高等数学1模拟试卷

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高三数学一卷模拟试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a，b，c应满足的关系是（）A. a > 0，b = 0，c任意B. a < 0，b = 0，c任意C. a > 0，b任意，c > 0D. a < 0，b任意，c > 0答案：B解析：因为f(x) = ax^2 + bx + c是一个二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

当a < 0时，函数开口向下，顶点为最大值；当a > 0时，函数开口向上，顶点为最小值。

题目要求函数在x=1时取得最小值，所以a < 0，且因为顶点坐标x=-b/2a=1，所以b=-2a。

因此，b和c可以任意取值。

2. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3.14D. -1/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数比的数。

√2和π是无理数，3.14是π的近似值，而-1/3可以表示为两个整数的比，因此是有理数。

3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10等于（）A. 23B. 25C. 27D. 29答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

将a1=3，d=2，n=10代入公式，得到a10 = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。

4. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴是（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 2答案：C解析：二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/2a。

将a=1，b=-4代入公式，得到对称轴x = -(-4)/21 = 1。

5. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ等于（）A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 1/5答案：A解析：向量a与向量b的夹角θ的余弦值可以通过点积公式计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。

全国各类成人高等学校招生考试《高等数学(一)》模拟卷三

全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（一）》模拟卷三1. 【选择题】( )A. 1B. 0C. 2D. 1/2正确答案：C参考解析：（江南博哥）的知识点.【应试指导】1)=2.2. 【选择题】( )A.B. x2C. 2xD.正确答案：C参考解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.【应试指导】3. 【选择题】函数y=ex+e-x的单调增加区间是( )A. (-∞，+∞)B. (-∞，0］C. (-1，1)D. ［0，+∞）正确答案：D参考解析：本题考查了函数的单调区间的知识点.【应试指导】y=ex+e-x则y'=ex-e-x，当x>0时，y'>0，所以y在区间［0，+∞)上单调递增.4. 【选择题】 ( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了换元积分法的知识点.【应试指导】5. 【选择题】讨点(0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y-3z=2的直线方程为( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了直线方程的知识点.【应试指导】6. 【选择题】( )A. dx+dyB.C.D. 2(dx+dy)正确答案：C参考解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】注：另解如下，由一阶微分形式不变性得7. 【选择题】( )A. I1=I2B. I1>I2C. I1<I2D. 无法比较正确答案：C参考解析：本题考查了二重积分的性质的知识点.【应试指导】因积分区域D是以点(2，1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=1的上方，即在D内恒有x+y>1，所以(x+y)2<(x+y)3.所以有I1<I2.8. 【选择题】( )A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查了级数收敛的必要性的知识点.【应试指导】9. 【选择题】( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.【应试指导】10. 【选择题】设方程y´´-2y´-3y=f(x)有特解y*，则它的通解为( )A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点. 【应试指导】考虑对应的齐次方程y''-2y'-3y=0的通解.11. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】In2应用的知识点.【应试指导】12. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】0本题考查了函数在一点处的连续性的知识点.【应试指导】又，f(0)=a，则若，f(x)在x=0连续，应有a=0.13. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】90本题考查了莱布尼茨公式的知识点. 【应试指导】由莱布尼茨公式得，14. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】-1本题考查了洛必迭法则的知识点. 【应试指导】15. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了不定积分的知识点.【应试指导】16. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了分段函数的定积分的知识点. 【应试指导】注：分段函数的积分必须分段进行.17. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点. 【应试指导】18. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】本题考查了利用极坐标求积分的知识点. 【应试指导】19. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】R本题考查了幂级数的收敛半径的知识点. 【应试指导】20. 【填空题】方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为 .我的回答：正确答案：参考解析：【答案】sinx·siny=C本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.【应试指导】由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(siny·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.21. 【解答题】确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a>0)的极值点.我的回答：参考解析：22. 【解答题】我的回答：参考解析：23. 【解答题】我的回答：参考解析：所以级数收敛.24. 【解答题】我的回答：参考解析：25. 【解答题】证明：ex>1+x(x>0). 我的回答：参考解析：26. 【解答题】我的回答：参考解析：27. 【解答题】求方程y´´-2y´+5y=ex的通解. 我的回答：参考解析：28. 【解答题】我的回答：参考解析：。

考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

专升本(高等数学一)模拟试卷38(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷38(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，2x+x2与x2比较是A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价无穷小D．等价无穷小正确答案：B解析：2．A．e-6B．e-2C．e3D．e6正确答案：A解析：3．A．2B．1C．0D．-1正确答案：D解析：f(x)为分式，当x=-1时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点x=-1为f(x)的间断点，故选D。

4．函数y=sinx在区间[0，n]上满足罗尔定理的ξ=A．0B．π/4C．π/2D．π正确答案：C解析：y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，sin0=sinπ=0，可知y=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理，由于(sinx)’=cosx，可知ξ=π/2时，cosξ=0，因此选C。

5．A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定正确答案：C解析：6．A．B．C．D．正确答案：B解析：在[0，1]上，x2≥x3，由定积分的性质可知选B。

同样在[1，2]上，x2≤x3，可知D不正确。

7．A．B．C．D．正确答案：D解析：y=cos 3x，则y’=-sin 3x*(3x)’=-3 sin3x。

因此选D。

8．A．B．C．D．正确答案：D解析：9．A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性与k有关正确答案：C解析：10．微分方程y’=1的通解为A．y=xB．y=CxC．y=C-xD．y=C+x正确答案：D解析：填空题11．正确答案：112．正确答案：x=-313．设f(x)=x(x-1)，则f’(1)=__________。

正确答案：114．y=lnx，则dy=__________。

正确答案：(1/x)dx15．正确答案：016．设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

正确答案：(2x-y)dx+(2y-x)dy17．正确答案：(-∞．2)18．过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为__________。

高数一模拟试卷

------------------------《高等数学》试卷--------------------《高等数学（一）》试卷轻松学高数（专接本）交流群422704388答案题目自行到群内下载题号一二三四总分得分考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一.选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（）.()A 奇函数()B 偶函数()C 有界函数()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（）.()A 可导但不连续()B 不连续且不可导()C 连续且可导()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dx f d ，则成立（）.()A ()()0101f f dx df dx df x x ->>==()B ()()0110==>->x x dx df f f dx df ()C ()()0101==>->x x dx df f f dx df ()D ()()1001==>>-x x dx df dx df f f 得分阅卷人报考学校：______________________报考专业：______________________姓名：准考证号：------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（）.()A 椭球面()B 柱面()C 圆锥面()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =,则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（）.()A 至少有一条()B 仅有一条().C 不一定存在().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)1.计算_________________2sin 1lim 0=→x x x 2.设函数()x f 在1=x 可导,且()10==x dx x df ,则()().__________121lim 0=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dx x df 4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x 8.设函数()22cos yx z +=,则._________________________=∂∂x z 9.交换二次积分次序得分阅卷人().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx 10.设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算x e x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx 得分阅卷人4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f .6.设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ，求()x f .7.求微分方程x e dx dy dx y d =+22的通解.8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()y x y x y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分.：______________________报考专业：______________________姓名：准考证号：--------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------10.计算二重积分,()⎰⎰+D dxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分)1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.得分阅卷人2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.。

专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x0处不连续，则( )A．f’(x0)必存在B．f’(x0)必不存在C．f(x)必存在D．f(x)必不存在正确答案：B解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。

