高三数学12月摸底考试试题理

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2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=，所以1l 与2l之间的距离1d ===，故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立；故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭，又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=，又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ，因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=，所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立；可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<，所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<；设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<，即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<；综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -，由1102ABCSAC AB =⋅=，所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确；由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确；选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩，又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ：由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=，又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=，即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，又1202x x x +=，所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值，因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立，所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上所以选项D 不正确；故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________．【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+，因为[0,π]θ∈，所以π3θ=，故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=，故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥；当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小；（2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-，又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =，所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值．【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ，又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆，当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合，故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠；（2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①，则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，，由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥，又11a =，23a =，符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值．【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ，利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=，则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =，则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥，得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向，射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--，设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =，则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=，得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程．（2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=，设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ，将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-，将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->，即()()21212111g x g x x x x x λ->-，令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===，令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。

数学高三上学期理数一轮摸底考试(12月)试卷

数学高三上学期理数一轮摸底考试（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·陕西月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·邵东月考) 是虚数单位，是实数集，，若，则（）A .B .C . 2D . -23. （2分）(2018·广州模拟) 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A .B . 7C .D .4. （2分） (2018高三上·长沙月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为（）A .B . 2C .D . 35. （2分） (2019高一下·成都月考) 已知，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·天河模拟) 在同意直角坐标系中，函数的图像不可能的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·鞍山模拟) 的展开式中的系数为（）A .B . 1024C . 4096D . 51208. （2分）(2018·河北模拟) 设，满足约束条件，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·滁州月考) 已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）．A . 3B . 15C . 48D . 6310. （2分） (2019高二上·宁波期末) 已知，则“ 且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分） (2017高一上·闽侯期中) 函数是定义在上的偶函数，且满足 .当时， .若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·唐山模拟) 已知向量 =(m，3)， =(m+2，1)，若=| |2 ，则在方向上的投影为________。

高三数学12月摸底考试试题理试题

14．球的直径，在球面上，，，那么棱锥的体积为______
15．假设定义在R上的偶函数且当时，假设函数恰有8个零点，那么实数a的值是______
三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.
16．〔本小题总分值是12分〕
向量，函数．
〔1〕假设，求的值；
〔2〕假设，求函数的值域．
故在上存在唯一零点．
即当时，单调递增．当时，单调递减．
因为，．
故在上无零点，在上有唯一零点．
由观察易得，故，即：．
综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．
〔1〕当时：，〔〕
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
〔2〕
令，故 , ,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增，
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．
①当，即：或者时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
参考答案
一.选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
D
B
B
C
B
C
C
二、填空题:本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分
1 1 4.
15.
三.解答题
16．解：
〔1〕∵向量，
∴ ，
∴ ，
那么，；
〔2〕由，那么，

2021-2022年高三12月模拟考试数学理试题含答案

2021年高三12月模拟考试数学理试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A． {1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•i=xx﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6D．﹣66．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2C．4D．7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．设a=loh，b=log，c=（）0.3则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c 9．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．B．C．1D．410．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）的图象在[，]上递减C．f（x）的最大值为A D．f（x）的一个对称中心是点（，0）12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f （x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

