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指数函数对数函数应用题

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中职物理指数函数与对数函数测试题

中职物理指数函数与对数函数测试题

中职物理指数函数与对数函数测试题一、选择题1.指数函数与对数函数是下列哪一组函数关系？（）A.反功能关系B.反比例关系C.正比例关系D.互为逆运算关系2.根据以下函数对应关系，选择出指数函数的图象，可以是直线方程的是（）A.$y=2^x$B.$y=\log_2 x$C.$y=2x$D.$y=\frac{1}{2^x}$3.下列函数中，属于对数函数的是（）A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\log_2 x$D.$y=3x+2$4.下列哪组函数中，属于指数函数的一对反函数？（）A.$y=10^x$和$y=\log_{10} x$B.$y=e^x$和$y=\ln x$C.$y=2^x$和$y=\log_2 x$D.$y=\frac{1}{2^x}$和$y=\log_{\frac{1}{2}} x$二、解答题1.写出指数函数与对数函数的定义，并说明它们的特点。

2.利用对数函数的特性，求解以下方程：$$2^x=8$$3.已知指数函数$y=2^x$，试回答以下问题：（1）$x=0$时，$y=\square$（2）当$x$取什么值时，$y=8$？三、计算题1.计算以下函数的值：（1）$y=2^3$（2）$y=\log_2 16$2.已知指数函数$y=2^x$和对数函数$y=\log_2 x$，求解以下方程：（1）$2^x=\frac{1}{4}$（2）$x=\log_2 64$四、应用题1.小明在银行存了6000元，按年利率4.2%计算，如果按复利方式，求5年后他的本息和。

2.某商品的初始价格为500元，假设每年下降10%，求经过多少年后商品的价格将降到400元以下？五、拓展题1.用函数的定义求解以下方程：$$2^{2x}=\frac{1}{16}$$2.设$y=f(x)$为指数函数，且$f(2)=4$，$f(3)=8$，求$f(4)$。

3.用指数函数的性质计算以下函数的极限：$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+3}$$4.用对数函数的性质计算以下函数的极限：$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(2+x)}{x}$$5.简单介绍一下指数函数与对数函数在生活中的应用。

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题1（一）1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、解方程：23log 1log 66-=x .4、解方程：9-x －2×31-x =27.5、解方程：x )81(=128.6、解方程：5x+1=123-x .7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x xa ,g(x)=522-+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2＋b1的值.16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=117、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=018、解指数方程：24x+1－17×4x +8=019、解指数方程：22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程：01433214111=+⨯------x x21、解指数方程：042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程：log2(x－1)=log2(2x+1)23、解对数方程：log2(x2－5x－2)=224、解对数方程：log16x+log4x+log2x=725、解对数方程：log2[1+log3(1+4log3x)]=126、解指数方程：6x－3×2x－2×3x+6=027、解对数方程：lg(2x－1)2－lg(x－3)2=228、解对数方程：lg(y－1)－lgy=lg(2y－2)－lg(y+2)29、解对数方程：lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程：lg2x+3lgx－4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉 1、12、解：原方程为lg 2(x ＋10)－3lg(x ＋10)－4=0,∴[lg(x ＋10)－4][lg(x ＋10)＋1]=0.由lg(x ＋10)=4,得x ＋10=10000,∴x=9990.由lg(x ＋10)=－1,得x ＋10=0.1,∴x=－9.9.检验知： x=9990和－9.9都是原方程的解.3、 解：原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=－2. 经检验,x=2是原方程的解, x=－2不合题意,舍去.4、解：原方程为2)3(x -－6×3-x －27=0,∴(3-x ＋3)(3-x －9)=0. ∵3-x ＋3≠0,∴由3-x －9=0得3-x =32.故x=－2是原方程的解.5、解：原方程为x 32-=27,∴-3x=7，故x=－37为原方程的解.6、解：方程两边取常用对数,得：(x ＋1)lg5=(x 2－1)lg3,(x ＋1)[lg5－(x －1)lg3]=0. ∴x ＋1=0或lg5－(x －1)lg3=0.故原方程的解为x 1=－1或x 2=1＋5log 3.7、18、(1)1；(2)459、函数的定义域应满足：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0＜x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0＜x ≤54且x ≠21}.10、由已知，得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=aa 23- 于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、若a ＞1,则x ＜2或x ＞3;若0＜a ＜1,则2＜x ＜312、(1)(－∞,0)∪(0,＋∞);(2)是偶函数;(3)略.13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62, 于是a 2＋b1=log 63＋log 62=log 66=1.16、x=217、x=018、x=－21或x=2319、x=±120、x=3721、x=2322、x ∈φ23、x=－1或x=624、x=1625、 x=326、x=127、 x=829或x=123128、y=229、x=－1或x=730、x=10或x=10－4指数函数对数函数计算题21、解对数方程：65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程：2log 4x+2log x 4=53、解对数方程：3log x 3+3log 27x=44、解对数方程：log 7(log 3x)=－15、解指数方程：4x +4-x －2x －2-x =06、解指数方程：9x +6x －3x+2－9×2x =07、解指数方程：2x+2－2-x +3=08、解指数方程：2x+1－3×2-x +5=09、解指数方程：5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程：26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程：4x －3·2x+3－432=0.12、解对数方程：lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程：log (x－1)(2x 2－5x －3)=214、解对数方程：(0.4)1lg 2-x =(6.25)2－lgx15、解对数方程：x x 323log log52⋅=40016、解对数方程：log 2(9－2x )=3－x17、解对数方程：101gx+1=471+gx x18、解对数方程：log 2(2x －1)·log 2(2x+1－2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算：(1)log 622+log 63·log 62+log 63;(2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算：(1)29)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;(2)[(1－log 63)2+log 62·log 618]·log 46.22、已知：log 23=a,3b =7.求：log 4256.23、已知：log 89=a,log 25=b,求：lg2,lg3,lg5.24、已知：log 189=a,18b =5,求：log 3645.25、已知：12a =27,求：log 616.26、计算：(1)3log 422+; (2)b a a log 31.27、计算：(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算：.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1－2x)和f(x ＋a)(a ＞0)的定义域.30、若函数f(x ＋1)的定义域是[－2,3),求函数f(x1＋2)的定义域.指数函数对数函数计算题2〈答案〉 1、x=10或x=105122、x=2或x=163、x=3或x=274、 x=735、x=06、x=27、x=－28、x=－19、x=410、x=－1或x=511、x=2+2log 2312、x=log 253或x=log 25213、x=414、x=10或x=10315、x=916、x=0或x=317、x=10－4或x=1018、x=log 245或x=log 2319、a ＜0且a ≠－1时,x=0;a ＞0且a ≠21,x=3a;a=0或a=－1或a=21时,无解20、(1)1 (2)321、(1)3 (2)122、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb +124、log 3645=ab a -+225、log 616=aa +-341226、 (1)48 (2)3b27、(1)3 (2)230428、29、{x|0≤x ≤21},{x|－a ≤x ≤1－a}.30、{x|x ＜－31或x ＞21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1＋x)＋lg(1－x)(－21＜x ＜0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.3、若抛物线y=x 2log 2a ＋2xlog a 2＋8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数f(x)=(log a b)x 2＋2(log b a)x ＋8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知f(x)=log a |log a x|(0＜a ＜1).解不等式f(x)＞0.判断f(x)在(1,＋∞)上的单调性,并证明之.6、计算：2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程：2lg +x x =1000.9、解方程：6(4x －9x )－5×6x =0.10、解方程：1lg )7(lg 4110++=x x x.11、解方程：log x+2(4x ＋5)－01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.13、已知2lg 2y x -=lgx ＋lgy,求yx 的值.14、已知log a (x 2＋1)＋log a (y 2＋4)=log a 8＋log a x ＋log a y(a ＞0,a ≠1),求log 8(xy)的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x =4y =6z ,(1)求证：yx z 2111=-;(2)比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数f(x)=1＋log x 3,g(x)=2log x 2(x ＞0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a ＞0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域；(2)当a ＞1时,求证f(x)在[a,＋∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围：(1)log 1＋a (1－a)＜1;(2)|lg(1－a)|＞|lg(1＋a)|.20、解方程：9x ＋4x =25·6x .21、解方程：92x－1=4x22、解方程：x⎪⎭⎫ ⎝⎛271=91－x .23、解方程：9x －2·3x＋1－27=0.24、已知函数f(x)=bx b x a-+log (a ＞0,b ＞0且a ≠1). (1)求f(x) 的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性;(4)求f(x)的反函数f －1(x).25、已知函数f(x)=)2(log 221x x -.(1)求它的单调区间;(2)求f(x)为增函数时的反函数.26、已知函数f(x)=21-x a满足f(lga)=10,求实数a 的值．27、解关于x 的方程：lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程：log 0.5x 2－25.03log x x=4log 35.x o .29、解方程：5)(1log 5=-x x .30、解方程：3·16x ＋36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3 〈答案〉 1、f －1(x)=－x 101-(lg 43＜x ＜0)2、 考虑y x4log =21-log 42y －log 4y,当x=21,y=41时,u max =2.3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2＜a＜＋∞4、a ＞1,b ＞a 或0＜a ＜1,0＜b ＜a .5、(1)a ＜x ＜a 1且x ≠1;(2)f(x)在(1,＋∞)上是减函数.6、4217、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ，x －1＞0，∴x ＞1(x －1)2=3－1，∴x=1+28、解：原方程为(lgx ＋2)lgx=3,∴lg 2x ＋2lgx －3=0,设y=lgx,则有y 2＋2y －3=0,∴y 1=1,y 2=－3.由lgx=1,得x=10,由lgx=－3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解.9、x=－110、x=10或x=0.000111、x=112、3413、3＋2214、利用运算法则,得(xy －2)2＋(2x －y)2=0∴log s (xy)=3115、(1)略;(2)3x ＜4y ＜6z16、令所求式为t,两边取对数,得原式=1417、当0＜x ＜1或x ＞34时,f(x)＞g(x);当1＜x ＜34时,f(x)＜g(x);当x=34时,f(x)=g(x).18、(1)当0＜a ＜1时,0＜x ≤a;当a ＞1时,x ≥a.(2)设a ≤x 1≤x 2,则f(x 1)－f(x 2)=1log 1log 21---x x a a =1log 1log log 2121-+-x x x x a a a＜0.19、(1)－1＜a ＜0或0＜a ＜1;(2)0＜a ＜120、方程即为2·32x －5·3x ·2x ＋2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx . 令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2－5y ＋2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=－223log .21、 由题意可得x229⎪⎭⎫ ⎝⎛=9,∴2x=9log 29,故x=219log 29.22、方程即为3－3x =32－2x ,∴－3x=2－2x,故x=－2.23、令y=3x ＞0,则原方程可化为y 2－6y －27=0,由此得y=9(另一解y=－3舍去).从而由3x =9解得x=2.24、(1)(－∞,－b)∪(b,＋∞)；(2)奇函数；(3)当0＜a ＜1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是增函数;当a ＞1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是减函数;(4)略。

