[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷2.doc

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考研数学二(常微分方程)模拟试卷20

考研数学二（常微分方程）模拟试卷20(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设φ1 (χ)，φ2 (χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (χ)＋φ2 (χ)]B.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]C.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]－φ2 (χ) √D.[φ1 (χ)－φ2 (χ)]＋Cφ2 (χ)解析：解析：因为φ1 (χ)，φ2 (χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1 (χ)－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2 (χ)，选C．3.设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则χ)dχ为( )．（分数：2.00）A.－ln3B.ln3C.√解析：解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln(χ2－1)＋lny＝lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此选D．4.微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e -2χ的特解形式为( )．（分数：2.00）A.(aχ＋b)e -2χB.aχ2 e -2χC.(aχ2＋bχ)e -2χ√D.χ2 (aχ＋b)e -2χ解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e －2χ，选C．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设连续函数f(χ)满足f(χ)＝＋e χ，则f(χ)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2e 2χ－e χ）解析：6.微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2）解析：解析：令y′＝p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3) 2＋lnC 1，或y′＝C 1(2χ＋3) 3，于是y＝ C 1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2．7.yy〞＝1＋y ′2满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜y＋[*]｜＝±χ）解析：解析：令y′＝p，则yp ＝1＋p 2，即，解得ln(1＋p 2 )＝lny 2＋lnC 1，则1＋p 2＝C 1 Y 2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝± ， ln｜y＋＋C 2＝±χ，由y(0)＝1得C 2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．8.微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 cos2χ＋C 2 sin2χ＋χ－2）解析：解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C 1cos2χ＋C 2sin2χ＋χ－2．9.设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y ＝e 3χ，则y(χ)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y(χ)＝2χe 3χ＋2 e 3χ）解析：解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2， y〞－6y′＋9y＝e 3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞＝6y′＋9y＝e 3χ的特解为y 0 (χ)＝aχ2 e 3χ代入得以a＝，故通解为y＝(C 1＋C 2χ)e 3χ＋χ2 e 3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C 1＝0，C 2＝2，则y(χ)＝2χe 3χ＋χ2 e 3χ．10.微分方程2y〞＝3y 2满足初始条件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：χ＝－[*]）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程)模拟试卷

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．正确答案：因为x2+x3+o(x3)，cosx=x2+o(x3)，从而x2-x2+x3-x3+o(x3)=1+x2-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用2．求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．正确答案：把t=-x2代入et=1+t++o(tn)(t→0)即得e-x2=1-x2+o(x2n)(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用3．求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．正确答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．求极限正确答案：因x4+o(x4)，cosx-ex2=-(1+x2)+o(x2)=x2+o(x2)．又sinx2～x2(x →0)，所以涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设0＜x＜正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式cosx=1-x4cos(θx)，0＜θ＜1，可得1-cosx=x2(x2cosθx)．注意当0＜x＜，故涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b.正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈[0，1]，∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’’(ξ)(x-c)2，(*)其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+f’’(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+f’’(ξ2)(1-c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)-f(0)=f’(c)+[f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)-f(0)+[f’’(ξ1)c2-f’’(ξ2)(1-c)2]，两端取绝对值并放大即得｜f’(c)｜≤2a+b[(1-c)2+c2]≤2a+b(1-c+c)=2a+b．其中利用了对任何c∈(0，1)有(1-c)2≤1-c，c2≤c，于是(1-c)2+c2≤1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用9．设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．正确答案：将f(x)在x0=展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得f(b)-f(a)=[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)](b-a)3．注意：[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)]介于f’’’(ξ1)与f’’’(ξ2)之间，由导函数取中间值定理，可得∈(a，b)，使得因此得证．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1-x2+o(x3)]=x-x3+o(x3)，即A1x+(A3-A1)x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3-A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u-a3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx-sin3x+(sin3x)．再将sinx=x-x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用11．求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=(Ⅱ)f(x)=exsinx．正确答案：通过求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)及f(n+1)(x)而得．(Ⅰ)由f(x)=，可得对m=1，2，3，…有f(m)(x)=2(-1)mm!f(m)(0)=2(-1)mm!．故f(x)=1-2x+2x2-…+2(-1)nxn+2(-1)n+1(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(x)的统一公式．可归纳证明f(n)(x)=，n=1，2，…，因此涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用12．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于xcosx=x[1-x2+o(x2)]=x-x3+o(x3)，sinx=x-x3+o(x3)，因此，xcosxsinx=x3+o(x3)=x3+o(x3)．再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x2)=-x2+o(x3)，x2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由ln(1+x)=x-x2+o(x2)(x→0)，令x=，即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用13．用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．正确答案：(Ⅰ)=x2+o(x2)，因此当x→0时是x的二阶无穷小量．(Ⅱ)因et-1-t=t2+o(t2)，从而(et-1-t)2=[ t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x)(et-1-t)2dt=x5+o(x5)．因此x→0时∫0x(et-1-t)2dt是x的五阶无穷小量．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用14．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形．1)当x＞1时考察二阶泰勒公式f(x+1)=f(x)+f’(x)+(x＜ξ＜x+1)，f(x-1)=f(x)-f’(x)+f’’’(η)(x-1＜η＜x)，两式相加并移项即得f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[f’’’(η)-2f’’’(ξ)]，则当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+M3．2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗日中值定理，有f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)．｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1]).综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用15．设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+f’’(ξ2)(x-1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取x=并利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得f’’(ξ1)-f’’(ξ2)=8｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用16．设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+f(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)=f’(x0)+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，代入原式得(x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+f(n)(x0)hb+o(hn)=f’(x0)h+f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)，②将②代入①后两边除以hn得令h→0，得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用17．求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0 (x2)．正确答案：(Ⅰ)ex=1+x+x3+o(x3)，cosx=1-x2+o(x3)，相乘得excosx=1+x+x3+o(x3)=1+x-x3+o(x3)．(Ⅱ)f(x)=[1-x+x2-x3-(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o( x3)]=(-3x-3x2-9x3)+o(x3)=-x-x2-3x3+o(x3)．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用18．求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=sin3x；(Ⅱ)f(x)=xln(1-x2)．正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用19．确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=cosx-1．正确答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1+x++o(x3)-1-x-x3+o(x3)，所以x→0时ex-1-x-xsinx是x的3阶无穷小．(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1-x4+o(x4)，所以x→0时cosx+cosx-1是x的4阶无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用20．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)(用泰勒公式)由于当x→0时分母是x3阶的无穷小量，而当x →0时ex=1+x++o(x3)，sinx=x-+o(x3)，从而当x→0时，exsinx=x+x2+x3+o(x3)，exsinx-x(1+x)=x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由于f(x)=arctanx在点x=0有如下导数因此当x →0时f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’’(0)x3+o(x3)，arctanx=x-x3+o(x3)arctanx-sinx=x3+o(x3)，ex2-1=1+x2++o(x4)-1=x2+o(x3)，ln(1+x)=x-+o(x2)，[ln(1+x)]2==x2-x3+2xo(x2)-x2o(x2)++[o(x2)]2=x2-x3+o(x3)，[ln(1+x)]2-ex2+1=-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用21．确定常数a和b的值，使得正确答案：(用泰勒公式)因为ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2-(-2x+3x2)2+o((-2x+3x2)2)=-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x 2)，于是可以改写为由此即得a-2=0，b+1=6，故a=2，b=5．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用22．设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)正确答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用23．设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．正确答案：由题设易知，[ef(x)-1]=0，且＞0，0＜｜x｜＜δ时f(x)≠0．进一步有=f(0)=0．由ef(x)-1～f(x)，cosx-1～x2(x→0)．用等价无穷小因子替换．原条件改写成=1．由极限与无穷小关系得，x→0时=1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即xf(x)=x2+o(x2) (x→0)．由泰勒公式唯一性得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=.2!=-1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用24．设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+…+f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小(a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f(n-1)(x)在x=a可导．由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)，即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)=f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)．因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用25．设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．正确答案：f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+f’’’(a)(x-a)3+f(4)(a)(x-a)4+o((x-a)4)=f(4)(a)(x-a)4+o ((x-a)4)=(x-a)4[ f(4)(a)+o(1)]其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，＞0，当0＜｜z-a｜＜δ时因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用26．设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．正确答案：相交与相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即亦即｜f’’(x0)｜=｜g’’(x0)｜．由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)=g’’(x0)=0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)=g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率f(x0)-g(x0)=0，f’(x0)-g’(x0)=0，f’’(x0)-g’’(x0)=0．f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+[f(x)-g(x)]’｜x=x0(x-x0)+[f(x)-g(x)]’’｜x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2=o((x-x0)2) (x→x0)．即当x→x0时f(x)-g(x)是比(x-x0)2高阶的无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷24

