2013年上海市春季高考数学试卷及答案
2013高考试题解析分类汇编解答题-推荐下载
1 2
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35 5
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2
3
5 5
x2 3.．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆 C : a2
(x1 1)(x2 1) y1 y2 x1x2 (x1 x2 ) 1 k 2 (x1 1)(x2 1) (k 2 1)x1x2 (k 2 1)(x1 x2 ) k 2 1 7k2 1 0 ,
2k 2 1
解得 k 2 1 ,即 k
且
的轨迹方程是 10 y
1
x2
y
3 2
22
,即
1 ,则
22
6 2k 2 1,
x
3x2
y
18
3x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
上海市春季高考数学试卷答案与解析
2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．=2，可得=24．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．=5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=．，得﹣故答案为：，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．（sinx+cosx==7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．，代入计算即可得出复数=故答案为：8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．，，12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．B解：根据由题意得，﹣1的反函数，的反函数，，即可得到它的一个方向向量（k=，=）16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．解：因为﹣＜B=，∴18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，，则10••）上是减函数，在（根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．==，解之得（舍负）因此，这两个球的体积之比为=）23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（），三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．C=C=．×=2，=3，×6=1826．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．，求得﹣﹣27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．时，=公比为=．28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．系写出两个交点的横坐标的和，把的方程为．根据题意知，解得的方程为的方程为由因为，所以，即===，解得的方程为29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标，由，所以，，解得，解得或）和（30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．，知==，解得=≥，当且仅当，）上为增函数，最大，其最大值为31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．==由不等式=。
2013年高考试题(圆锥曲线)2014.1
1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±.故直线l 的方程为10x -=或10x --=.2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即60,x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又0,2⎛⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈ ⎝⎦ 3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1xy C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为2,过1F 且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==2 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PMPF ⋅,设P 中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,(2,2)∈-,所以33(,)m ∈-001200114(8x x kk kk x x +-+=-+=-为定值.4．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(3,0)F ,过F 的直线3x =C 1交于2(3,2±,与C 2交于(3,31))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为3x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,2<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 6．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l . (I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <; (II)若点M 到直线l的距离的最小值为5,求抛物线E 的方程. 【答案】解:(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF2,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++2323213==≤=+,当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线（第21题图）110:12l y x=±-8．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率22e=,过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于,A A'两点,4AA'=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P',过,P P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ P Q'⊥,求圆Q的标准方程.【答案】9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：.(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222所以动点P 过定直线01=-+y x .10．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点.若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值. 【答案】12．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c = ②②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】15．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n +=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .第21题图16．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 17．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】解:(Ⅰ)A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)18．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】19．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C .(I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】20．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，, 则122y x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
2013年上海高考数学试卷(理工农医类)
共 12 页，第 1 页2 0 13 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：．20lim313n n n →∞+=+2．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．m R ∈222(1)m m m i +-+-i m =3．若，则 ．2211x x x y y y =--x y +=4．已知的内角所对的边分别是．若，则角的ABC ∆A B C 、、a b c 、、22232330a ab b c ++-=C 大小是（结果用反三角函数值表示）．5．设常数．若的二项展开式中项的系数为，则 ．a R ∈25(a x x+7x 10-a =6．方程的实数解为 ．1313313x x-+=-7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为．cos 1ρθ=+cos 1ρθ=8．盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数1,2,3,4,5,6,7,8,9的概率是（结果用最简分数表示）．9．设是椭圆的长轴，点C 在上，且．若，，则的两个焦点AB ΓΓ4CBA π∠=4AB =BC =Γ之间的距离为 ．10．设非零常数是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，d 12319,,,,x x x x ξ12319,,,,x x x x 则方差．D ξ=11．若，，则 ．1cos cos sin sin 2x y x y +=2sin 2sin 23x y +=sin()x y +=12．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．若a ()y f x =R 0x <2()97a f x x x=++()1f x a ≥+对一切成立，则的取值范围为 ．0x ≥a 13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线xOy 22(1)1(1)x y x -+=≥22(3)1(3)x y x -+=≥1y =和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记绕轴旋转1y=-D D y 一周而成的几何体为．过作的水平截面，所得截面Ω(0,)(||1)y y ≤Ω面积为．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个48ππ长方体，得出的体积值为．Ω14．对区间上有定义的函数，记．已知定义域为的函数I ()g x (){|(),}g I y y g x x I ==∈[0,3]有反函数，且，．若方程()y f x =1()y f x -=1([0,1))[1,2)f -=1((2,4])[0,1)f -=()0f x x -=有解，则．0x 0x =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设常数，集合，．若，则的取值a R ∈{|(1)()0}A x x x a =--≥{|1}B x x a =≥-A B R = a 范围为（）．