高三数学12月一模考试试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校松江区2021届高三数学12月一模考试试题〔含解析〕一.填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B ⋂=_____【答案】{}12，【解析】【分析】求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案．【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案为{}1,2【点睛】此题考察了交集及其运算，是根底题．的终边过点(4,3)P -，那么3sin()2πα+的值是_____________. 【答案】45- 【解析】【分析】由题意可得x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4cos 5α=，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P 〔4，﹣3〕，那么x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5α=， 34sin()cos 25παα+=-=-．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题．3.设121iz i i-=++，那么||z =______. 【答案】1.分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法那么有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-，那么：1z i ==.点睛：此题主要考察复数的运算法那么，复数模的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -=，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】此题考察了二项式定理的简单应用，属于根底题．22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，假设椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，那么1||PF =________【答案】4 【解析】根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆22194x y +=中，1226PF PF a +==，又122PF PF =，所以1362=PF ，因此14PF =. 故答案为：4【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔，熟记椭圆的定义即可，属于根底题型.x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，那么实数m =________【答案】2- 【解析】【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx ym 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】此题主要考察由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的断定条件，灵敏运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.(1,2)a =，(,3)b m =-，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =________【答案】32- 【解析】【分析】先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量一共线的坐标表示，得到()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ，又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，解得：32m =-. 故答案为：32-【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于常考题型.()y f x =存在反函数1()y f x -=，假设函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，那么函数12()log y f x x -=+的图像必经过点________【答案】(4,3) 【解析】【分析】先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1(4)1-=f ，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4)又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1()y f x -=的图像过点(4,1)，即1(4)1-=f ，所以12(4)log 4123-+=+=f ，即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3.故答案为：()4,3【点睛】此题主要考察反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.{}n a 中，假设121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，那么1a 的取值范围是________ 【答案】112(0,)(,)333【解析】【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，假设1q=时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ，假设1q ≠时，112(1)1lim()lim13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ，因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ，所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ；当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q .因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333. 故答案为：112(0,)(,)333【点睛】此题主要考察由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法那么，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.ax by cx d+=+的大致图像如图，假设函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，那么:::a b c d =________【答案】2:1:1:1- 【解析】【分析】先由函数图像，得到函数ax b y cx d+=+关于()1,2-对称，推出02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为2+=+cx by cx c，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数ax by cx d+=+关于()1,2-对称，所以有02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx by cx d cx c ，又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，所以1834bcc b c c ⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，所以:::2:1:1:1=-a b c d.故答案为：2:1:1:1-【点睛】此题主要考察由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，那么实数c 的最小值为________【答案】-【解析】【分析】先由题意，根据根本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈ta b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果.【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ，又221ab +=，所以22212++=+a bab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a bc ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+ta b，因为+==≤=a b a b =时取等号. 所以(=+∈ta b ，又易知函数3=-yt t在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y t t ，因此()()2233==≥=-+--+c a b t a b t即实数c 的最小值为-故答案为：-【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，那么0m n ⋅=的概率为________【答案】851【解析】【分析】先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如以下图的平面直角坐标系，因为正六边形的边长为1，所以易得：()11,0A -、212⎛- ⎝⎭A 、31,22⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、51,22⎛- ⎝⎭A 、61,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，因此125412⎛== ⎝⎭A A A A ，136432⎛== ⎝⎭A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，15243,2⎛== ⎝⎭A A A A ，16341,2⎛== ⎝⎭A A A A ，21451,22⎛==-- ⎝⎭A A A A ，()23651,0==A A A A ，(251,=A A ，(52=-A A ，(26350,==A AA A ，31463,22⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,=-A A ，(63=A A ，4251322⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，4361122⎛==- ⎝⎭A A A A ，(5362==A A A A ；一共18个向量. 因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j Ma a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()0,3-或者()0,3；()2,0-与()0,3-或者()0,3；()1,0与()0,3-或者()0,3；()1,0-与()0,3-或者()0,3；()1,3与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3--与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；一共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况一共有：222448=A 种；又在M 中任取两个元素m 、n ，一共有22182C A 种情况；因此，满足0m n ⋅=的概率为：2218248851==PC A . 故答案为：851【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕 13.l 是平面α的一条斜线，直线m α，那么〔〕A.存在唯一的一条直线m ，使得lm ⊥ B.存在无限多条直线m ，使得lm ⊥C.存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD.存在无限多条直线m ，使得l ∥m【答案】B 【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线m α，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直，且平面内有无数条直线与直线m 平行，故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥.应选：B【点睛】此题主要考察直线与直线位置关系的断定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.,x y ∈R ，那么“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】假设2x y +>，那么x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分条件，反之，假设“x 、y 中至少有一个数大于1〞，那么x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-；因此，“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件.应选：A .,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，那么〔〕A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8【答案】B 【解析】【分析】先令2()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，三式相加得2221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2min44126≥++b M b ，进而可得出结果.【详解】因为2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，令2()f x x bx c =++，那么只需(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即21644c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以以上三式相加可得：2221644-++++≤b c b c c M ，由绝对值不等式的性质定理可得：22221642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ，因此只需()222min minmin 14416412822648⎛⎫⎛⎫≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b 即2M≥.应选：B【点睛】此题主要考察求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，那么10S =〔〕A.45B.1012C.2036D.9217【答案】C 【解析】【分析】根据题意先确定()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】因为集合{1,2,3,,10}M=⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，那么一共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10；因此98760102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，所以1098711022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，两式作差得101098761102(12)222222101012--=------⋅⋅⋅-+=-+-S112122036=-+=-，所以102036=S .应选：C【点睛】此题主要考察含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18=76分〕 17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.〔1〕求圆锥的侧面积和体积；〔2〕求异面直线CD 与AB 所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕【答案】〔1〕侧面积，体积8π；〔2〕14.【解析】【分析】〔1〕根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】〔1〕因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，所以其母线长为==PA因此圆锥的侧面积为122π=⋅⋅⋅=S PA OA ；体积为：2183ππ=⋅⋅⋅=VOA PO ；〔2〕由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如以下图的空间直角坐标系，那么(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ，又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ，因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ，所以cos cos ,14θ⋅-=<>===CD AB CD AB CD AB，因此，异面直线CD 与AB所成角的大小为.【点睛】此题主要考察求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.2()cos 2sin f x x x x =-.〔1〕求()f x 的最大值；〔2〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.【答案】〔1〕最大值为1；〔2〕2a =.【解析】【分析】〔1〕先将函数解析式化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；〔2〕先由题意得到1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，得:2a b c =+；由2AB AC ⋅=得4bc =，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】〔1〕2()cos 2sin 2(1cos2)2cos21=-=--=+-f x x x x x x x x2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由x ∈R 可得26π+∈x R ，因此1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max ()211=-=f x ；〔2〕由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以132666πππ<+<A ，因此5266ππ+=A ，所以3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，可得:2a b c =+；又2AB AC⋅=，所以1cos 22==bc A bc ，即4bc =，由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ，解得：2a=.【点睛】此题主要考察求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的间隔〔并结合车速转化为所需时间是〕，当此间隔等于HY 间隔时就开场HY 提醒，等于危险间隔时就自动刹车，某种算法〔如以下图所示〕将HY 时间是划分为4段，分别为准备时间是0t 、人的反响时间是1t 、系统反响时间是2t 、制动时间是3t ，相应的间隔分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v 〔米/秒〕，且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 随地面湿滑等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈〕.〔1〕请写出HY 间隔d 〔米〕与车速v 〔米/秒〕之间的函数关系式()d v ，并求0.9k=时，假设汽车到达HY 间隔时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是〔准确〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，HY 间隔均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】〔1〕22020v d v k=++，最短时间是3.1秒〔2〕汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时【解析】【分析】〔1〕根据题意，得到0123=+++dd d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间是20118==++d v tv v ，根据根本不等式，即可求出最值；〔2〕根据题意，得到当0.5k =时，HY 间隔最大，推出222020802010++≤++<v v v v k ，求解即可得出结果.【详解】〔1〕由题意：HY 间隔201232020=+++=++v d d d d d v k ，当0.9k =时，22018=++v d v ，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是为：20111 3.118==++≥=≈d v tv v 秒；〔2〕由题意可得：2208020v d v k=++<，因为[0.5,0.9]k ∈，所以当0.5k=时，HY 间隔最大，因此，只需：2208010++<v v ，解得：3020-<<v ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时.【点睛】此题主要考察函数模型的应用，以及根本不等式的应用，熟记根本不等式，以及不等关系即可，属2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .〔1〕假设||3FA =，求点A 的坐标；〔2〕假设2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；〔3〕假设||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公一共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕(2,±；〔2〕证明见解析；〔3〕存在，最小值2，(3,0)M .【解析】【分析】〔1〕由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA =求出横坐标，代入24y x =，即可得出点的坐标；〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到12120OA OB x x y y ⋅=+<，推出AOB ∠恒为钝角，即可得结论成立；〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，由||||FA FM =得1(2,0)+M x ，推出直线AB 的斜率12=-AB y k ．设直线1l 的方程为12yy x b =-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y=-，21141Ex y x ==，由三角形面积公式，以及根本不等式，即可求出结果.【详解】〔1〕由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =得y =± 所以A点的坐标(2,A或者(2,A -〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，所以1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<，故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部．〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，因为||||FA FM =，那么111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ．故直线AB 的斜率12=-AB y k ．因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y =-，21141Ex y x ==，111111110014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥-，当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立，由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩得21144x x =，解得11x =或者10x =〔舍〕，所以M 点的坐标为(3,0)M ，min()2OAE S ∆=.【点睛】此题主要考察求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的HY 方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大.{}n a 满足：①n a ∈N 〔*n ∈N 〕；②当2k n =〔*k ∈N 〕时，2n na =；③当2k n ≠〔*k ∈N 〕时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S .〔1〕求1a ，3a ，9a 的值；〔2〕假设2020nS =，求n 的最小值；〔3〕求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=〔*n ∈N 〕.【答案】〔1〕10a =，30a =或者1，90a =或者1；〔2〕115；〔3〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；〔3〕先由242nn S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.【详解】〔1〕因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或者31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或者91a =．〔2〕由题意可得：122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k ma m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++=，()128max 646571427942S ⨯=+=，71420202794<<，64128n ∴<<，又20207141306-=，所以min6451115n =+=〔3〕必要性：假设242n n S S n =-+，那么：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141()n n n aa a n N ++*++++=-∈③ 由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或者1只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211()n a n N *+∴=∈；充分性：假设211()na n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)nn kak n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…〔I 〕另一方面，由2n ka k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n *∈N ，都有22nn a a =…〔II 〕2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.【点睛】此题主要考察数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.。

广东省江门市届高三12月调研考试数学理试题Word版含答案

江门市2017届普通高中高三调研测试数学（理科）试题2016.12第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．错误！未找到引用源。

是虚数单位，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．1B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

3．在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

边的中点，错误！未找到引用源。

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，则错误！未找到引用源。

A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4．若等差数列错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的前2016项之和错误！未找到引用源。

A ．1506B ．1508C ．1510D ．15125．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

