概率论第一章习题解答
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而 ；； 。 （注意到从第二个盒子中取球时，它里面装有11只球。）
（此时第三个盒子中有7只白球。） （此时第二个盒子中有6只白球，5只红球。） （此时第二个盒子中有5只白球,6只红球。） 于是 。 20 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随 意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。 解 设B＝“放回的结果正确”，字母脱落的五种情况记为： ＝“M，X”， ＝“A，X”， ＝“M，A”， ＝“ A，A”， ＝“M，M”， 则，样本空间所包含的基本事件数即脱落的总数： 事件所包含的基本事件数：，（2个M，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个A，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个M，2个A） 事件所包含的基本事件数： 事件所包含的基本事件数： 于是 ； ； 。 ，（）， ，（） 根据全概率公式，有 。 21 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从 男女人数相等的人群中随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性的概率 是多少？ 解 设A＝“色盲患者”，B＝“男性” 则 事件“随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性”＝ 于是所求概率为： 由贝叶斯公式 已知 （从男女人数相等的人群中随机选取1人。） ， 于是 。 22 一学生接连参加同一课程的两次考试，每一次及格的概率为p，若第 一次及格第二次也及格的概率为p。若第一次不及格第二次及格的概 率为p/2。
； （2）事件所包含的基本事件数 ：
； （3）事件 “1件正品，1件次品”所包含的基本事件数 ：（可能是第 一次取得正品，也可能是第二次取得正品）， 解法二： 因为 ，， 又，所以，由乘法公式，得
。 解法三：利用（1）与（2）的结果，因为，且，，，两两互不相容，故 。 （4）因为，事件＝“第二次取出的是次品”， 。
所以 ，， ＝0.2 故
（2）因为，，由乘法公式得，
又 ，，得 ，即 所以 。 15 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的 概率（用两种方法）。 解 设A＝“两颗骰子的点数之和为7”， B＝“一颗点数为1” 解 方法一（用条件概率公式计算） 样本空间所包含的基本事件数：36 事件A所包含的基本事件数：6，即｛（1,6），（6,1），（5， 2），（5,2），（3,4）（4,3）｝ 事件AB所包含的基本事件数：2即｛（1,6），（6,1）｝ 则， 故 。 方法二（在缩减的样本空间计算） 以A为缩减的样本空间，则A所包含的基本事件数：6 事件B在缩减的样本空间所包含的基本事件数：2 故 。 16 据以往资料表明，某3口之家，患有某种传染病的概率有以下规 律：
（1）若至少有一次及格，他就能够获得某种资格，求他获得资格 的概率。
（2）若知道他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。 解 设＝“第次及格”，（ ）。
B＝“获得资格” （1） 已知，，
， 显然， ， 故
。 （2）（贝叶斯公式） 。 23 将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A误作B的 概率为0.02， B误作为A的概率为0.01。信息A与B传送的频繁程度为 2：1。若接收站收到的信息为A， 原发信息为A的概率是多少？ 解 设＝“发出的信息为A”， ＝“发出的信息为B”，
概率论第一章习题解 3 （1）设A，B，C是三个事件，且，，，求A，B，C至少有一个发生
的概率。 （2），， ，，，，求；；；；；的概率。 （3）已知，（ⅰ）若A，B互不相容，求， （ⅱ）若，求 解 因为 事件“A，B，C至少有一个发生”＝
而 ，，所以 故 （2） (ⅰ) ； (ⅱ)；
(ⅲ) ；
(ⅳ) ； (ⅴ) 因为
且
(ⅵ) 因为 已知，，故
； （3），（ⅰ）若A，B互不相容，求， （ⅱ）若，求
（ⅰ）因为若A，B互不相容，所以，，； （ⅱ）因为，且， 所以 ，代入已知条件，得 ，即 。
多少？ 解 设A＝“4只鞋不能配成双”，则 ＝“4只鞋至少能配成一双” 样本空间所包含的基本事件数： 事件A包含的基本事件数： （即：先从5双鞋中任取4双，然后从所取的4双鞋中各任取一只，这
样取得的4只鞋，都不能配成双。） 于是， 说明：本题有多种解法，总的思路是从5双鞋中任取一只后，再取时
样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为：
（2）设B＝“5名学生中，一、二、三、四年级的学生都包含 在内”。
样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为：， （即先从每个年级任选一人，再从4个年级中1个，就可保证5 名学生中包括每个年级的学生在内） 。 14 （1）已知，，，求条件概率。 （2）已知，，，求。 解 （1）因为，，，
不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如 考虑4只鞋了是有次序的一只一只取出的：从10只鞋中任取4 只
共有种取法，即样本空间所包含的基本事件数：；现在来求：第一只鞋 可以从10只鞋中任意取，有10种不同的取法，第二只鞋只能从剩下的9 只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋中去取，有8种取法，同理，第 三只、第四只各有6种取法、4种取法。从而。
解 设A＝“顾客能按所订的颜色如数拿到订货”，则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： 所以 。 8 在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件： （1）求恰有90件次品的概率； （2）至少有2件次品的概率。 解 设A＝“所取的200件产品中有90件次品”， B＝“所取的200件产品中恰有2件次品” 样本空间包含的基本事件数：， 事件A所包含的基本事件数：， 事件所包含的基本事件数： （1） （2） 9 从5双不同的鞋中任取4只，问这4只鞋至少能配成一双的概率是
