第六章 单形和聚形
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6第六讲 单形与聚形
2’
对每一种点群
（对称型），
6’
6’’
7’’ 4' 7’
初始晶面与对 称要素的相对
3’
5’
1
5
3
位置最多只可 能有7种。
7 ’ ’’ 6’’’
4
7 6
最小重复单位
2
第六章 单形与聚形
146种结晶单形—— 形态＋对称性 （包括不同对称型中相同的单形名，同一对称型中相同单形 只考虑一种）；
几何单形47种 ——形态（只考虑形态不考虑对称型）。
注 意
单形的晶面在聚形里可以变得面目全非，例如： 立方体晶面不一定是正方形，八面体的晶面不一 定是三角形，等等。
聚形分析示意图
锆石晶体中的两种聚形
a—{100}四方柱
m—{110}四方柱
p—{101}四方双锥
u—{301}四方双锥
第六章 单形与聚形
3. 聚形分析步骤：
（1）确定对称型，归属晶族晶系；
3）进行晶体定向，选择3个L2分别作为X、Y、Z轴。 则可定出上述七种单形的形号：a、平行双面 {100}；b、平行双面{010}；c、平行双面 {001}；d、斜方柱{h0l}；e、斜方双锥{hkl}； m、斜方柱{hk0}；k、斜方柱{0kl}。 4)根据各单形晶面的数目、晶面间的相互关系以及 想象地使晶面扩展相交后单形的形状，使上述单 形的名称进一步确认。
第六章 单形与聚形
（3）左形与右形：形态相同，空间取向呈镜像关系。 这些单形特点是只有对称轴，没有对称面，中心和反伸轴。
例：
（a）中级晶族偏方面体分左、右形。 （b）五角三四面体：和五角三八面体分左、右形。
面体类 单形的 左右形
五角三四面体 和五角三八面体 的左、右形。
晶体材料基础---第六、七讲 晶体结构及对称性(5) 单形和聚形
与六方双锥的区别是 横截面不是正六边形 形
复三方双锥:12
中级晶族各晶系的单形
①柱类：三方柱、复三方柱、四方 柱、复四方柱、六方柱、复六方柱
注意：晶面和交棱都平行于高次轴。
中级晶族各晶系的单形
②单锥类：三方单锥、复三方单锥、 四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复 六方单锥
注意：出现在没有对称中心和其它水平对称要素 的对称型中。所有晶面交高次轴于一点。
实例⑴
正交晶系以L22P（mm2）为例：
将L2为Z轴，对称面的法线分别为X、Y轴，进行极射 赤平投影。
在1/4的扇形区域内，原始晶面与对称要素之间的相 对位置关系有7种： 3个角顶（1、2、3号晶面） 3条边上（4、5、6号晶面） 中部（7号晶面）
六 单形的推导
Z Y Y X X
位置1：单面{001} 位置2：平行双面{100} 位置3：平行双面{010} 位置4：双面{h0l} 位置5：双面{0kl} 位置 6：斜方柱{hk0} 位置 7：斜方单锥{hkl}
称型逐一进行推导，能导出146种不同的单
形，称为结晶单形。
实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形．可根据晶 面花纹、蚀像、物性等特点判断。 如黄铁矿立方体晶面 上常发育有相互垂直的不是3L44L36L29PC
四 47种几何单形的形态特点
五角十二面体的三个变形
有关单形的几个概念：
⒋左形（left-hand form）和右 形（right-hand form） ：形状完全 相同而在空间的取向正好彼此相反 的两个形体，若相互间不能借助于 旋转、但可借助于反映而使两者的 取向达到一致，此二同形反向体即 构成左形和右形。
三方偏方面体 的左形和右形
六四面体：
复三方双锥:12
中级晶族各晶系的单形
①柱类：三方柱、复三方柱、四方 柱、复四方柱、六方柱、复六方柱
注意：晶面和交棱都平行于高次轴。
中级晶族各晶系的单形
②单锥类：三方单锥、复三方单锥、 四方单锥、复四方单锥、六方单锥、复 六方单锥
注意：出现在没有对称中心和其它水平对称要素 的对称型中。所有晶面交高次轴于一点。
实例⑴
正交晶系以L22P（mm2）为例：
将L2为Z轴，对称面的法线分别为X、Y轴，进行极射 赤平投影。
在1/4的扇形区域内，原始晶面与对称要素之间的相 对位置关系有7种： 3个角顶（1、2、3号晶面） 3条边上（4、5、6号晶面） 中部（7号晶面）
六 单形的推导
Z Y Y X X
位置1：单面{001} 位置2：平行双面{100} 位置3：平行双面{010} 位置4：双面{h0l} 位置5：双面{0kl} 位置 6：斜方柱{hk0} 位置 7：斜方单锥{hkl}
称型逐一进行推导，能导出146种不同的单
形，称为结晶单形。
实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形．可根据晶 面花纹、蚀像、物性等特点判断。 如黄铁矿立方体晶面 上常发育有相互垂直的不是3L44L36L29PC
四 47种几何单形的形态特点
五角十二面体的三个变形
有关单形的几个概念：
⒋左形（left-hand form）和右 形（right-hand form） ：形状完全 相同而在空间的取向正好彼此相反 的两个形体，若相互间不能借助于 旋转、但可借助于反映而使两者的 取向达到一致，此二同形反向体即 构成左形和右形。
三方偏方面体 的左形和右形
六四面体：
单形与聚形名词解释
单形与聚形名词解释