指数函数与对数函数的应用题

指数函数与对数函数的应用题

指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。

应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。

假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。

由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。

应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。

已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。

解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。

应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。

假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。

求解该国货币的贬值率。

解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。

设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。

指数函数对数函数专练习题含答案-V1

指数函数对数函数专练习题含答案-V1

指数函数对数函数专练习题含答案-V1
本篇文章将针对指数函数和对数函数的专练习题含答案做重新整理，主要分为以下几个部分：
一、指数函数部分练习题
1、简单的指数函数练习题
如：化简y=2^x+2^x
解答：y=2^x+2^x=2*2^x=2^(x+1)
2、指数函数的性质
如：已知y=2^x，求y在x=3处的切线方程
解答：y'=ln2*2^x，当x=3时，y'=ln2*2^3=8ln2
切线方程：y-2^3=8ln2(x-3)，即y=8ln2x-16ln2
3、指数函数与对数函数的综合练习
如：已知y=log2x，求y=2^x的解
解答：当y=log2x时，x=2^y
将x=2^y带入y=2^x，得到：y=2^(2^y)
令f(x)=2^x-x，则f'(x)=ln2*2^x-1>0，所以f(x)单增
故f(x)=0的解唯一，即y=2^x的解唯一，即y=log2(2^y)
二、对数函数练习题
1、简单的对数函数练习题
如：化简y=log(a^2b^3/(ab)^2)
解答：y=log(a^2b^3)-log(a^2b^2)=logb
2、对数函数的性质
如：已知y=logax，z=logbx，求y和z的关系式
解答：由对数函数的换底公式，可得y=logbx/logba，z=logbx
式中，x>0，且a、b均大于0且不等于1
3、对数函数与指数函数的综合练习
如：已知y=log2x，求y=2^x的解
解答：将x=2^y带入y=log2x，得到y=y*log2(2)，
即y=0或y=1，因此，x=1或x=2
以上是指数函数和对数函数中的一些练习题，希望对大家的学习有所帮助。

