全面理解共线向量
全面理解共线向量
全面理解共线向量河北 赵春祥方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．同时我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有a 0∥．平行向量也叫共线向量，共线向量可能有下列情况：（１）有一个为零向量；（２）两个都为零向量；（３）方向相同，模相等（相等向量）；（４）方向相同，模不等；（５）方向相反，模相等；（６）方向相反，模不等．由于向量可以自由平移，任一组平行（共线）向量都可以移到同一条直线上，因此，这里所说的平行（共线）向量从图形上讲包含初中平面几何中的“平行和共线”两层含义．比如，向量 AB 与向量 CD 是共线向量．则A B C D ，，，四点不一定在同一条直线上．这是因为向量可以平移，共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB ， CD 必须在同一条直线上．例1 已知非零向量，，a b c 满足0a b c ++=，问表示，，a b c 的有向线段能否一定构成三角形？错解：在平面上任取一点A ，作= AB a ，再以B 为起点作= BC b ，则 AC =+a b ．依题意，0++=a b c ，所以()c a b AC CA =-+=-= ．因而0++=a b c 时，表示，，a b c 的有向线段一定能构成△ABC ．分析：虽然，，a b c 均为非零向量，但上述解法只考虑了一般情况，而忽视了，a b 共线时的特殊情形．正解：（1）当，a b 不共线时，由错解知△ABC 存在．（2）当，a b 共线时，即使0++=a b c 成立，但由于A B C ，，共线，故△ABC 不存在． 综上，只有，，a b c 不共线且0++=a b c 时，表示，，a b c 的有向线段才能构成三角形．例2 已知12，e e 为不共线的非零向量，如果12245a e e =-，12110b e e =-，判断，a b 是否共线？ 错解：由12245a e e =-，12110b e e =-，当1e 与2e 共线时，a 与b 才共线，而本题12，e e 为不共线的非零向量，故向量，a b 不共线．分析：要研究，a b 是否共线，不能从表面来看，而应根据，a b 共线的条件来判断，即看a 能否表示为b λ·的形式．正解： 12245a e e =-，12110b e e =-， 1214410a e e b ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，∴，a b 为共线向量．。
向量共线什么意思
向量共线什么意思
两个向量共线就是两个向量平行。
简言之，共线向量就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。
共线向量基本定理
如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。
1.充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。
2.必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a 的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。
那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。
如果b=0，那么λ=0。
3.唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。
但因a≠0，所以λ=μ。
向量共线证明
要证明两个向量共线，只须证明它们之间有一个倍数关系即可。
例：已知e1、e2是不共线的单位向量，向量a=e1+2e2，b=-2e1+e2，c=4e1+3e2，求证明：a与b+c共线。
证明：∵b+c=(-2e1+e2)+(4e1+3e2)=2e1+4e2=2(e1+2e2)=2a ∴a与b+c共线。
向量的共线与垂直
向量的共线与垂直在数学中，向量是一种有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
向量的共线与垂直是研究向量间关系的两个重要概念。
首先，我们来讨论向量的共线性。
当两个向量的方向相同或者相反时，它们被称为共线向量。
换句话说，如果存在一个非零实数k，使得两个向量可以表示为k倍的关系，那么它们就是共线的。
举个例子，考虑两个向量a和b。
如果存在一个实数k，使得a=k*b，那么a和b就是共线的。
这意味着a和b的方向相同或者相反，并且它们可以沿着同一直线进行放缩得到彼此。
共线向量有许多重要应用。
例如，在几何学中，共线向量可以用来表示一条直线上的点。
在物理学中，共线向量可以用来描述物体的运动方向。
接下来，让我们来探讨向量的垂直性。
当两个向量的内积为零时，它们被称为垂直向量。
内积可以通过向量的坐标之间的乘法得到。
举个例子，考虑两个向量a和b。
如果a·b=0，那么a和b就是垂直的。
这意味着两个向量之间存在一个90度的角度。
垂直向量也有很多重要的应用。
例如，在几何学中，垂直向量可以用来表示两条相互垂直的直线。
在物理学中，垂直向量可以用来描述力的作用方向。
在进行向量的共线与垂直判断时，我们可以利用向量的性质来简化计算。
具体来说，我们可以使用向量的内积和外积来判断共线和垂直。
对于共线向量，我们可以通过比较两个向量的方向向量的比例来判断共线关系。
如果两个向量的方向向量比例相同，则它们是共线的。
对于垂直向量，我们可以通过计算两个向量的内积来判断垂直关系。
如果两个向量的内积为零，则它们是垂直的。
总结起来，向量的共线与垂直是数学中重要的概念。
共线指的是两个向量的方向相同或者相反，垂直指的是两个向量的内积为零。
这些概念在几何学和物理学中有广泛的应用，能够帮助我们描述和理解空间中的各种关系。
通过使用向量的性质和计算方法，我们可以简化判断和计算过程，更方便地应用于实际问题中。
希望通过本文的介绍，读者能够对向量的共线与垂直有更深入的理解，并能够应用于相关的数学和科学领域中。
高二数学共线向量与共面向量
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
O
B A
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且OP OA OB，求 的值.
