矩阵线代课件
线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件
x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
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a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
8
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2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组
线性代数课件--第一章矩阵
数与m n矩阵 A (a ij)的 乘积 仍是m n矩 阵，记 为A, 即
A
( a ij ) mn
a11 a 21
a m1
a12 a 22
am2
a1n a2n
a mn
解 析 几 何 中 定 义 的 向 量 乘 以 一 个 数 的 规 则 与 定 义1.6相 同 。
矩阵的数乘运算满足下列运算定律(设A、B为m n矩阵，1， 2是数)：
例1.4设有城市x1,x2, ,xm,它们之间有高 速公路a1,a2, ,an相连(这些公路是单向道， 方向用箭头表示)，如图定义
x2
a1
a2
x1
a5
x3
a4
a3
x4
1.1 矩阵的概念
定义
1
mij -1
0
若
x
i
是
a
的
j
起
点
若
x
i
是
a
的
j
终
点
若
x
i
不
是
a
的
j
端
点
矩阵M = (mij )称为该图的关联矩阵。上图的关联矩阵为
具 有 相 同 行 数 和 列 数 的 矩 阵 才 能 相 加|减 。
例如
50
45
60 35
80 62
40 50
55 42
50 63
90 95
115 77
130 125
2
1
3 1 03
2 5
3 0
0 1 13
4 1
1 1
3 1
0 2
0
4
1.2 矩阵的运算
定义1.6 矩阵的数乘
线性代数课件 第三章 矩阵代数
A。 kI
k
O
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak 1A4A2L43A ，并约定 A0 I 。
k个A
并且有： Ak Al Akl
Ak l Akl
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
Q A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章 矩阵代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
定理2 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件为 A 0 ，且A1 A* A
推论 设 A、B均为 n 阶矩阵，且满足AB I（或BA I） 则 A、B 均可逆，且 B A1, A B1 。
例1
A
1 3
2 9
，验证A是否可逆，若可逆求A1 。
例2 设 n 阶矩阵A满足 A2 3A I 0 ，试证：A 可逆，
第2节 矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
但是，若A、B 均为 n 阶方阵： ห้องสมุดไป่ตู้Bk Ak Bk
定理 若A、B 均为 n 阶方阵，则 AB A B 。
第二节 矩阵的逆
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
线性代数课件第1章：矩阵及其运算
全为1
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相同,列数相同时,称为同型 矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
n
An1 An A 0
0
n n1 n
0
n
n 1
2
n n1
n
n
2
0 0
1
0
0
1
n1
0
0
n 1 n
n1
0
n
1
2
n
n
1
n 1 n
n1
所以对于任意的 k都有
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
.
k
（四）矩阵的其它运算
１、转置矩阵(transpose matrix)
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
线性代数第一章、矩阵PPT课件
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
线性代数教学课件：矩阵的概念
代
当i>j时, aij 0
数
2 3 0 1
如
0
1
1
1
=
0 0 0 2 0 0 0 1
=
▪下三角矩阵
a11 0
0
a21
a22
0
线
an1 , aij 0
1 0 0 0
数
如
2
4
0
0
=
3 0 1 0
1 2 1 1
=
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：
=
0 0 1
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：
如，称 A 2 1 1
线
1 0 1
为线性代数方程组
2 x1 x1
x2
x3 x3
1 的系数矩阵； 2
性 代
系数及常数项组成的矩阵
—
A
2
1
1
1
数
1 0 1 2
称为方程组的增广矩阵.