4设A，B是两个事件。 （1）已知，验证； （2）验证A与B恰有一个发生的概率为。 解 （1）因为 ，
， 已知，
所以 （2）因为事件“A与B恰有一个发生”＝ 所以 “A与B恰有一个发生”的概率为＝ 而 ＝，
且 ， 故 5 10片药片中有5片是安慰剂， （1）从中任意取5片，其中至少有2片是安慰剂的概率。 （2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概 率。 解 （1）设＝“所取的5片药片中至少有2片安慰剂” 设Ai＝“5片中有i片是安慰剂”，（i=1，2，3，4，5），则
样本空间所饮食的基本事件数： 含有的基本事件数：； 。 （2）设C＝“前3次取到的都是安慰剂” 样本空间所饮食的基本事件数：10×9×8＝720 事件C所包含的基本事件数为：5×4×3＝60 6 在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的徽章，任选3人记录其 徽章的号码。 （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率。 解 A＝“最小号码为5”，B＝“最大号码为5” 样本空间所包含的基本事件数：； 事件A所包含基本事件数（即5固定，再从6，7，8，9，10这5个数中 任选2个）： 事件B所包含的基本事件数（即5固定，再从1,2，3,4这4个数中任选2 个）： 故 ； 7 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在 搬运的过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个 订货为4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所订颜色得到订货的 概率是多少？
于是 ；。 10 在11张卡片上写有probability这11个字母，从中任意抽7张， 求其排列结果为ability概率。 解 设A＝“抽到7张卡片能排列成ability”， 则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： （即在11个字母中只有1个a，2个b，2个i,1个l，已经取了一个i，
；
或 19 （1）设甲袋中装有只白球，只红球；乙袋中装有N只白球，M只红 球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，问取 到白球的概率是多少？ （2）设第一只盒子中装有5只红球，4只白球；第二个盒子中装有4只红 球，5只白球，先从第一个盒子中任意取2球放入第二个盒子中，然后从 第二个盒子中任意取一只球，求取到白球的概率是多少？ 解 （1）R＝“从甲袋中取到红球”，W＝“从乙袋中取到白球”，则 ，且， ＝； （2）设＝“从第一个盒子中取得的球中有只红球。”（） ＝“从第二个盒子中取得一只白球。”则 由乘法公式，得
P{孩子得病}＝0.5， P｛母亲得病｜孩子得病｝＝0.5， P｛父亲得病｜母亲及孩子得病｝＝0.4 求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。 解 设A＝“孩子得病”，B＝“母亲得病”，C＝“父亲得病”，则 ＝“母亲及孩子得病而父亲未得病” 已知，， 由乘法公式： 又 ，且 所以，。 。 17 已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不 放回抽样，求下列事件的概率： （1）两件都是正品； （2）两件都是次品； （3）1件正品，1件次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设＝“第次取得的是正品”（ ）。 因为是不放回抽样，故样本空间所包含的基本事件数：， （1）事件所包含的基本事件数 ：，
ห้องสมุดไป่ตู้
只剩下1个i，同样t、y也只有1个可取。） 于是 。 11 将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别 为1,2，3的概率。 解 设＝“放入杯子中球的最大个数”，（ ） 由于每个球可以任意地放入4个杯子中的任何1个中，且每个杯子可 以放入的球的个数没有限制，于是“将3只球随机地放入4个杯子中去”共 有种放法，即。 ：只有3个球都放入一个杯子中才能发生，且有4全杯子可任意选 择，则； ：只有当每个杯子最多放入1个球时才能发生，因而 又，且，（） 故 从而 。 12 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太 弱，每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱有铆钉都装在一个部件上， 则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 解 将10部件自1至10编号。则随机试验E：随机地取铆钉，各部件 都装3个铆钉。 ＝“第号部件强度太弱”，（ ） 由题设知，只有当3只强度太弱的铆钉同时装在第号部件上时，才能 发生。由于从50只铆钉中任取3只装在第号部件上共有种取法，强度太 弱的铆钉仅有3只，它们都装在第号部件上，只有种取法。 故 ，（ ）。 又 两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为 。 13 一个俱乐部有5名一年级的学生，2名二年级的学生，3名三年级 的学生，2名四年级的学生。 （1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的 概率； （2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在 内的概率。 解 （1）设A＝“4名学生中，一、二、三、四年级各有一名学 生”；
18 某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求 他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；若已知最后一位数字是奇 数，那么此概率是多少？
