高中数学典型题型与解析

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高一数学重点题型及答案

高一数学重点题型及答案一、函数与方程1. 一元一次方程一元一次方程是高一数学中最基础的知识点，常见于数学的各个分支中。

它的一般形式为ax+b=0。

下面是一些典型的解题方法：•立式法：把常数项移到等号右侧，系数合并减法求解。

•代数法：用代数的方式进行计算分解。

•图象法：在曲线上从根轴上读出解。

2. 一元二次方程一元二次方程是指最高项次数为2的一元方程，它的一般形式是ax2+bx+ c=0。

下面是一些常见的解法：•因式分解法•公式法•前后关系法•配方法3. 不等式不等式是指数与数之间大小关系表达式。

在数学中，不等式是与等式相对应的一个种数学表达式。

主要有以下几种类型：•一次不等式•二次不等式•一元有理不等式•一元无理不等式•一元绝对值不等式二、解析几何1. 平面向量平面向量是指在平面内表示自由向量的量。

在高中数学中，平面向量是一种非常重要的概念，主要知识点包括：•向量的概念•向量加减法•向量数量积、向量积的概念2. 直线与平面•直线与平面的位置关系•直线的方程•平面的方程3. 空间几何体•空间点、向量、直线、平面的概念•点、直线、面之间的关系•球、圆锥、圆柱、圆台等空间几何体的概念和基本性质三、三角函数三角函数是高三数学中最为复杂，但也是最为重要的一个知识点。

1. 三角函数的基本概念•正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数•三角函数的诱导公式•诱导公式的应用2. 三角函数的性质和变换•三角函数的周期性•三角函数的奇偶性•三角函数的单调性•三角函数的图象•三角函数的合成、反函数3. 三角函数的应用•三角函数在直角三角形中的应用•三角函数在数学物理中的应用•三角函数在球面三角学中的应用四、数列数列是数学中的一类常见概念，它由若干有序的数构成，通常用英文字母a n 表示。

包括以下几个重要的知识点：1. 数列的基本概念与性质•数列、通项公式、递推公式、公比的概念•数列的极限•数列的等比数列、等差数列、等差数列的和公式、似等比数列、变比数列等2. 数列极限和等比数列•数列的极限的定义、性质•数列的极限运算法则•等比数列、等比数列的求和公式3. 数列的应用•数列的递推和通项公式在实际问题中的应用•数列极限在实际问题中的应用以上是高一数学重点题型及答案。

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。

平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。

下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。

一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。

常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。

这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。

例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。

解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。

解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。

3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。

通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。

二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。

常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。

这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。

例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。

解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。

当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。

当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。

解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

2.求解二次方程，得到x的值。

高中数学经典题型全解析

高中数学经典题型全解析高中数学经典题型全解析高中数学是一门重要的学科，也是学生备考的重要领域。

在高中数学中，有许多经典题型值得重视。

这些题型在历年高考中都有出现，是考生必须掌握的知识点。

本文将对这些经典题型进行全解析，以便考生更好地理解和掌握它们。

一、函数与导数函数与导数是高中数学中的核心内容之一，也是高考数学的重点。

在这一部分中，考生需要掌握导数的计算和应用，如导数的定义、导数的四则运算法则、导数的应用等。

此外，考生还需要掌握函数的性质、函数的极值、函数的图像等知识点。

二、三角函数三角函数是高中数学中的重要知识点之一，也是高考数学的考点之一。

在这一部分中，考生需要掌握三角函数的定义、基本公式、和差化积、倍角公式、半角公式等知识点。

此外，考生还需要掌握三角函数的图像、周期、幅值等知识点。

三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学中的重要知识点之一，也是高考数学的考点之一。

在这一部分中，考生需要掌握数列的定义、数列的性质、数列的极限、等差数列、等比数列等知识点。

此外，考生还需要掌握数学归纳法的原理和应用。

四、排列组合与概率排列组合与概率是高中数学中的重要知识点之一，也是高考数学的考点之一。

在这一部分中，考生需要掌握排列组合的定义、排列组合的计算、概率的定义、概率的计算等知识点。

此外，考生还需要掌握概率的实际应用，如概率在赌博、抽奖、随机事件中的应用等。

五、平面向量平面向量是高中数学中的重要知识点之一，也是高考数学的考点之一。

在这一部分中，考生需要掌握向量的定义、向量的加法、减法、数量积、向量积等知识点。

此外，考生还需要掌握平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、向量积的应用等知识点。

高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

习题解析：高中数学题型解析与讲解

习题解析：高中数学题型解析与讲解引言高中数学是中国学生必修的科目之一，也是高考必考的科目之一。

它涉及到许多题型，包括代数、几何、概率等。

掌握这些题型是非常重要的，因为它们是解题的基础。

在本文中，我们将讨论和解析高中数学中的一些常见题型，并给出详细的解答过程和讲解，帮助学生更好地理解和掌握这些题型。

代数题型方程与不等式题型代数的基本概念是方程与不等式。

方程是一个等式，它包含一个或多个未知量。

不等式是一个不等于的关系，它包含一个或多个未知量。

例题1：求解方程2x−3x+1=4。

解答：我们可以通过消去方程中的分子分母来求解这个方程。

首先，我们将方程两边乘以x+1，得到2x−3=4(x+1)。

然后，我们可以将方程展开并合并同类项，得到2x−3=4x+4。

接下来，我们将4x移到方程的左边，将−3−4移到方程的右边，得到−2x=7。

最后，我们将方程两边除以−2，得到x=−72。

因此，方程的解是x=−72。

解析：这个方程是一个一元一次方程。

在解这个方程的过程中，我们采用了逐步推导的方法，通过消去分子分母、展开合并同类项、移项和化简等步骤，最终求得了方程的解。

这个方法是解一元一次方程的常用方法。

在实际解题时，我们可以通过化简、合并同类项、移项等步骤，逐步推导，最终求解方程。

函数与方程组题型函数是代数中的重要概念。

它描述了一个变量之间的关系。

方程组是包含多个方程的集合，用于解决多个未知量的问题。

例题2：求解方程组{x+y=52x−3y=7解答：我们可以通过解方程组的方法来求解这个方程组。

首先，我们可以通过消元法来消去x。

将第一个方程乘以2，得到2x+2y=10。

然后，我们可以将这个方程与第二个方程相加，消去x，得到2y−3y=10+7。

简化得到−y=17，解得y=−17。

接下来，将y=−17带入第一个方程，得到x+(−17)=5，解得x=22。

因此，方程组的解是(x,y)=(22,−17)。

解析：这个方程组是一个二元一次方程组。

高中数学数列经典题型及解析

高中数学数列经典题型及解析1. 求数列的通项公式：题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an =n^2 + 1。

