7-2安培定律
2安培环路定理
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
大学物理7-2磁场的源
q
+
r
v
B
q
r
v
B
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 ，并 以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘 中心的磁感应强度。
解法一 ：圆电流的磁场
dq 2 rdr dI rdr T 2 / dB
R o r
0 dI
2r
0
2
dr
7.2
magnetic field and magnetic induction
磁力——电流和磁体之间的相互作用。 (1) 磁铁与磁铁之间的相互作用力 磁铁
同极相斥 异极相吸
注意：如果把一条磁铁折成数段，不论段数 多少或各段的长短如何，每一小段仍将形成 一个很小的磁铁，仍具有N、S两极，即 N 极与 S 极相互依存而不可分离。但是，正电 荷或负电荷却可以独立存在，这是磁现象和 电现象的基本区别。
(1) 将电流分解为无数个电流元 Idl (2) 由电流元求dB (据毕—萨定律)
(3) 将 dB 在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称 性分析，以简化计算步骤 (4) 对 dB 积分求 B = dB
Bx dBx , B y dB y , Bz dBz
L L L
矢量合成： B B i B j B k x y z
2
x
C
o
0 I B （cos 1 cos 2 ） 4 r
方向：电流与磁感强度成 右手螺旋定则 注意：从直电流始端沿电 流方向积分到末端。 ◆ 无限长载流长直导线 的磁场
z
D
2
B
I
o
x
C
r
电磁学几大定律
1、安培定则，也叫右手螺旋定则，是表示电流和电流激发磁场的磁感线方向间
关系的定则。
（1）通电直导线中的安培定则（安培定则一）：用右手握住通电直导线，让大拇指指向电流的方向，那么四指的指向就是磁感线的环绕方向；
（2）通电螺线管中的安培定则（安培定则二）：用右手握住通电螺线管，使四指弯曲与电流方向一致，那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的N极。
2、左手定则：通电导体放入磁场，
伸开左手，让磁场垂直穿过手掌，四指指向电流方向，则大拇指指的方向即为通电导体所受磁场力的方向。
左手定则可称“电动机定则”，是判断通电导线在磁场中的受力方向的法则，说的是磁场对电流的作用力，或者是磁场对运动电荷的作用力。
其内容是：将左手放入磁场中，使四个手指的方向与导线中的电流方向一致，那么大拇指所指的方向就是受力方向。
无论是直流发电机还是交流发电机，它们的工作原理都是相同的，区别是直流发电机有换向器，而交流发电机则没有换向器
3、右手定则
导体切割磁感线，产生感应电动势。
伸开右手，让磁场垂直穿过手掌，则大拇指指向运动方向，则四指指向即为电流方向。
CH07-2安培环路定理
L3
方向：顺时针，与L2同。 注意： 10管内的磁场是不均匀的。
0 NI B 0 nI 2 r
例3、求无限长均匀载流圆柱体（I、R）内、外的磁场。
I
解：与轴等距离的圆环上B相等，方向如图。
R
L2
r>R时：作环路 L1
L1
B1 dl 0 I i
0 I B1 2 r
I
d B
L
B dl
L
B cos dl Br d
r
p
dl
推广，得安培环路定理：
B dl 0 I i
L
0 I rd 0 I 0 2r
2
安培环路定理： 表示： B d l I 0 i
d
3
c
B1 dl B1 ab ab
ab
bc
cd
da
右：0 Ii
左边=右边：
0 (nab)I
I 为正
Bab 0 nabI
B 0 nI
均匀的场！
例2、求螺绕环（I、N）内的磁场。
解：在环内r处作L2，其上B处处大小相等， 方向与“L2”一致。
根据
20在截面很小的情况下：
30管外（如L1、L3 处）B 0
40螺绕环的截面不一定是圆。
L1
L2
B dl 0 I i
L
安培环路定理：
r
B
B 2 r 0 NI 0 NI B 2 r
方向：沿L1
L1
r
朱卫华《大学物理》2-安培环路定律与安培定律和带电粒子的作用和磁介质2014
v 2eV m
电子束打在屏幕中央的条件： v E B
E 2eV Bm
e m
E2 2VB 2
电子的比荷： e 1.75881962(53) 1011 C kg 1 m
电子的质量： m 9.1093897(54) 1031 kg
v E B
7 质谱仪原理
R mv qB0
mE qB0 B
不同的粒子质量分布在不同的位置
液体中观察原子图象
下图所示的是在电解液中得到的硫酸根离子吸附在 铜单晶(111)表面的STM图象。
5 . 电子荷质比的测定
控制极 阳极
阴
极
U
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
B l
调节B 使比值
l n v0 xT
控制极 阳极
阴
极
U
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
B l
T 2π m qB
安培环路定理：
B B onI
a
bB
d
c
2. 螺线环内的磁感应强度
B dl L
o I
B 2 r oNI
B oNI 2 r
环路 L
磁感应 线
无限大电流平面的磁场----与电场作类比
E
2 0
B
0
j 2
???
