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最新 2020年苏锡常镇二模数学试卷及答案

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江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31ib a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．。

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)

【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)

2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________．2. 若复数z 满足za ＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为________．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6. 在等差数列{a n }中，a 4＝10，前12项的和S 12＝90，则a 18的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24－y2b2＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(π6，2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(π4)的值为________．9. 已知正四棱锥PABCD 的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－5x ，则不等式f(x －1)>f(x)的解集为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12. 已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB →＋PC →)·AD →＝4 2.若AD ＝2，则PB →·PC →的值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|， x≤0，x 3－12x ＋3，x>0.设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a ＋b 与a －b 互相垂直．(1) 求实数λ的值；(2) 若a·b ＝45，且tan β＝2，求tan α的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：(1) DE∥平面ACC 1A 1； (2) AE⊥平面BCC 1B 1.某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，π3)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点Q(m ，0)． ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA ＝QB ，求实数m 的取值范围； ②设F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．已知函数f(x)＝ln x－2x－2x－1＋2a，a>0.(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1. (1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ① 求证：数列{a n }为等比数列；② 若对任意n∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141.(1) 求a ，b 的值；(2) 求A 的逆矩阵A －1.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，P 是曲线C 上的任意一点．求点P 到直线l 的距离的最大值．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x －1|－x≥2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点C的概率；(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T的最小值；(2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. －23. 184. 165. 356. －47. y ＝±233x 8. 3 9. 4＋4 310. (－2，3) 11. ±21 12. 2 13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9，1314.2＋1215. (1) 由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0.(2分)又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以(λ2－1)sin 2α＝0.(4分)因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0.又因为λ>0，所以λ＝1.(6分) (2) 由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45.(8分)因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2（α－β）＝－35.(10分)所以tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34，(12分)因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12.(14分)16. (1) 连结A 1B ，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形． 又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点．(2分)在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE∥A 1C. 又因为DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面ACC 1A 1， 所以DE∥平面ACC 1A 1.(6分)(2) 由(1)知DE∥A 1C ，因为A 1C⊥BC 1， 所以BC 1⊥DE.(8分)又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE＝D ，AB 1，DE 平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE. 又因为AE 平面ADE ，所以AE⊥BC 1.(10分) 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点， 所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC 1，AE⊥BC，BC 1∩BC＝B ，BC 1，BC 平面BCC 1B 1，所以AE⊥平面BCC 1B 1.(14分)17. 过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为H.在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α.(4分) 由图可知，点P 处的观众离点O 最远．(5分) 在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA·AP·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3(7分)＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4)＝8003sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1 600.(10分) 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时， (OP 2)max ＝8003＋1 600，即OP max ＝203＋20.(12分)因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．(13分) 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) 18. (1) 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，a ＝2，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 解法一：设直线的方程为y ＝k(x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 因为直线l 交椭圆C 于两点，所以Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k<22.(4分) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.①设AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k(x 0－2)＝－2k1＋2k 2.(6分)当k≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM⊥l，即k QM ·k＝－2k 1＋2k2－04k21＋2k 2－m ·k＝－1. 解得m ＝2k21＋2k2.(8分)当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k21＋2k 2.因此m ＝2k21＋2k2.由0≤k 2＝m 2（1－m ）<12，解得0≤m<12.(10分)②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1，(12分)消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0，所以x 1，x 2也是此方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m.(14分) 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18，所以m ＝2k 21＋2k 2＝15.(16分) 解法二：①设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)．依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12(x 0≠0)． 又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 20＝－12x 0(x 0－2)．当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 20＝－12x 0(x 0－2)．(ⅰ)(4分)又因为QA ＝QB ，所以QM⊥l，所以(x 0－m)(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0，即y 20＝－(x 0－m)(x 0－2)．(ⅱ)(6分) 由(ⅰ)(ⅱ)，解得x 0＝2m ，因此y 20＝2m －2m 2.(8分)因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内， 所以（2m ）22＋(2m －2m 2)<1，解得m<12.又y 20＝2m －2m 2≥0，所以0≤m≤1.综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.(10分)②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)， 所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0.(ⅲ)(12分)当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 20＋x 20)x 2－4x 20x ＋4x 20－4y 20＝0.将(ⅰ)代入上式化简得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0.(ⅳ)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式．(14分)由①可知m ＝x 02，代入(ⅲ)化简得x 2－2x 0x －2x 0＝0.(ⅴ)因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程， 所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15.(16分)19. (1) 当a ＝2时，f(x)＝lnx －2x －2x ＋3，f′(x)＝1x －8（x ＋3）2，则f′(1)＝12.又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2分)(2) 因为f(x)＝ln x －2x －2x －1＋2a ，所以f′(x)＝1x －4a（x －1＋2a ）2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x （x －1＋2a ）2＝（x －1）2＋4a 2－4a x （x －1＋2a ）2，(4分) 且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1. ①当4a 2－4a≥0，即a≥1时，因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0， 所以a≥1满足条件．(6分)②当4a 2－4a<0，即0<a<1时，由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)， 当x∈(1，x 2)时，f′(x)<0，则函数f(x)在区间(1，x 2)上单调递减，所以当x∈(1，x 2)时，f(x)<f(1)＝0，这与x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立矛盾， 所以0<a<1不满足条件．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(8分) (3) ①当a≥1时，因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)不存在极值， 所以a≥1不满足条件；(9分) ②当12<a<1时，1－2a<0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)． 列表如下：由于函数f(x)在区间(x 1，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以12<a<1不满足条件．(11分)③当a ＝12时，由f′(x)＝0，得x ＝2.列表如下：此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意， 所以a ＝12不满足条件．(12分)④当0<a<12时，函数f(x)的定义域为(0，1－2a)∪(1－2a ，＋∞)，且0<x 1＝1－2a －a 2<1－2a ，x 2＝1＋2a －a 2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x)存在极大值f(x 1)和极小值f(x 2)，(14分) 此时f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a ＝ln x 1x 2－4a （x 1－x 2）（x 1－1＋2a ）（x 2－1＋2a ）.因为0<x 1<1－2a<x 2，所以ln x 1x 2<0，x 1－x 2<0，x 1－1＋2a<0，x 2－1＋2a>0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以0<a<12满足条件．综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(16分) 20. (1) 因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 22＝a 1a 3， 因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列， 所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或t ＝13，所以a 2a 1＝1或13.(4分)(2) ①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋21a nn ＋2， 两式相除得a2n ＋1＝a 1·a nn ＋2a n －1n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分)由(*)，得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋1n ＋3，(**) (*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1n ＋3a n n ＋2，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1n ＋3，所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n≥2，n∈N *，(8分)由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n∈N *， 因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q≤2时，由n ＝1时，可得0<a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1＝2n－1，所以0<q≤2满足条件．(12分) 当q>2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1（1－q n）1－q ≤2n－1，整理得a 1q n≤(q－1)2n＋a 1－q ＋1.(14分) 因为q>2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因此a 1q n<(q －1)2n，即⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2n <q －1a 1， 由于q 2>1，因此n<log q 2q －1a 1，与任意n∈N *恒成立相矛盾，所以q>2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分)21. A. (1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝1，a ＝4，a －3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4.(4分)(2) 因为|A |＝2×3－1×4＝2，(6分) 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－21.(10分) B. 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，化为普通方程为3x －y ＋2＝0.(2分)设点P(cos θ，3sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|（3）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋22，(6分)取θ＝－π4时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，此时d 取最大值，所以距离d 的最大值为6＋22.(10分) C. 当x≥12时，由2x －1－x≥2，得x≥3.(4分)当x<12时，由1－2x －x≥2，得x≤－13.(4分)综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－13}．(10分)22. (1) 设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16.(2分)同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以P(M)＝P 1＋P 2＝16＋16＝13.故甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13.(4分)(2) 随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4，(5分)则P(X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P(X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481，P(X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P(X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，(8分)概率分布为：数学期望E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(10分)23. (1) 当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0或6，则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1或5，则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2或4，则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2； 因此T 的最小值为2.(3分)(2) 首先证明：任意n ，k∈N *，n≥k，有C k n ＋1>C kn .证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n >0，所以C k n ＋1>C kn .设这2n 个点中含有p(p∈N ，p≤2n)个染红色的点， ①当p∈{0，1，2}时， T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝（2n －2）（2n －3）（2n －4）6＝4×（n －1）（n －2）（2n －3）6.因为n≥4，所以2n －3>n ，所以T>4×n （n －1）（n －2）6＝4C 3n >2C 3n .(5分)②当p∈{2n－2，2n －1，2n}时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同理可得T>2C 3n .(6分) ③当3≤p≤2n－3时，T ＝C 3p ＋C 32n －p ，设f(p)＝C 3p ＋C 32n －p ，3≤p≤2n－3， 当3≤p≤2n－4时，f(p ＋1)－f(p)＝C 3p ＋1＋C 32n －p －1－C 3p －C 32n －p ＝C 2p －C 22n －p －1， 显然p≠2n－p －1，当p>2n －p －1即n≤p≤2n－4时，f(p ＋1)>f(p)， 当p<2n －p －1即3≤p≤n－1时，f(p ＋1)<f(p)， 即f(n)<f(n ＋1)<…<f(2n－3)；f(3)>f(4)>…>f(n)；因此f(p)≥f(n)＝2C 3n ，即T≥2C 3n .综上，当n≥4时，T≥2C 3n .(10分)。