6．在平面直角坐标系中，“直线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

平行”是“错误！未找到引用源。

”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

分别错误！A B C D A B C D 1111E未找到引用源。

上，错误！未找到引用源。

深圳市示范性高中(高三)12月月考数学试题理科

深圳市示范性高中（高三）12月月考数学试题理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A . 30oB . 45oC . 60oD . 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、已知P 是以F 1，F 2若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β D ）A43 B 33 C 42 10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ D ） A 212ln 2()4f x +<-B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x -> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=，则a 在b 方向上的投影为__2___14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：③直线01=++y x 与圆 ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2其中真命题的序号是：1，3，5三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.解：（I）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。

海口市数学高三上学期理数一轮摸底考试(12月)试卷

海口市数学高三上学期理数一轮摸底考试（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={﹣2，2，3，4，5，9}，则集合A∩B=（）A . {2，3，4}B . {2，3，4，5}C . {1，2，3，4，5}D . {﹣2，1，2，3，4，5}2. （2分） a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（）．A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 双曲线的焦距为（）A .B .C .D .5. （2分）若对所有实数x，均有，则k= （）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，当时, f(x)=1-x，则关于x的方程在上解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2018·山东模拟) 已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·滨州期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A . 1B . 2C . 3D . 69. （2分）(2017·陆川模拟) 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A . m（1+q）4元B . m（1+q）5元C . 元D . 元10. （2分）已知双曲线的离心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一上·河北期末) 函数y=sin （2x+ ）的图象可由函数y=cosx的图象（）A . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B . 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D . 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位12. （2分）若关于的两个方程，的解分别为、（其中是大于1的常数）,则的值（）A . 大于0B . 小于0C . 等于0D . 以上都不对，与的值有关二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·广安模拟) 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则 =________．14. （1分） (2018高二上·黑龙江期中) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为________15. （1分）＋＝________．16. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高二上·九江期中) 已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前n项和为Sn ．（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；（2）若bn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn．18. （10分） (2020高三上·泸县期末) 如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面 .（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.19. （15分） (2018高二下·辽源月考) 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率[145.5，149.5）10.02[149.5，153.5）40.08[153.5，157.5）200.40[157.5，161.5）150.30[161.5，165.5）80.16[165.5，169.5）m n合计M N（1）求出表中所表示的数；（2）画出频率分布直方图；20. （10分）(2017·武邑模拟) 已知椭圆G： +y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1 ，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2019·天津模拟) 己知函数。

理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误；财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案

2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

2021年高三上学期12月摸底数学试卷(理科)含解析

2021年高三上学期12月摸底数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.M=（）1．已知R是实数集，，则N∩∁RA．（1，2）B．[0，2] C．∅D．[1，2]2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．已知平面向量，，||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件5．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．116．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga +loga=（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（4，5）9．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．12．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是．13．已知等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则a n=．14．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．15．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．19．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．20．已知数列{a n}的首项a1=2，且a n=2a n﹣1（n∈N*，N≥2）﹣1（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•a n﹣n}的前n项和S n．21．已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．xx学年山东省淄博市桓台二中高三（上）12月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2） B．[0，2]C．∅D．[1，2]【考点】交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法．【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出C R M，再按照交集的定义求出N∩C R M．【解答】解：∵M={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=}={y|y≥0 }，故有N∩C R M={y|y≥0 }∩{x|x＜0，或x＞2}=[0，+∞）∩（（﹣∞，0）∪（2，+∞））=[0，2]，故选B．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．已知平面向量，，||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=1，||=，|﹣2|=，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=5，即1+4×2﹣4×1×cosθ=5，即cosθ=，∴θ=，故选：C4．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查．【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．故选D．5．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．11【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到D 的距离最大，所以z=（x﹣1）2+y2的最大值z=（1﹣1）2+32=9；故选B．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．已知函数f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（4，5）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】求导数，利用f′（﹣1）=﹣4，求出a，再利用零点存在定理，即可求出函数y=f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵f（x）=ax2﹣e x，f′（﹣1）=﹣4，∴﹣2a﹣e﹣1=﹣4，∴a=2﹣，∴f（x）=（2﹣）x2﹣e x，∴f（﹣1）=2﹣＞0，f（0）=﹣1＜0，∴函数y=f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0），故选：B．9．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式系数的性质．=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数【分析】二项式的通项公式T r+1为0，建立方程求出n的最小值．=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r 【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．10．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定【考点】导数的运算．【分析】由已知存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，解得a=，由已知得，从而能求出．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），∴，∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，∴，∴，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．∵，∴，∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，∴x0＞a，又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，∴．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为﹣．【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f（log49）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，∴当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（log49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．12．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是2．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】求出图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点，可得ω•=kπ，由此求得ω的最小值．【解答】解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈Z．又ω＞0故ω的最小值是2，故答案为：2．13．已知等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1、a2、a2成等差数列，则a n=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程，化简后求出q，由条件和等比数列的前n项和公式列出方程，化简后求出a1，由等比数列的通项公式1求出a n．【解答】解：设公比为q，因为4a1、a2、a2成等差数列，所以2×a2=4a1+a2，即a2=2a1，则q=2，由S6=21得，，解得a1=，所以a n=，故答案为：．14．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O ，A ，B 的平面与SC 垂直，求出三角形OAB 的面积，即可求出棱锥S ﹣ABC 的体积．【解答】解：如图，由题意△ASC ，△BSC 均为等腰直角三角形，求出SA=AC=SB=BC=2，∴∠SOA=∠SOB=90°，所以SC ⊥平面ABO ．又AB=2，△ABO 为正三角形，则S △ABO=×22=，进而可得：V S ﹣ABC =V C ﹣AOB +V S ﹣AOB ==故答案为：15．若定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ﹣1）=f （x +1）．且当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x 2+1，如果函数g （x ）=f （x ）﹣a |x |恰有8个零点，则实数a 的值为 8﹣2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f （x ）满足f （x +1）=﹣f （x ），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案．【解答】解：由f （x +1）=f （x ﹣1），则f （x ）=f （x ﹣2），故函数f （x ）为周期为2的周期函数．∵函数g （x ）=f （x ）﹣a |x |恰有8个零点，∴f （x ）﹣a |x |=0在（﹣∞，0）上有四个解，即f （x ）的图象（图中黑色部分）与直线y=a |x |（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点，如图所示：又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点，∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．∵a＞0，∴a=8﹣2．故答案为：8﹣2．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）化简f（x），根据求出sinθ，代入二倍角公式；（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的图象与性质得出．【解答】解：（Ⅰ），∴f（）=2sin（θ+π）=﹣2sinθ=，∴sinθ=﹣．∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=．（Ⅱ）由，则，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值﹣，当2x﹣=时，f（x）取得最大值2．∴f（x）的值域为．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得首项；当n≥2时，根据已知条件S n=2n+1﹣2（n ∈N*）推知，易得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出b n，运用分组求和和错位相减求和．【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性转化求解函数的解析式即可．（Ⅱ）通过当x=0时，当0＜x≤2时，当0＜x＜1时，求出函数的零点，极值，然后求解实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=（x+2）e﹣x﹣2，当x＞0时，则﹣x＜0时，f（﹣x）=（﹣x+2）e x﹣2，由于f（x）奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x+2）e x﹣2]，故当x＞0时，f（x）=（x﹣2）e x+2．（Ⅱ）当x=0时，f（0）=0．当0＜x≤2时，f（x）=（x﹣2）e x+2，f'（x）=（x﹣1）e x，由f'（x）=0，得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增．则f（x）在x=1处取得极小值f（1）=2﹣e，又f（0）=0，f（2）=2，故当0＜x≤2时，f（x）∈[2﹣e，2]．综上，当x∈[0，2]时，f（x）∈[2﹣e，2]，所以实数m的取值范围是[2﹣e，2]．19．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接GD，CD，又GB=GF，所以．因为，所以，四边形GDCE是平行四边形，所以CD∥EG因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC所以EG∥平面ABC．（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量．设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以，由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．（Ⅲ）因为，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．20．已知数列{a n}的首项a1=2，且a n=2a n﹣1（n∈N*，N≥2）﹣1（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•a n﹣n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）已知通项公式变形，利用等比数列的性质判断得证，求出数列{a n}的通项公式即可；（2）根据题意表示出数列{n•a n﹣n}的前n项和S n，利用数列的递推式确定出S n通项公式即可．【解答】证明：（1）由a n=2a n﹣1﹣1，得a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}构成首项为a1﹣1=1，公比q=2的等比数列，∴a n﹣1=2n﹣1，即a n=2n﹣1+1；解：（2）∵na n﹣n=n•2n﹣1+n﹣n=n•2n﹣1，∴S n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，①，2S n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，②，②﹣①，得：S n=﹣20﹣21﹣22﹣…﹣2n﹣1+n•2n=﹣+n•2n=n•2n+1﹣2n=（n﹣1）2n+1．21．已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）e x，a≥﹣2．（I）若a=0，求f（x）的单调区间；（II）讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）是否存在a，使得函数f（x）的图象在区间上与x轴相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）若a=0，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；（II）利用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数f（x）在区间上的极值点个数；（III）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论．【解答】解：（1）当a=0时：f（x）=（xlnx+﹣1）e x，（x＞0）故f'（x）=（lnx+1+xlnx﹣1）e x=lnx（x+1）e x，当x=1时：f'（x）=0，当x＞1时：f'（x）＞0，当x＜1时：f'（x）＜0．故f（x）的减区间为：（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）e x，令g（x）=lnx+xlnx+ax+a2，故g'（x）=，g“（x）=﹣，显g''（1）=0，又当x＜1时：g''（x）＜0．当x＞1时：g''（x）＞0．故g'（x）min=g'（1）=2+a，∵a≥﹣2，∴g'（x）≥g'（x）min=2+a≥0．故g（x）在区间（）上单调递增，注意到：当x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在（）上的零点个数由g（）=（a﹣1）（a+1+）的符号决定．①当g（）≥0，即：﹣2或a≥1时：g（x）在区间（）上无零点，即f（x）无极值点．②当g（）＜0，即：﹣1﹣时：g（x）在区间（）上有唯一零点，即f（x）有唯一极值点．综上：当﹣2或a≥1时：f（x）在（）上无极值点．当：﹣1﹣时：f（x）在（）上有唯一极值点．（3）假设存在a，使得f（x）在区间（）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，由（2）可知：﹣1﹣时．不妨设极值点为x0，则有：…（*）同时成立．联立得：lnx0+a+1=0，即x代入（*）可得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0．令t=﹣（a+1），则t，h（t）=e t﹣t﹣（t+1）2，则h'（t）=e t﹣2t﹣3，h''（t）=e t﹣2，当t时，（∵）．故h'（t）在t上单调递减．又h'（﹣2）=e﹣2+1＞0，h'（）=．故h'（t）在t上存在唯一零点t0．即当t∈（﹣2，t0）时，h'（t）＞0，h（t）单调递增．当t时，h'（t）＜0，h （t）单调递减．因为h（﹣2）=e﹣2+1＞0，h'（）=．故h（t）在t∈（﹣2，t0）上无零点，在t上有唯一零点．由观察易得h（0）=0，故a+1=0，即：a=﹣1．综上可得：存在唯一的a=﹣1使得f（x）在区间（）上与x轴相切．xx年2月11日38922 980A 頊21677 54AD 咭_23825 5D11 崑37667 9323 錣PG21062 5246 剆32393 7E89 纉38029 948D 钍_ 22401 5781 垁29099 71AB 熫。