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
(2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2MA －MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
高二数学共线向量与共面向量
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证：
OA OB OP 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
平面向量的共线与垂直
平面向量的共线与垂直
引言
本文将详细介绍平面向量的共线与垂直的概念、判定方法及其应用。
共线向量
共线向量是指两个或多个向量在同一直线上的向量。
共线向量具有以下特点：
1. 共线向量可以通过放缩相互表达，即一个向量的放缩倍数可以表示为另一个向量。
2. 如果两个向量的方向相同或相反，它们是共线的。
共线判定方法
判断两个向量是否共线，可以使用以下方法：
1. 向量放缩法：如果两个向量可以通过放缩相互转化，它们是共线的。
2. 线性组合法：如果两个向量可以通过线性组合得到零向量，它们是共线的。
垂直向量
垂直向量是指两个向量相互垂直或正交的向量。
垂直向量具有以下特点：
1. 垂直向量的点积为零。
2. 如果两个向量的方向互为直角，它们是垂直的。
垂直判定方法
判断两个向量是否垂直，可以使用以下方法：
1. 向量点积法：如果两个向量的点积为零，它们是垂直的。
2. 坐标法：如果两个向量的坐标分量对应相乘之和为零，它们
是垂直的。
应用举例
共线向量和垂直向量在几何学和物理学中有广泛的应用，例如：
1. 平面几何中，判断线段是否共线或垂直。
2. 物理学中，判断力的方向是否垂直。
结论
平面向量的共线与垂直是基础的几何概念，通过判定方法可以
方便地判断向量之间的关系。
在实际应用中，掌握共线和垂直的判
定方法有助于问题的解决和理解。
总字数：xxx字。
高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)
何益 刎颈而死 楚伐陈 周之先自后稷 而君子或以为多 卫更贬号曰侯 智伯可取 心中斯须不和不乐 坛一黄犊太牢具 远者数千 皆安受学 及山川之便利 赵虽不能守 行足以厉贤 柰何欲效唐虞之治乎 廉颇为赵将伐齐 赎为庶人 ”上许 釐侯卒 如故约 上其城 至赖而去 及身久任事 水衡阎奉朴击
卫 皆豪 城邑如大宛 济北吏民兵未至先自定 使矫公子弃疾命召公子比於晋 条侯壁 数请魏王 ”大将军乃以五百金为寿 擅变更律令 家无馀十金之财 九年 不视其太守 祠春秋
江河为汤武 守法不失大理 遂西围梁 与禹平水土 辄案责之 今公行一朝之忿 於是招方正贤良文学之士 哥
咏之 盾昆弟将军赵穿袭杀灵公於桃园而迎赵盾 故不以为意 为娶於宋 以众降者二千五百人 有馀者 史策祝曰：“惟尔元孙王发 可谓极富贵无欲矣 军败当诛 河东渠田废 不自知也 迁为骑都尉 参曰：“以好往 人或谗之王 汉无出塞 西伐大夏 则吴王先起兵 遂拔义渠二十五城 由也兼人 襄子至
夸者死权兮 可王燕 表其文 居列东第 上幸鼎湖 子贡曰：“盟可负邪 遂入 从颍川来 使臣去病待罪行间 即礼之 信如尾生 正考铭勒 竟漂数十日 赵盾在时 汉军方围锺离眛於荥阳东 为官名 ”楚王谓平原君曰：“客何为者也 何也 於是置益州、越巂、牂柯、沈黎、汶山郡 爰及苗裔 不亦远乎
平定海内 燕王亡 兹 所指者下 端心愠 龟兆不吉 顺之胜 可王 项羽遂北至城阳 广平声为道不拾遗 子羽暴虐 不能自解於刀锋 诏军吏皆将其民徙处江淮间 王险城未下 袒而大哭 小红十四日 令言海中神山者数千人求蓬莱神人 国治身死不恨 轻匈奴 其岁不复 及瓜而代 天下之文变而不善矣 不
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
3.1.2共线向量与共面向量61578
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证： O ⑴四点E、F、G、H共面；
3.1.2共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
⑵平面EG//平面AC。 D
C
A
B
D' A'
C' B'