A．充分必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：A解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f －’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( ) A．一2f’(0)B．一f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：B解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)．知识模块：一元函数微分学4．若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于( )A．2x+2B．x(x+1)C．x(x一1)D．2x一1正确答案：A解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2．知识模块：一元函数微分学5．函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为( )A．f’｛[f(x)]｝B．f’｛f’[f’(x)]｝C．f’｛f[f(x)]｝f’(x)D．f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)正确答案：D解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选D．知识模块：一元函数微分学6．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是( )A．f(0)＜0B．f(1)＞0C．f(1)＞f(0)D．f(1)＜f(0)正确答案：D解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b) ( )A．不存在零点B．存在唯一零点C．存在极大值点D．存在极小值点正确答案：B解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=( )A．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线正确答案：D解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．知识模块：一元函数微分学9．下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有( )A．f(x)=B．y=C．y=xex，[0，1]D．y=x2一1，[一1，1]正确答案：D解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选D．知识模块：一元函数微分学10．要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为( )A．1：2B．1：1C．2：1D．正确答案：A解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2πr2=+2πr2，S’(r)=一＋4πr=，由于驻点唯一，必是最值点，此时h=，则r：h=1：2．知识模块：一元函数微分学填空题11．设函数y=sin(x一2)，则y’’=________．正确答案：一sin(x一2)解析：因为y=sin(x一2)，y’=cos(x一2)，y’’=一sin(x一2)．知识模块：一元函数微分学12．设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f’(0)=1，f’’(0)=一2，则=_______．正确答案：一1解析：=一1．知识模块：一元函数微分学13．y=y(x)是由方程xy=ey－x确定的函数，则dy=_______．正确答案：解析：方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy’=ey－x(y’一1)，所以y’=．知识模块：一元函数微分学14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=_________．正确答案：π解析：y’=一sinx，因函数在[0，2π]上满足罗尔定理，故存在ξ∈(0，2π)，使一sinξ=0，故ξ=π．知识模块：一元函数微分学15．若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小顺序为_________．正确答案：f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)解析：f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．知识模块：一元函数微分学解答题16．设f(x)=其中a、b、A为常数，试讨论a、b、A为何值时，f(x)在x=0处可导?正确答案：若函数f(x)在x=0可导，则函数f(x)也连续，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，涉及知识点：一元函数微分学17．设y=，求y’．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学18．设=a，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：∴f’(0)=a．涉及知识点：一元函数微分学19．求函数x=cosxy的导数．正确答案：等式两边关于x求导，可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’)，整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy，从而y’=．涉及知识点：一元函数微分学20．已知y=，f’(x)=arctanx2，计算．正确答案：令y=f(μ)，μ=，则涉及知识点：一元函数微分学21．讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．正确答案：y=，令y’=0得x=e．而y’’=，令y’’=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y’＜0，y’’＜0，故y单调下降，且是凸的．当1＜x＜e时，y’＜0，y’’＞0，故y单调下降，且是凹的．当e＜x＜e2时，y’＞0，y’’＞0，故y单调上升，且是凹的．当e2＜x＜+∞时，y’＞0，y’’＜0，故y单调上升，且是凸的．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[1，e]可导，且f(1)=0，f(e)=1，试证f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．正确答案：设F(x)=f(x)一lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1，e)使F’(ξ)=0，即f’(ξ)一=0，所以f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．正确答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－，并将上两式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b．涉及知识点：一元函数微分学24．利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，ex＞ex．正确答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因为ξ∈(1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，当x＞1时，ex＞ex．涉及知识点：一元函数微分学25．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．正确答案：构造函数f(x)=xn(n＞1)，因为f(x)=xn在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．两边取负号得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．涉及知识点：一元函数微分学已知函数f(x)=．26．证明：当x＞0时，恒有f(x)+；正确答案：则可知F(x)=C，C为常数．当x=1时，F(1)=C=f(1)+f(1)=，故当x＞0时，F(x)=f(x)+恒成立；涉及知识点：一元函数微分学27．试问方程f(x)=x在区间(0，+∞)内有几个实根?正确答案：令g(x)=f(x)一x，则g‘(x)=一1＜0，故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又则g(x)=0在(0，+∞)上有且仅有一个实根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学28．假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=，Q2=12一x，其中x为该产品在两个市场的价格(万元／吨)，该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润．正确答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[＋(12－x)](x－2)一5=x2+24x一47，求导得L’=一3x+24，令L’=0，得驻点x=8．根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点．Lmax=．82+24．8—47=49．故当两个市场价格为8万元／吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元．涉及知识点：一元函数微分学。

专升本(高等数学一)模拟试卷42(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷42(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．3B．1C．1/3D．0正确答案：A解析：2．A．5B．3C．-3D．-5正确答案：C解析：f(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此x=-3为f(x)的间断点，故选C。

3．设y=2x，则dy=A．x2x-1dxB．2xdxC．(2x/ln2)dxD．2xln2dx正确答案：D解析：y=2x，y’=2xln2，dy=y’dx=2xln2dx，故选D。

4．A．2B．-1/2C．1/2eD．(1/2)e1/2正确答案：B解析：5．A．e-x+CB．-e-x+CC．ex+CD．-ex+C正确答案：B解析：6．A．sinx+sin2B．-sinx+sin2C．sinxD．-sinx正确答案：D解析：7．A．B．C．D．正确答案：A解析：8．A．2xy3B．2xy3-1C．2xy3-sin yD．2xy3-sin y-1正确答案：A解析：9．A．4/3B．1C．2/3D．1/3正确答案：C解析：10．微分方程y’+y=0的通解为y= A．e-x+CB．-e-x+CC．Ce-xD．Cex正确答案：C解析：填空题11．设y=lnx，则y’=_________。