河北省数学高三上学期理数一轮摸底考试(12月)试卷

河北省数学高三上学期理数一轮摸底考试（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合A={x|log3（x﹣1）＜1}，B={x|＜2﹣x＜1}，则A∩B=（）A . （1，2）B . （1，4）C . （﹣2，0）D . （0，2）2. （2分） (2018高二下·河北期中) 设复数满足（为虚数单位），则（）A .B .C .D .3. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·西城模拟) 设双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A .B .C . x±8y=0D . 8x±y=05. （2分） (2016高一下·福建期中) 已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A .B . -C . ﹣2D . 26. （2分） (2019高一上·浙江期中) 函数（且）的图象不可能是（）A .B .C .D .7. （2分）(2012·天津理) 在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A . 10B . ﹣10C . 40D . ﹣408. （2分）(2019·和平模拟) 设，满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）A . 165 cmB . 175 cmC . 185 cmD . 190cm10. （2分） (2017高二上·莆田期末) 试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·遵义模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）方程2x-1+x=5的解所在的区间是（）A . (0,1)B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷．其中正确的序号是________．14. （1分） (2018高二下·海安月考) 设有1个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为6cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．15. （1分）设f（x）=，则f（f（2））的值为________16. （1分） (2019高二下·青浦期末) 若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高一上·利辛月考) 在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．18. （10分） (2019高二上·长春月考) 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.19. （15分） (2018高二上·孝昌期中) 某果农选取一片山地种植红柚，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间(40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图.已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的倍.（1）求、的值；（2）求样本的平均数；（3）从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率.20. （10分）(2019·贵州模拟) 已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.21. （10分） (2017高二下·都匀开学考) 设函数f（x）= ，（a∈R）（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值．（2）若f（x）在R上为增函数，求a的取值范围．22. （10分）在极坐标系中，已知射线C1：θ= （ρ≥0），动圆C2：ρ2﹣2x0ρcosθ+x02﹣4=0（x0∈R）．（1）求C1 ， C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．23. （10分） (2016高二上·湖州期末) 已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式x2+a|x﹣2|﹣8＜0．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题(解析版)

