb<0C.k+b>0D.k=-12【答案】C【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数y=kx+b(k≠0)系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b<0，故选项A正确，不符合题意；∴kb<0，故选项B正确，不符合题意；∵一次函数y=kx+b的图象经过点2，0，∴2k+b=0，则b=-2k，∴k+b=k-2k=-k<0，故选项C错误，符合题意；∵b=-2k，b，故选项D正确，不符合题意；∴k=-12故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．8(2023·山东聊城·统考中考真题)甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t(×时×分)的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为()A.8:28B.8:30C.8:32D.8:35【答案】A【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，设小亮对应函数图象的解析式为y1=k1t，将70,a 代入解析式得a =70k 1，解得k 1=a 70，∴小亮对应函数图象的解析式为y 1=a70t ，设小莹对应函数图象的解析式为y 2=k 2t +b ，将10,a ，40,0 代入解析式，得a =10k 2+b 0=40k 2+b ，解得k 2=-a30b =43a ，∴小莹对应函数图象的解析式为y 2=-a 30t +43a ，令y 1=y 2，得a 70t =-a 30t +43a ，解得t =28，∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．9(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，直线y =-32x +3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，将△OAB 绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD ，则点B 的对应点D 的坐标是()A.2,5B.3,5C.5,2D.13,2【答案】C【分析】先根据一次函数解析式求得点A ,B 的坐标，进而根据旋转的性质可得AC =OA =2,CD =OB =3，∠OAC =90°，∠ACD =90°，进而得出CD ∥OA ，结合坐标系，即可求解．【详解】解：∵直线y =-32x +3分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，∴当x =0时，y =3，即B 0,3 ，则OB =3，当y =0时，x =2，即A 2,0 ，则OA =2，∵将△OAB 绕着点A 顺时针旋转90°得到△CAD ，又∵∠AOB =90°∴AC =OA =2,CD =OB =3，∠OAC =90°，∠ACD =90°，∴CD ∥OA ，延长DC 交y 轴于点E ，则E 0,2 ，DE =EC +CD =2+3=5，∴D 5,2 ，故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．10(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0,1 ，点A 4,1 ，以点P 为中心，把点A 按逆时针方向旋转60°得到点B ，在M 1-1,-3 ，M 2-33,0，M 31,3-1 ，M 42,23 四个点中，直线PB 经过的点是()A.M 1B.M 2C.M 3D.M 4【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B 2，1+23 ，利用待定系数法可得直线PB 的解析式，依次将M 1，M 2，M 3，M 4四个点的一个坐标代入y =3x +1中可解答．【详解】解：∵点A 4,1 ，点P 0,1 ，∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC=30°，∴BC=2，PC=23，∴B2，1+23，设直线PB的解析式为：y=kx+b，则2k+b=1+23 b=1，∴k=3 b=1，∴直线PB的解析式为：y=3x+1，当x=-1时，y=-3+1，∴点M1-1,-3不在直线PB上，当x=-33时，y=3×-33+1=0，∴M2-33,0在直线PB上，当x=1时y=3+1，∴M31,3-1不在直线PB上，当x=2时，y=23+1，∴M42,23不在直线PB上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．二、填空题11(2023·山东·统考中考真题)一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式．【答案】y=3x(答案不唯一)【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．【详解】解：由一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，可知该函数可以为y=3x(答案不唯一)；故答案为y=3x(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．12(2023·江苏苏州·统考中考真题)已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，则k2-b2 =．【答案】-6【分析】把点1,3和-1,2代入y=kx+b，可得k+b=3k-b=-2，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-1,2，∴k+b=3-k+b=2，即k+b=3k-b=-2，∴k2-b2=k+bk-b=3×-2=-6；故答案为：-6【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．13(2023·天津·统考中考真题)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点2,m，则m的值为．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点2,m代入即可求得m的值．【详解】解：∵直线y=x向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：y=x+3．∵平移后经过2,m，∴m=2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14(2023·湖南郴州·统考中考真题)在一次函数y=k-2x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是(任写一个符合条件的数即可)．【答案】3(答案不唯一)【分析】根据一次函数的性质可知“当k-2>0时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=(k-2)x+3中，y随x的值增大而增大，∴k-2>0．解得：k>2，故答案为：3(答案不唯一)．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．15(2023·广西·统考中考真题)函数y=kx+3的图象经过点2,5，则k=．【答案】1【分析】把点2,5代入函数解析式进行求解即可．【详解】解：由题意可把点2,5代入函数解析式得：2k+3=5，解得：k=1；故答案为：1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．16(2023·浙江杭州·统考中考真题)在“ “探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2,C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点,B2,3的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3．分别计算k1+b1，k2 +b2,k3+b3的值，其中最大的值等于．【答案】5【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出k 1+b 1，k 2+b 2,k 3+b 3进行比较即可解答．【详解】解：设y 1=k 1x +b 1过A 0,2 ,B 2,3 ，则有：2=b 13=2k 1+b 1 ，解得：k 1=12b 1=2，则k 1+b 1=12+2=52；同理：k 2+b 2=-2+7=5，k 3+b 3=-13+2=53则分别计算k 1+b 1，k 2+b 2,k 3+b 3的最大值为值k 2+b 2=-2+7=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．三、解答题17(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，点A 2,m 在直线y =2x -52上，过点A 的直线交y 轴于点B 0,3 ．(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式．(2)若点P t ,y 1 在线段AB 上，点Q t -1,y 2 在直线y =2x -52上，求y 1-y 2的最大值．