(完整版)高一数学三角函数知识点题型复习(一),推荐文档
(完整)高一数学《三角函数》总复习资料完美版
2021年7月30日星期五多云文档名称:《(完整word版)高一数学《三角函数》总复习资料完美版》文档作者:凯帆创作时间:2021.07.30高一数学《三角函数》总复习资料1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示:(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
(答:25-;536π-) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .(3)α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z .(4)α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z .(5)α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈;α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α=____________。
(答:Z k k ∈+,32ππ)4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角,则2α是第_____象限角(答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
高一数学 三角函数+解三角形复习
Day1
三角函数复习
考点分析:1、以三角函数为背景,考察图像的变换、性质的应用以及三角恒等变化。
2、以解三角形为载体,考察正弦定理、余弦定理、以及三角形面积公式的应用。
3、以函数、不等式、向量为载体,考察与三角函数相关的综合问题。
总分值:19分左右。
题目难易程度:以简单题和中等题为主。
题型:改革前,填空题(中间部分)、解答题(前两题)。
知识点复习(一)
1、三角函数的概念:象限角、终边相同的角等概念就不复习了。
2、同角三角函数的基本关系:
3、诱导公式:诱导公式比较多,我们在学了三角函数的图像后,就不需要通过诱导公式了,
所以同学们这里,可以不做记忆,当然记住最好了。
典型例题
解:
知识点复习(二)
1、两角和与差的三角函数公式:
2、二倍角公式:
推导过程:将两角和的三角函数公式中的两个变量变成相同的即可得到二倍角公式。
典型例题
知识点复习(三)
典型例题
知识点复习(四)
1、正弦定理和余弦定理:
2、三角形形状的判断:
典型例题
常见问题
解的个数问题?特别是利用正弦定理,解出sinx的值后,对应的X有两个解,这两个解能否都取到,要结合题目已知条件,利用大边对大角进行取舍。
三角形面积计算。
((完整版))高中数学三角函数知识点总结和常见题类型归纳,推荐文档
高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中出现的三角函数问题,难度相对较低,重点突出。
该类试题集中在第15题的位置,共分为两种考察形式:解三角形和三角函数变换。
因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质,以及化简、求函数值和最值等重点内容的复习;又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何的综合联系,以及三角知识的应用意识。
一、知识整合1.熟练掌握三角变换公式,理解每个公式的含义以及常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能灵活应用这些方法进行三角函数的求值、化简;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题。
2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点,会用五点作图法画出函数y=Asin( x+ )的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化。
3.熟练掌握三角形中的正弦定理和余弦定理,明确两个定理的应用条件。
能够依托题目给的不同已知条件,灵活运用两个定理解决实际问题。
二、高考考点分析近些年北京高考中本部分所占分值大约是13-18分,主要以解答题的形式出现,少数时候会有填空题。
主要考察内容按难度分,我认为有以下两个层次:第一层次:通过对诱导公式和倍角公式等公式的灵活运用,解决有关三角函数基本性质的问题,如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等;通过正弦定理和余弦定理的灵活运用,解决有关三角形的简单问题,如求角、边长等。
第二层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题,如:求复合函数值域。
三、方法技巧(1)常数的代换:特别是:1=cos2θ+sin2θ。
(2)项的分拆与角的配凑。
(3)降幂扩角法和升幂半角法。
高一数学期末复习讲义三角函数部分)
高一数学期末复习讲义 1三角函数知识点1 三角函数的定义1、α 角终边过点)2,1(-P ,求.tan cos ,sin ααα和知识点2 弧长公式与扇形面积公式2、已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角; 解:(1) 设圆心角是θ,半径是r ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r +rθ=10,12θ·r 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =4,θ=12,或⎩⎪⎨⎪⎧r =1,θ=8,(舍去). ∴ 扇形的圆心角为12.知识点3 同角的三角函数关系3.已知α是第二象限角,tan α=-815,求sin α. 答案:817知识点4 三角函数的诱导公式 4. 已知31)125cos(=+απ,且2παπ-<<-,求)12cos(απ-.答案:-223解析:cos ⎝⎛⎭⎫π12-α=cos[π2-⎝⎛⎭⎫5π12+α]=sin ⎝⎛⎭⎫5π12+α.又-π<α<-π2,所以-712π<5π12+α<-π12.所以sin ⎝⎛⎭⎫512π+α=-223,所以cos ⎝⎛⎭⎫π12-α=-223. 知识点5 三角函数的图象和性质5.已知函数sin()(002y A x A πωϕωϕ=+>><,,的图象过点P (3π,0)且图象上与P 点最近的一个最高点坐标为(12π,5). (1)求函数的解析式;(2)指出函数的减区间; (3)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求该函数的值域.(1)由题意知:5=A ----------------2分41234πππ=-=T ,即π=T 2=∴ω ----------------4分 又过)0,3(π,)32sin(50ϕπ+⨯=∴,即3πϕ=, ----------------6分)32sin(5)(π+=∴x x f ----------------7分 (2)减区间为 )(,12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ --------------11分 (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ,则[]ππ,032∈+x , ---------------13分[]1,0)32sin(∈+∴πx , ---------------15分 即[]5,0)(∈x f 。
(完整版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数一:角的看法:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角, 与角终边相同的角的会集| 2k , k z , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长 lr 、扇形面积 s1lr1 r2 ,22二:任意角的三角函数定义: 任意角 的终边上 任意取 一点 p 的坐标是( x , y ),它与原点的距离是 rx2y 2(r>0),那么角 的正弦 sin ay、余弦 cos ax、正切 tan ay,它们都是 以角rrx为自变量,以比值为函数值的函数 。
三角函数值在各象限的符号 :三:同角三角函数的关系式与引诱公式:1. 平方关系 : sin2cos21 2. 商数关系 :sintancos3.引诱公式——口诀: 奇变偶不变,符号看象限 。
正弦 余弦 正切sinsin cos cos sin4. 两角和与差公式: coscos cosm sinsintantantan1 m tantansin 2 2sincos5. 二倍角公式:cos 2cos 2 sin 22cos 21 1 2sin 2tan 22 tan 21 tan余弦二倍角公式变形:2cos 21 cos2 ,2sin 21 cos2第二、三角函数图象和性质基础知识 : 1、三角函数图像和性质y=sinxy37 -5 - 21222-4 -7 -3-2-3 - -1o2 53 42 2 22y=cosxy-537-3- - 1322 22-4-7 -2-3 -1o25 42222yy=tanxxx3 -- o3-2222x剖析式 y=sinxy=cosxy tan x定义域yy当 x,当 x,值域 y 取最小值- 1和最 值当 xy 取最大值 1周期性 T 2奇偶性奇函数在 2k2 ,2k2单调性上是增函数在 2k2 ,2k32上是减函数yy 取最小值- 1,当 x,无最值y 取最大值 1T2T偶函数奇函数k Z在 2k,2k k Z 上 是 增, k k Z在 k函数22k Z在 2k ,2k 上为增函数k Z 上是减函数对称中心 ( k ,0)k Z对称中心 (k 2 ,0) kZ 对称中心 ( k ,0)k Z对称性k对称轴方程 xk , kZ也许对 称 轴 方 程 x2,对称中心 (k2 ,0) k Zk Z2、 熟练求函数 yA sin( x ) 的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 yAsin( x ) 简图:五点分别为:、、、、 。