福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >，解得8k >，故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ，得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ，则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =，所以41d q +=①，而10k a b =，所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-，即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-．在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-．因为232102131<，所以123e e e >>．故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-，令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确；因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω．故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥，翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥，因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥，因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ，同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确，将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点，且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =，所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ，设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==，则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确，故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =，所以ln ln a ba b=，令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=，令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减，作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====，由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=，所以AB 正确，CD 错误；故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心，所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称，即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，，所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+，所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++，所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-，故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上，同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =；故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-，所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-，所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，，所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+，其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ，因为M 为CE 中点，所以//MN DE ，因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点，所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面PAD ，又因为MF ⊂平面MNF ，所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=，解得1a =，(FE →=-，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率；（3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=，则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-，故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=，当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ，则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-；由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”，事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==．（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-.故选:D2．在复平面内，3i1i-+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简3i1i-+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ．0.64【答案】A【分析】先计算x ，y ，再根据样本中心点(),x y 适合方程ˆˆ0.16ybx =+解得ˆb 的值即可. 【详解】由表中数据可得1234535x ++++==，0.50.61 1.4 1.515y ++++==，将()3,1代入ˆˆ0.16ybx =+，即ˆ130.16b =⨯+，解得ˆ0.28b =．故选:A ．4．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（）A ．34-B ．34C ．32-D ．32【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos αα-1sin cos 2αα-=，所以()21sin cos 12sin co 4s αααα-=-=，则3sin cos 8αα=，故3sin sin cos 3811tan cos sin 42αααααα===----. 故选：A.5．已知平面向量a ，b 满足3a =3b =，()a b b -⊥，则sin ,a b =（） A ．13B ．23CD【答案】D【分析】由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=化简结合已知条件和数量积公式可求出cos ,a b ，再利用同角三角函数的关系求出sin ,a b 的值【详解】由于()a b b -⊥，所以()22cos ,0a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⋅⋅-=，21cos ,03ba b a b==>⋅，所以,0,2πa b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2122sin ,133a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是56，则输入的()*n n N ∈是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和()101231i ++++++-，结合条件从而可得出答案.【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：()101231S i =++++++-根据题意可得()10123156S i =++++++-=即()()11231552i i i ⨯-++++-== 解得：11=i所以当11112i =+=时，则中止循环，故12n = 故选：C7．()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是（）A ．5B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据题意得到()52x x y +与()25y x y x+的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为()()()2255522y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，()52x x y +的展开式通项为561552C 2C kkk kk k k T x xy x y --+=⋅⋅=⋅⋅，()25y x y x+的展开式通项为2542155C C r r r rr r r y S x y x y x --++=⋅⋅=⋅⋅，由6343k r -=⎧⎨-=⎩可得31k r =⎧⎨=⎩因此()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数为31552C C 15-=.故选:B.8．已知函数()()22cos10,2xf x x x ωωω=->∈R ，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是（）． A ．16B ．34C ．1112 D ．53【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数零点性质，即可求解．【详解】()2π2cos1cos 2sin 26xf x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x =，()ππ6x k k ω+=∈Z ，()ππ6k x k ωω=-∈Z ．又函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩，解得()1116212k k k ω+-≤≤-∈Z ，0ω>，所以0k =，5012ω<≤，1k =，511612ω≤≤，所以ω的最大值是1112．故选：C ．9．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，||3||PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的余弦值是( ) A ．110BC ．15D【答案】D【分析】连接BD 交AC 于O ，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．运用中位线定理，可得AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△AOE ，即可得到所求值．【详解】连接BD ，与AC 交于O 点，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．由中位线定理，可得OE PB ∥，且1||||2OE PB =，即有AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．由PA ⊥平面ABCD ，设||3||3PA AB a ==，可得直角△PAB 中，|10|PB a =，|10|OE =，在直角△PAD 中，11||||02AE PD =， ∴AOE △为等腰三角形，在正方形ABCD 中，12||||2AO AC ==，可得12522cos 11|20|||AO OE AOE a ∠=．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>与曲线:E y x =A ，其横坐标为4，记C 的平行于OA 的切线为1,l E 的平行于OA 的切线为2l ，则下列判断错误的是（） A ．4p =B ．OA 的方程为20x y -=C ．1l 的方程为210x y --=D ．2l 的方程为210x y --=【答案】D【分析】选项A ：利用点A 的坐标计算出p 即可；选项B ：利用,O A 两点坐标计算出OA 的方程即可；选项C ：设出1l 的方程，利用1l 与C 相切，然后求出直线方程即可；选项D ：设出2l 的方程，利用2l 与E 相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A 在曲线:E y x =所以()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A ，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=，因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确；设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=，因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =，所以211:22l y x =+，即2l 的方程为210x y -+=，故D 错误；故选：D .11．已知点(),P m n是函数2y =3515m n ++的最小值是（） A．22B．22C1- D1 【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线35150x y ++=的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值．【详解】式子2y =22(1)(2)1x y ++-=，又2y ≤，因此函数2y =22(1)(2)1x y ++-=在2y =下方的半圆，如图，作出直线35150x y ++=，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，(,)P m n 到直线35150x y ++=的距离．圆心为(1,2)C -，半径为1，d =，因此P 到直线35150x y ++=1，所以3515m n ++的最小值是1)22= 故选：A ．12．若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∵22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∵()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.二、填空题13．已知函数()2e 8xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为5-，则=a ______.【答案】3【分析】求出()0f '，根据()05f '=-即可求解.【详解】由已知得()e 28xf x a x '=+-，因为()085f a '=-=-，所以3a =. 故答案为：3.14．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos sin a C c A B +，则cos B =______.【答案】12##0.5【分析】由正弦定理结合诱导公式得到22sin B B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出sin B =用同角三角函数关系求出答案.【详解】()2cos cos sin a C c A B +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin A C C A B B +，即()2sin sin A C B B +，其中()()sin sin πsin A C B B +=-=，故22sin B B = 因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin B =1cos 2B ==.故答案为：12.15．在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==，PB AC ==5AB PC ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是______．【答案】29π【分析】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ,=5=，解得：4a =，2b =，3c =．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴222222(2)4294π29πR a b c R S R ⇒⇒球＝＋＋＝＝＝﹒故答案为：29π．16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，它们的离心率分别为1e ，2e ，点P 为它们的一个交点，且1223F PF π∠=，则2212e e +的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示，在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距2c ，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，如图：在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，设211t e =，222t e =，则有1201t t <<<，12314t t +=，所以121143134t t t t -=-=，即有121143t t t =>-，所以1314t <<，所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--，设143u t =-，则134u t +=，且01u <<，所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，因为3y x x=+在()0,1上单调递减，所以34u u+>，所以22122e e >+.故答案为：()2,+∞三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()123*n n a S n N +=+∈． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【答案】(1)3nn a ＝；(2)见解析﹒【分析】(1)利用公式法(n a 与n S 关系)即可求的{}n a 的通项公式； (2)分析{}n b 的通项公式可知其前n 项和可以用错位相减法求得﹒ 【详解】（1）∵123n n a S +=+ ∴当n ≥2时，123n n a S -＝＋ ∴11222n n n n n a a S S a ---＋＝＝ ∴13n n a a ＋＝∴{}n a 为从第二项开始的等比数列，公比为q ＝3，又13a ＝，∴21239a S ＝＋＝，∴3nn a ＝(n ≥2)，n ＝1时13a ＝也满足上式，∴*3(n n a n N ∈＝)；（2）∵33log log 333n n n n n n a nb a ＝＝＝， ∴231233333n n nT ＝＋＋＋＋ ①∴234111231333333n n n n n T -＋＝＋＋＋＋＋ ② ①－②得，23121111333333n n n n T -＋＝＋＋＋＋ 111123313313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭--＋＝ ∴3134342n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＋ ∵*n N ∈，∴130342n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞，∴34n T ＜． 18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X 的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111112222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，()61134264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()5561134612232P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1357581643264P X ==--=，则X 的分布列为故13571133446586432642EX =⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610357⨯-=万元.因为113572<，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，D ，E 分别为11,AA B C 的中点.(1)求证：//DE 平面ABC ；(2)若DE BC ⊥，二面角A BD C --的大小为3π，求直线1B C 与平面BCD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)6π【分析】(1)取BC 的中点M ，连结AM EM ，，根据平行四边形的判断定理和性质可得∥DE AM ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1(0)AB AC b b ==>，，12(0)AA c c =>，根据空间垂直向量的坐标表示求出b ，利用向量法求出平面BCD 、平面ABD 的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c ，再利用向量法即可求出直线1B C 与平面BCD 所成角.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结AM EM ，，则1∥DA BB ，且1112DA BB EM BB =，//，且112EM BB =. 所以∥DA EM ，且DA EM =，所以四边形AMED 为平行四边形，所以∥DE AM .又AM ⊂平面ABC DE ⊄，平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设11(0)2(0)AB AC b b AA c c ==>=>，，，则11(1,0,0)(0,,0)(0,0,)(1,0,2),,22b B C b D c B c E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，所以1,,0(1,,0)22b DE BC b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，. 因为DE BC ⊥，所以0DE BC ⋅=，所以1b =.又(1,1,0)(1,0,)BC BD c =-=-，，设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则11y z c ==，，所以11,1,n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭；又平面ABD 的一个法向量(0,1,0)=AC ，所以cos 3||||⋅=n AC n AC π，即12=c =(1,1,2)n =.又1(1,1,=-BC ，所以1111cos ,211||n B C n B C n B C ⋅〈===+〉，所以直线1B C 与平面BCD所成角为6π. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1212,,4A A A A =，且过点⎭． (1)求C 的方程；(2)若直线:(4)(0)l y k x k =-≠与C 交于M ，N 两点，直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，1x =.【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设()()1122,,,M x y N x y 则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--，联立直线l 与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k 的范围及12x x +、12x x 关于k 的表达式，再联立直线1A M 与2A N 求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【详解】（1）因为124A A =，所以24a =，解得2a =．因为C过点⎭221b ⎝⎭=，解得b = 所以C 的方程为22143x y +=．（2）由题意，设()()1122,,,M x y N x y ，则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ3243464120k k k =--+->，解得1122k -<<且0k ≠，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+．由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()()()()()()()21211221212112212224224222424222y y k x x k x x x x x y y k x x k x x x x +-++---+===-+-----+()()221221212112122211211264123222422426234341323838438434k k x x x x x x x x x x k k k x x x x x x k -⨯-⨯--+---++===--+--⨯--+，所以点G 在定直线1x =上．21．已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈． (1)若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；(2)若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln 022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【详解】（1）解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=．若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=．所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以，21ln a a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>，所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．（2）解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+，即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入，有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=．令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-．因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．考虑到1()ln 22t t a t t ϕ=+-中含参数a ，取2(1)a t a =>e ．则()222222211ln 22222a aa a a a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ，当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222aa a ϕ<+-e e ．令221()222a m a a =+-e ，则()24a m a a '=-e ，令()24a h a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，()221e 222am a a =+-为()1,+∞上的减函数．所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ．又()20t ϕ>，于是()()220a t ϕϕ<e ，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22t t a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.23．已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当a<0时，232a a -≥-，解得25a ≤，即a<0；综上所述，a 的取值范围是(],2∞-【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。

陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三上12月联考理科数学试题

陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三上12月联考理科数学试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{20},0,1,2,3,4A xx B =->=∣，则A B ⋂=（）A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}3,4 D.{}2,3,42.()2(1i)2i -+=（）A.22i --B.22i- C.24i -- D.24i-3.“3x <”是“3log 1x <”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13465,40a a a a +=+=，则63S S =（）A.3B.9C.12D.155.已知0,0a b >>，且24a b +=，则224a b +（）A.有最小值8B.有最小值809C.有最大值8D.有最大值8096.已知 1.230.6log 5,0.9,log 0.3a b c ===，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若4A π=，且ABC ∆外接圆的半径为2，则ABC 面积的最大值是（）A.21- B.21+ C.222- D.222+8.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，A ，B 是中间正方形的两个相邻的顶点，P 是外框正八边形上的一点，则AB AP ⋅的最大值是（）A.1682+B.1628+C.828+ D.16216+9.已知α为第二象限角，且sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.3B.3-C.23D.23-10.已知正四棱锥P ABCD -1-，且PA AB =，则正四棱锥P ABCD -的体积是（）A.3B.83C.3D.16311.已知函数()2cos 0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.723,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.117,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数()11234231,0,,,,log ,0.x x f x x x x x x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩ 是函数()()g x f x m =-的4个零点，且1234x x x x <<<，给出以下结论：①m 的取值范围是(]0,2，②122333x x +=，③344x x +的最小值是4，④1234332x x x x ++的最大值是6.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量()()1,2,4,a b k =-= ，若a b ⊥ ，则k =__________.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱AD 的中点，则异面直线1BD 与1C E 所成角的余弦值是__________.15.对于数列{}n a ，定义11230242n na a a a H n-++++= 为{}n a 的“优值”.若数列{}n b 的“优值”01H n =+，则16b =__________.16.已知函数()245(0)f x x x x=+->，直线:3150l x y --=，若直线30x y m ++=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，则,A B 之间的最短距离是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()2f x x ax b =++，且()()01,16f f =-=.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()1,4x ∈，不等式()3log 2f x m ⎡⎤+⎣⎦成立，求m 的取值范围.18.（12分）已知函数()22sin 3sin2f x x x =+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,45,2,AB AC ABC AA BC D ∠⊥===是1BB 的中点.（1）证明：1A B ⊥平面ACD .（2）求平面ACD 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =，且()112,n n n n a a a a n n --++=∈N.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()11(1)23n n n n b n a a ++=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin cos sin a C c B C +=.（1）若1sin 2A =，求sin B 的值；（2）若ABC ∆外接圆的半径为4a -的最大值.22.（12分）已知函数()2e xf x ax =-.（1）设函数()()g x f x ='，其中()f x '是()f x 的导数，讨论()g x 的单调性；（2）若442-≥e a ，证明：()x ex x f ln >.。