(A)(B)(C)(D) (,2)-∞(,2]-∞(2,)+∞[2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）．(A) 充分条件(B) 必要条件共 12 页，第 3页(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件17．在数列中，．若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素{}n a 21n na =-i j ,i j i j i jc a a a a =⋅++（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）．1,2,,7i= 1,2,,12j = (A) 18(B) 28(C) 48(D) 6318．在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、ABCDEF A 1a 2a 3a、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若、分别为4a 5a D 1d 2d 3d 4d 5dm M 的最小值、最大值，其中，，()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆则、满足（）．m M (A) ， (B) ，0m =0M >0m <0M >(C) ，(D) ，0m <0M =0m <0M <三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，在长方体中，，，. 证明直线平行于平面，''''ABCD A B C D -2AB =1AD ='1AA ='BC 'D AC 并求直线到平面的距离．'BC 'D AC20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润x 110x ≤≤是元．310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；x （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．()2sin()f x x ω=0ω>共 12 页，第 5 页（1）若在上单调递增，求的取值范围；()yf x =2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数2ω=()y f x =6π()y g x =的图像．区间（，且）满足：在上至少含有30个零点．在所有[,]a b ,a b R ∈a b <()y g x =[,]a b 满足上述条件的中，求的最小值．[,]a b b a -22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．如图，已知双曲线，曲线．是平面内一点，若存在过点的直线与、221:12x C y -=2:1C y x =+P P 1C 都有公共点，则称为“型点”．2C P 12C C -（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过1C 12C C -该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点y kx =2C 1k >不是“型点”；12C C -（3）求证：圆内的点都不是“型点”．2212x y +=12C C -23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．0c >()24f x x c x c =++-+1()n n a f a +=*n N ∈（1）若，求及；12a c =--2a 3a共 12 页，第 7 页（2）求证：对任意，；*n N ∈1n na a c +-≥（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．1a 1a 上海 数学试卷（理工农医类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）1.132. 2-3.4. 1arccos3π-05. 6.8.2-3log 41318 10.11.12. 13. 14. 230d 238,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2216ππ+2二、选择题（第15题至第18题）15. 16. 17. 18. B B A D三、解答题（第19题至第23题）19．[解]如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、(1,0,1)A 、、、．(1,2,1)B (0,2,1)C '(0,2,0)C '(0,0,0)D 设平面的法向量为，则，．'D AC (,,)n u v w ='n D A ⊥ 'n D C ⊥ 因为，，，，'(1,0,1)D A ='(0,2,1)D C = '0n D A ⋅= '0n D C ⋅= 所以，解得，．取，得平面的020u w v w +=⎧⎨+=⎩2u v =2w v =-1v ='D AC 一个法向量．(2,1,2)n =-因为，所以，所以．'(1,0,1)BC =--'0n BC ⋅= 'n BC ⊥ 又不在平面内，所以直线与平面平行．'BC 'D AC 'BC 'D AC 由，得点到平面的距离，(1,0,0)CB = B 'D AC 23d 所以直线到平面的距离为．'BC 'D AC 2320．[解]（1）生产该产品2小时的利润为．33100(51)2200(51)x x x x+-⨯=+-由题意，，解得或．3200(51)3000x x +-≥3x ≥15x ≤-又因为，所以．110x ≤≤310x ≤≤（2）生产900千克该产品，所用的时间是小时，900x获得的利润为，．2390031100(51)900005x x x x x ⎛⎫+-⋅=-++ ⎪⎝⎭110x ≤≤共 12 页，第 9 页记，，则．231()5f x x x =-++110x ≤≤2111()3(5612f x x =--++当且仅当时取到最大值，最大利润为元．6x =619000045750012⨯=因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21．[解]（1）因为函数在上单调递增，且，()y f x =2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0ω>所以，且，所以．223ππω≥24ππω-≤-304ω<≤（2），()2sin 2f x x =将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，()y f x =6π2sin 2(16y x π=++所以．()2sin 2(16g x x π=++令，得或，所以两个相邻零点之间的距离为或．()0g x =512x k ππ=+3()4x k k Z ππ=+∈3π23π若最小，则和都是零点，b a -a b 此时在区间，，…， 上分别恰有3，5，…，个[],a a π+[],2a a π+[],a m a π+()*m N ∈21m +零点，所以在区间上恰有29个零点，[],14a a π+从而在区间上至少有一个零点，所以．(]14,a b π+143b a ππ--≥另一方面，在区间上恰有30个零点，55,1412312ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦因此，的最小值为．b a -431433πππ+=22．[解]（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：1C ()，其中．x =(y k x =+k ≥（2）因为直线与有公共点，ykx =2C 所以方程组有实数解，因此得．1y kxy x =⎧⎨=+⎩1kx x =+11x k x +=>若原点是“”型点，则存在过原点的直线与都有公共点．12C C -12C C 、考虑过原点与有公共点的直线或．2C 0x =()1y kx k =>显然直线与无公共点．0x =1C 如果直线为，则由方程组，得矛盾．()1y kx k =>2212y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩222012x k =<-所以直线与也无公共点．()1y kxk =>1C 因此原点不是“型点”．12C C -（3）记圆，取圆内的一点．设有经过的直线与都有公共点．显然221:2O x y +=O Q Q l 12C C 、l 不垂直于轴，故可设．x :l y kx b =+若，由于圆夹在两组平行线与之间，因此圆也夹在直线与1k ≤O 1y x =±1y x =-±O 1y kx =±之间，从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以．1y kx =-±Q k l 2C 1k >因为与有公共点，所以方程组有实数解，l 1C 2212y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得．因为，所以，()222124220kxkbx b ----=1k >2120k -≠因此，即．()()()()222224412228120kb kbb k ∆=----=+-≥2221b k ≥-因为圆的圆心到直线的距离，O ()0,0l d=共 12 页，第 11 页所以，，从而，得，与矛盾．222112b d k =<+2221212k b k +>≥-21k <1k >因此，圆内的点都不是“型点”．221:2O x y +=12C C -23．[解]（1）．232,10a a c ==+（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当时，；n a c ≥-18n n a a c c +-=+>当时，；4nc a c --≤<-()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=当时，．4n a c <--()128248n n n a a a c c c c +-=---≥-----=所以，对任意，．n N *∈1n na a c +-≥（3）由（2），结合得，即为无穷递增数列．0c >1n n a a +>{}n a 又为等差数列，所以存在正数，当时，，{}n a M n M >na c ≥-从而，．1()8n n n a f a a c +==++由于为等差数列，因此其公差．{}n a 8d c =+① 若，则，14a c <--211()8a f a a c ==---又，故，即，从而．2118a a d a c =+=++1188a c a c ---=++18a c =--20a =当时，由于为递增数列，故，2n ≥{}n a 20na a c ≥=>-所以，，而，1()8n n n a f a a c +==++218a a c =++故当时，为无穷等差数列，符合要求；18a c =--{}n a ② 若，则，又，14c a c --≤<-211()338a f a a c ==++2118a a d a c =+=++所以，，得，舍去；113388a c a c ++=++1a c =-③ 若，则由得到，1a c ≥-1n a a ≥1()8n n n a f a a c +==++从而为无穷等差数列，符合要求．{}n a 综上，的取值集合为．1a [){},8c c -+∞--。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理数-含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学 一、填空题 1．计算：2．设，是纯虚数，其中i 是虚数单位，则3．若，则 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则．6．方程的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________ ．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆的长轴，点C 在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差11．若，则． 12．