时域有限差分法发展综述
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F zt z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆= 对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
时域有限差分法
引言
时域有限差分法的软件
• • FDTDA，三维时域有限差分法的软件，源程序用FORTRAN语言 编写（1993年） XFDTD，具有多种功能，包含有瞬态近—远场外推，亚网格技 术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体，可用以分析生物体对电 磁波的吸收特性（SAR），螺旋及微带天线，天线阻抗的频率特 性，移动电话场强分布，细导线及复杂物体电磁散射和RCS （1996年） EMA3D，分析核电磁脉冲（NEMP）及雷电耦合，高功率微波， 宽带RCS，天线，屏蔽特性，印刷电路板的电磁兼容。软件具有 多种边界条件，亚网格剖分，适用于有耗介质、平面波源及电压 电流源（1997年）
其中E为电场强度，单位为伏特/米 D为电通量密度，单位为库仑/米2 H为磁场强度，单位为安培/米 B为磁通量密度，单位为韦伯/米2 J为电流密度，单位为安培/米2 Jm为磁流密度，单位为伏特/米2
麦克斯韦方程
各向同性线性介质中的本构关系为
B = μH
D = εE
其中 ε 为介质介电系数，单位为法拉/米 μ 为磁导系数，单位为亨利/米 σ 为电导率，单位为西门子/米 σ m 为导磁率，单位为欧姆/米 σ 和 σ m 分别为介质的电损耗和磁损耗 在真空中， σ = 0 ， σ = 0 ， ε = ε = 8.85 ×10−12 法拉/米
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1989年，Britt首次给出时域远场的结果，但未给出外 推的具体方法 • 1989年，Larson、Perlik和Taflove等人提出研究适用于 时域有限差分法的专用计算机，以便用于计算电磁波 与电大尺寸物体的相互作用 • 1990年，Maloney等人用柱坐标系下的时域有限差分法 分析了柱状和锥状天线位于理想导体平面上的辐射， 得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化 显示
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分法（TimeDomainFiniteDifferenceMethod，简称TD-FDM）是数值分析领域中非常重要的一种数值计算方法，它是利用有限差分法对时域偏微分方程（PDE）进行求解的一种方法，其应用范围十分广泛，是在工程和科学领域中应用最多的计算方法之一。
时域有限差分法可以精确表示任意时域偏微分方程的解，但是由于求解过程中存在计算量大、精度低、收敛慢等问题，其计算效率和精度也有限。
因此，人们必须采取有效的方法来提高此类方法的精度和计算效率，增强其在工程和科学领域的应用价值。
时域有限差分法的原理很简单，即将偏微分方程的解以一系列有规律的离散点表示，再利用有限差分对偏微分方程进行求解。
它主要包括三个部分：数值模型构建、数值计算和数值结果分析。
首先，根据时域偏微分方程的类型及物理本质，构建与之对应的数值模型，采用有限差分形式表达偏微分方程，并根据时域偏微分方程的解特性对有限差分方程进行增强。
然后，构建时域有限差分的计算框架，利用计算机编程语言（如C++、Fortran、Python等）实现数值计算，采用常用的多项式插值和求解算法（如牛顿迭代法、拟牛顿法等）实现精确计算。
最后，利用计算机绘图软件对所得到的数值结果进行分析，以评估结果的准确性，并做出相应的修改和优化。
时域有限差分法的应用非常广泛，它可以用于各种工程领域，如稳态和不稳态流动场的求解，声学学中的各类传播现象的模拟，热传导的分析等。
此外，时域有限差分法在一些科学领域也有很大的应用，如量子力学中电子能级结构、原子结构的计算，核物理中文中阳离子反应剂度模拟，生物学中细胞动力学模型仿真等等。
近年来，随着计算机技术的进一步发展，出现了许多新的发展方向：从传统的有限差分法到基于保守型的计算方法，从基于有穷元的数值模拟方法到超差分法，从动态网格特定的方法到基于机器学习的计算方法。
所有这些方法都可以用于处理更复杂的时域偏微分方程，提高精度和计算效率。
时域有限差分法(姚伟)介绍
伊犁师范学院硕士研究生————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：***学号：*************学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。
1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。
经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。