2. 求数列的和：题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。

根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。

3. 求等差数列的前n项和：题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。

根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。

4. 求数列的极限：题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。

当n趋向于无穷大时，an趋向于0，所以该数列的极限值为0。

5. 求数列的递推关系：题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。

以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！。

高中数学常考题型(含例题及解析)

高中数学常考题型（含例题及解析）
1运用三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

2、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。

3、解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。

4、数列的通项公式的求法。

5、数列的前n项求和的求法。

6、利用导数几何意义求切线方程。

7、利用导数研究函数的单调性，极值、最值。

8、利用导数研究函数的图像。

9、求参数取值范围、恒成立及存在性问题。

10、数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系。

11、焦点三角函数、焦半径、焦点弦问题。

12、动点轨迹方程问题。

温馨提示过了暑假，大家就升为新高三和新高二的同学了，此刻内心是否充满迷茫？。

高中数学题型归纳及方法

高中数学题型归纳及方法一、函数题型。

1. 求函数定义域题型。

题目：求函数y = (1)/(√(x 1))+ln(x + 2)的定义域。

解析：对于(1)/(√(x 1))，要使根式有意义，则根号下的数大于0，即x 1>0，解得x>1。

对于ln(x + 2)，对数函数中真数大于0，即x+2>0，解得x > 2。

综合起来，函数的定义域为x>1。

2. 函数单调性判断题型。

题目：判断函数y = x^2-2x + 3在(-∞,1)上的单调性。

解析：对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴为x =-(b)/(2a)。

在函数y = x^2-2x + 3中，a = 1，b=-2，对称轴x = 1。

因为a = 1>0，二次函数开口向上，所以在对称轴左侧(-∞,1)上函数单调递减。

二、三角函数题型。

3. 三角函数化简求值题型。

题目：化简sin(α+β)cosβ-cos(α +β)sinβ并求值（已知α=(π)/(3)）。

解析：根据两角差的正弦公式sin(A B)=sin Acos B-cos Asin B，这里A=α+β，B = β，所以sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα。

当α=(π)/(3)时，sinα=(√(3))/(2)。

4. 三角函数图象平移题型。

题目：将函数y=sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），求得到的函数解析式。

解析：将y = sin x的图象向左平移(π)/(3)个单位，根据“左加右减”原则，得到y=sin(x+(π)/(3))的图象。

再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则x的系数变为原来的(1)/(2)，得到y=sin((1)/(2)x+(π)/(3))。

三、数列题型。

5. 等差数列通项公式求题型。

题目：已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d = 3，求其通项公式a_n。

高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散

高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散本文将提供一组高中数学练习题，并附有详细的解析。

主要涉及数列与级数的收敛与发散。

以下是各类题型的示例：一、选择题1. 判断下列数列的级数是否收敛。

① an = (1/2)^n② an = 1/n!③ an = n/2^nA.①收敛，②、③发散B.①、③收敛，②发散C.①、③发散，②收敛D.①、②、③均收敛分析：对于①，容易发现是一个几何级数，首项为1，公比小于1，因此收敛；对于②，题目中$n!$是$n$的阶乘，因此$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$，由比较判别法知该级数收敛；对于③，该级数同样是一个几何级数，但是公比大于1，因此发散。

选C。

二、填空题2. 已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=$________。

分析：将通项公式带入级数求和公式中可得：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ $=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n+1}$$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{n+n}$$=\ln 2$因此，答案为$\ln 2$。

三、计算题3. 计算级数$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$。

分析：将被加数写成完全平方数形式，即：$n^2+2n=(n+1)^2-1$因此，$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$$=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2-1}$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}- \cdots\right)$$=\frac{1}{2}(1)$$=\frac{1}{2}$因此，答案为$\frac{1}{2}$。

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。

高中数学试题微积分的应用与题型解析

高中数学试题微积分的应用与题型解析*正文*高中数学试题微积分的应用与题型解析微积分是数学中重要的分支之一，它的应用广泛涉及到各个领域，尤其在高中阶段的教育中，微积分的学习成为了学生的必修内容之一。

本文将探讨高中数学试题中微积分的应用，并对常见的微积分题型进行解析。

一、定积分的应用定积分是微积分中的关键概念之一，它在数学问题的解决中具有重要的应用。

其中，定积分在求解物体的面积、体积、曲线长度等问题中常常发挥着重要作用。

以下是几个常见的应用题型：1. 面积问题题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，其图像与$x$轴围成的图形的面积为$S$，求$S$的表达式。

解析：根据定积分的定义，该题可表示为$\int_a^b |f(x)| dx$。

根据题目中的条件，将函数$f(x)$的图像划分为正负两个部分，分别计算定积分得到的面积，再取绝对值求和即可得到最终答案。

2. 体积问题题目：已知曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将其绕$x$轴旋转一周形成一个旋转体，求旋转体的体积。

解析：根据定积分的应用，该题可表示为$\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。

将曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转一周，可以得到一个旋转体，利用定积分计算旋转体的截面面积，并对其进行累加，最终得到旋转体的体积。

二、无穷积分与级数无穷积分和级数是微积分领域中的另两个重要概念，在高中数学试题中也经常涉及到。

以下是几个常见的应用题型：1. 平面曲线与曲线下的面积题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续且大于等于零，求曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的图形的面积。

解析：根据无穷积分的定义，该题可表示为$\int_a^{+\infty} f(x)dx$。

由于区间为无穷大，我们需要先判断积分的收敛性。

若积分收敛，则利用定积分的方法计算出积分的值；若积分发散，则无法计算出面积。

2. 级数求和题目：计算级数$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$的和。

高中数学常见题型解析

高中数学常见题型解析在高中数学的学习中，我们经常会遇到各种各样的题型。

这些题型涉及到数学的各个知识点和技巧，对于学生来说，掌握这些常见题型的解法是非常重要的。

本文将对高中数学常见题型进行解析，帮助学生更好地理解和掌握这些题型的解题方法。

一、不等式求解题不等式求解题是高中数学中常见的题型之一。

它要求我们确定一个不等式的解集。

在解不等式中，我们需要运用到数轴、绝对值、区间等概念和方法。

例如，对于不等式|x-3|<5，我们可以先分情况讨论，当x-3≥0时，不等式转化为x-3<5，解得x<8；当x-3<0时，不等式转化为-(x-3)<5，解得x>-2。

