中考二次函数与特殊三角形有关的问题(含答案)

中考二次函数与特殊三角形有关的问题

1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点. （1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

第1题图

2. 如图，直线y =-x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.

（1）求B 、C 两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标.

第2题图

2

1

【答案】

1.解：（1）∵点A （1，0），B （4,0）在抛物线上，

∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，

将点C （0,3）代入得a (0-1)(0-4)=3，

解得a =， ∴抛物线解析式为y =

(x -1)(x -4)， 即y =

x 2-x+3. （2）存在.连接BC 交对称轴于点P ，连接PA ,如解图①,

∵点A 与点B 关于对称轴x =对称， ∴BC ≤PB +PC =PA +PC ，

即当点P 在直线BC 上时，四边形PAOC 的周长最小，

在Rt △BOC 中，OB =4，OC =3，∠BOC =90°，

∴BC = =5，

∴四边形PAOC 的周长的最小值为OA +O C+BC =1+3+5=9.第1题解图①

（3）存在.设直线BC 的解析式为y =kx +t ，

将点B (4,0)，点C （0,3）代入得，解得， ∴直线BC 的解析式为y = - x +3. 点M 在BC 上，设点M 的坐标为（

m ,-

m +3）（0＜m ＜4）， 要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况， (Ⅰ)当MQ ⊥OB ，CM =MQ 时，如解图②所示，

则CM =MQ =- m +3, MB =BC -CM =5-(- m +3)=2+m ，

由sin ∠CBO = = =，第1题解图② 4

343434152

522OC OB +⎩⎨⎧==+304t t k ⎪⎩⎪⎨⎧==3

43-t k 4

3434

343

43BC OC BM MQ 5

3

即=，解得m =, 则点M 的坐标为（,）； (Ⅱ)当CM =MQ ,MQ ⊥BC 时，如解图③， 过M 作MN ⊥OB 于N ，

则ON =m ,MN =-m +3, 在Rt △BMN 中，易得BM =

=×(-m +3) =-

m +5， ∴CM =BC -BM =m ，第1题解图③ 在Rt △BMQ 中，QM =BM ·tan ∠MBQ = (-m +5)， 由CM =MQ 得 (-m +5)= m ， 解得m =，此时点M 的坐标为（,）. 综上所述，存在满足条件的点M ,点M 的坐标为（

,）或（，）. 2. 解：（1）令x =0，可得y =2，

令y =0，可得x =4，

即点B （4，0），C （0，2）.

（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，

将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，

,解得 , m m 4

2343-++53232381543MBN MN ∠sin 35434545434543454571271271223815712712⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a b c b a ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===22321

-

即该二次函数的关系式为y=-x 2+x +2. （3）存在.满足条件的点P 的坐标分别为P 1（,4），P 2（,）,P 3(,-). 【解法提示】∵y = -x 2+x +2，

∴y =-（x -）2+，

∴抛物线的对称轴是x =，

∴OD =．

∵C （0，2），

∴OC =2．

在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD =．

∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．

如解图①所示，作CE ⊥对称轴于点E ， ∴EP 1=ED =2，∴DP 1=4．

∴P 1（，4），P 2（，），P 3（，-）.

第2题解图①

（4）如解图②，过点C 作CM ⊥EF 于点M ， 设E （a ，-a +2），F （a ，-a 2+a +2），

∴EF =-a 2+a +2-（-a +2）

=-a 2+2a （0≤a ≤4）．

∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD ·OC +E F ·CM +EF ·BN 第2题解图②

2123232325232521

23

21

23825

23

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25

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23252325

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2123

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212

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