设为实常数，是定义在R 上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成20lim______313n n n →∞+=+m R ∈222(1)i m m m +-+-________m =2211x x x y y y =--______x y +=22232330a ab b c ++-=a R ∈52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7x 10-______a =1313313x x-+=-cos 1ρθ=+cos 1ρθ=ΓΓ4CBA π∠=2BC =Γ12319,,,,x x x x L ξ12319,,,,x x x x L _______D ξ=12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=sin()________x y +=a ()y f x =0x <2()97a f x x x=++()1f x a ≥+0x ≥a xOy 22(1)1(1)x y x -+=≥22(3)1(3)x y x -+=≥1y =1y =-的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则二、选择题15．设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）(A)(B)(C)(D)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28(C)48(D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）.(A) (B) (C)(D)三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平Ω(0,)(||1)y y ≤Ω48πΩ()g x (){|(),}g I y y g x x I ==∈[0,3]()y f x =1()y f x -=11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==()0f x x -=0x 0_____x =a R ∈{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-A B R ⋃=a (,2)-∞(,2]-∞(2,)+∞[2,)+∞{}n a 21nn a =-,i j i j i j a a a a a =⋅++1,2,,7;1,2,,12i j ==L L 12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r 12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r,m M()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,m M 0,0m M =>0,0m M <>0,0m M <=0,0m M <<A面D 1AC 的距离.20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数，其中常数； （1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．110x ≤≤3100(51)x x+-()2sin()f x x ω=0ω>()y f x =2[,]43ππ-ω2ω=()y f x =6π()y g x =[,]a b ,a b R ∈a b <()y g x =[,]a b [,]a b b a -221:12x C y -=2:||||1C y x =+12,C C(1)在正确证明的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆内的点都不是“C 1—C 2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，； （3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 参考答案 一． 填空题1.2. －23. 04.5. －26.7.8.10. 30d ² 11. 12. 13. 14. 2二． 选择题1C y kx =2C ||1k >2212x y +=0c >()2|4|||f x x c x c =++-+123,,,a a a L *1(),n n a f a n N +=∈12a c =--2a 3a *1,n n n N a a c +∈-≥1a 12,,,n a a a L L 1a 131arccos 3π-3log 413182387a ≤-2216ππ+三． 解答题19. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故，故ABC 1D 1为平行四边形，故，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得 而中，，故 所以，，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为．20．【解答】(1)根据题意， 又，可解得 (2)设利润为元，则 故时，元．21．【解答】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为． 23. 【解答】：（1）C 1的左焦点为，过F 的直线C 1交于，1111//,AB C DAB C D =11//BC AD h 111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=1AD C ∆11AC DC AD ===132AD C S ∆=13123233V h h =⨯⨯=⇒=2333200(51)30005140x x xx+-≥⇒--≥110x ≤≤310x ≤≤y 4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+6x =max 457500y =0ω>34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩()2sin(2)f x x =()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-7,12x k k Z ππ=-∈()g x 3π23π()y g x =[,]a b b a -2431415333πππ⨯+⨯=(F x =(±与C 2交于，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为（2）直线与C 2有交点，则，若方程组有解，则必须； 直线与C 2有交点，则，若方程组有解，则必须 故直线至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
2013年上海市高考数学试卷(理科)详细解析版
2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：=．==故答案为：223．（4分）（2013•上海）若=，x+y=0．=大小是．变形为再利用余弦定理∴∴==C=．．5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．（6．（4分）（2013•上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34．++7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．ρ=ρ=的公共点到极点的距离为故答案为：球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．种．种．9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出，，，∴，=，﹣=，c=故答案为：10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．=和数学期望的计算公式即可得出Dξ===xDξ=+…+==11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．cosxcosy+sinxsiny==sin2x+sin2y==，即可得出，=sin2x+sin2y==∴=．．12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．+7=9x+9x+﹣﹣﹣7≥2=6|a|．13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．4，看作是把一个14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=2．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范17．（5分）（2013•上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j18．（5分）（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满利用向量的数量积公式，可知只有、、、；以点为终点的向量分别为、、、分别为（++++）的最小值、最大值，三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013•上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．=⊥d==，则由⊥，⊥，可得∵=∴，解得，可得=∴⊥．===，的距离为20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．））×（[+时，取得最大利润为=45750021．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b ﹣a的最小值．上单调递增，且，利用正弦函数的单调性可得=2上单调递增，且∴的图象向左平移个单位，=或∴的最小值为22．（16分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点“（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”时过圆时，过圆内的点且斜率为，其中所以方程组，得，则由方程组，得：由公共点，所以方程组，，从而内的点不是23．（18分）（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．=，分三种情况讨论即可证明；=。
高考真题----理科数学(上海卷)解析版含答案
2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab bc c a b ab++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=，又0ρ≥． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2446,233b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，2222222(981019)30||19d D d ξ=+++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC D C AD ===，故132AD C S ∆=所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有C 11A34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 【解答】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-； （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
为 (ai a j ak ) ( dr ds dt ) 的最小值、最大值，其中
{ i , j , k} {1,2,3, 4,5} ,{ r, s,t} {1,2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
平行于平面 D1AC ，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 .
第 19 题图
【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积
.
【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公
式求出答案 .
【难易程度】容易
【试题解析】因为 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AB C1D1 , AB C1D1 ，
【测量目标】奇函数的性质 . 【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出 【难易程度】中等
8 【参考答案】 a ,
7 【试题解析】 f (0) 0，故 0 厔a 1 a 1 （步骤 1）；当 x 0 时
a 的范围 .