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题

江苏省苏锡常镇 2020 届高三数学二模试题第 I 卷(必做题，共 160 分)、填空题(本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．)1．已知集合 A ＝ x x 1 ， B ＝ x 0 x 3 ，则 A I B ＝．3 4i 2．已知复数 z ，其中 i 是虚数单位，则 z ＝ ． 5ix 22 3．已知双曲线 C 的方程为y 21，则其离心率为 ．44．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 ．5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4： 3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为 15，则抽取的样本容量为．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1，2， 3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于 6 的概率为 ． S 7．已知等比数列 an 的前 n项和为 S n ，若 a 62a 2 ，则12＝ ．n n 6 2S88．函数 f (x) cos( x )( 0) 的图像关于直线 x 对称，则 的最小值为 ．2a 2 1 2b 249．已知正实数 a ，b 满足 a ＋b ＝ 1，则 的最小值为 ．ab10．已知偶函数 f (x)的定义域为 R ，且在［0 ， )上为增函数，则不等式 f(3x) f(x 2 2) 的解集为 ．11．过直线 l ： y x 2上任意点 P 作圆 C ： x 2 y 2 1的两条切线，切点分别为 A ，B ，当 切线最小时，△ PAB 的面积为 ．1212．已知点 P 在曲线 C ： y x 2上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l ，过点 P 且与直线 l 垂直2的直线与曲线 C 的另一交点为 Q ，O 为坐标原点 ，若 OP ⊥OQ ，则点 P 的纵坐标为 ．13．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝2，以 AB 为直径在△ ABC 外作半uuru uuru 8 uuur uuur圆 O ，P 为半圆弧 AB 上的动点，点 Q 在斜边 BC 上，若 AB AQ ＝ ，则 AQ CP 的最3小值为 ．314．已知 e 为自然对数的底数，函数 f （x ） e x ax 2的图像恒在直线 y ax 上方，则实 数 a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． ）15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，过点 P 作 PD ⊥AB ，垂足为 D ，E ，F 分别是 PD ，PC 的中点，且平面 PAB ⊥平面 PCD ．（ 1）求证： EF ∥平面 PCD ； （ 2）求证： CE ⊥ AB ．16．（本小题满分 14 分）1）求角 A 的大小；12）若 cos （B ＋ ） ＝ ，求 cosC 的值．64在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 3a c2 cos A sin C17．（本小题满分14 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π 立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16 分）22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x2 y 2 1（a >b >0） 的左、右顶点分 a 2 b 2别为 A 1（ ﹣ 2，0） ，A 2（2 ，0） ，右准线方程为 x ＝4．过点 A 1的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P ，交椭圆 C 的右准线于点 D ．直线 A 2D 与椭圆 C 的另一交点为 G ，直线 OG 与直线 A 1D 交于点H ．1）求椭圆 C 的标准方程；2）若 HG ⊥ A 1D ，试求直线 A 1D 的方程；uuuur uuuur3）如果 A 1H A 1P ，试求 的取值范围．19．（本小题满分 16 分）2x 2 (2 a)x a ln x ，其中 a R ．1）如果曲线 y f （x ）在 x ＝ 1处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； 2）若函数 f （x ） 的极小值不超过 a ，求实数 a 的最小值；23）对任意 x 1 [1 ，2] ，总存在 x 2 [4 ，8] ，使得 f （x 1）＝ f （ x 2 ）成立，求实数 a 的已知函数 f （ x ）取值范围．第 II 卷（附加题，共 40 分）20．（本小题满分 16 分）已 知 数 列 a n 是 各 项 都 不 为 0 的 无 穷 数 列 ， 对任 意 的 n ≥ 3， n Na 1a 2 a 2 a 3 L a n 1a n(n 1)a 1a n 恒成立．1111）如果 1 ， 1 ， 1 成等差数列，求实数 的值； a 1 a 2 a 3 a n21．【选做题】本题包括 A ， B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4— 2：矩阵与变换2）已知 ＝1．①求证：数列11 是等差数列；②已知数列a na n中， a 1 a 2 ．数列 b n 是公比为 q 的等比数列，满足11b 1 1， b 2 1， b 3a 1a 21(ia i） ．求证：q 是整 数，且数列 b n 中的任意一项都是数列1中的项．10 分共计 20 分，已知矩阵A＝ 2 1，其逆矩阵A1＝ b c，求A2．0 a 0 1B．选修4—4：坐标系与参数方程x 2 2cos 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为y 3 2sin标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M，（2，0），（2 3 ，），求直线l 被曲线C截得的弦长．6C．选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c 满足a＋b＋c＝2，求证：（为参数）．以坐N的极坐标分別为b21．必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C：y2 4x的焦点为F，过 F 的直线l 交抛物线C于A，B 两点．1）求线段AF 的中点M的轨迹方程；2）已知△ AOB的面积是△ BOF面积的 3 倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10 分）已知数列a n，a1 2 ，且a n 1 a n2a n 1对任意n N 恒成立．1)求证：a n 1 a n a n 1a n 2L a2a1 1(n N ) ；2)求证：a n 1 n n1( n N ) ．15.证明：住三棱^P^ ABC 中：（1）因为厶F 分别是PD, PG 的中点,所UEF 为XCD 的中位线，••••••2分则有EF 〃 CD •••••••3分乂 EFU 面 XBC , CDU 面 ABC .则有ZT 〃平面ABC.……7分（2） N 为平面丄平面PCD∙平面PABΓ∖平面PCD 二PD •ABI. PD ∙ MU 平面 PAR ,所VIAB 丄平面PCD 9...... I l 分 又CEU 平面PCD .则•仏丄CE\...... 14分∣6.解：(1)由正弦定理F=一τ=r ，且血=土沁 Sln Λ SInZJ SInC C SinCZ fcl V?sin A 2 - COS J倚—=一 •R 1JW√3sinJ = 2-cosJ,即V3sin J + COS A = 2. 2sin(J + -) = 2 tO则 Sin(J+ ^)=1 ,6Iπ π 7ππ πJr因为 HG (0’ π)f JIjJ + — ∈ •▼ !4l J ÷ ~ = T T 即丿=〒•66 66 2 3 (2)在厶 ABC I 1 ,因为 — f 1Ψ1 Bw ((),〒•).∈(—▼[)■则sin(3+ ；) >0 .3366 6□乂因为 CoS(B + 三)一丄，则 sin(5÷-) ≡Jl -cos 2 (^÷H= " ‘ •646 X64・・・・・・«分又 tt ∆ ABC 中，J + Z∕ + C -π •……9分 所以COSC 二 cos(π-J-^)= -CoS(J 十〃)二一COS(3十彳)••・••・10分--cos[(f? + -) + —]-- cos(tf+ —)cos- +sin(Z? +—)sin-6 6 6 6 6 6√3 I I √15 √Γ5-√3 二 --- X — —× ------- = ------------- • ••••••14 分2 4 2 4 817•解：设圆锥形容器的底面半径为厂米.高为〃米.母线为/米.例面枳为5平方米,SinC SinC•…4分• ••••• 6容积为7立方米，则Γ = 36π・< 1)由 r = 6 ,= ^nr I h = 36π ,得Λ = 3,....... 1 分所以 S = JW√ = Itrylr Z+ A 2 = 6崗6： 4 3： = 18V?Jt ， ... 2 分 /底而积为πr 2 - 36z (平方米)>... 3分 故该容器的表面积为(18√5π + 36π)= 18(2+√5)π (平方米)• ... 4分该容器的表面枳为1&2*√5）7t 半方米•(2)因为r = fπ∕⅞=36x∙得r 2 = 3><36π =Jo8 其中巾〉°3 Xh h当必(Q6)时，∕,(λ)<O, f(h)在(0,6)上单调通减； 当必(6,4OO )时，f(h) > 0 , f(h)在(6.+∞)上单调递增. •••••• 12 分数学答窠弟2页（共8页）所以，当” 时，/（〃）最小•此时S 最小. 13分 答：半容器的岛为6米时•制造容器的侧面用料最省.14分所以 S = Tvi = IU∙ J f +/F = π∖Jιμ + t∙3h' = π^~yτ^+~y^^ =7i^^γτ-+108Λ记/(〃) =罟+ 力，令 ∕*( A) =÷ 1 = = O ,得〃 =6. ...... 