组合数学试题
学前数学简单组合练习题
学前数学简单组合练习题一、分类组合题1. 从一盒中有红、黄、蓝三种颜色的糖果共10个，若每个颜色的糖果至少有一个，问有多少种可能的组合？解：首先，根据题目要求每个颜色的糖果至少有一个，可以得出以下条件：红色糖果的数量：1 ≤ 红色糖果≤ 9黄色糖果的数量：1 ≤ 黄色糖果≤ 9蓝色糖果的数量：1 ≤ 蓝色糖果≤ 9接下来，我们可以通过列举所有可能的组合来计算：红黄蓝1 1 81 2 71 3 61 4 52 1 72 2 62 3 53 1 63 2 54 1 5共计有10种可能的组合。
2. 有4个不同的字母A、B、C、D，请问由这4个字母组成的不同三位数有多少个？解：由题意可知，每个位置都可以选择ABCD四个字母中的一个。
那么，我们可以分别计算每个位置的可能性，然后将结果相乘。
个位上的字母有4种选择（A、B、C、D）十位上的字母有4种选择（A、B、C、D）百位上的字母有4种选择（A、B、C、D）因此，总共有4 × 4 × 4 = 64种不同的三位数。
二、排列组合题1. 从1、2、3、4、5这5个数字中任选3个数字，可以组成多少个不同的三位数？解：首先，根据题目要求任选3个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：3个可选的数字：1、2、3、4、5接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有5 × 4 × 3 = 60个不同的三位数。
2. 从1、2、3、4、5、6这6个数字中任选4个数字，可以组成多少个不同的四位数？解：首先，根据题目要求任选4个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：4个可选的数字：1、2、3、4、5、6接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用6个数字中的其中一个数字作为千位数：6种选择使用剩下的5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有6 × 5 × 4 × 3 = 360个不同的四位数。
小学生数学组合练习题
小学生数学组合练习题小学生数学是一门基础学科，对学生的思维发展和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
组合数学是其中一部分，通过训练组合数学可以帮助学生提高逻辑思维和问题解决能力。
下面是一些小学生数学组合练习题，帮助孩子们巩固和拓展他们的组合数学知识。
1. 某班有5位男生和4位女生，请问从这9位同学中选择一位代表参加班级活动的是几种可能性？解析：根据组合数学的知识，我们可以得知从9个人中选择一位代表可以看作是从9个人中选1个人，即C(9,1)。
代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(9,1) = 9!/(1!(9-1)!)=9。
2. 某班的学生参加比赛，共有12人参赛。
请问从这12个人中选择3个人获得前3名，一共有几种可能性？解析：这是一个从12个人中选3个人的问题，即C(12,3)。
代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(12,3) = 12!/(3!(12-3)!)=220。
3. 一只口袋里有红球5个，蓝球3个，黄球2个。
如果从口袋中随机取出3个球，求以下情况的可能性：a) 取出的3个球全部为红球；b) 取出的3个球中至少有一个蓝球；c) 取出的3个球中恰好有一个黄球。
解析：a) 从5个红球中选3个红球的可能性为C(5,3) = 5!/(3!(5-3)!) = 10；b) 取出的球中至少有一个蓝球的情况为：取1个蓝球+2个非蓝球，或者取2个蓝球+1个非蓝球。
即C(3,1) * C(7,2) + C(3,2) * C(7,1) =3*21 + 3*7 = 84；c) 取出的球中恰好有一个黄球的情况为C(2,1) * C(8,2) = 2*28 = 56。
4. 九宫格填数问题：将数字1-9填入九宫格中，要求每行和每列的数字之和均为15。
请问一共有几种可能性？解析：这是一个排列组合问题。
将数字1-9分别填入九宫格的9个位置，可以看作是从9个数字中选择9个数字放入九宫格。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学考试试题
第一部分：填空题。
题目1:求n 元布尔函数f (x1，x2，…，xn ）的数目，其中布尔函数是指含有与（∧）、或（∨）、非（－）等基本布尔运算的函数。
解答：设有n 个布尔变元x 1，x 2，…，x n ，其中x i ∈{0，1}，i =1，2，…，n ，根据乘法原理(x 1，x 2，…，x n )共有2n 种不同指派，对每个指派，布尔函数取值为{0，1}，故不同的布尔函数的数目为：22n。
（考试中会给定n 的具体数值，带入公式直接计算即可。
）题目2：n 对夫妻围一圆桌而坐，求每对夫妻相邻而坐的方案数。
解答：夫妻相邻而坐，可以将一对夫妻看成一个整体，其圆排列数为(n -1)!，由于每对夫妻可以交换位置，故所求方案数为(n -1)!×2n。
题目3：求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。
解答：在构造的M 的一个r 排列时，第一项有n 种选择，第二项有n 种选择，……， 第r 项有n 种选择，故M 的r 排列数为n r 。
(一般地，n 元多重集合表示为：M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中：a i （i = 1, 2, …, n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2, …, n ）表示元素a i 的个数。
)题目4：求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。
解答：先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。
但是这里k i !个a i 是相同的，所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个，故M 的全排列数为：!!!)!(2121n n k k k k k k +++。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。
如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。
将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。
试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。
用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。
然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。
试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。
求这条弦的长度小于8的概率。
答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。
通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。
然后，利用面积比来计算概率。
圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。
最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。
试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。
答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。
试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。
问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
组合数学练习题及解析
组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。
它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。
本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。
2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。
3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。
二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。
2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。
3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。
(完整版)组合数学试题集
组合数学试题集一.简单题目可以根据需要改成选择题或者填空题1.在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？(参见课本21页) 解：该题相当于从“1, 3, 5, 7, 9”五个数字中分别选出1, 2, 3, 4作排列的方案数;....... 一—1 »(1)选1个，即构成1位数，共有P5个；....................... 一一2 .(2)选2个，即构成两位数，共有是个；—3 .(3)选3个，即构成3位数，共有P5个；(4)选4个，即构成4位数，共有P54个；_1 _2 _3 _4 __ ___由加法法则可知，所求的整数共有：尾是P5尾205个。
2.一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？(参见课本21页)(1)规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定;(2)要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
解：(1)因为就坐是有次序的，所有是排列问题。
5人坐前排，其坐法数为P(8,5) , 4人坐后排，其坐法数为P(8,4),剩下的5个人在其余座位的就坐方式有P(7,5)种，根据乘法原理，就座方式总共有：P(8,5) gP(8,4) gP(7,5) 28 449 792 000 (种)(2)因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。
可分成三种情况分别讨论：①前排恰好坐6人，入座方式有C(14,6)P(8,6) P(8,8);②前排恰好坐7人，入座方式有C(14,7)P(8,7) P(8,7);③前排恰好坐8人，入座方式有C(14,8)P(8,8)P(8,6);各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：C(14,6) P(8,6) P(8,8) C(14,7) P(8,7) P(8,7) C(14,8) P(8,8) P(8,6) 10 461394 944 0003. 一位学者要在一周内安排 50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时, 问共有多少种安排方案？(参见课本 21页)解：用为表示第i 天的工作时间，i 1,2,L ,7 ,则问题转化为求不定方程x 1 x 2 x 3x 4 x 5x 6x 750的整数解的组数，且X i 5,于是又可以转化为求 不定方程y 1y 2 y 3 y 4 y 5y 6 y 7 15的整数解的组数。
三年级数的组合练习题
三年级数的组合练习题
提供一份三年级数学的组合练习题：
Part 1: 组合数
1. 小明有4个不同的苹果和3个不同的梨，请问他一共有多少种不同的选择组合？
2. 某餐厅有5种不同的主菜和4种不同的汤，小明要同时选择一道主菜和一种汤，请问他有多少种不同的选择组合？
Part 2: 排列组合问题
3. 有4个不同的小球，小红要从中选取2个小球，请问她一共有多少种不同的选取方式？
4. 有6个不同的颜色的气球，小明要将其中的3个气球依次排列起来，请问他有多少种不同的排列方式？
Part 3: 等差数列
5. 以下是一个等差数列：2, 4, 6, 8, 10, ...，请写出这个等差数列的通项公式。
6. 某等差数列的首项是3，公差是2，请写出这个等差数列的前5项。
Part 4: 数字应用
7. 小明家有7个苹果，他分给弟弟和妹妹。
若弟弟得到的苹果数比妹妹多5个，求弟弟和妹妹各分到的苹果数。
8. 某数列的第1项是3，公差是7，第n项是38，求n的值。
Part 5: 问题解决
9. 小明有8本不同的书，小红也有8本不同的书。
小明和小红要交换他们的书，使得每个人的书都与之前不同，问有多少种不同的交换方式？
10. 有3个红球和3个蓝球，小明要从中选择2个球，请问他一共有多少种不同的选择组合？
请按照题号进行解答，并将答案写在答题纸上。
祝你好运！。
组合数练习题
组合数练习题组合数是高中数学中一个重要的概念，它在数学、概率和组合数学等领域中有着广泛的应用。
本文将为大家提供一些组合数的练习题，帮助大家更好地理解和掌握组合数的概念和计算方法。
1. 问题描述：有10个小球，从中选择3个小球，一共有多少种选择方式？解析：根据组合数的定义，选择3个小球的方式可以表示为C(10, 3)。
计算方法如下：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120因此，选择3个小球的方式共有120种。
2. 问题描述：有7个人排成一排，从中选择3个人，一共有多少种选择方式？解析：同样地，选择3个人的方式可以表示为C(7, 3)。
计算方法如下：C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35因此，选择3个人的方式共有35种。
3. 问题描述：某公司有10名员工，其中2名员工要参加一个会议，请问参加会议的员工可能的选择方式有多少种？解析：选择2名员工参加会议的方式可以表示为C(10, 2)。
计算方法如下：C(10, 2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45因此，参加会议的员工选择方式共有45种。
4. 问题描述：从数字1、2、3、4、5中选取3个数字，不放回地选择，请问一共有多少种选择方式？解析：这个问题可以看作是不计顺序地从5个数字中选择3个数字的问题，可以表示为C(5, 3)。
计算方法如下：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10因此，从数字1、2、3、4、5中选取3个数字的选择方式共有10种。
.《组合数学》测试题含答案2
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生，那么以下说法正确的选项是〔〕A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，那么不同的排列方法是〔〕A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，那么站位方法总数为〔〕A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法〔〕A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，那么这样的有序数对()y x ,共有〔〕个6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是〔〕A.128 B7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为〔〕8. 设n 为正整数，那么∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于〔〕A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，那么()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是〔〕A.n 2B. n 2-C. ()n2- 10. 设n 为正整数，那么当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是〔〕12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为〔〕 A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有〔〕个14. (){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，那么()=10f 〔〕15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是〔〕A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. ()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，那么当2≥n 时，=n a 〔〕A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为〔〕 A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n n ，那么数列{}0≥n n a 的常生成函数是〔〕A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有〔〕种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为〔〕21. 局部数为3且没有等于1的局部的15-分拆的个数为〔〕22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示局部数为k 的n-分拆的个数，那么()116P 的值是〔〕23. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，那么B 的值是〔〕24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是〔〕A.26B.2825. 数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，那么该数列的通项公式是〔〕A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，那么使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，那么其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