电场高斯定理和磁场安培环 路定理应用总结
注意
B dl L
0
Ii
1. 安培环路定理表达式中的
电流强度是指闭合曲线所包
I4
围，并穿过的电流强度，不
包括闭合曲线以外的电流。
I3 I2 I1
L
2. 安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合曲线
内外所有电流产生的磁感应强度。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
安培力知识点
安培力知识点
1、安培力是通电导线在磁场中受到的作用力。
2、注意：安培力F垂直于B磁场F垂直于I电流
3、注意：当通电导线与磁场方向平行时，通电导线不受安培力。
也就是电流与磁场平行时
这个电流垂直纸面向内磁场垂直纸面向外都垂直纸面所以不受安培力
4、安培力方向的判断----左手定则
1、伸出左手，使拇指与其余四指垂直，并且跟手掌都在同一平面内。
2、让磁感线垂直穿过手心，并且四指指向电流方向。
3、这时大拇指所指方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
4、两条平行导线通上电流：同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。
5、安培力的大小
F=BILsinθθ表示导线中电流方向与磁场方向之间的夹角。
7-2 安培定律
此式的适用范围是：直导线，均匀磁场。
B
Idl
×
a
Idl
9
I
dF
B
F
Idl
例 均匀磁场中放置一半圆形导线, 电流为I， ab 与 B 夹角a=30°
求:此段圆弧形通电导线所受 到的磁力。 解
7-2
安培定律
I
ab
B
1. 任取电流元
Idl
2. 电流元所受的安培力:
dF Idl B
1. 均匀磁场B 中长为l的载流导线受力 F dF ( I dl ) B
l l
2. 非均匀磁场中载流导线受力
Fx dFx , Fy dFy , Fz dFz
l l l
F Fxi Fy j Fk k
7
7-2
安培定律
M m B
0M 0 M M max 2 M 0
稳定平衡 力矩最大
非稳定平衡
15
7-2
安培定律
en
en
en
0, M 0 稳定平衡
/2
/ 2 M最大
en
en
/2
16 , M 0 不稳定平衡
dF Idl B
dFx IBdl sin IBdy
y
× dF ×
O
×
Idl
L I
dFy IBdl cos IBdx
Fx 0 IBdy 0
0
F
×
A x
Fy 0 IBdx IBL
L
FI
dl B I OA B
7-2 安培定律
安培定律的微观解释 洛伦兹力
f m evd B
vd
B
f m evd B sin
dF nevd SdlB sin
Idl
dl
fm
I
S
dF IdlB sin IdlB sin
I nevd S
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在 宏观上看起来受到了磁场的作用力 （称为安培力）.
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
y
B
FJQP BI (2R)k 0.64kN I FPKJ BI (2R)k 0.64kN Q
z
J
o
x
R
× dF
以Oy为轴， l 所受磁力矩大小 Id
d
K
x
P
dM xdF IdlBx sin
x R sin , dl Rd
lab为连接弯曲导线两端而成的矢量，亦即整个
F Ilab B
F 0
二、均匀磁场对载流线圈的作用力矩
如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
设bc和ad两边所受安培力为F1和 F1′,则
F1 F BIl1 sin
' 1
F1和F1′方向相反，作用在同一直线上，因此合力为零。 设ab和cd两边所受安培力为F2和 F2′,则
m NISen
en与 I 成右螺旋
在磁力矩作用下，线圈将转动，使其磁矩的方 向与外磁场方向相同而达到稳定平衡状态。
如果载流线圈放置在不均匀的磁场中，载 流线圈除受力矩作用之外，还会受到一个力的 作用，力矩的作用使载流线圈偏转；力的作用 使载流线圈从磁场较弱处向磁场较强处移动。
7-2 磁感强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定理
0 nI
x
l 2
29
六
磁感线
规定：磁感应线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的 切线方向和该点的磁感应强度的方向一致 ；曲线的疏 密程度表示该点的磁感强度 B 的大小。
典型电流磁感应线：
电 子 工 程 学 院 杨 小
I
直线电流的磁感应线
30
圆电流的磁力线
电 子 工 程 学 院 杨 小
I
31
通电螺线管的磁力线
当带电粒子在磁场中 垂直于此特定方向运动时 受力最大.
Fmax 大小与 q, v 无关 qv
11
磁感强度 B 的定义：若带
电粒子在磁场中某点向某方向 运动不受力，且该方向与小磁 针在该点指向一致，此特定方 向定义为该点的 B 的方向.