(完整版)指数函数对数函数专练习题(含答案).docx

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指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是 ，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是 ，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析： 数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析： 当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝ ，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析： 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析： 如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解： 要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ － ，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解： 令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝ ，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝ ，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解： 法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ， 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（ ）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ ）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10， 上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（ ）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．50,3⎛⎫⎪C ．()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知，2350x x ->，即(35)0x x ->，所以0x <或53x >.故选：C.2．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪D ．()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增，∴()327x f x x =+-在R 上单调递增；又()12f =-，327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，故选：B.3．（23-24高一上·云南昆明·期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为23 1.65x y -=⨯．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：671.6520.2,1.6533.3≈≈）（）A ．水华面积占比每月增长率为1.65B ．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到60%左右C ．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D ．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ，由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长，故A 错误；对于B ，当8x =时，8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈，故B 正确；对于C ，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C 错误；对于D ，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D 错误.故选：B.4．（23-24高一上·云南昭通·期末）()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，幂函数()g x 过点M ，则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+，令11x -=，得2x =，()124f =，则()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()g x x α=，则124α=，即2α=-，即()2g x x -=，∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A6．（23-24高一上·云南·期末）若()21()ln 1||f x x x =+-，设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大，即()0,x ∈+∞，()21()ln 1||f x x x =+-单调递增，因为()()33a f f =-=，()0.3(ln2),2b f c f ==，且00.3112222=<<=，0ln2lne 1<<=，所以0.3ln 223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即b c a <<，也就是a c b >>.故选：D7．（23-24高一下·云南·期末）设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,2B ．(2,3]C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=，解得()2f x =或()f x a =，函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，函数值的集合为(2,3]，在(0,1]上单调递减，函数值的集合为[0,)+∞，在[1,)+∞上单调递增，函数值的集合为[0,)+∞，在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点，由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，此时23a <≤，所以实数a 的取值范围是(2,3].故选：B8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若()12:lo g 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=，则012a <-<，解得13a <<；对于1:39a q -<，则12a -<，解得3a <；因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知函数()()2ln 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -=-<，此时()()2ln 2f x x x =-无意义，故A 错误；对于B ，由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞，满足()[)0,1,+∞⊆-+∞，所以函数()f x 的值域是R ，故B 正确；对于C ，由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦，且定义域为()(),02,-∞+∞ ，它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-，即函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D ，由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故D 错误.故选：BC.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则下列结论中正确的是（）A ．122x x +=-B ．1204x x <<C ．()41,4x ∈D ．342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知，12()224x x +=⨯=--，故A 项错误；对于选项B ，因120x x <<，由上述分析知124x x +=-，则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=，因12x x ≠，故有1204x x <<，即B 项正确；对于选项C ，如图，因0x ≤时，2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤，0x >时，2()|log |f x x =，依题意须使20|log |2x <<，由2|log |0x >得1x ≠，由2|log |2x <解得：144x <<，故有3411,144x x <<<<，即C项正确；对于选项D ，由图知2324log log x x -=，可得341x x =，故431x x =，则343322x x x x ++=，3114x <<，不妨设21,(,1)4y x x x =+∈，显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减，故23334x x <+<，即342x x +的取值范围是(333,4)，故D 项错误.故选：BC.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数()ln f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈B ．对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C ．对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()1212f x f x x x ->-D ．对12,0x x ∀>，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项，由于1y x =在R 上单调递增，2ln y x =在()0,∞+上单调递增，故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，故由零点存在性定理可得，方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈，A 正确；B 选项，()ln f xy xy xy =+，()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++，显然,0x y ∀>，由于xy 与x y +不一定相等，故()()f x f y +与()f xy 不一定相等，B 错误；C 选项，由A 选项可知，()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()12120f x f x x x ->-，C 正确；D 选项，12,0x x ∀>，均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+，由于12122x x x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立，故1212ln ln 2x x x x +≥，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AC 三、填空题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,513．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数()ln(1)f x x =+，2()g x x a =-+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时，()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为：(0,).+∞14．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ，则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ，若10M 是10位数，则M 的值为.（参考数据：0.9 1.1107.94,1012.56≈≈）【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<，两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<，即910lg 10M ≤<，所以0.9lg 1M ≤<，即0.91010M ≤<，又M 为正整数，所以8M =或9M =.故答案为：8或9四、解答题15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.16．（23-24高一上·云南昭通·期末）化简求值：(1)()13103420.027π4160.49--++；(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】（1）()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=；（2）ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17．（23-24高一上·云南·期末）已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数．(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性；(2)若对于任意t ∈R ，不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =，证明见解析(2)3k <-【详解】（1）因为()f x 是奇函数，函数的定义域为R ，所以(0)0f =，所以1033m-=+，所以1m =，经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <，则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数，故12()()0f x f x ->．所以()f x 在R 上是单调减函数（2）由（1）知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因为()f x 是奇函数，所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2262t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2360t t k -->，从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-．所以k 的取值范围是3k <-．18．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （0a >且1a ≠）．(1)讨论()f x 的单调性（不需证明）；(2)若2a =，（ⅰ）解不等式3()2≤f x x；（ⅱ）若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-，求t 的值．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）(](],10,1-∞-⋃；（ⅱ）2t =-或2t =【详解】（1）若1a >，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增；若01a <<，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减．（2）（ⅰ）3()2≤f x x ，即132()022xx x --≤，设13()2()22xx g x x=--，则(1)0g =，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，当0x >时，()g x 单调递增，由()(1)g x g ≤，解得01x <≤，根据奇函数的性质，当0x <时，()(1)g x g ≤的解为1x ≤-，综上所述，3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃．（ⅱ）2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-，令22x x m --=，因为[]1,1x ∈-，则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()()22g x h m m tm ==++，其图象为开口向上，对称轴为m t=-的抛物线，①当32t -≤-，即32t ≥时，min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-，解得2t =．②当3322t -<-<，即3322t -<<时，222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-，解得1152t =，2152t =-矛盾．③当32t -≥，即32t ≤-时，min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-，解得2t =-．综上所述，2t =-或2t =．19．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数()e (0)x f x mx m =-<．(1)求(1)f -和(0)f 的值，判断()f x 的单调性并用定义加以证明；(2)设0x 是函数()f x 的一个零点，当1em <-时，()02f x k >，求整数k 的最大值．【答案】(1)1(1)e f m --=+，(0)1f =，()f x 在定义域R 上单调递增，证明见解析，(2)整数k 的最大值为1-【详解】（1）1(1)e f m --=+，(0)1f =，判断()f x 在定义域R 上单调递增，证明如下：在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---，因为12x x <，0m <，所以12e e x x <，120x x -<，0m ->，所以12e e 0x x -<，12()0m x x --<，所以1212(e e )()0x x m x x ---<，即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()f x 在定义域R 上单调递增．（2）由题意得0()0f x =，即00e 0x mx -=，1em <-，则10e m +<，即0(1)0()f f x -<=，由()f x 是R 上的增函数，所以01x -<，又0(0)10()f f x =>=，所以010x -<<，0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-，令01e (ext =∈,1)，则22()2(1)1g t t t t =-=--，所以()g t 在1(e ,1)上单调递减，所以()()11g t g >=-，即0(2)1f x >-，当1em <-时，0(2)f x k >，所以1k ≤-，所以整数k 的最大值为1-．。