小学六年级数的组合练习题
小学六年级数的组合练习题【一、选择题】1. 一个集市有8种水果，小明只能买其中的2种，他可以选择的种类有几种？A. 24B. 12C. 16D. 282. 有5个红球、4个蓝球和3个黄球，从中任选两个球，求不同颜色的组合数。
A. 10B. 12C. 15D. 183. 一个4位数，各位数字都不相同，百位数是偶数，十位数是奇数，千位数是某个奇数的平方，个位数是某个偶数的平方，这个数字是多少？A. 8467B. 8234C. 8142D. 83674. 有一堆4个白球和6个黑球，在其中任选3个球，求选中至少一个白球的概率是多少？A. 25%B. 50%C. 60%D. 75%【二、填空题】1. 用数字1、2、3、4、5、6，填到下面的方格中，每个数字恰好填一次。
使得三个相邻数字的和最大的行，与三个相邻数字的和最小的行之差最大是__________。
2. 以下方程式中，求满足条件的整数解个数：x + y + z = 103. 用数字1、2、3、4、5、6、7，填到下面的方格中，每个数字恰好填一次。
使得横行、纵列和对角线上的三个数字的和都相等，填在三角形的小圆圈中的数字是__________。
4. 一个5位数，百位数为2，个位数为7，千位数是十位数的平方，求这个五位数的数值是__________。
【三、计算题】1. 有一些5元、2元、1元的纸币，若总共有15张，总额为30元，问有多少种组合方式？2. 求1到100之间所有的整数中，可以被3整除且个位数为2的数的个数。
3. 一个小组有8个同学，共有2个队长，1个体育委员和不少于3个组员，求该小组可能有多少个组员？4. 某次比赛中，小明参加了七种不同的项目，其中的男子项目有4种，小明至少参加了几个女子项目？【四、应用题】1. 在一个果园里，有梨树和苹果树各16棵。
每棵梨树每年可以结20个梨，而每棵苹果树每年可以结30个苹果。
现在准备将这些果实按“每5个梨、每9个苹果”装箱，问最多可以装几箱？（提示：使用整数除法和取余运算）2. 小华去一家商店买铅笔和橡皮，他一共买了15个，花了8元。
小学组合数学试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是组合数学中的概念？A. 排列B. 组合C. 集合D. 树2. 从5个不同的水果中取出3个，有多少种不同的组合方式？A. 10种B. 15种C. 20种D. 25种3. 下列哪个公式表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数？A. C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]B. P(n, m) = n! / [m! (n-m)!]C. nCm = n! / [m! (n-m)!]D. nPm = n! / [m! (n-m)!]4. 一个班级有10名学生，要从中选出3名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 120种B. 720种C. 120种D. 720种5. 从0到9这10个数字中，任取4个数字组成一个四位数，共有多少种不同的组合？A. 10种B. 90种C. 100种D. 256种6. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，使得每行、每列、每条对角线上都不重复，有多少种不同的填法？A. 9种B. 36种C. 72种D. 81种7. 下列哪个选项不是二项式定理的应用？A. 展开二项式 (a+b)^nB. 计算组合数C. 解决排列问题D. 解决概率问题8. 下列哪个选项不是图论中的概念？A. 节点B. 边C. 集合D. 路径9. 从6个不同的球中取出3个，有多少种不同的组合方式，不考虑顺序？A. 15种B. 20种C. 30种D. 60种10. 一个班级有8名学生，要从中选出4名学生参加比赛，有多少种不同的选法？A. 70种B. 56种C. 28种D. 14种二、填空题（每题2分，共20分）11. 从5个不同的水果中取出2个，有______种不同的组合方式。
12. 组合数 C(n, m) 表示从n个不同元素中取出m个元素的______。
13. 在一个3x3的拉丁方格中，填入1到9这9个数字，每行、每列、每条对角线上都不重复的填法共有______种。
高中数学-排列组合100题(附解答)
高中数学_排列组合100题一、填充题1. (1)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒(2)设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____________﹒2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为____________﹒ (2)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为____________﹒ (3)53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为____________﹒ 3. (1)()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为____________﹒(2)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为____________﹒4. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有___________种﹒5. {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有____________个﹒6. 从2000到3000的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有____________个﹒7. 从1至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有____________种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐请问她外出时共有____________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒（注意：外套可穿也可不穿﹒）9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =____________﹒ 10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有____________个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：(1)男女间隔而坐且夫妇相邻____________﹒(2)每对夫妇相对而坐____________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有____________种﹒13. 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有____________种不同走法﹒14. 0﹑1﹑1﹑2﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有____________种方法﹒101⎛⎫16. 有一数列n a 满足11a =且1213n n a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑____________﹒ 17. 设{}2,4,1A a =+﹐{}24,2,23B a a a =----﹐已知A B ⋂{}2,5=﹐则()()A B A B ⋃-⋂=____________﹒18. 把1～4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____________种排法﹒（例如：2314及3421均为符合要求的排列）19. 从1到1000的自然数中﹐(1)是5的倍数或7的倍数者共有____________个﹒(2)不是5的倍数也不是7的倍数者共有____________个﹒(3)是5的倍数但不是7的倍数者共有____________个﹒20. 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有____________种走法﹒21. 1到1000的正整数中﹐不能被2﹑3﹑4﹑5﹑6之一整除者有____________个﹒22. 将100元钞票换成50元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则(1)50元硬币至少要1个的换法有____________种﹒(2)不含1元硬币的换法有____________种﹒23. 求()21x -除1001x +的余式为____________﹒24. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐(1)共有____________个不同类项﹒(2)其中323x y z 的系数为____________﹒25. 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜；小美第一次猜75168﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜____________次才能猜对﹒26. 若{}|,,110000S x x x =≤≤為正整數正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=____________﹒27. 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(1)()n A B ⋂=____________﹒ (2)()n A B C ⋂⋂=____________﹒ (3)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒ (4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦____________﹒28. 1到300的自然数中﹐是2或3的倍数但非5的倍数有____________个﹒29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为____________﹒ 30.如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为____________﹒ 33. ()1001k k x =-∑展开式中5x 的系数为____________﹒34. 展开()200.990.abcd =……﹐则a b c ++=____________﹒35. 建中高二教室楼梯一层有11个阶梯﹐学生上楼时若限定每步只可跨一阶或二阶﹐则上楼的走法有____________种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为____________﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有____________种﹒38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为1单位；黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为1单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有____________种方法﹒39.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則(1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有____________种停靠方式﹒（假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层）41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为____________位数﹒（设log20.3010=）42. 4面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成____________种不同的讯号﹒43.如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒44.圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒(2)可決定____________個正方形﹒45. 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有____________种堆法﹒47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号）﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有____________种﹒48. 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有____________种方法﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有____________种﹒50. 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____________种排法﹒二、计算题1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)推测n a 之值（以n 表示）﹒(3)401k k a=∑﹒2. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？3. 试求()632x y -的展开式﹒4. 试求()421x -的展开式﹒6. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖ (1) (2) (3)7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个？8. 设()n x y +展开式中依x 降序排列的第6项为112﹐第7项为7﹐第8项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y 都是正数）9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共16颗球﹐任取四颗﹐则(1)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？(2)四球恰具两种颜色的情形有几种？10. 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法？11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集）﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3)A B - (4)B A - (5)'A (6)'B (7)()'⋃A B (8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (10)''A B ⋃﹒12. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13. 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖(1)43C ﹒ (2)44P ﹒ (3)44﹒ (4)44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖(1)(2)16. 求()70.998之近似值﹒（至小数点后第6位）17. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ (2)设n 为自然数﹐且满足12031,2311n n n nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何？19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9所组成的2位数﹐则(1)不小于60分的数有几个﹖(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖20. 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午（即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A (B)∅⊂A (C)0A ∈ (D)0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F){}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒23.