上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。
FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。
是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。
现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。
2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。
2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。
棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。
3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是
一种数值求解电磁波在时域中传播的方法。
它通过将空间和时间连续
性方程离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并使用差分法来近似
求解波动方程。
时域有限差分法可以用于研究不同频率和波长的电磁波在各向同性、各向异性以及具有非线性、色散等特性的介质中的传播和相互作用。
它广泛应用于光学和电磁学领域中，可用于模拟光纤、微波器件、天线、光子晶体、超材料等的性能。
该方法的基本思想是将空间划分为离散的单元，称为网格，其中
包含了电场、磁场、电流和电荷等物理量。
通过对空间坐标和时间进
行离散化，可以将连续的偏微分方程转化为差分方程。
具体地，通过
泰勒展开将时域和空域的导数转化为有限差分的形式。
在时域有限差分法中，电场和磁场被分别定义在正方形的网格节
点上。
通过应用麦克斯韦方程组的差分形式，可以得到给定时间步长
的下一个时间步的电场和磁场值。
这些值可以根据初始条件和边界条
件进行更新。
时域有限差分法具有较好的稳定性和精度，可以模拟各种复杂的
电磁现象。
然而，它在处理边界条件和非均匀介质等问题时存在一些
困难。
因此，研究者们提出了各种改进的时域有限差分法，以提高其
适用性和效率。
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
无条件稳定时域有限差分法综述
无条件稳定时域有限差分法综述
林智参
【期刊名称】《数字技术与应用》
【年(卷),期】2018(036)007
【摘要】时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一,可以对电磁问题进行直观的描述,且容易编程分析,已经发展成为一种成熟的数值计算方法.然而,传统FDTD算法的时间步长收到了稳定性条件的限制,这使得FDTD方法的计算效率和应用范围受到了限制,因此无条件稳定算法应运而生,人们提出了多种形式的无条件稳定FDTD算法.本文介绍并分析了几种无条件稳定的时域有限差分法,给出了具有一定参考价值的结论.
【总页数】2页(P228,230)
【作者】林智参
【作者单位】广州民航职业技术学院,广东广州 510403
【正文语种】中文
【中图分类】O441.4
【相关文献】
1.二维无条件稳定时域有限差分方法 [J], 黄斌科;蒋延生;汪文秉
2.三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法 [J], 刘宗信;陈亦望;徐鑫;刘亚文;孙学刚;张书迪
3.二维麦克斯韦方程改进的无条件稳定的时域有限差分方法 [J], 高理平;李琳
4.基于3次B样条无条件稳定的位移元子区间法 [J], 崔旭明;秦玉文
5.无条件稳定时域有限差分法综述 [J], 林智参
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时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。
在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。
由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。
FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。
时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。
FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。
时域有限差分算法及其在多物理中的应用
初始条件设置
初始条件
在求解偏微分方程时，需要设置初始条件，以便从已知的初始状态开始计算 。
初始条件的稳定性
初始条件的稳定性对于计算结果的准确性至关重要，不稳定的初始条件可能 导致计算发散。
03
时域有限差分算法在多物理场中的应 用
流体力学
总结词
时域有限差分算法在流体力学中有着广泛 的应用，用于模拟和分析各种流体现象， 如水流、空气流等。