电 子 工 程 学 院 杨 小
Fmax
磁感强度大小
Fmax B qv
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
电 子 工 程 学 院 杨 小
8 2
dB 0 1、 5 点 ：
3、7点 ：dB +3
+
7
Idl
R
6
0 Idl
4π R
2
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
5
dB
0 Idl
4π R
0 sin 45 2
14
毕奥---萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场.
4π
l
r
2
4π r 0 I cos dl dB x 2 4π r
dB
0 Id l
2
0 IR 2π R B dl 3 0 4π r 2 0 IR B 3 2 2 2 （ 2 x R）
安培环路定理2
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
§7-2欧姆定律及其应用
班级组别姓名教师寄语：同学们，积极地思考和展示是一种对自我的挑战和锻炼，它能为你的成长积攒一缕光芒！让我们在今天的课堂上勇敢地挑战自我吧！§7--2欧姆定律及其应用郝戈庄初中冯守彬学习目标：1、理解欧姆定律，能运用欧姆定律进行简单的计算。
2、能根据欧姆定律以及电路的特点，得出串、并联电路中电阻的关系。
预习感知：一、请同学们根据“学习目标”，仔细阅读课本第4页－7页的相关内容，独立完成以下几个问题，请将你的答案写在题目下面的空白处。
（一）欧姆定律：公式：说明：（1）I、U、R三个物理量是针对同一段导体同一时刻的量。
（2）I、U、R计算过程中采用国际单位制。
（4）、阅读例题，归纳解题步骤并试做P29练习题1——3（二）理解：1、串联电路的总电阻与各分电阻的关系：2、并联电路的总电阻与各分电阻的关系：3、在此探究实验中是如何衡量总电阻是变大还是变小了？理解此种研究问题的方法。
4、结合P28图7.2-3如何理解串并联电路中总电阻与分电阻的关系。
（四）初步完成课本第29页练习题。
二、在你预习的过程中，你还有哪些自己不能解决的疑问，请记录下来。
合作达标：一、预习反馈，生成目标结合学习目标，组内交流“预习感知”中的问题：（将在预习过程中自己解决不了的疑问在组内交流，将本组解决不了的问题写到黑板上）二、组内交流，合作探究问题一：组内交流讨论利用欧姆定律公式及变式解题应注意的问题，交流练习题。
问题二：观看演示实验，根据观察到的现象思考并在小组内交流讨论串并联电路中总电阻与分电阻的关系。
三．展示质疑，释疑点拨四、巩固练习、拓展延伸（先独立完成，再在小组内交流，最后以小组为单位展示。
）1、导体的电阻与导体的、、有关。
材料、横截面积一定时，长度越长，电阻越；材料长度一定时，横截面积越大，电阻越。
2、P29练习题1-6五、梳理总结、构建网络（请同学们整理、反思刚才的学习内容，用简短的语言完成下列知识网络，然后小组内交流完善。
2015高考物理一轮复习课件：7-2 电路的基本规律及应用
考点二
闭合电路欧姆定律
3．有一个电动势为 3 V、内阻为 1 Ω 的电源．下列电阻与其 连接后，使电阻的功率大于 2 W，但使该电源的效率大于 50%的 是( ) A．0.5 Ω C．1.5 Ω B． 1 Ω D．2 Ω
E IR 解析：由闭合电路欧姆定律得 I＝ ，电源效率 η＝ R＋ r IR＋r ×100%，电阻的功率 P＝I2R.将四个选项代入分析得，只有 C 符 合题目要求，故 C 正确．
22 非静电力做 不同类电源，电动势不同，且电动势越大，□ 功本领越大．
2．闭合电路欧姆定律 23 电动势 (1)内容：闭合电路中的电流跟电源的□ 24 电阻之和 跟内、外电路的□ 25 (2)公式：I＝□ 成反比． 成正比，
E 26 I(R＋r) ＝□ 27 U 内＋U 外． ，或 E＝□ R＋ r
二、闭合电路欧姆定律 1．电动势 19 把其他形式的能转化为电能 本领 (1)物理意义： 反映电源□ 大小的物理量． (2)大小： 等于电路中通过 1 C 电荷量时电源所提供的电能的 20 电压 数值；等于电源没有接入电路时两极间的□ 21 内外电路电势差 路中等于□ ；在闭合电
之和，即 E＝U 内＋U 外．
40 100－40 解析： 串联电路中， 电流相等， 则 ＝ R ， 解得 R＝120 Ω， 80 故只有 A 正确．
答案：A
2．如图 7－2－2 所示，额定电压都是 110 V，额定功率分别 为 PA＝100 W、PB＝40 W 的两灯泡，接在 220 V 电路上使用，使 电灯能够正常发光， 且电路中消耗电能最小的电路是哪一个( )
3．几个有用的结论 15 大于 电路中任意一个电阻， (1)串联电路的总电阻□ 电路中 16 变大 任意一个电阻变大时，串联总电阻□ 17 小于 电路中任意一个电阻， (2)并联电路的总电阻□ 任意一 18 变大 个电阻变大时，总电阻□ (3)无论电阻怎样连接，每一段电路消耗的电功率 P 总等于 各个电阻消耗的电功率之和．
第9章02 安培环路定理
r
•P
球面，但是电流只穿过了红色球面， 而没有穿过黑色球面，那么就不满
足统计电流强度的条件
为了满足安培环路定理，那么电流导线为： 1）无限长直导线 2）闭合导线
相扣：1次穿过
不相扣：0次或者偶次穿过，效果为0
o
l
r
•P
无限长直导线
闭合导线