【答案】(1)m =32，y =-34x +3；(2)152【分析】(1)把点A 的坐标代入直线解析式可求解m ，然后设直线AB 的函数解析式为y =kx +b ，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；(2)由(1)及题意易得y 1=-34t +30≤t ≤2 ，y 2=2t -1 -52=2t -92，则有y 1-y 2=-34t +3-2t -92 =-114t +152，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】(1)解：把点A 2,m 代入y =2x -52，得m =32．设直线AB 的函数表达式为y =kx +b ，把点A 2,32，B 0,3 代入得2k +b =32b =3. ，解得k =-34b =3.，∴直线AB 的函数表达式为y =-34x +3．(2)解：∵点P t ,y 1 在线段AB 上，点Q t -1,y 2 在直线y =2x -52上，∴y 1=-34t +30≤t ≤2 ，y 2=2t -1 -52=2t -92，∴y 1-y 2=-34t +3-2t -92 =-114t +152．∵k =-114<0，∴y1-y2的值随x的增大而减小，∴当t=0时，y1-y2的最大值为152．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．18(2023·吉林长春·统考中考真题)甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】(1)y=12x-180；(2)180【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=4x+6025≤x≤60，联立y=12x-18015≤x≤40，即可求解．【详解】(1)解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将15,0，40,300代入得，15k+b=040k+b=300，解得：k=12 b=-180，∴y=12x-18015≤x≤40；(2)设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=k1x+b125≤x≤60将点25,160，60,300代入得，25k1+b1=16060k1+b1=300解得：k1=4 b1=60，∴y=4x+6025≤x≤60；联立y=12x-180 y=4x+60解得：x=30 y=180∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．19(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25小时后，一辆货车从A 地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B 地，货车到达B 地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A 地．巡逻车、货车离A 地的距离y (千米)与货车出发时间x (小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A ，B 两地之间的距离是千米，a =；(2)求线段FG 所在直线的函数解析式；(3)货车出发多少小时两车相距15千米？(直接写出答案即可)【答案】(1)60，1；(2)y =-60x +120；(3)511小时或1917小时或2517小时【分析】(1)根据货车从A 地到B 地花了34小时结合路程=速度×时间即可求出A 、B 两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a 的值；(2)利用待定系数法求解即可；(3)分两车从A 前往B 途中相遇前后和货车从B 往A 途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．【详解】(1)解：80×34=60千米，∴A ，B 两地之间的距离是60千米，∵货车到达B 地填装货物耗时15分钟，∴a =34+1560=1，故答案为：60，1(2)解：设线段FG 所在直线的解析式为y =kx +b k ≠0 将F 1,60 ，G 2,0 代入y =kx +b ，得k +b =602k +b =0 解得k =-60b =120，∴线段FG 所在直线的函数解析式为y =-60x +120(3)解：设货车出发x 小时两车相距15千米，由题意得，巡逻车的速度为60÷2+25=25千米/小时当两车都在前往B 地的途中且未相遇时两车相距15千米，则25x +25-15=80x ，解得x =-111(所去)；当两车都在前往B 地的途中且相遇后两车相距15千米，则25x +25+15=80x ，解得x =511；∵25×1+25=35<60-15=45，∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则25x+2 5+15+602-1x-1=60，解得x=19 17；当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则25x+2 5--60x+120=15，解得x=25 17；综上所述，当货车出发511小时或1917小时或2517小时时，两车相距15千米．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．20(2023·全国·统考中考真题)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y m与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示．(1)甲组比乙组多挖掘了天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】(1)30；(2)y=3x+12030<x≤60；(3)10天【分析】(1)由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；(3)先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】(1)解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，60-30=30(天)∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；(2)解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，将30,210和60,300两个点代入，可得210=30k+b 300=60k+b ，解得k =3b =120，∴y =3x +12030<x ≤60(3)解：甲组每天挖300-21060-30=3(千米)甲乙合作每天挖21030=7(千米)∴乙组每天挖7-3=4(千米)，乙组挖掘的总长度为30×4=120(千米)设乙组己停工的天数为a ，则330+a =120，解得a =10，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．21(2023·四川泸州·统考中考真题)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A 粽子能够畅销．根据预测，每千克A 粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A 粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A 粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A 粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)节后每千克A 粽子的进价为10元；(2)节前购进300千克A 粽子获得利润最大，最大利润为3000元【分析】(1)设节后每千克A 粽子的进价为x 元，则每千克A 粽子节前的进价为x +2 元，根据节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；(2)设该商场节前购进m 千克A 粽子，则节后购进400-m 千克A 粽子，获得的利润为w 元，根据利润=售价-进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m 的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．【详解】(1)解：设节后每千克A 粽子的进价为x 元，则每千克A 粽子节前的进价为x +2 元，根据题意得：240x -4=240x +2，解得：x 1=10，x 2=-12，经检验x 1=10，x 2=-12都是原方程的解，但x 2=-12不符合实际舍去，答：节后每千克A 粽子的进价为10元．(2)解：设该商场节前购进m 千克A 粽子，则节后购进400-m 千克A 粽子，获得的利润为w 元，根据题意得：w =20-12 m +16-10 400-m =2m +2400，∵12m +10400-m ≤4600m >0，∴0<m ≤300，∵2>0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m =300时，w 取最大值，且最大值为：w 最大=2×300+2400=3000，答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．