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习1 设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a2 函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是[ ]3.设525bm ==，且112a b +=，则m =[ ]（A （B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a=3log 2,b=In2,c=125-,则[ ]A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<b D . c<b<a 5 .已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是[ ] (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 6.函数()()2log 31x f x =+的值域为[ ]A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 [ ]（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 8. 函数y=log2x 的图象大致是[ ]PS(A) (B) (C) (D)8.设554a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c (D) b<a<c 9.已知函数 1()log (1),f x x =+若()1,f α= α=[ ](A)0(B)1(C)2(D)310.函数y =的值域是[ ]（A ）[0,+∞） (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 11.若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12.下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<13.若01x y <<<，则( )A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y<14.已知01a <<，log log a a x =，1log 52a y =，log log a a z =，则（ ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>15.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a16.已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<< B ．101b a-<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<18. 已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.19.已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值；20.已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.指数函数与对数函数专项练习参考答案1）A【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数真题单选题1、设a=log2π，b=log6π，则（）A．a−b<0<ab B．ab<0<a−bC．0<ab<a−b D．0<a−b<ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x 3+x 2−2x −2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B3、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45； 由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.4、已知函数f (x )={a +a x ,x ≥03+(a −1)x,x <0(a >0 且a ≠1)，则“a ≥3”是“f (x )在R 上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 若f(x)在R 上单调递增， 则{a >1a −1>0a +1≥3 ， 所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出 “a ≥3”， 所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1， 令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b，又因为f(9)=9log910−10=0，所以a>0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x m−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（ ） A ．160B ．60C ．2003D ．320答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解. 解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12， 所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112，∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160， ∴log z m =60． 故选：B ．8、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.9、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0. 故选：B.填空题11、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1263所以答案是：2−1263﹒12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可. 由题设，可得：log 4x ≤log 4412，则0<x ≤412=2， ∴不等式解集为(0,2]. 所以答案是：(0,2].13、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可） 答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)． 分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．14、设函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0，若关于x 的方程f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______． 答案：(2√2,3)分析：作出函数f(x)的图象，令f(x)=t ，结合图象可得，方程t 2−at +2=0在(1,2]内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；作出函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0的大致图象，令f (x )=t ，因为f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解， 所以g (t )=t 2−at +2=0在区间(1,2]上有2个不同的实数解，∴{Δ=a 2−8>01<a2<2g (1)=3−a >0g (2)=6−2a ≥0 ， 解得2√2<a <3，∴实数a 的取值范围为(2√2,3)． 所以答案是：(2√2,3)．15、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______． 答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2 ，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题16、（1）计算：(1100)−12−√(1−√2)2−8×(√5−√3)0+816；（2）已知x +x −1=4，求x 12+x −12． 答案：（1）3；（2）x 12+x −12=√6.分析：（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案； （2）先判断出x >0，然后将x 12+x −12平方后结合条件求得答案. （1）原式=[(100)−1]−12−(√2−1)−8+(23)16，=10012−√2+1−8+212=10+1−8=3．（2）由于x +x−1=4>0，所以x >0，(x 12+x −12)2=x +x −1+2=6，所以x 12+x −12=√6．17、（1）证明对数换底公式：log b N =log a N log a b（其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0）（2）已知log 32=m ，试用m 表示log 3218. 答案：（1）证明见解析；（2）log 3218=2+m 5m.分析：（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. （1）设log b N =x ，写成指数式b x =N . 两边取以a 为底的对数，得xlog a b =log a N .因为b >0，b ≠1，log a b ≠0，因此上式两边可除以log a b ，得x =log a N log a b.所以，log b N =log a N log a b.（2）log 3218=log 318log 332=log 332+log 32log 325=2+log 325log 32=2+m 5m.小提示：本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. 18、已知函数f (x )＝a x −1a x +1(a ＞0，且a ≠1)． （1）若f (2)＝35，求f (x )解析式； （2）讨论f (x )奇偶性．答案：（1）f (x )=2x −12x +1；（2）奇函数．分析：（1）根据f (2)=35，求函数的解析式；（2）化简f (−x )，再判断函数的奇偶性. 解：（1）∵f (x )=a x −1a x +1，f (2)=35．即a 2−1a 2+1=35，∴a =2．即f (x )=2x −12x +1．（2）因为f (x )的定义域为R ，且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−f (x )，所以f (x )是奇函数．19、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S =x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，由题意得，x(50−2x)=300，解得x 1=15,x 2=10，∵50−2x ≤25，∴x ≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．。

对数与指数应用题

对数与指数应用题

对数与指数应用题对数与指数在数学中有着广泛的应用，涉及到各种各样的实际问题。

下面将通过几个应用题来展示对数与指数的具体应用。

1. 汽车行驶里程问题假设一辆汽车的每小时平均油耗量为1升，现在需要从A地行驶到B地，全程为1000公里，而汽车的油箱容量为50升。

问汽车能否一次性完成这段路程？解：首先我们可以计算汽车的最大行驶里程，即油箱容量除以每小时平均油耗量，即50升/1升 = 50小时。

因此汽车的最大行驶里程为50小时 * 60公里/小时 = 3000公里。

而实际需要行驶的里程为1000公里，可以采用对数来计算。

设x为行驶时间（小时），则有1^x = 1000，即x = log1(1000)。

根据对数的定义，log1(1000) = log(1000) / log(1) = 0。

因此汽车无法一次性完成这段1000公里的行程。

2. 指数增长问题某股票的价格每年增长10%，而最初的价格为100元。

问经过5年后这只股票的价格为多少？解：根据指数增长的计算公式，设t为年数，P为初始价格，r为增长率，则有P(t) = P * (1 + r)^t。

代入已知数据，即可计算出5年后的股票价格。

即P(5) = 100 * (1 + 0.1)^5 = 100 * 1.1^5 ≈ 161.05元。

3. 化学反应速率问题某一化学反应的速率与其反应物浓度之间满足反比例关系，即速率与浓度的关系可以表示为r = k / [A]，其中r为速率常数，k为比例常数，[A]为反应物浓度。

若反应物浓度为2mol/L时速率为0.05mol/L·min，求当反应物浓度为4mol/L时的速率是多少？解：根据题意可知，速率与浓度成反比例关系，即0.05 = k / 2，解得k = 0.1。

代入反应物浓度为4mol/L时可得到速率，即r = 0.1 / 4 =0.025mol/L·min。

通过以上几个应用题的解答，展示了对数与指数在实际问题中的应用，对于数学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

高二数学指数函数与对数函数的应用题解析

高二数学指数函数与对数函数的应用题解析

高二数学指数函数与对数函数的应用题解析数学中的指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的内容，它们具有广泛的应用。

本文将对高二数学中的指数函数和对数函数进行应用题解析，以帮助同学们更好地理解和掌握这两个函数的应用。

一、指数函数的应用题解析指数函数常见的应用领域包括经济学、物理学、生物学等，本文以生物学中的一道应用题为例进行解析。

题目：某生物种群的数量N(t)随时间t的变化满足指数函数模型：N(t) = N0 * 2^(kt), 其中N0为初始数量，k为增长率，t为时间。

1. 已知初始种群数量为1000，增长率k为0.1，求t = 5时种群数量N(t)的值。

解析：将已知条件代入指数函数模型，得到N(5) = 1000 * 2^(0.1*5) = 1000 * 2^0.5 ≈ 1000 * 1.414 ≈ 1414。

因此，当t = 5时种群数量N(t)约为1414。

2. 若种群数量N(t)在t = 0时为1000，而在t = 5时增长到了2000，求增长率k的值。

解析：根据增长率的定义，将已知条件代入指数函数模型，得到2000 = 1000 * 2^(k*5)。

化简得2 = 2^5k，即1 = 5k。

因此，增长率k的值为1/5。

二、对数函数的应用题解析对数函数也有很多实际应用，比如在金融学、信息学等领域中常见的问题。

本文以金融学中的一道应用题为例进行解析。

题目：某项投资的价值V(t)随时间t的变化满足对数函数模型：V(t) = V0 + k * log(t)，其中V0为初始价值，k为增长系数，t为时间。

1. 已知初始价值为5000，增长系数k为1000，求t = 100时投资的价值V(t)的值。

解析：将已知条件代入对数函数模型，得到V(100) = 5000 + 1000 * log(100) ≈ 5000 + 1000 * 2 ≈ 7000。

因此，当t = 100时投资的价值V(t)约为7000。

2. 若投资的价值V(t)在t = 1时为5000，而在t = 100时增长到了7000，求增长系数k的值。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（ ）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.7、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（ ）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)， 则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（ ） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确； 对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立， 故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点， 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ， 因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2， 则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果． （2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果． （1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

