三次样条插值课件
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三次样条插值ppt
f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值函数PPT课件
在力学上，如果把细木条看成弹性细梁，亚铁看成作用在
梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集
中载荷作用下的弯曲变形曲线。
-
2
-
3
4.5.2 三次样条差值函数
-
4
-
5
-
6
-
7
-
8
相邻区间的长度比
插值数据在
处的二阶中心 差商的3倍
-
9
-
10
从而得
-
11
边界条件
方程组都为n+1个未 知数、n-1个方程的 线性方程组
-
1
4.5.1 三次样条差值函数的力学背景
在工程和数学应用中常有这么一类数据处理问题：在平面 上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑的曲线把这些 点按次序连接起来。在过去很长一段时间内，工程技术人员为 了得到这条光滑的曲线，常常使用一条富有弹性的均匀细木条 （或是有机玻璃条），一次经过这些点，并用亚铁在若干点处 压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，并形象地称之 为“样条曲线”。
无法保 证唯一 解
按具体问题的要求在区 间端点给出约束条件， 称为边界条件
加两个 条件
-
12
边界条件的分类
-
13
讨论M连续方程的各类边界条件
-
14
-
15
-
16
-
17
三次样条插值函数的Leabharlann 质-18-
19
-
20
上海交大数值分析课件数值分析2-6(三次样条插值)
1°已知两端的一阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
2
3
... ... ... ... ...
... 0 0
1
2 ... 0 0 g g g
n 2 n 1 2 3 1
n 2
n 2
0
n 1
2
m m m m n m n
1 2 3
2 1
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
2
3
... ... ... ... ...
... 0 0
1
2 ... 0 0 g g g
n 2 n 1 2 3 1
n 2
n 2
0
n 1
2
m m m m n m n
1 2 3
2 1
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
三次样条插值
yi1 hi
yi
hi 6
Mi1 Mi
(3.2)
Cubic Spline
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
Si( xi 0) Si1( xi 0), i 1, 2,L , n 1
可得关于参数 M j 的方程组，即三弯矩方程的形式为
其中
i Mi1 2Mi i Mi1 i , i 1, 2,L , n 1
f
n
mn .
（II类）
（3）周期边界条件
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
（III 类）
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
hi 1 (i 0,1, 2)
i i
i
i
0
1
6
1 12
12
-3
2 12
12
36
31
-78
得方程组 2 1 0 0 M0 6
1 2
0 0
2 12 0
12 2 1
0 12 2
M1 M2 M3
3 36 78
Cubic Spline
解得
M0
28 3
28 M1 3
106 M2 3
② 计算 Mi (追赶法等) ;
③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ;
④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
例 由函数表
Cubic Spline
j
0
1
2
3
xj
0
-三次样条插值课件
Ai
1 hi
y i 1
1 6
M
h2
i1 i
,
Bi
1 hi
yi
1 6
M
i
hi2
将其代入（5.31）即得
第8页，共38页。
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
yi1
M i1 6
hi2
(xi hi
x)
yi
Mi 6
hi2
(x
xi1) hi
)
将
x0
1, x1
2, y0
1, y1
3, h1
1, M 0
0, M1
3 4
代入上式化简后得
S1 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
同理S(x)在 x1 , x2 上的表达式为
S2 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
第20页，共38页。
S(x)在 x2 , x3 上的表达式为
S3 (x)
S i( x)
M i1
xi x xi1 xi
Mi
x xi1 xi xi1
记 hi xi x，i1 则有
S i( x)
M i1
xi x hi
Mi
x xi1 hi
第7页，共38页。
连续两次积分得
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
Ai (xi
y0
M 0
h1 2
y1 y0 h1
h1 6
第二章三次样条插值
hk hk 1
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
根据S ( x)在[a, b]上二阶导数连续 在节点xj j (1, 2, , n 1)处就应满足连续性条件
S(x j 0) S(x j 0) S ' (x j 0) S '(x j 0) S"(x j 0) S"(x j 0)
共(n+1)+(3n-3)=4n-2个条件，因此还需要 两个条件才能确定S(x)
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
f(x)
H(x)
S(x)
要求出S(x)，则在每个小区间上 [x j , x要j1确] 定4个 待定系数，共有n个小区间，所以应确定4n个参 数。
可在区间端点a,b上各加一个条件（边界条件）， 具体要根据实际问题要求给定；