22(2023·四川成都·统考中考真题)2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；(2)A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元【分析】(1)设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设A种食材购买x千克，则B种食材购买36-x千克，根据题意列出不等式，得出x≤24，进而设总费用为y元，根据题意，y=38x+3036-x=8x+1080，根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意得，a+b=685a+3b=280，解得：a=38 b=30，答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；(2)解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买36-x千克，根据题意，x≥236-x解得：x≥24，设总费用为y元，根据题意，y=38x+3036-x=8x+1080∵8>0，y随x的增大而增大，∴当x=24时，y最小，∴最少总费用为8×24+1080=1272(元)【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．23(2023·浙江·统考中考真题)我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y 关于x 的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【答案】(1)30件；(2)y =20x +600；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】(1)由图象的交点坐标即可得到解答；(2)由图象可得点0,600 ,30,1200 ，设方案二的函数表达式为y =kx +b ，利用待定系数法即可得到方案二y 关于x 的函数表达式；(3)利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】(1)解：由图象可知交点坐标为30,1200 ，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)由图象可得点0,600 ,30,1200 ，设方案二的函数表达式为y =kx +b ，把0,600 ,30,1200 代入上式，得b =600,30k +b =1200. 解得k =20,b =600.∴方案二的函数表达式为y =20x +600．(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键．24(2023·浙江金华·统考中考真题)兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s (米)与哥哥离开学校的时间t (分)的函数关系．(1)求哥哥步行的速度．(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a 的值；②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．【答案】(1)v=100；(2)①a=6；②能追上，理由见解析【分析】(1)结合图表可得A8,800，根据速度等于路程除以时间，即可解答；(2)①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE的解析式的k为200，设DE的解析式为s=200t +b，根据妺妺比哥哥迟2分钟到书吧可得E12,800，将E12,800代入s=200t+b，即可得到一次函数解析式，把s=0代入一次函数即可得到a的值；②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC和FG的解析式求出，求两个函数的交点即可．【详解】(1)解：由图可得A8,800，∴v=8008=100(米/分)，∴哥哥步行速度为100米/分．(2)①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE的解析式的k为200，设DE所在直线为s=200t+b，将10,800代入，得800=200×10+b，解得b=-1200．∴DE所在直线为s=200t-1200，当s=0时，200t-1200=0，解得t=6．∴a=6．②能追上．如图，根据哥哥的速度没变，可得BC,OA的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，设BC所在直线为s=100t+b1，将B17,800代入，得800=100×17+b1，解得b1=-900，∴s=100t-900．∵妺妺的速度是160米/分．设FG所在直线为s=160t+b2，将F20,800代入，得800=160×20+b2，解得b2=-2400，∴s=160t-2400．联立方程s=100t-900s=160t-2400 ，解得t=25s=1600 ，∴1900-1600=300米，即追上时兄妺俩离家300米远．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用(行程问题)，从图像中获得正确的信息是解题的关键．25(2023·四川遂宁·统考中考真题)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m 个，两种粽子全部售完时获得的利润为w 元．①求w 与m 的函数关系式，并求出m 的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)①w 与m 的函数关系式为w =-m +600m ≥13313；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元【分析】(1)设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为x +2 元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；(2)①设购进甲粽子m 个，则乙粽子200-m 个，，由题意得w =-m +600，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得m ≥2200-m ；②由一次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为x +2 元，由题意得：1000x =1200x +2，解得：x =10，经检验：x =10是原方程的解，且符合题意，则x +2=12，答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)解：①设购进甲粽子m 个，则乙粽子200-m 个，利润为w 元，由题意得：w =12-10 m +15-12 200-m =-m +600，∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m ≥2200-m ，解得：m ≥13313，∴w 与m 的函数关系式为w =-m +600m ≥13313；②∵-1<0，则w 随m 的增大而减小，m ≥13313，即m 的最小整数为134，∴当m =134时，w 最大，最大值=-134+600=466，则200-m =66，答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．26(2023·江苏连云港·统考中考真题)目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯0∼400m3(含400)的部分2.67元/m3若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．第二阶梯400∼1200m3(含1200)的部分3.15元/m3第三阶梯1200m3以上的部分3.63元/m3(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为元；(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？(结果精确到1m3)【答案】(1)534；(2)y=3.63x-768(x>1200)；(3)26立方米【分析】(1)根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可；(2)根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式；(3)根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答．【详解】(1)∵200m3<400m3，∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67×200=534(元)，故答案为：534；(2)y关于x的表达式为y=400×2.67+1200-400×3.15+3.63x-1200=3.63x-768(x>1200) (3)∵400×2.67+1200-400×3.15=3588<3855，∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由(2)知，当y =3855时，3.63x-768=3855，解得x≈1273.6．又∵2.67×100+400+3.15×1200+200-500=4170>3855，且2.67×100+400=1335<3855，∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．设乙户年用气量为am3．则有2.67×500+3.15a-500=3855，解得a=1300.0，∴1300.0-1273.6=26.4≈26m3．答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．27(2023·浙江宁波·统考中考真题)某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示．。