综合起来，原不等式的解集为-2<x<8。

二、函数的性质题函数的性质题是另一个常见的高中数学题型。

它要求我们分析并判断给定函数的某些性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

例如，对于函数y=x^2，我们可以通过求导数的方法来判断它的单调性。

求导数得到y'=2x，当x>0时，y'>0；当x<0时，y'<0。

因此，函数y=x^2在x>0时是增函数，在x<0时是减函数。

三、平面几何证明题平面几何证明题是高中数学中的重要部分。

它要求我们利用已知条件和几何定理，推导和证明给定的几何关系。

在解这类题型时，我们需要运用到几何定理、相似三角形、面积比等知识。

例如，已知△ABC中，AB=AC，角B=40°，角C=70°，我们需要证明△ABC是等腰三角形。

根据已知条件，我们得到角A=70°，所以△ABC中的角B角C相等，故△ABC是等腰三角形。

四、向量题向量题在高中数学中也是常见的题型之一。

它要求我们进行向量运算、解析几何和空间几何的相关推导。

解这类题时，我们需要掌握向量的加减法、数量积、向量积等运算法则。

例如，已知向量a=2i+3j，向量b=i+j，我们需要求向量a和向量b 的数量积。

高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)

高中数学等差数列典型题型讲解（含解析）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．2专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。

高中数学集合、复数必做题型(含解析)

集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。

高考数学中的基本初等函数题型总结

高考数学中的基本初等函数题型总结作为全国高中生的普及性质考试，高考中必定会考到数学这个科目，而其中初等函数部分则是数学中的基础知识。

初等函数常常出现在多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等高中知识点当中。

因此，对于考生来说，掌握初等函数的知识点，对高考数学考试及日后的数学学习都非常重要。

本文就高考数学中的基本初等函数题型进行总结。

1. 最值问题求函数的最值是很常见的一种初等函数题型。

以一些典型的例子为参考，可更好地掌握这类题型。

例1：已知$f(x)=x^2-2x+2$，求$f(x)$的最小值。

解：首先，把$f(x)$变形为完全平方的形式。

即$$f(x)=(x-1)^2+1$$显然，当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值$0$。

故$f(x)$在$x=1$时取得最小值$1$。

例2：已知$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+5$，求$f(x)$的最大值。

解：同样把$f(x)$变形为完全平方的形式。

即$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}$$显然，当$x=3$时，$(x-3)^2$取最小值$0$。

故$f(x)$在$x=3$时取得最大值$\dfrac{1}{2}$。

2. 解方程解初等函数的方程是另一种常见的题型。

以下为几个典型的例子，例3：已知$y=2^x-x$，求$y=0$时的$x$的值。

解：根据方程可得$$2^x-x=0$$$$x=2^x$$把函数$y=2^x-x$作图，可以看出在$x=1$时交于$y=0$。

因此，方程的解为$x=1$。

例4：已知$y=\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2$，求$y=1$时$x$的值。

解：根据方程可得$$\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2=1$$$$\log_2(x-1)=2$$$$x-1=2^2=4$$因此，方程的解为$x=5$。

3. 函数图像解题函数图像是初等函数题目中重要的一部分。

高考数学必考大题题型归纳及例题解析

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学必考大题题型归纳及例题解析高考数学常考的大题分别是三角函数，概率，立体几何，解析几何，函数与导数，数列。

下面就这些题型做出具体分析，并对大题给以典型题型，希望大家仔细研究总结。

1数学高考大题题型有哪些必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.平面几何证明（选修4-1）2.坐标系与参数方程（选修4-4）3.不等式（选修4-5）1数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

高中数学概率与统计的常见题型及解题思路

高中数学概率与统计的常见题型及解题思路概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感到困惑的一部分。

在考试中，概率与统计题型常常出现，因此掌握解题思路和技巧对于学生们来说非常重要。

本文将介绍一些常见的概率与统计题型，并给出相应的解题思路和方法。

一、排列组合类题型排列组合类题型是概率与统计中的基础题型，也是其他题型的基础。

例如：例1：从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字，组成一个无重复的三位数，求所能组成的三位数的个数。

解析：这是一个典型的排列问题。

我们可以先确定百位上的数字，有5种选择；然后确定十位上的数字，有4种选择；最后确定个位上的数字，有3种选择。

根据乘法原理，所能组成的三位数的个数为5×4×3=60个。

类似的题型还有从n个数字中选取m个数字，求所能组成的m位数的个数等。

二、事件的概率类题型事件的概率类题型是概率与统计中的重点和难点。

例如：例2：一枚硬币抛掷3次，求抛掷结果中至少出现两次正面的概率。

解析：这是一个典型的事件的概率问题。

我们可以列出所有可能的结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。

其中，至少出现两次正面的结果有6种，所以所求的概率为6/8=3/4。

类似的题型还有从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红桃的概率等。

三、频率与统计量类题型频率与统计量类题型是概率与统计中的实际应用题型。

例如：例3：某班级有60名学生，其中30名男生、30名女生。

从中随机抽取5名学生，求抽到女生人数的概率。

解析：这是一个典型的频率与统计量问题。

我们可以使用组合数的知识来解决。

从30名女生中选取0名女生的组合数为C(30, 0)，从30名男生中选取5名男生的组合数为C(30, 5)。

所以所求的概率为C(30, 0) / C(60, 5)。

类似的题型还有某城市每天的降雨量数据，求降雨量超过某个值的概率等。

总结起来，掌握排列组合的基本原理、事件的概率计算方法以及频率与统计量的计算方法是解决概率与统计题型的关键。

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

由，
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。
9、已知抛物线与直线相交于A、B两点
（1）求证：
（2）当的面积等于时，求的值。
（1）证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得在抛物线上，
（2）解：设直线与轴交于N，又显然令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而 = ，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的
(Ⅱ)解: ,令得．
当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
注意到 ,从而
①当 ,此时无极小值；