此外，安培环路定理只适用于稳恒磁场，不适合变化的磁场。 Nhomakorabea 静电场
1 B B1 B 2 0 Jk ( r1 r2 ) 2 1 y 0 Jk O 1 O 2 2 B2 B 1 1 r1 r2 0 Jb( k i ) · 2 I O1 O2 1 0 Jbj 2
x
y
B1 1
0 NI ( r r r ) B 2r 0 NI 所以 dm Bds hdr 2r r2 NIh dr 0 NIh r2 0 ln m r1 2 r1 2 r
2 1
B dl B dl B 2r 0 NI
r
I 2 0 r 2 R
0 Ir B 2 2 R
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir 2R 2 B 0 I 2r
r R r R
B
0 I 2R
B
I
R
B
O
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B d l Bdl 2 rB
l l
例5、如图，一无限长圆柱形导体，横截面半径为R， 在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体 轴且与它相距b，设导体中载有均匀分布的电流I，求 孔内任意一点P的磁感应强度B的表达式。
第七章 恒定电流7-2(新课标复习资料)
考 技 案 例 导 析
定律U—I图象
反映I跟U的 正比关系
图象的斜率表示导 体的电阻，斜率越 大，电阻越大
限 时 规 范 特 训
易 错 易 混 分 析
选修3-1
第六章 静电场
金版教程
基 础 知 识 梳 理
高三物理
图象 伏安特性曲线 I—U图象
物理意义 反映导体的伏安特性，图 象是直线表示导体为线性 元件，曲线表示导体为非 线性元件
(2)三个参数：满偏电流Ig，表头内阻Rg，满偏电压 Ug，它们的关系：Ug＝IgRg.
选修3-1
限 时 规 范 特 训
第六章 静电场
金版教程
基 础 知 识 梳 理
高三物理
2．电压表、电流表的改装 改装为电压表 原理 改装为大量程电流表
随 堂 针 对 训 练
串联 串联电阻分压
并联 并联电阻分流
考 技 案 例 导 析
选修3-1
第六章 静电场
限 时 规 范 特 训
易 错 易 混 分 析
金版教程
基 础 知 识 梳 理
高三物理
(2)纯电阻电路： ER E P出＝I R＝ ＝ . R＋r2 R－r2 ＋4r R
2 2 2
随 堂 针 对 训 练
考 技 案 例 导 析
(3)输出功率随R的变化关系 E2 ①当R＝r时，电源的输出功率最大为Pm＝ . 4r ②当R>r时，随着R的增大输出功率越来越小． ③当R<r时，随着R的增大输出功率越来越大．
随 堂 针 对 训 练
考 技 案 例 导 析
U—I图象
图象斜率的 绝对值表示 电源的内阻r
限 时 规 范 特 训
易 错 易 混 分 析
安培力的计算及方向的判断
高中物理安培力的计算及方向的判断编稿老师 刘汝发 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 王红仙知识点考纲要求题型 说明 安培力的计算及方向的判断 1. 熟悉安培力计算公式并能熟练计算安培力的大小； 2. 掌握左手定则并能熟练判断安培力的方向；3. 用左手定则分析解决通电导体在磁场中的受力及平衡类问题选择题、计算题 本知识点属于高频考点，是电磁学部分的重要内容，考查方向主要为安培力参与的平衡问题、能量问题等 二、重难点提示：重点：应用左手定则分析解决通电导体在磁场中的受力及平衡类问题。
难点：安培力方向的判断（左手定则）。
一、安培力1. 定义：通电导线在磁场中受的力称为安培力。
2. 安培力的大小（1）磁场和电流垂直时，F ＝BIL ；（2）磁场和电流平行时：F ＝0；（3）磁场和电流夹角为θ时：θsin BIL F =。
理解：（1）当B 和I 不垂直时，只保留B 的垂直分量即可；（2）当导线不规则时，取其两端连线为研究对象，电流由流入端指向流出端。
3. 安培力的方向（1）用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内，让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
（2）安培力的方向特点：F ⊥B ，F ⊥I ，即F 垂直于B 和I 所决定的平面。
二、安培力作用下导体运动情况的判定1. 判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置的磁场分布情况（安培定则），然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
2. 在应用左手定则判定安培力方向时，磁感线方向不一定垂直于电流方向，但安培力方向一定与磁场方向和电流方向垂直，即大拇指一定要垂直于磁场方向和电流方向所决定的平面。
电流元法分割为电流元安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向特殊位置法在特殊位置―→安培力方向―→运动方向等效法环形电流和通电螺线管都可以等效为条形磁铁，条形磁铁也可等效成环形电流或通电螺线管，通电螺线管也可以等效成很多匝的环形电流来分析。
安培定律和毕奥-萨伐尔定律