正确答案：1/x12．正确答案：e-1/213．正确答案：114．曲线f(x)=x/x+2的铅直渐近线方程为__________。

正确答案：x=-215．正确答案：016．f(x)=sinx，则f”(x)=_________。

正确答案：-sinx17．正确答案：3yx3y-118．正确答案：219．正确答案：120．微分方程xy’=1的通解是_________。

正确答案：y=lnx+C解答题21．正确答案：22．设y=x2+2x，求y’。

正确答案：y=x2+2x，y’=(x2)’+(2x)=2x+2xIn2。

23．设z=z(x，y)由ez-z+xy=3所确定，求dz。

专升本(高等数学一)模拟试卷95(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷95(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(0)=0，且f’(0)存在，则A．f’(0)B．2f’(0)C．f(0)D．正确答案：B解析：此极限属于型，可用洛必达法则，即2．设有直线l1:，当直线l1与l2平行时，λ=A．1B．0C．D．一1正确答案：C解析：本题考查的知识点为直线间的关系．直线其方向向量分别为s1={1，2，λ}，s2={2，4，一1}．又l1∥l2，则．故选C3．设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)= ( )A．sin x+xcos xB．sin x—xcos xC．xcos x—sin xD．一(sin x+xcosx)正确答案：A解析：在∫0xf(t)dt=xsin x两侧关于x求导数，有f(x)=sin x+xcos x．故选A 4．设f’(x)=sin2x，则f’(0)= ( )A．一2B．一1C．0D．2正确答案：D解析：由f(x)=sin2x可得f’(x)=cos2x.(2x)’=2cos2x，f’(0)=2cos0=2．故选D5．设z=xy+y，A．e+1B．C．2D．1正确答案：A解析：因为=elne+1=e+1．故选A6．设函数f(x)在区间[x，1]上可导，且f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(0)B．f(1)＜f(0)C．f(1)=f(0)D．f(1)与f(0)的值不能比较正确答案：A解析：由f’(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)．故选A7．曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为( )A．一1B．一2C．一3D．一4正确答案：C解析：由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f’(x0)．由于y=x-3，y’=一3x-4，y’|x=1=一3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为一3．故选C8．方程x2+2y2一z2=0表示的二次曲面是( )A．椭球面B．锥面C．旋转抛物面D．柱面正确答案：B解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面．故选B9．设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y”+p1y’+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2 ( )A．为所给方程的解，但不是通解B．为所给方程的解，但不一定是通解C．为所给方程的通解D．不为所给方程的解正确答案：B解析：如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解．现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解．故选B10．设un≤avn(n=1，2，…)(a＞0)，且A．必定收敛B．必定发散C．收敛性与a有关D．上述三个结论都不正确正确答案：D解析：由正项级数的比较判定法知，若un≤vn，则当发散时，则也发散，但题设未交待un与vn 的正负性，由此可分析此题选D填空题11．正确答案：2解析：由于所给极限为型极限，由极限的四则运算法则有12．比较积分大小：∫12ln xdx__________∫12(ln x)3dx．正确答案：＞解析：因为在[1，2]上ln x＞(ln x)3，所以∫12ln xdx＞∫12(ln x)3dx．13．设，则y’=_______．正确答案：解析：14．设z=y2x，则正确答案：2xy2x-1解析：只需将x看作常数，因此y2x可看作是幂函数，故15．设y=，则其在区间[0，2]上的最大值为_______．正确答案：解析：所以y在[0，2]上单调递减．于是ymax=y|x=0=16．微分方程y”+y’+y=0的通解为________．正确答案：(其中C1,C2为任意常数)解析：征方程为r2+r+1=0，解得：17．设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为_________．正确答案：y=f(1)解析：因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以y’(1)=0，即斜率k=0，则此处的切线方程为y-f(1)=0(x-1)=0，即y=f(1)．18．过点M0(1，一2，0)且与直线垂直的平面方程为_________．正确答案：3(x一1)一(y+2)+z=0(或3x—y+z=5)解析：因为直线的方向向量s={3，一1，1}，且平面与直线垂直，所以平面的法向量n={3，一1，1}．由点法式方程有平面方程为：3(x一1)一(y+2)+(z一0)=0，即3(x一1)一(y+2)+z=0．19．级数的收敛区间为______．(不包括端点)正确答案：(1，3)解析：即当|x一2|＜1时收敛，所以有一1＜x一2＜1，即1＜x＜3．故收敛区间为(1，3)．20．设二元函数z=ln(x+y2)，则正确答案：dx解析：由于函数z=ln(x+y2)的定义域为x+y2＞0．在z的定义域内为连续函数，因此dz存在，且解答题21．求函数，在点x=0处的导数y’|x=0．正确答案：22．正确答案：利用洛必达法则：23．设，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线．正确答案：由，可知y=2为水平渐近线；由可知x=0为铅直渐近线．24．求由曲线y=2一x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．正确答案：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=π∫aby2(x)dx．画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2一x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．V=π∫01[(2一x2)2-x2]dx=π∫01(4—5x2+x4)dx25．将f(x)=展开为x的幂级数．正确答案：所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于26．计算，其中D如图所示，由y=x，y=1与y轴围成．正确答案：27．证明方程3x一1一=0在区间(0，1)内有唯一的实根．正确答案：令f(x)=则f(x)在区间[0，1]上连续．根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根．又，当0≤x≤1时，f’(x)＞0．因此，f(x)在[0，1]上单调增加，由此知f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点．综上可知，方程在区间(0，1)内有唯一的实根．28．设f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)．正确答案：将所给表达式两端关于x求导，得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt-xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt，两端关于x再次求导，得f”(x)=6x一f(x)即f”(x)+f(x)=6x．将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为r2+1=0．特征根为r1=i，r2=-i．齐次方程的通解为C1cos x+C2sin x．设非齐次方程的一个特解为f0(x)．由于α=0不为特征根，可设f0(x)=Ax，将f0(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6．因此f0(x)=6x．非齐次方程的通解为f(x)=C1cosx+C2sin x+6x由初始条件f(0)=1，f’(0)=0，可得出C1=1，C2=一6．故f(x)=cosx一6sin x+6x为所求函数．。

专升本(高等数学一)综合模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）综合模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．极限等于( )A．eB．ebC．eabD．eab+b正确答案：C解析：由于，故选C。

知识模块：极限和连续2．在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )A．两个平面B．双曲柱面C．椭圆柱面D．圆柱面正确答案：A解析：由于所给曲面方程x2-4(y-1)2=0中不含z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为x2=4(y-1)2，进而可以化为x=2(y-1)与-z=2(y-1)，即x-2y+2=0，x+2y-2=0，为两个平面，故选A。

知识模块：空间解析几何3．级数是( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性不能判定正确答案：A解析：依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于的p级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选A。

知识模块：无穷级数填空题4．若函数在x=0处连续，则a=________。

正确答案：-2解析：由于(无穷小量乘有界变量)，而f(0)=a+2，由于f(x)在x=0处连续，应有a+2=0，即a=-2。

知识模块：极限和连续5．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=________。

正确答案：-1解析：由于f’(x0)存在，且f(x0)=0，由导数的定义有知识模块：一元函数微分学6．设y=xe+ex+lnx+ee，则y’=________。

正确答案：y’=ee-1+ex+解析：由导数的基本公式及四则运算规则，有y’=ee-1+ex+。

知识模块：一元函数微分学7．曲线y=ex+x上点(0，1)处的切线方程为________。

正确答案：由曲线y=f(x)在其上点(x0，f(x0))的切线公式y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，可知y-1=2(x-0)，即所求切线方程为y=2x+1。

解析：注意点(0，1)在曲线y=ex+x上，又y’=ex+1，因此y’|x=0=2。

2023年高等教育自学考试《高等数学(一)》模拟真题一

2023年高等教育自学考试《高等数学（一）》模拟真题一1. 【单选题】（江南博哥）A. 奇函数B. 偶函数C. 有界函数D. 周期函数正确答案：C参考解析：2. 【单选题】A. （x+y）>1B. ln（x+y）≠0C. （x+y）≠1D. （x+y）>0正确答案：A参考解析：3. 【单选题】A. 1B. lnaC. aD. e a正确答案：C参考解析：4. 【单选题】设f(x)=2x，则f''(x)=A. 2x ln2 2B. 2x ln 4C. 2x·2D. 2x·4正确答案：A参考解析：5. 【单选题】设f(x)在x=0处可导，则f'(0)=A.B.C.D.正确答案：A参考解析：6. 【单选题】设二元函数 f(x，y)在点(x0，y0)处有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有A.B.C.D.正确答案：D参考解析：7. 【单选题】设z=e x sin y，则dz=A. e x cos y(dx+dy)B. e x(sin ydx-cosy dy)C. e x(sin ydx+dy)D. e x(sin ydx+cos ydy)正确答案：D参考解析：8. 【单选题】A. x=-3B. x=-1C. x=1D. x=3正确答案：B参考解析：9. 【单选题】若直线x=1是曲线y=f(x)的铅直渐近线，则f(x)是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：10. 【单选题】下列无穷限反常积分发散的是A.B.C.D.正确答案：B参考解析：11. 【简单计算题】我的回答：参考解析：12. 【简单计算题】我的回答：参考解析：13. 【简单计算题】我的回答：参考解析：14. 【简单计算题】我的回答：参考解析：15. 【简单计算题】我的回答：参考解析：16. 【计算题】指出下列函数由哪些函数复合而成?（1）y=(cos x)3：（2）y=e-x（3）我的回答：参考解析：解：（1）y=(cosx)3是由y=u3，u=cosx复合而成。

专升本(高等数学一)模拟试卷52(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷52(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数y=ax2+c在区间(0，+∞)上单调增加，则( )A．a＜0且c=0B．a＞0且c为任意实数C．a＜0且c≠0D．a＜0且c为任意实数正确答案：B解析：由题设有y’=2ax，则在(0，+∞)上2ax＞0。

所以必有a＞0且c为任意实数，故选B。

2．微分方程y”+y=0的通解为( )A．C1cosx+C2sinxB．(C1+C2x)exC．(C1+C2x)e-xD．C1e-x+C2ex正确答案：A解析：由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cosx+C2sinx。