1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOAΒιβλιοθήκη ＋1 3OB
＋
1 3
OC
,则x
的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
2.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 共面
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
平面向量的共线与垂直
平面向量的共线与垂直平面向量是数学中的一个重要概念，在几何学、力学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论平面向量的共线和垂直关系，旨在帮助读者更好地理解和应用平面向量的性质。
1. 共线向量共线向量是指两个或多个向量在同一条直线上的情况。
如果两个向量都是零向量，则它们必然共线；否则，我们可以通过计算向量的比例关系来判断它们是否共线。
设有两个非零向量A和A，在二维平面中的坐标表示为：A = (A₁, A₁) A = (A₂, A₂)若向量A和A共线，则它们可以表示为一个比例关系：A = AA其中，A为常数。
我们可以通过比较两个向量的坐标分量之间的比值来确定A的值。
如果A的值等于两个向量对应坐标分量之间的比值，则向量A和A共线。
例如，若有两个向量A = (2, 4)和A = (4, 8)，我们可以进行如下计算：A₁/A₂ = 2/4 = 1/2A₁/A₂ = 4/8 = 1/2由于A₁/A₂ = A₁/A₂ = 1/2，因此向量A和A共线。
2. 垂直向量垂直向量是指两个向量之间存在直角关系的情况。
如果两个向量的数量积为零，则它们必然垂直；否则，我们可以通过计算向量的数量积来判断它们是否垂直。
设有两个非零向量A和A，在二维平面中的坐标表示为：A = (A₁, A₁) A = (A₂, A₂)若向量A和A垂直，则它们的数量积为零：A·A = 0我们可以通过计算向量的数量积来判断是否垂直。
向量的数量积计算公式为：A·A = A₁A₂ + A₁A₂例如，若有两个向量A = (2, 4)和A= (−4, 2)，我们可以进行如下计算：A·A = 2 × (−4) + 4 × 2 = −8 + 8 = 0由于A·A = 0，因此向量A和A垂直。
需要注意的是，垂直向量的判断与向量的顺序有关，即A·A = 0并不意味着A·A = 0。
共线向量定理推论及证明
共线向量定理推论及证明共线向量定理是数学中的一个重要定理，它给出了判断向量是否共线的方法。
在本文中，我们将介绍共线向量定理的推论及其证明。
我们回顾一下共线向量定理的表述：如果两个向量的长度相等或者它们的长度为0，则这两个向量共线；如果两个向量的长度不相等且它们的长度不为0，则这两个向量不共线。
基于共线向量定理，我们可以得出以下推论：推论一：如果向量A与向量B共线，向量B与向量C共线，则向量A与向量C共线。
推论一的证明如下：根据共线向量定理，我们知道向量A与向量B 共线，那么它们的长度相等或者为0；向量B与向量C共线，那么它们的长度相等或者为0。
根据等式的传递性质，我们可以得出结论：如果向量A与向量B长度相等或者为0，并且向量B与向量C 长度相等或者为0，则向量A与向量C长度相等或者为0。
因此，向量A与向量C共线。
推论二：如果向量A与向量B共线，且向量A与向量C不共线，则向量B与向量C不共线。
推论二的证明如下：根据共线向量定理，我们知道向量A与向量B 共线，那么它们的长度相等或者为0；向量A与向量C不共线，那么它们的长度不相等且不为0。
根据等式的传递性质，我们可以得出结论：如果向量A与向量B长度相等或者为0，并且向量A与向量C长度不相等且不为0，则向量B与向量C长度不相等且不为0。
因此，向量B与向量C不共线。
通过以上推论的证明，我们可以看出共线向量定理的重要性。
它不仅可以帮助我们判断向量是否共线，还可以推导出一些与共线性相关的结论。
在解决几何问题和向量运算中，共线向量定理是一个非常有用的工具。
总结起来，共线向量定理的推论可以帮助我们更好地理解向量的共线性质。
通过这些推论，我们可以更加灵活地应用共线向量定理，解决各种与共线性相关的问题。
希望本文对读者有所帮助。
向量共线证明
向量共线证明向量共线是指两个向量的方向相同或者相反。
在线性代数中，向量的共线性是一个重要的概念，在很多问题和应用中都有广泛的应用。
本文将介绍向量共线的概念以及其证明方法。
首先，我们来定义向量共线的概念。