单形与聚形是一对在语言学和形态学领域中常用的术语，用来描述词汇中名词
的不同形态。
这两个术语描述了名词在不同语境中的变化方式和类别。
单形是指一个名词仅有一个形态的情况，即它在单数和复数形式上没有区别。
例如，诸如"fish"（鱼）和"deer"（鹿）这类名词，无论是指一个还是多个数量，它
们的形态都保持不变。
相反，聚形则是指一个名词存在不同形态的情况，即在单数和复数形式上有明
显的区别。
例如，诸如"cat"（猫）和"cats"（猫们）这类名词，单数形式是"cat"，
而复数形式则在词尾添加了字母"s"。
单形和聚形的区别在于名词的形态变化，特别是在数量上。
单形名词在单数和
复数形式上没有区别，而聚形名词在单数和复数形式上有明显的变化。
这些术语的理解对于语言学习和交流非常重要。
在英语中，了解名词的单形和
聚形变化规律有助于正确使用和理解语言，同时也帮助我们更好地表达自己的意思。
6单形与聚形
对称型国际符号
23 、 m3 、 43、 m3m 43m 、
四 方
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1
4 、 422 、 4/m 、 4mm 、 4/mmm
三 方 六 方 斜 方
3、 3m
32、
3m、
6、 62、 6/m、 6mm、 6/mmm、 62m 222、 mm2、 mmm
单 斜
2、
6. 从不同角度划分单形
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 一般形与特殊形 开形与闭形 左形与右形 正形与负形 定行与变形
二、聚形
1. 概念：
两个以上单形的聚合 如： 四方柱和四方双锥的聚形
2 单形聚合的原则
不是任意的！ 能够在同一对称型中出现的结晶单形才能 相聚 所有单形的对称型与该聚形的对称型一致
4. 四十七种几何单形
从结晶学意义上可推导出146种不同单形－－几何单形47种
146种结晶单形
晶面数目 各晶面间的几何关系 单形单独存在时的形态
47种几何单形 晶面形状、数目、相互关系、晶面与对称要素的 相对位置横切面的形状 单ห้องสมุดไป่ตู้符号是识别单形最重要的依据
4. 四十七种几何单形
P58－59图
m、
2/m
P55 表
各晶系国际符号序位与定向关系
第一序位
第二序位
L3 晶轴
第三序位
二晶轴角分线 四方 — 二晶轴角 分线 三、六方 — 垂直 Y轴
等轴晶系 中级晶族
晶轴
Z轴
斜方晶系 单斜晶系
X轴 Y轴
Y轴
Z轴
对称型的国际符号
例： L2PC — 2/m
3L23PC — mmm L4—4 3L44L36L29PC—m3m 符号含义： 1、2、3、4、6或1、3、4、6 — Ln或Lin m — P（的法线）
单形和聚形
E、菱面体类有两种。菱面体，由六个两两平行的 菱形晶面组成，上下错开60度。复三方偏三角面 体，将菱面体晶面沿高次轴方向平分成两个三角 形。
F、偏方面体，晶面为偏四方形，与双锥类 似，上下与高次轴各交于上一点，但错开 一定角度，此类有：三方偏方面体，四方 偏方面体，六方偏方面体。且分左右形。
3）高级晶族单形，共有15个。
聚形分析：
同一单形的晶面形状, 大小, 性质完全相同;
一个聚形最多只可能由7种单形相聚;
聚形分析程序：
找出所有对称要素, 确定对称型、晶系和晶族;
确定单形的数目, 以及每种单形的晶面数, 与对称要素间关系等; 确定单形。
四方柱和四方双锥 的聚形示意图
立方体和菱形十 二面体及其聚形
_ 111
111 _ 111
四面体类：
四面体
4个全等的等边三角形
四面体的每个三角形 晶面分成3个三角形
三角三四面体
四面体的每个三角形 晶面分成3个四边形
四角三四面体
五角三四面体
四面体的每个三角形 晶面分成3个五边形
六四面体
四面体的每个三角形 晶面分成6个三角形
四面体
四角三四面体
将四面体各等边三角形中心与边中点的连线垂直三 角形面提起得四角三四面体
晶面与对称要素间的三种关系：
● ●
● ●
垂直：
平行：
斜交： 四方锥
单面
四方柱
对于32种对称型，总共可推导出146种结晶学上不同 的单形。
几何上不同的47种单形
• 如果仅从几何性质考虑，而不考虑单形的 真实对称性时，146种结晶学上不同的单形 便可归并为几何性质不同的47种几何学单 形。
3.单形命名的依据：
第六章 单形与聚形
石盐
磁铁矿 莹石
前面课程我们知道，属于 同一对称型的晶体可以具有 完全不同的外形
晶面符号——各个晶面在晶体坐 标系统中的空间方位。但是，不能 表述晶面间相互关系，也就是说， 我们还没有解决由晶面所围成的各 种不同几何形态（即晶体的外形或 形态）的称谓————本章加以解 决。
立方体、八面体 六八面体
第六章 单形和聚形
本章概要
1.单形的概念；146种结晶单形与47几何单形的关系 — 重点 2.单形的其它分类； 3.聚形的概念、单形聚合原则、聚形分析步骤。
问题的引出
矿物形态是我们非常关注的内容之一。 晶体的形态往往是一些矿物的重要特征，是晶 体鉴定和开发应用的科学依据和物质基础。
晶体外形 ● 内因（晶体的化学成分和内部结构决定）
三、 47种几何单形
• 一般说来，对于一个单形的描述，要注意晶面的数目、形 状、相互关系、晶面与对称要素的相对位置及单形的横切
面等。
• 单形的晶面数目、形状（包括晶面、横切面的形状）常是 命名的主要依据。
• 47种几何单形分类:
中、低级晶族 ：