設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖24. 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a （以n 表示）﹒(3)20a ﹒25. 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解？26. 用0﹑1﹑2﹑3﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (2)其总和若干﹖27. 求5678192023451617C C C C C C ++++++的值﹒28. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式？29. 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖30. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ (1) (2)32. 平面上有n 个圆﹐其中任三个圆均不共点﹐此n 个圆最多可将平面分割成n a 个区域﹐则(1)求1a ﹐2a ﹐3a ﹐4a ﹒(2)写出n a 的递归关系式﹒(3)求第n 项n a （以n 表示）﹒33. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转） (1) (2) (3)34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：(1)休旅车及跑车相间排列﹒ (2)休旅车及跑车各自排在一起﹒35. 从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取2本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？36. 将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？(1)分给甲﹐乙﹐丙3人﹐每人各得3本﹒(2)分装入3个相同的袋子﹐每袋装3本﹒(3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装5本﹐另两袋各装2本﹒37. 学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有42位同学参赛﹐其中有34位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参加的同学有15人﹒试问此班有多少位同学参加象棋比赛？38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39. 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒41. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？42. 某班举行数学测验﹐测验题分A﹐B﹐C三题﹒结果答对A题者有15人﹐答对B题者有19人﹐答对C题者有20人﹐其中A﹐B两题都答对者有10人﹐B﹐C两题都答对者有12人﹐C﹐A两题都答对者有8人﹐三题都答对者有3人﹒试问A﹐B﹐C三题中至少答对一题者有多少人？43. 在1到600的正整数中﹐是4﹐5和6中某一个数的倍数者共有几个？44.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形：a是第n圖需用到的白色地磚塊數﹒設n(1)寫下數列n a的遞迴關係式﹒a﹒(2)求一般項n(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45. 欲将8位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒(1)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？(2)若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排1人﹐共有几种分法？46. 求满足12320003000n n n n n C C C C <++++<的正整数n ﹒47. (1)方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(2)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等5种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲安排呢﹖一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)1-;(2)22. (1)112;(2)0;(3)403. (1)4480;(2)90-4. 485. 36. 4687. 568. 609. 9903 10. 44 11.(1)48;(2)384 12. 228 13. 6 14. 90 15. 12- 16. 6 17. {}4,4- 18. 8 19. (1)314;(2)686;(3)172 20. 35 21. 266 22. (1)37;(2)18 23. 10098x - 24. (1)45;(2)560 25. 9 26. 84 27. (1)555;(2)277;(3)1111;(4)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30. 780 31. (1)26;(2)120 32. 20349 33. 462- 34. 16 35. 144 36. 12n n -⋅ 37. 192 38. 2139. (1)27;(2)81 40. 63 41. 8 42. 64 43. (1)56;(2)20 44. (1)369;(2)76 45. 129 46. 3756 47. 8640 48. 80 49. 54 50. 240二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. (1)2112a =﹐37a =﹐4172a =﹐510a =;(2)3522n +;(3)1330 2. 600 3. 见解析 4. 见解析 5. 18 6. (1)48;(2)48;(3)96 7. 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = 9. (1)3;(2)18 10. 28 11. 见解析 12. 1219,190a a =-= 13. (2) 14. (1)32;(2)64 15. 27 16. 0.986084 17. 101,4949,a b ==1c =- 18. (1)见解析;(2)4 19. (1)28;(2)14;(3)5720. 52 21. 101,4949,a b ==156550c = 22. (A)(B)(C)(E)(F)(G) 23. 76 24. (1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =;(2)248n n -+;(3)328 25. 66 26. (1)63;(2)25299 27. 5980 28. 45 29. 13 30. (1)72;(2)864 31. (1)420;(2)3660 32. (1)12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =;(2)12n n a a n +=+⨯;(3)22n n -+ 33. (1)260;(2)3380;(3)43940 34. (1)72;(2)72 35. 1800036. (1)1680;(2)280;(3)378 37. 23 38. 6 39. 9 40. 20 41. 8 42. 27 43. 280 44. (1)15,2n n a a n -=+≥;(2)53n +;(3)478 45. (1)2520;(2)1120 46. 11 47. (1)55;(2)28 48. 18 49. 720 50. 625一、填充题 (65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2)()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rr r r r r r C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C -=﹒(2)设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rr r r r r r C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 710333r r ⇒-=⇒=（不合）﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rr r r r r r C x C x x x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭ 15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒(2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒ 4. 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒[另解]34!2484⨯=﹒ 5. {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共3个﹒6. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ 2000~3000中15的倍数有30002000671515⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐ ∴所求为33420167468+-=﹒ 7. 83563!P =﹒ 8. ()542160⨯⨯+=﹒9. ∵12n n a a n +=+﹐∴2121a a =+⨯3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐ ∴210010010039903a =-+=﹒10. ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ 11. (1)5!2485⨯=﹒ (2)A a B b C c D d E e1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒[另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部－（恰有一空箱）－（恰有二空箱）()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯13. 3216⨯⨯=﹒14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=﹒ 15. 展开后各实数项和为24681086421010101010024681111122222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭100101012C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ [另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒122=-+﹐ ∴实数项和为12-﹒ 16. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ -()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 而11a =﹐2125133a a =+=﹐2123a a -=﹐ 表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐ ()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐ ∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒18. 1234 32142341 4321共8种﹒19. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒(2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒ (3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒ 20. 7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐故本题即求1到1000正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设1到1000之正整数中﹐可被2﹑3﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂ 5003332001661006633734=++---+=﹐故所求为()()'''10001000734266n A B C n A B C ⋂⋂=-⋃⋃=-=（个）﹒22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐共119753136+++++=种﹒ ②二个50⇒1种﹒10220x y z ⇒++=﹐共116118++=种﹒23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒ (2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐1不在百位﹐6不在十位﹐8不在个位的方法﹐ 14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐ 令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐ 则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T ∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (2)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ (3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦5558332771111=+-=﹒(4)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂5558332771111=+-=﹒28.()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒101022⎡⎤()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦ 故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒ 30.①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E⨯⨯⨯⨯= ②B ﹑D 異﹐ 54333540,A B D C E⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒31.(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有26種﹒(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ 所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数 ∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒ 33. ()()()()1001201111k k x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +- ()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐ 展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐∴所求为()61161462C --=-﹒34. ()()20200.9910.01=⎡+-⎤⎣⎦∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 37.()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A aBb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ 39. (1)33311127C C C =﹒ (2)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒40. 62163-=41. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐ ②选二面4312⇒⨯=﹐ ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐ ④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. (1)8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ 3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()5630241820=-+-=﹒44. (1)含中空:3342111172,C C C C ⨯⨯⨯= 左 上 右 下不含中空:37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 631081263691836297=+++----= ∴所求为72297369.