指数函数对数函数应用题

指数函数对数函数应用题

与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等.一、人口问题例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）.二、增长率问题例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.）例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.三、环保问题例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2. ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？四、物理问题例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝ht )21(（T 0－T a ）．现有一杯 195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在 75F 的房间中，如果咖啡降温到105F 需20分钟，问欲降到95F 需多少时间？例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kxce y ，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.1.分析：本题是一关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过本题可以让学生了解控制人口的现实意义.解：⑴1年后该城市人口总数为：100100 1.2%100(1 1.2%)y =+⨯=⨯+ 2年后该城市人口总数为：100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯2100(1 1.2%)=⨯+ 3年后该城市人口总数为：22100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯3100(1 1.2%)=⨯+……x 年后该城市人口总数为xy %)2.11(100+⨯=； ⑵10年后该城市人口总数为： 1010100(1 1.2%)100 1.012112.7()y =⨯+=⨯=万人⑶设x 年后该城市人口将达到120万人，即 ,120%)2.11(100=+⨯x20.1log 100120log 012.1012.1==x )(15年≈ 引申：如果20年后该城市人口总数不超过120万人年自然增长率应该控制在多少？ 设年自然增长率为x ，依题意有：20)1(100x +⨯≤120，由此有20)1(x +≤1.20，可算得：x ≤0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内.评注：此问题反映了控制人口的现实意义.一般认为，世界人口超过地球极限人口一半时，世界人口便进入了缓慢的增长期.地球的极限人口大约为100亿，1987年7月11日世界人口达到50亿，为了引起国际社会对人口问题更深切的关注，联合国人口基金决定从1988年起把每年的7月11日定为“世界人口日”.人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战，因而人口问题也是近年高考的热点问题之一，此问题常以指数函数、等比数列形式来考查.2分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，即复利问题可同指数函数相联系. 解：1期后的本利之和为：)1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后的本利之和为：22)1(r a y += …… ∴x 期后的本利之和为：xr a y )1(+=将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式： 550225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y 可算得：y = 1117.68（元）评注：增长率问题是当前的经济生活中的热点问题，年利率就是一种增长率.本题主要是理解、推导、掌握复利公式.分析：此问题的关键是恰当引入变量，正确理解数量关系，准确转换为数学表达式.3解：设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M （1＋4%），人口量为M （1＋1.2%），则人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)M M ++，经过2年后，人均占有粮食为：220000360(14)(1 1.2)M M ++ …经过x 年后，人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)x xM M ++，即所求函数为：(1.04)360(1.012)xxy =. 评注：本题为指数函数在实际生活中的应用，现实生活中，有许多问题都可以归结为指数函数问题加以解决，解题时的关键是由题意建立函数模型.4分析：本题为对数在实际生活的应用问题，可由题意建立函数关系，利用对数求解即可. 解：设每年降低的百分比为x (01)x <<，⑴由1(1)2Ta x a ⋅-=，两边同取常用对数得，1lg(1)lg 2T x -=， 又设经过M年剩余面积为原来的2，则(1)2Ma x ⋅-=lg(1)lg 2M x ⇒-=，∴122T M ==，∴2T M =，即到今年为止已砍伐了2T 年.⑵设从今年开始以后再砍伐N 年，在N年后剩余面积为：(1)2N a x -，依题意，1(1)24N a x -≥，由⑴知，1(1)2Tx -=，∴111()2T x -=，∴11()224NT ≥ 即，3211()()22N T ≥，∴32N T ≤，32N T ≤，故今后至多还能砍伐32T 年.评注：本题为环保这一社会热点问题同指、对函数结合的典例.在今天社会各方面都十分关注环保的大背景下，无疑环保问题仍是高考命题的热点问题，此类问题多以二次函数、数列的形式考查.5分析：本题为利用数学知识解决物理问题的一典例，在解题时需读懂题意，分清量与量间的关系，从而正确建立函数关系.解：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即：T ＝h t )21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t)21(＝75＋120×h t )21(． 再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h20)21(，解得h ＝10． ∴T ＝75＋120×10)21(t ，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．评注：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，可利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．6分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式.解：将,1001.1,05⨯==y x 51090.0,1000⨯==y x 分别代入函数式kxce y =，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯kk cece 100050.51090.01001.1解之得541.01101.1510c k -⎧=⨯⎪⎨=-⨯⎪⎩ ∴函数式xe y 41015.151001.1-⨯-⨯⨯=将x =600代入上述函数式得：6001015.1541001.1⨯⨯--⨯⨯=ey 由计算器算得)(10943.05Pa y ⨯=答：在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa评注：此题为利用数学模型解决物理问题.一般情况下，解决此类问题解题步骤：由已知条件确定函数式；求对应的函数值；借助计算器进行比较复杂的运算.。

单招指数函数与对数函数复习题

单招指数函数与对数函数复习题

单招指数函数与对数函数复习题一、选择题1. 指数函数的基本形式是：A. y = a^xB. y = log_a(x)C. y = x^aD. y = a^x + b2. 对数函数的基本形式是：A. y = a^xB. y = log_a(x)C. y = x^aD. y = a^x + b3. 如果指数函数y = 2^x的图像向右平移2个单位，新的函数表达式是：A. y = 2^(x-2)B. y = 2^(x+2)C. y = 2^(x/2)D. y = 2^(2x)4. 对数函数y = log_2(x)的图像向上平移1个单位，新的函数表达式是：A. y = log_2(x) + 1B. y = log_2(x-1)C. y = log_2(x+1)D. y = log_2(x) - 15. 指数函数y = 3^x的增长速度比y = 2^x的增长速度：A. 更快B. 更慢C. 相同D. 无法比较二、填空题6. 指数函数y = a^x的图像在x轴的正半轴上是_________的。

7. 对数函数y = log_a(x)的图像在y轴的正半轴上是_________的。

8. 如果指数函数y = a^x经过点(1, b)，则a的值为_________。

9. 对数函数y = log_a(x)的底数a的取值范围是_________。

10. 对数函数y = log_a(x)的图像与x轴的交点是_________。

三、解答题11. 求函数y = 2^x的值域。

12. 求函数y = log_2(x)的定义域。

13. 证明指数函数y = a^x (a > 0, a ≠ 1)的图像总是单调的。

14. 证明对数函数y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)的图像总是单调的。

15. 解方程：2^x = 8。

四、应用题16. 某细菌的初始数量是100，如果每3小时数量翻倍，求12小时后细菌的总数。

17. 某公司的股票价格从100元开始，每年增长10%，求5年后的股票价格。

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析

高一数学指数函数和对数函数试题答案及解析1.已知求的值．【答案】2【解析】解析：由可得x＋x－1=7∴=……=18，故原式=2【考点】本题主要考查有理指数幂的运算。

点评：有理指数幂的运算，注意运用乘法公式，简化运算过程。

2.已知在上有，则是（）A．在上是增加的B．在上是减少的C．在上是增加的D．在上是减少的【答案】C【解析】因为在上有，所以。

又在是减函数，所以是在上是增加的，故选C。

【考点】本题主要考查指数函数对数函数的性质，复合函数的单调性。

点评：注意讨论对数的底数取值情况。

3.函数的定义域是。

【答案】【解析】由解得，故答案为【考点】本题主要考查对数函数的性质。

点评：简单题，注意利用对数的底数大于0且不等于1。

4.已知函数，(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性。

【答案】（1）；（2）为非奇非偶函数.【解析】（1）∵，∴，又由得，∴的定义域为。

（2）∵的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数。

【考点】本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数，函数的奇偶性。

点评：判断函数的奇偶性，其必要条件是定义域关于原点对称。

5.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=()x的图象可能是（）【答案】A【解析】首先由图可知，c=0.根据指数函数y=()x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴-＜0，可排除B与D选项C，a-b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C 不正确故选：A【考点】本题主要考查二次函数、指数函数的图象和性质。

点评：确定同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b 的正负情况是求解的关键。

6.函数在上的最大值与最小值的和为3，则．【答案】2;【解析】因为，指数函数是单调函数，所以函数在上的最大值与最小值在区间[0,1]端点处取到，=3，a=2.【考点】本题主要考查指数函数的图象和性质，指数不等式解法。