10 分数学答案第3页(共8页)18•解:(1)由椭圆C 的左、右顶点分別为J 1(-2,0).J 2(IO)f 右准线方程为x∙4得:« =2. — = 4 ,故c = h b =a 1-c ? = 3 ・....... 2 分C所以椭圆C '的方程为v÷4 = 1①.••••••3分43(2)设直线A i D Z y = ^(x+2) (Λ>0)②•则与右准线Λ = 4的空点D (4∙从).乂 J 2(2.0).所以i 殳直线 AJ) ： V = 3A(Λ-2)t K⅛L(1)得：因为丽=JI 丽.所以(・T 〃 + 2∙ V zZ ) = ∕i(J z > + 2, y r ).则 y u = λy r .YlkA = 2k = ^) = I⅛5 =I±4^=_^!_=_1 y p∖2k12十+5 12^+9-4 , 4 3+4P3+4“3+4”因为/(灯在(0,+◎为减函数， 所以λ∈Λ∣).餡得略F∙為,则直线OG 的斜率为③，IZn — 1因为OG 丄J I Z),故-≡≠- A =-L 又M>0,解得“空, ∖2κ — 1 6则直线*∖D 的方程为y =^(X 十2).(3)由⑵中③知，设直⅛ OG ： J=#2]X,联立②得:解得"(-24P + 2∖2k)6-加 12£ 3 + 4A∙2e 3÷4A 2・7分•8分10分14分•15分16分联立(1X2•y = g + 2),解得H数学答案第4页(共8页，19•解：因为 f(χ} = χ2 + (2 - a)x-a In X » 所以厂(X) =(!)因曲线v = ∕(v)在Xi 处的切线斜率为l∙所以/'(122(27) = 1,得«=|. ・・・・・•2分(2)①当αWO 时，八x)>O 在(O,-W C xg 成立,即/⑴ 在(0,+8)单调暹增,故函数/(口不存在极值. ・•・・・•3分②当 Λ > O IM ,令 f(Λ) = O .得 Λ=∙^.X(()；)a 2 (p+∞) rω —O+ ∕ω、极小值Z则/⑴“二/白二—牛"In 駅 •冈为“>0•则〉斗-In 耳€0.2 42 22 42令^^)=T-T-In T = T + ,n2，则g (σ) = ~7-丄 Vo ,2 42 244 a则g(α)在(θ∙+∞)单调递减， .... 7分Z^<2) = O .所以X ⑷«(2) = 0.则心2・则实数α的诫小伯为2.・・・•・•8分(3) 记/(x)在⑴2]上的值域/-J A .住[4周上的值域为〃・“任^x ∣e[l∙2]•总存⅛r 2e[4∙8]∙使得/(打)=/(勺)成立-等价于aAQB 99.① 当 Yl 或彳$8.即広2或心16时.IlJ (2) ∕ω∕E[L8]±为单调函数,不合题意：••••••9分®当lv^≤2, EP2<α≤4时，由(2)知：/(x)在(0,彳)上单调递减,(分R)上单调遥增，故∕⅛e A , {U ∕(⅛e5.不合题意：・・••・・10分 厶 厶 厶(v÷l∏2r -Λ)③当2<尹4,HIuVk 时.才二M(2)>∕(1)]∙ β=[∕(4h /⑻]■由 ACB/(2QC4b /(0≤f(8h18 — 2α - α In 2324 - 4α — 2α In 2∙ 则[3-(∕≤80-8α-3uln2.解得丿162⅛ln2 77 11分7 + 31n2”2数学答家第5页(共R 页)因为OVln2vl,则2<2 + ln2<3,即 4< —<—^―<8.32+ln2• 7又與为c>2∙7∙汁ii{,Je 3>24∙则J,2∙ UlJ -> ln21 =41n2 t Il ∣)7>81n2∙所以此时：島g④为4v^<rR∙即8vα<16时.I h AcR 9彻/(D 岑⑴得“叫斗kJlC6,则8<α≤-⅛-・7+ 3 In 277*31n2S∣6 一 77综 丄:S—rτ Z 一∑τ^r ・2+ In 27÷3ln220•解2 (I)因为"23且刃wN°时• 4角+ $殆+…十恒成立•则” =3时，叽+吆产2曲,因为数列S 爲各项都不为0.同除叱5得:2Λ I 1—=—+—・..... 1 分乂因为丄•丄•丄成等至数列■则二=丄+丄＞... 2分o ∣ ∏2 Cj∏2 引 Oy比较得：—β"~ ＞所以Λ= L...... 3分⅛ ⅛1 I2 (2 )①当 - 1 . /1-3 时∙ n i a 2 ÷ QE = 2a l ∏.①'整理得一+ —=— a∖ IIlI 则 ----- = ------ ②•a 2 a l a i a 2当” =4时.a χa 2 + a 2a 5 +竹①=3°冋③.③-①得：αg = 3αq -2α/, B*——, X2H ，Ml ll∖U∖ UX u>~ IllIC所以 ----- = ------ ④•α4 ai Q 、 a I当刃 N3 时.ΛI <72+Λ2Λ3+∙∙∙ + 6F Λ.I ΛI =(n -1)Λ1ΛZI .o l a 2 ^a l a i +— + a t ^l a tl + a n a 9^ ≡ na l a^l 两式相减得：I n /I -1"M∙ι="5%ι∙("-l 八 因为〜工0,得：~ = ^"一— ..................... 6 分a∖ 4 a ħ-∖1 ∕ι+l n ~ • 〃'//+1 n也 H 卩 21 >24 In 2.贝IJ _27__S=21-241n27 + 31n2 7 + 31n2>0.即 77 7 + 3ln213分15分 •16分a ∖ a i a2进叽厂订订，所以厂…二”2数学答家第5页(共R页)② 设数列[丄!公差为 d,令c” =丄，C l = — = c(c≠0)»'∕l Jh =Cl=C , br -C- =c÷ J ,d -c 2-c l = b]_b\ =Cq-C ・当j = 2时，⅛ = c, = ⅛ »从而g = l, b 2=b i 得α1 = α2»与已知不符. .......... 10分⅛ / = 3 ⅛T 由bι = c v cq 2 =c + 2J = c+2c(^-1) •得g' = ] + 2(g_l).得q = l,与己知不符•当f = l 时，由δ3 = q , CqI= c ,得g'=l,则q = -l (上面已证q ≠∖)为整数•数列｛»｝为：c 、-C t c, ∙∙∙;数列｛ς,｝中，c ∣ = c , c 2=-c f 公差d = -2c. 数列｛%｝每一项都是｛ςl ｝中的项(C = C jf -c = c 2) .... 12分当 ∕≥4 时，由 by = C (I Cq- =c÷(r — ∖)d = c + (Z- I)C(^-I),得g~ — (z — l)q + (j — 2)= O ,得q = ∖ (舍去)，q = i-2( ∕≥4 )为正整数.・・・・・・14分因为 Cg = C + 〃，b i =q ■对任意的正整数斤刁4,欲证明®是数列｛ς,｝屮的项，只需： b k -Cq 1-C i +xd= b 3 + x(Cq-C) = CCJ 2+ X(Cq - C)有正整数解 X. 等价于：√-,=√2÷.V (<7-1),X=(I -~f-为正整数.因为T=C + d , ⅛ =C i f对任意的正整数AM4,欲证明力足数列｛ςl ｝中的项，只需： ⅛ =Cq k 1=C J+ xd = b i + x(C(I-C) = C(I l ^X(Cef-C)有正整数解兀 等价于：严=孑十也_i ), *亡二£为正整数I 1 2 1 1整理得Γ+7^=7^>即匚 an 叫+2a^∖ 4Il 1 _ 一， 一 %----- T -= ---------- 77对任意的正整数力MI 恒成立•所以数列｛丄｝成等差数列.二不二石肓23）⑤, 由②©®得:・7分•8分11分q 一I22因此，仮｝中的每 项都是数列匕｝也即］中的项.16分:Jo IHi -]•21 A∙解:因为 ΛA'1=昇，则有S[： Io 肚;]•10分21B.解：由 X = PCoS(7. V = PSill^ ,得:Λf(2,0), N(3∙√J), 则直线/： y = √3(j -2),曲线U ： (x-2)2 + (y+√3)2-4 ,圆心为(2,-√J),半径r = 2, 则圆心到直线/的距离为〃=∣2Ξ2^I =√Σ,2 2则直线/被曲线r 截得的戎浪为2厶厂庐二√B .10分21C∙解：因为α>0, b>0, c>0, α十b 十c_2,由柯西不等式得：[（&十I ）十（C 十"）十（“ + 〃）] +n+c c+a Λ÷D=[w"（g ）pE ）[（島卜磐/+h⅛1]≥ ∖∣b + c -^^ + >Jc+a 丁伫=++ b√6+c √C ÷Λ=（α +b 十 T ） =2?.则丄+£+丄A 、严3Λ + c c + α a （6十e ）十（C 十"） + （α ∙b ） 4所以-^- + ―4-—>1. b^c C^U U^b10分因为2亡¥ =纟"二表示首项为『,公比为q = i-2 (∕≥4 ). q-∖ q-ι共—3 (A )项的等比数列的相，所以X 为止整数.22.解：因为抛物线方程为y1 = 4r t所以F(LO). ••••••1分(1 >设W(x・刃・丿(心Jo)-因为"为线段"的中点，则X =凹亍=丿二¥，•・・・・•2分则r0=2τ-i. V O = 2J代入抛物找方程得,∕ = 2x-l,即点M的轨迹方稈为尸= 2x-1・・・・・・・4分(2)设J(Xy∣> B(xγ y2) r不妨设y↑ >0∣ y2 <0 ,i殳ZX""和∕∖BOF的而积分别为» 52.囚为AdOB的面积是ZJJO厂面积的3倍.即S l^= 35?,所以S1 =25,.因5, =^C?F-.i门，S∣j2∣ = -^F-y2.则.V I=-2>∙2Φ.・・・・・•6 分2=^OF∙UtAB： X = A+ 1 (40)②,与y2 =4x联立，消去X得:√-4iV-4 = 0,y l;=2/±2√∕y+l •片 + 必=缶③.J l>,2=-4®»....... 8分由①③④可得・代入②，得直线厶V=2√2(X-I): 同理当Jl <0» >2 >O时，得直线厶y= -2√2(r-b.综1.・宜线/的方稈为：J = ±2√2(T-1).10分23∙还明,(1)为"_1时.勺一α" -1)十1三3十严1成立•假设∕ι=A 时,结论成立，UPd A.1=U k U l 1 --U2CZ1 + 1.当/r =A 十1 时.a k :="“|(兔訂 _ 1)十I =IIM(UM J・••色a〕十I _1)十IMM"」• •仲I +1 •则当M = A, ÷ 1 时"命题成立.综上：fl ff-∣ = (I n a t_Id n_2∙∙∙a2a l + 1. 4分(2)要证$ a^l >ΛΛ +1,由(1) %∣ = Q工勺・2…勺。