+=(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐ 不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 45. ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換③用三色:红+白+黄=7 1 1 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒46. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ 47. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒48. ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ 49. aa 不相邻且llll不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时：3!6=种﹐再安插4个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒ ↑ l②aa 不排在一起时：p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐再安排4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ 由 可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒ [另解]llll 不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒ 50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题0分 共0分)1. ∵132n n a a +=+﹐∴132n n a a +-=﹐ 表示n a 为首项4﹐公差32的等差数列﹐(1)2133114222a a =+=+=﹐ 3231137222a a =+=+=﹐ 4333177222a a =+=+=﹐ 54317310222a a =+=+=﹒ (2)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (3)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2. 从8名教师中选出4名教师去4个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形： (1)若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒ (2)若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从8名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出4名教师后﹐分别安排到4个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ 因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3. ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+4. ()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SENSE 的5个字母中取3种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形：(1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐ 因此排法有333!6C ⨯=种﹒(2)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. (1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种（两个方向）﹐故所求为323!⨯48=种﹒ (2)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 7286xn y ⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐∴14,,82x y n ===（取正值）﹒9. (1)红+白=41 1 剩223223H C ⇒==﹒[另解] 红 白1322313.⇒共種(2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用8步走完10级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=（种）﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒ (9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒12. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐ ∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=13. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒故选(2)﹒ 14. (1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ ②先往左42232⨯=﹐ 共有323264+=﹒ 15.如图﹐共有27种方法﹒16. ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()10111c =-=-﹐∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C == ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18. (1)∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ (2)承(1)知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ ↓ 6﹑7﹑8﹑9(2)45﹑48﹑54﹑57﹑60﹑66﹑69﹑75﹑78﹑84﹑87﹑90﹑96﹑99﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 20.上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒21. ()()()()1011012211x xx x+-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐∴x 项的系数1011101,a C == 2x 项的系数10121014949,b C =-=3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒ 24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐ ()43233538a a =+⨯-=+=﹐ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒(3)20a =2204208328-⨯+=﹒25. x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====（组）﹒→有363⨯⨯个→有123⨯⨯个→有113⨯⨯个∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于230的三位数奇数﹒(2)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为1﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有 ()331312⨯+⨯=个﹐故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑4﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27. 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111nn n m m m C C C ---=+﹐得原式()66781920234516175C C C C C C =++++++-778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C C C C =++++-21175C =- 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ 根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====（组）﹐故共有45种不同的购买方式﹒29. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕(1)当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒ ②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ 因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒ 30.(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B31. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ 5433180⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→ 54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C E G →→→→→→ 5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色；D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有720种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32.(1)12a = 24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ (3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1222n n a a n --=+⨯- ()1)21n n a a n -+=+⨯-()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒ 33. (1)①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D ⨯⨯⨯=②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(2)由(1)可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ (3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34.(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩種情形﹐如圖所示：3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒35. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=（种）﹐将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=（种）﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=（種）﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=（種）﹒37.設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38. 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得 ()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒ 由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ 又B 部分的展开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐故全部展开式中2x 的系数为6﹒39. 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得 ()()()()()()()()()()332100123232323232012322222A B x x C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+展开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式为()()()()320132320122C x x C x x -+- ()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+故4x 的系数为9﹒40. 将240作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒因为240的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒41. 依题意图示如下：其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ 因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类：(1)先电车再公交车：利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒(2)先公交车再电车：利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒42. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒故三题中至少答对一题者有27人﹒43.設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂()n A B C +⋂⋂﹐得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增加1个黑色地砖与5个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒(3)拼第95图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒45. (1)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆2人﹐再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ (2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将3人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒ 46. 因为01232n n n n nn n C C C C C +++++=﹐所以1230221n n n nn n n n C C C C C ++++=-=-﹒即原式可改写为2000213000n <-<﹐即200123001n <<﹐得11n =﹒47. (1)3119911!559!2!H C ===组﹒ (2)338936628H H C -===组﹒48. 因为去程有3个交通工具可以选择﹐住宿则有2个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒49. 10310!1098720 7!P==⨯⨯=种选法﹒50. 由题意知每个周末都有5种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。
高中试卷-6.2.2 组合及组合数(精练)(含答案)