高中数学解析几何题型

解析几何题型考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 .例 1．假设抛物线 y 22 px 的焦点与椭圆 x 2 y 2 p 的值为〔〕 6 1的右焦点重合，那么2A ． 2B ． 2C ． 4D ． 4考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质 .解答过程：椭圆 x 2y 21的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 y 22 px 的焦点为 (2,0)，那么 p 4，62考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 .例 2．抛物线 y-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点 A 、B ，那么 |AB| 等于22考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线 AB 的方程为 yx b ，由 yx 2 3 x 2 x b 3 0x 1 x 2 1，yx b进而可求出 AB 的中点 M ( 1 ,1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出22 2 2b 1 ，∴ x 2x2 0 ，由弦长公式可求出 AB1 12 12 4 ( 2)3 2 ．22例 3．如图，把椭圆x y1 的长轴25 16AB 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1 23 45 67七个点， F 是椭圆的一个焦点，P ,P , P , P , P , P , P那么PF 1P 2 F P 3F P 4F P 5F P 6 F P 7 F ____________.考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆 x 2y 2 1 的方程知 a 2 25, a 5.25 16∴PF 1PF 2 P 3FP 4F P 5F P 6 F P 7 F 7 2a7 a 7 5 35.2考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 :(1)椭圆的离心率 e＝c∈(0,1) (e 越大那么椭圆越扁 );a (2) 双曲线的离心率 e＝c∈(1, ＋∞ ) (e 越大那么双曲线开口越大). a例 4．双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，那么双曲线方程为A． x2 y2 1 B． x2 y 2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y 2 14 12 12 4 10 6 6 10考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念.解答过程：Q e c 2,c 4, 所以a 2, b2 12. 应选(A).a例 5．双曲线3x 2 y 2 9 ,那么双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于〔〕A. 2B. 2 3C. 2 3考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 e＝c∈ (1, ＋∞ ) 的有关知识的应用能力 . a解答过程：依题意可知 a 3, c a2 b 2 3 9 2 3．考点 4.求最大 (小 )值求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 )值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6．抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么 y12+y22的最小值是.考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 . 解: 设过点 P(4,0)的直线为y k x 4 , k 2 x2 8x 16 4x,k 2 x2 8k 2 4 x 16 k2 0,y 2 y 2 4 x1 x2 4 8k 2 4 16 2 1 32.1 2k2 k2故填 32.考点 5 圆锥曲线的根本概念和性质例 7．在平面直角坐标系xOy 中 ,圆心在第二象限、半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆x2 y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a2 9〔1〕求圆 C 的方程；〔2〕试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段OF 的长.假设存在，请求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解答过程 ] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)那么mn, 解得m2,n 2 2 2, n 2.所求的圆的方程为(x 2) 2 ( y 2) 2 8 (2) 由可得2a 10 ， a 5 ．椭圆的方程为x2 y2右焦点为F( 4, 0) ;251 ,9假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 2 2 cos22 2 2 sin2．4 4整理得sin 3cos 2 2 ，代入 sin2 cos2 1 ．212 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2得:10cos 10 10 1．因此不存在符合题意的Q 点 .例 8．如图 ,曲线 G 的方程为y2 2 x( y 0) .以原点为圆心，以t (t 0)为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.〔Ⅰ〕求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；〔Ⅱ〕设曲线G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD的斜率为定值. [ 解答过程 ] 〔 I〕由题意知，A(a, 2a).因为 | OA | t,所以 a 2 2a t 2 .由于t 0,故有t a 2 2a . 〔1〕由点 B〔0， t 〕， C〔 c，0〕的坐标知，直线BC的方程为xy 1.c t又因点 A 在直线 BC上，故有a2a 1, c t将〔 1〕代入上式，得 a 2a 1,解得c a 2 2( a 2) .c a(a 2)（I I〕因为D(a 2 2(a 2) )，所以直线 CD 的斜率为kCD 2( a 2)2(a2)2(a 2)a 2 ca 2 ( a 22(a2) )2(a1，2)所以直线 CD 的斜率为定值 .22例 9．椭圆 E :x2y 21(ab 0) ，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦 AB 的中点，假设以ab点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，假设椭圆离心率e 和双曲线离心率 e 1 之间满足 ee 1 1 ，求：〔1〕椭圆 E 的离心率；〔 2〕双曲线 C 的方程 .解答过程：〔 1〕设 A 、 B 坐标分别为 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，那么x 12 y 121 ，x 22y 22 1 ，二式相减得：a2b2a 2b2ky 1 y 2 (x 1x 2 )b 2 2b 2 kMN1 ( 1)ABx 1 x 2(y 1y 2 )a 2a 21，2 4所以 a 22b 2 2(a 2 c 2 ) ， a 2 2c 2 ，那么ec2 ；a2〔2〕椭圆 E 的右准线为 xa 2 ( 2c) 22c ，双曲线的离心率 e 11 2 ，cce设 P(x, y) 是双曲线上任一点，那么：| PM | (x 2)2 (y 1)22，| x 2c || x 2c |两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c 1或 c 3 ，当 c 1时，双曲线方程为： (x 2) 2 (y 1)20 ，不合题意，舍去；当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y1) 2 32 ，即为所求 .考点 6利用向量求曲线方程和解决相关问题例 10．双曲线 C 与椭圆x 2y 21有相同的焦点，直线 y=3x 为 C 的一条渐近线 .8 4(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点〔 Q 点与 C 的顶点不重合〕 .uuuruuuruuur8时，求 Q 点的坐标 .当PQ1QA2 QB，且123考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：〔Ⅰ〕设双曲线方程为x 2 y 2 1 ,a2b 2由椭圆 x2y 2 1,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，8 4对于双曲线 C : c 2 ，又 y3x 为双曲线 C 的一条渐近线b 3 解得 a 21,b 23 ，a双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 13〔Ⅱ〕解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设 l 的方程： y kx 4, A( x , y ) ， B( x 2 , y 2 ) ,那么Q( 4,0) .11kuuuruuur 4 4Q PQ1 QA, ( 1( x 1, 4) , y 1).k k 44 )x 14 41 (x 1 k k1kk 44 1y 1 y 11Q A( x 1 , y 1) 在双曲线 C 上，162 (11 )216 10 .k1116 32 1 16 1216 k2k220.(16 k 2) 1232 11616k 2 0.33同理有： (16 k 2)2232 216 16 k 2 0.3假设16k 20, 那么直线l过顶点，不合题意 .16 k 20,1, 2 是二次方程(16k 2 )x 2 32x 16 16 k 2 0.