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
二、解答题
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围； （3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin ii a =>-∑．解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+ (1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯，∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.
【答案】30
【解析】用 减去成绩在 以外的学生的频率，将所得结果乘以 ，求得成绩在 以内的学生人数.
【答案】24
【解析】利用顶点转化的方法，由 计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10．已知定义在R上的奇函数 的周期为2，且x [0，1]时， ，则a＋b＝_______.
【答案】0
【解析】根据函数 的奇偶性、周期性求得 的值，由此列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线 的顶点，则a＝______.
【答案】1
【解析】先求得抛物线 的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得 的值.
输出的y的值为﹣1.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.
【答案2
【解析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，求得男生和女生人数的比值.

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（二）（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0}，B={−1,3}，则A∪B=______．(i为虚数单位)的虚部是________．2.复数z=1+2ii3.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的学生的人数为___________．4.已知a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，，则这个班男生的人数为若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011________．+lg(2x+1)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x√2−x7. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则a 1=________．9. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为对角线B 1D 上的一点，M ，N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1． (1)当N 为对角线AC 的中点且DE =√2时，则三棱锥E −DMN 的体积是______ ；(2)当三棱锥E −DMN 的体积为13时，则DE = ______ ．10. 若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=______．11. 已知α为锐角，sinα=45，则tan(α+π4)= ______ ．12. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2a,0)(a >0)，直线l 1:mx −y −2m +2=0与直线l 2:x +my =0(m ∈R)相交于点M ，且MA 2+MO 2=2a 2+16，则实数a 的取值范围是_________． 14. 已知直线2x −y +1=0与曲线y =ae x +x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值是_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3acosB =bsinA ．(Ⅰ)求B 的值；(Ⅱ)求sinA +sinC 的最大值．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． (1)求证：CD//平面SAB ； (2)求证：BD ⊥SC ．17.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．18.如下图所示，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45∘，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．19.已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n.令c n=(−1)n S n(n∈N∗)，{c n}的前20项和T20=330.数列{b n}满足b n=2(a−2)d n−2+2n−1，a∈R．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n+1≤b n，n∈N∗，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1．(1)求函数f(x)的单调区间，并判断f(x)是否存在极值点．(2)设m>n>0，求证：lnm−lnn>2(m−n)m+n．21.设矩阵M=[m22−3]的一个特征值λ对应的一个特征向量为[1−2]，求实数m与λ的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设c>0，|x−1|<c3，|y−1|<c3，求证：|2x+y−3|<c．24.如图，正四棱锥P−ABCD中，PA=BD，点M为AC，BD的交点，点N为AP中点．(1)求MN与平面PAD所成角的正弦值；(2)求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．25. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=3，a n+12=3a n +4(n ∈N ∗).设b n =4−a n ，求证：当n ∈N ∗时， (1) 3≤a n <4； (2)b n ≤(37)n−1；(3)S n >4n −74．-------- 答案与解析 --------1.答案：{−1,0，3}解析：【分析】本题考查集合的并集，根据题意利用并集的定义即可求得结果．【解答】解：∵集合A={−1,0}，B={−1,3}，∴A∪B={−1,0，3}．故答案为{−1,0，3}．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：30解析：【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得成绩低于60分得频率为10×0.01+10×0.015=0.25，所以成绩不低于60分的人数为40×(1−0.25)=30．故答案为30．4.答案：1解析：【分析】本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．【解答】解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：33解析：【分析】本题考查古典概型概率的计算，属于基础题目．【解答】解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63−x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63−x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63−x63=1011×x63，解得x=33，故这个班男生的人数为33．故答案为33．6.答案：(−12,2)解析：解：要使函数有意义，则{2−x >02x +1>0，即{x <2x >−12，即−12<x <2，故函数的定义域为(−12,2)， 故答案为：(−12,2)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：6解析： 【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值． 【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)， 准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)，B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2， 则|AF|=|AB|=√12+p 2， 所以p|AF|=sin π3，即2=√32， 解得p =6． 故答案为6．8.答案：1解析： 【分析】本题考查等比数列的前n 项和公式以及应用，注意分析q 是否为1.根据题意，由等比数列前n 项和公式可得S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得1+q 3=9，解可得q 的值，将q 的值代入S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n }满足S 3=7，S 6=63，则其公比q ≠1， 若S 3=7，则a 1(1−q 3)1−q =7；S 6=63，则a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2； 又由a 1(1−q 3)1−q=7，解可得a 1=1．故答案为19.答案：√39；√6解析：解：(1)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，N 是AC 的中点， ∴AC ⊥BD ，DN =√2，∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD =B ， ∴AC ⊥平面BB 1D ，故当N 为AC 的中点时，有MN ⊥平面DEN ， 又DB 1=2√3，BB 1=2，∴sin∠BDB 1=22√3=√33， ∴V E−DMN =V M−DEN =13S △DEN ⋅MN =13×12×√2×√2×√33×1=√39． (2)设三棱锥E −DMN 的高为h ，则V E−DMN =13S △DMN ⋅ℎ=13×12×1×√2×ℎ=√2ℎ6=13，∴ℎ=√2， ∵ℎBB 1=DE DB 1，即√22=DE 2√3，∴DE =√6．故答案为：(1)√39，(2)√6．(1)证明MN ⊥平面DEN ，求出三角形DEN 的面积，代入体积公式计算即可； (2)根据体积求出E 到平面ABCD 的距离，再利用相似三角形求出DE ． 本题考查线面位置关系的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．10.答案：516解析：解：∵函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数， 且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=f(8−34)+f(4−76)=f(−34)+f(−76)=−f(34)−f(76)=−34(1−34)−sin 76π=−316+12=516． 故答案为：516．通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．11.答案：−7解析：解：∵α为锐角，sinα=45， ∴cosα=35，∴tanα=43，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−7． 故答案为：−7．利用同角三角函数关系，求出tanα，再利用和角的正切公式，可求tan(α+π4).本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式，考查学生的计算能力，正正确运用公式是关键．12.答案：−54解析： 【分析】画出示意图，由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入即可得出． 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】 解：如图所示，∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(22−32) =−54． 故答案为：−54．13.答案：[2,1+√17] 解析：【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用．两直线l1，l2联立可得M的轨迹方程x2+y2−2x−2y=0，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，根据题意两圆相交，根据圆心距与半径的关系求解．【解答】解：直线l1:mx−y−2m+2=0与直线l2:x+my=0(m∈R)联立消去m化简可得x2+y2−2x−2y=0，即圆心为(1,1)，半径为√2的圆，且不包括点(2,0)，即为M的轨迹方程，A(2a,0)，(a>0)，设M(x,y)，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2−2ax+y2+a2−8=0，所以M在以(a,0)为圆心，2√2为半径的圆上，由两圆相交可得√2≤√(a−1)2+1≤3√2，解得2≤a≤1+√17则实数a的取值范围是[2,1+√17] ．故答案为[2,1+√17] ．14.答案：1解析：【分析】本题考查了利用导数求解函数的切线方程，属于基础题．设切点为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，又n=ae m+m=m+1，可解a的值．【解答】解：∵y=ae x+x，∴y′=ae x+1．设直线2x−y+1=0与曲线y=ae x+x相切的切点坐标为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，得ae m=1，又n=ae m+m=m+1，∴m=0，n=1，a=1．15.答案：解：(Ⅰ)因为√3acosB=bsinA，由正弦定理可得√3sinAcosB=sinBsinA．因为在△ABC中，sinA≠0，所以√3cosB=sinB．因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为A+B+C=π，所以sinA+sinC=sinA+sin(A+π3)．=sinA+(12sinA+√32cosA)．=√3sin(A+π6)．因为0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6．当A+π6=π2，即A=π3时，sinA+sinC有最大值√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得√3sinAcosB=sinBsinA，结合sinA≠0，可求√3cosB=sinB，结合范围0<B<π，可求B的值．(Ⅱ)由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC=√3sin(A+π6)，结合范围0<A<2π3，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：证：(1)在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AB//CD，……(2分)∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD//平面SAB……(4分)(2)连结AC.∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD……(6分)∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩SA=A，AC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……(9分)∴BD⊥SC.……(10分)解析：(1)推导出AB//CD，由此能证明CD//平面SAB．(2)连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12， 且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．18.答案：18m解析：过点A作AE⊥CD交CD于E点，由题意可知：CE=6m,DE=9m,AE=BD,∠CAE+∠DAE=45∘．tan∠CAE=CEAE =6BD，tan∠DAE=DEAE=9BD，由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ，∴tan(∠CAE+∠DAE)=tan∠CAE+tan∠DAE1−tan∠CAE⋅tan∠DAE=tan45∘=1⇒BD=18m19.答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为c n=(−1)n S n，所以T20=−S1+S2−S3+S4+⋯+S20=330，则a2+a4+a6+⋯+a20=330则10(3+d)+10×92×2d=330解得d=3所以a n=3+3(n−1)=3n(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=2(a−2)3n−2+2n−1b n+1−b n=2(a−2)3n−1+2n−[2(a−2)3n−2+2n−1]=4(a−2)3n−2+2n−1=4⋅3n−2[(a−2)+12(23)n−2]由b n+1≤b n⇔(a−2)+12(23)n−2≤0⇔a≤2−12(23)n−2因为2−12(23)n−2随着n的增大而增大，所以n=1时，2−12(23)n−2最小值为54，所以a≤54．解析：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用T20=330，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)先求出b n，再根据b n+1≤b n，n∈N∗，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．20.答案：解：(1)已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1，函数的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，x∈(0,+∞)，∴f′(x)≥0，在x∈(0,+∞)上恒成立，∴f(x)的单调增区间是(0,+∞)令f′(x)=0，则x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)，f′(x)>0，∴f(x)没有极值点． (2)证明：要证lnm −lnn >2(m−n)m+n,即需证ln mn >2(m n −1)m n+1, 只需证ln m n −2(m n −1)m n+1>0， 设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，由(1)可知ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， 因为mn >1，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0， 当x =m n >1时，即ln m n −2(m n −1)m n+1>0，所以原不等式成立．解析：本题主要考查函数的单调性与最值、导数等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力，属于一般题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断f(x)是否存在极值点． (2)设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，根据函数的单调性证明即可． 21.答案：解：由题意得[m22−3][1−2]=λ[1−2]， 即[m −48]=[λ−2λ]， 则{m −4=λ8=−2λ， 解得m =0，λ=−4．解析：此题主要考查二阶矩阵、特征向量，根据特征值的定义可知[m22−3][1−2]=λ[1−2]，利用待定系数法建立等式关系，从而可求m 与λ的值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案： 证明：因为|x −1|<c3，所以|2x −2|<2c 3，故|2x +y −3|=|2x −2+y −1|≤|2x −2|+|y −1|<2c 3+c3=c ，故|2x +y −3|<c ．解析：【分析】 本题考查不等式的证明，属于一般题． 利用绝对值三角不等式证明即可得到结论．24.答案：解：由已知可得，在正四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，且PM ⊥平面ABCD ，则以M 为空间坐标原点，以MA 为x 轴，MB 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AM =1，则M(0,0，0)，A(1,0，0)，D(0,−1,0)，P(0,0，√3)，N(12,0，√32)，B(0,1，0)，C(−1,0，0)，(1)设平面PAD 的法向量为n 1→=(x,y,z)， 由题意得AD →=(−1,−1,0),PD →=(0,−1,−√3)， ∵{AD →·n 1→=−x −y =0PD →·n 1→=−y −√3z =0，∴{x =−y z =−√33y令y =1，得到n 1→=(−1,1,−√33)，∴cos <MN →,n 1→>=MN →·n 1→|MN →|·|n 1→|=(12,0,√32)·(−1,1,−√33)1×√73=√73=−√217． ∴AM 与平面DEF 所成角的正弦值为√217.(2)设平面PBC 的法向量为n 2→=(u,v,w)， 由题意得BC →=(−1,−1,0),PB →=(0,1,−√3)，∵{BC →·n 2→=−u −v =0PB →·n 2→=v −√3w =0∴{u =−vw =√33v令v =1，得到n 2→=(−1,1,√33)，∵平面PAD 的法向量n 1→=(−1,1,−√33)，平面PBC 的法向量n 2→=(−1,1,√33)，∴cos <n 1→,n 2→>=n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|=(−1,1,−√33)·(−1,1,√33)√73×√73=5373=57． ∴平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值为57.解析：本题主要考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，注意计算即可，属于中档题． (1)求得平面PAD 的法向量即可解得答案；(2)分别求得平面PBC 与平面PAD 的法向量即可解得答案．25.答案：证明：(1)①当n =1时，3≤a 1<4成立.②假设当n =k 时成立，即3≤a k <4；当n =k +1时，a k+12=3a k +4，即13⩽a k+12<16.∵a k >0，∴√13≤a k+1<4，即3≤√13≤a k+1<4. ∴n =k +1时成立，综合①②有：3≤a n <4成立．(2)由题意得：a n+12−16=3a n −12=3(a n −4).∴(a n+1+4)(a n+1−4)=3(a n −4)． 即4−a n+14−a n =34+a n+1.∴b n+1b n =4−a n+14−a n =34+an+1⩽37 (3⩽a n <4).∴b2b 1⋅b3b 2…b nbn−1⩽(37)n−1，又∵b 1=1． ∴b n ≤b 1⋅(37)n−1=(37)n−1．(3)∵b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1 =(1−(37)n )1−37<74. ∴S n >4n −74．解析：本题主要考查的是数列求和，递推关系式，数学归纳法，是较难题． (1)由数学归纳法即可证得；(2)由a n+12−16=3a n −12=3(a n −4)得4−a n+14−a n =34+a n+1，∴b n+1b n=4−a n+14−a n=34+an+1≤37 ，即b n ⩽b 1⋅(37)n−1=(37)n−1；(3)由b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1，即可求解．。

【附加15套高考模拟试卷】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷含答案

【附加15套高考模拟试卷】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷含答案

江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）定义域为R ，则命题p ：“函数f （x ）为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f （x 0）=f （-x 0）”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16322+3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥C ．1//A O 平面11B CD D ．1A O ⊥平面11AB D4．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．156．已知实数x ，y 满足不等式组21035328x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，若(>0)z ax y a =-的最小值为9，则实数a 的值等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．97．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．18．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，1(x)25xf =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1-B ．45- C ．1D ．459．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A ．1BC ．2D ．410．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．16811．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3 B ．23 C．2 D ．112． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届苏锡常镇二模数学试题

2020届苏锡常镇二模数学试题

9. 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 6 ，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点 ，则三棱锥 C - MBD 的体积为 ▲ .
D1
C1
D
A1
B1
M
D
CA
A
B B
( 第 9 题图 )
C ( 第 12 题图 )
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店
10. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的周期为 2 ，且 x ∈ 0, 1
成立．
（1）求证:数列
Sn +2 an
，是等差数列，并求数列 {an} 的通项公式；
（2）设 bn = an +4n - 3，已知 b2, bi, bj; (2 < i < j) 成等差数列，求正整数 i, j．
20（. 本小满分 16 分）
已知函数 f(x) = (m - 1)x + ln x, g(x) = (m - 2)x2 + (n + 3)x - 2, m, n ∈ R. （1）当 m = 0 时，求函数 f(x) 的极值； （2）当 n = 0 时，函数 F(x) = g(x) - f(x) 在 (0, + ∞) 上为单调函数，求 m 的取值范围； （3）当 n > 0 时，判断是否存在正数 m，使得函数 f(x) 与 g(x) 有相同的零点，并说明理由．
sin
C
+
π 3
的最大值 .
16（. 本小题满分 14 分）
已知在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，且平面 A1ADD1 ⏊平面 ABCD，DA1 = DD1.点
E, F 分别为线段 A1D1, BC 的中点． （1）求证: EF ⎳ 平面 CC1D1D；

