布里渊区.ppt

b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
i
a
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
定义 g 2 p ，可以把方程（2.4.7）写成如下的形式
a
f (x) fg exp(igx) g
（2.4.8）
这里，g 可以看成是以 a 为周期的一维晶格的倒格矢。 （2.4.8）式就是三维情况下的普遍形式（2.4.4）在一维情况下的具 体表现形式。
a
正八面体的体积是 9 (2 )3
2a
比倒格子的原胞体积大 1 (2 )3
2a
可见这个八面体不是第一布里渊区。
必须再考虑次紧邻的六个倒格点，倒格矢为：2 (2i )
a
2 ( j )
a
2 (k )
a
它们的中垂面截去了正八面体的 6 个顶角，形成一个截角八面体，
它有八个正六边形和六个正方形，即十四面体。而截去的体积恰好是
a
倒格矢表示为
Gh
h1b1
h2b2
2
a
(h1i
h2
j)
h1, h2为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为
b1(h1 1, h2 0), b2(h1 0, h2 1)
通过这四个矢量的中点
1
2 b1 a i ,
1 2
b2
a
j
分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。 再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为
二、结构基元的傅立叶分析
（Scattering from a lattice with basis）
三、原子形状因子（atomic form factor）
本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因 子，给出几种晶体衍射消光的条件。
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
展开为傅立叶级数 n(r ) nGeiGh r
Gh
（2.4.4）
其中 nG 是电荷密度的傅立叶分量，由傅立叶逆变换给出：
nG
1 V
V
dVn(r )eiGh r
（2.4.5）
这里百度文库 V 是固体的体积。
(1)一维情况下傅立叶级数
具有一维晶格周期 a 的函数 f (x)满足 f (x) f (x a)
倒格子的W-S 原胞被称为第一布里渊区，它的价值和意义在
于它为方程（2.3.2）的衍射条件
2k G G2
提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上 发生布拉格反射的波的波矢 。
k
G 1G 2
第一布里渊区
根据上面的分析，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端点 落在这些面上时，也必然产生反射。
1、振幅的表示 （express of amplitude）
考虑如图所示的X射线被固体散射的情况，入射平面波
波矢为 k ，散射平面波 eik ' r ，波矢为 k '
eik r
当入射 X 射线与固体中电荷密度为 n(r )
的电子相互作用时发生散射。 散射的振幅与有限体积元 dV 中的电荷
e n(r )dV 成正比，其位相因子为 i
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
px)
p 1
S p sin( a
px)
（2.4.6）
其中 p 是整数， f0 ,Cp , S p 是傅立叶系数。
这个展开式可以写成更简洁的形式
2
f (x)
p
f p exp(i a
px)
（2.4.7）
系数 f p 由 f0 , Cp , S p 给出。
§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin zone）
§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin Zone）
O 点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格 矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波 矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件 则可写成
k (1 G) (1 G)2
2
2
（2.3.3）
这就是布里渊的散射条件。
容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满 足散射条件。
aa
2 j 2 k
aa
2 k 2 i
aa
这十二个倒格矢的中垂面围成的 区域就是第一布里渊区，
如图2.7所示是一个十二面体。
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
: 2 (0, 0, 0)
a
H : 2 (1, 0, 0)
a
N : 2 (1 , 1 , 0)
a 22
P : 2 (1 , 1 , 1)
3、布里渊区的性质 从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质： （1）布里渊区的形状与晶体结构有关； （2）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成； （3）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都 相同，都等于倒格子的原胞体积。
其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-赛茨原胞，它 的体积就是倒格子原胞体积。
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价
我们再来看劳厄衍射条件 k R 2 m
或者 G R 2 m
提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。
在实际应用中，用另外一种散射条件表示劳厄衍射条件会更
方便一些。在弹性散射中，光子的能量是守恒的， k 和 k’ 的大
小相等，且有，
k 2 k '2
由 k G
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区 对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a a3 2 (i j k )
原胞体积为 a1 (a2 a3 ) a3 / 2
1 ( 2 )3
2a
可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图2.8所示。
图2.8 面心立方正格子的第一布里渊区
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
: 2 (0, 0, 0)
a
X : 2 (1, 0, 0)
a
K : 2 (3 , 3 , 0)
a 44
L : 2 (1 , 1 , 1)
a 222
已经消除。因此，我们可以用
mG 来替代 G
即可以得到布拉格的结果： 2d sin m
二、布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone） 1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
如图2.4所示是倒空间的二维格子。
k G
1G 2
图2.4 倒空间的二维格子
则三个倒格子基矢为：
b1
2
(a2
a3 )
2
a
(
j
k
)
b2
2
(a3
a1)
2
a
(k
i
)
倒格子原胞体积为
2
2
b3 (a1 a2 ) a (i j )
* b1 (b2 b3) 2(2 / a)3
。
可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.
