指数函数对数函数应用题

与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等.

一、人口问题

例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）.

二、增长率问题

例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.）

例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.

三、环保问题

例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1

4

，已知到今

年为止，森林剩余面积为原来的

2

. ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？

四、物理问题

例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则

经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝2

1

（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h

t )2

1(（T 0

－T a ）．

现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο

105F 需20分钟，问欲降到ο

95F 需多少时间？

例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx

ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.

1.分析：本题是一关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过本题可以让学生了解控制人口的现实意义.

解：⑴1年后该城市人口总数为：100100 1.2%100(1 1.2%)y =+⨯=⨯+ 2年后该城市人口总数为：

100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯2

100(1 1.2%)=⨯+ 3年后该城市人口总数为：

22100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯3100(1 1.2%)=⨯+

……

x 年后该城市人口总数为x

y %)2.11(100+⨯=； ⑵10年后该城市人口总数为： 10

10100(1 1.2%)100 1.012112.7()y =⨯+=⨯=万人

⑶设x 年后该城市人口将达到120万人，即 ,120%)2.11(100=+⨯x

20.1log 100

120

log 012.1012

.1==x )(15年≈ 引申：如果20年后该城市人口总数不超过120万人年自然增长率应该控制在多少？ 设年自然增长率为x ，依题意有：20

)1(100x +⨯≤120，

由此有20

)1(x +≤1.20，可算得：x ≤0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内.

评注：此问题反映了控制人口的现实意义.一般认为，世界人口超过地球极限人口一半时，世界人口便进入了缓慢的增长期.地球的极限人口大约为100亿，1987年7月11日世界人口达到50亿，为了引起国际社会对人口问题更深切的关注，联合国人口基金决定从1988年起把每年的7月11日定为“世界人口日”.人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战，因而人口问题也是近年高考的热点问题之一，此问题常以指数函数、等比数列形式来考查.

2分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，即复利问题可同指数函数相联系. 解：1期后的本利之和为：)1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后的本利之和为：2

2)1(r a y += …… ∴x 期后的本利之和为：x r a y )1(+=

将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式： 5

5

0225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y 可算得：y = 1117.68（元）

评注：增长率问题是当前的经济生活中的热点问题，年利率就是一种增长率.本题主要是理解、推导、掌握复利公式.

分析：此问题的关键是恰当引入变量，正确理解数量关系，准确转换为数学表达式.

3解：设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M （1＋4%），人口量为M （1＋1.2%），

则人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)

M M ++，

经过2年后，人均占有粮食为：2

20000360(14)(1 1.2)

M M ++ …

经过x 年后，人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)x x

M M ++，

即所求函数为：(1.04)360(1.012)

x

x

y =. 评注：本题为指数函数在实际生活中的应用，现实生活中，有许多问题都可以归结为指数函数问题加以解决，解题时的关键是由题意建立函数模型.