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(完整版)七年级因式分解

【因式分解】讲义知识点1：分解因式的定义1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （） ④ )2(222y x xy xy xy y x -=+- （）知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1、的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2、多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是3、342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：1、可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=_______________ （2）11n n n aa a +--+=____________（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2、式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_____________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如：22188y x +-=1、多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是2、分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。

苏教版七年级下册数学因式分解

2、若5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋1=0，求x、y的值。
3、把下列各式分解因式
（1） - 2xy - y2 - x2 （2） -1 + p4 （3）x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y + 1 （4）( a - b)2n - (b - a)2n+1
4, 把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。
（二）因式分解的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法（3）、分组分解法
（4）、求根法（十字相乘法）
（1）、提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
2、已知x = 0.67，y=0.33，求x2 ＋y2 ＋ 2xy －x － y的值
三、小结
1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法（3）、分组分解法（4）、求根法（十字相乘法）
概念
因
式
分
解
方法
与整式乘法的关系：相反变形
提取公因式法
公平方差公式
完全平方公式
式立方和（差）公式十
字
x2+(a+b)x+ab
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘
法 =(x+a)(x+b)
法
分组分组后再提取公因式
分解法
分组后再运用公式法或再运用十字相乘法

2020年初一数学(下)期中复习《因式分解》含答案

初一下数学期中复习因式分解一．因式分解-提公因式法1．把下列各式分解因式：（1）ax﹣ay+az；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）．2．因式分解：（x+1）（x+3）﹣33．（2019秋•徐汇区校级期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）24．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）6．（2018秋•如皋市期中）因式分解：（1）x2﹣10x （2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2 6．（2017春•天宁区校级月考）因式分解：2x2﹣4x．8．（2017春•滨海县期末）因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．9．（2015春•新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）10．（2013春•常州期中）因式分解：3a2﹣6a2b+2ab．二．因式分解-运用公式法12．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）．13．（2019春•泰兴市期中）因式分解．（1）4x2﹣9y2 （2）x2+2xy+2y214．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．15．（2018春•江宁区校级月考）分解因式．（1）（m+1）（m﹣9）+8m （2）（x2﹣x）2﹣（x﹣1）2 15．（2018春•工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．17．（2020春•灌云县期中）因式分解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）8a2﹣2b2 （3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）218．（2019秋•崇川区校级期末）分解因式：（1）4x2y﹣9y （2）（a2+4）2﹣16a219．因式分解（1）4a2﹣9；（2）3ax2+6axy+3ay2．20．分解因式：（1）9ax2﹣ay2；（2）2x3y+4x2y2+2xy3．21．（2020春•东台市期中）因式分解①2x2﹣8 ②x3﹣2x2y+xy2 ③（x2+4）2﹣16x2．四．因式分解-分组分解法23．分解因式：x2+y2+2xy﹣1．24．（2018春•玄武区校级期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．25．（2018秋•启东市期中）分解因式（1）16﹣a4 （2）y3﹣6xy2+9x2y（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （4）9﹣a2+4ab﹣4b2（1）a4﹣16 （2）x2﹣2xy+y2﹣9 （3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）27．（2017春•苏州期中）分解因式：（1）2a3﹣8a（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）（4）（x2+4）2﹣16x2（4）2xy﹣x2+1﹣y2．28．（2017春•江阴市校级月考）因式分解（1）x3﹣4x （2）﹣2a2+4a﹣2（3）x2﹣5x﹣6 （4）x2﹣4y2+x+2y．29．（2016春•鼓楼区校级期中）分解因式（1）4x2﹣36；（2）﹣4m3+8m2+32m；（4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（4）a2+ac﹣bc﹣b2．（1）3x﹣12x3 （2）a3﹣4ab2（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2 （4）a2﹣4a+4﹣c2．31．（2016秋•张家港市校级月考）因式分解：（1）3ax﹣3ay2（2）（a+b）2﹣a2 （3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）（4）x4﹣18x2+81 （5）x2﹣5x+6 （6）a2+2a+1﹣b2．32．