a2
f (x) 9x
7 …a 1（步骤 2）
x
即 6 | a |… a 8 ，又 a , 1，故 a ,
f (x) [0,1) ，而 y f (x) 的定义域为 [0,3] （步骤 2），故当 x [2,3] 时， f (x) 的取值应在
( ,0) [1,2] (4, ) ，故若 f ( x0 ) x0 ，只有 x0 2．（步骤 3）
二、选择题
15．设常数 a R ，集合 A { x | ( x 1)( x a) 厖0}, B { x | x a 1} ，若 A B R ，则 a
2013年上海卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0B．C．2D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学(参考答案)一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜2．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．3．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．4．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．5．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：6．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．7．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r【解答】解：的展开式的通项为T r+1令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．8．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为log34．故答案为：log34．9．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．10．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为11．【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．12．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．13．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）14．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选A．16．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．17．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A18．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．20．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．21．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．22．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a 1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而a n=1（n=1，2，…），所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m﹣1）＞2，﹣a m=2﹣|a m|﹣a m＜0，矛盾．此时d=a m+1综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列．23．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.(4分)计算：= .解析：==，答案：.2.(4分)设m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .解析：∵复数z=(m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，∴m2+m-2=0，m2-1≠0，解得m=-2，答案：-2.3.(4分)若=，x+y= .解析：∵=，∴x2+y2=-2xy，∴(x+y)2=0，∴x+y=0.答案：04.(4分)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2-3c2=0，则角C的大小是 .解析：∵3a2+2ab+3b2-3c2=0，∴，∴==.∴C=.答案：.5.(4分)设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= . 解析：的展开式的通项为T r+1=C5r x10-2r()r=C5r x10-3r a r，令10-3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51，∵x7的系数是-10，∴aC51=-10，解得a=-2.答案：-2.6.(4分)方程+=3x-1的实数解为.解析：方程+=3x-1，即=3x-1，即 8+3x=3x-1( 3x+1-3)，化简可得 32x-2·3x-8=0，即(3x-4)(3x+2)=0.解得 3x=4，或 3x=-2(舍去)，∴x=log34，答案：log34.7.(4分)在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 . 解析：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ-1，代入ρcosθ=1得ρ(ρ-1)=1，解得ρ=或ρ=(舍)，所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，答案：.8.(4分)盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示).解析：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种.取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种.则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为.所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是.答案：9.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为 .解析：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2.∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C(-1，1)，因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2-b2=4-=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为.答案：.10.(4分)设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=.解析：由题意可得Eξ===x1+9d.∴x n-Eξ=x1+(n-1)d-(x1+9d)=(n-10)d，∴Dξ=+…+(-d)2+0+d2+(2d)2+…+(9d)2]===30d2.答案：30d2.11.(4分)若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin(x+y)= .解析：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos(x-y)=.∵sin2x+sin2y=，∴2sin(x+y)cos(x-y)=，∴，∴sin(x+y)=. 答案：.12.(4分)设a为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 .解析：因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f(x)=0；当x＞0时，则-x＜0，所以f(-x)=-9x-+7，因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=9x+-7；因为f(x)≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤-1；当x＞0时，9x+-7≥a+1成立，只需要9x+-7的最小值≥a+1，因为9x+-7≥2=6|a|-7，所以6|a|-7≥a+1，解得，所以.答案：.13.(4分) 在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)，两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为.解析：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π.答案：2π2+16π.14.(4分)对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y|y=g(x)，x∈I}.已知定义域为[0，3]的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，且f-1([0，1))=[1，2)，f-1((2，4])=[0，1).若方程f(x)-x=0有解x0，则x0= .解析：因为g(I)={y|y=g(x)，x∈I}，f-1([0，1))=[1，2)，f-1(2，4])=[0，1)，所以对于函数f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)∈(2，4]，所以方程f(x)-x=0即f(x)=x无解；当x∈[1，2)时，f(x)∈[0，1)，所以方程f(x)-x=0即f(x)=x无解；所以当x∈[0，2)时方程f(x)-x=0即f(x)=x无解，又因为方程f(x)-x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f(x)的取值应属于集合(-∞，0)∪[1，2]∪(4，+∞)，故若f(x0)=x0，只有x0=2，答案：2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.(5分)设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为( )A. (-∞，2)B. (-∞，2]C. (2，+∞)D. [2，+∞)解析：当a＞1时，A=(-∞，1]∪[a，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=(-∞，a]∪[1，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是(-∞，2].答案：B.16.(5分)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件解析：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货” “不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，答案：B17.(5分)在数列(a n)中，a n=2n-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i·a j+a i+a j(i=1，2，…，7；j=1，2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A. 18B. 28C. 48D. 63解析：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i·a j+a i+a j=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1，2，…，7；j=1，2，…，12)，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn(i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12)，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.答案：A.18.(5分)在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)·(++)的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足( )A. m=0，M＞0B. m＜0，M＞0C. m＜0，M=0D. m＜0，M＜0解析：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为(++)·(++)的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0答案：D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.(12分) 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离.解析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=(2，1，-2)，再根据=-0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC.求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离.答案：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点A(1，0，1 )、B(1，2，1)、C(0，2，1)、C′(0，2，0)、D′(0，0，0).设平面D′AC的一个法向量为=(u，v，w)，则由⊥，⊥，可得，.∵=(1，0，1)，=(0，2，1)，∴，解得.