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(带答案解析)

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(带答案解析)
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P(0，1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标.
18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， 所对的圆心角为 .记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）.
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另一侧作正三角形ACD，则 ＝_______.
13．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且 ，则a的取值范围为_______.
（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 ，求 的值.
25．已知数列 中， ， (n ).
（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和 ；② 和 ；
（2）当n≥3时，证明： .
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
根据集合 中的元素，判断出 的值.
【详解】
∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.
4．﹣1
【解析】
【分析】
运行循环结构代码，由此计算出输出的 的值.
【详解】

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研试题(二)

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学教学情况调研试题(二)

2020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0． 5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用0． 5毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整字迹清楚．4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆锥的体积公式： V 圆锥 = 1Sh ，此中 S 是圆锥的底面积， h 是高．3圆锥的侧面积公式： S 圆锥 = prl ，此中 r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据 x 1 ， x 2 ， ， x n 的方差 s 21 n( x i x)2，此中 x = 1nx i ．n i 1 n i 1一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上 ．．．．．．．．． 1．已知全集 U 1，2，3，4，5 ，A 1，2 ， B 2，3，4 ，那么 A U e U B ▲．2．已知 (a i) 22i ，此中 i 是虚数单位，那么实数a ▲ ．3．从某班抽取 5 名学生丈量身高（单位：cm ），获得的数据为 160， 162， 开始2 ▲ ．n ← 1159， 160，159，则该组数据的方差 s4．同时投掷三枚质地平均、大小同样的硬币一次，则起码有两枚硬币正面x ← a向上的概率为▲ ．Nn ≤ 35．若双曲线 x2my21 过点2 ，2 ，则该双曲线的虚轴长为▲．Y输出 xln 2xx 2x ← 2x16．函数 f ( x)x 1的定义域为▲．结束n ← n 17．某算法流程图如右图所示，该程序运转后， 若输出的 x 15，则实数 a 等于▲ ．8．若 tan1 ， tan( )1，则 tan(2 )▲ ．23（第 7题）9 ．若直线 3x 4 ym0 与圆 x 2 y 2 2x 4 y 4 0 一直有公共点，则实数m 的取值范围是▲．10．设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为V 1 ， S 1 ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V 2 ， S 2 ，若V 1= 3，则 S 1 的值为 ▲ ．V 2 p S 211．已知函数 f (x) x 3 2 x ，若 f (1)f (log 1 3) 0（ a 0且 a 1），则实数 a 的取值范围是▲．a12．设公差为 d （ d 为奇数，且 d 1 ）的等差数列 { an } 的前 nSS9，S 0，其项和为n ，若m 1m中 m 3 ，且 m N * ，则 a n ▲．13．已知函数 f ( x)x x 2 a ，若存在 x1,2 ，使得 f (x) 2 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．14 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 点 A(1，0) ， B(0 ，1) ， C (a ，b) ， D (c ，d) ，若不等式uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurm 的最大CD ≥ (m 2)OC OD m(OC OB) (OD OA) 对随意实数 a ， b ， c ， d 都成立，则实数值是▲．二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知向量 m (cos B ，cosC) ，n (4a b ， c) ，且 m ∥ n ．（ 1）求 cosC 的值；（ 2）若 c3 ，△ ABC 的面积 S=15，求 a ，b 的值．B4DCAP16．（本小题满分 14 分）在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中， CA CB ， AA 12AB ，D 是 AB 的中点．（ 1）求证： BC ∥ 平面 ACD；1 1（ 2）若点 P 在线段 BB 1 上，且 BP1B 1BB 1 ，4C 1A 1（第 16 题）求证： AP平面ACD．117．（本小题满分 14 分）某经销商计划销售一款新式的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的收益为x（单位：元，x 0 ）时，销售量 q( x)（单位：百台）与 x 的关系知足： 若 x 不超出 20，则 q( x) 1260 ；x 1 若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20 ≤ x ≤ 180时， q( x) a b x （ a ， b 为实常数）．（ 1）求函数 q (x) 的表达式；（ 2）当 x 为多少时，总收益（单位：元）获得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分 16 分）2 2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：xy 1(a b 0) 的左，右焦点分别是 F 1， F 2，右a 2b 2极点、上极点分别为 A ， B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒ （ 1）若椭圆 C 的离心率等于6，求椭圆 C 的方程；3（ 2）若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ，且 P 在第二象限，直线 PF 2 交 y轴于点Q ﹒试判断以 PQ 为直径的 圆与点 F 1 的地点关系，并说明原因﹒19．（本小题满分 16 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 3 ，且对随意的正整数 n ，都有 S n 1S n 3n 1 ，此中常数0 ．设 b na n( nN ) ﹒n3（ 1）若 3 ，求数列 { b n } 的通项公式；（ 2）若1且3，设c n a n2 3 n(n N ) ，证明数列 { c n } 是等比数列；3（ 3）若对随意的正整数n ，都有 b n ≤ 3 ，务实数 的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 f ( x) a e x x 2 bx （ a ， bR ， e2.71828L 是自然对数的底数），其导函数为yf ( x) ．（ 1）设 a 1，若函数 yf (x) 在 R 上是单一减函数，求 b 的取值范围；（ 2）设 b 0，若函数 y f ( x) 在 R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（ 3）设 b2 ，且 a 0 ，点 ( m ， n) （ m ， n R ）是曲线 yf ( x) 上的一个定点，能否存在实数 x （ xm ），使得x 0 m成立？证明你的结论．f (x 0 ) f ()( x 0 m) n22020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅱ（附带题）2020． 5注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21 题有 A，B，C，D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第22， 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间 30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回 .2. 答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3. 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】在A， B， C，D 四小题中只好选做两题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指．．．．．．．．．．定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．．．A．选修 4 — 1：几何证明选讲E 已知△ ABC 内接于 e O ， BE 是 e O 的直径， AD 是 BC 边上的高．求证： BA AC BE AD．OB CD（第 21-A 题）B．选修 4— 2：矩阵与变换已知变换 T 把平面上的点(3， 4) ， (5 ，0) 分别变换成(2 ， 1) ， ( 1，2) ，试求变换T对应的矩阵M ．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M (1，2) ，倾斜角为﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半3轴为极轴成立极坐标系，圆 C : 6cos ﹒若直线l 与圆C 订交于A， B 两点，求MA MB 的值．D．选修 4— 5：不等式选讲设 x 为实数，求证： x22x2 1 ﹒x 1 ≤ 3 x4【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）一个口袋中装有大小同样的 3 个白球和 1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，如有3次摸到红球即停止．（ 1）求恰巧摸 4 次停止的概率；（ 2）记4次以内（含 4 次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的散布列．23．（本小题满分10 分）设实数 a1， a2，L ，a n知足 a1 a2 L a n 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a n |≤ 1 (n N * 且 n ≥ 2) ，令b n an (n N*) ．求证： | b1 b2 L b n |≤ 1 1 ( n N*) ．n 2 2n2020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅰ试题参照答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分．1． {1，2，5} 2． 1 3 ．64 ．15 ． 46 ． 0,1U1,27 ． 1 8 ．15279． [0 ，10] 10 ．32 11 ．0,1U 3, 12 ． 3n 12 13 ． ( 1,5) 14 ．5 1 p二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（ 1）∵ m ∥ n ，∴ ccos B(4a b)cos C ，2 分由正弦定理，得 sin C cos B (4sin A sin B)cos C ，化简，得 sin( B C)4sin Acos C ﹒4 分∵ A B C p ，∴ sin A sin( B C ) ﹒又∵ A0, p，∵ sin A 0，∴ cosC1 ． 6 分4（2）∵ C0,p ， cos C1，∴ sin C1 cos2C1 15 ．14416∵ S1absin C15，∴ ab 2 ﹒①9 分24∵ c3 ，由余弦定理得 221，3 abab222 4 ，②12 分∴ a b由①②，得 a 4 4a 2 4 0 ，进而 a 22 ， a2 （舍负），因此 b2 ，∴ ab2 ．14 分16．证明：（ 1）连接 AC 1 ，设交 A 1C 于点 O ，连接 OD ．∵四边形 AA 1 C 1C 是矩形，∴ O 是 AC 1 的中点．2 分在△ ABC 1 中， O ， D 分别是 AC 1 ， AB 的中点，∴ OD ∥BC 1．