6.2.2 组合及组合数（精练）【题组一 组合的概念】1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2.给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】见解析【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．【题组二 组合数】1．（2020·山东菏泽·高二期末）已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=（ ）A ．1B ．m C ．1m +D ．0【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D 2．（2020·山东莱州一中高二期末）下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn nA A n m+=-【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C,!m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.3．444444456789C C C C C C +++++=（ ）．A ．410C B ．510C C ．610C D ．410A 【答案】B【解析】因为111C C C mm m n nn ++++=，所以44444454444454444567895567896678C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=+++++=+++45444544545977898899910C C C C C C C C C C C +=+++=++=+=．故选：B4．（2020·广东佛山·高二期末）若3221364n n n A A C +-=，则n =（ ）A ．5B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵3221364n n n A A C +-=，∴()()()()13126142n n n n n n n +----=⨯，即()()()3126122n n n n ----=+，求得5n =，或23n =（舍去），故选：A.5．（多选）（2020·江苏连云港·高二期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ．11A A m m n n m --=D ．11A A A mm m n nn m -++=【答案】ABD【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式!()!!m n n C n m m =-，可知A ，B 选项正确；!()!m n n A n m =-，而()111!()!m n m n mA n m ---=-，故C 选项错误；()()111!1!!!!()!(1)!(1)!(1)!(1)!m m mnnn n m n n n m n m n A mAA n m n m n m n m n m -+-+×+××+=+=+==--+-+-++-，故D 选项正确；故选：ABD .6．（2020·苏州市第四中学校高二期中）计算()2973100100101CC A +¸的值为__________．（用数字作答）【答案】16【解析】由组合数的基本性质可得()()297323333100100101100100101101101101!98!13!98!101!6C C A C C A C A +¸=+¸=¸=⨯=⨯.故答案为：16.7．求值：（1）333364530C C C C +++×××+；（2）12330303030302330C C C C +++×××+.【答案】（1）31464；（2）29302×.【解析】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++×××+=++++×××+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++×××+=+++×××+29302=×【题组三 组合应用 】1．（2020·北京高二期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．36种B ．40种C ．44种D ．48种【答案】B【解析】根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种.故选：B .2．（2020·北京朝阳·高二期末）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（ ）A ．12B ．18C ．35D ．36【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B3．（2020·新疆乌鲁木齐市第70中高二期中（理））已知集合{1,2,3,4,5}A =，则集合A 各子集中元素之和为（ ）A ．320B ．240C ．160D ．8【答案】B【解析】当集合A 的子集为空集时，各元素之和为0；当集合A 的子集含有1个元素时，共有155C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；当集合A 的子集含有2个元素时，共有2510C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有3个元素时，共有3510C =个集合，1、2、3、4、5各出现6次；当集合A 的子集含有4个元素时，共有455C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有5个元素时，共有551C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；所以集合A 各子集中，1、2、3、4、5各出现了1464116++++=次，所以集合A 各子集中元素之和为()1234516240++++⨯=.故选：B.4．（2020·湖北高二月考）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M 、N 两社区需要招募义务宣传员，现有A 、B 、C 、D 、E 、F 六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M 、N 两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且B 由于工作原因只能派往M 社区，则不同的选派方案种数为（ ）A ．120B ．90C ．60D ．30【答案】C【解析】由于B 只能派往M 社区，所以分组时不用考虑B .按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有2510C=种，第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有133C=种，再分别派往两个社区的不同选派种数：103260⨯⨯=种，故选：C。
组合数学测试题含答案
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生,则下列说法正确的是A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车,其中A,B 两人之间恰好有4人,则不同的排列方法是A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩,其中领导不能相邻,则站位方法总数为A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组,每组5人,共有多少种方法A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ,则这样的有序数对()y x ,共有个6. 仅由数字1,2,3组成的七位数中,相邻数字均不相同的七位数的个数是7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为8. 设n 为正整数,则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数,则()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是A.n 2B. n2- C. ()n 2- 10. 设n 为正整数,则当2≥n 时,∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是12. 在1和610之间只由数字1,2或3构成的整数个数为 A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有个14. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ,则()=10f15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ,则当2≥n 时,=n a A.2123--+n n a a B. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为 A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=nn n a C. ()122+⨯+=n n n a D. ()nn n a 23⨯+= 18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a nn ,则数列{}0≥n n a 的常生成函数是 A.x 215- B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x - 19. 把15个相同的足球分给4个人,使得每人至少分得3个足球,不同的分法共有种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为21. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为22. 设n,k 都是正整数,以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数,则()116P 的值是23. 设A,B,C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n,则B 的值是24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是25. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E521⋅-=,则该数列的通项公式是 A.n n n n a 567++= B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. nn n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘,每个方格涂一种颜色,则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2,则其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间,每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项;7. ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=k n k kn k 201=_____________________8. 求由2个0,3个1和3个2作成的八位数的个数______________9.含3个变元x, y, z 的一个对称多项式包含9个项,其中4项包含x,2项包含xyz ,1项是常数项,则包含xy 的项数为____________10．已知()n f 是n 的3次多项式且()10=f ,()11=f ,()32=f ,()193=f ,则()=n f ____________g,表示把n元集划分成k个元素个数均不小于2的子集的不同方法数, 则11. 已()k n()2,n g=___________12.部分数为3且没有等于k的部分的n-分拆数________________13. 把24颗糖分成5堆,每堆至少有3颗糖,则有___________种分法三、计算题1．在1000至9999之间有多少个数字不同的奇数2、以3种不同的长度,8种不同的颜色和4种不同的直径生产粉笔,试问总共有多少种不同种类的粉笔3、至多使用4位数字可以写成多少个2进制数2进制数只能用符号0或14、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母组成的不同字母且长度为4的字符串有多少个如果允许字母重复出现,则由L中字母组成的长度为3的字符串有多少个5、从{1,2,3……9}中选取不同的数字且使5和6不相邻的7位数有多少6、已知平面上任3点不共线的25个点,它们能确定多少条直线能确定多少个三角形7、计算数字为1,2,3,4,5且满足以下两个性质的4位数的个数： a数字全不相同； b数为偶数8、正整数7715785有多少个不同的正因子1除外9、50中有多少个0在结尾处10、比5400大并且只有下列性质的数有多少 a数字全不相同； b不出现数字2和711. 将m=3761写成阶乘和的形式;12. 根据序数生成的排列p=3214,其序号是多少13. 如果用序数法对5个文字排列编号,则序号为117的排列是多少14. 设中介数序列为120,向它所对应的4个文字的全排列是什么15. 按字典序给出所有3个文字的全排列;16. 按递归生成算法,依次写出所有的4个文字的全排列;17. 根据邻位互换生成算法,4个文字的排列4231的下一个排列是什不同的方案18. 有5件不同的工作任务,由4个人去完成它们,每件工作只能由一个人完成,问有多少种方式完成所有这5件工作19. 有纪念章4枚,纪念册6本,分送给十位同学,问有多少种分法如限制每人得一件物品,则又有多少种分法20．写出按次序产生的所有从1,2,3,4,5,6中任取2个的组合;21．给定一个n 边形,能画出多少个三角形使得三角形的顶点为n 边形的顶点,三角形的边为n 边形的对角线不是边22．试问x+y+z 的6次方中有多少不同的项23. 如果没有两个相邻的数在同一个集合里,由{1,2,…20}中的数可形成3个数的集合有多少24. 试列出重集{2·a,1·b,3·c}的所有3组合和4组合;25. 设{Fn}为fibonna 序列,求出使Fn = n 的所有的n;26. 试求从1到1000中,不能被4,5或6整除的个数27. 计算12+22+……+n228. 设某地的街道把城市分割成矩形方格,每个方格叫它块,某甲从家里出发上班,向东要走过7块,向北要走过5块,问某甲上班的路经有多少条29.设n=4,试求能除尽数n 的正整数的数目;30.求1+x 4+x 810 中x 20项的系数;31.试给出3个文字的对称群S 3中的所有元素,并说出各个元素的格式;32.有一BIBD,已知b=14,k=3,λ=2,求v 和r;33.将39写成∑a i i0≤a i ≤i 的形式;34.8个人围坐一圈,问有多少种不同的坐法35.求()()()()10,10103,1032,1021,10C C C C +⋯⋯+++36.试给出两个正交的7阶拉丁方;37.在3n+1个球中,有n 个相同,求从这3n+1个球中选取n 个的方案数;38.用红、黄两种颜色为一个等边三角形的三个顶点着色,问有多少种实质不同的着色方案39.在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中,求y 居x 和z 中间的排列数;40.求1040和2030的公因数数目;41.求1到1000中不被5和7整除,但被3整除的数的数目;42.求4444321n +⋯⋯+++的和;43.用母函数法求递推关系08621=+---n n n a a a 的解,已知a 0=0,a 1=1;44.试求由a,b,c 这3个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目; 45.26个英文小写字母进行排列,要求x 和y 之间有5个字母的排列数;46.8个盒子排成一列,5个有标志的球放到盒子里,每个盒子最多放一个球,要求空盒不相邻,问有多少种排列方案47.有红、黄、蓝、白球各两个,绿、紫、黑球各3个,从中取出6个球,试问有多少种不同的取法;48.用b 、r 、g 这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环,共有几种不同的方案49.n 个完全一样的球放到rn ≥r 个有标志的盒中,无一空盒,试问有多少种方案50.51.假设某个凸n 边形的任意三条对角线不共点,试求这凸n 边形的对角线交于多少个点52.求()()21432321+++⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n 从k 个不同文字中取n 个文字作允许重复的排列,但不允许一个文字连续出现3次,求这样的排列的数目;53.求下图中从A 点出发到n 点的路径数;54.n 条直线将平面分成多少个区域 假设无三线共点,且两两相交;55.四位十进制数a b c d,试求满足a+b+c+d=31的数的数目;56.两名教师分别对6名学生面试,每位教师各负责一门课,每名学生面试时间固定,6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课,两门课的面试分别在901和902两个教室进行;试问共有多少种面试的顺序;57. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色,试问有多少种不同的方案 旋转或翻转使之重合的视为相同的方案;58. 生成矩阵试求相应的校验矩阵H;59.由m 个0,n 个1组成的n+m 位符号串,其中n ≤m+1,试求不存在两个1相邻的符号串的数目;60.n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下,问两个女人之间坐一个男人的方案数,又m个女人n 个男人,且m<n,沿一圆桌坐下求无两个女人并坐的方案数;61.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目;62.求满足下列条件：40321=++x x x ,2510,205,156321≤≤≤≤≤≤x x x 的整数解数目;63.求不超过120的素数的数目;64.试说明A 4群中各置换的不同格式及其个数;65.已知生矩阵求下列信息的码字（a ） 1110 b 1000 c 0001 d 110166.有n 个不同的整数,从中取出两组来,要求第1组的最小数大于另一组的最大数,有多少种取法67.设某组织有26名成员,要选一名主席,一名会计,一名秘书,且规定一人不得担任一个以上职务,问有多少种选法68.从整数1,2,…,100中选取两个数;1使得它们的差等于7；2使得它们的差小于或等于7,各有多少种选取方式69.有n 个相同的红球和m 个相同的白球；那么这m+n 个球有多少种不同的排列方式70.一个工厂里已装配了30辆汽车,可供选择的设备是收音机、空调和白圈轮胎;这30辆汽车中,15辆有收音机,8辆有空调,6辆是白圈轮胎,而这三种设备都具有的汽车有3辆,试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆71.