算法的发展历程
早期发展
01
20世纪70年代，有限差分算法被广泛应用于电磁场、流体动
力学等领域。
现代进展
02
随着计算机技术的发展，有限差分算法在处理复杂物理问题方
面得到了广泛应用。
多物理应用
03
近年来，有限差分算法被广泛应用于多物理场耦合问题的求解
。
02
时域有限差分算法实现细节
离散化方法
隐式离散化
飞机设计
时域有限差分算法可以用于模拟飞机在飞行过程中受到的电磁辐射和电磁干扰，帮助设计师更好地理 解并优化飞机的电磁性能。
航空电子系统
该算法也可用于模拟飞机上电子系统的电磁兼容性和电磁干扰，以确保电子系统的正常运行。
电子工程领域
集成电路设计
时域有限差分算法可以用于模拟芯片在高速运行时的电磁干扰和电磁辐射， 以优化其性能和稳定性。
能源工程领域
风力电
时域有限差分算法可以用于模拟风力发电机的电磁辐射和电 磁干扰，以优化其性能和稳定性。
太阳能发电
该算法也可用于分析和优化太阳能电池板的性能，以提高其 转换效率。
THANKS
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无线通信
该算法也可用于分析和优化无线通信系统的性能，例如基站和无线局域网。
时域有限差分
时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。
它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。
本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。
一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。
至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。
经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。
二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。
它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。
在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。
根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。
在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。
另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。
三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。
其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分方法
电磁波时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method, FDTD）是一种求解电磁学问题的常用数值方法。
它由Yee在1966年首次提出，可用于求解复杂三维电磁场交互作用的问题，如，电磁波、磁致传导、微波加热、能量传输、电磁辐射等。
相比其它数值方法，FDTD方法求解算例更为精确，具有以下特点：
1. TDTD方法是在时域上，而非在频域中，因此可以方便地处理暂态和复杂变化的电磁场。
2. FDTD方法可以通过改变差分格式和计算网格或计算量来获得更加精确的结果。
3. FDTD方法可以数值模拟出任何电磁场的行为，并且可以得到高质量的结果，而且不受物理规律的限制。
4. 可以自动识别模型中的隐藏材料特性，并增强模型的实用性。
5. FDTD方法可以结合有限体积法（FVM）和有限元法（FEM），提高模型的精度，并减少工作量。
6. 较少的内存要求，使FDTD方法更适用于工程应用。
FDTD方法在处理复杂电磁场时，有时会导致计算窗口大小，以及时间分辨率的降低，因此，要想获得较为准确的结果，就要采取足够的计算网格，以及足够高的时间分辨率。
FDTD时域有限差分法
吸收边界条件
15
• 问题的提出
–在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁 场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能 模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。 这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向 外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种 行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使 传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。 吸收边界条件很多，而且是研究的热点， 下面只给出Engquist-Majda吸收边界条件，采用Mur差分格式