1. 已知两端的一阶导数值
S(x0 ) f0
S(xn ) fn
2. 两端的二阶导数已知
S(x0 ) f0 S"(xn ) fn
其特殊情况为
S(x0 ) S(xn ) 0
3. 当f(x)是xn x0为周期的周期函数时，则要求 S(x)也是周期函数，这时边界条件应满足：
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
根据S ( x)在[a, b]上二阶导数连续 在节点xj j (1, 2, , n 1)处就应满足连续性条件
S(x j 0) S(x j 0) S ' (x j 0) S '(x j 0) S"(x j 0) S"(x j 0)
共(n+1)+(3n-3)=4n-2个条件，因此还需要 两个条件才能确定S(x)
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
f(x)
H(x)
S(x)
要求出S(x)，则在每个小区间上 [x j , x要j1确] 定4个 待定系数，共有n个小区间，所以应确定4n个参 数。
可在区间端点a,b上各加一个条件（边界条件）， 具体要根据实际问题要求给定；
1. 已知两端的一阶导数值
S(x0 ) f0
S(xn ) fn
2. 两端的二阶导数已知
S(x0 ) f0 S"(xn ) fn
其特殊情况为
S(x0 ) S(xn ) 0
3. 当f(x)是xn x0为周期的周期函数时，则要求 S(x)也是周期函数，这时边界条件应满足：
三次样条插值
则有: S(-1)= – a1+b1–c1+d1=f(-1)=1, S(1)=a2+b2+c2+d2= f (1) =1,
S(0)=d1= f(0)=0,
S(0-0)= d1=S(0+0)=d2, S'-(0)= c1= S'+(0)= c2, S''-(0)=b1= S''+(0)=b2 由自然边界条件: S''(0)= – 6a1+2b1=0, S'(1)= 6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0
令 S( x j ) M j，（j 0,1,2,, n)
参数
插值函数， 因为S j ( x)是三次样条
所以, S [ x j , x j 1 ]上是一次函数,由两点拉格朗日插值可表示为 j ( x)在 x j 1 x x xj S ( x) Mj M j 1 , x [ x j , x j 1 ], hj x j 1 x j hj hj (2.46) 对上式积分,得 ( x j 1 x)2 ( x x j )2 S ( x) Mj M j 1 c1 , (2.47) 2h j 2h j
( xi , f ( xi )),(i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ;
f ( x ) 于 [a , b] 存在 ，则 ( a （或（ ) b ）或（ c ）） (2)给定边界条件
) b）或（ c））。 唯一3次样条插值函数 S ( x ),且满足 (a（或（
第二章 插值法
例 2.13 已知 f (–1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1.求[–1，1] 上的三次自然样条(满足自然边界条件). 解设
三次样条插值
插值的根本区别在于S(x)自 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于 自 的导数值（除了在2个端点可能需 身光滑， 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在 个端点可能需 ）；而 插值依赖于f 要）；而Hermite插值依赖于 在所有插值点的导数值。 插值依赖于 在所有插值点的导数值。
§4.6 三次样条插值
2 定义4.6.1 设 a = x0 < x1 < ... < xn = b。三次样条函数S ( x ) ∈ C [ a , b ] , 定义
且 在 每 个 [ x i , x i +1 ] 上 为 三 次 多 项 式
。若它同时还满
三次样条插值函数。 足 S ( xi ) = f ( xi ), ( i = 0, ... , n)，则称它为 f 的三次样条插值函数。
( x j x )2 ( x x j 1 ) 2 + M j 1 + Aj S[j]'(x) = M j 1 2h j 2h j
利用已知
S[j](xj1) = yj1 S[j](xj) = yj
( x j x) ( x x j 1 ) [j](x) = + Mj + Aj x + B j S M j 1 6hj 6hj
这时： 0 = 0 , g0 = 2 y0′ ; n = 0 , gn = 2 y′′ 这时： ′ λ n 特别地， 称为自然边界 对应的样条函数称为自 特别地，M0 = Mn = 0 称为自然边界，对应的样条函数称为自 然样条。 类边界条件： 第3类边界条件： 类边界条件 M g 2 λ 周期函数时 当 f 为周期函数时，
3 3
可解
yj yj1 Mj Mj1 Aj = hj hj 6
三次样条曲线.ppt
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。1858 年利用椭圆函数首先得出五次 方程的解。1873年证明了自然 对数的底e的超越性。在现代数 学各分支中以他姓氏命名的概 念（表示某种对称性）很多， 如“Hermite二次型”、 “Hermte算子”等。
2.1 Hermite 基 函 数
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g 表达式复杂,
或无封闭形式,
或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1, n)
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
2.1 Hermite 基 函 数
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
节点可视为由
y g(x)产生,
g 表达式复杂,
或无封闭形式,
或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f (x j ) y j ( j 0,1, n)
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