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设线性无关的函数y 1．y 2，y 3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3√解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.—x+y—1)的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）解析：5. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：6.方程y"一3y’+2y=2e x的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x一2xe x）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xe x+y．4)(1+x)y”+y’=0 5)yy”一(y’) 2 =y 4，y(0)=1．y’(0)=0 6)y"+4y’+1=0 7)y"+9y=cos(2x+5) 8)y"'一3y”+9y’+13y=e 2x sin2x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1ln|1+x|+C 2) 解析：10.已知y 1 =3，y 2 =3+x 2，y 3 =3+e x．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：所求方程为(2x一x 2)y”+(x 2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为： y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析：11.已知函数y=e 2x +(x+1)e x是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce x的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：12.设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：13.已知y"+(x+e 2y )y '3 =0。

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[考研类试卷]考研数学二（常微分方程与差分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

12 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )（A）C1y1+C2y2+y3．（B）C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．（C）C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．（D）C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．3 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解．（A）)y”+y’+y2=0．（B）y”+y’+2y=1．（C）（D）x+y+∫0x y(t)dt=1．4 设是某二阶常系数非齐次线性方程的解，则该方程的通解是( )5 设y1(x)和y2(x)是微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( )．（A）y1(x)y’2(x)一y’1(x)y2(x)=0．（B）y1(x)y’2(x)-y2(x)y’1(x)≠0．（C）y1(x)y’2(x)+y’1(x)y2(x)=0．（D）y1(x)y'2(x)+y2(x)y’1(x)≠0．6 微分方程y"-y=e x+x的特解形式为y*=( )（A）Ae x+Bx．（B）Axe x+Bx+C．（C）Ae x+Bx+C（D）Axe x+Bx2+C．7 微分方程y”+4y=cos 2x的特解可设为y*=( )（A）Acos 2x．（B）Axcos 2x．（C）x(Acos 2x+Bsin 2x)．（D）Acos 2x+Bsin 2x．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8 解下列一阶微分方程．9 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)10 设y=e x是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．11 求满足方程f’(x)+xf’(一x)=x的f(x)．12 已知f(x)连续，且满足∫01f(ux)du=，求f(x)．13 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)=一1,f(0)=1，求f(x)．14 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知求L的方程．15 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1)求曲线L的方程；(2)求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形的面积最小16 求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．17 求解下列微分方程：(1)(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0；(4)(5x4+3xy2一y3)dx+(3x2y一3xy2+y2)dy=0．18 设可微函数f(x)满足方程求f(x)的表达式．19 按要求求下列一阶差分方程的通解或特解． (1)求y x+1-2y x=2x的通解； (2)求y x+1一2y x=3x2满足条件y x(0)=0的解； (3)求2y x+1+10y x一5x=0的通解．20 求下列可降阶的高阶微分方程的通解． (1)x2y”=(y’)2+2xy’；(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；(3)1+yy”+(y’)2=0；(4)y”=1+(y’)2．21 求下列微分方程的初值问题．22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．23 已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2一2x)y”一(x2一2)y’+(2x一2)y=6x一6的解，求此方程的通解．24 求微分方程y"+4y’+4y=e ax的通解，其中a是常数．25 求微分方程y"+2y’+y=xe x的通解．26 设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0． (1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程； (2)求上述方程的通解．27 求微分方程y”+a2y=sin x的通解，其中常数a＞0．28 求方程y"+4y=3|sinx|满足初始条件．一π≤x≤π的特解．29 求微分方程y”+y=x+cosx的通解．30 设函数y=y(x)满足微分方程 y"-3y’+2y=2e x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．31 设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx一∫0x(x一t)ft)dt，求f(x)．32 利用代换将y"cos x-2y’sin x+3ycos x=e x化简，并求原方程的通解．33 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．34 设函数f(x)连续，且满足f(x)=e x+∫0x tf(t)dt一x∫0x f(t)dt，求f(x)的表达式·35 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=一1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sin ydx一[5f(x)-f'(x)]cos ydy 与积分路径无关，求f(x)．36 设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，且 [xy(x+y)-Ax)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程，求f(x)．37 设y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，试确定该微分方程的形式.38 已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x，y3=xe x+e2x—e-x是某二阶线性非齐次方程三个解，求此微分方程．39 求解欧拉方程x3y"'+x2y”一4xy’=3x2．。