安培定律和毕奥--萨伐尔定律1.物质的磁性与电流的磁效应从天然磁体到指南针的发明人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如铁这类物体产生吸引力.人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北方的那个极被称为“北磁极”或N极，指向南方的另一极称为“南磁极”或S极.中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前770-221年）的文献已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.至公元1600年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert）发表《论磁体》一书，这被认为是人类对磁现象系统而定性研究的最早著作.从库仑到奥斯特 From Coulomb To Oersted库仑（C.A.de Coulomb）大家已经知道，1785年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”.库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.但是，电力与磁力有关吗？库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性.奥斯特（H.C.Oersted）然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（I.Kant）和谢林（W.J.Schelling）关于自然力转化与统一的思想影响下，经过20多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在1820年4月发现了电流的磁效应——通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的纪元.从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔安培（A.M.Ampere）法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后，很快（1820年9月）就发现两根通电流的导线之间也存在相互作用力，并于同年12月发表了这种相互作用力的定量公式——现在我们称之为安培定律. (见教材P336)安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性——磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材P336）毕奥和萨伐尔（J.B.Biot and F.Savart）也是在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥--萨伐尔定律.稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律.从奥斯特到安培，两个引人深思的问题一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820年4月）到安培发现电流相互作用的规律（1820年9月），前后只是相差5个月，我们可以从中获得什么教益？另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比1897年汤姆孙发现电子，以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了70多年以上.我们又可以从中获得什么教益？安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩m .由照经典模型，分子磁偶极矩矢量描述为其中，I 是分子电流强度，为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关系.今天，人们对磁现象的认识，已经比安培那个时代深刻得多：不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带电粒子，都有一定的自旋磁矩.分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.磁场读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列.同样的，两条电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结果.2.安培定律（Amperes’ Law）（教材P337）现在，让我们写出安培作用定律真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2，电流元I1dl1对I2dl2的作用力为(2.2-1)其中，I1和I2 是两个回路的电流强度，r12是从I1dl1到I2dl2的距离，是这方向上的单位矢量.在MKSA单位制中，比例常数（2.2-2）其中，m0称为真空磁导率，它与真空介电常数ε0（真空电容率）共同构成作为基本物理常数的真空中光速C：（2.2-3）读者将会看到，电流强度I 的单位——“安培”，是由(2.