等轴晶系：
1、面类
1、四面体组
2、柱类
2、八面体组
3、单锥类
二、实际晶体单形的对称型判断
实际晶体的单形都是结晶单形，可根据晶面花纹、 蚀象、物理性质等特点判断。
如黄铁矿立方体晶面上常发育相 互垂直的晶面条纹，说明其对称 型：
是 m3（3L24L33PC) ， 不是m3 m 。
蚀象：把晶体置于不饱和溶液中晶体就开始溶 解。由于角顶和棱与溶剂接触的机会多， 所以 这些地方溶解得快些， 因而晶体可溶成近似球 状。晶面溶解时，首先在一些薄弱的地方溶 解出小凹坑，称为蚀象（etch figure） 。
矿物岩石课件：单形与聚形
立方体
六方双锥
3L44L36L29PC
L66L27PC
八面体 六方柱
一、单形
（二）47种几何单形
一个对称型最多能导出7种单形。 经数学推导，32个对称型共导出146种结晶单形，但几何形态不 同的只有47种，称47 种几何单形。 ① 低级晶族的单形（7种） ② 中级晶族的单形（25种） ③ 高级晶族的单形（15种 ④ 最为常见的单形只有18种。
二、聚形
二、聚形
立方体和菱形十二面体及其聚形
二、聚形
聚形分析步骤： 1.找出聚形的所有对称要素，确定晶 体所属的对称型。
二、聚形
聚形分析步骤： 2 . 观察聚形上有几种不同的晶面，以确定 聚形中单3.数出每种单形的晶面数目，从而对单形的 可能范围作出初步判断。
二、聚形
聚形分析步骤： 4.根据聚形的对称型、单形晶面数目、晶面的 相对位置以及晶面与对称要素之间的关系，便 可确定每个单形的名称。
二、聚形
聚形分析时应注意的问题： （1）要牢记单形相聚的原则，熟悉常见单形在各晶 系中的分布； （2）不能把同形等大的一组晶面（即一个单形）分 成几个单形；如立方体的六个相同的晶面，不能看作三 个平行双面；
一、单形
一、单形
认识和掌握单形应从以下几方面着手： ◎晶面数目 ◎晶面形状 ◎晶面的相互关系 ◎单形横截面形状 ◎晶面与对称要素关系 例如：立方体
二、聚形
➢ 两个或两个以上的单形聚合形成的晶形称聚形。 ➢ 单形的相聚不是任意的，必须是属于同一对称型的单形才能相聚在 一起。 ➢ 换句话说：聚形也属于某一对称型。
二、聚形
➢ （3）单形相聚形成聚形时，由于晶面互相切割而改变了单形原来的晶 面形状，因此不能根据聚形晶体中的晶面形状来分析单形。 （4）在一个晶体中，可以出现两个或两个以上名称相同的单形。
六方双锥
3L44L36L29PC
L66L27PC
八面体 六方柱
一、单形
（二）47种几何单形
一个对称型最多能导出7种单形。 经数学推导，32个对称型共导出146种结晶单形，但几何形态不 同的只有47种，称47 种几何单形。 ① 低级晶族的单形（7种） ② 中级晶族的单形（25种） ③ 高级晶族的单形（15种 ④ 最为常见的单形只有18种。
二、聚形
二、聚形
立方体和菱形十二面体及其聚形
二、聚形
聚形分析步骤： 1.找出聚形的所有对称要素，确定晶 体所属的对称型。
二、聚形
聚形分析步骤： 2 . 观察聚形上有几种不同的晶面，以确定 聚形中单3.数出每种单形的晶面数目，从而对单形的 可能范围作出初步判断。
二、聚形
聚形分析步骤： 4.根据聚形的对称型、单形晶面数目、晶面的 相对位置以及晶面与对称要素之间的关系，便 可确定每个单形的名称。
二、聚形
聚形分析时应注意的问题： （1）要牢记单形相聚的原则，熟悉常见单形在各晶 系中的分布； （2）不能把同形等大的一组晶面（即一个单形）分 成几个单形；如立方体的六个相同的晶面，不能看作三 个平行双面；
一、单形
一、单形
认识和掌握单形应从以下几方面着手： ◎晶面数目 ◎晶面形状 ◎晶面的相互关系 ◎单形横截面形状 ◎晶面与对称要素关系 例如：立方体
二、聚形
➢ 两个或两个以上的单形聚合形成的晶形称聚形。 ➢ 单形的相聚不是任意的，必须是属于同一对称型的单形才能相聚在 一起。 ➢ 换句话说：聚形也属于某一对称型。
二、聚形
➢ （3）单形相聚形成聚形时，由于晶面互相切割而改变了单形原来的晶 面形状，因此不能根据聚形晶体中的晶面形状来分析单形。 （4）在一个晶体中，可以出现两个或两个以上名称相同的单形。
单形聚形(晶体理想形状)
Z
Y X
Y
X
8
晶体学
在上述7个单形中，第2、3号单形完全一样， 第4、5号单形也完全一样（形状一样、对称性 也一样），这样就可将之视为一个单形。 因此，mm2对称型一共有5个单形。
9
晶体学
单形的理论推导
• 1) 对低级晶族的点群, 考虑如下位置: {hkl}, {0kl}, {h0l}, {hk0}, {100}, {010}, {001}
4
晶体学
单形符号
• 单形符号（形号）：以简单的数字符号的形式来表征一个 单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种结晶学符号。
• 单形符号的构成：在同一单形的各个晶面中，按一定的 原则选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于 大括号内，例如写成{h k l}用以代表整个单形。
– 代表晶面应选择单形中正指数为最多的晶面，也即选择第一象限 内的晶面，在此前提下，要求尽可能使│h│≥│k│≥│l│
{hkl}, {hhl}, {hkk}, {hk0}, {111}, {110}, {100} • 对原始晶面进行对称操作, 画出所有晶面的投影, 然后判断
是何种单形.