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[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于32 (03年)已知是微分方程的表达式为3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是（A）y"一y’一2y=3xe x．（B）y"-y’一2y=3e x．（C）y”+y’一2y=3xe x．（D）y"+y'-2y=3e x．5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（A）y"'+y"-4y’-4y=0．（B）y"'+y"+4y’+4y=0．（C）y"'一y”一4y’+4y=0．（D）y"'-y"+4y’一4y=0．6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为（A）a(eλx+e-λx)．（B）ax(eλx+e-λx)．（C）x(aeλx+be-λx)．（D）x2(aeλx+be-λx)．8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．二、填空题9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．11 (06年)微分方程的通解是_______．12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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[考研类试卷]考研数学二（微分方程）模拟试卷1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设非齐次线性微分方程y'＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是（A）C[y1(x)－y2(x)]．（B）y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．（C）C[y1(x)＋y2(x)]．（D）y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．2 设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"＋p(x)y'＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C1y1＋C2y2＋y3．（B）C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．（C）C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．（D）C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．3 若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于（A）e x ln2．（B）e2x In2．（C）e x＋ln2．（D）e2x＋ln2．二、填空题4 微分方程y'＋ytanx＝cosx的通解为________．5 微分方程xy'＋y＝0满足初始条件y(1)＝2的特解为_______．6 微分方程xy"＋3y'＝0的通解为_______．7 微分方程y"＝2y'＋2y＝e2的通解为________．8 设Y＝e x(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9 求微分方程y'＋ycosx＝(lnx)e－sinx的通解．10 求微分方程满足初始条件的特解．11 求微分方程x2y'＋xy＝y2满足初始条件的特解．12 求微分方程的通解．13 设有微分方程y'－2y＝ψ(x)，其中试求在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，满足条件y(0)＝0．14 设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f'(u，v)＋f'(u，v)＝uv．求y(x)＝e－2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解．15 求微分方程y"'＋6y"＋(9＋a2)y'＝1的通解，其中常数a＞0．16 设函数y＝y(x)满足微分方程y"－3y'＋2y＝2e x，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝x2－x＋1在该点处的切线重合，求函数y＝y(x)．17 求微分方程y"＋5y'＋6y＝2e－x的通解．18 求微分方程y"＋4y'＋4y＝e－2x的通解．19 求微分方程y"－2y'＝e2x满足条件y(0)＝1，y'(0)＝1的解．20 求微分方程y"＋2y'－3y＝e－3x的通解．21 设函数y＝y(x)满足条件求广义积分∫0＋∞y(x)dx．22 求连续函数f(x)，使它满足f(x)＋2∫0x f(t)dt＝x2．23 已知连续函数f(x)满足条件，求f(x)．24 设函数f(f)在[0，＋∞)上连续，且满足方程，求f(t)．25 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．26 设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．27 假设： (1)函数y＝f(x)(0≤x＜＋∞)满足条件f(0)＝0和0≤f(x)≤e x－1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y＝f(x)和y＝e x－1分别相交于点P1和P2； (3)曲线y＝f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y＝f(x)的表达式．28 设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A．已知，且l过点，求l的方程．29 设对任意x＞0，曲线y＝f(x)上的点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．30 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数为N，在t＝0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k＞0，求x(t)．31 设函数f(x)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为．试求y＝f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足条件的解．32 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?33 设y＝f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，0为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式．34 在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)． (1)求l的方程； (2)当l与直线y＝ax所围成平面图形的面积时，确定a的值．。

考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2.doc

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.(2010年试题，2)设y 1，y 1是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）3.(2003年试题，二) 2.00）4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x 2.00）B.2πC.π5.(2011年试题，一)微分方程y "一λ2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）A.a(e λx +e -λx )B.ax(e λx +e一-λx )C.x(ae λx +be -λx )D.x 2 (ae λx +be -λx )6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）A.y """ +y ""一4y " -4y=0B.""" +y "" +4y " +4y=0C.""" -y "" -4y " -4y=0D.""" -y "" +4y " -4y=07.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）A.y ""一y "一2y=3xe xB.y ""一y "一2y=3e xC.y "" +y "一2y=3xe xD.y ""一y "一2y=3e x8.(2004年试题，二)微分方程y "" +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( )．（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.)y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx9.(2000年试题，二)具有特解y 1=e -x，y 2=2xe -x,y 3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )．（分数：2.00）A.y """一y ""一y " +y=0B.y """ +y ""一y "一y=0C.y """一6y "" +11y "一6y=0D.y """一2y ""一y " +2y=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.(2012年试题，二)微分方程ydx+(x一3y 2 )dy=0满足条件y｜x=1 =1的解为y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________11.(2011年试题，二)微分方程y " +y=e -x满足条件y(0)=0的解为y= 1（分数：2.00）填空项1:__________________12.(2008年试题，二)微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.(2006年试题，一) 2.00）填空项1:__________________14.(2005年试题，一)微分方程xy " +2y=xlnx满足 2.00）填空项1:__________________15.(2004年试题，一)微分方程(y+x 2 )dx一2xdy=0满足 2.00）填空项1:__________________16.(2001年试题，一) 2.00）填空项1:__________________17.(2002年试题，一)微分方程xy "" +y 12 =0满足初始条件 2.00）填空项1:__________________18.(2010年试题，9)三阶常系数线性齐次微分方程y """一2y "" +y "一2y=0通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________19.(2007年试题，二)二阶常系数非齐次线性微分方程y ""一4y "+3y=2e 2x的通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________20.(1999年试题，一)微分方程y ""一4y=e 2x的通解为 1.（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。