（2016春•江阴市校级月考）因式分解：（1）3a5﹣12a4+9a3（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2．五．因式分解-十字相乘法等33．（2019春•常熟市期末）将下列各式分解因式：（1）x2﹣5x﹣6；（2）8x2﹣8x+2；（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．（1）9x2﹣25 （2）x4y4﹣8x2y2+16（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y235．（2019春•吴江区期中）分解因式：（1）ax2﹣6ax+9a （2）（m+1）（m﹣9）+8m （3）a4+3a2﹣436．（2019春•丹阳市期中）分解因式（1）6xz﹣9xy （2）8a3﹣8a2+2a（3）2ax2﹣18a3 （4）x2﹣4x﹣1237．（2019春•常熟市期中）分解因式：（1）3a2﹣6a+3；（2）a2﹣ab﹣6b2；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）（1）x4﹣81 （2）x2﹣x﹣2 （3）2x2y﹣8xy+8y 39．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．40．（2018春•玄武区校级月考）分解下列因式（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）（2）16x4﹣8x2y2+y4 （3）（x2+4）2﹣16x2 （4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2 （5）x2﹣6x﹣1641．（2018春•常熟市期末）将下列各式分解因式（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）；（2）a2﹣4a﹣12；（3）81x4﹣72x2y2+16y442．（2018春•相城区期中）将下列各式分解因式：（1）2ax2﹣8a （2）x2﹣6xy+5y2（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2 （4）a2﹣b2+2b﹣1一．因式分解-提公因式法1．（1）ax﹣ay+az＝a（x﹣y+z）；（2）6a2b﹣15ab2+30a2b2＝3ab（2a﹣5b+10ab）；（3）10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）＝10a（x﹣y）2+5b（x﹣y）＝5（x﹣y）[2a（x﹣y）+b] ＝5（x﹣y）（2ax﹣2ay+b）；（4）x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）＝x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（a﹣x）（a﹣y）＝（a﹣x）（a﹣y）（x﹣y）．2．（x+1）（x+3）﹣3＝x2+4x+3﹣3＝x2+4x＝x（x+4），3．（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣（x2+xy+y2），＝x2﹣xy﹣3xy+y2﹣x2﹣xy﹣y2，＝﹣xy+y2，＝﹣y（x﹣y）．4．2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．5．3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）﹣27（2y﹣x）＝3x2（x﹣2y）﹣18x（x﹣2y）+27（x﹣2y）＝3（x﹣2y）（x2﹣6x+9）＝3（x﹣2y）（x﹣3）2．6．（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．7．2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．8．（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）＝（x﹣y）（3a+5b）（2）x6﹣x2y4＝x2（x4﹣y4）＝x2（x2﹣y2）（x2+y2）＝x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）9．3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）．10．3a2﹣6a2b+2ab＝a（3a﹣6ab+2b）．11．6a（b﹣1）2﹣2（1﹣b）2＝2（b﹣1）2（3a﹣1）．二．因式分解-运用公式法12．（1）16x2﹣8xy+y2＝（4x﹣y）2（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．13．（1）4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）（2）x2+2xy+2y2＝（x2+4xy+4y2）＝（x+2y）2．14．（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．15．（1）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；＝（x+1）（x﹣1）3．16．x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．三．提公因式法与公式法的综合运用17．（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）（2）8a2﹣2b2＝2（4a2﹣b2）＝2（2a+b）（2a﹣b）（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2＝[2+3（x﹣y）]2＝（2+3x﹣3y）218．（1）4x2y﹣9y＝y（4x2﹣9）＝y（2x+3）（2x﹣3）（2）（a2+4）2﹣16a2＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）＝（a+2）2（a﹣2）219．（1）4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）（2）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）220．（1）9ax2﹣ay2＝a（9x2﹣y2）＝a（3x+y）（3x﹣y）（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）221．①2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）②x3﹣2x2y+xy2═x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2③（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝（x+2）2（x﹣2）222．（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；（2）x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．四．因式分解-分组分解法23．x2+y2+2xy﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y﹣1）（x+y+1）．24．（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝（x﹣2）（m2﹣m）＝m（x﹣2）（m﹣1）；（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2；（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）（x2﹣y2）＝（x+y）2（x﹣y）．25．