10
晶体学
单形的理论推导
mmm
c
(hkl)
低级晶族单形mmm 1. {hkl}
• 蓝色图形为对称要素投影 • 红色圆圈为原始晶面 • 绿色图形是经过对称操作后
四方晶系单形4/mmm:
1. {hkl}
• 蓝色图形为对称要素投影 • 红色圆圈为{hkl}原始晶面 • 绿色者为对称操作后的晶面 • 此单形有16个晶面, 判断此单
形为复四方双锥
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
单形&聚形(晶体的理想形状)
5
晶体学
单形符号
四方晶系 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)，(-1-11) 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1) 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)，(-1-11)
{111}
四方柱{110} 四方柱
6
晶体学
001
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
2. {hhl} 蓝色图形为对称要素投影 红色圆圈为原始晶面 橘黄色图形为对称操作后的 晶面投影 此单形为共24个晶面, 为三 三 角三八面体
ห้องสมุดไป่ตู้20
晶体学
单形的理论推导
3. {hkk}
21
晶体学
单形的理论推导
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
c
(hkl)
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
四方晶系单形4/mmm: 四方晶系单形4/mmm: 2. {hhl}
蓝色图形为对称要素投影
c
(hhl)
红色圆圈为{hhl}原始晶面 绿色者为对称操作后的晶面 此单形有8个晶面, 判断此单形 为四方双锥 四方双锥 {h0l}和{0kl}也为四方双锥 h0l}和 0kl}也为四方双锥
31
晶体学
2. 中级晶族
2）单锥类: 若干等腰三角形晶面相交高次轴于一点，底面垂直 单锥类:
三方单锥、 高次轴，形状与柱同，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方 三方单锥 复三方锥， 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。
3）双锥类: 两相同的单锥底面对接而成。有六种单形：三方双 双锥类: 三方双
晶体学
晶体学
单形符号
四方晶系 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)，(-1-11) 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1) 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)，(-1-11)
{111}
四方柱{110} 四方柱
6
晶体学
001
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
2. {hhl} 蓝色图形为对称要素投影 红色圆圈为原始晶面 橘黄色图形为对称操作后的 晶面投影 此单形为共24个晶面, 为三 三 角三八面体
ห้องสมุดไป่ตู้20
晶体学
单形的理论推导
3. {hkk}
21
晶体学
单形的理论推导
等轴晶系单形m3m: 等轴晶系单形m3m:
c
(hkl)
15
晶体学
单形的理论推导
4/mmm
四方晶系单形4/mmm: 四方晶系单形4/mmm: 2. {hhl}
蓝色图形为对称要素投影
c
(hhl)
红色圆圈为{hhl}原始晶面 绿色者为对称操作后的晶面 此单形有8个晶面, 判断此单形 为四方双锥 四方双锥 {h0l}和{0kl}也为四方双锥 h0l}和 0kl}也为四方双锥
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晶体学
2. 中级晶族
2）单锥类: 若干等腰三角形晶面相交高次轴于一点，底面垂直 单锥类:
三方单锥、 高次轴，形状与柱同，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方 三方单锥 复三方锥， 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥。
3）双锥类: 两相同的单锥底面对接而成。有六种单形：三方双 双锥类: 三方双
晶体学
单形和聚形
第六章单形和聚形在上一章中，我们建立了晶体的坐标系以及晶面符号和晶棱符号，并讨论了晶面和晶棱间的关系。
这就使我们能够从简单的符号中获得关于晶体具体形状的基本信息。
但是，晶面在晶体上的分布并不是彼此孤立的。
晶面除了组成晶带以外，它们的分布还服从于晶体的对称特性。
从晶面按对称规律组合的角度出发，于是就产生了单形和聚形的概念。
同时还可由晶面符号衍生出单形符号。
应用单形和聚形的概念以及单形符号来描述晶体的形态既简单又方便。