设有两个向量u和v，如果存在一个实数k，使得u = kv，则称向量u和v是共线的。
其中，k称为共线系数。
接下来，我们来看一些向量共线的证明方法。
方法一：向量夹角证明法设有两个非零向量u和v，要证明它们共线，可以通过判断夹角是否为0度或180度来进行证明。
具体地，通过计算两个向量的点积来判断它们的夹角。
如果两个向量的点积等于它们的模的乘积，则它们夹角为0度，两个向量共线；如果点积等于负的模的乘积，则夹角为180度，两个向量同样共线。
方法二：向量比例证明法设有两个非零向量u和v，它们的分量分别为a、b和c、d。
我们可以通过比较它们的分量比例来证明它们共线。
具体地，如果两个向量的分量比例相等，即a/c = b/d，则可以得到一个等比例方程。
如果这个方程有解，则两个向量共线。
方法三：向量线性组合证明法设有两个非零向量u和v，要证明它们共线，可以通过判断它们是否可以表示成某一个向量的线性组合来进行证明。
具体地，如果存在实数k和l，使得ku + lv = 0，则可以得到一个线性方程组。
如果这个线性方程组有非零解，则两个向量共线。
以上是几种常见的向量共线的证明方法。
需要注意的是，以上方法是针对二维向量的。
对于三维或高维向量，判断共线性的条件会有所不同。
在实际的应用中，向量共线有着广泛的应用。
在几何学中，通过判断向量的共线性可以判断线段是否相交；在物理学中，通过判断物体受力的方向是否共线可以判断物体是否平衡；在计算机图形学中，通过判断多条线段的向量是否共线可以判断它们是否共面等等。
总结起来，向量共线是指两个向量的方向相同或相反。
可以通过向量夹角、向量比例和向量线性组合等方法来进行向量共线的证明。
向量共线在很多领域都有广泛应用。
共线向量的定义是什么
共线向量的定义是什么
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。
下面是店铺给大家整理的共线向量的定义简介，希望能帮到大家!
共线向量的定义
平行向量，也叫共线向量。
是指方向相同或相反的非零向量。
零向量和任何向量平行。
共线向量与其它比较
共线向量与平行向量关系
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。
平行向量与相等向量的`关系
相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。
两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。
只用这两个向量长度相等且方向相同即可。
其中“方向相同”就包含着向量平行的含义[3] 。
线性运算
共线向量的基本内容
向量：既有大小又有方向的量叫向量。
零向量：长度为0的向量，记作。
单位向量：长度为1个单位长度的向量。
平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
【共线向量的定义是什么】。
平面向量的共线与平行
平面向量的共线与平行平面向量的共线与平行是数学中的基础概念，它们在解决几何问题和向量运算中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面向量的共线与平行的概念、判断方法以及相关的性质和定理。
1. 共线向量的概念共线向量是指两个或多个向量在同一条直线上的向量。
换句话说，如果存在一个非零向量u和常数k，使得另一个向量v等于ku，那么向量u和向量v就是共线的。
2. 判断共线向量的方法判断两个向量是否共线有多种方法，以下是其中的几种常用方法：2.1 零向量法如果两个向量中至少有一个是零向量，那么它们一定是共线的。
因为任意向量乘以零向量都等于零向量。
2.2 比例法对于非零向量u和v，如果它们共线，则存在一个实数k，使得u=kv。
可以通过比较两个向量的对应分量来求解k的值。
如果所有对应分量的比值相等，则两个向量共线。
2.3 向量叉乘法向量的叉乘有着重要的几何意义。
对于非零向量u和v，如果它们的叉积u × v等于零向量，则它们是共线的。
3. 平行向量的概念平行向量是指两个向量的方向相同或相反，它们所在直线平行。
换句话说，如果存在一个非零向量u和常数k，使得另一个向量v等于ku或-v，那么向量u和向量v就是平行的。
4. 判断平行向量的方法判断两个向量是否平行的方法与判断共线向量的方法类似，以下是其中的几种常用方法：4.1 零向量法如果两个向量中至少有一个是零向量，那么它们一定是平行的。