令v=1，可得 u=2，w=-2，可得=(2，1，-2).由于=(-1，0，-1)，∴=-0，故有⊥.再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC.由于=(1，0，0)，可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.解析：(1)求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；(2)确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润.答案：(1)生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1-)×2=200(5x+1-)，根据题意，200(5x+1-)≥3000，即5x2-14x-3≥0，∴x≥3或x≤-，∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；(2)设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100(5x+1-)×=90000()=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关21.(14分)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0(1)若y=f(x)在[-，]上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)满足：y=g(x)在[a，b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.解析：(1)已知函数y=f(x)在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；(2)利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g(x)=2.令g(x)=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小，则a和b 都是零点，此时在区间[a，mπ+a](m∈N*)恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件.进一步即可得出b-a的最小值.答案：(1)∵函数y=f(x)在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得.(2)f(x)=2sin2x，∴把y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g(x)=，令g(x)=0，得，或x=(k∈Z).∴相邻两个零点之间的距离为或.若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a](m∈N*)分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间(14π+a，b]至少有一个零点，∴.另一方面，在区间恰有30个零点，因此b-a的最小值为.22.(16分)如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；(3)求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”解析：(1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为()，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1-C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0，1)连线的斜率；(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.答案：(1)C1的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中.(2)因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得.若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|＞1).显然直线x=0与C1无公共点. 如果直线为y=kx(|k|＞1)，则由方程组，得，矛盾.所以直线y=kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1-C2型点”.(3)记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b.若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为|k|＞1，所以1-2k2≠0，因此△=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0，即b2≥2k2-1.因为圆O的圆心(0，0)到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾.因此，圆内的点不是“C1-C2型点”.23.(18分)给定常数c＞0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f(a n)，n∈N*.(1)若a1=-c-2，求a2及a3；(2)求证：对任意n∈N*，a n+1-a n≥c；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.解析：(1)对于分别取n=1，2，a n+1=f(a n)，n∈N*.去掉绝对值符合即可得出；(2)由已知可得f(x)=，分三种情况讨论即可证明；(3)由(2)及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当a1＜-c-4时，当-c-4≤a1＜-c时，当a1≥-c时.即可得出a1的取值范围.答案：(1)a2=f(a1)=f(-c-2)=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|-|2+c|=2(6+c)-(c+2)=10+c.(2)由已知可得f(x)=当a n≥-c时，a n+1-a n=c+8＞c；当-c-4≤a n＜-c时，a n+1-a n=2a n+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c；当a n＜-c-4时，a n+1-a n=-2a n-c-8＞-2(-c-4)-c-8=c.∴对任意n∈N*，a n+1-a n≥c；(3)假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列.由(2)及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列.又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥-c，从而a n+1=f(a n)=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8.①当a1＜-c-4时，则a2=f(a1)=-a1-c-8，又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞-c，∴a n+1=f(a n)=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f(a1)=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；③若a1≥-c，则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
(完整word版)2013年上海市春季高考数学试卷及答案
2013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填与清疋。
2■本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3■请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log 2( x • 2)的定义域是____________________2. 方程2x =8的解是____________________3. 抛物线y2 =8x的准线方程是_________________4. ____________________________________________ 函数y二2sin x的最小正周期是5.已知向量^(1,k)，^(9, k -6)。
若a//：，则实数k 二_______________________6. 函数y = 4sin x - 3cos x的最大值是_________________7.复数2 3i( i是虚数单位)的模是_______________________8. 在-ABC中，角A、B C所对边长分别为a、b c，9. 在如图所示的正方体ABCD -AEGD^!中，异面直线AB与B,C所成角的大小为 __________10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为(结果用数值表示)。
11. _______________________________________________________________________ 若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S n= ___________________12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到:2 2因为36=2 3，所以36的所有正约数之和为(1 3 32) (2 2 3 2 32) (22 22 3 22 32) =(1 2 2(1 3 32) =91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为_____________________________二•选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析
2013年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．=2，可得=24．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．=5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=．，得﹣故答案为：，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．（sinx+cosx==7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．，代入计算即可得出复数=故答案为：8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S n=．，，12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．B解：根据由题意得，﹣1的反函数，的反函数，15．（3分）（2013•上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（），即可得到它的一个方向向量（k=，=）16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．解：因为﹣＜B=，∴18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，，则10••）上是减函数，在（根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．==，解之得（舍负）因此，这两个球的体积之比为=）23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（），三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．C=C=．×=2，=3，×6=1826．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．，求得﹣﹣27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．时，=公比为=．28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．系写出两个交点的横坐标的和，把的方程为．根据题意知，解得的方程为的方程为由因为，所以，即===，解得的方程为29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标，由，所以，，解得，解得或）和（30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．，知==，解得=≥，当且仅当，）上为增函数，最大，其最大值为31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．==由不等式=。
2013年上海高考数学试卷(标准答案)——高考必备
2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ= 11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++， 若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2013年上海春季高考(暨学业水平考)数学试卷