三角函数知识点及题型高一
三角函数知识点及题型高一在高中数学的学习中,三角函数是一个重要的知识点。
掌握三角函数的概念、性质和题型对于高一学生来说至关重要。
本文将介绍三角函数的基本知识点和常见的题型,帮助高一学生更好地理解和应用三角函数。
一、基本概念1. 正弦函数(sin)正弦函数是一个周期函数,表示角α的正弦值。
其定义域为实数集,值域为[-1, 1]。
常用记法为sinα或者sinθ。
2. 余弦函数(cos)余弦函数也是一个周期函数,表示角α的余弦值。
与正弦函数不同的是,余弦函数的定义域也是实数集,值域也是[-1, 1]。
常用记法为cosα或者cosθ。
3. 正切函数(tan)正切函数是一个周期函数,表示角α的正切值。
它的定义域为所有使得余弦函数不为零的实数,即{x | x ≠ (2k+1)π/2},其中k为整数。
值域为实数集。
常用记法为tanα或者tanθ。
二、性质及公式1. 周期性三角函数都具有周期性,即f(x + T) = f(x),其中T为周期。
正弦函数和余弦函数的周期为2π,而正切函数的周期为π。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数,即sin(-x) = -sin(x);余弦函数是偶函数,即cos(-x) = cos(x);正切函数是奇函数,即tan(-x) = -tan(x)。
3. 三角恒等式三角函数之间有一系列的恒等式,如正弦函数和余弦函数的和差公式、积化和弦、和化积等。
掌握这些恒等式有助于化简复杂的三角式。
三、常见题型1. 确定三角比的值例如,已知一个角α的弧度为π/6,求sinα、cosα和tanα的值。
根据定义和三角函数的周期性,可以通过查表或计算得到sin(π/6) = 0.5,cos(π/6) = √3/2,tan(π/6) = √3/3。
2. 求解三角方程例如,求解sinx = 1/2在区间[0, 2π]内的解。
根据sin函数的周期性,可以得到x = π/6和x = 5π/6是方程的解。
3. 利用三角函数求解几何问题例如,已知一个直角三角形的一条直角边长为3,斜边长为5,求另一条直角边的长。
(完整版)高中数学三角函数复习专题(可编辑修改word版)
sin y , cos x , tan y r= a 2 b2
r
r
x
反过来,角 的终边上到原点的距离为 r 的点 P 的坐标可写为: P r cos , r sin
比如:公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明
(4)特殊角的三角函数值
α
0
3
2
6
4
3
2
2
1 sinα 0
(本节知识考察一般能化成形如 y Asin(x ) 图像及性质)
(1)
函数
y
Asin(x
)
和
y
A cos(x
) 的周期都是T
2
(2)
函数
y
A tan(x
)和
y
A cot(x
) 的周期都是T
(3)
五点法作
y
Asin(x
) 的简图,设 t
x
,取
0、
、
、
3
、 2
来求相应 x
2
2
的值以及对应的 y 值再描点作图。
(4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总
是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。(附上函
数平移伸缩变换):
函数的平移变换:
① y f (x) y f (x a)(a 0) 将 y f (x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位
tan
2a
1
2
tan a tan2 a
(3)几个派生公式:
①辅助角公式: a sin x b cos x a2 b2 sin(x ) a2 b2 cos(x )
(完整版)高一三角函数知识点的梳理总结
1. 高一三角函数知识2.一1.1任意角和弧度制⎪⎩⎪⎨⎧零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转任意角..12.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90| ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=,90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角所对的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|rl=α,其中r 是圆的半径。
5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π180)°≈57.30° 1°=180π注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222|ππαπα 锐角:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<20|παα ; 小于o90的角:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<2|παα(包括负角和零角) 7. 弧长公式:||l R α= 扇形面积公式:211||22S lR R α==§1.2任意角的三角函数1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P2.. 三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:3.三角函数在各象限的符号:+ + - + - - - + sin α cos α tan α4. 同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+=(2)商数关系:sin tan cos ααα=(用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。
高中数学《三角函数》知识点及题型总结(最全)—精品文档
P xyAOM T 高中数学《三角函数》知识点及题型总结(最全)一、知识点汇编A斜边 π-α (0,r) α 邻边 B 对边 C (∠A=) (﹣r,0) (r , 0)A 1π+α (0,﹣r) ﹣α(∠A=∠B=45°) B 1 CA2 ∠A=30°,∠B=60°)=,=,=一、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()220r r x y =+> 则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0yx xα=≠.(任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 的位置无关)二、三角函数值在各象限的符号函数值 第一象限第二象限第三象限第四象限Sin α+ + ﹣ ﹣ Cos α+﹣﹣+Otan α+﹣+ ﹣三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割o o o x yx yx ySin α Cos α tan α注:①三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. ②正弦的符号决定于纵坐标y 的符号 ③余弦的符号决定于横坐标x 的符号④正切是纵坐标y ,横坐标x 共同决定,同号(+),异号(-)三、特殊角的三角函数值1.常见角函数值30 45 6090° 180° 270° 360°1-11-111不存在不存在2.特殊角函数值15° 75° 105°2-2+-2-四、三角函数诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2k π+α)=sin α cos (2k π+α)=cos α tan (2k π+α)=tan α cot (2k π+α)=cot α 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α cot (π+α)=cot α 公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin (-α)=-sin α cos (-α)=cos α tan (-α)=-tan α cot (-α)=-cot α 公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin (π-α)=sin α cos (π-α)=-cos α tan (π-α)=-tan α cot (π-α)=-cot α 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin (2π-α)=-sin α cos (2π-α)=cos α tan (2π-α)=-tan α cot (2π-α)=-cot α 公式六:(π/2)±α与α的三角函数值之间的关系:五、角与角之间的转换⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcos )21sin(=+ααπsin )21cos(-=+⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ , ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- , ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).