（1）16﹣a4＝（4+a2）（4﹣a2）＝（4+a2）（2+a）（2﹣a）（2）y3﹣6xy2+9x2y＝y（y2﹣6xy+9x2）＝y（y﹣3x）2（3）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2＝（m+n﹣2m）2＝（n﹣m）2（4）9﹣a2+4ab﹣4b2＝9﹣（a﹣2b）2＝（3﹣a+2b）（3+a﹣2b）26．（1）a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）（2）x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）（3）n2（m﹣2 ）+（2﹣m）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）27．（1）2a3﹣8a＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）；（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）＝2（x﹣y）（2a+b）；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）2xy﹣x2+1﹣y2＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．28．（1）x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）（2）﹣2a2+4a﹣2＝﹣2（a2﹣2a+1）＝﹣2（a﹣1）2（3）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（4）x2﹣4y2+x+2y＝（x+2y）（x﹣2y）+（x+2y）＝（x+2y）（x﹣2y+1）29．（1）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）（2）﹣4m3+8m2+32m＝﹣4m（m2﹣2m﹣8）＝﹣4m（m+2）（m﹣4）（3）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9＝（y2﹣1﹣3）2＝[（y+2）（y﹣2）]2＝（y+2）2（y﹣2）2（4）a2+ac﹣bc﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+c）30．（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x（1+2x）（1﹣2x）（2）a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）；（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y﹣x﹣2y）（2x+y+x+2y）＝（x﹣y）（3x+3y）＝3（x﹣y）（x+y）；（4）a2﹣4a+4﹣c2＝（a﹣2）2﹣c2＝（a﹣2+c）（a﹣2﹣c）．31．（1）3ax﹣3ay2＝3a（x﹣y2）；（2）（a+b）2﹣a2＝（a+b﹣a）（a+b+a）＝b（2a+b）；（3）3a（x﹣y）+9（y﹣x）＝3（x﹣y）（a﹣3）；（4）x4﹣18x2+81＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2；（5）x2﹣5x+6＝（x﹣3）（x﹣2）；（6）a2+2a+1﹣b2＝（a+1）2﹣b2＝（a+1+b）（a+1﹣b）．32．（1）3a5﹣12a4+9a3＝3a3（a2﹣4a+3）＝3a3（a﹣3）（a﹣1）（2）3a2﹣6ab+3b2﹣12c2＝3（a2﹣2ab+b2﹣4c2）＝3[（a﹣b）2﹣4c2]＝3（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）五．因式分解-十字相乘法等33．（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（2）8x2﹣8x+2＝2（4x2﹣4x+1）＝2（2x﹣1）2（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）34．（1）9x2﹣25＝（3x+5）（3x﹣5）（2）x4y4﹣8x2y2+16＝（x2y2﹣4）2＝（xy+2）2（xy﹣2）2（3）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）（4）x2﹣xy﹣6y2＝（x﹣3y）（x+2y）35．（1）ax2﹣6ax+9a＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2；（2）（m+1）（m﹣9）+8m＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；（3）a4+3a2﹣4＝（a2﹣1）（a2+4）＝（a﹣1）（a+1）（a2+4）．36．（1）6xz﹣9xy＝3x（2z﹣3y）（2）8a3﹣8a2+2a＝2a（4a2﹣4a+1）＝2a（2a﹣1）2（3）2ax2﹣18a3＝2a（x2﹣9a2）＝2a（x+3a）（x﹣3a）（4）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）37．（1）3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2；（2）a2﹣ab﹣6b2＝（a﹣3b）（a+2b）；（3）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）＝9a2（2x﹣y）﹣（2x﹣y）＝（2x﹣y）（9a2﹣1）＝（2x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）．38．（1）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（2）x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）；（3）2x2y﹣8xy+8y＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．39．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．40．（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（a2﹣b2）（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；（2）16x4﹣8x2y2+y4＝（4x2﹣y2）2＝（2x+y）2（2x﹣y）2；（3）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2；（4）36（a+b）2﹣4（a﹣b）2＝（6a+6b）2﹣（2a﹣2b）2＝（6a+6b+2a﹣2b）（6a+6b﹣2a+2b）＝（8a+4b）（4a+8b）＝16（2a+b）（a+2b）；（5）x2﹣6x﹣16＝（x﹣8）（x+2）．41．（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+3y）；（2）a2﹣4a﹣12＝（a﹣6）（a+2）；（3）81x4﹣72x2y2+16y4＝（9x2﹣4y2）2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．42．（1）2ax2﹣8a＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）x2﹣6xy+5y2＝（x﹣y）（x﹣5y）；（3）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2＝（2m﹣n﹣3n）2＝4（m﹣2n）2；（4）a2﹣b2+2b﹣1＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．。