2023年中考专题培优冲刺训练一次函数与反比例函数【含答案】

2023年中考专题培优冲刺训练一次函数与反比例函数1.函数y=和y=kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B. C. D.2.若双曲线y=位于第二、四象限，则k的取值范围是()A.k<1B.k≥1C.k>1D.k≠13.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是4的正方形的两边，分别相交于两点．的面积为6．则k的值是（）A.4B.6C.8D.104.若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（）A.4B.C.2D.5.已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的值可能是（）A.3B.2C.1D.-16.一次函数y=ax+b和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（）A. B.C. D.7.如图，P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A.2+B.2+C.2+D.8.已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A.0＜y1＜y2B.0＜y2＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜09.如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2═k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是（）A.﹣2＜x＜0B.﹣2＜x＜2C.x＜﹣2或0＜x＜2D.﹣2＜x＜0或x＞210.已知反比函数，下列结论中错误的是（）A.图象必经过点B.图象位于第二、四象限C.若则D.在每一个象限内，随值的增大而减小11.如图，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A. B. C. D.12.已知常数k＜0，b＞0，则函数y=kx+b，的图象大致是下图中的（）A. B. C. D.13.在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（）A. B. C. D.14.一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是A. B.C. D.15.已知反比例函数的图像上有两点A，B，若，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.16.在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝bx+k的图象可能正确的是（）A. B.C. D.17.一次函数y=（k-2）x+k2-4的图象经过原点，则k的值为（）A.2B.﹣2C.2或﹣2D.318.已知点都在直线上，则大小关系是（）A. B. C. D.不能比较19.在同一直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象大致是（）A. B.C. D.20.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则y=-2kx+b的图象可能是（）A. B. C. D.21.若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A. B.C. D.22.已知一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象在（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限．23.正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（）A. B.C. D.24.一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.25.直线的图象如图所示，则函数的图象大致是（）A. B. C. D.26.已知正比例函数y＝（k+1）x与y＝（2-k）x，则它们图象的大致位置不可能的是（）A. B.C. D.27.若k>4，则一次函数y=（4-k）x+k-4的图象可能是（）A. B. C. D.28.已知点在一次函数的图象上，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.29.下列图形.表示一次函数与正比例函数（、为常数，且）的图象的是（）A. B.C. D.30.如图，点B、C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A. B. C.1 D.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：A.∵反比例函数图象经过一三象限，∴k＞0，∴一次函数y=kx+2经过一二三象限，故选项A不符合题意，选项B符合题意，选项D不符合题意；C.∵反比例函数图象经过二四象限，∴k＜0，∴一次函数y=kx+2经过一二四象限，故C不符合题意.故答案为：B.【分析】根据反比例函数图象经过一三象限得出k＞0，从而得出一次函数y=kx+2经过一二三象限，反比例函数图象经过二四象限得出k＜0，从而得出一次函数y=kx+2经过一二四象限，逐项进行判断，即可求解.2.【答案】A【解析】【解答】解：∵双曲线的图象位于二、四象限∴k-1＜0∴k＜1故答案为：A.【分析】根据题意，由双曲线的象限，即可得到关于k的不等式，解出其取值范围即可。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=mx 的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．2．如图，一次函数y =mx +1的图象与反比例函数y =kx的图象交于点A ，B ，交y 轴于点C ，点B的横坐标为1，且AC =2CB ，连接OA ，OB ．（1）求△AOB 的面积；（2）求反比例函数的表达式；（3）根据图象直接写出满足不等式k x<mx +1时，x 的取值范围．3．已知：直线 l 1:y =kx +b 过点 A （ −1 ， 0 ），且与双曲线 l 2 ： y =2x相交于点 B（ −1<x 1<x 2<1 ，2）．（1）求m 值及直线 l 1 的解析式；（2）画出 l 1,l 2 的图象，结合图象直接写出不等式 kx +b >2x的解集．4．如图，已知一次函数 y 1=k 1x +b(k 1≠0) 与反比例函数 y 2=k2x(k 2≠0) 的图象交于A(4,1) ， B(n,−2) 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1<y2时x的取值范围.5．如图：直线y=x与反比例函数y= k x（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y= kx的图象上时，求点A'的坐标．6．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2=k x（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A （m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小.7．如图，反比例函数y=πx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M（1，3），N两点，点N的横坐标为﹣3．（1）根据图象信息可得关于x 的方程πx =kx+b 的解为；（2）求一次函数的解析式．8．直线y=3x 与反比例函数y=k x的图象交于A （1，m ）和点B 。

2023年中考数学专题练习：反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合1．如图， A B 、两点的坐标分别为 ()()2,0,0,3- ，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转90°得到线段BC ，过点 C 作 CD OB ⊥ ，垂足为 D ，反比例函数 ky x=的图象经过点 C .（1）直接写出点 C 的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点 P 在反比例函数 ky x=的图象上，当 PCD 的面积为3时，求点 P 的坐标. 2．如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限y 1＝﹣ 2x 的图象上，点B 在第一象限y 2＝ kx 的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，AD ＝ 32 ，S 矩形OCBE ＝ 32S 矩形ODAE .（1）求点B 的坐标.（2）若点P 在x 轴上，S △BPE ＝3，求直线BP 的解析式.3．如图，直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象相交于A （﹣3，a ）和B 两点（1）求k 的值；（2）直线y=m （m ＞0）与直线AB 相交于点M ，与反比例函数的图象相交于点N ．若MN=4，求m 的值；（3）直接写出不等式65x - ＞x 的解集． 4．如图，直线y=3x 与双曲线y= kx（k≠0，且x ＞0）交于点A ，点A 的横坐标是1．（1）求点A 的坐标及双曲线的解析式；（2）点B 是双曲线上一点，且点B 的纵坐标是1，连接OB ，AB ，求△AOB 的面积．5．如图，点A （m ，6）、B （n ，1）在反比例函数图象上，AD△x 轴于点D ，BC△x 轴于点C ，DC=5．（1）求m 、n 的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E 在线段CD 上，S △ABE =10，求点E 的坐标．6．如图，在矩形OABC 中，OA=3，OC=2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数kyx=（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？7．如图6，正比例函数 2y x = 的图象与反比例函数 ky x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC △x 轴于点C ，连接BC ，若△ABC 面积为2.（1）求k 的值；（2）在x 轴上是否存在点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，直线EF 交x ，y 轴子点F ，E ，交反比例函数 ky x=（x ＞0）图象于点C ，D ，OE=OF= 52，以CD 为边作矩形ABCD ，顶点A 与B 恰好落在y 轴与x 轴上．（1）若矩形ABCD 是正方形，求CD 的长。