的两根 .8 , 31232k 4 ，此时 0, k 2 .2k 2 163所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， y kx 4, A( x , y ), B(x 2, y ) ，那么Q( 4,0) .112kuuuruuurQ uur1 . Q PQ1QA，分 PA 的比为由定比分点坐标公式得4 1x 1 x 14(1 1 ) k 1 1k 14 1y 14y 1111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： y kx4, A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，那么Q(4,0) .kuuuruuuruuur( 4, 4)1( x 1 4, y 1)4, y 2 ) .Q PQ1 QA2QB ，2(x 2k kk41y1 2 y 2，14，24 ，y 1y 2又 128 ， 1 1 2,即 3( y 1 y 2 ) 2 y 1 y 2 .3y 1 y 23将 y kx 4 代入 x2y 2 1得 (3 k 2 )y 224 y 48 3k 20 .3Q 3 k 20 ，否那么l与渐近线平行 .y 1 y 23 24 , y 1y 2 48 3k 2 .k 2 3 k 22448 3k 2 . k 2 3 3 k 2 23 k 2Q( 2,0) .解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设 l 的方程： y kx 4 ， A( x 1 , y 1 ), B( x 2, y 2 ) ,那么Q(4 k ,0)uuuvuuuv(x 14, y 1 ) .Q PQ1 QA, ( 4, 4)1kk4 441k.同理1.4 kx 1 4kx 2 4x 1k12 44 8 .kx 1 4kx 2 43即2k 2 x x25k( xx ) 8.〔 * 〕1 1 2y kx 4又x2y 213消去 y 得 (3k 2 ) x 2 8kx 190 .当 3 k 20 时，那么直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 .x 1x 28kk 2由韦达定理有：319x 1 x 23 k 2代入〔 * 〕式得k 2 4, k2 .所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .例 11．设动点 P 到点 A(－ l ，0)和 B(1， 0)的距离分别为 d 1 和 d 2，∠APB ＝ 2θ,且存在常数λ (0＜λ＜ 1＝ ,使得 d 1 d 2 sin 2θ＝λ．（ 1〕证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（ 2〕过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M 、 N 两点 ,试确定λ的范围 ,使 OM · ON ＝ 0,其中点 O 为坐标原点．[解答过程 ] 解法 1：〔 1〕在 △PAB 中， AB2 ，即 22d 12 d 22 2d 1d 2 cos 2 ，4 (d 1 d 2 ) 2 4d 1d 2 sin 2，即d 1 d 244d 1d 2 sin 22 12 〔常数〕，点 P 的轨迹 C 是以 A ，B 为焦点，实轴长 2a2 1 的双曲线．方程为： x 2y 211．（2〕设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 x 1 ， M (11)，， N (1， 1) 在双曲线上．即11 1115，因为 01 ，所以5 1 ．2122②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y k( x1) ．x 2 y 21 得：(1 )k 2 x22(1 )k 2x (1)( k2)，由1yk( x 1)由题意知：(1)k 2，所以x 1x 2 2k 2 (1) ，x 1x 2(1 )( k 2) ．(1 )k 2(1 )k 2于是：y 1 y 2k 2 (x 1 1)(x 2 1)k 2 2．(1) k 2因为 OM ON0，且 M ，N 在双曲线右支上，所以x 1x 2x 1x 1x 2y 1y 2 0 k 22(1 )(1 )5 1 2．x 2 012 1 12223k1 01由①②知，5 12 ．2≤3解法 2：〔 1〕同解法 1（2〕M ( x1，y1)，N( x2，y2)，MN的中点E(x0，y0)．①当 x1 x22121 0，1，MB 1因 0 1 ，所以 5 1 ；2x 2 y 21 1 1②当 x1 x2， 1 x0 ．kMNx22 y22 1 y011又k MN kBE y0 ．所以(1 ) y02 x02 x 0；x0 1MN 2MN2 2由∠ MON 得x02 y02 ，由第二定得e(x1 x2 ) 2a22 2 2121x0 1 x02 (1 ) 2x0．1 1所以 (1 ) y02 x02 2(1 ) x0 (1 ) 2．于是由(1 ) y02 x02 x0, 得x (1 ) 2 .(1 ) y02 x02 2(1 )x0 (1 ) 2, 0 2 3因 x0 1，所以(1)2 1，又0 1，2 3解得： 5 1 2．由①②知 5 1 ≤ 2 ．2 3 2 3 考点 7 利用向量理曲中的最例 12． E 的中心在坐原点O，焦点在 x 上，离心率3，点 C( 1,0) 的直3uuur uuurAOB 的面到达最大直和 E 的方交 E 于 A、 B 两点，且 CA 2BC ，求当程.解答程：因的离心率3，故可方程2x 2 3y 2 t(t 0) ，直方程3my x 1，由2x2 3y2 t得： (2m 2 3)y 2 4my 2 t 0 ，A(x1, y1), B(x2, y2)，my x 1y4my1 y2 ⋯⋯⋯⋯① A 2m 2 3CoxBuuur uuury 2) ，即 y 1 2y 2 ⋯⋯⋯⋯②又 CA2BC ，故 (x 1 1,y 1)2( 1 x 2,由①②得： y 18m，y 24m ，2m 22m 233S AOB1| y 1 y 2 | 6 | m 3 |＝66 ，22m 2322| m || m |当 m 23，即m6，AOB 面取最大，22此y 1y 22 t32m 2 ，即 t 10 ，2m 2 3(2m 2 3)2所以，直方程 x6 y 1 0 ，方程 2x23y 210 .2uuur(xuuur(xuuuruuur6 ，求| 2x 3y 12 |的最大例 13． PA 5, y) ， PB5, y) ，且 | PA | | PB |和最小 .解答程：P(x, y) ，A( 5,0) ， B( 5, 0) ， uuur uuur6 ，且 | AB | 2 5 6 ，因 | PA | | PB |所以，点 P 的迹是以 A 、 B 焦点，6 的，方程 x 2y 2 1，令 x3cos , y 2sin，94| 2x3y 12 |＝ | 6 2 cos(4) 12 |，当cos() 1 ， | 2x3y 12 |取最大4当cos() 1 ， | 2x 3y 12 |取最小412 6 2 ，12 6 2 .考点 8 利用向量理曲中的取范例 14．〔 2006 年福建卷〕x 2y 21的左焦点 F ，2O 坐原点 .y〔I 〕求点 O 、 F ，并且与的左准l 相切的的方程；B〔II 〕点 F 且不与坐垂直的直交于 A 、 B 两点，FGOx段 AB 的垂直平分与x 交于点 G ，求点 G 横坐的取范.lA考意 :本小主要考直、、和不等式等根本知，考平面解析几何的根本方法，考运算能力和合解能力.解答程：〔I 〕Q a 2 2,b 2 1, c 1,F ( 1,0), l : x2.Q 圆过点 O 、 F ，圆心 M 在直线 x1上 .2设M (1,t), 那么圆半径 r (1 ) ( 2)3 .222由OMr,得( 1 )2 t 2 3 ,2 2 解得 t2.所求圆的方程为 (x1)2 (y2) 2 9 .24 〔II 〕设直线 AB 的方程为 y k( x 1)(k 0),代入 x 2y 21,整理得(1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 2 2 0.2Q 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ，方程有两个不等实根 .记A( x 1, y 1), B( x 2, y 2), AB 中点 N (x 0, y 0),那么x 1x 24 k 2,2k 21AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y 01(x x 0 ).k令 y 0,得x G x 0ky 02k 2 k 2k 2 1 1.1 2k 212k 212 4k22k 22Q k 0,1 0,x G2点 G 横坐标的取值范围为 (1,0).222例 15．双曲线 C ： x2y 21(a 0,b0) ， B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半abuuuruuur uuur轴上，且满足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P ，uuur uuuruuur uur〔1〕求证： PA OP PA FP ；〔2〕假设 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .uuur uuuruuuruuur uuura2a2解答过程：〔 1〕因| OB |2,0) ，| OA |,| OB |,| OF |成等比数列，故| OA |uuur，即 A(|OF |cc直线 l ： ya(x c) ，ybDO PE FBx A由y a(x c) a2 abbP(，b x, )y c cauuur(0,ab uuur a2,ab uur b2 ab，故：PAc),OP ( ), FP (c, )c c c uuur uuur a2 b2 uuur uur uuur uuur uuur uur那么： PA OP c2 PA FP ，即PA OP PA FP ；uuur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur 〔或 PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0 ，即PA OP PA FP 〕y a c) 4 4 4 2(x (b 2 a )x 2 2 a cx (a c a2 b2 ) 0 ，〔2〕由 bb2x 2 a2 y 2 a2 b2 b2 b2 b2( a4 c2 a2b2 )b2由 x1 x 22 a4bb2〔或由k DF k DO a br r 例 16．