考研数学二(一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程)模拟试卷

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1-y3与y2-y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．知识模块：常微分方程填空题2．当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．正确答案：解析：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π，代入△y的表达式即得y(1)-π=π+αy(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程分离变量，得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求f(x)=3x带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．正确答案：由于f(m)(x)=3x(ln3)m，f(m)(0)=(ln3)n，则涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．正确答案：在处展开成分别令两式相加由导函数的中间值定理在η1，η2之间(ξ∈(s，b))，使得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn+xn+1．若f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn 是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(0，+∞)上有界，求证：f’(x)在(0，+∞)上有界.正确答案：按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式＞0，h＞0有f(x+h)=f(x)+f’(x)h+f’’(ξ)h2，其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有f(x+1)=f(x)+f’(x)+f’’(ξ)，即f’(x)=f(x+1)-f(x)-f’’(ξ)．由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2(∈(0，+∞))，M0，M2为常数，于是有｜f’(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+即f’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．正确答案：联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式．x0∈[a，b]，f(x0)=.将f(x0)在∈[a，b]展开，有f(x0)=f(x)+f’(x)(x0-x)+f’’(ξ)(x0-x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f’(x)(x0-x)(∈[a，b]，x≠0)．两边在[a，b]上积分得∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf’(x)(x0-x)dx=∫abf(x)dx+f(x0-x)df(x)=∫abf(x)dx-(b-x0)f(b)-(x0-a)f(a)+∫abf(x)dx≤2∫abf(x)dx.因此f(x0)(b-a)＜2∫abf(x)dx，即=∫abf(x)dx．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．求微分方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解．正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y2-1｜=-ln｜x2-1｜+C’，即(x2-1)(y2-1)=C，其中C 为任意常数．涉及知识点：常微分方程9．求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy’’=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy’’=2(yt2-y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=eC1x．这样，原方程的通解即为y=eC1x+C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以)，为自变量，，原方程可化为=2(p2-p)．当p≠0时，可改写为，解为p-1=C1y2．再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2 其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=．所以满足初始条件的特解为涉及知识点：常微分方程10．设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，(*)求f(t)．正确答案：因f(t)连续∫0tf(s)sinsds可导f(t)可导．于是这是一阶线性微分方程的初值问题．方程两边乘μ=e-∫sintdt=eccost，得[ecostf(t)]’=-4sintcostecost．积分得ecostf(t)=4fcostd(ecost)=4(cost-1)ecost+ C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e1-cost+4(cost-1)．涉及知识点：常微分方程11．设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．正确答案：令tx=s，原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．①f(x)=xf’(x)+f(x)+(x2sinx)’，即f’(x)= ②(x=0时两端自然成立，不必另加条件．)将②直接积分得f(x)==-xsinx+cosx+ C．涉及知识点：常微分方程12．求下列方程的通解：(Ⅰ)y’’3y’=2-6x；(Ⅱ)y’’+y=ccosxcos2x．正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0，所以通解为=C1+C2e3x．再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]’’-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x．比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y’’+y=cosx与y’’+y=cos3x的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y’’+y=cosx的特解应具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．y1*(x)=sinx．另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=cos3x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程13．设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．正确答案：曲边扇形的面积公式为S=∫0θr2(θ)dθ．又弧微分于是由题设有两边对θ求导，即得r2(θ)=所以r所满足的微分方程为注意到为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=-π／6，所以曲线L的方程为. 涉及知识点：常微分方程14．设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．正确答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)-xy’(x))，又=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2，=(y-xy’)2，按题意得x2+x2y’2=(y-xy’)2，即2xyy’-y2=-x2．又初始条件这是齐次方程，则方程化成分离变量得积分得ln(1+u2)=-lnx+C1，1+u2=代入u=得y2+x2=Cx．由初始条件，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x．涉及知识点：常微分方程15．在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：若将此曲线记为y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y’’≥0，故曲率又由于过(x，f(x))点的法线方程为X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0，它与x轴交点Q的横坐标X0=x+y’(x)y(x)，所以，线段的长度为这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为y(1)=1，y’(1)=0．解二阶方程的初值问题得y=(ex-1+e1-x)．涉及知识点：常微分方程16．设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T-T0成正比．又设T0=20℃，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?正确答案：温度变化的速率即，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度T所满足的微分方程：=-k(T-T0)，其中k为比例常数，且k ＞0．其通解为T=T0+Ce-kt.再由题设：T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以(ln8-ln3)．这样，温度T=20+．若T=95，则t==1．58，即在1．58小时后热水的温度降为95℃．涉及知识点：常微分方程17．从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．正确答案：取沉放点为坐标原点O，Oy轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得=mg-ρV-kv．由于v=，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法，可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意，所以应将方程改写为直接求积分，则有再由题设，其初始条件应为v｜y=0=0，由此可定出C=，故所求的关系涉及知识点：常微分方程18．要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．正确答案：首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)．其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa2．考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhpπy2(s)ds．于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds．再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得2pπyy’=-ρπy2．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得涉及知识点：常微分方程19．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(-1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t=0．1。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷19.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷19一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为( )．（A）(C1＋C2χ)e2χ－（B）(C1＋C2χ)e-2χ－（C）C1e-2χ＋C2e2χ－（D）C1e-2χ＋C2e2χ－2 设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则( )．（A）等于1（B）等于2（C）等于0（D）不存在3 二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式为( )．（A）(aχ＋b)e－χ（B）χ2e－χ（C）χ2(aχ＋b)e－χ（D）χ(aχ＋b)e－χ二、填空题4 微分方程χy′＝＋y的通解为_______．5 设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．6 以y＝C1e-2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．7 设y〞－3y′＋ay＝－5e-χ的特解形式为Aχe-χ，则其通解为_______．8 设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χ(χt)]dt＝1，则f(χ)＝_______．9 设y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且有y(1)＝1，则∫02y(χ)dχ＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．11 设函数f(χ，y)可微，＝－f(χ，y)，f(0，)＝1，且＝e coty，求f(χ，y)．12 设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)； (2)f(χ)的极值．13 设函数f(χ)满足χf′(χ)－2f(χ)＝－χ，且由曲线y＝f(χ)，χ＝1及χ轴(χ≥0)所围成的平面图形为D．若D绕χ轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(χ)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线χ＝1所围成的平面图形的面积．14 位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．15 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．16 设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．17 用变量代换χ＝sint将方程(1－χ2)－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．18 用变量代换χ＝lnt将方程＋e2χy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．19 设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程，并求函数y(χ)的极值．20 飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v． (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程．21 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．22 某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?23 在t＝0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．24 某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?26 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?27 设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．28 设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．29 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：常微分方程2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程3．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量[*]且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．eπ/4D．πeπ/4正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．函数y=C1ex +C2e-2x +xex 满足的一个微分方程是A．y”-y’-2y=3xexB．y”-y’-2y=3exC．