中考数学专练——反比例函数与一次函数的综合

2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -，、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积；（2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．（3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集；（3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围（2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围；（3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示）（2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+，代入 ky x= ，得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ，将点 (12)A ，代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -，则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ，， ()21B --，根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2），把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）；（2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0；（3）（52，0）【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10，当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。

中考数学一次函数专题

中考数学一次函数专题在中考数学中，一次函数是一个非常重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的实际生活密切相关。

接下来，让我们一起深入探讨一下中考数学中的一次函数。

一、什么是一次函数一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）。

其中，k 被称为斜率，它决定了直线的倾斜程度；b 被称为截距，它是直线与y 轴的交点纵坐标。

例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是一个一次函数，其中斜率 k ＝ 2，截距b ＝ 1。

二、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当k ＜ 0 时，直线从左到右下降。

截距 b 决定了直线与 y 轴的交点位置。

当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。

例如，对于函数 y ＝ 2x ＋ 1，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以直线从左到右上升；又因为 b ＝ 1 ＞ 0，所以直线与 y 轴的交点在正半轴。

三、一次函数的性质1、增减性当 k ＞ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小。

2、与坐标轴的交点与 x 轴的交点：令 y ＝ 0，解得 x ＝ b/k，所以与 x 轴的交点坐标为（b/k，0）。

与 y 轴的交点：令 x ＝ 0，得 y ＝ b，所以与 y 轴的交点坐标为（0，b）。

四、一次函数的应用一次函数在实际生活中有很多应用，比如行程问题、销售问题、工程问题等。

例如，在行程问题中，假设汽车以匀速行驶，速度为 v，行驶时间为 t，行驶路程为 s，则 s ＝ vt 就是一个一次函数。

再比如，在销售问题中，如果某种商品的单价为 p，销售量为 x，销售额为 y，那么 y ＝ px 也是一个一次函数。

五、求解一次函数解析式要确定一个一次函数，需要知道两个点的坐标或者一个点的坐标和函数的斜率。

2023年中考数学复习----《一次函数之与方程、与不等式》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学复习----《一次函数之与方程、与不等式》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 一次函数与一元一次方程：①若一次函数()0≠+=k b kx y 的图像经过点()n m ，，则一元一次方程n b kx =+的解为m x =。

②若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则一元一次方程2211b x k b x k +=+的解为m x =。

2. 一次函数与二元一次方程组：若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则二元一次方程组⎩⎨⎧=−+=−+002211y b x k y b x k 的解为⎩⎨⎧==n y m x 。

3. 一次函数与不等式：①若一次函数()0≠+=k b kx y 的图像经过点()n m ，，则不等式n b kx ＞+的解集取点()n m ，上方所在图像所对应的自变量范围；不等式n b kx ＜+的解集取点()n m ，下方所在图像所对应的自变量范围。

②若一次函数()0111≠+=k b x k y 的图像与一次函数()0222≠+=k b x k y 的图像的交点坐标为()n m ，，则不等式2211b x k b x k ++＞的解集取函数()0111≠+=k b x k y 的图像在()0222≠+=k b x k y 图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式2211b x k b x k ++＜的解集取函数()0111≠+=k b x k y 的图像在()0222≠+=k b x k y 图像下方的部分所对应的自变量的范围。