七年级下册因式分解

• 综合问题解决：结合实际问题，教授学生如何将复杂的数学问题转化为利用因式定理进行分解的步骤，提升解题效率。
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综合练习题解析
• 因式分解策略: 运用提公因式法、分组分解法、配方法等多种技巧，结合题目特点选择合适的方法进行分解。
• 解题步骤详述: 首先识别题目中的关键表达式，然后逐步应用分解技巧，最后验证结果的正确性和完整性。
七年级下册因式分解
Overview
1. 因式分解简介 2. 常见因式分解方法 3. 高级技巧与拓展 4. 实战演练与巩固
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因式分解简介
定义与重要性
• 因式分解概念: 因式分解是将一个多项式表达式分解成几个不可再分的乘积形式的过程，是代数运算的基础之一。
• 数学学习地位: 在数学学习中，因式分解是解决复杂方程和不等式问题的关键工具，有助于简化计算和深入理解代数结构。
• 实际应用场景: 在实际问题中，如物理学、工程学等领域，通过因式分解可以简化复杂的计算模型，提高问题解决效率。
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基本原则
• 分解到不可再分：因式分解的首要原则是将多项式逐步分解至不能再分解为止，这要求识别并提取公因式，直至每个因子都是质因式。
• 公因式提取法：通过寻找多项式中各项的共同因子，提取公因式，简化表达式，这是因式分解中最基本的技巧之一。
分解正确。
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公式法
• 平方差公式：用于快速计算两数差的平方，形式为 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2，简化计算过程。
• 完全平方公式：表示一个数或多项式是完全平方的形式，如 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2，有助于因式分解。
• 立方和与立方差公式：分别是 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) 和 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)，解决立方数的因式分解问题。

七年级下册因式分解公式

七年级下册因式分解公式
我们要对一个多项式进行因式分解，因式分解是一种将多项式化为几个整式的积的形式。

在七年级下册中，我们主要学习了几种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法等。

首先，我们要理解什么是因式分解。

因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的形式。

例如：x^2 - 2x + 1 可以因式分解为 (x - 1)^2。

接下来，我们来看看七年级下册中主要学习的因式分解公式有哪些。

1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 和 a^2 - 2ab + b^2 =
(a - b)^2。

3. 提公因式法：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么我们可以把这个公共因子提取出来，使得剩下的部分更容易进行因式分解。

现在，我们可以使用这些公式来因式分解一些多项式了。

例如，我们可以将多项式 x^2 - 2x + 1 因式分解为 (x - 1)^2。

再比如，我们可以将多项式 4x^2 - 4x 因式分解为 4x(x - 1)。

通过因式分解，我们可以更好地理解和简化多项式，从而更好地解决数学问题。

(完整版)因式分解方法大全.doc

因式分解方法大全（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。

因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。

它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。

一、提公因式法：ma mb mc m( a b c)二、运用公式法：⑴平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)⑵完全平方公式：a2 2ab b2 ( a b) 2⑶立方和公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) （新课标不做要求）⑷立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) （新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2⑹ a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac)三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例：分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式 =( 2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10 ay 5by) =2a( x 5y) b(x 5y)=x(2a b) 5 y(2a b)=( x 5 y)(2a b)=( 2a b)( x 5 y)㈡分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式： a 2 2ab b 2 c 2解：原式 = ( a2 2ab b 2 ) c2= ( a b) 2 c 2= ( a b c)(a b c)四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式ax 2bx c ，都要求b24ac 0而且是一个完全平方数。

七年级下册因式分解公式

七年级下册因式分解公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册因式分解公式因式分解是数学中的一个基础概念，也是代数中的重要内容之一。

在七年级下册的学习中，因式分解也成为了我们学习的一部分。

因式分解是指把一个多项式按照其因式进行乘法分解，从而简化表达式，使计算更加方便。

掌握因式分解的方法和技巧，对于解题起到事半功倍的效果。

在本文中，我们将主要讨论七年级下册中常见的因式分解公式。

一、提取公因式把4a+8b的因式分解公式中，4a和8b都能被4整除，所以提取出4，得到4(a+2b)。

二、因式分解的基本原理在因式分解中，我们经常会用到几个基本的公式，这些公式是因式分解的基石。

下面是七年级下册常见的因式分解公式：1. 二次三项式的因式分解公式：二次三项式就是指有三项的二次多项式，常见的形式是ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是系数。