六、二倍角的正弦、余弦和正切公式⑴sin 22sin cos ααα=. ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=). ⑶22tan tan 21tan ααα=- 七、公式变形2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=1+= 1-=a b = (a)八、正弦、余弦定理的比较正弦定理余弦定理内容A a sin =B b sin =Ccsin =2R (外接圆直径);a 2=b 2+c 2-2bccosA . c 2=a 2+b 2-2abcosC . b 2=a 2+c 2-2accosB .变形形式①边化角⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2②角化边RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===. ③ a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C . ④aSinB=bSinA;bSinC=cSinB ;aSinC=cSinA解决问题①已知两角和任一边,求其他两边及一角.②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角.(1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角;(2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边.九、常用面积公式1. S=a(表示a 边上的高) 2.S=ab=ac=bc3.S=r (a+b+c ) (r 为内切圆的半径)十.三角函数图像sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R函数性 质最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=-()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数.对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴十一,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像与性质Y =Asin(ωx+φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx+φ=k +得x= ;对称中心:ωx+φ= k 得x=,所以对称中心为(,0)A 0 , ω0A 0 , ω0单调性单增 2kωx+φ2k π+单减2k π+ωx+φ2k π+单增2k π+ωx+φ2k π+单减2k ωx+φ2k π+ωx+φ=2k π+ωx+φ=2kωx+φ=2k ωx+φ=2k π+值域Y =Acos (ωx+φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx+φ=k 得x=;对称中心:ωx+φ= k +得x= ,所以对称中心为(,0)A 0 , ω0A 0 , ω0 单调性单增 2k -ωx+φ2k π单减2k πωx+φ2k π+单增2k πωx+φ2k π+ 单减 2k -ωx+φ2k πωx+φ=2k ωx+φ=2k +ωx+φ=2k+ωx+φ=2k值域十二、图像变化Y=Asin(ωx+φ)+b1.向上(下)平移K个单位,得Y=Asin(ωx+φ)+b k2.向左(右)平移K个单位,得Y=Asin+b3.横坐标不变,纵坐标变为原来的K倍,得Y=k4.纵坐标不变,横坐标变为原来的K倍,得Y=Asin(ω+φ)+b解题方法:1.求一个角的大小,通常求余弦值2.已知一个角的大小时,马上求出另外两角之和3.看见两角之和,马上变为减去第三个角4.看见,马上想到:=得到5.当有边的一次关系时,用正弦定理(边化角:a=2RsinA…角化边:sinA=…)6.已知角与对边关系,用正弦定理7.既有边的平方关系,又有边的乘积关系时,用余弦定理8.已知角与邻边关系时,用余弦定理9. 已知面积S=ab =ac =bc ,求出两边之积10. 2cos 21cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-= ,11. a b=(a)y =A sin(ωx +φ)+B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =最高点-最低点2;②B 的确定:根据图象的最高点和最低点,即B =最高点+最低点2;③ω的确定:结合图象,先求出周期,然后由T =2πω(ω>0)来确定ω;④φ的确定:把图像上的点的坐标带入解析式y =A sin(ωx +φ)+B ,代入最高点或最低点题型分类剖析一、求三角函数求值1. 已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=2.3sincos 2αα==若,则 3.已知sin2α=,则cos 2(α+)=4.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,且sin 2α+cos2α=14,则tan α的值等于5.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 6.已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值的大小 7.已知:1tan()3πα+=-,22sin 2()4cos 2tan()10cos sin 2παααβαα-++=-.(1)求tan()αβ+的值; (2)求tan β的值.二、求三角形中的函数值8.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若a 2-b 2=3bc ,sinC =23sinB ,求角A 的大小。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1:三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数,包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2:三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4:函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外,该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0),则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2),若sin=1/2,则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为(sinθ。
cosθ)(θ∈(π/2,π)),则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角,且sin=15/17,求sin(+π/4)的值。
练:1.已知sin=1/5,则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2,求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4.已知,∈(π/3,π/2),且sin(+)=-√3/2,sin(-)=1/2,求cos(+)的值。
练:1.设α∈(π/12,π/3),β∈(0,π/6),且sin(α+β)=-√3/2,sin(β-α)=-1/2,则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值,求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$,$cos\beta = \frac{3}{5}$,$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$,$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$,求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
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3
2
sinx
sinx
④终边在坐标轴上的角的集合: | k 90 , k Z
4
⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: | k 180 45 , k Z
cosx
1
cosx
x
⑥终边在 y x 轴上的角的集合: | k 180 45 , k Z
cosx 1
cosx 4
公式组二 sin(2k x) sin x cos(2k x) cos x tan(2k x) tan x cot(2k x) cot x
公式组六 sin( x) sin x
公式组三 sin(x) sin x cos(x) cos x tan(x) tan x cot(x) cot x