这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。

专项练习题26．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 与y ＝m x +n （a ＜m ＜0）的图像如图所示．小星根据图像得到如下结论：①在一次函数y ＝mx +n 的图像中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组⎩⎨⎧=−=−n mx y b ax y 的解为⎩⎨⎧=−=23y x ； ③方程mx +n ＝0的解为x ＝2；④当x ＝0时，ax +b ＝﹣1．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①根据一次函数的函数的增减进行判断便可；②根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；③根据一次函数图像与x 的交点坐标进行判断便可；④根据一次函数图像与y 轴交点坐标进行判断便可．【解答】解：①由函数图像可知，直线y ＝mx +n 从左至右呈下降趋势，所以y 的值随着x 值的增大而减小，故①错误；②由函数图像可知，一次函数y ＝ax +b 与y ＝mx +n （a ＜m ＜0）的图像交点坐标为（﹣3，2），所以方程组的解为，故②正确；③由函数图像可知，直线y ＝mx +n 与x 轴的交点坐标为（2，0），所以方程mx +n ＝0的解为x ＝2，故③正确；④由函数图像可知，直线y ＝ax +b 过点（0，﹣2），所以当x ＝0时，ax +b ＝﹣2，故④错误；故选：B ．27．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x +b 与直线y ＝﹣3x +6相交于点A ，则关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+−=+=632x y b x y 的解是（）A ．⎩⎨⎧==02y xB ．⎩⎨⎧==31y xC ．⎩⎨⎧=−=91y xD ．⎩⎨⎧==13y x 【分析】由图像交点坐标可得方程组的解．【解答】解：由图像可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B ．28．（2022•杭州）已知一次函数y ＝3x ﹣1与y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图像的交点坐标是（1，2），则方程组⎩⎨⎧=−=−013y kx y x 的解是．【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【解答】解：∵一次函数y ＝3x ﹣1与y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图像的交点坐标是（1，2），∴联立y ＝3x ﹣1与y ＝kx 的方程组的解为：，故答案为：．29．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +4与y ＝2x +m 相交于点P （3，n ），则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+−=−+0204m y x y x 的解为（） A ．⎩⎨⎧=−=51y x B ．⎩⎨⎧==13y x C ．⎩⎨⎧==31y x D ．⎩⎨⎧−==59y x 【分析】先将点P （3，n ）代入y ＝﹣x +4，求出n ，即可确定方程组的解．【解答】解：将点P （3，n ）代入y ＝﹣x +4，得n ＝﹣3+4＝1，∴P （3，1），∴原方程组的解为，故选：B ．30．（2022•南通）根据图像，可得关于x 的不等式kx ＞﹣x +3的解集是（）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＞1【分析】先根据函数图像得出交点坐标，根据交点的坐标和图像得出即可．【解答】解：根据图像可知：两函数图像的交点为（1，2），所以关于x 的一元一次不等式kx ＞﹣x +3的解集为x ＞1，故选：D ．31．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k ＜0）的图像与直线y ＝31x 都经过点A （3，1），当k x +b ＜31x 时，根据图像可知，x 的取值范围是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＜1D ．x ＞1【分析】根据题意和函数图像，可以写出当kx +b ＜x 时，x 的取值范围．【解答】解：由图像可得，当x ＞3时，直线y ＝x 在一次函数y ＝kx +b 的上方，∴当kx +b ＜x 时，x 的取值范围是x ＞3，故选：A ．32．（2022•徐州）若一次函数y ＝k x +b 的图像如图所示，则关于k x +23b ＞0的不等式的解集为．【分析】利用待定系数法求得b ＝﹣2k ，再利用一元一次不等式解法得出答案．【解答】解：∵一次函数y ＝kx +b 的图像过点（2，0），∴2k +b ＝0，∴b ＝﹣2k ，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．33．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是．【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图像得出x的范围即可．【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．34．（2022•扬州）如图，函数y＝k x+b（k＜0）的图像经过点P，则关于x的不等式k x+b ＞3的解集为．【分析】根据函数图像中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx+b＞3的解集．【解答】解：由图像可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．。

中考数学专题复习——二次函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合一、综合题1．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+4x+c 经过原点O （0，0）和点A （3，3），P 为抛物线上的一个动点，过点P作x 轴的垂线，垂足为B （m ，0），并与直线OA 交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OA 上方时，求线段PC 的最大值.2．如图，抛物线 212y x bx c =-++ 与 x 轴交于点 A 和点 ()10B ，，交 y 轴于点C ，连接 AC ， BC ，已知 2OA OC = ，且 ABC 的面积为 212.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 //PQ y 轴，交直线 AC 于点 Q .抛物线上是否存在点 P ，使以 P ， Q ， O ， C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 ()10A -，， ()30B ，，与y 轴交于点C ，直线 BC 的解析式为 3y kx =+ ．（1）求直线 BC 的解析式和抛物线的解析式；（2）点 ()P m n ，在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式和S 的最大值，并指出m 的取值范围．4．如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，3)．（1）若抛物线的对称轴是直线x=-2．①求抛物线的解析式；②点P 在对称轴上，若△PBC 的面积是6，求点P 的坐标；（2）当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y 的最大值满足2≤y≤10，求b 的取值范围．5．如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y 轴于点E ．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若直线y=x+1与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求 ∆ DEF 的面积．6．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.7．如图，直线l ： 33y x =-+ 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线 ()2240y ax ax a a =-++< 经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．8．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 22y ax x c =-+ 与 x 轴交于点 (1,0)A ，点(3,0)B - ，与 y 轴相交于点 C .（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N ，连接 BC ， BN ，点 H 在 x 轴上，当HCB NBC ∠=∠ 时，求满足条件的点 H 的坐标.9．如图，抛物线y=-x 2+bx+c(b>0)，交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，已知A 的横坐标为-1。