点评：指数函数是重要函数之一，其图象和性质要牢记。

指数函数与对数函数的性质练习题

指数函数与对数函数的性质练习题

指数函数与对数函数的性质练习题指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数类型之一。

它们具有一些特殊的性质和规律，需要我们通过练习题来深入理解和掌握。

本文将通过一系列的练习题来帮助读者加深对指数函数和对数函数的性质的认识。

练习题1：简答题1. 指数函数和对数函数的基本定义是什么？2. 指数函数和对数函数之间有何关系？练习题2：选择题1. 下列函数中，属于指数函数的是：A. y = x^2B. y = 2^xC. y = 1/xD. y = sin(x)2. 下列函数中，属于对数函数的是：A. y = sqrt(x)B. y = x^3C. y = log(x)D. y = e^x练习题3：计算题1. 计算指数函数 y = 2^x 在 x = 3 时的取值。

2. 计算对数函数 y = log2(x) 在 x = 8 时的取值。

练习题4：填空题1. 若指数函数 y = a^x 满足 a > 0 且a ≠ 1，那么指数函数的定义域为_______。

2. 若对数函数 y = loga(x) 满足 a > 0 且a ≠ 1，那么对数函数的定义域为 _______。

练习题5：应用题1. 一笔投资初始本金为 5000 元，年利率为 5%，按照复利计算，计算 10 年后本金的总额是多少？2. 某物质的衰减符合指数函数规律，经过 6 个小时，其剩余量为初始量的 25%，求该物质的衰减速度。

练习题6：解答题1. 指数函数 y = a^x 的图像上是否有对称轴？为什么？2. 对数函数 y = loga(x) 的图像上是否有对称轴？为什么？通过以上一系列的练习题，我们可以加深对指数函数和对数函数的性质的理解。