当二次三项式的系数a不为1时，通常我们采用求解二次方程的方法来因式分解，公式为(mx + n)(px + q)。

把4x^2 + 12x + 8的公式因式分解为(2x + 2)(2x + 4)。

完全平方式是指一个多项式可以写成两个平方式之和的形式，常见的形式是a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为变量。

3. 因式分解的常见技巧：除了以上基本原理，我们在因式分解中还需要掌握一些常见的技巧，以便更快、更准确地进行计算。

（1）合并同类项：在因式分解中，我们经常需要合并同类项，即把相同变量的项合并在一起。

把2x + 3x的合并同类项为5x。

（2）利用减法求和差：有时候，我们可以通过利用减法求差来进行因式分解。

把x^2 - 9的因式分解为(x+3)(x-3)。

在七年级下册的学习中，因式分解是一个非常重要的内容，不仅仅是代数中的一部分，也是思维训练的一部分。

掌握因式分解的方法和技巧，不仅可以解决各种数学问题，还可以提升我们的数学思维能力。

希望通过本文的介绍，大家能更好地掌握七年级下册因式分解的相关知识，取得更好的学习成绩。

七年级下-数学-因式分解-讲义

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式因式分解的意义与整式乘法的关系：互逆提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++因式分解的主要方法平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 因式分解公式法完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±因式分解的一般步骤：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法因式分解的应用4.1 因式分解知识点：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

考点①:判断因式分解。

关键：1、等式右边是几个整式乘积的形式2、是否分解彻底；3、用整式乘法来检验因式分解的正确性。

例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. ()2132-22+-=+x x x B. ()()111222-+=-+xy xy xy y x C. ()x x y xy y x -=-2233 D. ()()y x y x y x 32329422++-=+- 例2：检验下列因式分解是否正确.(1) ()()1212122+-=-a a a(2) ()()3393-+=-x x x x x(3) ()()3824112++=+-m m m m(4) ()()y x y x y xy x +-=-+2222 考点②：已知因式或其中一个因式，求原多项式的系数。

关键：1、将因式的乘积用整式乘法做化简，再与原多项式一项一项对比。

2、若只知一个因式，则将另一个因式设为类似mx-n 的形式，再与已知因式相乘做化简，最后与原多项式对比。

例1：若()()43--x x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例2：若()3-x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例3：若()3-x 是多项式a x x +-72分解因式的结果，则a 的值是______.例4：甲、乙两名同学分解因式b ax x++2时，甲看错了b ，分解结果为()()42++x x ；乙看错了a ，分解结果为()()91++x x ，则.____=-b a考点③：将考点②反过来，已知原多项式和它的因式分解的其中一个因式，求另一个因式.例1：()ab aby abx ab 749147-=+--，括号里应填（）A ． y x 721++- B. y x 72-1+- C. y x 7-2-1 D. y x 721-+例2：已知将122-+x x 因式分解得到的一个因式是()3-x ，另一个因式是_________.考点④：利用因式分解简单计算.例1：（1）2012012- （2）223565-4.2 提取公因式法知识点一：公因式1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.2. 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.知识点二：提取公因式法3. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种方法叫做提取公因式法。

(word版)七年级下册数学因式分解

七年级下册数学因式分解常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法⋯⋯一、提公因式法：式子中有公因式，先提公因式。

例1. 2x3y2+12x6y5－6xy22ax 10ay 5by bx用分分解法，一定要想想分后能否完成因式分解，由此合理分的方法．第〔2〕也可以将一、四一，二、三一。

例2.把ab(c2d2) (a2b2)cd因式分解．二、公式法：根据平方差和完全平方公式例3、9x225y23x63x2x418x281三、配方法：例4、x26x164x212x27种配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三式化两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本有其它方法，大家．四、十字相乘法：〔1〕．x2(p q)x pq型的因式分解七年级下册数学例5、把以下各式因式分解：(1)x27x6(2)x213x36例6、把以下各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15例7、把以下各式因式分解：(1)x2xy6y2(2)(x2x)28(x2x)12由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a28a12．〔2〕．一般二次三项式ax2bxc型的因式分解例8、把以下各式因式分解：(1)12x25x2(2)5x26xy8y2综合练习：12(m3)x16是完全平方式，那么m的值等于_______。