4 分又∵ OD 平面 ACD 1 ， BC 1 平面 ACD 1 ，∴ BC ∥ 平面 ACD ．6 分1 1（2）∵ CA CB ， D 是 AB 的中点，∴ CD AB ﹒又∵在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，底面 ABC ⊥侧面 AA 1B 1 B ，交线为 AB ，CD 平面 ABC ，∴ CD平面 AA 1 B 1 B⋯⋯⋯⋯ 8 分 ∵ AP 平面 A 1B 1BA ，∴ CD AP ． ⋯⋯⋯⋯ 9 分∵ BB 12BA ， BB AA，BP1 BB 1 ，1 14∴ BP2=AD ， ∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A 1 AD ，BA4AA 1进而∠ AA 1 D =∠ BAP ，因此∠ AA 1 D +∠ A 1 AP =∠ BAP +∠ A 1 AP = 90 ，∴ APA 1D ．⋯⋯⋯⋯ 12 分又∵CDI ADD， CD 平面 ACD ， A D平面ACD111 1∴ AP平面 ACD 1 ．⋯⋯⋯⋯ 14 分17．解：（ 1）当a b20 ，a 90 ，⋯⋯⋯⋯ 2 分20≤ x ，由60 得≤ 180a b1800 ，b 3 ．512600 x ≤ 20,x,1故 q( x)＝ 903 5 x,20x ≤ 180,⋯⋯⋯⋯ 4 分0,x 180（ 2） 利 f (x) x q( x) ，126000 x ， 0 x20,x 1由（ 1）得f ( x) ＝ 9000 x 300 5 x， ≤x ≤，⋯⋯⋯⋯ 6 分x 20180， x 180当 0x ≤ 20 ， f ( x)126000x 126000 126000， f ( x) 在 [0 ，20] 上 增，x 1x 1因此当 x 20 ， f (x) 有最大 120000．⋯⋯⋯⋯ 8分当 20 x ≤ 180 ， f ( x)＝9000x 300 5 x x ， f ( x)＝9000 450 5x ，令 f ( x)＝0 ，得 x80．⋯⋯⋯⋯ 10 分当 20 x 80 ， f ( x) 0 ， f (x) 增，当 80 x ≤ 180 ， f ( x)0 ， f ( x) 减，因此当 x 80时， f (x) 有最大值 240000． 12 分当 180 x 时， f (x)0 ﹒答：当 x 等于 80 元时，总收益获得最大值240000元．14 分18．解：由题意，得点A(a,0) ， B(0, b) ，直线 AB 的方程为xy 1 ，即 ax by ab 0 ﹒ab由题设，得abab ，化简，得 a2b 2 1 ﹒①2 分a2b2（ 1）∵ e c6 ，∴ a 22 b22，即 a 23b 2 ﹒②a 3 a3a 2 3 ，5 分由①②，解得 4 ﹒b 214因此，椭圆 C 的方程为4x 24 y 2 1 ﹒6 分3（ 2）点 F 1 在以 PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： ykx 1 ，x 2 y 2122 2222228 分由 a 22，得 k )x 2ka x a b 0 ，（* ）b(b aay kx 1则 =(2 ka 2 )2 4(b 2 a 2 k 2 )( a 2 a 2 b 2 ) 0 ，化简，得 1 22 221 b 21 ，ba k0 ，因此， k2a∵点 P 在第二象限，∴ k 1﹒把 k 1代入方程（ * ） ，得 x 22a 2 x a 4 0 ，解得 xa 2，进而 y b 2，因此 P( a 2, b 2) ﹒2进而直线 PF 2 的方程为： y 2b( x2，ba 2a )c令 x 0 ，得 yb 2c ，因此点 Q(0, b 2c﹒2)aca 2 +c uuura2uuurb 2 2c )，进而F 1P=(c,b 2 ) ， FQ 1 =( c,a +cuuur uuur42b c进而 F 1P FQ 1 c( c)aa 2 +cc( a 4 c 2 +b 4 ) c( a 4 b 4 c 2 ) c (b 2 a 2 )(b 2 a 2 ) c 2=a 2 +ca 2 +c =0，a 2 +c10 分11 分12 分13 分又∵ a2 b 2 1， a 2 =b2 +c2，uuur uuur⋯⋯⋯⋯ 15 分∴ F1P F1Q 0因此点 F1在以 PQ 直径的上⋯⋯⋯⋯ 16 分19．解：∵ S n 1 S n n 1N ，3 ， n∴当 n ≥ 2 ，S n S n -1 3n，进而 a n 1 a n 2 3n，n≥2， n N又在 S n 1 S n 3n 1中，令n 1，可得a2a1 2 31，足上式，因此 a n 1 a n 2 3n， n N ⋯⋯⋯⋯ 2 分（ 1）当 3 ，a n 1 3a nn， n N ，2 3进而a n 1 a n 2b n2 n 1 n ，即 b n 1 ，3 3 3 3又 b1 1 ，因此数列因此b n 2n 1 ．3 （ 2）当0 且 3 且c n a n2 n33 a n 123又 c1 3 6 3因此 { c n } 是首{ b n } 是首 1，公差2的等差数列，3⋯⋯⋯⋯ 4 分1，a n 1 2n 1 2 n3333n 1 ( 3 3) (a n 1 2 3n 1 ) c n 1，⋯⋯⋯⋯ 7 分33( 1)0 ，33(1) ，公比的等比数列， c n 3( 1) n 1⋯⋯⋯⋯ 8 分3 3（ 3）在（ 2）中，若 1 ，c n 0 也合适，因此当 33( 1) n 1．， c n 3进而由（ 1）和（ 2）可知 a n (2n 1) 3n 1，3，⋯⋯⋯⋯ 9 分3( 1) n 1 2 n ，．3 3 3 3当 3 ，n2n 1 ，然不足条件，故3 ．⋯⋯⋯⋯10分b3当 3 ，b n 1 ( )n 1 2 ．3 3 3若 3 ，1b n 1， n N ， b n [1, ) ，不切合，舍去．⋯⋯⋯⋯ 11 分0 ， b n3若 01时，1 0 ，2 0 ， b nbn 1， n N ，且 b n0 ．33因此只须 b 1a 1 1 ≤ 3 即可，明显成立．故 01切合条件；12 分 3若1时， b n 1 ，知足条件．故1切合条件；13 分若 13 时，1 0 ，2 0 ，进而 b nb n 1 ， nN ，33由于 b 1 10 ．故 b n[1，2要使 b n ≤ 3 成立，只须2 ≤ 3即可．) ，33于是 1≤7．15 分3综上所述，所务实数716 分的范围是 (0， ]．320．解：（ 1）当 a1时， f( x)e xx 2 bx ，∴ f (x)e x2x b ，由题意f ( ) e x 2 x b ≤ 0 对 x R 恒成立﹒1 分xxx，由 e 2x b ≤ 0 ，得 b ≥ - e 2x令 F (x) - e x 2 x ，则 F (x) - e x2，令 F (x)0 ，得 x ln2 ．当 x ln2 时， F (x)0 ， F ( x) 单一递加，当 x ln2 时， F ( x) 0 ， F (x) 单一递减，进而当 x ln2 时， F ( x) 有最大值 2ln2 2 ，因此 b ≥ 2ln22 ．3 分（ 2）当 b 0 时， f ( x) ae x x 2 ，由题意 ae x x 20 只有一解﹒22x(2 x x) ，由 ae x x 2 0 ，得 axx ，令 G( x)xx ，则 G (x)eee令 G (x) 0 ，得 x 0 或 x 2 ．5 分 当 x ≤ 0 时， G (x) ≤ 0 ， G( x) 单一递减， G(x) 的取值范围为 0，， 当 0 x2 时， G ( x) 0 ， G( x) 单一递加， G( x) 的取值范围为4，0 ，e 2当 x ≥ 2时， G (x) ≤ 0 ， G( x) 单一递减， G(x) 的取值范围为4，0 ，e2由题意，得 a 0 或 a42，进而 a 0 或 a42 ，ee因此当 a 0 或 a4时，函数 yf ( x) 只有一个零点．8 分e 2（ 3） f ( x) ae xx 2 2x ， f ( x) ae x 2x 2 ，假 存在， 有 f ( x 0 )f ( x 02 m)( x 0 m) nf ( x 0 m)( x 0 m) f ( m) ，2f ( x 0 ) f (m)x 0 mx 0 m x 0mx 0 mf () ae2即x 0 m2) ，∵ f ( 2 22 ，2f ( x 0 ) f ( m) a(e x 0 e m ) ( x 0 2m 2 ) 2( x 0 m) a(e x 0 e m ) (x 0 m) 2 ，x 0 mx 0 mx 0mx 0 mx m)⋯⋯（ * ）∴ ae2a(e 0 e⋯⋯⋯⋯ 10 分x 0 mx 0 mxmtt mm∵ a 0eemee，∴ e2，不如 t x 0m 0 ， e2x 0 mttett两 同除以 e m ，得 e21，即 te 2e t 1 ，⋯⋯⋯⋯ 12 分tttttt令 g (t ) e t te 2 1 ， g (t)e t (e 2te 2 ) e 2 (e 2t 1) ，22t t1 t1 1 t令 h(t )21， h (t )221) 0 ，e 2 2 e 2 (e2∴ h(t ) 在 (0 ， ) 上 增，又∵ h(0)0 ，∴ h(t )0 t(0 ， ) 恒成立，⋯⋯⋯⋯ 14 分即 g (t ) 0 t (0 ， ) 恒成立，∴ g (t ) 在 (0 ，) 上 增，又 g (0)0 ，∴ g (t ) 0 t (0 ，) 恒成立，即（ * ）式不可立，⋯⋯⋯⋯ 15 分 ∴不存在 数x 0 （ x 0m ），使得 f (x 0 )f( x 0m)( x 0 m) n 成立．⋯⋯⋯⋯ 16 分2常四市高三教课状况研（一）数学Ⅱ（附带）参照答案21、【做】在A、B、 C、 D 四小中只好做两，每小10 分，共 20 分．．．．．．．A．修 4— 1：几何明明： AE ．∵ BE 是 e O 的直径，∴BAE 90 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分∴ BAE ADC ．⋯⋯⋯⋯ 4 分又∵BEA ACD ，∴△ BEA∽△ ACD ．⋯⋯⋯⋯ 7 分∴ BE AC，∴ BA AC BE AD．⋯⋯⋯⋯ 10 分BA ADB．修 4— 2：矩与解： M a b ，由意，得 a b 3 5 2 1 ，⋯⋯⋯⋯ 3 分c d c d 4 0 1 23a 4b 2 ，∴5a 1 ，⋯⋯⋯⋯ 5 分3c 4d 1 ，5c 2.1a,5b13,解得20 . ⋯⋯⋯⋯ 9 分2c,511d201 13即 M 5 20 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分211520C．修 4— 4：坐系与参数方程x 1 1t ，解：直 l 的参数方程2(t 参数 ) ，⋯⋯⋯⋯ 2 分3y 2 t ，2C 的一般方程(x 3)2 y2 9 ⋯⋯⋯⋯ 4 分直 l 的参数方程代入 C 的一般方程，得t2 2( 3 1)t 1 0 ，⋯⋯⋯⋯ 6 分方程两根t1， t 2， t1 t2 1 ⋯⋯⋯⋯ 8 分∴ MA MB = t1 t 2 =1 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分D．修 4— 5：不等式明：因右—左 =2 x4 2 x3 2 x 2 ⋯⋯⋯⋯ 2 分= 2( x 1)( x3 1) 2( x 1)2 ( x2 x 1) ⋯⋯⋯⋯ 4 分2= 2( x 1)2 x 1 3 ≥ 0 ，⋯⋯⋯⋯ 8 分2 4因此，原不等式成立．⋯⋯⋯⋯ 10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共20 分．22．解：（ 1）事件“恰巧摸4 次停止”的概率P ，P C32 ( 1 )2 3 1 9 ．⋯⋯⋯⋯ 4 分444256（2）由意，得X =01，，2，3，P(X = 0) C 0 ( 3 ) 4 81 ，P( X =1) C 1( 1 ) ( 3 )327 ，4 4 256 4 4 4 64P(X = 2) C42 (1 )2 (3)2 27 ，P(X = 3) 1 81 27 27 13 ，⋯⋯⋯⋯ 8 分4 4 128 256 64 128 256∴X 的散布列X 0 1 2 3P81 27 27 13256 64 128 256⋯⋯⋯⋯ 10 分23．明：（ 1）当n 2 ， a1 a2，∴ 2| a1 | | a1 | | a2 |≤ 1 ，即 | a1 |≤1，2∴ | b1 b2 | | a1 a2 | | a1 | ≤ 1 1 1 ，即当 n 2 ，成立．⋯⋯⋯⋯ 2 分2 2 4 2 2 2（ 2）假当n k ( k N * 且 k ≥ 2) ，成立，即当 a1 a2 L a k 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a k |≤ 1 ，有 | b1 b2 L b k |≤11 ．⋯⋯⋯⋯ 3 分2 2k当 n k 1 ，由 a1 a2 L a k a k 1 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a k 1 |≤ 1 ，∵ 2 | a k 1 | | a 1 a 2 L a k | | a k 1 |≤ a 1 | | a 2 | L| a k 1 |≤ 1 ，∴| a k 1 ≤ 1， ⋯⋯⋯⋯ 5 分| 2又∵ a 1 a 2 L a k 1 ( a k a k 1) 0 ，且| a 1 | | a 2 | L | a k 1 | | a k a k 1 |≤| a 1 | | a 2 | L| a k 1 |≤ 1，由假 可得 | b 1b 2 Lb k 1 a ka k 1|≤11 ， ⋯⋯⋯⋯ 7 分k 2 2k∴ b 1 b 2 Lb k b k 1 | |b 1 b 2 Lb k 1a k a k 1 |kk 1| ( b 1 b 2 L b k 1a ka k 1 ) ( a k 1 - a k 1 ) | ≤ 1 1 | a k 1 - a k 1 |kk 1k 22k k 1 k 1 1 1 - 1 ) | a k ≤ 1 11 - 1 1 11， 2 2k (k 1 |2 k(k 1)2 2(k1)k 1 2 k 2即当 nk 1 ， 成立．上，由（ 1）和（ 2）可知， 成立．⋯⋯⋯⋯ 10 分。