一个实际晶体的外形，除决定于内因而使晶面呈对称分布，组成单形和聚形之外，它还必然会受到晶体生长过程中外界条件的影响，致使在不同条件下形成的同种晶体可能具有不同的形态特征；同时，晶体还会或多或少偏离理想形态形成歪晶，有时甚至还形成某些特殊的形态。
此外，晶体生长过程中还会有某些痕迹保留在晶面上，形成晶面花纹。
晶体的形态可分为两种类型：第一种：由同种晶面组成，称为单形（图6-1）；第二种，由两种以上的不同晶面组成，称为聚形（图6-2）。
图6-1 单形（a-立方体；b-八面体）图6-2 聚形（立方体和八面体相聚）此外，属于同一对称型的晶体，可以具有完全不同的形态，例如，立方体和八面体，对称型可以同为3L44L36L29PC，但形态完全不同。
再如，对称型为3L23PC 的晶体，形态也可以完全不同。
在这一章中，我们将讨论晶体的理想形态—单形和聚形。
第一节单形的概念和单形符号一、单形的概念：晶体上相互间能够对称重复的一组晶面组合在一起，便构成一个单形。
所以。
同一单形中的各个晶面，彼此间必定都可以借助于对称要素的作用而相互重复，图6-3是斜方晶系的一个单形，它的八个晶面相互间都可以通过3L23PC对称型的作用发生重复。
显然，同一单形的各个晶面，它们对于相同对称要素的关系(平行、垂直、以某个角度相交等)应该都是一致的。
由于在晶体定向时我们总是优先选择对称要素作为结晶轴，即便在没有对称要素可选时，也总是使结晶轴的安置符合于晶体本身的对称性，因此，对于同一个单形的各个晶面而言，它们与相同结晶轴之间的关系也应该都是一样的，即图6-3 斜方双锥单形（对称形3L3PC）它们在三个结晶轴上将具有相同的截距比，从而它们晶面指数的绝对值也必定相等。
第六章 单形和聚形
School of Materials Science and Engineering
第6章 单形与聚形
6.2 单形符号
School of Materials Science and Engineering
6.2 单形符号 单形符号及构成
第6章 单形与聚形
• 单形符号（简称形号）：以简单的数字符号形式来表征一个 单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种晶体学符号。 • 单形符号的构成：在同一单形的各个晶面中，按一定的原则 选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于大括号 内，例如写成{h k l}，用以代表整个单形。
整个单形的形态：柱、锥、立方体等； 单形横截面的形态：如斜方柱、六方柱等； 晶面数：单面、八面体等； 晶面形态+晶面数：菱形十二面体、五角十二面 体等
School of Materials Science and Engineering
6.2 单形符号
第6章 单形与聚形
单形符号举例：
• 四方晶系 • 上－－ Z轴正端
(111)，(1-11)，(-111)，(-1-11)
• 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1)
• 右－－ Y轴正端
单形符号举例：
注意: 六八面体{321}
School of Materials Science and Engineering
第6章 单形与聚形
6.3 单形的推导
School of Materials Science and Engineering
6.3 单形的推导 • 根据单形的定义，我们可以得知：
位置1：
原始晶面与L2和
P1
2P 都垂直。
05第六章单形与聚形
高级晶族的单形
I. II. III.
a四面体组：四面体、三角三四面体、四角三四面体、五 角三四面体、六四面体 b八面体组：八面体、三角三八面体、四角三八面体、五 角三八面体、六八面体 c立方体组：立方体、四六面体、五角十二面体、偏方复 十二面体、菱形十二面体。
47种 几何单形
低级晶族单形
47种 几何单形
晶面符号选择晶面的例子
｛100} ｛111} ｛111} ｛110} ｛111}
｛101｝
｛111}
3、几何单形与结晶单形
z z
几何单形：仅仅考虑形态，47种 结晶单形＝形态＋对称型，146种
结晶单形=几何单形+对称型
几何单形和结晶单形
32种晶类（对称型）
单形推导
47种几何单形
几何单形＋对称型
同形，等大，具有相同性质
一、单形
单形的概念
1、单形是由对称要素联系起来
的一组晶面的总合。即藉对称型中 全部对称要素的作用可以使它们相 互重复的一组晶面
一、单形
（001） （010）
2 、单形符号
简称形号，它是 指在单形中选择 一个代表面，把 该晶面的晶面指 数用“⎨⎬”括起来， 用以表征组成该 单形的一组晶面 的结晶学取向的 符 号
（100）
单形{100}
代表晶面的选择 尽可能选择晶面指数中正指数较多的晶面 在满足上一个条件的前提下，尽可能选取 各指数绝对值依递降顺序排列的晶面
一、单形
各晶族选择代表 晶面的具体方法
中、低级晶族，按“先上、次前、 后右”的法则选择代表性晶面 “先上”—尽可能使l为正 “次前、后右”—尽可能使⎢h⎥≥⎢k⎥ 高级晶族，按“先前、次右、后上” 的原则选择代表晶面 满足⎢h⎥≥⎢k⎥≥⎢l⎥