The End
参考文献
21
• 电磁波时域有限差分方法（第二版），葛德彪， 闫玉波，西安电子科技大学出版社 • 工程电磁场数值计算，倪光正
22
练习要求：
1）自由空间中，一维FDTD,采用一阶Mur吸收边界条 x t 件，时间步长为： 2c 高斯激励源，激励源的位置在中心网格的中心位置。 2）传输线上的响应
FDTD时域有限差分法
Finite-Difference Time-Domain
议程
• FDTD简介 • 差分运算基本概念 • FDTD基本原理 • 解的稳定性 • 数值色散 • 吸收边界条件
2
FDTD时域有限差分法简介
3
• 时域有限差分法 (FDTD, Finite-Difference TimeDomain)
对时间离散:
(2)
)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
10
根据这一原则可以写出六个差分方程:
每个网格点上的各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻 的值，即该点周围的邻近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通 过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
时域有限差分方法
时域有限差分方法
时域有限差分方法（FDTD）是一种数值求解电磁场问题的方法，适用于计算复杂的电磁现象。
该方法将电磁场方程离散化为差分形式，然后通过不断迭代求解差分方程，得到电磁场在时域上的时变分布。
具体来说，FDTD方法将空间和时间分割成网格，然后在每个网格点上估计电磁场的值。
通过使用差分方程，可以将电场和磁场的时变分布递推到下一个时间步。
一般而言，FDTD方法采用中心差分形式的差分方程，以提高数值解的稳定性和精度。
FDTD方法的主要优点是适用于计算非线性、吸收、散射等复杂电磁现象。
由于差分形式的方程可以直接计算，相比其他数值方法（如有限元方法和边界元方法），FDTD方法具有较高的计算速度。
然而，FDTD方法也存在一些限制。
由于需要将空间和时间分割为网格，因此对于复杂几何形状和大尺寸问题，需要较大的计算资源和内存。
此外，FDTD方法对吸收边界条件的处理也比较复杂，需要采用合适的数值技巧来避免误差累积。
总的来说，FDTD方法是一种广泛应用于电磁场问题求解的数值方法，具有较高的计算速度和适用性。
在实际应用中，可以结合其他方法或技术对其进行改进和优化，以适应各种特定问题的求解需求。
无条件稳定时域有限差分法综述
无条件稳定时域有限差分法综述作者：林智参来源：《数字技术与应用》2018年第07期摘要：时域有限差分法（FDTD）是解决复杂电磁问题的有效方法之一，可以对电磁问题进行直观的描述，且容易编程分析，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。
然而，传统FDTD算法的时间步长收到了稳定性条件的限制，这使得FDTD方法的计算效率和应用范围受到了限制，因此无条件稳定算法应运而生，人们提出了多种形式的无条件稳定FDTD算法。
本文介绍并分析了几种无条件稳定的时域有限差分法，给出了具有一定参考价值的结论。
关键词：时域有限差分法；无条件稳定；分析中图分类号：O441.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2018）07-0228-01时域有限差分法（FDTD）因其算法简捷、适用范围广的特点而得到广泛的应用。
FDTD 可以直观的描述电磁场的时间变化过程，容易理解，且有很好的稳定性和收敛性，同时它的程序也容易编写。
经过多年的发展，FDTD算法现已然成为一种成熟的电磁理论分析工具。
目前，FDTD算法的研究几乎已深入到所有电磁领域。
尽管 FDTD算法有很多的优点，但是它的时间步长必须满足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）稳定性条件，这使得FDTD方法的计算效率和应用范围受到了限制。
为了克服稳定性条件的限制，人们提出了多种形式的无条件稳定FDTD算法。
下面将对几种形式的无条件稳定时域有限差分法综述如下：1 交替方向隐式时域有限差分（ADI-FDTD）算法1999年，T.Namiki提出了交替方向隐式时域有限差分算法[1]（Alternating Direction Implicit Finite Difference Time Domain method，简称ADI-FDTD算法），并首次把该算法应用于模拟计算二维TE波，而且证明了二维的ADI-FDTD算法是无条件稳定的，后来又把ADI-FDTD算法推广到了三维情形[2]。
第三章 时域有限差分法
第三章時域有限差分法此章節將介紹時域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method)的發展起源、理論、精確度與穩定條件。