2.3.3三次样条插值
17 7 5 19 , m1 , m2 , m3 8 4 4 8
6 2 ( f [ x 0, x1] f ) M0 M1 0 h 1 6 ( f f [ x n1, x n ]). M n1 2M n n hn
华长生制作 11
这样可解出
M
i
d
0
6
h
( f [ x 0, x1]
f ), n 0 1,
华长生制作
S ( p) ( x0 0) S ( p) ( xn 0) ------(7) p 1,2 7
一般使用第一、二类边界条件, 常用第二类边界条件 加上任何一类边界条件(至少两个)后
确定S( x)必须确定4n个待定的系数的条件正 好也是4n个
即
lim S ( x ) lim S ( x ) k 1,2 ,, n 1 lim S ( x) lim S ( x) ------(8) k 1 , 2 , , n 1 lim S ( x) lim S ( x) k 1,2 ,, n 1 S(x 0) m S(x 0) m 或 S(x 0) M S( x 0) M
当 x [ xi 1 , xi ] 时, S ( x ) 的表达式可得,因此有
S ( x i 0) f [ x i 1 , x i ] hi 1 ( M i 1 2 M i ). 6
利用条件 S( xi 0) S( xi 0) 得
华长生制作 10
i M i 1 2M i i M i 1 d i, i 0,1, 2,
13
例1. 对于给定的节点及函数值 k 0 1 2 3 xk 1 2 4 5 f ( xk ) 1 3 4 2
【VIP专享】_三次样条插值课件
S (x0 ) S (xn ), S (x0 ) S (xn )
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
4.4三次样条插值(共70张PPT)
解 做差商表(P111),由于是等距离(jùlí)节点,
hi xi xi1 0.15 i 1,2,3,4
i
hi hi1 hi
1 2
,
i
hi1 hi1 hi
1 2
第二十六页，共七十页。
由第二类边界条件得
2 1
M0 5.86667
0.5
2
0.5
M
1
5.14260
0.5
x1 6
] f
[
xi
1
,
xi
,
xi
1
]
（i 1,2,..., n 1）
M
n
1
2Mn
6
f [xn1, xn , xn ]
第二十二页，共七十页。
三次(sān cì)样条插值
第二类边界条件 s'' (x0 ) f '' (x0 ) M 0 , s'' (xn ) f '' (xn ) M n 同理可得
yi xi
yi1 xi1
2 (6 Mi
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6
M
i 1
)( xi
xi1)
记hi xi xi1
i
hi hi1 hi
则法方程为其中xedx1008731273130873127313169030903平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
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三次样条。
三、三次样条插值函数的构造
记 S'' ( x j ) M j ( j 0,1,, n) , f (xj ) yj
表达式S ( x ),由于S ( x )在区间 [ x j , x j 1 ]上是三次多项式，
故 : S' ' ( x )在[ x j , x j 1 ]上是线性函数，
第二型边界条件： 已知f(x)在两端点的二阶导数 f (a )和f (b)要求 S″(a)=M0 = f″(a) , S″(b)=Mn= f″(b) 特别当 S″(a)= S″(b) =0时，S(x)称为自然三次样条
三次样条插值函数的构造
第三型边界条件：
已知f(x)是以b -a为周期的周期函数 ，要求S(x)满足 周期条件
' 0
hn1 yn yn1 hn1 S ( b ) y Mn ( M n M n 1 ) 2 hn1 6
' n
6 y1 y0 令 2 M M ( y ' ) c0 0 1 0 化简得 h0 h0 令 M 2 M 6 ( y' y n y n 1 ) cn n 1 n n hn1 hn1
供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同
要求。
二、三次样条函数的概念
设y = f(x)在点 x0，x1，x2, xn的值为y0，y1，y2, yn，若函数S(x)满足下列条件 （1）S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,,n (1.1) （2）在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上S(x)是 三次多项式，记为 （3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。 则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数, 简称
插值法
第五节 样条插值法
样条插值的研究背景 样条函数的力学意义 三次样条插值多项式的构造 一般的插值问题
样条插值的研究背景
一、拉格朗日(Lagrange) 插值
用基函数法构造: ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x ) , i 0,1 n ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
1
2
2
n 1
三次样条插值函数的构造
上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi， 故还需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边 界条件 第一型边界条件： f f (a ) f (b) ,要求 已知f(x)在两端点的导数
S (a ) f (a ), S (b) f (b)
y j 1 y j hj M j 1 M j 6 hj x [ x j , x j 1 ]
由S(x)在节点的一阶导数的连续性
S ( x j 0) S 'j ( x j 0) S ' ( x j 0) S 'j 1 ( x j 0) ( j 1,2,, n 1)
3
分别代入： S ( x j ) y j 及S ( x j 1 ) y j 1得：
三次样条插值函数的构造