D 1C 1B 1A 1D CAB2013年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共31道试题，满分150分．考试时间120分钟 （学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；其中第29题，第31题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得3分，否则一律得零分．1．函数2log (2)y x =+的定义域是 . 2．方程28x=的解是 . 3．抛物线28y x =的准线方程是 . 4．函数2sin y x =的最小正周期是 .5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，．若//a b ，则实数k = .6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 . 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是 .8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= . 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 . 10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 . （结果用数值表示）11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S . 12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 .二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．展开式为ad bc -的行列式是（ ） （A ）a b d c(B) a c b d (C) a d b c (D) b ad c14．设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（ ）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）(A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称19．10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ）（A ）u ZC N （B ）C u NN （C ）C (C )u u ∅ （D ）C {0}u23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题共有7题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积．26．（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．27．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2n a n b =，求12limn n b b b →∞+++（）． B 1A 1C 1ACBABC已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、． （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程．29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知抛物线24C y x =：的焦点为F . （1）点 A P 、满足2AP FA =-. 当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的 点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈． （1）若31arctan3θ=，求点A 的坐标； （2）若点A的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值.31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()y f x a b =+- 是奇函数”.（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式， 并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得 函数()y f x a b =+- 是偶函数”。
2013年上海市高考数学模拟试卷(含答案)题目和答案和评分要点
2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。
若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(上海卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科（上海卷）数学答案解析1、【答案】0＜x＜【解析】试题分析：根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集。
原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜考点：其他不等式的解法。
点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题。
2、【答案】15【解析】试题分析：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15。
考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式。
点评：本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N*，且m+n=p+q=2t，则a m+a n=a p+a q=2a t，此题是基础题。
3、【答案】﹣2【解析】试题分析：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2。
考点：复数的基本概念。
点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题。
4、【答案】1【解析】试题分析：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1。
所以x=2，y=1。
考点：二阶行列式的定义。
点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题。
5、【答案】【解析】试题分析：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=。
考点：余弦定理。
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键。
6、【答案】78【解析】试题分析：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a。
根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%。
所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78。
13年高考(新))
1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+,数列{}n b 满足2n a n b =,求12limn n b b b →∞+++ （）. 【答案】[解]当2n ≥时,221(1)(1)22nn n a s s n n n n n -=-=-++---=-+.且110a s ==,所以n a =22n -+.因为22112()4n n n b -+-==,所以数列{}n b 是首项为1、公比为14的无穷等比数列.故12lim n n b b b →∞+++ （）141314==-. 2 ．（2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--,则______x y +=【答案】0x y +=.3 ．（2013年高考上海卷（理））若2211x xx y y y=--,则______x y +=【答案】0x y +=.4．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上,可得a = 所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<,所以直线与圆相交5 ．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cossin 0ρθθ-=6 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,4（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉.(1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为37 ．（2013年高考新课标1（理））若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．45【答案】 D ．8 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.【答案】21．（2013年高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）A ．2*2S i =-B ．2*1S i =-C ．2*S i =D ．2*4S i =+【答案】C10．（2013年高考上海卷（理））设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ,则方差_______D ξ=【答案】|D d ξ=.11．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2412．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S【答案】①②③⑤已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是A BCADEF BC____________.【答案】(7,3)-已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D13．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】52等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1215．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解: (Ⅰ)AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
2013年春季高考理数真题试卷(上海卷)及解析
外…………○…………装…学校:___________姓名内…………○…………装…2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）A.|a bd c | B.|a c b d | C.|a d b c | D.|b a d c| 2.设f ﹣1（x ）为函数f （x ）= √x 的反函数，下列结论正确的是（ ） A.f ﹣1（2）=2 B.f ﹣1（2）=4 C.f ﹣1（4）=2 D.f ﹣1（4）=43.直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ） A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）4.函数f （x ）= x −12的大致图象是（ ）A.B.答案第2页，总14页…………线…………○…………线…………○C.D.5.若复数z 1 ， z 2满足z 1= z 2¯，则z 1 ， z 2在复数平面上对应的点Z 1 ， Z 2（ ）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x 对称6.（1+x ）10的二项展开式中的一项是（ ） A.45x B.90x 2 C.120x 3 D.252x 47.既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ） A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x8.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：169.设全集U=R ，下列集合运算结果为R 的是（ ） A.Z∪∁U N B.N∩∁U N C.∁U （∁u ∅） D.∁U {0}10.已知a ，b ，c∈R，“b 2﹣4ac ＜0”是“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件………外…………○……………○……学校:_名：___________班级：___………内…………○……………○……11.已知A ，B 为平面内两个定点，过该平面内动点m 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若 MN →2=λ AN →• NB →，其中λ为常数，则动点m 的轨迹不可能是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）12.函数y=log 2（x+2）的定义域是 ． 13.方程2x =8的解是 ．14.抛物线y 2=8x 的准线方程是 ． 15.函数y=2sinx 的最小正周期是 ．16.已知向量 a →=(1,k) ， b →=(9,k −6) ．若 a →∥b →，则实数k= ．17.函数y=4sinx+3cosx 的最大值是 ． 18.复数2+3i （i 是虚数单位）的模是 ．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a=5，c=8，B=60°，则b= ． 20.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为 ．21.从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）．22.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n = ．三、解答题（题型注释）23.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为 π6 ，求该三棱柱的体积．24.如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中∠B 为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该答案第4页，总14页………装…………○……线…………○请※※不※※要※※在※※装※※订※※………装…………○……线…………○健身房的最大占地面积．