数1,2,…,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置上的错排数目;72.在等于300的自然数中：1有多少个不能被3,5和7整除的数2有多少个能被3整除,但不能被5和7整除的数73.求下列数值函数的生成函数：1r r c a =r=0,1,2,…,其中C 为实数;2 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r q a r r 1,r=0,1,2,…,其中a 为正整数;74.求下列生成函数的数值函数：其中()()2265x x x x A +-=75.用生成函数求下式之和： ()()().2121n n n n n ++•+• 76.一个人上楼梯,可以一步上一个台阶,也可以一步上两个台阶,令n a 表示有n个台阶时的上楼方式数,写出n a 的递推关系,并求解之;77.利用特征方程法解递推关系：78.求下列递推关系的特解 n n n n a a a 22321=+---求小于10000的含1的正整数的个数 2求小于10000的含0的正整数的个数;80．在100名选手之间进行淘汰赛即一场的比赛结果,失败者退出比赛,最后产生一名冠军,问要举行几场比赛81. 计算1,n 的无重不相邻组合()r n C ,的计数问题82. 某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开;现有７人,每人持若干钥匙;须４人到场,所备钥匙才能开锁;问①至少有多少把不同的钥匙 ②每人至少持几把钥匙83. 凸10边形的任意三个对角线不共点,试求这凸10边形的对角线交于多少点又把所有对角线分割成多少段84.在5个0,4个1组成的字符串中,出现01或10的总次数为4的,有多少个85. 整数n 拆分成1,2,3,…,m 的和,并允许重复,求其母函数;86.某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每人在会上各相遇12次, 每二人各相遇6次,每三人各相遇3次,每五人各相遇2次,每六人各相遇1次,1人也没有遇见的有5次,问某甲共参加了几次会议87. 给出下列等式的组合意义：a ()m k n k l n l m k n m n l ml ≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑=,10b ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋯⋯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+l m l m m l m m l m m l m m l m l 12111 88.将正整数10写成3个非负整数321,,n n n 的和,要求6,4,3321≤≤≤n n n ,有多少种不同的写法89.89. 计算母函数()()()23121x x x x G +++=的头6项; 90. 红、白、黑三色球各8个,现从中取出9个,要求3种颜色的球都有,问有多少种不同取法91. 求序列()()()()()n n c n c n c n c n,1,,2,,1,,0,-⋯⋯-的母函数; 92. 解递归关系2,0,0102===+-a a a a n n93.求下列表达式中求出50a 的值94.设r a 是掷两个骰子时和为r 的方式数,其中第一个骰子的点数为偶数,第二个骰子的点数为奇数,求序列{}⋯⋯210,,a a a 的母函数;95. 有多少棵有n 个顶点的二叉数96．求下式之和97．展开多项式()4321x x x ++ 98.六个引擎分列两排,要求引擎的点火的次序两排交错开来,试求从一特定引擎开始点火有多少种方案;99.试求n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案100. 写出全部部分数最小的19-完备分拆101. 已知()()nn n f -+=2,求()n f k ∆ 102. 求方程1742321=++x x x 的非负整数解的个数;四、证明题 1.证明：{1,2,…,n}的全排列的最大逆序数是nn-1/2;试确定具有nn-1/2个逆序的唯一排列;2.证()()()1,1,1++=-r n c r r n nc ．并给出组合意义.个完全一样的球,放到r 个有标志的盒子,n ≥r,要求无一空盒,试证其方案数为()1,1--r n c .4. 试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数．5. 试证明：()()()()1,1,,1,0++=+⋯⋯++m n c m n c m c m c6. 证明：Cn,02+Cn,12+…+Cn,n 2 = C2n,n7. 证明：若121==F F , 21--+=n n n F F F n>2,则其中α=1+√5/2,β=1-√5/28. N 个代表参加会议,试证其中至少有两个人各自的朋友数相等;9. 证明：()()6/12121222++=+++n n n n10.证明：()n n 2/!2是整数;11.证明：在边长为1的等边三角形内任取5点,试证至少有两点的距离小于1/2;12.证明： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+110111n n n n n F F F F 其中n F 定义为：121==F F ,21--+=n n n F F F13.任取11个整数,求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数;14.在边长为1的正方形内任取5点,试证其中至少有两点,2;15.若H 是群G 的子群,试证：|xH|=K, 其中K ＝|H|,x ∈G;16.二维空间的点x,y 的坐标x 和y 都是整数的点称为格点;任意5个格点的集合A,试证A 中至少存在两个点,它们的中点也是格点;17.证明：在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有3n +1/2个;18.试证任意r 个相邻的正整数的连乘积n+1n+2…n+r 必被r 除尽;19.证明：()()()()()()()n m c n m c n m c n m c m c n m c m c n ,20,,1,11,,0,=-+⋯⋯+--+20.证明()()()12,2,21,-=+⋯⋯++n n n n nc n c n c21. 任取5个整数,试求其中必存在3个数,其和能被3整除;22. 若H 是群G 的子群,x 和y 是G 的元素;试证xH ∩yH 或为空集,或xH=yH.23. 令S={1,2,…,n+1},n ≥2,(){}z y z x S z y x T <<∈=,,,,试证：()()3,122,1......21222+++=+++=n C n C n T ;24. 证明：任何K 个相继的正整数之积,必是r 的倍数,其中r=1,2,…,K;25. 求证：()221++n n =()()()n n n n n n 212212-+++;26. 使用二项式定理证明()k n k nk n 20=∑=,试推广到任意实数r,求()k n k nk r 0=∑; 27. 证明C B A C B C A B A C B A C B A +---++=28. 证明任何k 个相继正整数中,有一个必能被k 整除;29. 证明在小于或等于2n 的任意n+1个不同的正整数中,必有两个是互等的;30. 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…; 31. 对于给定的正整数n,证明当 时,()k n C ,是最大值;32. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有个；33. 设有三个7位的二进制数：7654321a a a a a a a ,7654321b b b b b b b ,7654321c c c c c c c ;试证存在整数i 和j,71≤≤≤j i ,使得下列之一必定成立,j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,,;34.证明：在n 阶幻方中将每个数码a 换成a n -+12,所得的阵列仍是一个n阶幻方;注：所谓幻方是指一个n n ⨯方阵,其中的元素分别是22,1n ⋯⋯,且每列的元素和均相等35.证明：把有n 个元素的集合s 划分为k 个有序集合的个数等于n k36.试证明：()()()1,,111/10<-+-=+∑∞=x x k k n c x k kk n37.证明：如果在边长为1的等边三角形内任取10个点,则必有2个点,它们的距离不大于1/3;测 试 题 答 案——组合数学一、选择题二、填空题1. 2676. 2107. 08. 4209. 210. 135223++-n n n11. 121---n n 12. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21232k n n 13. 23三、计算题1、 在1000至9999之间的数都是4位数;我们可以先选个位,再选千位,百位和十位;因为我们要的数是奇数,所以个位数字可以是1,3,5,7,9中的任何一个,即有5种选择;选定个位数之后,十位就只有8种选择了;百位也只有8种选择,而十位则只有7种选择,因此应用乘法原则,问题的答案是5×8×8×7=2240种;2、 在这个问题中,我们要计算的是组合数,因为粉笔的特性与上面三种数的顺序无关,利用乘法法则可知共有3×8×4=96种不同种类的粉笔;3、 因为2进制数必须考虑其数字的次序,故要计算的是排列问题;有4种选择要做,并且每种都可以独立地选择0或1,于是有2×2×2×2=24=16种至多4位数字的2进制数,它们分别是{0,1,10,11,100,101,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111}4、 从5个字母中选取4个组成的字符串共有p5,4=5×4×3×2=120种;如果允许字母重复出现,则长度为3的字符串共有5×5×5=125种;5、 可以这样考虑：在9个数字中不重复地选取7个作排列共有()7,9P 种,其中出现5和6相邻的排列数共有()5,762P ⨯⨯种,因为出现5和6相邻的排列可看成是从1,2,3,4,7,8,9七个数中选5个排列后,将56或65插入到这5个数的6个间隔位置上数前、数后及两个数字之间的间隔共6个位置,所以包含相邻的5和6的7位数共有()5,762P ⨯⨯,于是所求数的个数为()()1512005,7627,9=⨯⨯-P P ;6、 因为任3点均不共线,所以25个点中每两个点组成一条直线,每3个点了构成一个三角形,所以共有()3002,25=C 条直线和()23003,25=C 个三角形;7、 因为所求的数为偶数,所以个位只有2种选择：2或4;因为4位数字全不相同,所以乘余3位数只能是1,2,3,4,5中去掉用于个位数的数字之后的4个数字的3排列,可是共有2×P4,3=24个这样的数;8、 因为117537715785324⨯⨯⨯=,所以共有()()()()119111131214=-++++个不同的正因子 9、因为在1到50中共有10个数含有因子5而这10个数中又有2个包含有因子25;因此50中含有10+2=12个5因子,显然50中至少含有12个因子2,因为在1到50这50个数中有25个是偶数所以50中含有12个因子10,即50在结尾处有12个0;10、符合条件的数可分成以下几类：18位数：共有7×P7,7=35280个27位数：共有7×P7,6=35280个36位数：共有7×P7,5=17640个45位数：共有7×P7,4=5880个54位数：8位数>5的有3×P7,3=630个8位数=5,百位数>4的有4×P6,2=120个 8位数=5,百位数=4的有P6,2=30个所以符合条件的数共有94860个11. 3761 =5·6+5+4+2·3+2+112. 因为和p=3214对应的中介数是021,所以p 的序号为m=0·3+2·2+1=5,即p 是第5个排列13. 因为117=4·4+3·3+2+1,则中介数为4311,所以序号为117的5个文字的全排列为54231;14. 因为a1=0,所以2在1的右边,a2=2,所以3在1和2的左边,a3=1,所以4在2的前面且在3和1的后面,因此所对应的排列为3142;15. 123,132,213,231,312,32116. 1234 1243 1423 4123 1324 1342 1432 4132 3124 3142 3412 4312 2134 2143 2413 4213 2314 2341 2431 4231 3214 3241 3421 432117. 排列4231的下一个排列是4213;18. 因为5件工作中的每一件工作都可由4个人中的任一人完成,因此每件工作有4种分配方法,所以总共有4×4×4×4×4=1024种完成任务的方案;19. 因为没有限制一个同学可得纪念章和纪念册的个数,所以将4枚纪念章分给十个同学的方法有C10+4-1,4=C13,4,将6本纪念册分给十个同学的方法有C10+6-1,6=C15,6,所以若有C13,4、C15,6种方案;20. 如果限制每人得1件物品,则共有10/4612,13,14,15,16,23,24,25, 26,34,35,36,45,46,5621. 因为n边形的每个顶点有n-3条对角线,要使另一边也是对角线,则选中的两条对角线不能相邻,于是相当于在n-4条对角线中选2条对角线作三角形的两边,另一条边即为此二对角线顶点的连线;所以共有Cn-4,2个这样的三角形,有n个顶点,共有n·cn-4,2个三角形;但这里有重复,因为每一个满足条件的三角形在三个顶点处重复了3次,所以真正不同的三角形只有n·cn-4,2/3.例如,6边形中可以找出6·c2,2/3=2个这样的三角形;22. 共有C3+6-1,6=C8,6=C8,2=28项;23. 因为可以在{1,2,…,18}中任取3个的组合同在{1,2,…,20}中任取3个没有相邻的数组成的集合之间建立起一一对应关系,所以答案是C18,3=81624.{c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b},共6个3组合,{a,c ,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5个4组合;25. F1 = 1, F 5 = 526. 因为能被4整除的有10000/4=2500,能被5整除的有1000/5=2000,能被6整除的有10000/6=1666,能同时被4,5整除的有10000/20=500,能同时被4,6整除的有10000/24=416,能同时被5,6整除的有10000/30=333,能同时被4,5,6整除的有10000/120=83,所以符合要求的有10000-2500+2000+1666+500+416+333-83=5000个27. 因为k2=2Ck,2+Ck,1=2×kk－1/2+k= k2所以12+22+……+n2=2C1,2+C2,2+……+Cn,2+C1,1+C2,1+……+Cn,1=2×Cn+1,3+Cn+1,2=2×n+1nn－1/3×2+n+1n/2=nn+12n+1/628. N=C7+5,7=C7+5,5=C12,5=792一般情况 N=Cm+n,n29. N=1+51+21+31+4=36030.令x4=y, 则x8=y2, x20=y5,于是1+y+y210中y5项的系数N即为1+x4+x810中x20项的系数,而y5=yy·y·y·y=y·y·y·y2=y·y2·y2,于是N=C10,5+c10,3c7,1+c10,1 ·c9,2=132631 S3={123,23,12,13,123,132}123的格式是1323,12,13的格式是1122123,132的格式是3132 因为bk=vr , rk-1=λv-1,已知 b=14,k=3,λ=2所以 14×3=vr 即时 vr=42 求得 v=7 r3-1=2v-1 2r=2v-1 r=6 33. 39=4+23+2+1=24+12+2+134. N=7=504035. 因为Cn,1+2Cn,2+…+nCn,n=n2n-1所以C10,1+2C10,2+…+10C10,10=10210-1=512036. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543217543217643217653217654217654317654327654321和⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432176321765417654326543217432176521765437654321 37. N=C2n+1,0+C2n+1,1+…+C2n+1,2+…+C2n+1,n=2C2n+1,0+C2n+1,1+…+C2n+1,n/2=C2n+1,0+C2n+1,2n+1+C2n+1,1+C2n+1,2n+… +C2n+1,n+C2n+1,n+1/2=22n+1/2=22n =4n 38. N=23+221+322/6=439. 解：N=27=1008040. 解：∵M=gcd1040,2030=240530,∴N=40+130+1=127141. 解：N=int1000/3-int1000/15-int1000/21+int1000/105=333-66-47+9=22942. 解： ∵ △S n =S n+1-S n =n+14∴可设S n =ACn,0+BCn,1+CCn,2+DCn,3+ECn,4+FCn,5,于是可知：A=0 解得： A=0A+B=1 B=1A+2B+C=17 c=15A+3B+3C+D=98 D=50A+4B+6C+4D+E=354 E=60A+5B+10C+10D+5E+F=979 F=24所以 S n =Cn,1+15Cn,2+50Cn,3+60Cn,4+24Cn,5=nn+12n+13n 2+3n-1/3043．解：特征函数为x 2-6x+8=0,x 1=2,x 2=4,所以可设a n =A2n +B4n ,于是 a 0=0=A+B 解得 A=-1/2a 1=1=2A+4B B=1/2即a n =4n -2n /244．解：设a n 为n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的个数,则a n =2a n-1+2a n-2,即 a n －2a n-1－2a n-2＝０,a 1=3,a 2=8,由此知 a 0=1;特征方程为x 2-2x-2=0, x 1=1+√3 , x 2=1-√3 ,可设a n =A1+√3n +B1-√3n ,于是有 a 0 = 1 =Ａ＋Ｂa 1 = 3 = 1+√3A+ 1-√3B解此方程组得 Ａ=３＋2√3/6B=３-2√3/6a n=３＋2√31+√3n+３-2√31-√3n/645．