、假设、2那么m。

xm xn)=______=______2x3、2x3y2与12x6y的公因式是__________。

4、假设x my n=(xy2)(xy2)(x2y4)，那么m=_______，n=_________。

5、假设x2mx16可以因式分解，那么m所有可能的取值为_______________________。

七年级下册数学6、x2(_____)x12(x2)(x_____)7、1x x2.......x2004x20050,x2006__________.8、方程x24x0，的解是________。

初一下册数学计算题因式分解

初一下册数学计算题因式分解初一下册数学计算题因式分解一、什么是因式分解因式分解是数学中的一种重要方法，它可以将一个数或一个代数式表示为多个因数的乘积。

它的核心思想是将一个数或一个代数式分解为最简单的乘法形式，使得计算变得更加简单明了。

二、因式分解的基本原理在进行因式分解时，我们需要遵循以下原则：1. 找出最大公因数：将数或代数式中的公因数提取出来，使得它们成为分解后各项的公因数。

2. 利用乘法的性质：将公因数和剩余的部分进行相乘，形成分解后的因式。

3. 分解为最简形式：将分解后的因式化简至无法再分解为止，以达到最简形式。

三、因式分解的常用方法1. 提公因式法：当一个多项式的各项中存在相同的因式时，可以使用提公因式法将其分解。

例如：将4x+8y分解为4(x+2y)。

2. 完全平方公式：如果一个二次多项式等于一个完全平方的二次多项式，可以使用完全平方公式进行分解。

例如：将x²+6x+9分解为(x+3)²。

3. 差平方公式：如果一个二次多项式等于一个差的平方，可以使用差平方公式进行分解。

例如：将x²-9分解为(x-3)(x+3)。

4. 分组分解法：当一个多项式中存在四个及以上的项，且其中有些项存在公因式时，可以使用分组分解法进行分解。

例如：将ab+ac+bd+cd分解为a(b+c)+d(b+c)，再将(b+c)提取公因式得到(a+d)(b+c)。

四、因式分解示例：题目一：分解4x²+20x+24解：首先，我们观察到4, 20和24均可整除4，因此可以提取出4作为公因数，得到4(x²+5x+6)。

接着，我们将括号中的二次多项式x²+5x+6进行进一步的分解。

其中，x²+5x+6可以被分解为(x+2)(x+3)。

因此，最终的因式分解形式为4(x+2)(x+3)。

题目二：分解9x²-25解：我们可以观察到9和25均可开方，因此先进行平方的相减，即9x²-25 = (3x)²-5²。

七年级下册数学因式分解

七年级下册数学因式分解一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，这里就是把多项式x^2-4因式分解为(x + 2)(x - 2)，(x + 2)(x - 2)是几个整式的积的形式。

2. 注意事项。

- 因式分解与整式乘法是互逆运算。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘。

例如：整式乘法(a + b)(a - b)=a^2-b^2，因式分解则是a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。

像x^2-4+3x不是因式分解的结果，因为它不是几个整式积的形式；而(x + 4)(x - 1)=x^2+3x - 4是整式乘法，不是因式分解。

二、因式分解的基本方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式法的步骤。

- 第一步，确定公因式。

例如对于多项式4x^3-6x^2，公因式是2x^2。

- 第二步，把公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式。

4x^3-6x^2=2x^2(2x - 3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用示例：分解因式9x^2-16y^2，这里a = 3x，b=4y，则9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)。

- 完全平方公式。

- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2。

例如，分解因式x^2+6x + 9，其中a=x，b = 3，因为2ab=2× x×3 = 6x，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2。

七年级下册因式分解公式法

因式分解公式法是七年级下册数学中的一个重要内容，主要包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)。

这个公式可以用于分解两个平方数之间的差，将差的形式转化为乘积形式。

完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2，a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2。

这两个公式可以用于分解两个数的平方和或差，将和或差的形式转化为完全平方的形式。

在使用因式分解公式法时，需要注意以下几点：
1. 确定公式的形式：首先要确定所使用的公式类型，例如平方差公式或完全平方公式。

2. 确定公式的参数：根据所使用的公式类型，确定需要使用的参数，例如a、b等。

3. 按照公式进行因式分解：将所给的多项式按照所选的公式进行因式分解，得到最简结果。

下面举几个例子来说明如何使用因式分解公式法：
1. 分解因式：x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)。