2020年苏锡常镇四市高考数学二模试卷含答案解析

2020年苏锡常镇四市高考数学二模试卷含答案解析

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1，a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1|+|a2|+…+|a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+b n|≤（n∈N*）．2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）={1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，∴（C U B）={1，5}，又A={1，2}，∴A∪（C U B）={1，2，5}．故答案为：{1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：p==．故答案为：．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是[0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y ﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0，10]．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，∵f（1）+f（log3）＞0，∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a；即a∈（0，1）∪（3，+∞）；故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3，【解答】解：∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，∴d=3，m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5，即a＜5；设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为：（﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得：c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，则有：，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈（0，π），，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得，∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90，b=3∴q（x）=（2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得，化简，得a2+b2=1﹒①，由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得，可得椭圆C的方程为；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：，令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=，又a2+b2=1，a2=b2+c2，∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵，n∈N*，∴当n≥2时，，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得，满足上式，∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中，若λ=1，则c n=0也适合，∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2）可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N*，b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时，b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1，n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g （x）=e x﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x）=0，即有﹣a=，设h（x）=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．函数f（x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b，可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．即有=不成立，则=e不成立．故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2|=1．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）=，所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…∴X 的分布列为X 0 12 3 P…26．设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1（n ∈N *且n ≥2），令b n =（n ∈N *）．求证：|b 1+b 2+…+b n |≤（n ∈N *）． 【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k 时结论成立，去证明当n=k +1时，结论也成立，从而得出命题对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立【解答】证明：（1）当n=2时，a 1=﹣a 2，∴2|a 1|=|a 1|+|a 2|≤1，即， ∴，即当n=2时，结论成立．（2）假设当n=k （k ∈N*且k ≥2）时，结论成立，即当a 1+a 2+…+a k =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k |≤1时，有．则当n=k +1时，由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∵2|a k+1|=|a 1+a 2+…+a k |+|a k+1|≤a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k ﹣1|+|a k +a k+1|≤|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得， ∴， =， =，即当n=k +1时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立．2020年8月27日。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题(解析版)

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题(解析版)

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e-){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()23B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l ． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

2020届苏锡常镇二模数学试卷及答案

2020届苏锡常镇二模数学试卷及答案

2020届苏锡常镇二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x )2，其中x ＝1n.球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．柱体的体积V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝11＋i，则|z|＝________．2. 已知集合A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{x|a －1≤x ≤3}，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________．3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝23x ，则a ＝________．5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为________．7. “直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay ＋3＝0平行”是“a ＝2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________．9. 已知M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2－3x 上的一动点，当曲线在点M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________________．10. 已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝________． 11. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ︵，EC ︵，将两圆弧EB ︵，EC ︵及BC 所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为________．(第11题) (第14题)12. 在△ABC 中，(AB →－λAC →)⊥BC →(λ＞1)，若A 的最大值为π6，则实数λ的值是________．13. 若函数f(x)＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 相交于点O.若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A －3a sin B ＝0. (1) 求A 的大小；(2) 已知a ＝2 3，B ＝π3，求△ABC 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：(1) AP∥平面EBD；(2) BE⊥PC.17. (本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度)，l1和l2所在直线的距离为0.5(百米)，对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于点M )，在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到点M的距离为1 (百米)，且点F恰在点B的正对岸(即BF⊥l3)．(1) 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；(2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在(1)的坐标系中，写出观测点P的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点(其中点D 在x 轴上方)． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若△AEF 与△BDF 的面积之比为1∶7，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝23x 3－mx 2＋m 2x(m ∈R )的导函数为．(1) 若函数g (x )＝f (x )－存在极值，求m 的取值范围；(2) 设函数h (x )＝(其中e 为自然对数的底数)，对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中n ∈N *.(1) 若a n ＝n ，b n ＝2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(2) 若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n ＋1>c n 恒成立． ①当数列{b n }为等差数列时，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.2020届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 321，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1，且二阶矩阵M 满足AM ＝B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋2 3cos 2α2 (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝t (t 为常数)，且x 24＋y 29＋z 2的最小值为，求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1) 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；(2) 赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23. (本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4py(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1) 求点G的轨迹方程；(2) 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．2020届苏锡常镇二模数学参考答案1.22 2. 2 3. 0.08 4. 3 5. 566. 67. 必要不充分8. －2n ＋119. x －y －3＝010. －19 11. 2π312. 3 13. (1，e 2e ) 14. 8 215. (1) 因为b cos A －3a sin B ＝0，所以由正弦定理可得sin B cos A －3sin A sin B ＝0.(2分) 因为0<B<π，所以sin B>0，所以cos A ＝3sin A. 因为0<A<π，所以cos A ＝3sin A>0，所以tan A ＝33.(6分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(8分)(2) 因为a ＝2 3，B ＝π3，A ＝π6，所以在△ABC 中，C ＝π2.(10分)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b ＝a sin Bsin A＝2 3×3212＝6，(12分)所以S △ABC ＝12ab ＝12×2 3×6＝6 3.(14分)16. (1) 连结AC 交BD 于点O.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点． 连结EO ，在△PAC 中，因为E 是PC 的中点，所以EO ∥AP.(2分) 又因为AP ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， 所以AP ∥平面EBD.(6分)(2) 因为△PDC 为正三角形，E 是PC 的中点， 所以DE ⊥PC.(8分)又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝DC ，且BD ⊥DC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以BD ⊥PC.(11分)又因为DE ⊥PC ，且BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE.因为BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC.(14分)17. (1) 以A 为原点，l 1所在的直线为x 轴，AM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则由题意可知A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，12.(2分) 设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 则1＝2p ×12，解得p ＝1，(4分)所以栈道AB 的方程为x 2＝2y(0≤x ≤1)．(6分)(2) 过点P 作PH ⊥l 3于点H ，设P(x 0，y 0)(其中0≤x 0≤1，0≤y 0≤12)，则PH ＝2－y 0.设∠EPH ＝α，∠FPH ＝β，则∠EPF ＝α＋β， 所以tan α＝1＋x 02－y 0，tan β＝1－x 02－y 0，(7分)所以tan (α＋β)＝1＋x 02－y 0＋1－x 02－y 01－1＋x 02－y 0·1－x 02－y 0＝22－y 01－1－x 20（2－y 0）2＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋x 20＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋2y 0.(9分)令t ＝2－y 0∈⎣⎡⎦⎤32，2，则0<tan (α＋β)＝2t t 2－1＋2（2－t ）＝2t t 2－2t ＋3＝2t ＋3t－2≤22 t·3t－2＝3＋12， 当且仅当t ＝3t ，即t ＝3∈⎣⎡⎦⎤32，2时取等号．(12分) 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan (α＋β)＞0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当tan (α＋β)最大时，α＋β最大，即∠EPF 最大，此时y 0＝2－3，x 0＝3－1，即P(3－1，2－3)．(13分)故点P 的坐标为P(3－1，2－3)时，观测EF 的视角(∠EPF)最大．(14分)18. (1) 设椭圆的焦距为2c(c>0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝12，可知b 2＝34a 2.(2分)又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1，(4分) 解得a 2＝4，b 2＝3，即椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分) (2) 设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，直线l ：x ＝my －1.因为S △BDF ＝12(a ＋c)|y 1|＝32y 1，S △AEF ＝12(a －c)|y 2|＝－12y 2，所以由S △BDF ＝7S △AEF ，可得y 1＝－73y 2.(9分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4＝－43y 2，y 1y 2＝－93m 2＋4＝－7y223<0.(11分)因为y 1>0，所以y 2<0，所以m>0.(12分) 由上式可得y 2＝－9m 2（3m 2＋4）＝－67m ，即m 2＝169.(15分) 又因为m>0，所以m ＝43，所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋1)．(16分)19. (1) f′(x)＝2x 2－2mx ＋m 2，(1分)所以g(x)＝⎝⎛⎭⎫23x 3－mx 2＋m 2x －(2x 2－2mx ＋m 2)＝23x 3－(m ＋2)x 2＋(m 2＋2m)x －m 2， 所以g′(x)＝2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m)≤0时，即m ≤－2或m ≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R 上单调递增，故函数g (x )无极值； ②当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m )>0时，即－2<m <2时，2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m ＝0有两个根x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 1，＋∞)g ′(x ) ＋－0 ＋g (x )极大值极小值综上所述，m 的取值范围是(－2，2)．(6分)(2) 因为h (x )＝(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)，所以对任意m ∈R ，(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，(8分)即对任意m ∈R ，m 2－2(e x ＋ln x )m ＋(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，(10分) 所以Δ＝4(e x ＋ln x )2－4(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即k 2≤(e x －ln x )2对任意x >0恒成立． 记φ(x )＝e x －ln x (x >0)，所以φ′(x )＝e x －1x.因为φ″(x )＝e x ＋1x 2>0，所以φ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，φ′(1)＝e －1>0，所以函数φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，列表如下：x (0，x 0) x 0 (x 0，＋∞)φ′(x ) －0 ＋φ(x )极小值所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝e x 0－ln x 0，其中e x 0－1x 0＝0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(13分) 所以x 0＝－ln x 0，所以φ(x )min ＝e x 0－ln x 0＝x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52. 又因为k >0，所以由k 2≤(e x －ln x )2得k ≤e x －ln x 对任意x >0恒成立． 由题意知k ≤φ(x )min ＝x 0＋1x 0.因为x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52，且k ∈N *， 所以k ＝1，2，(15分)即正整数k 的取值集合为{1，2}．(16分)20. (1) T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝（1＋2n －1）n 2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋4n ＋1－43.(3分)(2) ①设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公差为d 2.因为数列{c n }是递增数列，所以∀k ∈N *，a 2k －1<b 2k <a 2k ＋1， 即∀k ∈N *，a 1＋(2k －2)d 1<b 1＋(2k －1)d 2<a 1＋2kd 1， 所以∀k ∈N *，⎩⎪⎨⎪⎧2（d 2－d 1）k ＋b 1－a 1＋2d 1－d 2>0， ①2（d 1－d 2）k ＋a 1－b 1＋d 2>0. ②由①得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2－2d 1<0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≤0，a 1－b 1－d 2＜0.(6分)由②得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2>0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≥0，a 1－b 1＋2d 1－d 2>0，(7分)所以d 1＝d 2>0，即数列{a n }，{b n }的公差相等．(8分) ②数列{b n }不能为等比数列．(9分)若存在，设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为数列{c n }是递增数列，所以a 1＝c 1<c 3＝a 3＝a 1＋2d ，所以d >0.(10分) 又a n ＝a 1＋(n －1)d ，则当n >1－a 1d 时，a n >0，所以必存在正奇数i ，有a i >0，所以b i ＋1＝c i ＋1>c i ＝a i >0，即b 1q i >0， 所以b 1q >0，即b 2>0.因为b 2＝c 2<c 4＝b 4＝b 2q 2，所以q 2>1.(12分)记q 2＝p ，则p >1.因为∀k ∈N *，b 2k ＋2<a 2k ＋3，所以对任意k ∈N *，有b 2p k <a 3＋2kd 成立． 设f (x )＝x 2e x ，x >0，则f ′(x )＝x （2－x ）e x .当0<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x >0，有f (x )≤f (2)＝⎝⎛⎭⎫2e 2<1，从而x >0时，e x >x 2.因为p >1，所以∀k ∈N *，k ln p >0，所以e k ln p >(k ln p )2，即p k >ln 2p ·k 2， 从而∀k ∈N *，b 2ln 2p ·k 2<b 2p k <a 3＋2kd .因为a 3＝c 3>c 2＝b 2>0，所以a 3≤a 3k ，所以b 2ln 2p ·k 2<a 3k ＋2kd ， 所以对任意k ∈N *，k <a 3＋2db 2ln 2p， 而上式不成立，所以数列{b n }不能为等比数列．(16分)．21. A. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3c ＝－2，b ＋3d ＝3，2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11.(4分)令M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 0 1 λ－1＝(λ－1)2＝0，得λ＝1，所以M 的特征值为1.(7分)设属于特征值1的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则由M α＝α，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ，－x ＋y ＝y ，所以x ＝0，所以M 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(注：答案不唯一)(10分)B. (1) 因为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(4分)(2) 曲线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3（cos α＋2）(α为参数)，所以曲线l 的普通方程为y ＝3x (1≤x ≤3)．(6分)由⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋（y －2）2＝4，得4x 2＝4 3x ， 所以x ＝0(舍去)或x ＝3，故曲线l 和曲线C 的公共点的直角坐标为(3，3)， 其极坐标为⎝⎛⎭⎫2 3，π3.(10分) C. 由柯西不等式⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y32＋z 2(22＋32＋12)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝t 2，(6分)当且仅当x 22＝y33＝z 1时取等号，此时x 4＝y 9＝z .又x ＋y ＋z ＝4，解得x ＝87，y ＝187，z ＝27，所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为t 214.(8分)因为x 24＋y 29＋z 2的最小值为87，所以t 214＝87.又因为t ＝x ＋y ＋z >0，所以t ＝4.(10分)22. (1) X 的所有可能取值有10，20，40.按规则摸出3个小球的情况共有5×4×3＝60(种)．(1分)其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有C 35＝10(种)， 所以P(X ＝40)＝1060＝16，P(X ＝20)＝1060＝16，P(X ＝10)＝1－P(X ＝40)－P(X ＝20)＝23，故获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝10×23＋20×16＋40×16＝503，故获奖金额X 的数学期望为503元．(6分) (2) 记“获得的奖金恰好为60元”为事件A.赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立． 事件A 包含：三次都是二等奖；一次一等奖及两次三等奖， P(A)＝⎝⎛⎭⎫163＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫161＝49216，(9分)故赵四获得的奖金恰好为60元的概率为49216.(10分)23. (1) 由题意可得F(0，p)，AB ：y ＝kx ＋p(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－4pkx －4p 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2k 2＋16p 2>0，x 1＋x 2＝4pk ，x 1x 2＝－4p 2.由y ＝x 24p ，得y′＝x 2p，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y ＝x 12p (x －x 1)＋x 214p ，即y ＝x 12p x －x 214p，①同理抛物线C 在点B 处的切线方程为y ＝x 22p x －x 224p.②联立①②得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24p ，即G(2pk ，－p)，所以点G 的轨迹方程为y ＝－p(x ≠0，且p 为大于2的质数)．(3分) (2) 设AB 的中点为M ，连结MG ，FG . 由F(0，p)，G(2pk ，－p)，得k FG ＝－1k，所以AB ⊥FG .因为AB ⊥EM ，所以EM ∥FG ，所以∠EMF ＝∠GFM ＝90°.因为x M ＝12(x 1＋x 2)＝2pk ＝x G ，所以MG 平行于y 轴，所以∠EFM ＝∠GMF.又因为FM ＝MF ，所以△EFM ≌△GMF ， 所以EM ＝FG ，所以S ＝S △AGB ＋S △AEB ＝12AB·FG ＋12AB·EM ＝AB·FG .又因为AB ＝AF ＋BF ＝y 1＋y 2＋2p ＝k(x 1＋x 2)＋4p ＝4p(1＋k 2)， 且FG ＝（2pk ）2＋（2p ）2＝2p 1＋k 2， 所以S ＝AB·FG ＝p 2(21＋k 2)3.(6分)由题意得2pk 为整数，设2pk ＝t(t ∈Z ，t ≠0)， 所以k ＝t2p.假设S ＝p 2(21＋k 2)3为整数，则21＋k 2＝n (n ∈N *)， 即4＋⎝⎛⎭⎫t p 2＝n ，所以⎝⎛⎭⎫t p 2＝n 2－4， 所以tp只能为整数．(8分)设t ＝dp (d ∈Z ，d ≠0)，则d 2＝n 2－4，所以(n －d )(n ＋d )＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝4，n ＋d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－4，n ＋d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝1，n ＋d ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－1，n ＋d ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝2，n ＋d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－2，n ＋d ＝－2. 因为d ∈Z ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0，但当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0时，k ＝0，与k ≠0矛盾，不合题意．综上所述，S 不是整数．(10分)。