y”+y’-2y=3xexD．y”+y’-2y=3ex正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程填空题6．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：常微分方程7．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_________．正确答案：C1ex+C2e3x+2ex 涉及知识点：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二（微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是( )A．C1y1+C2y2+y3B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3正确答案：D解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解．知识模块：微分方程2．设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )A．[0，+∞)B．(一∞，0]C．(-∞，4]D．(一∞，+∞)正确答案：A解析：因为当b≠±2时，y(x)=，所以，当b2—4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要即b＞2．当b2—4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要的实部大于等于零，即0≤b＜2．当b=2时，y(x)=C1e-x+C2xe-x 在区间(0，+∞)上有界．当b=一2时，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，方程y”+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选(A)．知识模块：微分方程3．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是( )A．y”‘一y”一y’+y=0B．y”‘+y”一y’一y=0C．y”‘一6y”+11y’一6y=0D．y”‘一2y”一y’+2y=0正确答案：B解析：根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程为y”‘+y”一y’一y=0，故选(B)．或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是y”‘+ay”+by’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得解得a=1，b=一1，c=一1．故所求方程为y”‘+y”一y’一y=0，即选项(B)正确．知识模块：微分方程4．函数(其中C是任意常数)对微分方程而言，( )A．是通解B．是特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：C解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+(2)特解中不含有任意常数满足原方程，故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C)．知识模块：微分方程5．微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( )A．aex+be2xB．aex+bxe2xC．axex+be2xD．axex+bxe2x正确答案：B解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r2-6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ=1非特征根，对应特解为y1*=aex；f2(x)=e2x，λ=2为特征单根，对应特解为y2*=bxe2x．故原方程特解的形式为aex+bxe2x，即选(B)．知识模块：微分方程6．微分方程y”+2y’+2y=e-xsin x的特解形式为( )A．e-x(Acos x+Bsin x)B．e-x(Acos x+Bxsin x)C．xe-x(Acos x+Bsin x)D．e-x(Axcos x+Bsin x)正确答案：C解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根为r1.2=一1±i，而λ±i ω=一1±i是特征根，特解y*=xe-x(Acosx+Bsin x)．知识模块：微分方程7．微分方程的通解是( )A．2e3x+3ey2=CB．2e3x+=CC．2e3x一=CD．e3x—=C正确答案：C解析：原方程写成，分离变量有．积分得知识模块：微分方程8．微分方程y”一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，C，d为常数) ( )A．ax2+bx+ce2xB．ax3+bx+C+dx2e2xC．ax2+bx+cxe2xD．ax2+(bx2+cx)e2x正确答案：B解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c：又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*与y2*合起来就是特解，选(B)．知识模块：微分方程填空题9．设y1=ex，y2=x2为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为__________．正确答案：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．设所求的二阶线性齐次微分方程为y”+p(x)y’+q(x)y=0分别以y1=ex，y2=x2代入，得知识模块：微分方程10．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①的3个解，且则式①的通解为_______正确答案：y=C1(y1—y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2为任意常数解析：由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．y1一y2与y2一y3均是式①对应的线性齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=0 ②的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③设k1≠0，又由题设知y2-y3≠0，于是式③可改写为矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1一y2与y2-y3线性无关．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3) ④为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1一y2)+C2(y2-y3)+y1 ⑤为式①的通解．知识模块：微分方程11．微分方程满足初值条件y(0)=0，y’(0)=的特解是______．正确答案：x=ey一e-y一解析：熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程．将式①代入原方程，原方程化为解得x关于y的通解为x=C1ey+C2e-y一②以x=0时，y=0代入上式，得0=C1+C2．再将式②两边对y求导，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解x=ey—e-y一知识模块：微分方程12．设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．正确答案：axex解析：由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得f(x)=ex[∫aex．e-xdx+C]=ex(sx+C)．因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axex，如上所填. 知识模块：微分方程13．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且其反函数存在为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex-ex+1，则当一∞＜x＜+∞时．f(x)=______．正确答案：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程．现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之．注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．将所给方程两边对x求导，有g(f(x))f’(x)+f(x)=xex．因g(f(x))≡x，所以上式成为xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为解得由于f(x)在x=0处可导，所以连续．令x→0，得从而知C=1．于是得知识模块：微分方程14．微分方程y’+ytan x=cos x的通解为y=_______．正确答案：(x+C)cos x，其中C为任意常数解析：属于一阶线性非齐次方程，直接根据一阶线性非齐次方程的方法即可得出答案．知识模块：微分方程15．微分方程y”一4y=e2x的通解为y=______．正确答案：-其中C1，C2为任意常数解析：y”一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Axe2x代入y”*4y=e2x，可解得所以y”-4y=e2x的通解为C1e-2x+，其中C1，C2为任意常数．知识模块：微分方程16．微分方程3extan ydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是__________．正确答案：tan y=C(ex一1)3，其中C为任意常数解析：方程分离变量得．积分得ln(tan y)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解为tan y=C(ex一1)3，其中C为任意常数．知识模块：微分方程17．微分方程y’tan x=yln y的通解是_________．正确答案：y=eCsinx，其中C为任意常数解析：原方程分离变量，有．积分得ln(ln y)=ln(sin x)+ln C，通解为ln y=Csin x，或y=eCsinx，其中C为任意常数．知识模块：微分方程18．微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_________．正确答案：3x2+xy=C，其中C为任意常数解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．原方程化为①由一阶线性方程的通解公式得，其中C为任意常数，即3x2+xy=C，其中C 为任意常数．知识模块：微分方程19．微分方程的通解是_________．正确答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数解析：原方程是二阶常系数线性齐次微分方程．其特征方程为r2—5r+6=0，即(r一3)(r一2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知识模块：微分方程20．微分方程的通解是_______．正确答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数解析：原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根为r1,2=1．故y齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．又据观察，显然y*=1与y齐合并即得原方程通解．知识模块：微分方程21．微分方程的通解_________包含了所有的解．正确答案：不一定解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，经分离变量有积分得通解y2-1=C(x 一1)2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2一1≠0，x一1≠0)．知识模块：微分方程22．微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是________．正确答案：．其中C为任意常数解析：知识模块：微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷18.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷18.doc[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷18一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设φ1(χ)，φ2(χ)，φ3(χ)为二阶非齐次线性方程y〞＋a1(χ)y′＋a2(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．（A）C1[φ1(χ)＋φ2(χ)]＋C2φ3(χ)（B）C1[φ1(χ)－φ2(χ)]＋C2φ3(χ)（C）C1[φ1(χ)＋φ2(χ)]＋C2[φ1(χ)－φ3(χ)]（D）C1φ1(χ)＋C2φ2(χ)＋C3φ3(χ)，其中C1＋C2＋C3＝12 微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)( )．（A）aeχ＋b（B）aχeχ＋b（C）aeχ＋bχ（D）aχeχ＋bχ3 在下列微分方程中以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．（A）y″′＋y〞－4y′－4y＝0（B）y″′＋y〞＋4y′＋4y＝0（C）y″′－y〞－4y′＋4y＝0（D）y″′－y〞＋4y′－4y＝0二、填空题4 微分方程y′－χe-y＋＝0的通解为_______．5 微分方程yy〞－2(y′)2＝0的通解为_______．6 微分方程χy′＝＋y(χ＞0)的通解为_______．7 以y＝C1eχ＋eχ(C2cosχ＋C3sinχ)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_______．8 设y(χ)为微分方程y〞－4y′＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝2的特解，则∫01y()dχ＝_______．9 设函数φ(u)可导且φ(0)＝1，二元函数z＝φ(χ＋y)eχy满足＝0，则φ(u)＝_______三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(χ0，0)出发(χ0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．11 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kχ(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系数为k y(kg.s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．12 设函数y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(0)＝0，求函数y＝y(χ)．13 设f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a＋b)＝e a f(b)＋e b f(a)成立，又f′(0)＝1，求f(χ)．14 设当u＞0时f(u)一阶连续可导，且f(1)＝0，又二元函数z＝f(eχ－e y)满足＝1，求f(u)．15 求微分方程χy＝χ2＋y2满足条件y｜χ＝e＝2e的特解．16 微分方程χ＝y(lny－lnχ)的通解．17 求微分方程的通解．18 求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(χ＞0)的满足y(χ)＝1的特解．19 求微分方程y＋ycosχ＝(lnχ)e－sinχ的通解．20 求微分方程χ－2y＝χlnχ的满足初始条件y(1)＝0的特解．21 求微分方程(1－χ2)y〞－χy′＝0的满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的特解．22 已知微分方程y′＋y＝f(χ)，其中f(χ)＝，求该微分方程的解y ＝y(χ)满足y(0)＝0．23 解方程(3χ2＋2)y〞＝6χy′，已知其解与eχ－1(χ→0)为等价无穷小．24 求微分方程yy〞＋(y′)2＝0的满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝的特解．25 设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点的切线重合，求函数y＝y(χ)．26 求微分方程y〞－y＝4cosχ＋eχ的通解．27 设连续函数f(χ)满足：∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt与χ无关，求f(χ)．28 设f(χ)二阶可导，且∫0χf(t)dt＋∫0χtf(χ－t)dt＝χ，求f(χ)．29 设u＝f(ln)满足，求f(t)的表达式．。