公式组一
sinx·cscx=1 tanx= sin x cos x
sin2x+cos2x=1
cosx·secx=1
x= cos x sin x
1+tan2 x =sec2x
tanx·cotx=1
公式组四
1+cot2x=csc2x
公式组五
sin( x) sin x sin(2 x) sin x
§04. 三角函数 知识要点
1.
①与 (0°≤ <360°)终边相同的角的集合(角 与角 的终边重合):
| k 360 , k Z ②终边在 x 轴上的角的集合: | k 180 , k Z ③终边在 y 轴上的角的集合: | k 180 90 , k Z
▲
1°
= ≈0.01745(rad)
180
3、弧长公式:l | | r .
扇形面积公式:
s扇形
1 2
lr
1 2
高一数学-三角函数常见题型与解法(1)
三角函数的题型和方法、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
( 1)常值代换:特别是用“ 1”的代换,如 1=cos 2θ+sin 2θ=tanx · cotx=tan45 °等。
2 2 2 2 2 2sinx+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x ;配凑角: α=( α+3)降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
4)化弦(切)法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 5)引入辅助角。
asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin ( θ+ ),这里辅助角所在象限由 a 、b 的符号确定,角的值由 tan = b 确定。
a( 6)万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。
22、证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦 函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
( 1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用,其题目类型多样,变化似乎复杂,处理这类问 题,注意以下几个方面:1、三角函数式化简的目标:项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能 低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究,既注意到和、差、倍、半的相对性,如1( ) ( ) 2 1 2 .也要注意题目中所给的各角之间的关系。
(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)
专题复习—— 三角函数(一)知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定)②③推论其中“”由所在象限确定)4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差(和)角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式(倍角公式)22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径)②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底,h为高)为内切圆的半径)10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=()定义域:,值域:,在单调递增;单调性在单调递减当且仅当=时,最值当且仅当=-时,周期性:周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性:,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形,对称轴为=对称性②为中心对称图形,对称中心为(,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=()定义域:,值域:,在单调递增;单调性在单调递减当且仅当=时,最值当且仅当=时,周期性:周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性:为上的偶函数.①为轴对称图形,对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形,对称中心为(,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩()定义域:值域:()单调性:在开区间(单调递增周期性:周期为且),最小正周期为奇偶性:为奇函数.①不是轴对称图形;对称性②是中心对称图形,对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅:A②周期:T③频率:f=其中④相位:x+⑤初相:=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式(其中②其中辅助角公式的证明如下:证明:asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注:其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出;或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例:化简32cos 2y x x =+.法一:逆用差(和)角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二:应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)(二)考点剖析考点一:正、余弦定理,三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中,C =2B ,AB AC =43. (1)求cos B ;(2)若BC =3,求S △ABC . 解:(1)由C =2B 和正弦定理得sin C =2sin B cos B =2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B =AB 2AC =23 (2)设AC =3x ,则AB =4x . 由余弦定理得(3x )2=(4x )2+32-2×4x ×3cos B ,即9x 2=`16x 2+9-16x ∴7x 2-16x +9=0 解得x =1或x =97当x =1时,AC =3,AB =4 ∴S △ABC =12BA ×BC ×sin B =12×4×3×53=2 5.当x =97时,AC =277,AB =367 ∴S △ABC =12BA ×BC ×sin B =12×367×3×53=1875.考点二:利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C . (1)求角A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.解:(1) 2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C由正弦定理得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ,即a 2=b 2+c 2+bc ① 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C 又sin B +sin C =1 ∴sin B =sin C =12又0,022B C ππ<<<<∴B =C ∴△ABC 是等腰三角形.考点三:三角恒等变换之辅助角公式:sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3:已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+,x R ∈(1) 求f(x)的最小正周期及最大值; (2) 求函数f(x)的单调递增区间; (3) 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数f(x)的值域 .解:2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++(1) f(x)的最小正周期为22T ππ==,最大值为max ()1f x =. (2) 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练:已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈(1) 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间; (2) 当02x π<<时,求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现,其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景:一般三角求值类型解题模板:第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=,将题设中的切化成弦的形式; 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系; 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=,则sin cos 2sin cos αααα-+=( ) A .41 B .21 C .41- D .21- 【答案】C 【解析】试题分析:21tan =α,将原式上下同时除以αcos ,即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα,故选C.