经济数学第一章典型例题与综合练习

经济数学基础 第一章 函数

第一章 典型例题与综合练习

第一节 典型例题

一、函数的概念

例1求函数

2

4)1ln(1

)(x x x f -+-=

的定义域．

解：要使函数有意义，必须

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥->-≠-04010

)1ln(2x x x ，即

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤->≠221

2x x x

故定义域 {}21|<<=x x D

例2求函数

⎩⎨⎧≤<+<-=20 520 32)(2

x x x x x f 的定义域． 解：分段函数的定义域是自变量x 取值的各个区间的并集，即

{}20}0{≤<

例3已知函数f (x ＋1)＝x 2＋4x －3，求f (x )，)1

(x

f ，f (0)，f (1)．

解方法一：

f (x )＝f ((x －1)＋1)＝(x －1)2＋4(x －1)－3＝x 2－2x ＋1＋4x －4－3＝x 2＋2x －6；

)1(x f ＝2)1(x ＋2)1(x －6=62

12-+x x

=2

2621x x x -+；

经济数学基础 第一章 函数

f (0)=02＋20－6=－6；f (x )=12＋21－6=－3

方法二：将x ＋1看作一个变量，得f (x )=x 2＋2x －6，后面的作法同方法一，分

别得出22621)1(x x x x f -+=

，3)1(,6)0(-=-=f f

例4判断函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)的单调性．

解:易知函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称，故只需讨论x ＞0时函数的单调性．

对任意x 1＞x 2＞0，有x 12＋1＞x 22＋1

因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log 0.5(x 12＋1)＜log 0.5(x 22＋1),即f (x 1)＜f (x 2)

由单调性定义可知当x ＞0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x ＜0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调增函数．

因此函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少．

例5设函数f (x )和g (x )都是奇函数，试证f (x )·g (x )是偶函数． 证明：已知f (x )和g (x )都是奇函数，由定义可知，对任意x ，有

f (－x )＝－f (x )；

g (－x )＝－g (x )，上两个等式的左右端分别相乘得 f (－x )·g (－x )＝(－f (x ))·(－g (x ))＝f (x )·g (x ) 即对任意x 有f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x ) 由定义可知f (x )·g (x )是偶函数．

二、函数的运算

例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：

经济数学基础第一章函数

(1)y＝ln(tan x21

+)；(2)y＝e x2cos2x

解：(1)y＝ln u，u＝tan v，v＝w，w＝x2＋1

其中y，u，v作为中间变量u，v，w的函数都是基本初等函数，而w是幂函数x2与常数函数1的和．

(2) y＝e u v2，u＝x2，v＝cos x

y是指数函数e u和幂函数v2的乘积，u，v为中间变量．

三、经济分析中的常见函数

例1某种产品的需求函数为q d＝100－2p,供给函数为q s＝10p－8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．

解：由100－2p＝10p－8；移项整理得12p＝108，故p0＝9

因q0＝100－2p0，故q0＝82

即该产品的市场均衡价格为9，市场均衡数量为82．

例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成本，并求当产量q为50时的平均成本．

解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为c0，有c0＝C(0)＝80

因为平均成本为C＝C q q ()

所以C(50)＝C(50)

50＝

80250

50

+⨯

＝3.6

即生产该产品的固定成本为80，产量q为50时的平均成本为3.6．

经济数学基础 第一章 函数

例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C (q )＝500＋2q (元)，其中q 为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：(1)生产200件该产品时的利润和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点．

解(1)已知C (q )＝500＋2q (元) 又由题意知收入函数为R (q )＝6q

因此，利润函数为L (q )＝R (q )－C (q )＝6q －(500＋2q )＝4q －500 (元)

又因该产品的平均利润函数为L ＝L q q ()＝4－500

q (元

件)

生产200件该产品时的利润为L (200)＝4×200－500＝300(元)

而此时平均利润为L ＝4－500

200＝1.5(元

件)

即生产200件该产品时的利润为300元，平均利润为每件1.5元． (2)利用L (q )＝0得4q －500＝0

解得q 0＝125 ，(件)，即盈亏平衡点为125件.

第一节 典型例题

一、填空题

1. 函数y ＝41--x

x lg()的定义域是 ．

2. 函数f (x ＋1) = x 2

＋2x －5，则f (x ) = ． 3. 函数y ＝ x 2－6x ＋10的单调区间是 ． 4. 设f (u )=u 2＋1，g (x )=

x

+11

，则f (g (2)) = ．