3．设f(x)为连续函数，则积分=( )A．0B．1C．nD．正确答案：A解析：故选A。

4．平面x+2y-z+3=0与空间直线的位置关系是( )A．互相垂直B．互相平行但直线不在平面上C．既不平行也不垂直D．直线在平面上正确答案：D解析：平面π：x+2y-z+3=0的法向量n={1，2，-1}，直线的方向向量s={3，-1，1)，(x0，y0，z0)=(1，-1，2)，因为3×1+(-1)×2+1×(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，-1，2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上)，因此直线在平面上。

故选D。

5．设a＜x＜b，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形( )A．沿x轴正向下降且向上凹B．沿x轴正向下降且向下凹C．沿x轴正向上升且向上凹D．沿x轴正向上升且向下凹正确答案：B解析：当a＜x＜b时，f’(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下降，由于在(a，b)内f”(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹，故选B。

6．设f(x)=e-x2-1，g(x)-x2，则当x→0时( )A．f(x)是比g(x)高阶的无穷小B．f(x)是比g(x)低阶的无穷小C．f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D．f(x)与g(x)是等价无穷小正确答案：C解析：=-1，故选C。

高等数学模拟考试题及答案1

《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．点1=x 是函数112--=x x y 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点2．设)(x f 在),(b a 内可导，则在),(b a 内，0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．无关条件3．设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数，则)(x f 等于（）A ．x x cos 2B ．2cos xxC ．x x sin 33+D ．x x sin 2-4．级数∑∞=-11)1(n nn（） A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D ．敛散性不确定 5．微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A ．x ceB ．.x ce -C ．12()x c c x e +D ．12()x c c x e -+二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1. =--+→121lim21x x x . 2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分).1. 计算极限: 302)1ln(limx dttxx ⎰+→ (5分).2．设0sin 2=++z z x e xy ，求xz∂∂ (5分). 3．设x x x f ln 2)(2-=，求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4．D 是由曲线x e y =，Ox 轴，Oy 轴及4=x 围成的平面区域，试在(0,4)内找一点0x ，使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分)5．验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6．改变二次积分21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7．求解下列微分方程：'2'1.y xy x y -=+(7分)四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当1>x 时，1)1(2ln +->x x x .(6分) 2．函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明：存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为（） A ．1-=x B ．1=x C ．1-=y D ．1=y2．当0→x 时，)21ln(xα+与x 是等价无穷小，则α等于（）A ．2B ． 2-C ．21D ．21-3．下列式子中正确的是（）A ．⎰+='c x f dx x f )3()3(B ．'[()]()d f x dx f x =⎰C ．⎰=bax f dx x f dx d )()( D ．⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4．下列命题中，正确的是（）A ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散C ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 D ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散5．微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A ．()x ax b e +B ．2x ax eC ．x axeD ．2()x ax bx e + 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=，则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分).1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2．设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数，求全微分dz (5分).3．求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4．求由曲线1-=x y ，4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5．f (x )在[0,1]上连续，求证211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6．求解下列微分方程： 2()0ydx x y dy ++= (7分).7．已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关，并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当x >0时，2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2．设f (x )在(-1,1)内可微，且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．设53)(+=x x f ，则[]2)(-x f f 等于（）A ．149+xB ．33+xC ．149-xD ．33-x2．设x x f 3)(= ，则ax a f x f a x --→)()(lim 等于（）A ．3ln 3aB ．a3 C ．3ln D ．3ln 3a3．设函数f (x )连续，0(),s t I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I （）A ．依赖于s 和tB ．依赖于s ,t,xC ．依赖于t 和xD ．依赖于s ,不依赖于t4．级数111nn a∞=+∑收敛的条件为（） A ．a ≥1 B ．a >1 C ． a ≤1 D ．a <15．微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A ．x c y sin =B ．x ce y sin -=C ．x ce y cos -=D ．x c y cos =二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 .14.''()xf x dx ⎰=5．设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2．求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3．平面图形由曲线3,4y x y x=+=，求此图形的面积S (7分).4．求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5．求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分). 6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22，其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7．设函数f (x )满足0()()()x xx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰，求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当0>x 时，2211)1ln(x x x x +>+++(6分).2．证明：双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．B 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解：220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x xx →→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解：方程两边对x 求导得：22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+3.解：对函数x x x f ln 2)(2-=求导得：'1()4f x x x =-，令11140 ()22x x x -==-得舍去，列表：x (0,12) 12 (12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少，在(2,+∞)上单调增加，在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解：由题意知，4x xx x e dx e dx =⎰⎰，所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证：求函数2()nyz x f x =的偏导数： 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解：21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解：整理方程为1(1)dy dx y x x =-+，所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明：令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+，由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+，所以，当1>x 时()(0)20F x F >=>，即1)1(2ln +->x x x .2.证明：令()()F x xf x =，函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理，存在1(0,)2c ∈,使得1122001(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理，存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C ++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得：'()2ln f x x x x =--，令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -，最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111000()()()[]()()yyyx x x dy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件，有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+，由于1(0),2f =-有12c =-，所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=，由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点，函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理，存在介于x 与0之间的点c ，使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得：'2()(1)(2)f x x x=--，令'()0,f x=得121,2x x==. 列表：由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+，且当x =2或-2时幂级数发散，所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x x x xx x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数，整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+，特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-，所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=，由于'()ln(0 (0)F x x x =>>，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点，双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ，B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷B)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内 A ．()f x 必有界 B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =− =−在π2t =处的切线方程为A ．πx y +=B ．π4x y −=−C ．πx y −=D ．π4x y +=−6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值7．设π(1,2,,)i i x i n n ==，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π1cos d πx x ∫ D ．π1cos(π)d πx x ∫8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为 A ．2e x a bx c ++ B ．22e x ax bx c ++ C ．22e x ax bx cx ++ D ．2e x ax bx c ++二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．5．x =___________．6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解．2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．（2）求定积分0∫，其中0a >．4．设曲线y =，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．5．证明：当01x <<时，21e 1x xx−−<+．6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点答案 B解析令1t x=，因为 11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 223e txt t x x x f x −−→−∞→→++===++，11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 323e t xt t x x xf x ++→+∞→→++===++，则0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =是()f x 的跳跃间断点，故选B 项． 2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内A ．()f x 必有界B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=答案 C解析连续函数在闭区间有界，开区间无法保证有界，故A 错误；单调的连续函数存在反函数，故B 错误；零点定理需要函数在端点处函数值异号，故D 错误；连续函数必存在原函数，故本题选C ．3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e答案 D 解析因为111tan 2tan lim ln lim ln 1π111ln tan 1tan 1tan 4π1lim tan lim e e e4n n n n n n n nn n n n n n →∞→∞+++−−→∞→∞+=== ，而00112tan 2tan 2tan 2lim ln 1lim lim lim 211(1tan )(1tan )1tan 1tan n n t t n t t n n n t t t t n n ++→∞→∞→→+==== −− −−，所以2π1lim tan e 4n n n →∞ +=，故选D 项．4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在答案 A解析因为200000sin 1()(0)sin cos 1sin lim limlim lim lim 0022x x x x x xf x f x x x x x x x x x →→→→→−−−−−=====−，故选A 项．5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =−=−在π2t =处的切线方程为 A ．πx y += B ．π4x y −=− C ．πx y −= D ．π4x y +=−答案 B 解析当π2t =时，有π22x y =− =，故πππ222d ()22cos 1d ()2sin t t t y y t tx x t t ===′−===′，由点斜式可得切线方程为2(π2)y x −=−−，整理得本题选B ．6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值 B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值答案 A解析由条件可得4300()1()1limlim 044x x Φx f x A x x →→==>，所以在点00x =的某个邻域内都有()0(0)Φx Φ>=，所以(0)Φ是()Φx 的极小值，应选A 项．7．设π(1,2,,)ii x i n n== ，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π01cos d πx x ∫ D ．π01cos(π)d πx x ∫ 答案 C解析由定积分的定义可知π01111π0π1lim cos lim cos cos d ππn n i n n i i i x x x n n n →∞→∞==−==∑∑∫，故选C 项． 8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<答案 D解析由“偶倍奇零”可知π42π22sin cos d 01x Mx x x −==+∫，ππ34422ππ22(sin cos )d cos d 0N x x x x x −−=+=>∫∫，ππ234422ππ22(sin cos )d cos d 0P x x x x x x −−=−=−<∫∫，故P M N <<，应选D 项．9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫答案 A解析双纽线22222()x y x y +=−的极坐标形式为2cos 2r θ=，再根据对称性，有ππ2440014d 2cos 2d 2A r θθθ=×=∫∫，故选A 项．10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为A ．2e x a bx c ++B ．22e x ax bx c ++C ．22e x ax bx cx ++D ．2e x ax bx c ++答案 D解析题设微分方程是一个二阶非齐次线性微分方程，其所对应的齐次线性微分方程40y y ′′−=的特征方程为240λ−=，特征根为1,22λ=±．又因为24e x y y ′′−=的特解形式为21e x y ax =，4y y x ′′−=的特解形式为2y bx c =+，故原方程特解形式为2e x ax bx c ++，应选D 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．答案13解析令x t u −=，则当0x →时，021sin()d sin d sin d 1cos 2xxxx t t u u u u x x −=−==−∼∫∫∫，又由泰勒公式可知222e 1()x x o x =++，2222cos 1()1()2!2x x x o x o x =−+=−+，故22222223e cos [1()]1()()22x x x x o x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知223e cos ~2x x x −，因此2sin()d 1lim3e cos xx x x t tx→−=−∫． 2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．答案 32−解析由2d 2()y xf x x ′=∆得 1d 2(1)0.050.1(1)x yf f =−′′=−×=−，因为y ∆的线性部分为d y ，由0.1(1)0.15f ′−=得3(1)2f ′=−．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．答案24137x x− 解析令1()d f x x A +∞=∫，由条件得241111d d 1226A AA x x x x +∞+∞=−=−∫∫，解得67A =，所以 2413()7f x x x =−． 4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．答案 1解析由条件得ln ln y x x y =，两边对x 求导可得d d ln ln d d y y x y x y x x y x+=+⋅，解得ln d d ln yyy xx x xy−=−，当1x =时易得1y =，故1d 1d x y x==．5．x =___________．答案 2C +解析222x C +∫． 6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________．答案 24y x =−解析因为545241lim lim 2x x y x x kx x x →∞→∞−+==+，544241lim(2)lim 241x x x x b y x x x →∞→∞ −+=−=−=− +，所以曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为24y x =−．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解．解由22x y xy y ′+=可得2d d y y yx x x=− ，令yu x=，原方程可化为 2d d u xu u x=−，两边积分得121ln ln ||ln 22u x C u −=+，即得22u Cx u−=，代入(1)1y =得1C =−．故原方程的特解为221xy x =+． 2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．解易知函数()f x 为偶函数，所以我们只需考虑()f x 在[0,)+∞内的最大最小值即可．令22()2(2)e 0x f x x x −′=−=可得()f x 的唯一驻点x =x ∈时，()0f x ′>；当)x ∈+∞时，()0f x ′<．考虑到驻点的唯一性，可知x =与x =均为函数()f x 的最大值点，最大值为(f f ==211e +．注意到0lim ()(2)e d 1t x f x t t +∞−→∞=−=∫及(0)0f =，所以函数()f x 的最小值为(0)0f =．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．解令ππsin 22x t t =−<< ，当0x =时，0t =；当1x =时，π2t =．则ππ1222222000sin cos d sin (1sin )d xxt t tt t t =−∫∫∫ππ242201π31ππsin d sin d 2242216t t t t =−=⋅−⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n n n n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数．（2）求定积分0∫，其中0a >．解方法一令ππsin 22x a t t =−<< ，当0x =时，0t =；当x a =时，π2t =．则ππ2200cos 1(sin cos )(cos sin )d d sin cos 2sin cos a t t t t t t t a t a t t t++−=++∫∫∫ πππ2220001cos sin 11d(sin cos )1d 1d 2sin cos 22sin cos t t t t t t t t t t−+ =+=+++ ∫∫∫ π20π1π[ln |sin cos |]424t t =++=．方法二令ππsin 22x a t t =−<< ，则π20cos d sin cos tt t t=+∫∫，又令π2tu =−，则有 ππ2200cos sin d d sin cos sin cos t ut t t tu u =++∫∫，所以πππ2220001sin cos 1πd d 1d 2sin cos sin cos 24t t t t t t t t t =+== ++∫∫∫∫．小结被积函数中含有根式的，尽量去掉根式，去根式的方法一般是根式代换或三角代换法．4．设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．解设切点为(a ，则过原点的切线方程为y =，将(a 代入切线方程得2a =1=，故切线方程为12y x =．由曲线y =[1,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为21111π2πd 2ππ1)6S y s x x ==−∫∫∫．切线12y x =在曲线[0,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为222002πd πS y s x ===∫∫．故所求旋转曲面的表面积为12π1)6S S S =+=． 5．证明：当01x <<时，21e 1x x x−−<+．证令 ()ln(1)ln(1)2f x x x x +−−−，则(0)0f =，且22112()20(01)111x f x x x x x ′=+−=><<+−−，由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得 21e 1x x x−−<+． 6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫．证令()()d x a F x f t t =∫，则()F x 在区间[,]a b 上三阶连续可导，取2a b c +=，由泰勒公式可得 231()()()()()()()()26F F c F a F c F c a c a c a c ξ′′′′′′=+−+−+−，1(,)a c ξ∈， 232()()()()()()()()26F F c F b F c F c b c b c b c ξ′′′′′′=+−+−+−，2(,)c b ξ∈，两式相减可得321()()()()()[()()]48b c F b F a F c b a F F ξξ−′′′′′′′−=−++，即321()()d ()[()()]248b a a b b c f x x b a f f f ξξ+− ′′′′=−++ ∫，因为()f x ′′在区间[,]a b 上连续，所以存在12[,](,)a b ξξξ∈⊂，使得211()[()()]2f f f ξξξ′′′′′′=+，所以 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+ ∫．。