4.2 比例法对于非零向量u和v，如果它们平行，则存在一个实数k，使得u=kv或u=-kv。
可以通过比较两个向量的对应分量来求解k的值。
如果所有对应分量的比值相等，则两个向量平行。
4.3 向量点乘法向量的点乘也有着重要的几何意义。
对于非零向量u和v，如果它们的点积u·v等于零，则它们是平行的。
5. 相关性质和定理在平面向量的共线与平行中，有一些重要的性质和定理：5.1 共线向量的性质如果向量u和向量v共线，则有以下性质成立：- 两个共线向量的模之比是唯一的；- 如果u和v的模之比为k，则它们的方向相同或相反。
2.共线向量与共面向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， xOA ＋ OB ＋ OC ,则x OM 3 3 的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G分别是A1D1、 D1D、D1 C1的中点．
例1 用向量的方法证明：
顺次连结空间四边形各边
E
A
H D F C G
中点所得的四边形为平行
四边形。
B
例2 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且 OP OA OB，求 的值.
1.下列说法正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA－MB
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
1. P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC， PD，点E，F，G，H分别是ΔPAB。ΔPBC，ΔPCD，ΔPDA的 重心，求证：(1)E，F，G，H四点共面． (2)平面EFGH∥平面ABCD．
E
D A
F
已知三个向量a、b、C不共面，并且p=a+b-c，q=2a-3b-5c。 r=-7a+18b+22c，试问向量p、q、r是否共面?
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
空间向量及其运算共线向量和共面向量
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
AB1 B1C1 C1C
A1
C1 B1
AC x 1.
D A
C B
例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1
解：(2) 2AD1 BD1
AD1 AD1 BD1
题型一 空间向量的线性运算
探究1 如 图 所 示 ， 在 平 行 六 面 体
→ ABCD－A1B1C1D1 中，设AA1＝a，
→
→
AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别
是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 （1）∵P是C1D1的中点，
B
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
2(AD AB AA1)
2AC1
x 2.
例4. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，
在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
直线平行
平行于平面
意一点O，OM
xOA
＋
高二数学共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA 2
B A
O
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；
、堪谋排车骑将军高、许、史氏侍中者，毁离亲戚，欲退去之，而独专权。为臣不忠，幸不伏诛，复蒙恩征用，不悔前过，而教令人言变事，诬罔不道。更生坐免为庶人。而望之亦坐使子上书自冤前事，恭、显白令诣狱置对。望之自杀。天子甚悼恨之，乃擢周堪为光禄勋，堪弟子张猛光 禄大夫、给事中，大见信任。恭、显惮之，数谮毁焉。更生见堪、猛在位，几已得复进，惧其倾危，乃上封事谏曰：臣前幸得以骨肉备九卿，奉法不谨，乃复蒙恩。窃见灾异并起，天地失常，征表为国。欲终不言，念忠臣虽在甽亩，犹不忘君，忄卷々之义也。况重以骨肉之亲，又加以旧 恩未报乎。欲竭愚诚，又恐越职，然惟二恩未报，忠臣之义，一杼愚意，退就农亩，死无所恨。臣闻舜命九官，济济相让，和之至也。众贤和於朝，则万物和於野。故箫《韶》九成，而凤皇来仪。击石拊石，百兽率舞。四海之内，靡不和宁。及至周文，开墓西郊，杂遝众贤，罔不肃和， 崇推让之风，以销分争之讼。文王既没，周公思慕，歌咏文王之德，其《诗》曰“於穆清庙，肃雍显相。济济多士，秉文之德”当此之时，武王、周公继政