解：M=220 5 C24,5=402446.解：如图_0_0_0_0_0_ ,3个空盒可插在两个球之间,共有C6,3=20种方案,5个有标志的球共有5种排序,所以总计有M=205=2400种排列方案;47.解：母函数为Gx= 1+x+x241+x+x2+x33,其中x6的系数为M=110+412+1012+1610+196+163+101=510,因为Gx= 1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8×48. 解：运动群G={12345,1 2 3 4 5,1 3 5 2 4,1 4 2 5 3, 1 5 4 3 2 , 12534, 21345, 32415, 43512, 51423}={ p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10}c p1=5, cp2=cp3= cp4=cp5=1, cp6=cp7= cp8= cp9= cp10=3, m=3,|G|=10,据Plya定理,M=1/|G|m cp1+ m cp2+ m cp3+;;;+ m cp10=1/1035+431+533=1/10243+12+45=30;49．Ｃｎ－１,ｒ－１将ｎ个球排成一行,两球之间有一间隔,共有ｎ－１个间隔;在此ｎ－１个间隔中任取ｒ－１个,将ｎ个球分成ｒ段,将第ｉ段的球其中至少有１球放入第ｉ个盒子,所以共有Ｃｎ－１,ｒ－１种方案;50.Ｃｎ,４凸ｎ边形有ｎ个顶点,任取其中４个顶点可以组成一个凸４边形,该４边形的两条对角线有一个交点,所以凸ｎ边形的对角线交于Ｃｎ,４个交点根据假设,没有３条对角线相交于一点;51.Ｓｎ＝ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３／４Ｓｎ＝１·２·３＋２·３·４＋．．．＋ｎｎ＋１ｎ＋２＝３１·２·３／３＋２·３·４／３＋．．．＋ｎｎ＋１ｎ＋２／３＝３Ｃ３,３＋Ｃ４,３＋．．．＋Ｃｎ＋２,３＝３Ｃ３,０＋Ｃ４,１＋．．．＋Ｃｎ＋２,ｎ－１＝３Ｃｎ＋３,ｎ－１＝３Ｃｎ＋３,４＝ｎｎ＋１ｎ＋２ｎ＋３／４52.ａｎ＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ＋ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ假设从ｋｋ＞１个不同文字取出ｎ个可以重复作排列,但不允许一个文字连续出现３次的排列所组成的集合为Ａｎ,则所求排列数ａｎ＝｜Ａｎ｜;将Ａｎ中的字符串按最后一个文字可以分成两类：一类是最后一个文字同其前一个文字不相同的那些字符串,共有ｋ－１ａｎ－１个最后一位有ｋ－１种选择,而前ｎ－１位是没有一个文字连续出现３次的字符串,另一类是最后两个文字相同,但与倒数第３个文字不相同的字符串,共有ｋ－１ａｎ－２个,所以有递推关系ａｎ＝ｋ－１ａｎ－１＋ｋ－１ａｎ－２而ａ１＝ｋ,ａ２＝ｋ２,ａ３＝ｋ３－ｋ＝ｋｋ－１ｋ＋１递推关系的特征方程为ｘ２－ｋ－１ｘ－ｋ－１＝０其根为：α１＝ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２α２＝ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２于是知ａｎ＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ由于ａ１＝ｋ,ａ２＝ｋ２,由递推关系知ａ０＝ｋ／ｋ－１,所以ａ０＝ｋ／ｋ－１＝Ａ１α１０＋Ａ２α２０Ａ＝Ａ１＋Ａ２ａ１＝ｋ＝Ａ１α１１＋Ａ２α２１＝Ａ１ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２＋Ａ２ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２解得Ａ１＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３Ａ２＝ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３所以ａｎ＝ｋ／２ｋ－１＋ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１＋ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ＋ｋ／２ｋ－１－ｋ／２·ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３·ｋ－１－ｓｑｒｔｋ－１ｋ＋３／２ｎ53.fn＝１＋√５／２n＋1－１－√５／２n＋1／√５假设从A编号为０到编号为i的顶点有fi条路径,则f１＝１,f２＝２,当i＞2时,fi＝fi-1＋fi－2,由此知f０＝fA＝１;当i＝n时,fn＝fn-1＋fn－2,即fn－fn-1－fn－2＝０;其特征方程为：x2－x－1=0,它的两个根分别为：α１＝１＋√５／２,α２＝１－√５／２;于是知fn＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ,根据f０＝１＝A1＋A2f１＝１＝A1１＋√５／２＋A2１－√５／２,解得A1＝１＋√５／２√５,A2＝１－√５／２√５所以,fn＝１＋√５／２n＋1－１－√５／２n＋1／√５＝Fn＋1其中Fn为第n个Fibonacci数;54.a n＝n2＋n＋２／２设n条符合条件的直线将平面分成a n个区域,那么n－１条直线可将平面分成a n－１个区域,而第n条直线与前n-1条直线均相交,有n－１个交点,因此第n条直线被分成n段,而每一段对应一个新增的区域,所以有a n＝a n－１＋n,即a n－a n－１＝n;于是a n－１－a n－２＝n－１,由此得a n－２a n－１＋a n－２＝１,同样有a n－１－２a n－２＋a n－３＝１,故得a n－３a n－１＋３a n－２－a n－３＝０,其特征方程为x3－３x2＋３x－1＝０,解此方程得α＝α１＝α２＝α３＝１,所以a n＝A0＋A1n＋A2n2αn＝A0＋A1n＋A2n2 ,而a0＝１＝A0a1＝２＝A0＋A1＋A2a２＝４＝A0＋２A1＋４A2解得A0=1A1=1/2A2=1/2由此知a n＝n2＋n＋２／２55、56因为x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥0i＝１,２,３,４的整数解共有C4+31-1,31＝C34,３＝34·33·32/6＝5984个;再考虑x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥１0i＝１,２,３,４的整数解的个数;令N为全体非负整数解,则｜N｜＝5984;令A i i＝１,２,３,４为其中x i≥１0的解集合;则｜A1｜即为x1＋10＋x2＋x3＋x４＝31,也就是x1＋x2＋x3＋x４＝21的非负整数解的个数;所以,｜A1｜＝C４＋21－１,21＝C24,3＝24·23·22/6＝2024;同理可知｜A２｜＝｜A３｜＝｜A４｜＝｜A1｜＝2024;类似地,｜A i∩A j｜＝C4＋11－１,11＝C14,3＝14·13·12/6＝364１≤i<j≤4,｜A i∩A j∩A k｜＝C4＋1－１,1＝C4,1＝4１≤i<j<k≤4,而｜A１∩A２∩A３∩A４｜＝０;根据容斥原理,a＋b＋c＋d＝31,０≤a,b,c,d≤９的整数解个数等于｜１∩ ２∩ ３∩ ４｜＝｜N｜－４｜A１｜＋C4,2｜A１∩A２｜－C4,3｜A１∩A２∩A３｜＋｜A１∩A２∩A３∩A４｜＝5984－4·2024＋6·364—4·4＋0＝5656. 190800假设６个学生参加第１位教师的面试的顺序为１、２、３、４、５、６即对第１个面试的学生编号１,．．．,对第６个面试的学生编号６,那么,这６个学生参加第２位教师的面试的顺序必定是１、２、３、４、５、６的一个错排;不然,就有至少一个学生要同时参加两为教师的面试;于是面试方案总数为6D6＝661－1＋1/2－1/3＋1/4－1/5＋1/6＝6256＝19080057. 1505对应于旋转与翻转的运动群的置换为：p1不动123456 格式为１６p2逆时针旋转60o 123456 格式为６１p3逆时针旋转120o 135246 格式为32p4逆时针旋转180o 142536 格式为23p5逆时针旋转240o 153264 格式为32p6逆时针旋转300o 654321 格式为６１p7沿14轴翻转142635 格式为12２2p8沿25轴翻转251346 格式为12２2p9沿36轴翻转361524 格式为12２2p10沿12边54边中线翻转123645 格式为２３p11沿23边56边中线翻转142356 格式为２３p12沿16边34边中线翻转162534 格式为２３所以,总方案数为l＝56＋2·51＋2·52＋4·53＋3·54/12＝18060/12＝150558．因为而59. Ｃm＋１,ｎ将ｍ个０排成一行,两个０之间有一间隔,共有ｍ＋１≥ｎ个间隔包括头尾处的间隔;在此ｍ＋１个间隔中任取ｎ个插入１,则所得符号串满足要求,所以共有Ｃｍ＋１,ｎ个这样的符号串;60. ｎ－１ｎ,ｎ－１ｎ／ｎ－ｍ先让ｎ个男人围坐一圈,共有ｎ－１种坐法;对应于每一种坐法,有n 个间隔,将n 个女人排成一行插入这n 个间隔中,有n 种方案,所以共有n —1n 种不同的坐法;若只有mm<n 个女人,则在n 个间隔中任取m 个排列,将m 个女人插入这n 个间隔中,有Pn,m ＝n/n-m 种方案,所以共有n-1n/n-m 种不同的坐法;61．ａｎ＝4ｎ-√32+√3n+1/6+√32-√3n+1/6设长度为n 的由A 、B 、C 、D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列所组成的集合为S n ,又设ａｎ＝｜S ｎ｜;而AB 一次也不出现的排列所组成的集合为B n ,又设b ｎ＝ ｜B ｎ｜;可将S ｎ中的所有排列按AB 出现的位置分为两类：一类是在前n-1位中均未出现AB,它仅出现在最末两位,则这种排列共有b n-2个;另一类是在前n-1位中已出现AB,而最后一位可以是A 、B 、C 、D 中的任一个,所以这类排列共有4a n-1个,于是知ａｎ＝4a n-1 +b n-2,而ａｎ+b n =4n ,即a ｎ-2+b n-2=4n-2,也就是b n-2=4n-2 -a ｎ-2,由此知ａｎ＝4a n-1 +4n-2 -a ｎ-2,即ａｎ-4a n-1 +a ｎ-2=4n-2,可推知4ａｎ-1-4a n-2 +a ｎ-3=4n-2于是得ａｎ-8a n-1 +17a ｎ-2-4a n-3=0,其特征方程为x 3-8x 2+17x-4=0,解此方程得α１＝4,α２＝2+√3,α３＝2-√3,所以可设ａｎ＝A 1α１n +A 2α２n +A 3α３n,已知ａ1＝0,a 2 =1,由此推知a 0=0,所以有a 0=0= A 1+A 2+A 3a 1=0= 4A 1+2+√3A 2+2-√3A 3a 2=1= 16A 1+7+4√3A 2+7-4√3A 3化简得A 1+A 2+A 3=02A 1+√3A 2-√3A 3=09A 1+4√3A 2-4√3A 3=0解得A 1=1A 2=-3+2√3/6A 3=-3-2√3/6所以ａｎ=4ｎ-3+2√32+√3n /6-3-2√32-√3n /6=4ｎ-√32+√3n+1/6+√32-√3n+1/662．135令y 1+6=x 1,y 2+5=x 2,y 3+10=x 3,则0≤y 1≤9,0≤y 2≤15,0≤y 3≤15,于是有y 1+6+y 2+5+y 3+10=40,即y 1+y 2+y 3=19,0≤y 1≤9,0≤y 2≤15,0≤y 3≤15,因为y 1+y 2+y 3=19的非负整数解的个数为C3+19-1,19=C21,2=21·20/2=210;令A 1是y 1+y 2+y 3=19当y 1≥10时的非负整数解集合,则| A 1|=C3+9-1,9=C11,2=11·10/2=55,令A 2是y 1+y 2+y 3=19当y 2≥16时的非负整数解集合,则| A 2|=C3+3-1,3=C5,2=5·4/2=10,令A 3是y 1+y 2+y 3=19当y 3≥16时的非负整数解集合,则| A 3|=C3+3-1,9=C5,2=5·4/2=10,而且| A 1 ∩A 2|=| A 2 ∩A 3|=| A 1 ∩A 3|=0,| A 1 ∩A 2 ∩A 3|=0,根据容斥原理可知,符合条件的解的个数为｜１∩ ２∩ ３｜=210-55+10+10=210-75=13563．30设S={1,2,3,…,120},若n ∈S 且n 为合数,即n=n 1·n 2,则因为11·11=121>120,所以n 1或n 2中必有一数∈{2,3,5,7};设A1表示S中能被2整除的数,则| A1|=int120/2=60intx表示不超过x的最大整数,设A2表示S中能被3整除的数,则| A2|=int120/3=40,设A3表示S中能被5整除的数,则| A3|=int120/5=24,设A4表示S中能被7整除的数,则| A4|=int120/7=17,而且,| A1∩A2|=20,| A1∩A3|=12,| A1∩A4|=8,| A2∩A3|=8,| A2∩A4|=5,| A3∩A4|=3,| A1∩A2∩A3|=4,| A1∩A2∩A4|=2,| A1∩A3∩A4|=1,| A2∩A3∩A4|=1,| A1∩A2∩A3∩A4|=0,所以,根据容斥原理知,S中既不是2、3、5的倍数,也不是7的倍数的个数共有120-60+40+24+17+20+12+8+8+5+3-4+2+1+1+0=176-149=27但是,这27个数中包含了1,它不是素数,却没有包含2、3、5、7,所以,1至120之间的素数共有27-1+4=30个;64．因为A4={1234,123,124,132,134,142,143,234,243,1234,1324,1423},它共有12个置换,其中格式为14的有1个：1234,格式为1131的有8个：123,124,132,134,142,143,234,243,格式为22的有3个：1234,1324,142365． a w1=1111G=1111111b w2=1000G=1000011c w3=0001G=0001111d w4=1101G=110100166．n-22n-1+1从n个不相同的数a1,a2,. . . ,a n中取出rr=2,3,. . . ,n个,将这r个数从小到大排序：a i1≤a i2≤. . . ≤a ir;将这r个数分成前后两部分,使每一部分非空,共有r-1种分法;前面部分形成第2组,后面部分形成第1组,则第1组中的最小数大于第2组中的最大数;所以满足条件的取法共有r=2∑n Cn,rr-1=r=2∑n rCn,r-r=2∑n Cn,r= r=1∑n rCn,r-Cn,1-r=0∑n Cn,r- Cn,1- Cn,0=n2n-1-n-2n-n-1=n-22n-1+167. 解根据题设,无论选哪一名,有26种可能结果；余下选一名只有25种可能结果；最后选一名就只有24种可能结果;由于同时选出三名,所以由积的法则知,共有26×25×24=15600种选法;68. 解 1这100个数的前7个数,任选取两个数的差不可能等于7,只有100－7=93种选取方式,才能使这100个数两数之差等于7;2同理,选取两数之差等于6的有100－6=94种选取方式；等于5的有100－5=95；…,等于1的有100－1=99种;以上两数之差均小于7;故两数的差小于或等于7的选取方式,根据和的法则,共有94+95+96+97+98+99+93=672种选取方式;69. 解 这是一个多重集S=｛n ·红球；m ·白球｝的重复排列问题;S 的一个排列就是它的m+n 个元素的一个全排列,因为S 中有n 个红球,在排列时要占据n 个位置,这些位置的选法是C n n m +种,接下去,在剩下的n+m －n=m 个位置选择m 个位置的选法是 C m m ,由积运算法则,S 的排列数为N=Cn n m +·C m m =()!!!m n n m + ·1=()!!!n m n m +,以下化为较简单形式：()!!!m n n m •+=()()()[]!!!11m n n m n n m n m •--+-++ =()()()!!!11m n m m n m n •+-++ =()()()!11n m m n m n +-++这即为所求排列方式数; 70. 解 设分别具备这三种设备的汽车依次为A 1,A 2,A 3,由题设151=A ,82=A ,63=A , 33323121321===⇒=A A A A A A A A A ,于是这三种设备都不具备的汽车,由容斥原理2知为32132132130A A A A A A A A A -== =()()[]32132312132130A A A A A A A A A A A A +++-++- =()()[]73333681530=+++-++-71. 解 实际上是求奇数1,3,5,7,9这5个数的移位排列数目Dn,由于n=5,所以： D5=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-!51!41!31!21!111!5 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-•1201241612111120 =()44120152060120=-+-•72. 解 设A 1,A 2,A 3分别为能被3,5,7整除的集合,则10033001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A , 6053002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ,4273003=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ；205330021=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A ,147330031=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A , 87530032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=A A ；2753300321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡••=A A A ; 1由容斥原理2知,不能被3,5,7整除的数的个数为： =()()[]321323121321300A A A A A A A A A A A A +++-++-=()()[]1382814204260100300=+++-++-2能被3整除但不能被5和7整除的数的个数为：=6821420100=+--。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)5-(1)