考点:同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( )A .3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点:诱导公式,同角间的三角函数关系,二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景:一类特殊三角求值类型解题模板:第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系;第二步 利用合理地拆角,结合两角和(或差)的正弦(或余弦)公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值;第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析:212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-,()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点:两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是( ) ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒; ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒; ③1tan151tan15+︒-︒;④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.(2018年全国卷Ⅲ文)若,则A .B .C .D .【答案】B 【解析】 分析:由公式可得.详解:,故答案为B.点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析:由3tan 4α=,得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-,所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A .考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去非特殊角,进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联系.4.【2017山东,文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.6. 【2015高考福建,文6】若5sin13α=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于()A.125B.125-C.512D.512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式.【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,在sinα、cosα、tanα三个值之间,知其中的一个可以求剩余两个,但是要注意判断角α的象限,从而决定正负符号的取舍,属于基础题.6.(2018年全国卷II文)已知,则__________.【答案】.【解析】分析:利用两角差的正切公式展开,解方程可得.详解:,解方程得.学科*网点睛:本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况,属于简单题型,解决此类问题的核心是要公式记忆准确,特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷)】已知为锐角,,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】分析:先根据同角三角函数关系得,再根据二倍角余弦公式得结果;(2)先根据二倍角正切公式得,再利用两角差的正切公式得结果.详解:解:(1)因为,,所以.因为,所以,因此,.点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1.【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭, ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin A 的值为( )A .35 B . 45 C . 35或45 D . 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭,且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,选B. 点睛:本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等,属于易错题.解答本题的关键是拆角,将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2.【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=,则sin21cos2αα=+( )A . 3-B . 13-C . 13D . 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学(理)试题】000sin65sin35cos30cos35-=( ) A . 3-B . 12-C . 12D . 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===,故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题】设()0,90α∈︒︒,若()3sin 7525α︒+=-,则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A .110 B . 2 C . 110- D . 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+, 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ , ()75275,255α+∈ ,又因为()sin 7520α+<,所以()752180,255α+∈,可求得()4cos 7525α+=- , 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦,那么()12sin 3022α+=,故选B. 5.【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=, 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=, 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
高一数学-三角函数知识点[整理] 精品
三角函数知识点(一)一、角的概念和弧度制:(1)在直角坐标系内讨论角:角的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
(2)①与α角终边相同的角的集合:},360|{Z k k ∈+=αββ与α角终边在同一条直线上的角的集合: ; 与α角终边关于x 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于y 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合: ;②一些特殊角集合的表示:终边在坐标轴上角的集合: ;终边在一、三象限的平分线上角的集合: ; 终边在二、四象限的平分线上角的集合: ; 终边在四个象限的平分线上角的集合: ; (3)区间角的表示:①象限角:第一象限角: ;第三象限角: ;第一、三象限角: ;②写出图中所表示的区间角:③④⑤⑥(4)正确理解角:要正确理解“oo90~0间的角”= ;“第一象限的角”= ;“锐角”= ; “小于o90的角”= ; (5)由α的终边所在的象限,通过 来判断2α所在的象限。
(6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α,其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。
(7)弧长公式: ;半径公式: ;扇形面积公式: ;二、任意角的三角函数:(1)任意角的三角函数定义:以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则=αsin ;=αcos ;=αtan ;=αcot ;=αsec ;=αcsc ;如:角α的终边上一点)3,(a a -,则=+ααsin 2cos 。
(2)在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线;比较)2,0(π∈x ,x sin ,x tan ,x 的大小关系: 。
高一数学三角函数复习(知识点加习题).