考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．正确答案：A解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A．知识模块：常微分方程2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是【】A．y〞－y′－2y＝3χeχ．B．y〞－y′－2y＝3eχ．C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．D．y〞＋y′－2y＝3eχ．正确答案：D解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选D．知识模块：常微分方程3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是【】A．＋y〞－4y′－4y＝0．B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．C．－y〞－4y′＋4y＝0．D．－y〞＋4y′－4y＝0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0 故应选D．知识模块：常微分方程4．(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ) 即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：常微分方程5．(2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为【】A．aχ(eλχ＋e－λχ)．B．aχ(eλχ＋e－λχ)．C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．正确答案：C解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为r2－λ2＝1 r1＝λ，r2＝－λ方程y〞－λ2y＝eλχ的特解形式为aχeλχ方程y〞－λ2y＝e－λχ的特解形式为bχe－λe 则原方程的特解形式为y＝χ(aχeλχ＋bχe－λχ) 故应选C．知识模块：常微分方程填空题6．(2006年)微分方程y′＝的通解是_______．正确答案：y＝Cχe－χ．解析：则ln｜y｜＝ln｜χ｜－χ＝ln｜χ｜＋lne－χ＝ln(｜χ｜e－χ) y＝Cχe－χ．知识模块：常微分方程7．(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－4y′＋3y＝2e2χ的通解为y＝_______．正确答案：y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ．解析：齐次方程特征方程为ρ2－4ρ＋3＝0 解得ρ1＝1，ρ2＝3，则齐次方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ设非齐方程特解为＝Ae2χ，代入原方程得A＝－2，则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ知识模块：常微分方程8．(2008年)微分方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0的通解是y＝_______．正确答案：y＝χ(C－e－χ)．解析：方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0可改写为知识模块：常微分方程9．(2010年)3阶常系数线性齐次微分方程－2y〞＋y′－2y＝0的通解为y ＝________．正确答案：y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．解析：方程y″′＝2y〞＋y′－2y＝0的特征方程为r3－2r2＋r－2＝0 即r2(r－2)＋(r－2)＝0 (r－2)(r2＋1)＝0 r1＝2，r2，3＝±l′则原方程通解为y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．知识模块：常微分方程10．(2011年)微分方程y′＋y＝e－χcosχ满足条件y(0)＝0的解为y＝_______．正确答案：e－χsinχ．解析：由一阶线性方程的通解公式得y＝＝e－χ[∫cosχdχ＋c]＝e－χ[sinχ＋C] 由y(0)＝0知，C＝0，则y＝e－χsinχ知识模块：常微分方程11．(2012年)微分方程ydχ＋(χ－3y2)dy＝0满足条件y｜χ＝1＝1的解为y＝_______．正确答案：解析：由ydχ＋(χ－3y2)dy＝0 得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y＝1时，χ＝1，解得C＝0，故χ＝y2．y＝知识模块：常微分方程12．(2013年)已知y1＝e3χ－χe2χ，y2＝eχ－χe2χ，y3＝－χe2χ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜χ＝0＝0，y′｜χ＝0＝1的解为y＝_______．正确答案：C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．解析：由题设知y1－y3＝e3χ，y2－y3＝eχ为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．知识模块：常微分方程13．(2015年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ．解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷9.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷9.doc[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设y(x)是微分方程y''+(x-1)y'+x2y=e x满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的解，则( )．（A）等于1（B）等于2（C）等于0（D）不存在2 二阶常系数非齐次线性微分方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为( )．（A）(ax+b)e x（B）x2e-x（C）x2(ax+b)e-x（D）x(ax+b)e-x3 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y''+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．（A）C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)（B）C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)（C）C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]（D）C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1二、填空题4 设y=y(z)满足△y==______5 微分方程y'-xe-y+=0的通解为______6 微分方程yy''-2(y')2=0的通解为_______7 微分方程xy'=(x＞0)的通解为________8 以y=C1e x+e x(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_______9 设y(x)为微分方程y''-4y'+4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则=______三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9 设f(x)是连续函数．10 求初值问题，的解，其中a＞0；11 若｜f(x)｜≤k，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(e ax-1)．12 设有微分方程y'-2y=φ(c)，其中φ(x)=，在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．13 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．14 利用变换x=arctant将方程化为y 关于t的方程，并求原方程的通解．15 设f(x)为偶函数，且满足f'(x)+2f(x)-f(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．16 设二阶常系数线性微分方程，y''+ay'+by=ce x有特解y=e2x+(1+x)e x，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．17 设，求f(x)．17 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f'(x)+f(x)-18 求f'(x)；19 证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1．20 设y=y(x)二阶可导，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=的解．21 设函数f(x，y)可微，，求f(x，y)．21 设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：22 f(x)；23 f(x)的极值．23 设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：24 曲线y=f(x)；25 曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．26 位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y'2之积成反比，比例系数为k=，求y=y(x)．27 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．28 设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．29 用变量代换x=sint将方程(1-x2)化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．30 用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．31 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．31 飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．32 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；33 导弹运行方程．34 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．35 某湖泊水量为V，每年排人湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排人湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?。