I. II. III.
a四面体组：四面体、三角三四面体、四角三四面体、五 角三四面体、六四面体 b八面体组：八面体、三角三八面体、四角三八面体、五 角三八面体、六八面体 c立方体组：立方体、四六面体、五角十二面体、偏方复 十二面体、菱形十二面体。
47种 几何单形
低级晶族单形
47种 几何单形
晶面符号选择晶面的例子
｛100} ｛111} ｛111} ｛110} ｛111}
｛101｝
｛111}
3、几何单形与结晶单形
z z
几何单形：仅仅考虑形态，47种 结晶单形＝形态＋对称型，146种
结晶单形=几何单形+对称型
几何单形和结晶单形
32种晶类（对称型）
单形推导
47种几何单形
几何单形＋对称型
同形，等大，具有相同性质
一、单形
单形的概念
1、单形是由对称要素联系起来
的一组晶面的总合。即藉对称型中 全部对称要素的作用可以使它们相 互重复的一组晶面
一、单形
（001） （010）
2 、单形符号
简称形号，它是 指在单形中选择 一个代表面，把 该晶面的晶面指 数用“⎨⎬”括起来， 用以表征组成该 单形的一组晶面 的结晶学取向的 符 号
（100）
单形{100}
代表晶面的选择 尽可能选择晶面指数中正指数较多的晶面 在满足上一个条件的前提下，尽可能选取 各指数绝对值依递降顺序排列的晶面
一、单形
各晶族选择代表 晶面的具体方法
中、低级晶族，按“先上、次前、 后右”的法则选择代表性晶面 “先上”—尽可能使l为正 “次前、后右”—尽可能使⎢h⎥≥⎢k⎥ 高级晶族，按“先前、次右、后上” 的原则选择代表晶面 满足⎢h⎥≥⎢k⎥≥⎢l⎥
结晶矿物学-05-晶体的理想形状
结晶学与矿物学
本章要点
第六章. 单形与聚形
共推导出5种单型、7个结晶单型
﹛010﹜
﹛h0l﹜
*
四方晶系单形 L4 推导
第六章. 单形与聚形
6-3. 146种结晶学单形
●
●
●
●
垂直：
平行
斜交
﹛001﹜
﹛100﹜ ﹛110﹜ ﹛hk0﹜
﹛h0l﹜ ﹛hhl﹜ ﹛hkl﹜
*
等轴晶系 单形 3L44L36L29PC单形的推导
第六章. 单形与聚形
*
低级晶族单形
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
柱类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
单锥类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
双锥类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
四方面体和菱面体
单形 (simple form): 晶体中彼此间能对称重复的一组晶面的组合，也就是能借助于对称型之全部对称要素的作用而相互联系起来的一组晶面的组合。
*
6-2. 单形符号
单形符号简称形号，指：以简单的数字符号的形式来表征一个单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种结晶学符号。 单形符号的构成是：在同一单形的各个晶面中，按一定的原则选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于大括号内，例如写成 {h k l} 用以代表整个单形。 在中、低级晶族的单形中，按“先上、次前、后右”的法则选择代表晶面; 在高级晶族中，则为“先前、次右、后上”。
6-5. 单形的分类
本章要点
第六章. 单形与聚形
共推导出5种单型、7个结晶单型
﹛010﹜
﹛h0l﹜
*
四方晶系单形 L4 推导
第六章. 单形与聚形
6-3. 146种结晶学单形
●
●
●
●
垂直：
平行
斜交
﹛001﹜
﹛100﹜ ﹛110﹜ ﹛hk0﹜
﹛h0l﹜ ﹛hhl﹜ ﹛hkl﹜
*
等轴晶系 单形 3L44L36L29PC单形的推导
第六章. 单形与聚形
*
低级晶族单形
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
柱类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
*
中级晶族单形
单锥类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
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中级晶族单形
双锥类
6-4. 47种几何单形
第六章. 单形与聚形
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中级晶族单形
四方面体和菱面体
单形 (simple form): 晶体中彼此间能对称重复的一组晶面的组合，也就是能借助于对称型之全部对称要素的作用而相互联系起来的一组晶面的组合。
*
6-2. 单形符号
单形符号简称形号，指：以简单的数字符号的形式来表征一个单形的所有组成晶面及其在晶体上取向的一种结晶学符号。 单形符号的构成是：在同一单形的各个晶面中，按一定的原则选择一个代表晶面，将它的晶面指数顺序连写而置于大括号内，例如写成 {h k l} 用以代表整个单形。 在中、低级晶族的单形中，按“先上、次前、后右”的法则选择代表晶面; 在高级晶族中，则为“先前、次右、后上”。