一、选择题（每道3分）1、与n 元集的r -可重排列不等价的是（ C ） A. n 元集的r -可重复有序选取 B. n 元集的r -可重复序列C. 把n 个不同的球放在r 个不同盒子方式 D ． {}12,,n M a a a =∞⋅∞⋅∞的r -排列2、有170学生，其中120人学英语，80人学法语，60人学西班牙语，50人既学英语也学法语，25人既学英语也学西班牙语，30人同时学法语和西班牙语，有10人同时学以上三种语言，问有多少人这三种语言都没有学。
（ C ）A 、4B 、6C 、5D 、73、由1至1000的整数中，有多少个整数能被2整除但不能被3也不能被5整除？（ B ） A ：251 B:267 C:302 D:1874、有3只全是红色的球放到10个编号不同的盒子中去，如果每个盒子只能放一只球，有（ C ）种放法。
A 、720B 、360C 、120D 、6 5、递推关系⎩⎨⎧==≥-=--5,3)2(341021a a n a a a n n n 的解为：（ B ）n n a A 322•+= n n a B 32+= n n a C23+= n n a D233•+=6、对于实数e x=∑∞=0!1n n x n ,那么形式幂级数A （t ）=∑∞=0!1n n t n的逆元是（ B ）A 、∑∞=0!1n n B 、∑∞=0n n n!(-1)t n C 、∑∞=0n n!1t n D 、—∑∞=0n n!1t n7、()()12nn n n a=++已知，求0{}n n a ≥数列的常生成函数。
（ A ）A()461tt - B()641tt - C()61tt - D()361tt -8、当r ≥k 时差分多项式P k (r) =（ B ）A 、0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛k rC 、r(r －1)...(r －k+1)D 、!1k9、()21,S n k +=C ，其中11n k +≥≥。
.《组合数学》测试题含答案2
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生，那么以下说法正确的选项是〔〕A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，那么不同的排列方法是〔〕A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，那么站位方法总数为〔〕A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法〔〕A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，那么这样的有序数对()y x ,共有〔〕个6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是〔〕A.128 B7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为〔〕8. 设n 为正整数，那么∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于〔〕A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，那么()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是〔〕A.n 2B. n 2-C. ()n2- 10. 设n 为正整数，那么当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是〔〕12. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为〔〕 A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有〔〕个14. (){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，那么()=10f 〔〕15. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是〔〕A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. ()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，那么当2≥n 时，=n a 〔〕A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为〔〕 A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n n ，那么数列{}0≥n n a 的常生成函数是〔〕A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有〔〕种20. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为〔〕21. 局部数为3且没有等于1的局部的15-分拆的个数为〔〕22. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示局部数为k 的n-分拆的个数，那么()116P 的值是〔〕23. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，那么B 的值是〔〕24. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是〔〕A.26B.2825. 数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，那么该数列的通项公式是〔〕A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，那么使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，那么其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
组合数学题目及标准答案
组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
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《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，问有多少种不同的排法。
二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的立方的数有多少个？三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。
四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑k－（－）k+1111nk n k 六，求解递推关系--++=⎧⎨==⎩12016930,1n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。
北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期《组合数学》期末试题答案一， (15)解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。
--------5分则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分1n m +⎛⎞⎜⎝⎠⎟种方式。
----15备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分二， （19分）解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分由容斥原理得100||||||100104288A B A B A ∩=−−+∩=−−+=B --------19分三， （15分）证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。
- ------5分由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。
从而得证。
-------15分四， （15分）解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分（2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。
不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i一个在右侧，则与对角线1i 相交的其他对角线必定一个顶点在左侧，于是，这种交点总数为（10-i ）(i-2) --- 1分 从而此对角线被剖分成（10-i ）(i-2)+1段 ----2从而由顶点1出发的所有对角线被分割成的小段总数为 -----4分从而全体对角线被分割的小段总数为：93((10)(2)1)91j i i =−−+=∑10914552×=条 ----- 5分五， （6分）解：原式=11111111111==⎛⎞+⋅⎜⎟+⎝⎠+⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠∑∑nk n k n n k n n k n k－k+1（－）k+1（－）11011(11111)1011(111(0)11=−+=)+⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠++⎛⎞⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠=+=++∑∑n k n k k n k n n n n n k n n n n n k+1（－）（－）------- 6分六， （15分）解：对应齐次递推关系的特征方程为x 2+6x+9=0 特征根x 1=x 2=-3,所以齐次递推关系的通解为a n =(k 1+k 2n)(-3)n ---- 5分设特解为C ，则C+6C+9C=3 ------- 7分所以 C=3/16, 所以通解为a n =3/16 +(k 1+k 2n)(-3)n-------10分由初始条件可得：3/16 +k 1 =0，⇒ k 1 =-3/163/16 +(k 1+k 2)(-3)=1⇒ k 2 =-1/12所以n n 313a ()(3)161216=−+−+-------15分七， （8分）解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为24212223000()(1......)2!4!2!(1......)1!2!!11()()2211(3)(31)2!!2ne nx x x x x n n n n n n n x x x f x n x x x n e e e e e !nx x x n n −∞∞∞====+++++⋅+++++=+⋅=+=+=+∑∑∑n -----4分 所以 1(31)2n n a =+---------8分 另外，直接由组合方法求得结果为20312 (1)22⎡⎤⎣⎦−=⎛⎞+⋅=≥⎜⎟⎝⎠∑n n n k k n n k 亦可。
八， （7分）解：设a n 表示涂色的方案数，考察第一个方格的染色方案，若染红色，则下一个必须染蓝色，于是剩下的方格染色方案数恰为a n-2,若第一个方格染蓝色，则剩下的方格染色方案数恰为a n-1,由加法原理，我们建立如下递推关系：a n =a n-1+a n-2 --------- 3分确定初始条件:显然，对一个方格有两种方案，对两个方格有3种方案：第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即 a 1=2, a 2=3 ------4分 求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列F n+1， 特征方程为,解得特征根为012=−−x x 251,251−=+=βα 得通解为,于是有n n n k k a βα21+=⎩⎨⎧+=+=22212132βαβαk k k k 则10535,1053521−=+=k k 从而 n n n a βα1053510535−++=--------7分 另外，若直接由组合方法求得1201n n k n k a k +⎢⎥⎣⎦=−+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑亦对。
注：由于组合问题求解方法众多，不一一列出。
北京邮电大学2005——2006学年第1学期《组合数学》期末试题(计算机院)姓名班级学号成绩一，有颜色不同的4盏灯。
（20分）（1）把它们按不同的顺序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（2）每次使用一盏、二盏、三盏或四盏按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（3）在(2)中如果信号与灯的次序无关，共有多少种不同的信号？二，（1）在边长为1的等边三角形内任意放5个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/2。
而放4个点则结论不成立。
（2）由此推广，确定最小的m(n),使当放m(n)点在边长为1的等边三角形内时其中必有两点的距离不大于1/n （20分）三，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，问有多少不同的排法。
（15分）四，求解递推关系---+=⎧⎨==⎩12013214,6n n n a a a a a （15分）五，在1和10000之间不能被4、5和6整除的数有多少个？（15分）六，用红白2种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成白色，问有多少种方法？（8分）七，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？（7分）北京邮电大学2005 ——2006 学年第1学期 《组合数学》期末试题答案(计算机院)一， （20分）解: (1)由于颜色不同,这相当于[1,2,3,4]上的一个全排列,从而有4!=24种不同的信号…….6分(2)由于可以使用的灯盏数可以不同,从而由(1)我们有 种不同信号…….8分6444342414=+++P P P P (3),这里,信号与灯的次序无关,从而是一个组合问题,与(2)类似不同的信号种类有种不同的信号.1544342414=+++C C C C --------6分二， （（20分）解: (1)将此三角形剖分成4个小的边长为1/2的边三角形。
--4分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/2.----10分但若将4个点放入则不行,实际上只要在三角形中心放一个点,在三个顶点附近各放一个点即可,如图.------15分(2),由此推广,将此三角形剖分成n 个小的边长为1/n 的等边三角形。
将个点放入此三角形中,由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/n------5分 2n三， （15分）解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。
--------5分则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分1n m +⎛⎞⎜⎝⎠⎟种方式。
----15备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分四， （15分）解: 对应齐次递推关系的特征方程为x 2-3x+2=0 -------3分 特征根x 1=2,x 2=1,所以齐次递推关系的通解为a n =k 1+k 22n ---- 5分由于1是特征根,所以设特解为Cn ，则C n-3C(n-1)+2C(n-2)=1 …….. 7分所以 C=-1, 所以通解为a n =- n +k 1+k 22n-------10分由初始条件可得：k 1 +k 2 =4，k 1+2k 2-1=6解得k 1 =1, k 2 =3.所以a n =- n +1+3·2n -------15分五， （15分）解：用A,B,C 分别表示1-10000之间被4，5和6整除的数的集合。
于是由容斥原理问题是求|A B C |∩∩。
----2分100001000010000|A |2500,|B |2000,|C |1666,4561000010000|A B |500,|A C |833,45431000010000|C B |333,|A B C |166,65453⎡⎤⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥××⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥×××⎣⎦⎣⎦∩∩∩∩∩ --------10分|A B C |10000(|A ||B ||C |)(|A B ||A C ||B C |)|A B C |10002500200016665008333331665334=−+++++−=−−−+++−=∩∩∩∩∩∩∩ ---------15分六， （8分）解：设a n 表示涂色的方案数，定义a 0=1，则{a n }的指数型母函数为2421220()(1......)2!4!2!(1......)1!2!!11()(1)221(21)2!−∞==+++++⋅+++++=+⋅=+=+∑ne nx x x x nn n x x x f x n x x x n e e e e x n -------3分 所以 12 (1)−=≥n n a n ---------8分注：若规定偶数不含0，则12-1 (1)−=≥n n a n 。