自考《高等数学一》模拟题(一)及参考答案

高等数学（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题到出的备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其选出）1.方程062=-+x x 的根为（）。

A.3,221=-=x x B.3,221-==x x C.3,221==x x D.3,221-=-=x x2.下列函数中为奇函数是（）。

A.2112x x -+ B.()2sin x C.2e x x e -- D.x 3.极限=∞→x n 1e lim （）。

A.0 B.1 C.e D.∞+4.下列各式中正确的是（）。

A. 1sin lim =∞→x x xB.1sin lim =∞→x x xC.1sin lim =∞→x x xD.1sin lim =∞→xx x 5.某产品的成本函数()221220Q Q Q C ++=,则298=Q 时的边际成本为( )。

A.100B.200C.300D.4006.函数1y 5+=x 在定义域内（）。

A.单调增加B.单调减少C.不增不减D.有增有减7.设=+=⎰)0(,2sin )(f C x dx x f 则（）。

A.2 B.21 C.21- D.-2 8. ()=+⎰dt b at dx x 02sin d （）。

A.()b ax +2cosB.()b a +2t cosC.()b ax +2sinD.()b at +2sin 9.微分方程02=-dxydy 的通解为（）。

A.C x y += B.C x y +=- C.C x y +=-2 D.C x y +=2 10.设函数()y x z 32sin +=，则全微分=)0,0(d z （）。