( x j 1 x j ) 3 C1 x j 1 C 2 y j 1 M j 1 6h j 3 ( x x ) j j 1 y M C1 x j C 2 j j 6h j 化简得： 2 hj C1 x j 1 C 2 y j 1 M j 1 6 2 hj yj M j C1 x j C 2 6
)
h j 1 h j
( j 1,2, , n 1)
n+1个方程n－1个未知量！
三次样条插值函数的构造
h j 1 , j j j h j 1 h j y j 1 y j y j y j 1 令 c j 6( )( h j 1 h j ) 1 hj h j 1 f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j ] 6 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ] ( x j x j 1 ) ( x j 1 x j )
S j'( x) M j 1 2h j
x xj hj
2
Mj
Mj 2h j
x x j 1 hj
积分得：
2
(x xj )
( x x j 1 ) C1
再次积分得：
S j ( x)
M j 1 6h j
(x xj )
3
Mj 6h j
( x x j 1 ) C1 x C 2
n=6
取等距节点做n次 Lagrange插值多项式。 当节点无限加密时， 插值多项式出现振荡现 象。
称为龙格Runge现象。
分段线性插值
三、分段插值
x0
xj-1
xj
xj+1
xn
分段线性插值（低次多项式插值），误差小， 整体逼近效果好，但曲线光滑性差。
Hermite插值
四、 Hermite插值
(1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 次数不超过m的多项式; (2) S(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称S(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1， x2, 称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为 边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数
一般插值函数的不足
插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 从而导数不连续。 而一些实际问题,不但要求一阶导数连续, 而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不
不能满足实际需要。
一、样条函数的概念
设S(x)是区间[a,b]上的函数,在区间[a,b]上给定一 组节点: a=x0<x1<x2<<xn=b 若S(x)满足条件
由Lagrange插值公式得： x xj x x j 1 S j ' ' ( x ) M j 1 Mj x [ x j , x j 1 ] hj hj 其中： h j x j 1 x j
以节点处的二阶导数M为参数的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造
对 S j ' ' ( x ) M j 1
得：
M j 1 6h j
(x xj )
3
MjБайду номын сангаас6h j
( x x j 1 ) 3 C1 x C 2
三次样条插值函数的构造
S j ( x ) M j 1 ( yj M j hj 6
(x xj ) 6h j )
3
Mj
( x x j 1 ) 6h j
三次样条插值函数的构造
联立方程组：
M 2 M M c ( j 1,2, , n 1) j j 1 j j j 1 j 6 y1 y0 令 2 M M ( y ' ) c0 0 1 0 h0 h0 y n y n 1 6 令 M 2 M ( y ' ) cn n 1 n n hn1 hn1
3
2
x x j 1 hj
( y j 1
M j 1h j 6
2
)
x xj hj
第j个区间上的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造 因此，只要能求出所有的{M i}，就能求出样
条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法 2 2 ( x x ) ( x x ) j j 1 ' S j ( x ) M j 1 Mj 2h j 2h j
带导数的插值 插值问题的较高要求：
(1) ( 2)
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) ' ( x i ) y i' ( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。 但实际问题中，导数值往往很难获得！
S (a ) S (b), S (a ) S (b ), S (a ) S (b )
三次样条插值函数的构造
(1)若S ( x )满足：S ' (a ) y'0 , S ' (b) y'n 则代入S ' ( x )的表达式可得：
h0 y1 y0 h0 则 S ( a ) y M 0 ( M1 M 0 ) 2 h0 6
可得： j M j 1 2 M j j M j 1 c j
( j 1,2,, n 1)
称为三次样条的M关系式
特点：n+1个未知数，n-1个方程 称为三弯矩方程
三次样条插值函数的构造
方程组可写成矩阵形式 如下
1 2 2 (1) M 0 M 1 c1 M c 2 2 2 n 1 M n 1 c n 1 M n
样条插值
取插值函数为样条函数的插值称为
样条插值
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工 具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相 近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之
成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样
条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提
三次样条插值函数的构造 由上式可解出：
C1 y j 1 hj hj 6 M j 1 hj