高三数学12月模拟联考试卷理含解析试题

2021-2021学年四校联考高三〔上〕12月模拟数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.，，那么A. 或者B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简集合A，B，然后求二者并集即可.【详解】，，那么．故应选D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.复数是虚数单位，那么z的实部为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法那么，设，那么，.3.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的对称性及特殊点进展判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：〔1〕从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；〔2〕从函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕从函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.向量，，那么与的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．应选：A．【点睛】此题主要考察了向量的夹角公式，属于根底题.5.直线与圆的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用圆心到直线的间隔与半径比拟，判断二者位置关系.【详解】将圆的方程化为HY方程得，∴圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的间隔，那么圆与直线的位置关系是相切．故应选B．【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的HY方程，点到直线的间隔公式，直线与圆相切时，圆心到直线的间隔等于圆的半径，纯熟掌握此性质是解此题的关键．6.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么角A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7.执行如下图的程序框图，输出的A. 25B. 9C. 17D. 20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环构造，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为，，；，，；，，，退出循环，输出．故应选C．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8.将一颗质地均匀的骰子一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出根本领件总数，再利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率【详解】将先后两次的点数记为有序数实数对，那么一共有个根本领件，其中点数之和为大于8的偶数有，，，一共4种，那么满足条件的概率为．【点睛】此题考察了列举法求概率，求此类题目的根本思路是:先求出试验的根本领件的总数和事件A包含的根本领件的个数,再代入古典概型的概率公式求概率.9.长方体，，，，那么异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，找出，故(或者其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，(或者其补角)为异面直线与所成角，由可得，那么．．即异面直线与所成角的余弦值为．应选：A．【点睛】此题考察了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为根底题.10.设函数，那么A. 在单调递增，其图象关于直线对称B. 在单调递增，其图象关于直线对称C. 在单调递减，其图象关于直线对称D. 在单调递减，其图象关于直线对称【答案】D【解析】,由得，再由,所以.所以y=f(x)在在单调递减,其图象关于直线对称,应选D.11.函数，且，那么实数a的值是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据表达式及，解得实数a的值【详解】由题意知，，又，那么，又，解得．应选：B【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．12.椭圆和双曲线有一共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，那么A. 4B.C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值.【详解】如下图:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，那么根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，，设，，那么在中由余弦定理得，，∴化简得，该式可变成．应选A．【点睛】此题考察了椭圆及双曲线的定义和离心率，考察了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他条件,转化只含有a,c的关系式求解.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.函数，那么函数的图象在处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】求出导函数求出，从而利用点斜式得到切线的方程.【详解】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故答案为：【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，那么以的切点的切线方程为：．假设曲线在点的切线平行于轴〔即导数不存在〕时，由切线定义知，切线方程为．14.假设x，y满足约束条件，那么的最小值为______．【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平挪动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如下图，可知目的函数过点时获得最小值，．故答案为：-11【点睛】求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.15.，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】由得到，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由得，．故答案为：【点睛】1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2si n cos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，假设其外接球的体积为，那么该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，那么棱柱的高，设外接球的半径为r，那么，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝〞成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)假设球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB ＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕17.正项等比数列满足，．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．【答案】〔1〕．〔2〕．【解析】【分析】(1) 由题意得，解出根本量即可得到数列的通项公式；(2) 由〔1〕知，，利用裂项相消法求和.【详解】〔1〕设数列的公比为q ，由，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．〔2〕由〔1〕知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进展血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x 28 32 38 42 48 52 58 62收缩压单位114 118 122 127 129 135 140 147其中：，，请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的值准确到假设规定，一个人的收缩压为HY值的倍，那么为血压正常人群；收缩压为HY 值的倍，那么为轻度高血压人群；收缩压为HY值的倍，那么为中度高血压人群；收缩压为HY值的倍及以上，那么为高度高血压人群一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】〔1〕见解析；〔2〕．〔3〕见解析．【解析】【分析】〔1〕根据表中数据即可得散点图；〔2〕由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；〔3〕将x=70带入计算，根据题干规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．【详解】〔1〕〔2〕，．∴．．∴回归直线方程为．〔3〕根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人HY收缩压约为，∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．【点睛】此题主要考察线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.抛物线C；过点．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN 的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】〔1〕．〔2〕见解析．【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法，可求抛物线的HY方程；〔2〕设过点P〔3，﹣1〕的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【详解】〔1〕由题意得，所以抛物线方程为．〔2〕设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得．所以，，．所以,所以，是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】【分析】(1)根据线面垂直和面面垂直断定和性质,证得,通过三角形全等,证得,再根据线面垂直的断定定理,证得平面;(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.【详解】〔1〕∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．〔3〕取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，那么，令，那么，设平面的一个法向量为，那么，令，那么，设二面角的平面角为，观察可知为钝角，，∴，故二面角的余弦值为．【点睛】此题考察了线面垂直的证明，考察了线面垂直与面面垂直的断定与性质，考察了二面角的余弦值的求法；利用向量解几何题的一般方法是：建立空间直角坐标系，用坐标表示各点，把线段转化为用向量表示，然后通过向量的运算或者证明去解决问题.21.函数，．Ⅰ当时，求函数的最小值；Ⅱ假设对任意，恒有成立，务实数m的取值范围．【答案】〔1〕1 ；〔2〕 .【解析】【分析】〔1〕求出函数的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；〔2〕要证，只需证明e x≥ln〔x+m〕+1成立即可，分情况讨论，采用别离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.【详解】〔1〕当时，，那么．令，得．当时，；当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，函数获得最小值，其值为．〔2〕由〔1〕得：恒成立．①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．设，那么，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．于是当时，条件满足．②当时，，，即，条件不满足．综上所述，m的取值范围为．【点睛】此题考察了函数的单调性、最值问题，考察了导数的应用以及分类讨论思想，考察了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数别离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.22.直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；Ⅱ假设直线与曲线C交于点不同于原点，与直线l交于点B，求的值．【答案】〔1〕:;:;〔2〕.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的间隔，作差得出|AB|．【详解】〔1〕∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为〔t为参数〕，∴．∴直线l的极坐标方程为．〔2〕将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】此题考察了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于根底题．23.函数．当时，求不等式的解集；，，求a的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1) 当a=1时，可得出f〔x〕=|x﹣1|+|x+2|，得到不等式|x﹣1|+|x+2|≤3，讨论x值，去绝对值号，即可解出该不等式；(2) 可得到f〔x〕=|x﹣a|+|x+2|≥|a+2|，从而由题意即可得出|a+2|≤3，解出a的取值范围即可．【详解】〔1〕当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．〔2〕因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高三数学12月模拟考试试题理试题