a (x,0) ， b0 得： b4 a4 b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2.b b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2 〕ar r r r(1,y) ， (a 3b) (a 3b) ，〔 1〕求点P(x, y) 的轨迹C的方程；〔 2〕假设直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于 A、 B 两点，D(0, 1) ，且 | AD | | BD | ，试求 m 的取值范围 .r r ，解答过程：〔〕 a 3b ＝(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)1r r(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y)a 3b ＝，r r r r r r r r0 ，因 (a 3b) (a 3b) ，故 (a 3b) (a 3b)即 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 2 3y 2 3 0 ，故 P 点的轨迹方程为x2 y 2 1.3y kx m得： (1 3k 2 )x 2 6kmx 3m2 3 0 ，〔2〕由3y2 3x 2设 A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ) ， A 、 B 的中点为 M(x 0 , y 0 )那么 (6km)24(1 3k 2 )( 3m 2 3) 12(m 2 1 3k 2 ) 0 ，x 1 x 26km ， x 0 x 1 x 2 3km ， y 0 kx 0 mm ，1 3k 22 1 3k 21 3k 2即 A 、 B 的中点为 (3km2 ,m 2 ) ，1 3k 1 3k m1)(x3km2 ) ，那么线段 AB 的垂直平分线为： y1 2(3kk 1 3k将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 4m 3k 2 1 ，那么由m 2 1 3k 2得：m24m 0 ，解之得 m0 或 m 4 ，4m 3k 2 1又 4m3k 21 1，所以 m1 ，14 故 m 的取值范围是 () .,0) U (4,4考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例 17． A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点， BC 过椭圆的中uuur uuur uuur uuur心 O ，且 AC BC 0 ， | BC | 2 | AC |，〔1〕求椭圆的方程；〔 2 〕如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ 的平分线垂直于 OA ，是否总存在实数，使得λuuur uuurPQ λAB ？请说明理由；yC解答过程：〔 1〕以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么A(2,0) ，OAxx 2 y 2 BQ设椭圆方程为1，不妨设 C 在 x 轴上方，P4b2uuur uuur uuur uuur uuur由椭圆的对称性， | BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC | ，uuur uuur AC OC ，即 OCA 为等腰直角三角形，又 AC BC 0由 A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得：b 24，3即，椭圆方程为x 23y 241；42λuuuruuurAB// PQ〕假设总存在实数λAB ，即，〔，使得 PQ由 C(1,1) 得 B( 1, 1) ，那么 kAB0 ( 1) 1 ，2 ( 1) 3假设设 CP ： y k(x 1) 1，那么 CQ ：yk(x 1) 1 ，x 23y 21(1 3k 2 )x 2 3k 2 由 44 6k(k 1)x 6k 10 ，y k(x 1) 1由 C(1,1)得 x1 是方程 (1 3k2 )x 2 6k(k 1)x 3k 2 6k 1 0 的一个根，由韦达定理得： x Px P 1 3k 2 6k 1 ，以 k 代 k 得 x Q 3k26k 1 ，1 3k2 1 3k 2故k PQ y P y Qk(x Px Q ) 2k1，故 AB// PQ ，x P x Qx Px Q3uuur uuur即总存在实数 λ，使得 PQ λAB .考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例 18．设 G 、M 分别是 ABC 的重心和外心， A(0, a) ， B(0,a)(auuuur uuur0) ，且 GM AB ，〔 1〕求点 C 的轨迹方程；uuur uuur？〔 2〕是否存在直线 m ，使 m 过点 (a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P 、Q 两点，且 OP OQ 假设存在，求出直线 m 的方程；假设不存在，请说明理由. 解答过程：〔 1〕设 C(x, y) ，那么 G( x,y) ，uuuuruuur3 3因为 GMAB ，所以 GM// AB ，那么 M( x,0) ，3由 M 为 ABC 的外心，那么 |MA| | MC | ，即( x )2a2(xx) 2 y 2 ，33整理得：x 2 y 2 1(x0) ；3a2a2〔2〕假设直线 m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 x 2y 2 1(x得： (1 3k 2 )x 2 6k 2 ax 3a 2 (k 2 1)0 ，3a 2 a 20)设 P(x 1, y 1 ),Q(x 2 , y 2 ) ，那么x 1x 26k 2 a ，x 1x 23a 2 (k 2 1) ，1 3k2 1 3k 2y 1 y 2 k 2 (x 1 a)(x 2 a) k 2[x 1 x 2a(x 1 x 2 ) a 2] ＝2k 2a 2，1 3k 2uuur uuur0 得： x 1x 2 y 1y 2 0 ，由 OP OQ3a 2 (k 2 1)2k 2a 2 0 ，解之得 k3 ，即1 3k21 3k2又点 (a,0) 在椭圆的内部，直线 m 过点 (a,0) ，故存在直线 m ，其方程为 y 3(xa) . 【专题训练与高考预测】一、选择题1．如果双曲线经过点 (6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y1x ，那么双曲线方程是〔〕3A ． x 2y 2 1B ． x 2y 21C ． x 2y 2 1D ． x 2y 2 136 981 9918 32．椭圆x 2y 2 1 和双曲线 x 2 y 21 有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 5n 22m 2 3n 23m 2程为〔〕A. x15 yB. y15 x C. x3 yD. y3 x42243．F, F为椭圆x 2 y 2的焦点， M 为椭圆上一点，MF12 a 2 b 2 1(a b 0)1 垂直于 x 轴，且 FMF 1 2 60 ，那么椭圆的离心率为〔〕A.1B.2 C. 3D. 322324．二次曲线x 2y 2 1，当 m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是〔〕4mA. [ 2 , 3]B. [ 3 , 5]C.[ 5 , 6]D. [ 3 , 6 ]2 222 2 2 2 25．直线 m 的方程为 y kx1 ，双曲线 C 的方程为2 y 2 1，假设直线 m 与双曲线 C 的右支 x相交于不重合的两点，那么实数 k 的取值范围是〔〕A. ( 2, 2)B. (1, 2)C.[ 2, 2)D.[1, 2)6．圆的方程为x 2 y 2 4 ，假设抛物线过点 A( 1,0) ， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，那么抛物线的焦点的轨迹方程为〔〕A. x 2 y 21(y0)B. x 2y 2 1(y 0)3 44 3C. x 2 y 2 1(x0)D. x 2y 2 1(x 0)344 3二、填空题7 ．已知 P 是以 F 1 、 F 2 为焦点的椭圆x 2y 21(a b 0) 上一点，假设 PF 1 PF 2a 2b 2tan PF 1 F 21，那么椭圆的离心率为______________ .28．椭圆 x 2 +2y 2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，假设过点 A ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为4 13，点 A 的坐标是 ______________ .39．P 是椭圆x 2y 21 上的点， F 1, F2 是椭圆的左右焦点，设 | PF | | PF | k ，那么 k 的最大值4 3 1 2与最小值之差是 ______________ . 10．给出以下命题：①圆 (x2) 2 (y 1)2 1关于点 M(1,2) 对称的圆的方程是 (x 3) 2(y3)2 1 ；②双曲线 x2y 2 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为29 ；16 92③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y29x ；4④ P 、 Q 是椭圆 x 2 4y 216 上的两个动点， O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为1，那么4|OP |2 | OQ|2 等于定值 20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上 _________________ .三、解答题11．