=
=
1.1 矩阵及其运算
同型矩阵： Amn , Bmn
例1.2 某企业生产4种产品，各种产品的季度产值
（单位：万元）如下表：
线
产值
季节 产品1 产品2 产品3 产品4
性
1 80 58 75 78
代
2 98 70 85 84
3 90 75 90 90
数
4 88 70 82 80
80
这个数表 98
90
58 70 75
75 85 90
78 84
具体描述了这家企业各种产品 各季度的产值，同时也揭示了
代
▪行矩阵或行向量
a1 a2 an 如（1 0 1 2） 数
线性代数课件第2章矩阵
（2）分配律：A(B C) AB AC, (B C)A BACA
（3）对任意数 有 (AB) ( A)B A(B)
（4）设 A是 m n矩阵 ，则
Em Amn A，mn Amn En Amn
或简记为 EA AE A
即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似
于乘法中的数1． 20
（2）列矩阵 当 n 时1 ，即只有一列的矩阵
b1
B
b2
称为列矩阵或列向量． bm
3
（3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零
矩阵，记为O．例如，m n的零矩阵可记为
0 0
0
Omn
0
0
0
0
0
0
（4）方阵 行．数和列数都等于 n的矩阵，称 为 n 阶矩阵或 n阶方阵，记为 A，n
记为
1 0
0
E
En
0
1
0
或
0
0
1
1
1
1
7
（7）n阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数
k 的 n阶对角阵，称为 n阶数量矩阵，记为
k 0
0
kE
0
k
0
或
0
0
k
k
k
．
k
8
2.2 矩阵的运算
9
2.2.1 矩阵的线性运算
1．矩阵的加法
定义2 两个 m n的同型矩阵 A (和aij ) B 的(bij )
A1n A2n Ann
称为矩阵的伴随矩阵.
31
定理1 设 A是 n阶方阵， A为* 的A 伴随矩阵，则
定理2 阶AA方*阵 A可* A逆 A E ，且
n
A A 0
线性代数第2章 矩阵PPT课件
行矩阵(Row Matrix):
只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix):
a 1
只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
暨大珠院
方阵(Square Matrix):
n 行数与列数都等于 的矩阵，称为 n阶方阵.也可记作 An .
排成m的 行n列的数表，
称为 m行n列矩. 阵 简m 称 n矩.阵
a11
记作A
a21
a12 a22
a1n a2n
暨大珠院
am1 am2 amn
简记为
Aa ijm n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数;复矩阵:元素是复数.
规定:
Aa a 11
例如： 1 0 3 5 是一个 24
9 6 4 3
1
En
1
1 nn
暨大珠院
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，
其余元素全为零的矩阵。
k
kEn
k
k nn
暨大珠院
二. 矩阵的基本运算 1. 矩阵相等.
同型矩阵： 两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设 矩 阵 A m n 与 B m n 是 同 型
33 62 81 6 8 9
暨大珠院
负矩阵：称- A 为矩阵 Aaij 的负矩阵。
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n
a 2n
aij
am1
am1
am
n
减法: A B A ( B )
经济数学基础线性代数-第二章_矩阵.ppt
注意：上（下）三角矩阵的转置为
下（上）三角矩阵。
（三）对称矩阵
若矩A满 阵足 :AAT，则 A为对称矩
（1）对称矩阵一定是方阵；
（2）关于主对角线对称的位置上的元素必定
相等，即 aij aji
例如：
3 2 1
1 0
0
3
2
1
2
1 2 0
都是对称矩阵
1 0 0 0 2 3 1 2
4 2
2AB
1 3
1 0
2203
1 1
14( 1 )3012( 1 ) (1 )21
3400
32021
1 12
5 8
3ABCT ABCT CTABT
利用（2）中的AB来求
1 2 1T 1 5T 0 5 1 128
1 0
1 12
2
1
5 1
1 5
12
8
23
4
16
4
1 2 3
A
a
1
0
是对称矩阵。
3 b 2
【解】 由对称矩阵的定义，可知：
a 2, b0时
矩阵A是对称矩阵。
【例6】试证：对任意方阵A，都有 AAT
是对称方阵。
证明： 根据对称矩阵的定义只需证明
AA TTAA T A A TT A TA TTAT A
AAT为对称矩阵 .
关键：利用定义来证明
2 5
11，求 1A2BT 3C;
2AB; 3ABCT.