6-5. 单形的分类
6单形和聚形
m3m
43m
432
m3
23
立方体五个结晶单形，晶面上花纹表示了各立方体的对称性
一个几何单形 对应有多个几何形态相同的结晶单形。 如果只根据单形的几何特点找出该单形的对称型，则其 应是多个结晶单形中对称型最高的那一个。
例如，图中的五个立方体，若去掉晶面花纹，则它们 的形态是一样的，都是立方体，在这个立方体上找出
体、偏方复十二面体）
6.单形的分类: （见教材62~63页）
(1)一般形与特殊形：根据单形晶面与对称型中对称要素 相对位置可以将单形划分为一般形和特殊形。凡是单形晶 面处在特殊位置，即晶面垂直或平行于任何对称要素，或 者与相同对称要素呈等角度相交，这种单形被称为特殊形； 反之单形晶面处于一般位置，即不与任何对称要素垂直或 平行，也不与相同对称要素呈等角度相交，这种单形被称 为一般形。一般形的形号都为{hkl}。
（4）根据各单形的晶面数目、相互位置、 晶面扩展相交后单形的形态，进一步确
认单形的名称。
注意：单形的晶面在聚形里可以变得面目全 非，例如：立方体晶面不一定是正方形，八面体 的晶面不一定是三角形，等等。 举例:(模型示范)
001
011 _ 111 101 111
_ 110 100 110
010
__ 111 _ 101
四方柱和四方双锥相聚示意图
+
=
立方体和菱形十二面体及其聚形
2.单形相聚的原则：单形的相聚不是任意的，必须 是属于同一对称型的单形才能相聚。 （1）这里的单形是指结晶单形，因为聚形的对称 型是已知的，组成聚形的所有单形，都应该是该 聚形所具有的对称型。
（2）因此，在表6－1至表6－5列出的146种结晶 单形中，一个对称型下列的那些单形可以相聚。 （3）在一个聚形上可能出现单形的种类是有限的, 最多不超过7种；但在一个聚形上可能出现的单形 数目却无一定限制。
结晶学与矿物学 第六章 单形与聚形
在五角三八 面体中，过 两个L4连直 线，看上边 折线在直线 的左或右边 确定左形或 右形。
（3）正形与负形：
两个相同的单形若取向不同，但能借助于旋转操作彼此 重合，则两者互为正形和负形(positive form and n(a)和负形(b) 五角十二面体正形（a）和负形(b)
5. 从不同角度划分单形
（1）特殊形与一般形
特殊形(special form)：单形晶面垂直或平行于某对称要素，或 与相同的对称要素以等角度相交；反之为一般形(general form) （等 轴晶系中的一般形有时可平行于三次轴的情况除外）
一个对称型中只有1个一般形，该一般形的原始晶面位于对称型 赤平投影图中最小重复单位（似三角形）内非角顶或边线的部位 ，其 名称为相应晶类的名称。
素关系相同——合 并一个单形，共5个 结晶单形
六八面体晶类（m3m, 3L44L36L29PC）
2
6
3
5
7
最小重复单位 原始面
4 1
146种结晶单形的导出：按以上方法对32个对称型中的单 形逐一进行推导，最终可得出146种结晶学上不同的单形
结晶单形的确定： 几何形态＋单形的对称性及与对称要素的取向关系（平行、
3. 聚形的几何特点
（1）晶面形态变化：在聚形中，各单形的晶面数目和晶面间的相对 位置没有变化，但由于多个单形之间的相互切割，使晶面的大小 形状有变化。
（2）单形数目：在每一个对称型中，可能出现的单形种数不超过7 种，但在一个聚形上可能出现的单形个数是无限制的，可以有两 个或几个同种类的结晶单形同时存在。
垂直或以某个角度相交）。例如：
422对称型中
四方柱{100}和{110}
———同一个结晶单 形
（3）正形与负形：
两个相同的单形若取向不同，但能借助于旋转操作彼此 重合，则两者互为正形和负形(positive form and n(a)和负形(b) 五角十二面体正形（a）和负形(b)
5. 从不同角度划分单形
（1）特殊形与一般形
特殊形(special form)：单形晶面垂直或平行于某对称要素，或 与相同的对称要素以等角度相交；反之为一般形(general form) （等 轴晶系中的一般形有时可平行于三次轴的情况除外）
一个对称型中只有1个一般形，该一般形的原始晶面位于对称型 赤平投影图中最小重复单位（似三角形）内非角顶或边线的部位 ，其 名称为相应晶类的名称。
素关系相同——合 并一个单形，共5个 结晶单形
六八面体晶类（m3m, 3L44L36L29PC）
2
6
3
5
7
最小重复单位 原始面
4 1
146种结晶单形的导出：按以上方法对32个对称型中的单 形逐一进行推导，最终可得出146种结晶学上不同的单形
结晶单形的确定： 几何形态＋单形的对称性及与对称要素的取向关系（平行、
3. 聚形的几何特点
（1）晶面形态变化：在聚形中，各单形的晶面数目和晶面间的相对 位置没有变化，但由于多个单形之间的相互切割，使晶面的大小 形状有变化。
（2）单形数目：在每一个对称型中，可能出现的单形种数不超过7 种，但在一个聚形上可能出现的单形个数是无限制的，可以有两 个或几个同种类的结晶单形同时存在。
垂直或以某个角度相交）。例如：
422对称型中
四方柱{100}和{110}
———同一个结晶单 形
6几何结晶学基础6-单形
Y X
3、单形推导
每一个对称型中 均有七种不同位 置的起始晶面
(100) X
Z (001) (h0l) (hkl) (0kl) (hk0) Y (010)
L22P 单形的推导