《三角函数》复习一、知识点整理: 1、角的概念的推广:正负,范围,象限角,坐标轴上的角; 2、角的集合的表示: ①终边为一射线的角的集合:⇔{}Z k k x x ∈+=,2απ={}|360,k k Z ββα=+⋅∈②终边为一直线的角的集合⇔{}Z k k x x ∈+=,απ;③两射线介定的区域上的角的集合:⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,22απβπ④两直线介定的区域上的角的集合:⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,απβπ;3、角的度量制与换算 (1换算关系:180(π=弧度 1︒=180rad π1801(5718π'=≈弧度(2弧长公式:l r θ= 扇形面积公式:21122S lr r θ==4.三角函数的定义:sin ,cos ,tan y x yr r xααα=== (其中22||r PO x y ==+ 反过来,角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为:(cos ,sin P r r αα5.熟记三角函数在各象限的符号:6.结合定义、诱导公式、直角三角形等记住特殊角:2350,,,.,,,,6432346ππππππππ及150,750等角的各个三角函数值.7. 三角函数线及简单应用(判断正负、比较大小,解方程或不等式等在右图中:sin MP α=,cos OM α=,tan AT α=O xya 角的终边P TM A8. 正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =、正切函数tan y x =的图像和性质: y=sinx y=cosx y=tanx定义域: R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≠∈2,|ππk x R x x值域: [-1,1] [-1,1] R周期: 2π 2π π奇偶性: 奇函数偶函数奇函数增区间: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22[]πππk k 2,2+- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 2,2减区间: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22 []πππk k 2,2+ 无减区间对称轴: 2ππ+=k xπk x = 无对称轴对称中心: (0,πk ⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk9.函数sin(y A x ϖϕ=+的图像和性质:在研究函数sin(ϕω+=x A y 的各项性质时,常设u x =+ϕω,先由x 的范围得u x =+ϕω的范围,从而只需讨论u y sin =的各项性质就可得到sin(ϕω+=x A y 的各项性质;作图时常用两种方法:①五点法:结合周期依次确定第一、五、三、二、四个点,②图象变换法:平移、伸缩两个程序sin((sin 2(sin(sin(1(sin ϕϖϕϖϖϕϖϕ+=+=→=+=→+==x A y x six y xy x y x y xy变换方式一:先平移再周期变换(伸缩变换变换方式二:先周期变换(伸缩变换再平移注意:同理可作:的图象cos(ϕϖ+=x A y 和的图象tan(ϕϖ+=x A y10.结合函数B x A y ++=sin(ϕω,(其中00>>ωA 的简图可知: 该函数的最大值是B A +,最小值是A B -,周期是ωπ2=T ,频率是πω2=f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ;11.几种图像变换:平移:y=f(x+k与y=f(x+k 、翻折:|f(x|与f(|x|、对称:y=f(-x与y=-f(x 伸缩 xϕω+x0 2π π23π π2sin(ϕω+=x A yA-A12几组重要公式一同角三角函数的基本关系式: 1平方关系1cos sin22=+αα; αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+2商式关系αααtan cos sin =;sin α=tan α·cos α 3关于公式1cos sin 22=+αα的深化:(1221sin cos αα=+,逆代用,如:已知2tan =α,求2cos sin 3sin 52-+ααα的值。
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三角函数总结及统练一. 教学内容:三角函数总结及统练(一)基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。
4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系平方关系:商数关系:倒数关系:1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。
α απ+k 2 α- απ-απ+ απ-2απ-2απ+2正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan -7. 两角和与差的三角函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(8. 二倍角公式——代换:令αβ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式:2cos 12sinαα-±=;2cos 12cos αα+±=;αααcos 1cos 12tan +-±= αααααcos 1sin sin cos 12tan+=-=9. 三角函数的图象和性质函数x y sin = x y cos = x y tan =图象定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且值域 最值]1,1[- 2/2ππ+=k x 时1max =yππ-=k x 22/时1min -=y]1,1[-πk x 2=时1max =yπk x 2=π+时1min -=yR无最大值 无最小值周期性 周期为π2 周期为π2 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在]22,22[ππππ+-k k上都是增函数;在]232,22[ππππ++k k上都是减函数(Z k ∈)在]2,2[πππk k -上都是增函数,在]2,2[πππ+k k 上都是减函数(Z k ∈)在⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k 内都是增函数(Z k ∈)10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到:(1)−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的(2)−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍纵坐标伸长为原来的(二)数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。
(word完整版)高一数学三角函数知识点题型复习(一),推荐文档
第8课:三角函数(一)一、基础知识梳理1、与角α终边相同的角的集合为:2、角度制与弧度制互换: )(rad n α−−−−−−−→←ο3、扇形的弧长、面积公式:=l ,=S4、已知角α终边上任一点),(y x P ,可求=αsin ,=αcos ,=αtan5、特别地,若),(y x P 为α终边与单位圆的交点,则=αsin ,=αcos ,=αtan6、三角函数在四个象限的符号情况,一________,二________,三________,四_______. 英文简称: ,俗名: .二、诱导公式1、诱导公式的推导方法1(几何角度)、画圆寻果 方法2(代数角度)、两角和差公式 方法3(语文角度)、奇变偶不变,符号看象限!(假设α是锐角) (1)=+)2sin(πα ,=+)2cos(πα(2)=-)sin(α ,=-)cos(α ,=-)tan(α (3)=+)sin(πα ,=+)cos(πα ,=+)tan(πα(4)=-)sin(πα ,=-)cos(πα ,=-)tan(πα (5)=-)sin(απ ,=-)cos(απ ,=-)tan(απ (6)=-)2sin(απ ,=-)2cos(απ ,=-)2tan(απ (7)=+)2sin(απ ,=+)2cos(απ ,=+)2tan(απ(8)=-)sin(απ ,=-)cos(απ ,=-)tan(απ(9)=-)2sin(πα ,=-)2cos(πα ,=-)2tan(πα(10)=-)23sin(απ ,=-)23cos(απ ,=-)23tan(απ(11)=+)23sin(απ ,=+)23cos(απ ,=+)23tan(απ(12)=-)23sin(πα ,=-)23cos(πα ,=-)23tan(πα(13)=+)3sin(πα ,=+)4cos(πα ,=+)5tan(πα心得:(1)凡是三角函数式里面出现了加减ππππ23,2,2,等2πk 的角,都可以用诱导公式消去!