A.dy dx + B.dy dx 22+ C.dy dx 23+ D.dy dx 32+二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知函数x x x +=1-1)(f ，求f(x+2)。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷A)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷A ）一、选择题（每题4分，共40分）1．当0x →时，2sin x x −是x 的A ．高阶无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．低阶无穷小D ．等价无穷小2．设()g x 与()f x 互为反函数，则12f x的反函数为A ．(2)g xB ．(2)f xC ．2()f xD ．2()g x3．011lim sin sin x x x x x →− 的结果是A ．1−B ．1C ．0D ．不存在4．已知322,1()3,1x x f x x x ≤ = > ，则()f x 在1x =处的 A ．左、右导数都存在 B ．左导数存在，右导数不存在C ．左导数不存在，右导数存在D ．左、右导数都不存在5．曲线2y =+(1,2)M 处的切线 A ．不存在B ．方程为1x =C ．方程为2y =D ．方程为12(1)3y x −=−6．设函数()f x 在0x 的某个邻域内有定义，且004()()lim 0x x f x f x A x →−=>，则 A ．0()f x 一定是()f x 的一个极大值 B ．0()f x 一定是()f x 的一个极小值 C ．0()f x 一定不是()f x 的极值D ．不能断定0()f x 是否为()fx 的极值7．设()f x 是定义在[0,4]上的连续函数，且221()d x f t t x −=∫，则(2)f =A ．8B ．8−C ．48D ．48−8．设2,01()2,12x x f x x x ≤≤= −<≤ ，0()()d x F x f t t =∫且[0,2]x ∈，则A ．32,013()12,1232x x F x x x x ≤≤ = +−<≤B ．32,013()72,1262x x F x x x x ≤≤ = −+−<≤C ．332,013()2,1232x x F x x x x x ≤≤ = +−<≤D ．32,013()2,122x x F x x x x ≤≤ = −<≤9．曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴所围成的图形面积可表示为 A ．20(1)(2)d x x x x −−−∫B ．121(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫C ．2(1)(2)d x x x x −−∫D ．211(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫10．设1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，则它的通解是A ．12[()()]C x x ϕϕ+B ．12[()()]C x x ϕϕ− C ．122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+D ．122[()()]()x x x ϕϕϕ−+二、填空题（每题4分，共24分）1．设()f x 连续，且2()()d xax F x f t t x a =−∫，则lim ()x a F x →=___________．2．设()f x 为奇函数，且(1)2f ′=，则31d()d x f x x =−=___________．3．221d (1)(4)x x x +∞=++∫___________．4．设123y x =+，则()()n y x =___________．5．=___________．6．曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22d d yxy x y x=+满足初始条件(e)2e y =的特解．2．求函数πarctan 2(1)e x y x +=−的单调区间与极值．3．计算下列积分．（1）求不定积分cos d 1cos xx x +∫．（2）求定积分1220arctan d (1)xx x +∫．4．求摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =−> =−的一拱绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．5．证明：当01x <<ln(1)arcsin x x+<．6．设()f x 在区间[0,1]上可导，1220(1)2()d f x f x x =∫，证明：存在(0,1)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ′+=．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷A ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分）1．当0x →时，2sin x x −是x 的 A ．高阶无穷小 B ．同阶但非等价无穷小 C ．低阶无穷小D ．等价无穷小答案 B解析由洛必达法则知200sin 2cos limlim 11x x x x x xx →→−−==−，故2sin x x −是x 的同阶但非等价无穷小，应选B 项．2．设()g x 与()f x 互为反函数，则12f x的反函数为A ．(2)g xB ．(2)f xC ．2()f xD ．2()g x答案 D解析由()g x 与()f x 互为反函数可知，[()]g f x x =，1122g fx x = ，所以可得122g f x x=，故12f x的反函数为2()g x ．故选D 项．3．011lim sin sin x x x x x →−的结果是A ．1−B ．1C ．0D ．不存在答案 A解析 0001111lim sin sin lim sin lim sin 011x x x x x x x x x x x →→→−=−=−=−，应选A 项．4．已知322,1()3,1x x f x x x ≤ = > ，则()f x 在1x =处的A ．左、右导数都存在B ．左导数存在，右导数不存在C ．左导数不存在，右导数存在D ．左、右导数都不存在答案 B解析由条件可得2(1)3f =，所以 31122()(1)33(1)lim lim 211x x x f x f f x x −−−→→−−′===−−，2112()(1)3(1)lim lim 11x x x f x f f x x +−+→→−−′===∞−− 故()f x 在1x =处左导数存在，右导数不存在，应选B 项．5．曲线2y =+(1,2)M 处的切线 A ．不存在B ．方程为1x =C ．方程为2y =D ．方程为12(1)3y x −=− 答案 B解析由条件可得y ′=1lim x y →′→∞，所以在点(1,2)M 处的切线为1x =，故选B 项．6．设函数()f x 在0x 的某个邻域内有定义，且004()()lim 0x x f x f x A x →−=>，则 A ．0()f x 一定是()f x 的一个极大值 B ．0()f x 一定是()f x 的一个极小值 C ．0()f x 一定不是()f x 的极值D ．不能断定0()f x 是否为()f x 的极值答案 B解析由条件易知，在0x 的某个邻域内，0()()0f x f x −>，所以0()f x 一定是()f x 的一个极小值，故选B 项．7．设()f x 是定义在[0,4]上的连续函数，且221()d x f t t x −=∫，则(2)f =A ．8B ．8−C ．48D ．48−答案 A 解析等式221()d x f t t x −=−∫两边同时对x 求导可得(2)2f x x −=，代入4x =可得(2)8f =，应选A 项．8．设2,01()2,12x x f x x x ≤≤= −<≤ ，0()()d x F x f t t =∫且[0,2]x ∈，则A ．32,013()12,1232x x F x x x x ≤≤ = +−<≤B ．32,013()72,1262x x F x x x x ≤≤ = −+−<≤ C ．332,013()2,1232x x F x x x x x ≤≤ = +−<≤D ．32,013()2,122x x F x x x x ≤≤ = −<≤答案 B解析当01x ≤≤时，320()d 3x x F x t t==∫；当12x <≤时，21211()d (2)d 2232xx F x t t t t x =+−=+−−+∫∫2172262x x =−+−，故选B 项． 9．曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴所围成的图形面积可表示为A ．2(1)(2)d x x x x −−−∫B ．121(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫C ．2(1)(2)d x x x x −−∫D ．211(1)(2)d (1)(2)d x x x x x x x x −−−−−∫∫答案 D解析曲线(1)(2)y x x x =−−与x 轴的三个交点为x =0，1，2．当01x <<时，0y <，当12x <<时，0y >，所以围成曲线的面积可表示成选项D 的形式．10．设1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，则它的通解是A ．12[()()]C x x ϕϕ+B ．12[()()]C x x ϕϕ−C ．122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+D ．122[()()]()x x x ϕϕϕ−+答案 C解析因为1()x ϕ和2()x ϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x ′+=的两个线性无关的解，所以12[()()]C x x ϕϕ−是方程()0y P x y ′+=的通解，从而()()y P x y Q x ′+=的通解为122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+，故选C 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．设()f x 连续，且2()()d xa x F x f t t x a=−∫，则lim ()x a F x →=___________．答案 2()a f a解析 2222()d lim ()lim ()d lim lim ()()xx a a x a x a x a x a f t t x F x f t t a a f x a f a x a x a→→→→====−−∫∫． 2．设()f x 为奇函数，且(1)2f ′=，则31d()d x f x x =−=___________．答案 6解析因为()f x 为奇函数，所以()f x ′为偶函数，由323d()3()d f x x f x x′=可得 31d()3(1)3(1)6d x f x f f x =−′′=−==． 3．2201d (1)(4)x x x +∞=++∫___________．答案π12解析这是一个反常积分，计算得2222000111111d lim d lim arctan arctan (1)(4)314362tt t t x x x x x x x x +∞→+∞→+∞ =−=− ++++ ∫∫ 11πlim arctan arctan 36212t t t →+∞ =−=． 4．设123y x =+，则()()n y x =___________．答案 1(1)!2(23)n n n n x +−⋅⋅+解析由1(23)y x −=+得2(1)(23)2y x −′=−×+×，32(1)(2)(23)2y x −′′=−×−×+×，归纳总结可得()1(1)!(2()23)n n n n n y x x +−⋅⋅=+． 5．=___________．答案C解析令tan x t =，故2d d(tan )sec d x t t t ==，则23sec d cos d sin sec t t t t t C C t ==+=∫∫．6．曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为___________．答案 35y x =+ 解析因为1(32)elim lim 3xx x y x kx x →∞→∞+==，111e 1lim[(32)e 3]lim 32e 51x xx x x bx x x →∞→∞−=+−=⋅+=，所以曲线1(32)e xy x =+的斜渐近线为35y x =+．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22d d yxy x y x =+满足初始条件(e)2e y =的特解．解由22d d yxy x y x=+得22d d y x y x xy+=，令yu x=，原方程可化为 d 1d u u xu x u+=+，解得22ln u x C =+，代入(e)2e y =可得2C =，故所求方程的特解为2222ln 2y x x x =+．2．求函数πarctan 2(1)e x y x +=−的单调区间与极值．解由条件易得πππ2arctan arctan arctan 222221e (1)ee11x x x x x y x x x ++++′=+−⋅=⋅++，令0y ′=，解得1x =−和0x =．当1x <−时，0y ′>；当10x −<<时，0y ′<；当0x >时，0y ′>．所以函数的单调递增区间为(,1]−∞−和(0,)+∞，单调递减区间为[1,0]−．且1x =−为极大值点，极大值为π4(1)2e y −=−；0x =为极小值点，极大值为π2(0)e y =−．3．计算下列积分．（1）求不定积分cos d 1cos xx x+∫．解222cos cos (1cos )1d d d(sin )(csc 1)d csc cot 1cos sin sin x x x x x x x x x x x C x x x −==−−=−++++∫∫∫∫．（2）求定积分1220arctan d (1)xx x +∫．解令tan x t =，则πππππ224124444224000arctan sec cos 21d d cos d d d(sin 2)(1)sec 244xt tt t t t x t t t tt t t x t+====+ + ∫∫∫∫∫ ππ224400π1cos 2ππ1[sin 2]644264168t t t =++=+− ． 4．求摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =−> =−的一拱绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解所求体积为2π2π2π2π22233π()d πd πd π(1cos )d a a a V f x x y x y x a t t ====−∫∫∫∫32ππ33636001cos 8πd 32πsin d 32π222t t t a t a a I − ==∫∫ 323531π32π5π6422a a ××××=．注这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n nn n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数． 5．证明：当01x <<ln(1)arcsin x x+<．证明令()(1)ln(1)f x x x x =++，则(0)0f =，且()ln(1)0(01) f x x x x ′=+><<，由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得ln(1)arcsin x x+<． 6．设()f x 在区间[0,1]上可导，1220(1)2()d f x f x x =∫，证明：存在(0,1)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ′+=．证明令2()()g x x f x =，由积分中值定理，存在10,2c∈，使得12220(1)2()d ()f x f x x c f c ==∫，即()(1)g c g =．显然2()()g x x f x =在[0,1]上可导，由罗尔中值定理，存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0g ξ′=．而2()2()()g x xf x x f x ′′=+，故2()()0f f ξξξ′+=．。