【解】
1A2BT3C
4 2T
13
1 0
2 220 3
1 1
301
2 5
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07年考题
0 1 0 0
设矩阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
，则A3
的秩为
0
0
0
0
06 年考题：
1.
（数四，4 分）设A
2 1
1
2 ,
且 BA B 2E ,则 B=
2. （数一二三四，4 分）设 A 是三阶方阵，将 A 的第二行加到第一行得 B, 再将 B 的第一列
的-1
倍加到第二列得
如 A 与 B 是同阶阵，则 A、B 等价 存在可逆阵 P、Q，使得 PAQ=B；
注意
• 等价，相似与合同三者的区别联系
矩阵的秩：
• 非0子式的最大阶数
秩为 r 的 m n 阶矩阵的 等价标准型
Er 0
0 0mn
07年考题
0 1 0 0
设矩阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
，则A3
的秩为
假设 A
aij
,B
sn
bij
。
nt
AB A(1, 2 , , t ) ( A1, A2 ,
是有意义的；
, At )
B1 AB1
AB
A
B2
AB2
有意义吗？
Bs
ABs
常见分块
1．
2
2
分块
A1 A3
A2 A4
；2．对角分块
A1
Ak
A1 A2
3．行、列分块
C,P
1 0
1 1
0
0 ,
0
0
1
则 (A) C= P1AP , (C) C=PT AP ,
(B) C=PAP1 , (D) C=PAPT
05 年考题: 1. （数四，4 分）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，如 B=E+AB,C=A+CA,则 B-C= (A) E, (B) –E, (C) A, (D), -A
初等阵与初等变换的关系 左乘------行变换 右乘------列变换
倍法阵:
1
1
Pi (k)
k
(i )
1
1
消法阵:
1
Pij (k)
1
k
1
(i )
(
j)
1
04 年考题：
1． (数一、二)设 A 是三阶方阵，将 A 的第一，
二列互换得 B，将 B 的第二列加到第三列得 C，
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
a1n b11 b12
a2n
b21
b22
amn bn1 bn2
c1s
c2 s
cms
b1s
b2 s
bns
其中： cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj
注意：矩阵的乘积
(1) 不能交换： AB BA （2）不能消去：AB AC B C
注意（1）一般先演算，再计算；
（2）AX=B 用（A，B） 行变换 E , X ，
XA=B 用
则满足 AQ C 的可逆阵 Q 为：
（A）
0 1
1 0
0 0
1 0 1
（C）
0 1
1 0
0 0
0 1 1
（B）
0 1
1 0
0 1
0 0 1
（D）
0 1
1 0
1 0
0 0 1
2．（数四，4 分）设
0 A 1
1 0
0 0
，
0 0 1
B P1AP ，其中 P 为可逆阵，
则 B2004 2 A2
11、如 P、Q 可逆，则秩（PAQ） =秩（A）。
例、（９６）设 A 是 4×3 阵, 秩 A=2,
1 0 2
B=
0 1
2 0
0 3
,则秩
AB=
.