2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知直线y＝3x与双曲线y＝kx交于A、B两点，且点A的横坐标为.（1）求k的值；（2）若双曲线y＝kx上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝kx上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤ nx的解集．3．如图，一次函数y mx b=+的图象与反比例函数kyx=的图象交于()3,1A，1(2B-，)n两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．4．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=kx（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．5．已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx ＋b － mx＜0的解集．6．如图，已知一次函数 ()1110y k x b k =+≠ 与反比例函数 ()2220k y k x=≠ 的图象交于 ()4,1A ， (),2B n - 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出 12y y < 时 x 的取值范围.7．如图，一次函数 y 2x 8=-+ 与函数 ky (x 0)x=> 的图象交于 ()A m,6 ， ()B n,2 两点， AC y ⊥ 轴于C ， BD x ⊥ 轴于D（1）求k 的值；（2）根据图象直接写出 k2x 80x-+-< 的x 的取值范围；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点P 坐标.8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）与反比例函数y ＝mx（m≠0）的图象相交于A 、B 两点，过点A 作AD△x 轴于点D ，AO ＝5，OD ＝34AD ，B 点的坐标为（﹣6，n ）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）P 是y 轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．9．如图，A(3，m)是反比例函数y ＝kx 在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB△x 轴，连接OB ，交反比例函数y ＝kx的图象于点P(2 ，).（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）连接AP ，求△OAP 的面积.10．如图，一次函数 4y x =-+ 的图象与反比例函数 ky x=（k 为常数，且 0k ≠ ）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．11．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2= kx的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．12．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= mx(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD△x轴于D，AD=4，sin△AOD= 45，且点B的坐标为(n,-2)．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．13．如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标.14．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠o)的图象交于A(-1，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP=32S△BOC，求点P的坐标．15．如图在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点()0,7B，与反比例函数8yx=-在第二象限内的图象相交于点()1,A a-．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点,E与y轴交于点,D求ACD的面积．16．如图，已知一次函数y= 12x+b的图象与反比例函数kyx=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当12kx bx+<时，请直接写出x的取值范围．17．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数2myx=的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D.（1）求反比例函数2myx=和一次函数y1=kx+b的表达式；（2）连接OA，OC，求△AOC的面积；（3）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.18．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝mx(m≠0)分别交于点A(4，1)，B(﹣1，a)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出kx+b＞mx的x的取值范围.19．如图，已知点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，过点A作AC△x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A 的坐标；（2）若四边形ABOC 的面积是3，求一次函数y=kx+b 的表达式．20．如图，一次函数 y kx b =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象相交于 ()1,A a ， ()3,B c - 两点直线 y kx b =+ 分别交 x 轴、 y 轴于 C 、 D 两点.（1）直接写出不等式 0mkx b x+-> 的解集；（2）求ma c+ 的值；（3）求 C 点的坐标.答案解析部分1．【答案】（1）解：把x= 代入y x=，得y= 1，∴A（，1），把点)代入kyx=，解得：k=；（2）解：∵把y=3代入函数yx=，得x=3，∴C⎫⎪⎪⎝⎭，设过A，C两点的直线方程为：y kx b=+，把点)，⎫⎪⎪⎝⎭，代入得：133b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：4kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴4y=+，设4y=+与x轴交点为D，则D点坐标为,03⎛⎫⎪⎪⎝⎭，∴113123233AOC CODAODS S S=-=⨯-⨯=；（3）解：设P点坐标a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60，∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60的菱形，P在直线3y x=上，∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入yx=，解得纵坐标为：a，根据OP NP=，即得：，解得：1a=±.故P点坐标为：⎛⎝⎭或1,⎛-⎝⎭.【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据AOC COD AODS S S=-求解即可；（3）设P点坐标,3a a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得OP NP=，求出a的值即可.2．【答案】（1）解：由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD△x轴∴OB△CD∴△ABO△△ACD∴OA OBAD CD=∴61210CD=∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y= -80x把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：0612k bb=+⎧⎨=⎩解得： 212k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）解：当 80x- =﹣2x+12时，解得 x 1=10，x 2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E 坐标为（10，﹣8）∴S △CDE =S △CDA +S △EDA = 11201081014022⨯⨯+⨯⨯=（3）解：不等式kx+b≤nx，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x ＜0【解析】【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．3．【答案】（1）解：∵反比例函数y kx=的图象经过A （3，1），∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y 3x=；（2）解：把B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式，可得 12- n ＝3，解得n ＝﹣6，∴B （ 12- ，﹣6），把A （3，1），B （ 12- ，﹣6）代入一次函数y ＝mx+b ，可得13162m b m b =+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ ，解得 25m b =⎧⎨=-⎩ ，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣5 【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数y kx=即可算出k 的值，从而求出反比例函数的解析式；（2）将 B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式即可算出n 的值，从而求出B 点的坐标，将A,B 两点的坐标分别代入一次函数的解析式即可得出关于m,b 的二元一次方程组，求解得出m,b 的值，从而求出一次函数的解析式。