专升本(高等数学一)模拟试卷83(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷83(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= 【】A．eB．e－1C．－e－1D．－e正确答案：B解析：由于．故选B．2．设函数f(x)=sinx，则不定积分∫f?(x)dx= 【】A．sinx+CB．cosx+CC．－sinx+CD．－cosx+C正确答案：A解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项A正确．3．由点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)确定向量= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，可知=｛x2－x1，y2－y1，z2－z1｝，则4．设z=ln(x2+y)，则= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：求时，将y认定为常量，则．故选B．5．已知f?(cosx)=sinx，则f(cosx)= 【】A．－cosx+CB．cosx+CC．(sinxcosx－x)+CD．(x－sinxcosx)+C正确答案：C解析：已知f?(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得∫f?(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)故选C．6．中心在(－1，2，－2)且与xOy平面相切的球面方程是【】A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(－1，2，－2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A．7．设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f?(x)＞0，则【】A．f(1)＞f(0)B．f(1)＜f(0)C．f(1)=f(0)D．f(1)与f(0)的值不能比较正确答案：A解析：由f?(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)．故选A．8．幂级数的收敛半径为【】A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：由于可知收敛半径R==1．故选A．9．幂级数的收敛半径R= 【】A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B10．设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=－1处必定【】A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能确定正确答案：C填空题11．设f(x)==________．正确答案：解析：因为f(x)=，所以f?(x)=，而由导数定义有12．已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，则=________．正确答案：解析：此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数．具体解法是：在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy?=0，y?=，也就是13．=________．正确答案：解析：14．已知，则f(x)=________．正确答案：(1+x)215．设y=arctan，则其在区间[0，2]上的最大值为________．正确答案：解析：由y=arctan知y?=＜0，所以y在[0，2]上单调递减．于是ymax =y｜x=0 =arctan1=16．若∫－∞0ekxdx=，则k=________．正确答案：3解析：17．直线l：的方向向量为________．正确答案：｛－2，1，2｝解析：直线l的方向向量为s=｛1，2，0｝×｛0，2，－1｝==｛－2，1，2｝18．设f(x)=在x=0处连续，则k=________．正确答案：1解析：由连续的三要素及f(0－0)=1=f(0+0)=f(0)，得k=1．19．定积分∫01(x+1)dx=________．正确答案：y解析：设．代入已知函数可得f(t)==(t+1)2．20．微分方程y??－6y?+9y=0的通解为________．正确答案：e3x(c1+c2x)解答题21．若=6，求a与b的值．正确答案：=6，又x→3，分母x－3→0．所以(x2+ax+b)=0得9+3a+b=0，b=－9－3a．则x2+ax+b=x2+ax－(9+3a)=(x－3)[x+(3+a)]所以所以a=0，b=－9－0=－9．22．求f(x)=的定义域、连续区间、间断点．正确答案：由题知，定义域为(－∞，+∞)．又因所以x=0为间断点，则连续区间为(－∞，0)∪(0，+∞)．23．已知曲线y=x3+bx2+cx通过点(－1，－4)，且在横坐标为x=1的点处切线斜率为2，求b，c及曲线方程．正确答案：由解方程得24．求曲线y=x2与直线y=x，y=2x所围成的图形．正确答案：由题作图，由图知25．求过两点M1(1，－1，－2)，M2(－1，1，1)作平面，使其与y轴平行的平面方程．正确答案：所求平面法向量同时垂直y轴及向量(如图)．即由点法式可得所求平面为3x+2z+1=0．26．判定级数(a＞0)的敛散性．正确答案：R=含有参数a＞0，要分情况讨论：(1)如果0＜a＜1，则=1≠0．由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．(2)如果a＞1，令是收敛的．用比较法：(3)如果a=1，则un=所以≠0，由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．所以27．在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积．正确答案：(1)设点A为(a0，a02)．由y?=2x，得过点A切线斜率为2a0，则切线方程为y－a02=2a0(x－a0)即x=由题作图，由图知解得a0=1(x＞0)．所以点A的坐标为(1，1)．(2)过点A的切线方程为y－1=2(x－1)，即y=2x－1．(3)由图知绕x轴旋转的体积为28．求函数f(x)=lntdt的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间．正确答案：f?(x)=lnx，令f?(x)=lnx=0得驻点x0=1，又f??(x)=，f??(1)=1＞0故x0是f(x)的极小值点，极小值为：因f??(x)=＞0(x＞0)，曲线是上凹的．。