指数函数和对数函数在数学中应用广泛，不仅在代数、微积分等数学分支中有重要作用，也在自然科学等其他领域得到广泛应用。

希望读者通过练习题的学习，能够更好地掌握指数函数和对数函数的关键性质和应用。

指数函数和对数函数练习题

指数函数和对数函数练习题

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数函数和对数函数练习题地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数§2指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的 eq \f(m,n) 次幂，记作b＝；(2)正分数指数幂写成根式形式：＝ eq \r(n,am) (a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质(1)aman＝________(a>0)；(2)(am)n＝________(a>0)；(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；② eq \r(4,16) 的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时， eq \r(n,a) 对任意a∈R都有意义；④当n 为大于1的偶数时， eq \r(n,a) 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④2．若2<a<3，化简 eq \r(2－a2) ＋ eq \r(4,3－a4) 的结果是( )A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－13．在(－ eq \f(1,2) )－1、、、2－1中，最大的是( )A．(－ eq \f(1,2) )－1 B． C． D．2－14．化简 eq \r(3,a\r(a)) 的结果是( )A．a B． C．a2 D．5．下列各式成立的是( )A. eq \r(3,m2＋n2) ＝ B．( eq \f(b,a) )2＝C. eq \r(6,－32) ＝D. eq \r(\r(3,4)) ＝6．下列结论中，正确的个数是( )①当a<0时，＝a3；② eq \r(n,an) ＝|a|(n>0)；③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7. eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) ＋ eq \r(3,0.125) 的值为________．8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.三、解答题10．(1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1)) · eq \r(xy) ·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：＋ eq \f(－40,\r(2)) ＋ eq \f(1,\r(2)－1) － eq \r(1－\r(5)0) ·.11．设－3<x<3，求 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) 的值．12．化简：÷(1－2 eq \r(3,\f(b,a)) )× eq \r(3,a) .13．若x>0，y>0，且x－ eq \r(xy) －2y＝0，求 eq \f(2x－\r(xy),y ＋2\r(xy)) 的值．§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )A．－9 B. eq \f(1,9)C．－ eq \f(1,9) D．95．如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c6．函数y＝( eq \f(1,2) )x－2的图像必过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限二、填空题7．函数f(x)＝ax的图像经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图像不经过第二象限，则a，b必满足条件________．9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)和；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，回答下列问题．(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n轴)．(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a⊕b＝ eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a a≤b,b a>b)) ，则函数f(x)＝1⊕2x的图像是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．(1)求f(1)的值；(2)若f( eq \f(1,2) )>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．§3指数函数(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－ eq \r(2) )x 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则( )A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若( eq \f(1,2) )2a＋1<( eq \f(1,2) )3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．( eq \f(1,2) ，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞， eq \f(1,2) ) 5．设 eq \f(1,3) <( eq \f(1,3) )b<( eq \f(1,3) )a<1，则( ) A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．QP B．QPC．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝ eq \r(16－4x) 的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6 B．1 C．3 D. eq\f(3,2)4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－ eq \f(1,2) 的解集是________________．9．函数y＝的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－ eq \f(1,2) ， eq\f(1,2) ]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图像大致是( )13．已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) .(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f(x)在R上是增函数；(3)解不等式：0<f(x－2)< eq \f(15,17) .习题课1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.A．0 B．1 C．2 D．32．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A．1 B．0C．－1 D．无最大值4．将 eq \r(2\r(2)) 化成指数式为________．5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝( eq \f(1,2) )－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．6．已知＋＝3，求x＋ eq \f(1,x) 的值．一、选择题1．的值为( )A. eq \r(2) B．－ eq \r(2) C. eq\f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2)2．化简 eq \r(3,a－b3) ＋ eq \r(a－2b2) 的结果是( ) A．3b－2a B．2a－3bC．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，( eq \f(1,2) )x，(0.2)x之间的大小关系是( ) A．2x<(0.2)x<( eq \f(1,2) )x B．2x<( eq\f(1,2) )x<(0.2)xC．( eq \f(1,2) )x<(0.2)x<2xD．(0.2)x<( eq \f(1,2) )x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A. eq \f(1,8)B. eq\f(1,2)C．2 D．85．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝ eq \f(4x＋1,2x) 的图像( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：－(－ eq \f(1,4) )0＋160.75＋＝________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)( eq \r(2) )－1.2和( eq \r(2) )－1.4；(3)和；(4)π－2和( eq \f(1,3) )－1.311．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 eq \f(a,2) ，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝ eq \f(a,a2－1) (ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§4对数(一)1．对数的概念如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N叫做________．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，logeN简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝____.对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①② D．③④3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<44．方程＝ eq \f(1,4) 的解是( )A．x＝ eq \f(1,9) B．x＝ eq\f(\r(3),3)C．x＝ eq \r(3) D．x＝95．若loga eq \r(5,b) ＝c，则下列关系式中正确的是( )A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a6．的值为( )A．6 B. eq \f(7,2)C．8 D. eq \f(3,7)二、填空题7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则 eq \f(b,a) ＝________.三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝ eq \f(1,1 000) ；②0.53＝0.125；③( eq \r(2) －1)－1＝ eq \r(2) ＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．能力提升12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )A．15 B．75C．45 D．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：①log2x＝－ eq \f(2,5) ；②logx3＝－ eq \f(1,3) .(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：①log68；②log62；③log26.§4对数(二)1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)loga eq \f(M,N) ＝________；(3)logaMn＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a，b>0，a，b≠1，N>0)；特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogaxC. eq \f(logax,n) ＝loga eq \r(n,x)D. eq \f(logax,logay) ＝logax－logay2．计算：log916·log881的值为( )A．18 B. eq \f(1,18) C. eq \f(8,3) D. eq \f(3,8)3．若log5 eq \f(1,3) ·log36·log6x＝2，则x等于( )A．9 B. eq \f(1,9) C．25D. eq \f(1,25)4．已知3a＝5b＝A，若 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝2，则A等于( )A．15 B. eq \r(15) C．± eq \r(15)D．2255．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )A. eq \f(a,b－1)B. eq \f(3,2b－1)C. eq\f(3a,2b＋1) D. eq \f(3a－1,2b)6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg eq\f(a,b) )2的值等于( )A．2 B. eq \f(1,2) C．4 D. eq\f(1,4)二、填空题7．2log510＋log50.25＋( eq \r(3,25) － eq \r(125) )÷ eq\r(4,25) ＝______________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝ eq \f(2,3) lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg eq \f(1,2) －lg eq \f(5,8) ＋lg 12.5－log89·log34；(2)已知3a＝4b＝36，求 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) 的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )A．二 B．四C．五 D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 eq \f(1,3) ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质3.反函数对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．一、选择题1．函数y＝ eq \r(log2x－2) 的定义域是( )A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．设集合M＝{y|y＝( eq \f(1,2) )x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f(x)＝|log3x|的图像是( )5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x6．若loga eq \f(2,3) <1，则a的取值范围是( )A．(0， eq \f(2,3) ) B．( eq \f(2,3) ，＋∞) C．( eq \f(2,3) ，1) D．(0， eq \f(2,3) )∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数，则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x 的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a113．若不等式x2－logmx<0在(0， eq \f(1,2) )内恒成立，求实数m的取值范围．§5对数函数(二)1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值是( )A．5 B. eq \f(1,5)C. eq \f(1,e)D. eq \f(1,2)2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝ eq \r(x2) 和y＝( eq \r(x) )2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝logax2和y＝2logaxD．y＝x和y＝logaax3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )A．[ eq \f(1,2) ，1] B．[4,16]C．[ eq \f(1,16) ， eq \f(1,4) ] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________________________________________________________________________．一、选择题1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )A．[－1,1] B．[ eq \f(1,2) ，2]C．[1,2] D．[ eq \r(2) ，4]3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2) C．2 D．45．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )A．b B．－bC. eq \f(1,b) D．－ eq \f(1,b)6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )A．y＝x(x>0) B．y＝log3x(x>0)C．y＝log3x( eq \f(1,3) ≤x<1) D．y＝x( eq\f(1,3) ≤x<1)二、填空题7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．11．已知函数f(x)＝ eq \f(1－ax,x－1) 的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立．求实数m的取值范围．能力提升12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋ eq \f(1,2) )有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(0,1)∪(1， eq \r(2) ) C．(1， eq \r(2) ) D．[ eq \r(2) ，＋∞)13．已知logm4<logn4，比较m与n的大小．习题课1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A．m<n<p B．m<p<nC．p<m<n D．p<n<m2．已知0<a<1，logam<logan<0，则( )A．1<n<m B．1<m<n C．m<n<1 D．n<m<13．函数y＝ eq \r(x－1) ＋ eq \f(1,lg2－x) 的定义域是( ) A．(1,2) B．[1,4]C．[1,2) D．(1,2]4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>logeπ2．若log37·log29·log49m＝log4 eq \f(1,2) ，则m等于( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(\r(2),2)C. eq \r(2) D．43．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )A．0 B．－1 C．1 D．24．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0， eq \f(1,2) )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，－ eq \f(1,4) ) B．(－ eq \f(1,4) ，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－ eq \f(1,2) )5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f( eq \f(1,3) )＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )A．(0， eq \f(1,2) ) B．( eq\f(1,2) ，＋∞)C．( eq \f(1,2) ，1)∪(2，＋∞) D．(0， eq\f(1,2) )∪(2，＋∞)二、填空题7．已知loga(ab)＝ eq \f(1,p) ，则logab eq \f(a,b) ＝________.8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.9．设函数若f(a)＝ eq \f(1,8) ，则f(a＋6)＝________.三、解答题10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.(1)比较 eq \f(1,2) [f(0)＋f(1)]与f( eq \f(1,2) )的大小；(2)探索 eq \f(1,2) [f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f( eq \f(x1＋x2,2) －1)对任意x1>0，x2>0恒成立．§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．当a>1时，指数函数y＝ax是________，并且当a越大时，其函数值增长越____．2．当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)是________，并且当a越小时，其函数值________．3．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是________，并且当x>1时，n越大，其函数值__________．一、选择题1．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ eq \f(t2－1,2) D．v＝2t－22．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4000)5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)<f(cx)D．f(bx)，f(cx)大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．三、解答题9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b＝ eq \f(2,3) ，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－ eq \f(1,3) t＋ eq\f(43,3) (0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．11．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．13．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 eq \f(a,4) L?第三章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝ eq \r(0.5x－4) 的值域为N，则M∩N等于( )A．M B．NC．[0,4) D．[0，＋∞)2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )A．[2,8] B．[0,8]C．[1,8] D．[－1,8]3．已知f(3x)＝log2 eq \r(\f(9x＋1,2)) ，则f(1)的值为( )A．1 B．2 C．－1 D. eq\f(1,2)4．等于( )A．7 B．10 C．6 D. eq\f(9,2)5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )A．0 B．1C．2 D．36．比较、23.1、的大小关系是( )A．23.1<< B．<23.1<C．<<23.1 D．<<23.17．式子 eq \f(log89,log23) 的值为( )A. eq \f(2,3)B. eq \f(3,2)C．2 D．38．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg eq \f(a,b) ＝lg a－lg b；③ eq \f(1,2) lg( eq \f(a,b) )2＝lg eq \f(a,b) ；④lg(ab)＝ eq \f(1,logab10) .其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．39．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10) 的图像，只需把函数y＝lg x 的图像上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )A．0 B．1C．2 D．311．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4f x＋1， x<4)) ，则f(2＋log23)的值为______．14．函数f(x)＝loga eq \f(3－x,3＋x) (a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．15．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠ eq \f(4,3) ，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)， eq \f(1,4) ≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝loga eq \f(1＋x,1－x) (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x＋1＋2) 是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

指数函数与对数函数的变换练习题

指数函数与对数函数的变换练习题

指数函数与对数函数的变换练习题指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在实际应用中具有广泛的用途。

为了更好地掌握指数函数和对数函数之间的变换关系，下面将给出一些相关的练习题。

1. 已知指数函数 y = 2^x，现将其变换为对数函数形式。

解析：根据指数函数与对数函数的定义，我们可以将 y = 2^x 转化为对数函数形式 y = log2(x)，其中 log2 表示以 2 为底的对数。

2. 已知对数函数 y = log3(x)，现将其变换为指数函数形式。

解析：根据对数函数与指数函数的定义，我们可以将 y = log3(x) 转化为指数函数形式 y = 3^x，其中 3^x 表示以 3 为底的指数。

3. 已知指数函数 y = 4^(2x+1)，现将其变换为对数函数形式。

解析：根据指数函数与对数函数的定义，我们可以将 y = 4^(2x+1) 转化为对数函数形式 y = log4(4x^2) + log4(4)，化简得到 y = 2log4(2x) + 1。