两点 A( 2,0)， B(2, 0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为uuur uuur uuuur，Q ， PA PB2PQ 2〔 1〕求动点 P 的轨迹 E 的方程；〔 2〕设直线 m 过点 A ，斜率为 k ，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 .12．如图， F ( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C的右准线，A1, A21 3是双曲线 C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A2 的一动点，直线 A 1 P 、 A 2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，y〔1〕求双曲线 C 的方程；MP〔2〕求证：uuuur uuuur是定值 .F1 F 2 FM F N A 1 o A 2x1 2N13．uuur uuurOFQ 的面积为 S，且OF FQ 1 ，建立如下图坐标系，y〔1〕假设S 1 ，uuur2 ，求直线FQ的方程；Q | OF |2uuur，S 3c，假设以 O 为中心， F 为焦点的椭圆过点uuurF〔2〕设| OF | c(c 2) Q，求当| OQ |取ox4得最小值时的椭圆方程 .14．点H( 3,0) ，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足uuur uuur uuur 3 uuuurHP PM 0 ， PM MQ ，2〔1〕当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C；y〔2〕过点T( 1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、 B 两点，假设在 x 轴上存在一点PE(x 0 ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0的值.o Q EHT M xAB15．椭圆x2 y 21(a b 0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴a 2 b2作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．〔 1〕求椭圆的离心率e；〔 2〕设 Q 是椭圆上任意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1 QF2的取值范围；16．两点M〔 -1，0〕， N〔 1， 0〕且点 P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列，〔Ⅰ〕点 P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，为 PM 与 PN 的夹角，求tan θ ．【参考答案】一. 1． C .提示，设双曲线方程为 ( 1 1x y)，将点 (6, 3) 代入求出即可 .x y)( 3 32 ． D . 因为双曲线的焦点在 x 轴上，故椭圆焦点为 ( 3m 22，双曲线焦点为5n ,0) ( 2m 23n 2 ,0) ，由 3m 25n 2 2m 2 3n 2 得 | m | 2 2 | n | ，所以，双曲线的渐近线为y6 | n | 3x .2 | m |43．C .设 | MF 1 | d ，那么 | MF 2 |2d ，1 2|3d ，| FFe c 2c| FF 12 | d 3d 3 .a 2a |MF 1 | | MF 2 |2d3曲线为双曲线，且 51，应选 C ；或用 a 2 4 ， b 2m 来计算.4.C .25．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义 .二.7．解：设 c 为为椭圆半焦距，∵PFPF 0 ，∴ PFPF.12122PF 2221 PF 1(2c) ∴又tan PF 1 F 2PF 2 2a2PF 1PF 2 1PF 12c 2 5c 5解得： ( a)9 ,ea3 ．选 D ．8．解：设 A 〔x ， 0〕〔 x ＞ 0〕，那么直线 l 的方程为 y=x-x ，设直线l 与椭圆相交于 P 〔 x ，1y 〕， Q 〔 x 、y 〕，由 y=x-x可得 3x 2 -4x x+2x2，1220 0 0x 2+2y 2=12x 1x 24x 0，x 1x 22x 02 12 ，那么33| x 1 x 2 | ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 2 16x 0 2 8x 0 2 48 22．9336 2 x 03∴ 4 141 x2 | x 1x 2 |，即4 142236 2 x 02 ．333∴ x 02=4，又 x 0 ＞ 0，∴ x 0=2，∴ A 〔2， 0〕．9．1； k | PF 1 | | PF 2 | (a ex)(a ex) a 2 e 2x 2.10．②④ .uuuruuur( 2 x,y) ，三. 11．解〔 1〕点 P 的坐 (x, y) ，点 Q(0, y) ， PQ (x,0) ，PAuuur (2 x,uuur uuurx 2 2y 2 ， PB y) ， PA PBuuur uuuruuuur2 y 22x 2 ，因 PA PB2PQ2，所以 x 2即点 P 的迹方程： y 2 x 22 ；〔 2〕直 m ： yk(x2)(0 k 1) ，依意，点 C 在与直 m 平行，且与m 之的距离2 的直上，此直 m : y kxb ，由|2k b | 2 ，即 b 22 2kb 2 ，⋯⋯①1k21把 ykx b 代入 y 2 x 22 ，整理得： (k 2 1)x 2 2kbx (b 22) 0 ，4k 2b 24(k 2 1)(b 2 2) 0 ，即 b 2 2k 22 ，⋯⋯⋯⋯②由①②得： k25， b10 ， 55此，由方程y2 5 x1010).5 5C(2 2,y 2 x 2 212．解：〔 1〕依意得： ca 24a 225 ，3 ，，所以， bc 3所求双曲C 的方程x 2 y 21 ；45〔2〕 P(x 0 , y 0 ) ， M(x 1 , y 1 ) ， N(x 2 , y 2 ) ， A 1 (2,0) ， A 2 (2,0) ，uuuur2,y uuuur(x2, y)， uuuur 10， uuuur2 ，A P (x) ，A P0 A 1M ( , y 1)A 2N ( , y 2 )1233uuuur uuuur(x 02)y 110y 0 ，y 110y 0，同理： y 22y 0 因 A 1P 与 A 1M 共，故3(x 03(x 0 ，32)2)uuuur 13 uuuur ( 5 2 )FM 1 ( , y 1 ) ，F 2 N , y ，3 3uuuuruuuur 656520y 0265 205(x 02 4)y 1y 2 ＝＝410.所以 FM 1F 2 N ＝9924) 99(x 0 9(x 024)uuuruuuruuur13．解：〔 1〕因 | OF | 2， F(2,0) ， OF (2,0)， Q(x 0 , y 0 ) ， FQ(x 0 2,y 0 ) ，uuur uuur 5 ， OF FQ 2(x 0 2) 1，解得 x 01 uuur12 151由 S|，得 y 0| OF | | y 0 | | y 02，故 Q( , ) ，22 2 2所以， PQ 所在直方程y x 2 或 yx2 ；uuuruuur〔 2〕 Q(x 0 , y 0 ) ，因 | OF |c(c2)， FQ(x 0 c,y 0 )，uuur uuur 1由 OF FQ c(x 0 c) 1 得： x 0 c ，c又 S1c | y 0 |3c ， y 03 ，242Q(c1 3 uuur2 (c1 2 9，,) ，| OQ |)4c2uuurc3) ，易知，当 c2， | OQ | 最小，此 Q( 5,22方程x22a 2b 2 4210 ，y 1,(a b 0) ，259 ，解得 aa2b 21 b 264a 24b 2所以，方程x 2y 2 1 .10614．解：〔 1〕 M(x,uuur3 uuuuryx，y) ，由 PMMQ 得： P(0,) ， Q(,0)uuur uuur223得： (3, y )(x, 3y ) 0 ，即 y 2 4x由 HP PM ，22由点 Q 在 x 的正半上，故 x 0 ，即点 M 的迹 C 是以 (0,0) 点，以 (1,0)焦点的抛物，除去原点；〔2〕 m : yk(x 1)(k0) ，代入 y 2 4x 得：k 2x 2 2(k 2 2)x k 20 ⋯⋯⋯⋯①A(x 1 , y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ， x 1 , x 2 是方程①的两个根，x 1 x 22(k 22) ， x 1x 21，所以段AB 的中点 (2 k2 , 2) ， k 2k 2k线段 AB 的垂直平分线方程为y21 2 k 2k(xk 2)，k令 y0 ，x 02 1，得E( 2 1,0)，k 2k 2因为 ABE 为正三角形，那么点E 到直线 AB 的距离等于3| AB | ，2又| AB|(x 1 x 2 )2(y 1 y2 )2＝41 k 2k 2，k 21所以，23 1 k 421 k 2，解得： k3， x 011 .k 2| k |2315．解：〔 1〕∵ F ( c,0), 那么 xMc, yMb 2 ，∴ k OMb 2 .1a ac∵ k ABb,OM 与 AB 是共线向量，∴b 2b，∴ b=c,故 e2 .aaca2〔 2〕设 FQr 1, F 2Q r 2 , F 1 QF 2,1r 1 r 2 2a, F 1 F 2 2c,cosr 12 r 22 4c 2(r 1 r 2 )2 2r 1r 2 4c 2a 2 1a 21 02r 1r 22r 1r 2r 1r 2( r 1 r 2 ) 22当且仅当 r 1r 2 时， cos θ =0，∴θ [ 0, ] .216．解：〔Ⅰ〕记 P 〔 x,y 〕，由 M 〔 -1， 0〕N 〔1 ，0〕得uuuuruuur( 1 x, y), PN NP ( 1 x, y) ， MNNM (2,0) .PMMP 所以 MP MN2(1 x) . PM PN x 2 y 21， NM NP 2(1 x) .于是， MP MN , PM PN , NMNP 是公差小于零的等差数列等价于x 2 y 2 1 1 [2(1 x) 2(1 x)]即x 2y 23.2x 02(1 x) 2(1 x) 0所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆 .〔Ⅱ〕点 P 的坐标为 ( x , y ) 。