3.1 FDTD發展歷史FDTD的概念是Yee[18]在1966年所提出，當初只用來解決電磁場在空間中的傳播情形。
1975年Taflove和Brodwin修正Yee的演算法並且推導出FDTD穩定收斂的條件[19][20]。
1977年Holland[21]、Kunz 和Lee[22]應用在解析電磁脈衝(Electromagnetic Pulse, EMP)的問題上。
1981年Mur[23]提出了吸收邊界條件(Absorbing Boundary Condition, ABC)的觀念，當電磁波傳播至模擬邊界時可以減小或消除反射的電磁波，也稱為非反射邊界條件(Non-reflecting Boundary Condition)或輻射邊界條件(Radiating Boundary Condition)，在有限的空間裡模擬電磁波在邊界一去不復返的效果。
1994年Berenger[24]提出一個更有效更完美的吸收邊界，完全匹配層(Perfect Matched Layer, PML)；並與Katz等人[25]將完全匹配層延伸至三維空間上。
3.2 馬克斯威爾方程式F D T D 的基礎計算是由電磁波的馬克斯威爾方程式 (Maxwell ’s equation)中與時間相關的式子而來的，一個為法拉第定律(Faraday ’s Law )另一個為安培定律(Ampere ’s Law)。
其式子如下: 法拉第定律:E tB⨯-∇=∂∂ (3.1) 安培定律:J H tD-⨯∇=∂∂ (3.2) 假設介質為線性(linear)、等向性(isotropic)、非色散材料(nondispersive materials )，我們可以用簡單的式子來表示D 與E 和B 與H 的關係:H B μ= (3.3)E D ε= (3.4) E J σ= (3.5)其中0μμμr =為導磁係數(magnetic permeability )，0εεεr =為介電係數(electrical permittivity )，σ為導電係數(electric conductivity)。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分法是一种有效的解决数值计算中微分方程的方法，它深受数学、物理、工程、生物和其他领域的研究者们的重视。
它可以用来解决各种复杂的微分方程以及在工程、航空、医学、控制等方面形成重要的分析工具和模型。
时域有限差分法诞生于20世纪60年代，它是一种有效的数值解法，通过将求解微分方程的过程转化为一系列简单的计算步骤来实现。
它的基本思想是，通过对数值函数的有限多项式拟合，将微分方程分段变换为一个简单的离散数据集，并使用其中的方程来求解问题。
时域有限差分法的关键部分之一是分子格栅。
分子格栅是一种数值技术，它利用一组有限的数值点，使得一组变量随时间的变化具有渐进性，从而得到了高精度的计算结果。
它可以用来求解多种微分方程，如常微分方程、偏微分方程、椭圆型方程、非线性方程、矩阵方程等等。
随着时域有限差分法的发展，越来越多的应用出现了，例如在气动学中可以用来模拟气体流动，在控制学中可以用来研究控制系统的动态行为等等。
同时，有限差分法作为一种数值方法，也可以应用于经典的有限差分方程的求解，它的实际应用十分广泛，促进了许多领域的发展。
以上就是时域有限差分法的基本介绍，本文介绍了时域有限差分法的原理与特点、发展历史以及它在各个领域中的应用情况。
时域有限差分法深受世界各地研究者的重视，它的应用开拓了许多新的研究领域，并带来了许多新的发现。
由于它的稳定性高，计算精度高，耗时少、分散性强，被广泛应用于工程、航空、医学和控制等领域，成为重要的分析工具与模型，为这些领域的发展做出了巨大的贡献。
总之，时域有限差分法是一种重要的数值计算方法，为各种研究领域都提供了有效的分析手段，发挥了重要的作用。
它不仅提高了数值计算的精度，而且还大大提高了计算效率，节省了研究成本，使许多研究领域得到了快速发展和提升，受到了广大研究者的重视和喜爱。
时域有限差分法发展综述
时域有限差分法发展综述潘忠摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。
随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。
关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析A Summary of FDTD and Development at Home and AbroadZhong PanAbstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn.Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（FDTD）是求解电磁波传输问题的一种数值模拟方法。
它是一种在时域内对波动方程进行差分逼近的方法，通过迭代求解离散化后的波动方程，可以得到
电磁波在空间和时间上的分布情况，进而预测电磁波传输的行为。
时域有限差分法主要包括以下几个步骤：