25.已知数列{a n }的前n 项和为 S n =−n 2+n ，数列{b n }满足 b n =2an ，求 l (b 1+n→∞b 2+...+b n ) ．26.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），短轴的两个端点分别为B 1 ， B 2（1）若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且 F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．27.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ．（1）点A ，P 满足 AP →=−2FA →．当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程； （2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线y=2x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．28.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点P n 在x 轴上，其横坐标为x n ， 且{x n } 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn ， n∈N * ．（1）若 θ3=arctan 13 ，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为（0，8 √2 ），求θn 的最大值及相应n 的值．29.已知真命题：“函数y=f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f （x+a ）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g （x ）=x 3﹣3x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g （x ）图象对称中心的坐标； （2）求函数h （x ）= log 22x4−x 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f （x ）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数y=f （x+a ）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．参数答案1.B【解析】1.解：根据 |a bc d| 叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ， 由题意得， |acbd| =ad ﹣bc ． 故选B ． 2.B【解析】2.解：∵f ﹣1（x ）为函数f （x ）= √x 的反函数， ∴f ﹣1（x ）=x 2 ， （x≥0）， ∴f ﹣1（2）=4，f ﹣1（4）=16， 故选B ． 3.D【解析】3.解：由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k= 23 ， 所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量 d →=（1， 23 ），或（3，2）故选D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线的倾斜角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=0°． 4.A【解析】4.解：因为﹣ 12 ＜0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B 、C ； 又f （x ）的定义域为（0，+∞）， 故排除选项D ， 故选A ． 5.A【解析】5.解：若复数z 1 ， z 2满足z 1= z 2¯，则z 1 ， z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1 ， z 2在复数平面上对应的点Z 1 ， Z 2关于x 轴对称， 故选A ． 6.C【解析】6.解：（1+x ）10的二项展开式的通项公式为 T r+1= C 10r•x r ， 故当r=3时，此项为120x 3 ， 故选C ． 7.B答案第6页，总14页○…………线…………○○…………线…………○【解析】7.解：由于函数y=sinx 和 y=sin2x 都是奇函数，故排除A 、C ．由于函数y=cosx 是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件． 由于函数y=cos2x 是偶函数，周期等于π，在（0， π2 ）上是减函数，在（ π2 ，π）上是增函数，故不满足条件． 故选B ．【考点精析】掌握余弦函数的奇偶性和余弦函数的单调性是解答本题的根本，需要知道余弦函数为偶函数；余弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．8.C【解析】8.解：设两个球的半径分别为r 1、r 2 ， 根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S 1=4 πr 12 ，S 2=4 πr 22v∵两个球的表面积之比为1：4，∴ S 1S 2= 4πr 124πr 22 = r 12r 22 = 14 ，解之得 r 1r 2= 12 （舍负）因此，这两个球的体积之比为 V1V 2= 43πr 1343πr 23 =（ r 1r2）3= 18 即两个球的体积之比为1：8 故选：C 9.A【解析】9.解：∵全集U=R ，∴Z∪∁U N=R ，N∩∁U N=∅，∁U （∁u ∅）=∅，∁U {0}={x∈R|x≠0}． 故选A ．【考点精析】利用交、并、补集的混合运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 10.D【解析】10.解：若a≠0，欲保证函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x 轴无交点； 则a ＞0且△=b 2﹣4ac ＜0．但是，若a=0时，如果b=0，c ＞0，则函数f （x ）=ax 2+bx+c=c 的图象恒在x 轴上方，不能得到△=b 2﹣4ac ＜0；反之，“b 2﹣4ac ＜0”并不能得到“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”，如a ＜0时．从而，“b 2﹣4ac ＜0”是“函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象恒在x 轴上方”的既非充分又非必要条件． 故选D ．11.D【解析】11.解：以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建立坐标系， 设M （x ，y ），A （﹣a ，0）、B （a ，0）； 因为 MN →2=λ AN →• NB →，所以y 2=λ（x+a ）（a ﹣x ），即λx 2+y 2=λa 2 ， 当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程． 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选D ．12.（﹣2，+∞）【解析】12.解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x ＞﹣2， 所以函数的定义域为（﹣2，+∞）． 所以答案是：（﹣2，+∞）． 【考点精析】认真审题，首先需要了解对数函数的定义域(对数函数的定义域范围:（0，+∞）)． 13.3【解析】13.解：由2x =8=23 ， 可得x=3，即此方程的解为3， 所以答案是 3．【考点精析】本题主要考查了函数的零点的相关知识点，需要掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题． 14.x=﹣2【解析】14.解：∵抛物线的方程为y 2=8x ∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得 p2 =2，可得抛物线的焦点为F （2，0），准线方程为x=﹣2 所以答案是：x=﹣2 15.2π【解析】15.解：函数y=2sinx 的最小正周期是 2πω = 2π1 =2π， 所以答案是 2π． 16.−34【解析】16.解：由 a →∥b →，得1×（k ﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣ 34 ， 所以答案是： −34．答案第8页，总14页………○…………装………○…………订………○…………线………※※请※※不※※※※在※※装※※订※※线※※内※※题※※………○…………装………○…………订………○…………线………17.5【解析】17.解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（ 45 sinx+ 35 cosx ）=5sin （x+∅），（其中，cos ∅=45 ，sin ∅= 35） 故函数的最大值为5， 所以答案是5．【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．18.√13【解析】18.解：∵复数2+3i ， ∴2+3i 的模 √22+32= √13 ． 所以答案是： √13 ．【考点精析】利用复数的模（绝对值）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1)(2)(3)若为虚数,则．19.7【解析】19.解：∵在△ABC 中，a=5，c=8，B=60°， ∴根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49 解之得b=7（舍负） 所以答案是：7【考点精析】通过灵活运用余弦定理的定义，掌握余弦定理:;;即可以解答此题．20.60°【解析】20.解：连接A 1D ，由正方体的几何特征可得：A 1D∥B 1C ， 则∠BA 1D 即为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角， 连接BD ，易得： BD=A 1D=A 1B 故∠BA 1D=60° 所以答案是：60°……外…………○…………装…………○…………订…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：……内…………○…………装…………○…………订…【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 21.45【解析】21.解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为： C 43+C 63C 103 = 15 ，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣ 15 = 45 ． 所以答案是： 45 ． 22.56n 2−76n【解析】22.解：设等差数列的前n 项和S n =an 2+bn ，则由题意可得 {36a +6b =2381a +9b =57，解得 {a =56b =−76， 故数列的前n 项和S n = 56n 2−76n ， 所以答案是 56n 2−76n ．【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前n 项和公式：．23.解：因为 CC 1∥AA 1 ．所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，即∠BC 1C=．在Rt△BC 1C 中，BC=CC 1tan∠BC 1C=6× =2 ，从而S △ABC = =3 ，因此该三棱柱的体积为V=S △ABC ×AA 1=3×6=18．【解析】23.因为 CC 1∥AA 1 ． 根据异面直线所成角的定义得∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，从而∠BC 1C= π6 ．在Rt△BC 1C 中，求得BC ，从而求出S △ABC ， 最后利用柱体的答案第10页，总14页…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○24.解：如图，设矩形为EBFP ，FP 长为x 米，其中0＜x ＜40， 健身房占地面积为y 平方米．因为△CFP∽△CBA， 以，，求得BF=50﹣，从而y=BF•FP=（50﹣ ）•x=﹣=﹣≤500．当且仅当x=20时，等号成立．答：该健身房的最大占地面积为500平方米．【解析】24.设出矩形的边FP 的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．【考点精析】通过灵活运用二次函数在闭区间上的最值，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．25.解：当n≥2时，=﹣2n+2，且a 1=S 1=0，所以a n =﹣2n+2．因为 = ，所以数列{b n }是首项为1、公比为 的无穷等比数列．故 = = ．【解析】25.先由S n 求出a n ， 进而得到b n ， 由b n 的表达式可判断数列{b n }是无穷等比数列，从而可得答案．线…………○…线…………○…【考点精析】通过灵活运用等差数列的前n 项和公式和数列的前n 项和，掌握前n 项和公式：；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系即可以解答此题．26.（1）解：设椭圆C 的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ．根据题意知 {a =2b a 2−b 2=1，解得 a 2=43 ， b 2=13 故椭圆C 的方程为 3x 24+3y 2=1 ．（2）解：由2b=2，得b=1，所以a 2=b 2+c 2=2，得椭圆C的方程为 x 22+y 2=1 ．当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）． 