全面理解共线向量

全面理解共线向量

河北赵春祥

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．同时我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．平行向量也叫共线向量，共线向量可能有下列情况：

（１）有一个为零向量；

（２）两个都为零向量；

（３）方向相同，模相等（相等向量）；

（４）方向相同，模不等；

（５）方向相反，模相等；

（６）方向相反，模不等．

由于向量可以自由平移，任一组平行（共线）向量都可以移到同一条直线上，因此，这里所说的平行（共线）向量从图形上讲包含初中平面几何中的“平行和共线”两层含义．比如，向量与向量是共线向量．则四点不一定在同一条直线上．这是因为向量可以平移，共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一条直线上．

例1　已知非零向量满足，问表示的有向线段能否一定构成三角形？

错解：在平面上任取一点，作，再以为起点作，则．

依题意，，所以．

因而时，表示的有向线段一定能构成．

分析：虽然均为非零向量，但上述解法只考虑了一般情况，而忽视了共线时的特殊情形．

正解：（1）当不共线时，由错解知存在．

（2）当共线时，即使成立，但由于共线，故不存在．

综上，只有不共线且时，表示的有向线段才能构成三角形．

例2　已知为不共线的非零向量，如果，，判断是否共线？

错解：由，，当与共线时，与才共线，而本题为不共线的非零向量，故向量不共线．

分析：要研究是否共线，不能从表面来看，而应根据共线的条件来判断，即看能否表示为的形式．

正解：，，

，为共线向量．