1. 空间离散化：将待求解区域划分为若干个小网格，然后在每个网格内选择一个计算点，利用有限差分法对该点的电场、磁场进行离散化处理，建立电场和磁场的离散计
算模型。
2. 时间推进：时间也进行离散化，将求解时间区间等分成若干个小时间步长，然后依
次求解每个时间步长中（t+Δt）时刻的电场、磁场分布情况。
3. 边界条件处理：根据物理边界条件，对离散化后的电场、磁场进行边界条件处理，
使其在边界处满足边界条件。
4. 迭代求解：在时间和空间上依次迭代求解电场、磁场的分布情况，直到满足设定的
收敛条件或达到一定的迭代次数为止。
时域有限差分法是求解电磁波传输问题的常用方法，它具有以下几个优点：
1. 可以模拟任意形状的物体和复杂的介质结构，适用于不规则和非线性介质。
2. 空间和时间离散化均匀，计算精度高，能够得到电磁波在空间和时间上的分布情况，提供更加详细的仿真结果。
3. 算法简单，易于实现和计算，适用于大规模计算和高性能计算。
4. 可以模拟各种类型的电磁波，如光、微波、射频信号等，广泛应用于光学、无线通信、雷达、医学影像等领域。
总的来说，时域有限差分法是一种有效的求解电磁波传输问题的数值模拟方法，具有
广泛的应用前景。
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时域有限差分法发展综述潘忠摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。
随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。
关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析A Summary of FDTD and Development at Home and AbroadZhong PanAbstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn.Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。
经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。
上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。
FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。
是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。
现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。
经过了近四十年的发展，FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。
近几年来，讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
现就几个主要方面综述如下:1 FDTD法在计算方法上的发展状况1.1吸收边界条件用FDTD分析电磁散射、辐射等开放或者半开放性质问题时,受计算机内存容量限制,不可能直接对无限的空间进行计算,因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件,以便用有限网格空间模拟开放的无限空间.目前对吸收边界条件的比较系统和深入的研究,主要是沿着两个方向进行的,一是在边界上引入吸收材料,电磁波在无反射地进入吸收材料后被衰减掉,如PML。
二是通过波动方程的因子分解获得单行波方程并取近似来建立吸收边界条件。
Mur吸收边界条件以实施方便简单、吸收效果较好而获得广泛应用。
然而,在使用中注意到,一阶近似的Mur吸收边界条件虽简单易行,但直角坐标系下采用Yee网格划分,在角区域称作较大误差,且不易向三维推广,而二阶近似尽管精度较高,但编程复杂,且对三维情况还可能出现结果发散的现象。
完全匹配层(PML)首先由Berenger提出[1]。
通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质层,该层介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配,因而入射波将无反射地穿过分界面而进入PML层。
并且,由于PML层为有耗介质,进入PML 层的投射波将迅速衰减,即使PML为有限厚度,它对于入射波仍有很好的吸收效果。
廖氏吸收边界条件可以看作利用Newton后向差分多项式在时空对波函数进行外插的结果,是将边界上的场值用垂直于边界上采样点的场值来表达。
其在网格外边界引起的反射比Mur二阶吸收边界条件要小一个数量级。
Tan于2001年提出的驻波-行波边界条件是在FDTD计算空间的边界设置理想导体,波到达边界将发生全发射,若边界是理想导电(磁)壁,则切向电(磁)场为零,切向磁(电)场是入射场的两倍,同时反射场将向回传播,在区域内部形成驻波,随着时间的推移驻波向内扩展,而在反射波未到过的区域场仍呈外行波状态.要将反射波滤除,只需在每个时间步迭代时将算出的边界磁场(对理想导电壁而言)或边界电场对理想导磁壁而言除以二即可[2]。