12、秩（AB） min｛秩（A），秩（B）｝。
13、max﹛秩（A），秩（B）﹜≤秩(A│B)
≤秩（A）+秩（B），
max﹛秩（A），秩（B）﹜≤秩
第二章、矩阵
考试要求： 1．理解矩阵的概念，了解单位阵、对角 阵、数量阵、（上、下）三角阵、（反） 对称阵，以及其性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置， 以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方 阵乘积的行列式；
3 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性 质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理 解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆 矩阵； 4 掌握矩阵的初等变换，了解初等阵的 性质和矩阵等价的概念，理解矩阵秩的 概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆 矩阵的方法； 5 了解分块矩阵及其运算。
问：何时能交换？何时能消去？
逆矩阵：
• 如A、B是同阶方阵，AB=BA=E， 则称A是B的逆矩阵
（注：只要AB=E或BA=E）
伴随阵：
A A ji ，其中 A a ij , Aij
是 aij 的代数余子式
换位阵: Pij
1
1
0
1
(i)
1
1
1
0
(
j)
1
1
注意
考点总结
• 矩阵运算(含分块,逆运算和 矩阵方程)
• 初等阵与初等变换 • 矩阵的秩
概念
单位阵；对角阵；数量阵；（上、下）三 角阵；（反）对称阵；逆矩阵;、伴随阵 ; 初等阵;初等变换：（1）换位；（2）倍法； （3）消去（注：左（右）乘相应的初等阵相 当于进行相 应 的初等行（列）变换）；
矩阵等价; 矩阵的秩；矩阵的运算（加、数 乘、乘、转置）；矩阵的分块运算。
a b b
例：设
A
b b
a b
b a
，若
A
的伴随阵的秩
为 1，则必有
（A） a b 或 a 2b 0 ，
（B） a b 或a 2b 0
（C） a b 且 a 2b 0 ， （D） a b 且 a 2b 0
10、如 A、B 是同阶阵，则秩（A） =秩（B） A 与 B 等价。
则 An
。
1 0 1
例、（99） A 0 2 0 ，n 2,
1 0 1
则 An 2An1
例、设 A 是 3 阶方阵，A =1/2， 求 (3 A) 1 2 A 。
例：若三阶阵 A，B 满足 A2B A B E ，
1 0 1
且 A 0 2 0 ，求B 。
2
0
1
例：设 为 3 维列向量，如
1 1 1
T
1
1
1 ，则
1 1 1
T
。
例、设 3 阶实矩阵 A aij ，满足：
（1） aij Aij , (i, j 1,2,3) ，
（2） a11 0 ，计算A 。
例、（94） (1,2,3), (1,1/ 2,1/ 3), A T ，
3．（
数三，4 分）设矩阵A
aij
满足
33
A* AT ，如 a11, a12.a13 为相等的正数，则
a11, a12 .a13 为
（A） 3 。（B）3。（C）1。（D） 3 。 3
04 年考题：
1． (数一、二)设 A 是三阶方阵，将 A 的第一，
二列互换得 B，将 B 的第二列加到第三列得 C，
0
0
0
0
0 1 0 0
A
0
0
1
0
，如何计算
A3
？
0 0 0 1
0
0
0
0
例：设 n(n 3) 阶矩阵
1
A
a
a
a 1 a
a
a 1
的秩为
n
1
则 a 必为
(A) 1; (B) 1/(1-n); (C) –1; (D) 1/(n-1)
分块运算
• 数乘 • 加法 • 乘法
• 分块后将每一块看成数，然后按一般矩阵进行 运算。
则满足 AQ C 的可逆阵 Q 为：
（A）
0 1
1 0
0 0
1 0 1
（C）
0 1
1 0
0 0
0 1 1
（B）
0 1
1 0
0 1
0 0 1
（D）
0 1
1 0
1 0
0 0 1
0
例、P1 1
1 0
0
1
0 ,P2 0
0 1
0 0
,
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23 ，
例：若三阶阵 A，B 满足 AB 2 A B,
2 0 2
B 0 4 0 求( A E ) 1
2
0
2
基本题型:求逆矩阵
基本方法 （1）用定义； （2）用伴随矩阵（要注意符号和排列方式）； （3）初等变换； （4）用性质、结构（对角、次对角、
分块等） 、矩阵运算。
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
3．（数三四，4 分）设 n 阶方阵 A，B 等价，则必有： （A） 当 A a, (a 0) 时， B a
（B） 当 A a, (a 0) 时， B a （C） 当 A 0 时， B 0 （D） 当 A 0 时， B 0
基本题型：
矩阵运算（加、数乘、乘、转置、伴随； 与行列式、向量等相结合）；
4. (kA)* k n1A*, (A*)* A n2 A 其中 A 为 n 阶可逆方阵。
5、 CA
0 B
1
A1 B1CA1
0 B1
，
0A
CB1
A1 0