离原点最近的倒格点有12个，它们是：
2 i 2 j
下面举例说明一维、二维、三维晶格点阵的布里渊区。
（1）一维晶格的布里渊区
一维晶格点阵的基矢为 a ai
对应的倒格子基矢为 b 2 i
a
离原点最近的倒格矢为 b
这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为
a
和 b
如图2.5所示。
(2)二维正方格子的布里渊区
设方格子的原胞基矢为 a1 ai a2 aj
The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
a 222
图2.7 体心立方正格子的第一布里渊区
（5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区 取面心立方的原胞基矢为：
a1
a 2
(
j
k
)
a a2 2 (k i )
原胞体积为
a1 (a2 a3 ) a3 / 4
a3
a 2
(i
j)
倒格子原胞基矢为：
b1
2
(a2
a3)
2
a
(i
j
k)
原胞体积为
b2
（3）简单立方格子的布里渊区
简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近的 有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻的 格点连线的垂直平分面围成的立方体。
对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为
a1 ai
原胞体积为
a2 aj
a3
a3 ak
对应的倒格子基矢为
b1
2
(a2
a3 )
Brillouin zone
summary
The central cell in the reciprocal lattice is of special importance in the theory of solids. It is the first Brillouin zone. The first Brillouin zone is the smallest volume entirely enclosed by the planes that are perpendicular bisectors of the reciprocal lattice vectors.
G hb1 kb2 lb3
垂直于密勒指数（hkl）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为
d 2
G
因此 2k G G2 可以写为 2(2 / )sin 2 / d
或者 2d sin
其中θ是入射光与晶面之间的夹角。
其实，定义倒格矢的整数 hkl 未必就代表实际的晶面，因为hkl
可能包含一个公因数m ，在用 hkl 作为晶面的密勒指数时，公因数
dV
k0
r
k0 '
k 0 • r
k 0 '• r
位相的改变为
k r k ' r (k ' k ) r k r
散射波的总振幅是 n(r )dV 与相位因子 ei
的乘积在整个晶体体积内的积分，即
F dVn(r )eik r solid
散射波的强度与振幅的平方 F 2 成正比，因此，
振幅 F 决定散射波的强度和衍射峰值的宽度。
有 k '2 (G k )2 0 G2 2k G （2.3.1）
因为 G 是一个倒格矢， G 也应是一个倒格矢，
用 G 替代 G ， 有 2k G G2
（2.3.2）
（2.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示 形式。
下面我们来说明它与布拉格定律是等价的： 由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl）为系数构成倒格矢
2
(a3
a1)
2
a
(i
j
k)
b3
2
(a1 a2 )
2
a
(i
j
k)
a1
(a2
a3
)
4(
2
a
)3
因为面心立方结构的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格点有8个，它们是
b1, b2, b3, (b1 b2 b3)
其倒格矢为 2 (i j k )
a
它们的中垂面构成一个八面体，每一个面离原点的距离为 3