1.2激励源设置FDTD法建模中,除了需要在足够的网格空间中模拟被研究的媒质外,合理进行激励源的建模也十分重要。
因此,需要尽可能将源的特性与实际物理模型性质一致。
根据激励源的能量来源不同,可以将激励源分为外激励源和内激励源。
如果源的能量在计算区域外部,采用特定极化、给定方向的平面波形式作为激励源。
而对于内激励源,这方面的研究较少。
它主要由电压源或电流源产生。
这些内部源一般采用理想源模拟,如普遍采用电流密度J,它是麦克斯韦方程中产生电磁场的主要激励源。
由于电流源是个理想源,所以不一定是激励源的最合理模拟。
同样,采用理想电流源还是采用有限内阻的电压源都会影响被研究物体的近、远场特性。
而且在大多数EMI/EMC问题中,被研究的激励源要比偶极子复杂得多,且辐射源的内部构造也将影响整个辐射特性。
因此FDTD法中合理进行激励源建模很重要。
需要根据具体的物理现象对激励源建模,从而根据FDTD方程得到最符合实际的电磁特性预测[3]。
1.3网格剖分技术传统的FDTD法都是采用直角坐标系中均匀的巨型网格，差分格式所能模拟的最小尺度为一个网格，对于小于一个网格的尺寸，需要近似为一个网格，这样会给计算带来误差。
当用它模拟不规则的边界时，就只好用阶梯折线来近似代替曲边.而这种近似只有在计算网格足够小的情况下才能获得高精度解，但是这又必然增加计算网格，这将大大增加计算机内存和计算时间。
另外，对于电大尺寸散射体上的某些电小尺寸的局部(如小孔、窄缝、细线等)，经典的FDTD法很难处理。
一种改进的方法就是网格剖分技术[4]。
这些技术能在整个计算区域网格保持较大尺寸的同时，通过修正局部网格的差分格式来减小误差。
这些网格剖分技术包括:(l)亚网格技术:Kasher和Yee提出亚网格技术。
亚网格技术涉及细导线和窄缝的模拟，在不同的计算区域使用非均匀网格等。
Holand和Simpson提出的细导线的模拟方法;Gillert和Hofand提出的窄缝的模拟技术;王秉中提出的增强细槽缝公式以及他对小孔祸合问题的数值模拟:Monorehio和Mittra提出的基于FDTD法和TDFEM相结合的亚网格技术非常引人注目。
(2)共形网格技术:Mei等提出共形网格技术。
共形网格技术是在一些与被模拟物体表面共形的网格中使用环路积分来得到场分量方程的差分形式。
Taflove从积分形式的Maxwell方程出发，提出了环路积分(CP)法，为任意形状的散射体、辐射体的模拟带来方便。
(3)在计算区域使用非均匀网格算法:Kunz和Simpson首先提出了局部网格细化技术，采用这种方法只需在需要细致模拟的部分使用细分网格，而其余部分则可用粗网格。
Gao.B.Q等人发展了扩展网格技术。
王加莹等人提出了处理复合导体边界的规则连接面的子域连接法，以时间的增加来换取计算空间。
另外，还出现了三角形网格、六边形网格以及平面型广义网格。
(4)在提高计算效率方面还有PSTD方法，MRTD方法。
2 FDTD法在实际应用上的发展状况2.1曲线坐标系中的FDTD经典的时域有限差分法都是采用矩形网格，在直角坐标系中把麦克斯韦旋度方程转化为差分形式。
在矩形网格构成的网格空间中模拟任何弯曲的边界，只能采用阶梯形近似的方法或环路积分法。
若采用阶梯近似来拟合表面，则会产生两个问题:(l)阶梯表面可能激励表面波传播，引起附加数值色散。
(2)为了拟合曲率半径小的表面，则要减小网格尺寸，这就会增加计算内存和时间。
使用环路积分法时，可能会因为在一些地方破坏了计算稳定性条件而导致计算失败。
这两种方法都存在误差和稳定性方面的缺陷。
一般来讲，只有在所选坐标系的坐标面与所模拟的电磁系统的表面相一致时，所选择的网格空间才能简便而精确的模拟其几何形体。
由于麦克斯韦方程是矢量方程，它在任意坐标系中均成立，因此在任意坐标系中均可建立FDTD算法。
圆柱坐标系、球坐标系、抛物线坐标系以及椭圆坐标系都属于正交坐标系，FDTD法在其中都有应用。
为此，Holland(1983年)，Madsen(1988年)，Fuseo(1990年)等人对非正交曲线坐标系中的FDTD法进行了讨论。
柱坐标系属于正交曲线坐标系，FDTD法在其中的应用较为常见。
随着曲线坐标系中FDTD法应用的增多，人们提出了各种相应的吸收边界条件。
2.2表面阻抗边界条件(SIBC)在FDTD法中，为了保证一定的计算精度和必要的相位信息，所有网格空间的步长与波长之比有一定的限度。
在一般情况下要求空间步长不大于波长的十分之一。
如果计算空间中包含高介电常数的媒质，由于波长比自由空间中短，使得网格空间步长也要相应变小，如果采用均匀网格空间，则计算时对内存的需求大大提高。
如果介质所占空间内的场不必知道，则可用SIBC避免介质区域内场分布的计算。
从而仍可采用自由空间的网格空间步长，这样可以大大节省存储空间和计算时间。
自Maloney和Smith(1992年)以及Beggs等人在FDTD法中引入时域SIBC以来，SIBC在FDTD法分析实际电磁问题时得到了很多应用。
2.3适用于色散媒质和各向异性媒质的FDTD法FDTD法最初主要应用于各向同性的非色散媒质。