高一数学必考题型例题及解析

高一数学必考题型例题及解析高一数学是高中的基础课程，由于其计算量重、概念重、层次高等特点，在高一学期就会接触到很多常考的必考题型，这些必考题型也是高考试卷中常考的题型，因此考生们在学习高一数学课程时，需要通过例题熟悉各必考题型，以求在考试中能够更加熟练地掌握这些必考题型。

下面就以几道例题来说明上述必考题型以及对应的解法。

一、方程与不等式1、若2x+5y=15，求x的取值范围。

解：由题意得2x+5y=15，设x=t，得t+5y=15，即5y=15-t，因此y=3-t/5，即x和y的取值由下列不等式给出：x=t，t∈R；y=3-t/5，t∈R因此x的取值范围为x=t，t∈R。

2、如果x+3>2x-3，求x的取值范围。

解：由题意得x+3>2x-3，解得x>0，因此x的取值范围为x>0。

二、函数1、已知函数f(x)的定义域是[-3,3]，试求x值使f(x)=2的解集。

解：由函数f(x)的定义域[-3,3]，已知f(x)=2，由此有f(x)-2=0，即f(x)=2，因此x的解集是f(x)=2的根的集合，即x=-3或x=3。

2、已知函数f(x)对任意实数x满足：f(x+2)=f(x)+2，求f(x)的表达式。

解：设f(x)的表达式为f(x)=asx+b，由f(x+2)=f(x)+2，可得as(x+2)+b=asx+b+2，即2as+2=2，解得as=-1，将其代入f(x)=asx+b，得f(x)=-x+b，此时f(0)=b，由此可求得b=f(0)，因此函数f(x)的表达式为f(x)=-x+f(0)。

三、统计1、已知一组数据：37,52,68,50,41，求这组数据的平均值。

解：将这组数据按大小排列为37,41,50,52,68，求这组数据的平均值：平均值=（37+41+50+52+68）/5=482、某市有3000名居民，某晚上该市有750名居民出去旅游，求该晚上该市居民出行的比例。