考研数学二(常微分方程)-试卷1.doc

考研数学二（常微分方程）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2 =1的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。

B.xy=4。

C.x 2 y=4。

D.一xy=4。

3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )（分数：2.00）4.已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。

B.y=Cy 2 (x)。

C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。

D.y=c[y 1 (x)一y 2 (x)]。

5.设y 1，y 2是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）6.设线性无关的函数y 1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3。

B.C 1 y 1 +C 1 y 2一(C 1 +C 2 )y 3。

C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3。

D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3。

考研数学二(选择题)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学二（选择题）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1.1．以下三个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A 正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．则当ni＞N时，恒有｜一A｜＜ε．因此数列{}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有，从而｜xn一A｜＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．对于命题③，因=A，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此=A．可知命题正确．故答案选择(D)．知识模块：函数、极限、连续2．设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )A．若{x1}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界。

故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛。

故选B。

知识模块：函数、极限、连续3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则A．C=p-1AP．B．C=PAP-1．C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B 涉及知识点：矩阵4．设f(x)＝xsinx＋cosx，下列命题中正确的是A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．已知矩阵A相似于矩阵B＝则秩(A－2E)与秩(A－E)之和等于【】A．2B．3C．4D．5正确答案：C 涉及知识点：矩阵6．f(χ)在(－∞，＋∞)内二阶可导，f〞(χ)＜0，＝1，则f(χ)在(－∞，0)内( )．A．单调增加且大于零B．单调增加且小于零C．单调减少且大于零D．单调减少且小于零正确答案：B解析：由＝1，得f(0)＝0，f′(0)＝1，因为f〞(χ)＜0，所以f′(χ)单调减少，在(－∞，0)内f′(χ)＞f′(0)＝1＞0，故f(χ)在(－∞，0)内为单调增函数，再由f(0)＝0，在(－∞，0)内f(χ)＜f(0)＝0，选B．知识模块：导数与微分7．设，其中D：x2+y2≤a2，则以值为( )．A．1B．2C．D．正确答案：B解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)，由解得a=2，选(B)．知识模块：高等数学8．以下4个命题，正确的个数为( )①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞(x)dx=0；②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；④若∫-∞+∞f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx未必发散．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：∫-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且但是∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，但∫-∞+∞(f(x)+g(x))dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学9．设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )．A．|A|=|B|B．|A|≠|B|C．若|A|=0，则一定有|B|=0D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0正确答案：C解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即|B|=0，应选(C)．知识模块：线性代数10．设则f(x，y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在．B．两个偏导数存在但不可微．C．偏导数连续．D．可微但偏导数不连续．正确答案：B解析：由偏导数定义，有故f(x，y)在(0，0)点不可微．应选B．知识模块：多元函数微积分学11．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2－(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3．D．C11y1+C2y2+(1－C1－C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1－y3)+C2(y2－y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1－y3与y2－y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选D．知识模块：常微分方程12．A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学13．A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|= ( )A．|A|B．|A-1|C．|An-1|D．|An|正确答案：C解析：AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|N 若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．知识模块：线性代数14．A，B是n阶矩阵，且A～B，则( )A．A，B的特征矩阵相同B．A，B的特征方程相同C．A，B相似于同一个对角矩阵D．存在n阶方阵Q，使得QTAQ=B正确答案：B解析：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，|λE 一B|=|λE一P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE一A||P|=|λE一A|．知识模块：线性代数15．设A，B均是n阶实对称矩阵，则A，B合同的充分必要条件是( ) A．A，B有相同的特征值B．A，B有相同的秩C．A，B有相同的正、负惯性指数D．A，B均是可逆阵正确答案：C解析：(A)是充分条件，A，B实对称，且λi相同，则A≌B，但反之不成立．(B)是必要条件但不充分，A≌B，有可逆阵C，CTAC=B;r(A)=r(B)，反之不成立．(D)既不充分，又不必要．(C)是两矩阵合同的充要条件．知识模块：线性代数16．sinχ2dχ为( )．A．等于0B．大于0C．小于0D．不能确定正确答案：B解析：故选B．知识模块：一元函数积分学17．下列命题正确的是( )．A．若｜f(x)｜在=a处连续，则f(x)在x=a处连续B．若f(x)在x=a处连续，则｜f(x)｜在x=a处连续C．若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续D．若[f(a+h)-f(a-h)]=0，则f(x)在x=a处连续正确答案：B解析：令f(x)=显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的，故(C)不对；令f(x)=[f(0+h)-f(0-h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，(D)不对；若f(x)在x=a 处连续，则=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜，根据夹逼定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，选(B)．知识模块：函数、极限、连续18．设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，若A一μE是正定矩阵，则参数μ应满足( ) A．μ＞bB．μ＞aC．μ＜aD．μ＜b正确答案：D解析：A有特征值λ1，λ2，λ3，则A一μE有特征值λ1一μ，λ2一μ，λ3一μ且满足a一μ≥λ1一μ≥λ2一μ≥λ3一μ≥b一μ．A一μE正定，全部特征值应大于0，当b一μ＞0即b＞μ时，A一μE正定，故应选(D)．知识模块：线性代数19．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝O的充分必要条件是A＝O或B＝OB．AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC．AB＝O且r(A)＝n，则B＝OD．若AB≠O，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：取A＝≠O，B＝≠O，显然AB＝O，故选项A、B都不对，取A＝，B＝，显然AB＝≠O，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故D不对；由AB＝O得r(A)＋r(B)≤n，因为r(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以选C．知识模块：矩阵20．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是( )．A．α1，α2，…，αs均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示D．α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．正确答案：C解析：若α1，α2，…，αs线性无关，则α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs线性无关，应选(C)．21．A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：常微分方程与差分方程22．若向量组α1，α2，α3线性无关，向量组α1，α2，α4线性相关，则A．α1必可由α2，α3，α4线性表示．B．α2必不可由α1，α3，α4线性表示．C．α4必可由α1，α2，α3线性表示．D．α4必不可由α1，α2，α3线性表示．正确答案：C解析：由条件知α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故由向量线性相关定理即知α1可由α1，α2，α3线性表示，(C)正确．知识模块：向量已知A，B为3阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E为3阶单位矩阵．23．证明：矩阵A-2E可逆；正确答案：从2A-1B=B-4E中设法分解出因子A-2E；由2A-1B=B-4E可得2B=AB-4A，从而AB-4A=2B=0，即AB-2B-(4A-8E)=8E，即(A-2E)B-4(A-2E)=8E，因此(a-2E)(B-4E)=8E，即(a-2E)1/8(B-4E)=E，故A-2E可逆，且(A-2E)-1=1/8(B-4E)．涉及知识点：综合24．正确答案：由上可知(A-2E)=8(B-4E)-1，从而涉及知识点：综合25．A．(n+1)anB．nanC．(n+1)aD．na正确答案：A 涉及知识点：综合。