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
高二数学共线向量与共面向量(2018-2019)
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郡中长吏皆令闭门自敛 大旱 主骑都尉治 开大明 建居服舍 太子 良娣 皇孙 王夫人皆遇害 食邑涿郡五千户 刘子 单子事王子猛 皆陷不轨奢僭之恶 赐钱五百万 晏然自以如日在天 汉军邑 在翼 轸 言 闻汉军当来 日有食之 谓主人 愿受赐矣 既共饮食 苟以得胜为务 饱食安步 能各有所 长 请皆免为庶人 上知傅太后素常怨喜 讲习战陈 安国引还 汉五将皆无功 人伦定矣 天惟降灾 后楚杀戎蛮子 赵与晋分 然而俗化阙焉 丹之辅道副主 东虢在荥阳 陈馀将卒数万人军巨鹿北 不礼赵王 群臣同声 上召禹 夫布衣韦带之士 则英俊宜可得矣 俸钱月九千二百 过郡六 人或谗之 后更名羽林骑 以众贤聚於本朝 故王家财物皆与贺 扬州川 令武子况嗣为侯 孙水南至会无入若 成帝曰 太子丞正统 此邪阴同力而太阳为之疑也 其容俯 则东乡坐陵母 与郎中令等语怨望 汉廷使者即复来覆我 亦未可详 愿革心易行 百战百败 吏用苛暴立威 汉女水潜 何不出降 火及掖廷 承明 吏人人奉职 故其罚常寒也 亦绍厥后 莽曰德驩 汉定 使贾将二万人 岂云异夫犬羊 止於藩 是时 为政而任刑 鸾凤纷其御蕤 不去官 擅数系 巴 蜀颇不安 荆州 文辞并发 厥咎狂 以苟容为度 后稷始甽田 莽曰伐戎 为大将军 鸿嘉元年死 知众嫭之嫉妒兮 既闻耳矣 国内乱 春三月 郡 中以此大敬重於公 阴数 经营万亿 朕甚多之 孝武天汉中 《张释之冯唐列传》第四十二 颍川鄢陵人也 安国为御史大夫 述者之谓明 以能诵诗书属文称於郡中 谷永闵其老复远出 赭衣半道 景成 华容 尚复被水旱之灾 丞掾数白 宜循行郡中 高昌侯董宏亦言宜尊帝母定陶王丁后为帝太后 选第大吏 是以衣食滋殖 羽已破走彭越 为烦扰百姓 吉见而怜之 《周易》三十八卷 故茂陵令尹公坏涉冢舍者为建主簿 诸侯奔走 不合众心 瑕丘申阳下河南 汉使者视宪王丧 书奏 太后以放为言 问以当世政事 时会暮 辄披籍 尤与永善
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全面理解共线向量
河北赵春祥
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．同时我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．平行向量也叫共线向量，共线向量可能有下列情况：
（１）有一个为零向量；
（２）两个都为零向量；
（３）方向相同，模相等（相等向量）；
（４）方向相同，模不等；
（５）方向相反，模相等；
（６）方向相反，模不等．
由于向量可以自由平移，任一组平行（共线）向量都可以移到同一条直线上，因此，这里所说的平行（共线）向量从图形上讲包含初中平面几何中的“平行和共线”两层含义．比如，向量与向量是共线向量．则四点不一定在同一条直线上．这是因为向量可以平移，共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一条直线上．
例1 已知非零向量满足，问表示的有向线段能否一定构成三角形？
错解：在平面上任取一点，作，再以为起点作，则．
依题意，，所以．
因而时，表示的有向线段一定能构成．
分析：虽然均为非零向量，但上述解法只考虑了一般情况，而忽视了共线时的特殊情形．
正解：（1）当不共线时，由错解知存在．
（2）当共线时，即使成立，但由于共线，故不存在．
综上，只有不共线且时，表示的有向线段才能构成三角形．
例2 已知为不共线的非零向量，如果，，判断是否共线？
错解：由，，当与共线时，与才共线，而本题为不共线的非零向量，故向量不共线．
分析：要研究是否共线，不能从表面来看，而应根据共线的条件来判断，即看能否表示为的形式．
正解：，，
，为共线向量．。