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苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二） 2012.5 数学I （正题） 一．填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在相应位置上.
1.设集合(]1,1-=A ,()2,0=B ,则=B A Y .
2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位）,则=z .
3.已知双曲线)0(13
2
2>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=,则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8,9,10,10,8,则该组数据的方差=2s .
5.如图,边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的）,则该点落在半圆内的概率为 .
6.已知4张卡片（大小,形状都相同）上分别写有1,2,3,4,从中任取2张,则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .
7.等比数列{}n a 中,若33=a ,246=a ,则8a 的值为 .
8.已知钝角α满足53cos -
=α,则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩
⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内,若AB PC PB PA 3432=++,则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .
11.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题：
（1）若βα//,β⊂m ,α⊂n ,则n m //；
（2）若βα//,β⊥m ,α//n ,则n m ⊥；
（3）若βα⊥,α⊥m ,β//n ,则n m //；
（4）若βα⊥,α⊥m ,β⊥n ,则n m ⊥.
上面命题中,所有真命题的序号为 .
（1）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上,点P 在x 轴上的射影为
M .若点P 在直线0=-y x 的下方,当MP
OM OP -2
取得最小值时,点P 的坐标为 .
（2）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ,上顶点为B ,右焦点为F .设线段AB 的中点为M ,若022≥+•,则该椭圆离心率的取值范围为 .
（3）设实数6≤n ,若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立,则n m n m 34
4-的最小值为 .
二．解答题：本大题共六小题,共计90分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在四边形ABCD 中,已知13=AB ,10=AC ,5=AD ,65=
CD ,.50=•AC AB
（1）求BAC ∠cos 的值；
（2）求CAD ∠sin 的值；
（3）求BAD ∆的面积.
（1）如图,在三棱锥ABC S -中,平面EFGH 分别与BC ,CA ,AS ,SB 交于点E ,F ,G ,H ,且⊥SA 平面EFGH ,AB SA ⊥,.FG EF ⊥
求证：（1）//AB 平面EFGH ；
（2）EF GH //；
（3）⊥GH 平面SAC .
（2）如图,已知矩形油画的长为a ,宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔,四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x ,上下两边金箔的宽为y ,壁画的总面积为.S
一． 用x ,y ,a ,b 表示S ；
二． 若S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ,y 的值.
16.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆64:22=+y x O ,圆1O 与圆O 相交,圆心为)0,9(1O ,且圆1O 上的点与圆O 上的点之间的最大距离为.21
18.求圆1O 的标准方程；
19.过定点),(b a P 作动直线l 与圆O ,圆1O 都相交,且直线l 被圆O ,圆1O 截得的弦长分别为d ,1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ,求点P 的坐标及λ的值.
15.已知a 为正实数,函数x e x
a x a x f ⋅+-=)(（e 为自然对数的底数）. 19.若)1()0(f f >,求a 的取值范围；
20.当2=a 时,解不等式1)(<x f ；
21.求函数)(x f 的单调区间.
20.已知数列{}n a 的前三项分别为51=a ,62=a ,83=a ,且数列{}n a 的前n 项和n S 满足
222)()(21m n S S S m n m n --+=+,其中m ,n 为任意正整数. 11.求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
12.求满足22332
3k a S n n =+-
的所有正整数k ,n .
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
数学Ⅱ（附加题）
（1）选做题
A .选修14-：几何证明选讲
如图,自⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PC 和割线PBA ,点C 为切点,割线PBA 交⊙O 于A ,B 两点,点O 在AB 上.作AB CD ⊥,垂足为点.D
求证：DC
BD PA PC =.
B .选修24-：矩阵与变换
设a ,R b ∈,若矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-=b a A 10把直线42:-=x y l 变换为直线12:'-=x y l ,求a ,b 的值.
C .选修44-：坐标系与参数方程 求椭圆1916:
2
2=+y x C 上的点P 到直线01843:=++y x l 的距离的最小值.
D .选修54-不等式选讲
已知非负实数x ,y ,z 满足4
1332222=+++++z y x z y x ,求z y x ++的最大值.
（2）如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,4=AB ,2=AD ,21=AA ,F 是棱BC 的中点,点E 在棱11D C 上,且11EC E D λ=（λ为实数）. （1）当3
1=λ时,求直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值的大小； （2）求证：直线EF 不可能与直线EA 垂直.
23.记)()(),(n n n n y x y x y x f +-+=,其中x ,y 为正实数,+∈N n .给定正实数a ,b 满足
1
-=
b b a .用数学归纳法证明：对于任意正整数n ,).2,2(),(n n f b a f ≥。

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