以达到化简目的!(2)诱导公式记忆时假设α为锐角,实际对任意α角都成立!2、如何利用诱导公式求函数值? 负化正,大化小,最值化为熟知的锐角!例1(1)=-)49cos(π (2)=-)47sin(π(3)=π617cos(4)=-)31sin(π练习=-)49sin()1(π =629cos)2(π=-)960cos()3(ο=π317sin)4( 例2:化简 sin 2(α+3π)cos 2(α+π)sin (α+π)cos 3(-α-π)=3、测试你的眼睛①已知31)65sin(=-απ,则______________)6cos(=+πα ②已知71)4cos(=-απ,则_____________)4sin(=+πα③已知71)6cos(=+απ,则_____________)32sin(=+πα④已知α终边过(-2,3),则_________23cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ4、两眼法求常用特殊角三角函数值三、同角三角函数箴言:知一可求其二!知一可求全家! ①平方关系:1cos sin 22=+αα⇒ ②商的关系:⇒=αααcos sin tan ③新关系:例1:(1)已知31sin =α,则________cos =α,________tan =α (2)已知101cos -=α,α在第二象限,则________sin =α,________tan =α (3)已知2tan =α,则________sin =α,________cos =α例2:已知3tan =α,求 ①ααααcos sin cos sin +-②αααααα2222cos cos sin 2sin 3cos sin ++- ③αααα22cos 5cos sin sin 4+-例3:已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且满足22sin 3cos 2sin cos αααα-=,则tan α的值是__________.例4::已知是一个三角形的内角,且1sin cos 5αα+=()1求tan α的值;()2用tan α表示221sin cos αα-并求其值.练习:已知α∈(π2,π),且sin (π−α)+cos(2π+α)=√23. 求值: (1)sin α−cosα. (2)tan α.四、两角和差公式1、()().sin sin cos cos cos ,sin cos cos sin sin βαβαβαβαβαβαμ=±±=±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=±2、和差化积_____________)sin()sin(=-++βαβα,_____________)sin()sin(=--+βαβα,________________)cos()cos(=-++βαβα,________________)cos()cos(=+--βαβα3、积化和差 ①=⋅βαcos sin ②=⋅βαsin cos ③=⋅βαcos cos ④=⋅βαsin sin例:①求______75sin =ο②______15tan =ο②_____15tan 115tan 1=+-οο练习:1.计算sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为()A.12B.−12C.2D.22.tan 112°+tan 23°−tan 112°tan 23°=()A.1B.-1C.3D.−33.已知sin (α−π4)=35,α∈(π2,5π4),则sin α=()A.B.C.±D.−4.已知tan (α−5π4)=15tan α=__________.5.θ为第三象限角,tan θ−=13,则sin θ−cos θ=()A.−B.C.D.6.已知cos(α+π4)=10α∈(0,π2).(1)求sin α的值;(2)若cos β=13,β∈(0,π),求cos (α−2β)的值.7.已知若0<α<π2,−π2<β<0,cos+α=13,−3(1)求cos α的值;(2)求cos α.五、二倍角公式①θθθθθθ2sin 21cos sin cos sin 22sin =⇒=引申:=θsin②=θ2cos _______________ =_______________=________________. 引申:=θcos _______________ =_______________=________________. ③降幂扩角:=θ2sin ___________,=θ2cos _____________. 引申:=2sin 2θ___________,=2cos 2θ_____________.例1、初步上手(1)已知tanα=12,则cos2α=__________(2)已知4sin 5α=,且α为锐角,则cos 2α=_________(3)已知cosθ=−√55,且θ∈(π2,π),则tan2θ=__________.(4)已知α∈(−π2,0),cosα=45,则tan α2=__________例2、综合求值(1)已知cos (π4−a)=45,则sin2a =___________(2)已知sin(α+π4)=35,π4<α<3π4,则cos2α的值为_________(3)若sin(π6−α)=13,则cos(2π3+2α)的值为___________(4)已知sin(7π6+α)=√33,则cos(2π3−2α)=___________(5)已知cos(α+π6)=13,则sin(5π6+2α)=________.(6)已知θ∈(0,π2),且sin (θ−π4).√210,则tan 2θ.________.(7)sin π12+cos π12=______________(8)若sin θ2−cos θ2=√63,则cos2θ=__________.(9)已知()7cos ,π,2π25θθ=-∈ ,则sin cos 22θθ+= __________.(10)已知),2(ππθ∈ ,95cos sin 44=+θθ ,则=θ2sin(11)已知α∈R,sinα+2cosα=√102,则tanα=__________;tan2α=__________.(12)若52π≤α≤72π________.(13)已知α为第三象限角,化简的结果为 .(14)已知α∈(π,32π),且满足√1−sinα1+sinα+1cosα=2,则cos 2α+2sin2α=_______.(15)已知锐角α,β,且tanα=2,cosβ=513,求:(1)sin2α; (2)tan(2α−β)(16)已知91)2cos(-=-βα,32)2sin(=-βα,0α<<π,02βπ<<,求)cos(βα+的值.六、辅助角公式(合一公式)()()ϕθθϕθϕθθθθ++=⋅+⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+sin cos sin sin cos cos 1sin 1cos sin 2222222222b a b a b a b a b a b a(1)θθcos 3sin - (2)θθsin cos + (3)x x sin 3cos +(4)2cos 62sin2x x +- (5)αα2cos 22sin 2- (6)x x cos 2)6sin(2-+π(7)x x x 2cos cos sin + (8)2sin 322sin 2sin 2xx x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+π(9))3sin(sin 4π+x x (10))6cos()6cos(ππ+-x x。
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A. 1 B. − 1 C. 2 D. 3
2
2
2
2
2.tan112° + tan23°− tan112°tan23° = ( ) A. 1 B. -1 C. 3 D. − 3
7
3.已知 sin(α − π ) = 3 ,α ∈ ( π , 5π ),则 sinα=( )
45
24
A. 7 2
10
B. − 2
3、积化和差
6
sin cos cos sin cos cos ④ sin sin
例:求 sin 75 ______
tan15 ______
1 1
tan15 tan15
_____
练习:
1.计算 sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为( )
(9) sin( ) 2
(10) sin(3 ) 2
(11) sin(3 ) 2
(12) sin( 3 ) 2
(13) sin( ) 3
, cos( )
, cos( )
, cos(2 )
,
cos(
)
2
, cos( ) 2
, cos( ) 2
, cos(3 ) 2
1 cos2
并求其值.