4. 已知对数函数 y = ln(2x)，现将其变换为指数函数形式。

解析：根据对数函数与指数函数的定义，我们可以将 y = ln(2x) 转化为指数函数形式 y = e^ln(2x)，化简得到 y = 2x。

5. 已知指数函数 y = 5^(x-3)，求它的反函数。

解析：要求指数函数 y = 5^(x-3) 的反函数，可以通过交换自变量和因变量得到反函数。

即令 x = 5^(y-3)，然后解出 y，得到 y = log5(x) + 3。

6. 已知对数函数 y = log5(x+2)，求它的反函数。

解析：要求对数函数 y = log5(x+2) 的反函数，可以通过交换自变量和因变量得到反函数。

即令 x = log5(y+2)，然后解出 y，得到 y = 5^x - 2。

通过以上练习题的解答，我们可以进一步加深对指数函数和对数函数之间的变换关系的理解。

对数函数与指数函数练习题计算对数函数与指数函数的性质与运算

对数函数与指数函数练习题计算对数函数与指数函数的性质与运算

对数函数与指数函数练习题计算对数函数与指数函数的性质与运算对数函数与指数函数是数学中重要的函数之一，也是高中数学中的重点内容。

它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来计算对数函数与指数函数的性质与运算。

练习题一：求解对数函数的值1. 求解$log_2 16$的值。

解答：根据对数函数$log_b a = c$的定义，可以得到$b^c = a$。

所以$log_2 16 = c$可以转化为$2^c = 16$。

显然，$2^4 =16$，所以$c = 4$。

因此，$log_2 16 = 4$。

2. 求解$log_5 \frac{1}{125}$的值。

解答：类似地，可以得到$5^c = \frac{1}{125}$。

由于$5^-3 =\frac{1}{125}$，所以$c = -3$。

因此，$log_5 \frac{1}{125} = -3$。

练习题二：计算指数函数的值1. 计算$2^3$的值。

解答：根据指数函数$a^b = c$的定义，可以得到$2^3 = c$。

显然，$2^3 = 8$。

所以，$2^3 = 8$。

2. 计算$3^{-2}$的值。

解答：类似地，可以得到$3^{-2} = c$。

由于$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$，所以$c = \frac{1}{9}$。

因此，$3^{-2} = \frac{1}{9}$。

练习题三：对数函数的性质1. 判断$log_a b$的正负性与$b$与$a$的大小关系。

解答：对于$log_a b$，如果$a > 1$且$b > 1$，则$log_a b$是正数；如果$0 < a < 1$且$0 < b < 1$，则$log_a b$是正数。

当$a < 1$且$b > 1$，或$a > 1$且$b < 1$时，$log_a b$是负数。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。

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与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等.
一、人口问题
例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）.
二、增长率问题
例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.）
例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题
例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4
，已知到今
年为止，森林剩余面积为原来的
2
. ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？
四、物理问题
例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则
经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝2
1
（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h
t )2
1(（T 0
－T a ）．
现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο
105F 需20分钟，问欲降到ο
95F 需多少时间？
例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx
ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
1.分析：本题是一关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过本题可以让学生了解控制人口的现实意义.
解：⑴1年后该城市人口总数为：100100 1.2%100(1 1.2%)y =+⨯=⨯+ 2年后该城市人口总数为：
100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯2
100(1 1.2%)=⨯+ 3年后该城市人口总数为：
22100(1 1.2%)100(1 1.2%) 1.2%y =⨯++⨯+⨯3100(1 1.2%)=⨯+
……
x 年后该城市人口总数为x
y %)2.11(100+⨯=； ⑵10年后该城市人口总数为： 10
10100(1 1.2%)100 1.012112.7()y =⨯+=⨯=万人
⑶设x 年后该城市人口将达到120万人，即 ,120%)2.11(100=+⨯x
20.1log 100
120
log 012.1012
.1==x )(15年≈ 引申：如果20年后该城市人口总数不超过120万人年自然增长率应该控制在多少？ 设年自然增长率为x ，依题意有：20
)1(100x +⨯≤120，
由此有20
)1(x +≤1.20，可算得：x ≤0.9%，即年自然增长率应控制在0.9%以内.
评注：此问题反映了控制人口的现实意义.一般认为，世界人口超过地球极限人口一半时，世界人口便进入了缓慢的增长期.地球的极限人口大约为100亿，1987年7月11日世界人口达到50亿，为了引起国际社会对人口问题更深切的关注，联合国人口基金决定从1988年起把每年的7月11日定为“世界人口日”.人口问题已成为人类实现社会和经济持续发展所面临的最严峻的挑战，因而人口问题也是近年高考的热点问题之一，此问题常以指数函数、等比数列形式来考查.
2分析：了解复利概念之后，利率就是本金的增长率，即复利问题可同指数函数相联系. 解：1期后的本利之和为：)1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后的本利之和为：2
2)1(r a y += …… ∴x 期后的本利之和为：x r a y )1(+=
将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式： 5
5
0225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y 可算得：y = 1117.68（元）
评注：增长率问题是当前的经济生活中的热点问题，年利率就是一种增长率.本题主要是理解、推导、掌握复利公式.
分析：此问题的关键是恰当引入变量，正确理解数量关系，准确转换为数学表达式.
3解：设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M （1＋4%），人口量为M （1＋1.2%），
则人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)
M M ++，
经过2年后，人均占有粮食为：2
20000360(14)(1 1.2)
M M ++ …
经过x 年后，人均占有粮食为：0000360(14)(1 1.2)x x
M M ++，
即所求函数为：(1.04)360(1.012)
x
x
y =. 评注：本题为指数函数在实际生活中的应用，现实生活中，有许多问题都可以归结为指数函数问题加以解决，解题时的关键是由题意建立函数模型.
4分析：本题为对数在实际生活的应用问题，可由题意建立函数关系，利用对数求解即可. 解：设每年降低的百分比为x (01)x <<，
⑴由1(1)2T
a x a ⋅-=
，两边同取常用对数得，1lg(1)lg 2
T x -=， 又设经过M
年剩余面积为原来的2
，则(1)2M
a x ⋅-
=lg(1)lg 2M x ⇒-=，
∴1
22T M ==，∴2T M =，即到今年为止已砍伐了2T 年.
⑵设从今年开始以后再砍伐N 年，在N
年后剩余面积为：
(1)2
N a x -，
依题意，1(1)24N a x -≥，由⑴知，1(1)2T
x -=，∴111()2T x -=
，∴11()224N
T ≥ 即，3211()()22N T ≥，∴32N T ≤，32N T ≤，故今后至多还能砍伐3
2
T 年.
评注：本题为环保这一社会热点问题同指、对函数结合的典例.在今天社会各方面都十分关注环保的大背景下，无疑环保问题仍是高考命题的热点问题，此类问题多以二次函数、数列的形式考查.
5分析：本题为利用数学知识解决物理问题的一典例，在解题时需读懂题意，分清量与量间的关系，从而正确建立函数关系.
解：由题意，温度T 是时间t 的指数函数型关系，即：
T ＝h t )21(（T 0－T a ）＋T a ，将有关数据代入，得T ＝75＋（195－75）×h t
)21
(＝75＋120×
h t )21(． 再将t ＝20，T ＝105代入得105＝75＋120×h
20)2
1(，解得h ＝10． ∴T ＝75＋120×10
)2
1(t ，欲使T ＝95，代入上式解得t ＝26（分）．
评注：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，可利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．
6分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式.
解：将,1001.1,05
⨯==y x 5
1090.0,1000⨯==y x 分别代入函数式kx
ce y =，得
⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯k
k ce
ce 100050
.51090.01001.1解之得541.01101.1510c k -⎧=⨯⎪
⎨=-⨯⎪⎩ ∴函数式x
e y 4
1015.151001.1-⨯-⨯⨯=将x =600
代入上述函数式得：
600
1015.15
41001.1⨯⨯--⨯⨯=e
y 由计算器算得)(10943.05
Pa y ⨯=
答：在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa
评注：此题为利用数学模型解决物理问题.一般情况下，解决此类问题解题步骤：由已知条件确定函数式；求对应的函数值；借助计算器进行比较复杂的运算.。

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