炎德英才四大名校大联考2019年高三考前演练理数(答案)
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)
炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。
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三#解答题
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属于直接价值'故选择 .选项'
&).!解析语言功能才是人脑特有的高级功能%故 * 错误&长期记忆主要与新突触的建立有关%短期记忆主 要与神经元的活动及神经元之间的联系有关%故 -错误&大脑皮层是整个神经系统中最高级的部位%它除了
对外部世界的感知以及控制机体的反射活动外%还具有语言(学习(记忆和思维等方面的高级功能%故 .正
基体有关%原核生物没有高尔基体%有些也具有细胞壁%故 /错误'
")/!解析质壁分离与自动复原过程中%原生质层与细胞壁的距离先增大后减小%符合曲线&01 过高或者过 低都会使唾液淀粉酶变性失活%符合曲线&自然条件下%种群呈#2$型曲线%其增长速率符合该曲线&生长素的
生理作用具有两重性%在高浓度时%会抑制根的生长%即在高浓度时%曲线可进一步下降至负值%题示曲线不
!!).!解析主要能量转化方式.:极通入常见还原剂27"%E极通入氧化剂 7"%甲池类似于燃料电池%主要是 化学能转化为电能&乙池是惰性电极电解池%主要是电能转化为化学能%* 错误'电极名称的判断.还原剂
27" 在:极上失去电子发生氧化反应%:极是负极%氧化剂 7" 在 E极上得到电子发生还原反应%E极是正 极&与电源负极相连的电解池F极是阴极%与电源正极相连的电解池G极是阳极%-错误'电极反应式的书 写.要敏锐地观 察 到 电 解 池 左 侧 是 #无 水$环 境%硝 酸 不 发 生 电 离%根 据 公 式 法 将 左 侧 阳 极 反 应 式 写 为
压氢气%未来有可能实现给氢燃料电池汽车添加液氢%.错误&氢燃料电池是将化学能高效转化为电能%其总
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$ # # % 8% 又! 的各项均为正# 所以& $ # 故! 为等比数列# 公比为! # & ! & " '&1 % & ) 0 ) & ! '" ' 1 #% '0 '" )0 # % 8 $ 说明& 也可以由递推关系求前)项# 直接相加求和%
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炎德英才四大名校大联考2019年高三考前演练理综(试题)
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%)下列有关实验正确的是
!$)#$!2年!!月法国凡尔赛国际计量大会将阿伏加德罗常数进行了重新定义+&! 摩尔包含 "&$##!($6" A !$#'个基本单元$这一常数被称为阿伏加德罗常数$单位为 BCDE!'#基于 这一新定义$阿伏加德罗常数的不确定度被消除了#新定义将于#$!%年5月#$日正式生 效#设 !7 表示阿伏加德罗常数的值$则下列说法错误的是 7)6)2F-/#.# 与足量的水!*#!2."反应生成的氧气中所含的中子数为$&2!7 +)!$$BG$&#BCD,GE! -/#0溶液中$所含有的 *#0%*0E 和0#E 微粒数之和为$&#!7 ,)体积为!!&#G的氯气发生氧化还原反应转移的电子数不一定为#!7 个 :)'$F01.# 中含有的01*. 键数目为#!7
姓!!名!!!!!!
准考证号!!!!!!
绝密"启用
#$!%年普通高等学校招生; 本试卷分第!卷选择题和第"卷非选择题两部分答题前考生务必将自己的姓名准 考证号填写在答题卡上 #& 回答第!卷时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号写在本试题卷上无效 '& 回答第"卷时将答案写在答题卡上写在本试题卷上无效 ()考试结束后将本试题卷和答题卡一并交回 可能用到的相对原子质量*#!!+#!!!,#!#!-#!(!.#!"!-/##'!01##2!
炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)
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侧面积为 "#6槡#)96#90#槡)&解得90#&因此6(06+0#&860槡#&8(0槡)! !*分"
""!/!解析易知 *)0#槡#多面体 &(+,!&*-) 的体积."0)将多面体 &(+,!&*-) 补成四棱柱 /0-1!&(+,则#."0'+-0"#故+-0&从而&-0 槡"*故2&*)- 0 槡&'!
"#!.!解析$3#083#"3#0494#令$3#"0"3##05则#"095##0 4"8345 所以#"!##095!
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理科数学参考答案!一中版"!!&
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炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)
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炎德英才大联考2019届长郡中学高三月考理数(答案)
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2019师大附中高三月考(一)理数答案
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理科数学参考答案! 附中版" !" !
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炎德英才大联考2019届雅礼中学高三理数(答案)
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炎德英才四大名校大联考2019年高三考前演练理综(试题)
9/0')(!L"!%!I9!#C&%JK(>H,&过程!%"中能量转化的形式依次是*太阳能$化学能$
热能
3&铁氧化合物循环制 ;# 具有成本低%产物易分离等优点 !$&下列实验过程不能达到实验目的的是
星为国家提供高时空分辨率的遥感数据高分系列卫星
中只有高 分 四 号 是 地 球 同 步 轨 道 卫 星其 余 卫 星 都 在
太阳同步轨道运行 太 阳 同 步 轨 道如 图 所 示其 轨 道 倾 角
超过了C$X如果卫星一次回归会途经地球两极点则属于
极地轨道表 中 给 出 了 高 分 二 号 和 高 分 四 号 的 部 分
图乙所示的正弦交流电$一个二极管和阻值 4I#$& 的负载电阻串联后接到副线圈的两
端#假设该二极管的正向电阻为零$反向电阻为无穷大#用交流电压表测得1%/端和#%5
端的电压分别为61/和6#5 $则
1$61/V6#5Байду номын сангаасI槡#V#
2$电流表的读数为##1
,$负载电阻的阻值越小$#%5间的电压6#5越大 3$将二极管短路$电流表的读数加倍
1&简单离子半径*N%E%F%D 2&N%E 分别与 D元素形成的简单化合物的沸点*E%N ,&F#E 和FD都只存在离子键 3&向水中加入或通入M$促进水的电离
理科综合试题 第'!页!共!"页"
2019师大附中高三月考(四)理数答案
#!-!$解析%由已知&0"12(则#�槡#(�#2(&0"!2(&的虚部为"!所以仅结论正确(故选 -!
&!-!$解析%利用向量垂直的充要条件有)!1"0#10$(30!"(向量在 方向上的投影
为0!
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'!.!$解析%模拟执行程序框图(可得程序框图的功能是计算并输出'0&($1$("1#(#1"(&0"*+!故
所以取0 "槡&#*槡& 显然可取平面 -/, 的法向量0"$$
理科数学参考答案附中版!&!
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数学!理科"试题参考答案 第!页
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数 学!理科"参考答案
一#选择题
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故选
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所以-%&31%#?从而直线 . 的斜率为槡%%或2槡%%!
所以"!56"!2*"" !1"!56"!2"%!/""!12""%!2 !""!/"!56"!&"!)!#&!"!
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