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，真空磁导率取值为（2.2-4）这也是真空介电常数ε0为什么由下式表示（2.2-5）的原因.由于回路L1的每个电流元对另一回路L2每个电流元都将产生作用力，因此，回路L1对回路L2的合力应当是一个二重积分：（2.2-6)回路L2对回路L1的作用力则是（2.2-7)其中，r21 = r12,是电流元I2dl2到I1dl1的方向上的单位矢量.可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反：F21 = -F12（2.2-8)但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般地 dF21≠ - dF12这是因为：稳恒电流必定构成闭合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.3.磁感应强度 (magnetic induction) （P346）前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流回路L2受到的合力，实质上是电流回路L1产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实质上是：（2.2-9)B 是电流回路L1在L2各点上产生的磁感应强度（注：这一称胃是历史上形成的，现在，有些国外的教科书已把B 称为磁场强度——magnetic field strength）.对于任何一个稳恒的电流回路L ，其中一个电流元Idl 在任意点P产生的元磁感应强度为（2.2-10)其中，x是场点的位置矢量，r是电流元到场点的距离，是这方向的单位矢量.——图中，P点的dB 沿什么方向？类似于电场叠加原理 , 回路L的全部电流元在P点产生的总磁感应强度,也是一个矢量积分：（2.2-11)这称为毕奥—萨伐尔定律.应当注意，B是一个与场点P的坐标有关的矢量函数 .如果导线截面上的电流密度函数为J (x ’)，则一个电流元是J (x ’)dV ’(小电流管中很小一段)，（2.2-11)将写成（2.2-12)此处，r 是电流分布点到场点P的距离，是这方向的单位矢量.磁感应强度的物理意义(1) 像点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比一样，电流元产生的磁感应强度，也与距离的平方成反比；(2）积分式（2.2-11)和（2.2-12)表示电流的磁场也遵从叠加原理(3) 电流的磁场分布于其周围空间.根据安培定律，一个电流元I dl 在磁场中受到的作用力为dF = I dl ×B (2.2-13)B是电流元所在点的磁感应强度.我们设想，在磁场中某一点有一个电流元，由上式，它受力的大小为dF =I dl B sinθ (2.2-14)θ是矢量B与电流元的夹角，显然，仅当θ =π/2，即电流元的方向与此处B 的方向垂直时，它受到的力才有最大值（dF ）max = I dl B ，我们就以比值(2.2-15)来定义该点的磁感应强度，表示单位电流元在磁场某点受到的最大作用力.（请将这个定义与由库仑定律定义的电场强度比较一下）于是B 的单位是：牛顿/安培·米（N/Am），通常把它称为特斯拉（tesla），即 1 特斯拉（T）=1牛顿/安培·米（N/Am）你们以后将看到，B2/2 μ0表示磁场能量密度(电场能量密度为ε0E2/2). 在有些文献中，仍然用“高斯”作为磁感应强度的单位，它与特斯拉的换算关系是 1高斯（gauss）= 10-4特斯拉习题P351：3题[例2-3] 直线电流的磁场(Magnetic Field of a Rectilinear Current)（P352）[解] 我们考虑某个稳恒电流回路的一段，电流是沿着直线流动的，电流强度为I ,设其流向沿坐标系的z轴正向，场点P到电流线的垂直距离为r0 , 我们就以o为坐标原点，如下图.任意一个电流元到原点o的距离为z ,到场点P的距离为r, 从毕奥—萨伐尔定律可知，电流元在场点P产生的元磁感应强度的方向，必定垂直于电流线和P点构成的平面，亦即图中的方向，这正是以r0为半径的圆周的切线方向. 因此我们有其中θ 是电流元与方向的夹角，从图中我们看到对上式两边取微分，便可实现积分变量从z 到θ的变换：于是我们有设这段直线电流的两个端点为a 和 b ,则θ将从θ1变到θ2，对上式积分，便得到这段直线电流在P点产生的磁感应强度(2.2-16)当直线电流的长度为“无限长”，即θ1→0，θ2→π时, （2.2-16）将给出离开电流线为r0的任一点处，磁感应强度为(2.2-17)这表明，“无限长”直线电流在其周围产生的磁感应强度，与距离的一次方成反比，它的场线——即B线按右手规则，相对于电流的流向形成一族与电流线为中心的同心圆.在实际问题中，只要电流线足够长，在它中部附近r0远小于电流线长度的范围内，就有近似于(2.2-17)的结果.请大家考虑下面两个问题：（1）对于通以稳恒电流的金属导线，通常我们只观测到它在外部产生的磁场，而没有观测到它在外部产生的电场.这是为什么？（2）但是对于离子束（无论是正离子束还是负离子束），我们会同时观测到它在外部的磁场和电场，这又是为什么？练习题：假定离子束沿着直线运动并且是稳定的，电流强度为I ，试找出离开离子束中心为 r 处的磁感应强度B和电场强度E .例2-4]平行电流线之间的互作用力.