L2 Z P1 P2
Y X
第四种情况：原始晶面 与L2、P1斜交，与P2 垂直
3、单形推导
每一个对称型中 均有七种不同位 置的起始晶面
001
001
011 _ 111 101 111
100
_ 110 Βιβλιοθήκη 00 110 010010
__ 111 _ 101
_ 111
_ 011
101 _
011
_ 111
110
110 _ 101 _ 011
• 等轴晶系 • 前－－X轴正端 • 右－－ Y轴正端 • 上－－ Z轴正端
111 _ 111
__ 111
82
《》
c
5
四、作业
（一）、区分下列相似单形及左形和右形 1、三方双锥、菱面体、三方偏方面体 2、斜方双锥、四方双锥、八面体 3、斜方四面体、四方四面体、四面体 4、斜方住、四方柱、立方体 5、复三方住、六方柱 6、菱形十二面体、五角十二面体。 7、三方偏方面休，四方偏方面体、六方偏方面体的左形 和右形。 （二）聚形分析（记录格式见前） （三）试判断下列单形中哪两个可以构成聚形？哪两个不能 构成聚形？为什么？ 四面体与八面体，立方体与四方双锥，立方体与菱形十二面 体，八面体与四方柱，四方柱与斜方柱，菱面体与六方柱， 立方体与五角十二面体等等。
• 举例：四方晶系
• 上－－ Z轴正端 (111)，(1-11)，(-111)， (-1-11) • 前－－X轴正端 (111)，(1-11)，(1-1-1) ，(11-1) • 右－－ Y轴正端 (111)，(11-1)，(-111)， (-1-11)
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二、聚形
• 1、定义：两个或两个以上单形的聚合即为之。 • 2 、 聚形与单形的区别： 形态上的区别 —— 单形 只有一种同形等大的晶面；而聚形则有多种晶面， 其中属于同一单形的晶面同形等大。 • 3 、 聚形形成的条件： 聚形的聚合不是任意的， 必须是属于同一对称型的单形才能聚合。该条件 的一个推论：组成聚形的单形的坐标系必须一致。 • 4、聚形分析：即找出聚形由哪几个单形所组成， 写出对称型，写出单形晶面的个数，指出相对位 置、晶面符号，假想晶面在空间扩展相交以后的 单形形态。
对 称 型 的 国 际 符 号
对称型的圣弗利斯符号
• 47种几何单形的形状见表I-6-2。现将它们按低、 中、高级晶族依次描述如下。 • 一般说来，对于一个单形的描述，包括晶面的形 状、数目、相互关系，晶面与对称要素的相对位 置以及单形横切面的形状。当晶体定向后，晶面 符号 ( 单形符号 ) 是识别单形最重要的依据，有关 这方面的情况将在各晶系晶体分述中详加讨论。 本节将只对47种几何形态作概括的流览。
1、聚形分析的步骤
• （1）写出聚形的对称型，确定晶族、晶 系。 • （2）进行晶体定向 • （3）确定单形数目：共有多少种不同形 态和大小的晶面，单形聚合时不会减少 单形的晶面个数。 • （4）写出各单形的晶面符号， • （5）确定单形的形号和单形名称。
三、晶体的定向
• 在实验中掌握。要强调的几点： • （1）要严格地按晶面符号的定义来写出各晶面 符号，严格按各晶系晶体定向原则对晶体进行定 向。 • （2）对不能得出具体的数字的晶面符号，则以 （hkl）或（hkil）表示。 • （3）4轴定向中晶面符号的h+k-i=0 • 证明： • （4）坐标原点要位于晶体的中心，而不能位于 底面
3．单形的推导
• 单形的各个晶面既然可以通过对称型中对 称要素的作用相互重复，那么将一个原始 晶面置于对称型中，通过对称型中全部对 称要素的作用，必可以导出一个单形的全 部晶面。可以设想，不同的对称型可以导 出不同单形；在同一对称型中原始晶面与对称要素的相对位置不同，也可以导出不 同的单形来。
4．四十七种几何单形
2．单形符号
• 单形符号简称形号，它是指在单形中选择一个代表面，把该晶面的 晶面指数用“{ }”括起来，用以表征组成该单形的一组晶面的结晶学 取向的符号。 • 单形是由对称要素联系起来的一组晶面，晶轴是在服从晶体固有对 称性的前提下，依对称要素选择的。因此，同一单形的各个晶面与 晶轴都有着基本相同的相对位置。如图I一6—1中的立方体的每一个 晶面部与一个晶轴垂直而与另两个晶轴平行；八面体的每一个晶面 都截三个晶轴等长。因此，同一单形的各个晶面的指数的绝对值不 变，而只有正负号的区别。如立方体有六个晶面，其晶面符号应分 别为 (100) 、 (010) 、 (001) 、 (100) 、 (010) 、 (001) 。知道了单形的一 个晶面的符号，则该单形的共它晶面的符号即可导出。因此，可以 选择一个代表晶面，定出单形符号，如立方体的形号为（100），八 面体的形号为（111）等。 • 习惯上，选择代表晶面定形号时，一般是选择正指数最多的晶 面．同时还遵循先前(即x轴上指数最大)、次右(即Y轴上的指数次大)、 后上(即Z轴上的指数最小)的原则。
一、单形
• 1．单形的概念 • 单形是由对称要素联系起来的一组晶面的总合。 换句话说，单形也就是藉对称型中全部对称要 素的作用可以使它们相互重复的一组晶面。因 此，同一单形的所有晶面彼此都是等同的。所 谓等同，是指它们具有相同的性质以及在理想 的情况下品面彼此同形等大。 • 如图I-6-1中所示的单形为立方体，它的六个正 方形晶面同形等大，通过其对称型中的对称要 素的作用可以相互重复。