高级中学2021届高三年级12月模拟考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日理科数学一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，那么A B =〔〕A ．()2,+∞B ．()2,3C ．()3,+∞D ．(),2-∞2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β〞是“//αβ〞的〔〕. A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件3．假设m 是2和8的等比中项，那么圆锥曲线x 2+的离心率为〔〕A ．B ．C ．或者D ．或者4．?九章算术?中有“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积一共3升，下面3节的容积一共4升，那么该竹子的容积为〔〕 A ．10011升 B ．9011升 C ．25433升 D ．20122升5.向量a ，b 满足||2a =，||4b =，()a a b ⊥+，那么向量a 在b 方向上的投影为〔〕 A ．1- B ．2-C ．2D ．1430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，那么实数a 的值是〔〕A ．3B ．10 C. 11或者21 D ．3或者13 7．某函数图象如下图，那么图象所对应的函数可能是〔〕A ．2x x y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣8．假设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =所截得的弦长为32，那么双曲线C 的离心率为〔〕 A ．14B ．1C ．2D ．49.函数()()sin f x A x ωϕ=+〔其中0,2A πϕ><〕的图像如下图，为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像( )A.向左平移3π个长度单位B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向右平移6π个长度单位10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，那么该四面体的外表积为( )A.88246++B.88226++C.2226++D.126224++π7πx11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，那么2018S =〔〕 A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12. 假设函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是( ) A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 二．填空题：本大题4小题，每一小题5分，满分是20分．13．向量a 与b 的夹角为60︒，2=a ，3=b ，那么32-=a b __________． 14．假设tan 3α=，π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，那么πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．15．某几何体的三视图如下图，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，假设该几何体的外接球的体积为36π，那么该几何体的体积为__________．16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .D 是BC 边的中点，且10AD =，8sin 315a B c =，1cos 4A =-，那么ABC ∆面积为．三．解答题：本大题一一共8小题，满分是70分，解答须写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-．〔l 〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．18. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为23，求a .19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，//AB CD ，2AB CD =，90BAD ∠=︒，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点．〔1〕求证：平面PAB ⊥平面CDE ；〔2〕假设直线PC 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角A DE C --的余弦值．20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，有124P P F F +=，椭圆的离心率为12e =；〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围．21()ln(1)2f x x m x =+-，其中m R ∈．〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()11ln 2042f x x -<<．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕，以射线Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-=．〔1〕将曲线C 的参数方程化成普通方程，将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程；〔2〕求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．2021届高三年级12月模拟考试理科数学答案1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A8．【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物线方程联立，24bx ay y x+=⎧⎨=⎩，消去y ，得240ax bx +=，所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，所以所截得的弦长为222231162b b a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2342bc a =，223bc a =，()222412ca c a -=，42120e e --=，得24e =或者3-〔舍〕，所以双曲线C 的离心率2e =． 9.【解析】由图像知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=- 7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()cos 2sin(2)2g x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图像，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，应选D ．10.该几何体为如图中的三棱锥C －A 1C 1E ，EC ＝EA 1＝25，A 1C ＝161616＋＋＝43，三角形EA 1C 的底边A 1C 上的高为：22，外表积为：S ＝12⨯2⨯4＋12⨯2⨯4＋12⨯42⨯4＋12⨯22⨯43＝88246++π7πx1112.ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x x g x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，那么1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，那么min11ln 1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或者,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，那么()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二．填空题：本大题4小题，每一小题5分，满分是20分． 13．【解析】2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为60︒，1cos602332︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=a b a b ，又222329124361233636-=-⋅+=-⨯+=a b a a b b ，326∴-=a b ，故答案为6．14．【解析】由tan 3α=，可得sin 3cos αα=．又22sin cos 1αα+=，结合π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，可得310sin 10α=10cos 10α=．)π225cos cos sin 425ααα⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭255．15．根据几何体的三视图，得出该几何体如下图，由该几何体的外接球的体积为36π，即34π36π3R =，3R ∴=，那么球心O 到底面等边ABC △得中心O '的间隔 2233223OO R ⎛⎫'=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，根据球心O 与高AD 围成的等腰三角形，可得三棱锥的高242h OO '==，故三棱锥的体积()213342634V =⨯⨯⨯=．即答案为6．16.三．解答题17．【解析】〔1〕因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①·····2分所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥．·····4分又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=，故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-．·····6分〔2〕根据〔1〕求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．·····7分又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，·····9分所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+- 2810729=-+11202=．·····12分 18.〔1〕由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，·····3分所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=.·····6分〔2〕由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=，所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a CA A A=⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==·····10分又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =.·····12分19．【解析】〔1〕取AP 中点F ，连接EF ，DF ．E 为PB ，//=CD EF ∴， CDFE ∴为平行四边形，···········2分//DF CE ∴．又PAD △为正三角形，PA DF ∴⊥，从而PA CE ⊥，···········3分又PA CD ⊥，CDCE C =，PA ∴⊥平面CDE ，···········4分又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE ．···········5分〔2〕//AB CD ，PA CD PA AB ⊥⇒⊥，又AB AD ⊥，PAAD A =，AB ∴⊥平面PAD ．CD ∴⊥平面PAD CPD ⇒∠为PC 与平面PAD 所成的角，即45CPD ∠=︒，CD AD ∴=．···········7分以A 为原点，建系如图，设4AD =，那么()8,0,0B ，(0,2,23P ，()0,4,0D ，(3E ，···········8分()4,1,3AE ∴=，()0,4,0AD =．设(),,x y z =n 为平面ADE 的法向量，那么43040AE x y z AD y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，令4z =-，得)3,0,4=-n ，···········10分由〔1〕知，(23AP =为平面CDE 的一个法向量．···········11分257cos<,>19AP AP AP ⋅∴==-n n n，即二面角A DE C --的余弦值为257，即二面角A DE C --的余弦值为257．······12分 20．【解析】〔1〕因为124P P F F +=，所以24a =，所以2a =，因为12e =，所以1c =，所以222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的HY 方程为22143x y +=．·······4分〔2〕由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，联立直线与椭圆()221434x y y k x ⎧==-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，·······5分又()()()22223244364120kk k ∆=--+->，解得：1122k -<<，·····6分 2120216243x x k x k +==+，()00212443k y k x k =-=-+，所以2221612,4343k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，·······7分所以l '：()001y y x x k -=--，即222121164343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，化简得：21443k y x k k =-++，·······8分令0x =，得2443k m k =+，即240,43k M k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，·······9分 ()2224222222161616434343k k k k MQ k k k ⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，·······10分令243t k =+，那么[)3,4t ∈，所以22222233231144161616321t t t t MQ t t t t --⎛⎫+ ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅=⋅-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以[)0,5MQ ∈．·······12分21.解：〔1〕函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x x x-+-=-=--， 10x ->，令20x x m -+-=，14m ∆=-，·····1分当0∆≤，即14m ≥时，'()0f x ≤，∴()f x 在(,1)-∞上单调递减；·····2分当0∆>，即14m <时，由20x x m -+=，解得1x =2x =，假设104m <<，那么121x x <<，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；2(,1)x x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；·····3分假设0m ≤，那么121x x <≤，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 11(,1)x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；·····4分综上所述：0m ≤时，()f x的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为1(2；104m <<时，()f x 的单调递减区间为1(,)2--∞，1(2，单调递增区间为； 14m ≥时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞．·····5分〔2〕因为函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x x x-+-=-=--， ∵函数()f x 存在两个极值点，∴'()0f x =在(,1)-∞上有两个不等实根1x ，2x ，记2()g x x x m =-+-，那么140,11,2(1)(1)0,m g ⎧∆=->⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪<⎩∴104m <<，从而由12121,,x x x x m +=⎧⎨=⎩且12x x <，可得11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈，·····7分∴22111122221ln(1)()12ln(1)2x m x f x x m x x x x x +-==⨯+-211111ln(1)2(1)x x x x =⨯+--，·8分构造函数2()ln(1)2(1)x x x x x ϕ=+--，1(0,)2x ∈，那么22222'()ln(1)ln(1)2(1)12(1)x x x x x x x x x x ϕ-=+--=+----，记22()ln(1)2(1)x p x x x =+--，1(0,)2x ∈，那么231'()(1)3x x p x x h -+-=-，令'()0p x =，得031(0,)22x =〔3122x +=>，故舍去〕， ∴()p x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，·····10分又(0)0p =，11()ln 2022p =-<， ∴当1(0,)2x ∈时，恒有()0p x <，即'()0x ϕ<， ∴()x ϕ在1(0,)2上单调递减，∴1()()(0)2x ϕϕϕ<<，即11ln 2()042x ϕ-<<， ∴12()11ln 2042f x x -<<．·····12分 22．【解析】〔1〕曲线C 的参数方程化成直角坐标方程为22143x y +=，·····2分因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l的直角坐标方程为0x y -．·····4分〔2〕直线l 的倾斜角为4π，过点0)，所以直线l化成参数方程为cos 4sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩，即22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，〔t 为参数〕，5分代入22143x y +=得，2760t +-=，247(6)3840∆-⨯⨯-=>，设方程的两根是1t ，2t ，那么127t t +=-，1267t t =-，·····8分所以1277AB t t =-===．·····10分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

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