2. 分解因式：(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy。

3. 分解因式：(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2)。

通过以上例子可以看出，因式分解公式法是一种非常有用的数学方法，可以帮助我们简化多项式，提高计算效率。

数学北师大版七年级下册因式分解.doc

9. 5因式分解(3)教学目标：1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.3在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.教学重点：掌握完全平方式的特点、熟练运用公式法分解因式.教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教学过程：一.创设情境★试一试1.前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a+2a+l分解因式吗？2.在括号内填上适当的式子，使等式成立：(1)(a+A)』；(2) (a—A)2=.(3) a2++1 = (a+1)2；(4) a —+1 = (a一1)2.思考：(1)你解答上述问题时的根据是什么？(2)第(1) (2)两式从左到右是什么变形？第(3) (4)两式从左到右是什么变形？★认一认：我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课就来研究如何利用完全平方公式来进行因式分解.= (a+ 2；= (a—A)2完全平方式的特点：左边：①项数必须是——项；其中有两项是;另_项是.右边：.口诀:★议一议：判断下列各式是完全平方式吗？(1) a2—4a+4 (2) x +4x+4：y(3) 4a，+2a济% (4) ab^b'(5) x' — 6x—9 (6) a2+a+0. 25 探究新知例1.依葫芦画瓢：(体验用完全平方公式分解因式的过程)a2 + 6a+9 = a+2X X+ ( )2= ()2/ —6a+9 = / —2X X+ ( )2= ()2例2.把下列多项式分解因式：(1) j+10x+25 (2) 4a2+36a^+81A2(3) -4^y-4/-y试一试你能行！1.请补上项，使下列多项式成为完全平方式：(1) 4ffl+n = (2/ff+)七(2) x—+ 16y =()2;(3)4顶 + 9片+= ()'； (3) -\~2pq+ 1=()2.2、.把下列各式分解因式：(1) x'+8x+16 ; (2) 25a'+10a J+l: (3) (m+n) 4 (m+n) +4（教师强调步骤的重要性，注意发现学生易错点，及时纠正）例3.把下列各式分解因式(1) (x+/)2-18(r+/)+81 (2) 4-12(r-/)+ 9(x-/)2(3) 164-8E+1例4、把8泌-72?2*+161/分解因式.(本题用了两次乘法公式，难度稍大，教师要鼓励学生大胆尝试，敢于创新) 将乘法公式反过来就徉到多项式因式分解的公式。

七年级下册因式分解

解：原999式 9× （ 99＝ 99+19） 9x1 = 99 ×(99+1)
=9900
判断:下面是甲、乙、丙三位同学对多项式 3x2y5+2x3y4z2的分解结果,回答问题： ⑴他们提出的是否是公因式 ⑵他们中谁分解的对谁分解的不对为什么
甲：3x2y5+2x3y4z2=x23y5+2xy4z2 乙：3x2y5+2x3y4z2=x2y33y2+2xyz2 丙：3x2y5+2x3y4z2=x2y43y+2xz2
因式分解 2a2-2a = 2a(a-1) a2+6a+9 =(a+3)2 4-a2 =(2+a)(2-a)
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗
（1） a2aa(a1)
是
2 4x2-4x+1=2x+12
不是
3a2-9=a+3a-3
是
（4）x 2 3 x 1 x (x 3 ) 1
（5） x2 1x(x1) x
618a3bc=3a2b·6ac
不是不是不是
找一找下列各多项式公有的因式是什么
①3x6y 3 ②abac a
③a2 a3 ④a22 m ⑥ ④ 642am 2b④ 2428m amb2224mm
⑤6m49m5 3m4
⑥6a2b8ab2 2ab
⑦x+y2+x+y3
x+y2
公因式: 每一项都含有的相同的整式
新挑战
公因式的确定方法：系数：取各系数的最大公约数字母：取相同字母的最低次幂
例1、用提公因式法对下列多项式进行因式分解
1 3a2-9ab =3a·a-3a·3b =3aa-3b

初一数学下册因式分解

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=- （2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++（3）立方和公式：（4）立方差公式：例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。