由 {y =k(x −1)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1 ，F 1P →=(x 1+1,y 1),F 1Q →=(x 2+1,y 2)因为 F 1P →⊥F 1Q →，所以 F 1P →⋅F 1Q →=0 ，即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+k 2(x 1−1)(x 2−1)= (k 2+1)x 1x 2−(k 2−1)(x 1+x 2)+k 2+1 = (k 2+1)2(k 2−1)2k 2+1−(k 2−1)4k 22k 2+1+k 2+1=7k 2−12k 2+1=0 ，解得 k 2=17 ，即k= ±√77．故直线l 的方程为 x +√7y −1=0 或 x −√7y −1=0 ．【解析】26.（1）由△F 1B 1B 2为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合a 2=b 2+c 2可求a 2 ， b 2 ， 则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F 2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 F 1P →⊥F 1Q →转化为数量积等于0，代入坐标答案第12页，总14页…线…………○…线…………○【考点精析】本题主要考查了一般式方程和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：才能正确解答此题． 27.（1）解：设动点P 的坐标为（x ，y ），点A 的坐标为（x A ，y A ），则 AP →=(x −x A ,y −y A ) ，因为F 的坐标为（1，0），所以 FA →=(x A −1,y A ) ， 由 AP →=−2FA →，得（x ﹣x A ，y ﹣y A ）=﹣2（x A ﹣1，y A ）． 即 {x −x A =−2(x A −1)y −y A =−2y A，解得 {x A =2−xy A =−y代入y 2=4x ，得到动点P 的轨迹方程为y 2=8﹣4x ．（2）解：设点Q 的坐标为（t ，0）．点Q 关于直线y=2x 的对称点为Q ′（x ，y ），则 {yx−t =−12y2=x +t，解得 {x =−35t y =45t．若Q ′在C 上，将Q ′的坐标代入y 2=4x ，得4t 2+15t=0，即t=0或 t =−154．所以存在满足题意的点Q ，其坐标为（0，0）和（ −154,0 ）．【解析】27.（1）设出动点P 和A 的坐标，求出抛物线焦点F 的坐标，由 AP →=−2FA →得出P 点和A 点的关系，由代入法求动点P 的轨迹方程；（2）设出点Q 的坐标，在设出其关于直线y=2x 的对称点Q ′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x 上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q ′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q 点的坐标． 28.（1）解：设A （0，t ）（t ＞0），根据题意，x n =2n ﹣1． 由 θ3=arctan 13 ，知 tanθ3=13，而tanθ3=tan （∠OAP 4﹣∠OAP 3）= x 4t−x 3t 1+x 4t ⋅x 3t= 4t t 2+32 ，所以 4tt 2+32=13 ，解得t=4或t=8．故点A 的坐标为（0，4）或（0，8）．…………○…………订…：___________班级：___________考号：…………○…………订…（2）解：由题意，点P n 的坐标为（2n ﹣1，0），tan∠OAP n = n−18√2 ．∴tanθn =tan （∠OAP n+1﹣∠OAP n ）= 2n 8√2−2n−18√21+n 8√2⋅n−18√2= 16√22n +2n 8√2 ． 因为 16√22n +n8√2 ≥ 2√2 ，所以tanθn ≤ 2√2 = √24 ，当且仅当 16√22n=n82，即n=4时等号成立．∵0＜θn ＜ π2 ，y=tanx 在（0， π2 ）上为增函数， ∴当n=4时，θn 最大，其最大值为 arctan√24．【解析】28.（1）利用{x n } 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A 的坐标；（2）表示出tanθn =tan （∠OAP n+1﹣∠OAP n ），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．【考点精析】关于本题考查的基本不等式和两角和与差的正切公式，需要了解基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；两角和与差的正切公式：才能得出正确答案． 29.（1）解：平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x 3﹣3x ， 由于函数y=x 3﹣3x 是奇函数，由题设真命题知，函数g （x ）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．（2）解：设h （x ）= log 22x4−x 的对称中心为P （a ，b ）， 由题设知函数h （x+a ）﹣b 是奇函数．设f （x ）=h （x+a ）﹣b ，则f （x ）= log 22(x+a)4−(x+a) ﹣b ， 即f （x ）= log 22x+2a4−x−a −b ．由不等式 2x+2a4−x−a >0 的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a ）=0，得a=2． 此时f （x ）= log 22(x+a)4−(x+a) ﹣b ，x∈（﹣2，2）． 任取x∈（﹣2，2），由f （﹣x ）+f （x ）=0，得b=1，所以函数h （x ）= log 22x 图象对称中心的坐标是（2，1）．答案第14页，总14页（3）解：此命题是假命题．举反例说明：函数f （x ）=x 的图象关于直线y=﹣x 成轴对称图象，但是对任意实数a 和b ，函数y=f （x+a ）﹣b ，即y=x+a ﹣b 总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f （x ）的图象关于直线x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f （x+a ）是偶函数”．【解析】29.（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x 3﹣3x ，由于函数y=x 3﹣3x 是奇函数，利用题设真命题知，函数g （x ）图象对称中心．（2）设h （x ）= log 22x4−x 的对称中心为P （a ，b ），由题设知函数h （x+a ）﹣b 是奇函数，从而求出a ，b 的值，即可得出图象对称中心的坐标．（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f （x ）=x 的图象关于直线y=﹣x 成轴对称图象，但是对任意实数a 和b ，函数y=f （x+a ）﹣b ，即y=x+a ﹣b 总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f （x ）的图象关于直线x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f （x+a ）是偶函数”．【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较．。
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2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。
若//a b ，则实数 k =6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为D 1C 1B 1A 1D C AB二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a b d c(B)a cb d(C)a db c(D)b a d c14.设-1()f x为函数()f x =）(A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -= 15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-，(B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（ ）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
25.（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积。
[解]26（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B ∠为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。
[解]B 1A 1C 1ACBAB C27．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-+，数列{}n b 满足2na nb =，求12lim n n b b b →∞+++ （）。
[解]28.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。
已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、 （1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程。
[解]（1）（2）29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知抛物线2 4C y x =： 的焦点为F 。
（1）点 A P 、满足2AP FA =-。
当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程； （2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。
[解]（1）（2）30.（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。
在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP θ+∠=，n N *∈。
（1）若31arctan3θ=，求点A 的坐标； （2）若点A的坐标为(0，求n θ的最大值及相应n 的值。
[解]（1）31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。
已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”。
（1）将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”。
判断该命题的真假。
如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。
[解]（1）（2）2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案 一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。
1．(2,)-+∞ 2 . 3 3. 2x =- 4. 2π 5. 34- 6. 5 7.8. 7 9. 3π 10. 45 11. 25766n n - 12. 4836三．（第25至31题） 25.[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角，即1BC C ∠=6π。
在Rt 1BC C ∆中，11tan 63BC CC BC C =⋅∠=⨯=, 从而2ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==26.[解]如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中040x <<， 健身房占地面积为y 平方米。
因为CFP ∆∽CBA ∆， 以FP CF BA CB =，504050x BF -=,求得5504BF x =-， 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤，当且仅当20x =时，等号成立。
答：该健身房的最大占地面积为500平方米。
27.[解]当2n ≥时，221(1)(1)22n n n a s s n n n n n -=-=-++---=-+。
且110a s ==，所以n a =22n -+。
因为22112()4n n n b -+-==，所以数列{}n b 是首项为1、公比为14的无穷等比数列。
AB CF PE故12lim n n b b b →∞+++ （）141314==-。
28[解]（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>。
根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩， 解得243a =，213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=。
（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=。
当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。
由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=。
设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ，所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+， 解得217k =，即7k =±。
故直线l的方程为10x -=或10x -=。
29.（1）设动点P 的坐标为( )x y ，，点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，，所以(1 )A A FA x y =-，，由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，。