电流强度的单位“安培”的定义. （教材P344，及P387）[解] 我们在第一章的开头就指出，在MKSA单位制中，除了长度（单位：米）、质量（单位：千克）和时间（单位：秒）之外，电流强度（单位：安培）是第四个基本物理量.而电流强度的单位“安培”，正是以安培定律为依据来定义的.设两条很长且平行的线电流之间，相距为r0 ,电流强度分别为I1和I2 ,并且流向相同，如图. 由(2.2-17)，强度为I1的电流在另一电流线上产生的磁感应强度为于是据安培定律，电流I2中的一个电流元受到的作用力为：(2.2-18)负号表示此力是一个吸引力.显然，若两个电流的流向相反，则d F12将是排斥力.两电流线单位长度相互作用力的大小是(2.2-19)我们以前指出，m0的数值取为 4 ×10-7,现在令I1 = I2 =I , 上式便给出(2.2-20)于是，当 r0 = 1米，并且测得f = 2×10-7牛顿/米时，两导线中的电流强度I 就定义为“1安培”.下图就是用来测量平行电流线相互作用力的天平——“安培秤”.[例2-5]圆电流圈的磁场（Magnetic Field of a Circular Current）（P355）[解] 设电流圈的半径为a ，电流强度为I .我们以其中心O为坐标原点，对称轴为z轴，任一电流元到轴上P点的距离为r ,是这方向上的单位矢量.显然，由于，故∣Idl×∣= Id l,因此，一个电流元在轴上P点产生的磁感应强度dB 垂直于与构成的平面，其值则为由于电流分布存在着z轴对称性，我们注意到，与Idl 对称的另一个电流元 Idl ’在P点产生的dB’，与dB 叠加后，与z 轴垂直方向的分量为零，因而只剩下z方向的分量. 因此，仅需对dB 的z分量积分.记场点P到原点O的距离为z = R ，则于是，轴上P点的磁感应强度之值为(2.2-21)显然，在电流圈的中心O，即R = 0 处，有(2.2-22)但在远处，即R>>a 时，(2.2-23)上面我们只求出电流圈对称轴上的场强，但大家应当注意到，这圆形电流圈的电流分布，是存在着z轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.电流圈的磁偶极矩（magnetic dipole moment of a current loop）（P390）和它的磁场设小电流圈的电流强度为I，面积为S，我们定义这电流圈的磁偶极矩矢量为(2.2-24)IS是磁偶极矩的值.按规定，矢量m 的方向，亦即的方向，与电流的流向遵从右手螺旋规则，如图.对于上例的圆形电流圈，其磁偶极矩矢量为于是，据（2.2-23）这磁矩在其轴上而且很远的P点处，产生的磁感应强度就是(2.2-25)现在，让我们回过头去看看，一个位于坐标原点的电偶极矩在远处产生的电场强度为（2.2-26）它存在着z 轴的对称性. 在轴线上即 = 0的点，记r =R，我们看到，这电偶极子的电场强度同样只有z 分量：（2.2-27）它与上述磁偶极矩m在对称轴上的磁感应强度(2.2-25)十分相似——只需将p/ε0?与μ0m 代换，便可实现同一点上E与B的代换！事实上，由于这圆形电流圈的电流分布是存在着z 轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.更详细的理论计算表明：一个位于坐标原点、磁矩矢量为的磁偶极子，在远处，即当r>>a （磁矩的线度）时，它所产生的磁场为(2.2-28)这告诉我们，磁偶极子m 的磁场，与电偶极子p的电场存在着对称性.磁偶极子和它的磁场对于一般的闭合电流圈，其磁偶极矩由下式计算（2.2-29）其中，I d l 是电流圈中的电流元，x ’是电流元的位置矢量，积分遍及整个电流圈.在电流分布于一定体积V 的情形，电流密度为J，电流元I d l 是JdV ’,于是（2.2-30）积分遍及全部电流分布的区域.以后大家将会看到，带电粒子都有一定的自旋磁矩和轨道磁矩。
8-2安培环路定理
几种典型电流的B分布
一段载流直导线
B
0I 4a
(sin 2
sin 1)
无限长载流直导线 无限长均匀载流薄圆筒
B 0I 2 r
B内
0，B外
0I 2 r
无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环
B内 0nI，B外 0
圆电流圈的圆心和轴线上
B中 心
0I
2R
B轴线 2
=B
.2π
r
=
μoI
2π r
2π
r
=μ oI
IB
r
安培环路定律：磁感应场强度矢量沿任 意闭合路径一周的线积分等于真空磁导率乘 以穿过闭合路径所包围面积的电流代数和。
l B .dl =μ oΣ I
电流和回路绕行方向 构成右旋关系的取正值
I
向 绕 行方
电流 I 取负值
I
向 方
绕行
I2
I1
I
I
I
l1
B
=
μ 0I
2π r
I R r
B
B
B
=
μ0
2π
Ir
R2
O
μ 0I
2π R
R
r
B
=
μ 0I
2π r
例. 求无限大载流平面的磁场分布
由俯视图：
无限大载流平面的磁场
分布如图示
dB'
dB
作闭合环路abcd如图 dB''
I
l p
d
c
dl' o dl''
a
b
b c d a
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第七章
稳恒磁场
1
本章内容
7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理 7-2 安培定律 7-3 毕奥-萨伐尔定律 7-4 安培环路定理 7-5 介质中的磁场
7-2 安培定律