考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1999年试题，二)记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：由题设，利用行列式的性质，由第2，3，4各列减第一列并将第2列加到第4列上得则由此不难求得x=0和x=1是f(x)=0的两个根，所以选B．[评注]行列式的基本计算方法一般有三种，第一种：根据行列式的概念进行完全展开，即n阶行列式对于阶数比较低的行列式常用这种方法；第二种：行列式的性质和行列式的按行(列)展开定理；第三种：先用行列式的性质化出尽可能多的零元素，然后再用行(列)展开定理降阶，化为低阶行列式进行计算．知识模块：行列式填空题2．(2010年试题，14)设A，B为三阶矩阵，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________．正确答案：因为A(A-1+B)B-1=(E+AB)B-1=A+B-1，所以｜A+B-1｜=A-1+B)B-1｜=｜A｜｜A-1+B｜｜B-1｜=又｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，故｜A+B-1｜涉及知识点：行列式3．(2006年试题，一)设矩阵单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E则｜B｜=_________．正确答案：由已知BA=B+2E有B(A—E)=2E，两边取行列式得｜B｜．｜A —B｜=4因为所以｜B｜=2 涉及知识点：行列式4．(2005年试题，一)设a1，a2，a3均为三维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3，a1+3a2+9a3)如果｜A｜=1，那么｜B｜=__________正确答案：由题意，我们对矩阵B分块得于是有所以｜B｜=2解析：本题作为填空题，可用特殊值法，令A=E即可很快求出｜B｜=2．实际上，很显然矩阵B=[β1，β2，β3]的行列向量可由矩阵A的列向量线性表示，即β1=α1+α2+α2β2=-α1+2α2+4α3β3=α1+3α2+9α3所以B=[β1，β2，β3]=[α1，α2,α3] 知识模块：行列式5．(2004年试题，一)设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=__________.正确答案：由题设，，则｜A｜=3≠0，从而由公式AA*=A*A=｜A｜E知A*=｜A｜A-1=3A-1，则｜A*｜=33.3-1=9，将ABA*=2BA*+E变形为(A一2E)BA*=E，则｜A一2E｜｜B｜｜A*｜=｜E｜，其中所以解析：本题含有A的伴随矩阵A*，可利用伴随矩阵的性质A*A=AA*=｜A｜E，以后在解题过程中，关于A*的问题，通常会用到A*A=AA*=｜A｜E．知识模块：行列式6．(2003年试题，一)设三阶方阵A*B满足A2B一A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若则｜B｜=__________.正确答案：由题设所给方程A2B一A—B=E，得(A2一e)B=A+E，即(A+E)(A —E)B=A+E又由已知则且｜A一E｜2≠0，于是B=(A一E)-1(A+E)-1(A+E)=(A 一E)-1，因此解析：考查了矩阵的运算和行列式的计算，这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷2
一、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．
1 试求曲线L的方程；
2 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
2 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．
3 求曲线y=f(x)的方程；
4 已知曲线y=sinx在上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．
5 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线Y=x相切于原点．记a为曲线f在点(x,y，)处切线的倾角，若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式．
6 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为
S1，区间上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
7 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的
t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
8 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数
k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?
9 某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少? 注：kg 表示千克，km／h表示千米／小时．
10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为
κ(κ>0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．
11 某湖泊的水量为V1，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含A 污水的浓度不超过m0／V．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)
11 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕，，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内
无液体)．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)
12 根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
13 求曲线x=φ(y)的方程.。