高等数学模拟试题1

高等数学模拟试卷一、填空题 .函数1||)3ln(--=x x y 的定义域为...____________1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→xx x x.曲线33)4(x x y -+=在点（，）处的切线方程为. 二、选择题. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→hx f h x f h )()(lim000( )21).A ( 2).B ( 21).C (- 2).D (-. .当0→x 时, 2x 与x sin 比较是 ( ).().较高阶的无穷小 (). 较低阶的无穷小 (). 同阶但不等价的无穷小 ().等价的无穷小.设曲线22-+=x x y 在点处的切线斜率为,则点的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ()cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D (三、计算题 .计算)1ln(arctan lim3x xx x +-→ .设,cos ,,sin t v e u t uv z t==+=求全导数.dtdz .求微分方程x x y y x cos =+'的通解..求幂级数∑∞=--121)1(n nn x n 的收敛域. 答案一、填空题：.分析初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体. 解由⎩⎨⎧>->-0103|x |x 知，定义域为{}131-<<<x x x 或.. 分析属∞1型,套用第二个重要极限.解 1)1(11lim 1lim --⋅∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e x x x x x xx . .解 323)3(31)4(3x x x y --⋅++-=',12-='=x y ，所求切线方程为:)2(6--=-x y ,即8+-=x y . 二、选择题 . 解 2)()1()()(lim )()(lim0000000='-=-⋅---=--→→x f hx f h x f h x f h x f h h .选).B ( . 分析先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.解因0sin lim sin lim020=⋅=→→x xxx x x x ,故选(). . 解由312=+='x y 知1=x , 又01==x y ,故选(). 三、计算题 .分析属型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之. 解 22030303111lim arctan lim )1ln(arctan limx x x xx x x x x x x +-=-=+-→→→ 31)1(31lim )1(3lim 202220=+=+=→→x x x x x x . .解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= t t t e t t u ve t t cos )sin (cos cos )sin (+-=+-+=..分析属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式.解原方程化为: x y x y cos 1=+',x x q xx p cos )(,1)(== 通解为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎰--C dx xe e C dx e x q e y dx x dx x dx x p dxx p 11)()(cos )([][][]C x x x xC x xd x C xdx x x++=+=+=⎰⎰cos sin 1sin 1cos 1. .分析先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.解收敛半径:1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , 收敛区间为() 在1-=x 处,级数∑∑∞=∞=--=--121211)1()1(n n nn n n 收敛;在1=x 处,级数∑∞=--121)1(n n n 收敛,所以收敛域为:[].高数模拟试卷一. 选择题：本大题共个小题，每小题分，共分。

全国自考(高等数学一)模拟试卷6(题后含答案及解析)

全国自考（高等数学一）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 3. 计算题（一） 4. 计算题（二） 5. 应用题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设，则f—1(x)=A．x—1B．x+1C．—x—1D．—x+1正确答案：A解析：∴f(x)=1+x=y，得x=y—1，故反函数f—1(x)=x —1．2．A．1B．0C．∞D．2正确答案：A解析：3．当x→∞时，等价，则k=A．1B．0C．2D．3正确答案：C解析：∵x→∞时，通过观察可发现只有k=2时才能使上述极限成立，4．设函数f(x)在x=a处可导，且=1，则f’(a)=A．B．5C．2D．正确答案：A解析：5．设y=，则dy=A．B．C．D．正确答案：C解析：6．设函数f(x)=(x—1)，则点x=1是f(x)的A．间断点B．可微点C．驻点D．极值点正确答案：D解析：因为连续函数的极值点必是函数的驻点或不可导点，故由此来判断x=1是f(x)=的极值点．7．若lnx(x＞0)是函数f(x)的原函数，那么f(x)的另一个原函数是A．ln(ax)(a＞0，x＞0)B．lnx (x＞0)C．ln(x+a)(x+a＞0)D．(lnx)2(x＞0)正确答案：A解析：∵(lnx)’=∴ln(ax)也是f(x)的原函数．8．微分方程y’=ex—2y的通解是y=A．ln(2ex+C)B．ln(2ex+C)C．ln(ex+C)D．ln(ex+C)正确答案：A解析：y’=ex—2y，∴∴e2ydy=exdx，∫e2ydy =∫exdx即e2y=ex+C1，化简得y=ln(2ex+C)．9．A．1B．exC．yexD．y正确答案：C解析：∵x=∴lnz=x+lny，即z=ex+lny=yex，∴=yex．10．若D={(x，y)|—2≤x≤2，0≤y≤1}，则二重积分f(x，y) dxdy= A．2∫02dx∫01f(x，y)dyB．2∫—20dx∫02f(x，y)dyC．∫—22dx∫01f(x，y)dyD．∫—22dx∫—11f(x，y)dy正确答案：C解析：由二重积分的性质得f(x，y)dxdy=∫—22dx∫01f(x，y)dy．计算题（一）11．求极限(1—sinx) cotx．正确答案：12．设y=ln(cscx—cotx)，求y’．正确答案：13．求极限正确答案：14．求不定积分正确答案：15．已知z=u2υ=uυ2，且u=xcosy，υ=xsiny，求正确答案：计算题（二）16．讨论的连续性．正确答案：由条件知f(x)在(一∞，1)，(1，3)，(3，+∞)内连续，因此只需讨论f(x)在x=1，x=3点处的连续性．当x=1时，f(1+0)=4，f(1—0)=6，f(x)在x=1处间断，当x=3时，f(3+0)=6，f(3—0)=6，又f(3)=6，所以f(x)在x=3处连续，故f(x)的连续区间为(—∞，1)∪(1，+∞)．17．设0＜|x|＜1，求y’．正确答案：18．求(a＞0，n为正整数)．正确答案：19．设I1=∫01exdx，I2=∫01，试比较I1与I2的大小．正确答案：I1=∫01exdx= e—1，令t=，I2= 2∫01tetdt=2∫01tde = 2(tet ∫01一∫01etdt) = 2，所以I1＜I2.20．设函数z=z(x，y)由方程=2e2确定，求正确答案：本题考查隐函数的求导法则．应用题21．已知汽车行驶时每小时的耗油费用y(元)与行驶速度x(公里/小时)的关系为y=x3，若汽车行驶时除耗油外的其他费用为每小时100元，求最经济的行驶速度．正确答案：设行驶a公里，则行驶时间为，总费用为当x=50时，S’=0，S”=∴最经济的速度为50公里/小时．22．设某产品的需求函数为Q=40—2P，又生产Q件时的平均成本为求：(1)Q=10时的边际收入；(2)Q=10时的需求价格弹性；(3)边际利润为零时的总产量与利润额．正确答案：(1)收益函数R(Q)=Q．P=R’(Q)=20—Q，所以Q=10时的边际收益为R/(10)=10．(2)由于P=20—所以Q=10时的价格为P=15，需求价格弹性为所以Q=10时的需求价格弹性为η|P=15=|P=15=3．(3)由于+4，所以C(Q)=20+4Q，利润函数为L(Q)=R(Q)一C(Q)=(20Q—Q2)—(20+4Q)=Q2+16Q—20，边际利润为L’(Q) =—Q+16，L’=0得Q=16，边际利润为零时的产量为Q=16，此时的总利润为L(16)=108．23．求曲线y=ex，y=e—x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积Vx．正确答案：本题为定积分的应用．平面图形如下图所示．A=∫01(ex一e—x)dx=(ex+e—x)∫01=e+e —1—2，Vx为y=ex与y—e—x旋转所得旋转体体积之差，即Vx=∫01π(ex)2dx—∫01π(e—x)2dx =π∫01(e2x—e—2x) dx=(e2x+ e—2x)|01=(e2+e—2—2)．24．从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的长为b，宽为h，若梁的强度f(b) =bh2，问梁的横断尺寸应如何设计可使其强度最大？并求出最大强度．正确答案：∵d2=b2+h2，h2=d2—b2，f(b)=bh2=b(d2—b2)，f’(b)=d2—3b2．当b=时，f’(b)=0，f”(b)=一6b＜0，∴为最大值．。