2
7-2 安培定律
7-2 安培定律
3
7-2 安培定律
教学基本要求
一、掌握磁感应强度的概念，理解洛伦兹力公式。 二、了解用磁感应线形象描述磁感应强度的方法，会计算简单情况下的磁
Fcd
d (c)
l2
B
en
14
定义磁矩： m NISen
M
m
B
7-2 安培定律
结论
在匀强磁场中，平面线圈所受的安培力合力
为零，仅受磁力矩的作用：
M
m
B
讨论 (1)线圈所受的力矩 ——运动趋势
M
m
B
0M 0
2
M
M max
M 0
稳定平衡 力矩最大 非稳定平衡 15
7-2 安培定律
安培定律
dF Idl B
B
有限长载流导线所受的安培力:
F ldF l Idl B
7-2 安培定律
I Idl S
dl
5
安培定律的微观解释
洛伦兹力：
Fm
qv
B
7-2 安培定律
电流“受力”
载流子通过“碰撞”把“力”传递给导体
载流导体受力（安培力）
电流元相当于运动的电荷元：
Idl
s(nev)dl
8
7-2 安培定律
安培力 F BIl sina
此式的适用范围是：直导线，均匀磁场。
v B
Idl
I
×v a
F
r dF
v B
r Idl
9
例 均匀磁场中放置一半圆形导线,
电流为I， ab 与 B 夹角a=30°
Id l
I
7-2 安培定律
B
求:此段圆弧形通电导线所受
到的磁力。
解 1. 任取电流元 Idl
F Fxi Fy j Fkk
Fz l dFz
7
例 一根长度为 l，电流为 I的 载流导线，放入均匀磁场中，
求该导线所受到的磁场力。
Idl
解
任取电流元 Idl
r r
a Idl , B
电流元所受磁场力： dF Idl B
7-2 安培定律
v B
I
a
×v F
整个导线受力： F BIl sina
六、理解磁场的安培环路定理，理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件 和方法并能作简单计算。
七、了解介质的磁化现象及对磁场分布的影响，了解各向同性介质中磁场 强度和磁感应强度的关系，了解铁磁质的特性及应用。
*八、了解介质中的安培环路定理。
4
一、安培定律
由实验总结出磁场对电流元的作用力
dF IdlBsin θ
7-2 安培定律
讨论：
（1）均匀磁场中，若载流导线闭合回路所在的平面与磁感 强度垂直，则该闭合回路所受磁场力合力为零。此结论， 适用于任意形状闭合回路。
（2） 均匀磁场中，任意形状的平面载流导线所受磁场力， 跟与其始末位置相同的载流直导线所受磁场力是相等的。
×× × × ×
×
×× × × ×
×
o× × × × ×
×P
12
7-2 安培定律
二、均匀磁场对载流线圈的作用力矩
将平面载流线圈放入均匀磁场中，
Fda Fbc Il2B cos
Fab Fcd Il1B
a
Fda与Fbc大小相等方向相反，
l1
作用在一条直线上，为一对平衡力。
b Fab与Fcd大小相等方向相反，不在 Fab
一条直线上，不能抵消，为一对力偶，
dqv
在磁场中，“运动电荷”受力：dF
dq(v
B)
dF Idl B
6
7-2 安培定律
有限长载流导线所受的安培力:
F ldF l Idl B
1. 均匀磁场B 中长为l的载流导线受力
F l dF (I l dl ) B
2. 非均匀磁场中载流导线受力
Fx l dFx, Fy l dFy ,
产生力矩。
o
Fda
d
Fcd
I
B
c en
l2 o'
Fbc
13
作俯视图可看出线圈受到的力矩大小为
M
2 Fab
l2 2
sin
2
Il1
B
l2 2
sin
l2 sin
2
o
Il1l2B sin
如果为N匝平面线圈，则
I
a (b )
M NIl1l2B sin
NISBsin
Fab
S为平面线圈面积
7-2 安培定律
dF Idl B
dFx IBdl sin IBdy
dFy IBdl cos IBdx
y
××
dF
I
Idl
× F×
0
Fx 0 IBdy 0
O
L
Ax
L
Fy 0 IBdx IBL
F I dl B I OA B
相当于一根与其始末位置相同载流直导线在匀强磁场所受的力 11
ab
2. 电流元所受的安培力: dF Idl B
3. 整个通电导线受力
场均匀
(b)
F Idl B I dl B I ab B
l
(a)
10
7-2 安培定律
例 在均匀磁场中放置一任意形状的导线，电流强度为I 求: 此段载流导线所受到的磁力。
解
在电流上任取电流元 Idl
en
en
en
0, M 0 稳定平衡
en
/2
/ 2 M最大
en
/2
, M 0 不稳定平16衡
7-2 安培定律
(2)任意形状载流小线圈受的磁力矩
dM
IdSen
B
M
dM
Ien
B
dS
IS B
M
m
B
B
en
I
适用于任意形状的平面载流线圈的 方向上。
通量，理解磁场高斯定理的内涵。 三、理解洛伦兹关系式，能分析点电荷在均匀电场或均匀磁场中的运动，
了解洛仑兹力关系的应用。
四、理解安培定律，了解磁矩的概念，能计算简单几何形状载流导体和载 流平面线圈中所受的力和力矩。
五、理解毕奥-萨伐尔定律，理解磁场叠加原理，能计算一些简单电流分布 产生的磁场的磁感应强度。
17
磁电式电流计原理:
线圈所受磁力矩：
N
游丝M给线圈N的BI反S 抗力矩：
M a
a —游丝的扭转常数
M M NBIS a
I a k
NBS
k a NBS
— 常量
表示线圈偏转单位角度需 通过的电流。
7-2 安培定律
S 磁铁
18