α ∈ (π,π) sin(π−α) + cos(2π + α) = 2
练习:已知
2 ,且
3 . 求值:
(1(sinα−cosα. (2)tanα.
4、两角和差公式
1、 sin sin cos cos sin ,
tan tan tan
1 tan tan
(1) sin( 2 )
, cos( 2 )
(2) sin( )
, cos( )
, tan( )
(3) sin( )
, cos( )
1
, tan( )
(4) sin( )
(5) sin( )
(6) sin(2 )
(7)
sin(
)
2
(8) sin( ) 2
心得:(1)凡是三角函数式里面出现了加减 ,2 , , 3 等 k 的角,都可以用诱导公式消
22 2 去!以达到化简目的!(2)诱导公式记忆时假设 为锐角,实际对任意 角都成立!
2、如何利用诱导公式求函数值? 负化正,大化小,最值化为熟知的锐角!
2
例1(1)
cos(
9 4
)
(2)
sin(
7 4
)
17 (3) cos 6习 (1) sin( 9 ) 4
(2) cos 29 6
(3) cos(960 )
(4) sin 17 3
3
sin2(α+3πcos2α+π 例 2:化简 sinα+πcos3-α-π=
3、测试你的眼睛
已知 sin(5 ) 1 ,则 cos( ) ______________
cos2 cos
cos2
4sin2 sin cos 5cos2
例
3:已知
0,
2
,且满足
sin2 3cos sin cos
2
2 ,则 tan
的值是__________.
例 4::已知是一个三角形的内角,且 sin cos 1 5
5
1 求
tan
的值; 2用
tan
表示
sin 2
3 (2)已知 cos 1 , 在第二象限,则 sin ________ , tan ________
10 (3)已知 tan 2 ,则 sin ________ , cos ________
例 2:已知 tan 3 ,求
sin sin
cos cos
3sin
2
sin2 2sin
, cos
, tan
6、三角函数在四个象限的符号情况,一________,二________,三________,四_______.
英文简称:
,俗名:
.
2、诱导公式
1、诱导公式的推导
方法 1(几何角度)、画圆寻果
方法 2(代数角度)、两角和差公式
方法 3(语文角度)、奇变偶不变,符号看象限!(假设 是锐角)
, cos(3 ) 2
, cos( 3 ) 2
, cos( ) 4
, tan( )
, tan( )
, tan(2 )
,
tan(
)
2
, tan( ) 2
, tan( ) 2
, tan(3 ) 2
, tan(3 ) 2
, tan( 3 ) 2
, tan( ) 5
1、基础知识梳理
第 8 课:三角函数(一)
1、与角 终边相同的角的集合为:
2、角度制与弧度制互换: n (rad )
3、扇形的弧长、面积公式: l
,S
4、已知角 终边上任一点 P(x, y) ,可求 sin
, cos
, tan
5、特别地,若 P(x, y) 为 终边与单位圆的交点,则 sin
10
C. ± 2
10
D. − 2 或7 2
10
10
4.已知 tan(α − 5π ) = 1,则 tanα =__________.
4
5
5.θ为第三象限角,tan θ − π = 1,则 sinθ − cosθ =( )
43
A. − 3 5
5
B. − 1 5
5
C. 3 5
cos cos cos sin sin .
2、和差化积 sin( ) sin( ) _____________ , sin( ) sin( ) _____________ ,
cos( ) cos( ) ________________ , cos( ) cos( ) ________________
6
3
6
已知
cos(
)
1
,则 sin(
)
_____________
4
7
4
已知 cos( ) 1 ,则 sin( 2 ) _____________
6
7
3
④已知 终边过(-2,3),则 cos 3 _________ 2
4、两眼法求常用特殊角三角函数值
11
0
6
4
3
2 3 5
7 5 4 3 5 7
23 4 6 6 43 2 34
6 2
sin cos tan
3、同角三角函数
4
箴言:知一可求其二!知一可求全家! 平方关系: sin2 cos2 1 商的关系: tan sin
cos 新关系: 例 1:(1)已知 sin 1 ,则 cos ________ , tan ________