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函数与一次函数一、选择题1. （中考•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠P AD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠P AD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （中考•福建泉州，第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y =（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．解答：解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y =的图象可知m＞0，故本选项正确；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y =的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误；C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；故选：A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3. （中考•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．4. （中考•广西贺州，第14题3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“＜”或“=”）．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：直接把P1（1，y1），P2（2，y 2）代入正比例函数y =x ，求出y1，y2）的值，再比较出其大小即可．解答：解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，∴y1=，y2=×2=，∵＜，∴y1＜y2．故答案为：＜．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5. （中考•广西玉林市、防城港市，第12题3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．[ B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．解答：解：①t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y=（2﹣x）×=x﹣x+，③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0，故选：B．点评：本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．6．(中考年四川资阳，第5题3分)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．解答：解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象过一、二、四象限，∴图象不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过二、四象限，当b＞0时，函数图象与y轴相交于正半轴．7．（中考•温州，第7题4分）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）A．（0，﹣4）B．（0，4）C．（2，0）D．（﹣2，0）考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标．解答：解：令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．故选B．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一个基础题．8.（中考年广东汕尾，第8题4分）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．分析：汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程增加变快．据此即可选择．解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程增加变快．故选：C．点评：本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程．9.（中考年广东汕尾，第10题4分）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．10.（中考•毕节地区，第14题3分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3考点：一次函数与一元一次不等式分析：将点A（m，3）代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．解答：解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，解得，m=，∴点A的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．故选A．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．11.（中考•邵阳，第10题3分）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．以上都不对考点：一次函数图象上点的坐标特征分析：根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．解答：解：∵k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵1＜2，∴a＞b．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．12．（中考•四川自贡，第9题4分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象分析：根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．解答：解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，所给各选项没有此种图形；若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，D答案符合；[] 故选D．点评：考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．13.（中考•德州，第8题3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时考点：函数的图象分析：结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5千米；平均速度=总路程÷总时间．解答：解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故此选项正确；B由图象可得出张强在体育场锻炼45﹣15=30（分钟），故此选项正确；C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5=1（千米），故此选项错误；D、∵张强从早餐店回家所用时间为100﹣65=35分钟，距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷=（千米/时），故此选项正确．故选：C．点评：此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．14.（中考•济宁，第4题3分）函数y=中的自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x≠﹣1 C．x＞0 D．x≥0且x≠﹣1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，解得x≥0，故选：A．点评：本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．二.填空题1．(中考年四川资阳，第13题3分)函数y=1+中自变量x的取值范围是．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（中考年云南省，第11题3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）．考点：正比例函数的性质．专题：开放型．分析：根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．解答：解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，∴k＞0，取k=2可得函数关系式y=2x．故答案为：y=2x．点评：此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．3．（中考•舟山，第15题4分）过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．考点：两条直线相交或平行问题分析：依据与直线平行设出直线AB的解析式y=﹣x+b；代入点（﹣1，7）即可求得b，然后求出与x轴的交点横坐标，列举才符合条件的x的取值，依次代入即可．解答：解：∵过点（﹣1，7）的一条直线与直线平行，设直线AB为y=﹣x+b；把（﹣1，7）代入y=﹣x+b；得7=+b，解得：b=，∴直线AB的解析式为y=﹣x+，令y=0，得：0=﹣x+，解得：x=，∴0＜x＜的整数为：1、2、3；把x等于1、2、3分别代入解析式得4、、1；∴在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．故答案为（1，4），（3，1）．点评：本题考查了待定系数法求解析式以及直线上点的情况，列举出符合条件的x的值是本题的关键．4.（中考•武汉，第14题3分）一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为2200 米．考点：一次函数的应用分析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．解答：解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．故答案为：2200．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．5.（中考•武汉，第18题6分）已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．考点：一次函数与一元一次不等式分析：把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得到b的值，再解不等式．解答：解：把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得，﹣1=2﹣b，解得，b=3．函数解析式为y=2x﹣3．解2x﹣3≥0得，x≥．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，要知道，点的坐标符合函数解析式．6.（中考•孝感，第13题3分）函数的自变量x的取值范围为x≠1．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件专题：计算题．分析：根据分式的意义，分母不能为0，据此求解．解答：解：根据题意，得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．7.（中考•孝感，第11题3分）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3考点：一次函数与一元一次不等式．分析：满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x 轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．解答：解：∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为x＜﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，故选D．点评：本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．8．（中考•四川自贡，第15题4分）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是2或﹣7．考点：一次函数的性质分析：由于k的符号不能确定，故应分k＞0和k＜0两种进行解答．解答：解：当k＞0时，此函数是增函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，∴，解得，∴=2；当k＜0时，此函数是减函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，∴，解得，∴=﹣7．故答案为：2或﹣7．点评：本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．9．（中考·浙江金华，第13题4分）小明从家跑步到学校，接着马上步行回家. 如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行▲ 米．【答案】80.【解析】10. （中考•益阳，第12题，4分）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是80米/分钟．（第1题图）考点：函数的图象．分析：他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．解答：解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），故答案为：80．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．11. （中考•株洲，第15题，3分）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于4．考点：两条直线相交或平行问题．分析：根据解析式求得与坐标轴的交点，从而求得三角形的边长，然后依据三角形的面积公式即可求得．解答：解：如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．故答案为4．点评：本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．12. （中考•泰州，第10题，3分）将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x+2．考点：一次函数图象与几何变换分析：根据“上加下减”的平移规律解答即可．解答：解：将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x﹣1+3，即y=3x+2．故答案为y=3x+2．点评：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．三.解答题1. （中考•安徽省,第20题10分）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从中考年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业中考年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划中考年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则中考年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．（2）设该企业中考年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．解答：解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得，解得．答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；（2）设该企业中考年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，，解得x≥60．a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，最小值=70×60+7200=11400（元）．答：中考年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．点评：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；2. （中考•福建泉州，第24题9分）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2=40米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？考点：一次函数的应用分析：（1）根据路程与时间的关系，可得答案；（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．解答：解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案为：40；（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），60÷60=1（分钟），a=1，d1=；（3）d2=40t，当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，即﹣60t+60﹣40t＞10，解得0；当0时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤时，两遥控车的信号不会产生相互干扰综上所述：当0或1≤t时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．点评：本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10；当1＜t≤3时，d1﹣d2＞10，分类讨论是解题关键．3. （中考•广东，第23题9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．4. （中考•珠海，第16题7分）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x 的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？考点：一次函数的应用分析：（1）根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可；（2）分别把x=5880，代入（1）中的函数求得数值，比较得出答案即可．解答：解：（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）当x=5880时，方案一：y=0.95x=5586，方案二：y=0.9x+300=5592，5586＜5592所以选择方案一更省钱．点评：此题考查一次函数的运用，根据数量关系列出函数解析式，进一步利用函数解析式解决问题．5. （中考•珠海，第19题7分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．∵反比例函数y=的图象过点B，∴，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，设一次函数解析式为y=kx+b，∵y=kx+b的图象过B、D点，∴，解得．直线BD的解析式y=﹣x﹣1；（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，∴，解得∵B（1，﹣2），∴E（﹣2，1）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标．6．(中考年四川资阳，第20题8分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．解答：解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．7．(中考年天津市，第23题10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg 以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（Ⅰ）根据题意，填写下表：购买种子的数量/kg 1.5 2 3.5 4 …付款金额/元7.5 1016 18…（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）根据单价乘以数量，可得答案；（2）根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式；（3）根据函数值，可得相应的自变量的值．解答：解：（Ⅰ）10，8；。