解 ＝“第次所能电话”，（ ），＝“电话所能” 则 （1）第一次拨通电话：；
第2次拨通电话，即是，由乘法公式，得
第3次拨通电话，即是，由乘法公式 。 或 （2）当已知最后一个数字是奇数时，与（1）有同样的思路和解法：
（此时第三个盒子中有7只白球。） （此时第二个盒子中有6只白球，5只红球。） （此时第二个盒子中有5只白球,6只红球。） 于是 。 20 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随 意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。 解 设B＝“放回的结果正确”，字母脱落的五种情况记为： ＝“M，X”， ＝“A，X”， ＝“M，A”， ＝“ A，A”， ＝“M，M”， 则，样本空间所包含的基本事件数即脱落的总数： 事件所包含的基本事件数：，（2个M，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个A，1个X） 事件所包含的基本事件数：，（2个M，2个A） 事件所包含的基本事件数： 事件所包含的基本事件数： 于是 ； ； 。 ，（）， ，（） 根据全概率公式，有 。 21 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从 男女人数相等的人群中随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性的概率 是多少？ 解 设A＝“色盲患者”，B＝“男性” 则 事件“随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性”＝ 于是所求概率为： 由贝叶斯公式 已知 （从男女人数相等的人群中随机选取1人。） ， 于是 。 22 一学生接连参加同一课程的两次考试，每一次及格的概率为p，若第 一次及格第二次也及格的概率为p。若第一次不及格第二次及格的概 率为p/2。
； （2）事件所包含的基本事件数 ：
； （3）事件 “1件正品，1件次品”所包含的基本事件数 ：（可能是第 一次取得正品，也可能是第二次取得正品）， 解法二： 因为 ，， 又，所以，由乘法公式，得
。 解法三：利用（1）与（2）的结果，因为，且，，，两两互不相容，故 。 （4）因为，事件＝“第二次取出的是次品”， 。
所以 ，， ＝0.2 故
（2）因为，，由乘法公式得，
又 ，，得 ，即 所以 。 15 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的 概率（用两种方法）。 解 设A＝“两颗骰子的点数之和为7”， B＝“一颗点数为1” 解 方法一（用条件概率公式计算） 样本空间所包含的基本事件数：36 事件A所包含的基本事件数：6，即｛（1,6），（6,1），（5， 2），（5,2），（3,4）（4,3）｝ 事件AB所包含的基本事件数：2即｛（1,6），（6,1）｝ 则， 故 。 方法二（在缩减的样本空间计算） 以A为缩减的样本空间，则A所包含的基本事件数：6 事件B在缩减的样本空间所包含的基本事件数：2 故 。 16 据以往资料表明，某3口之家，患有某种传染病的概率有以下规 律：
（1）若至少有一次及格，他就能够获得某种资格，求他获得资格 的概率。
（2）若知道他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。 解 设＝“第次及格”，（ ）。
B＝“获得资格” （1） 已知，，
， 显然， ， 故
。 （2）（贝叶斯公式） 。 23 将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A误作B的 概率为0.02， B误作为A的概率为0.01。信息A与B传送的频繁程度为 2：1。若接收站收到的信息为A， 原发信息为A的概率是多少？ 解 设＝“发出的信息为A”， ＝“发出的信息为B”，
概率论第一章习题解 3 （1）设A，B，C是三个事件，且，，，求A，B，C至少有一个发生
的概率。 （2），， ，，，，求；；；；；的概率。 （3）已知，（ⅰ）若A，B互不相容，求， （ⅱ）若，求 解 因为 事件“A，B，C至少有一个发生”＝
而 ，，所以 故 （2） (ⅰ) ； (ⅱ)；
(ⅲ) ；
(ⅳ) ； (ⅴ) 因为
且
(ⅵ) 因为 已知，，故
； （3），（ⅰ）若A，B互不相容，求， （ⅱ）若，求
（ⅰ）因为若A，B互不相容，所以，，； （ⅱ）因为，且， 所以 ，代入已知条件，得 ，即 。
多少？ 解 设A＝“4只鞋不能配成双”，则 ＝“4只鞋至少能配成一双” 样本空间所包含的基本事件数： 事件A包含的基本事件数： （即：先从5双鞋中任取4双，然后从所取的4双鞋中各任取一只，这
样取得的4只鞋，都不能配成双。） 于是， 说明：本题有多种解法，总的思路是从5双鞋中任取一只后，再取时
样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为：
（2）设B＝“5名学生中，一、二、三、四年级的学生都包含 在内”。
样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数为：， （即先从每个年级任选一人，再从4个年级中1个，就可保证5 名学生中包括每个年级的学生在内） 。 14 （1）已知，，，求条件概率。 （2）已知，，，求。 解 （1）因为，，，
不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如 考虑4只鞋了是有次序的一只一只取出的：从10只鞋中任取4 只
共有种取法，即样本空间所包含的基本事件数：；现在来求：第一只鞋 可以从10只鞋中任意取，有10种不同的取法，第二只鞋只能从剩下的9 只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋中去取，有8种取法，同理，第 三只、第四只各有6种取法、4种取法。从而。
解 设A＝“顾客能按所订的颜色如数拿到订货”，则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： 所以 。 8 在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件： （1）求恰有90件次品的概率； （2）至少有2件次品的概率。 解 设A＝“所取的200件产品中有90件次品”， B＝“所取的200件产品中恰有2件次品” 样本空间包含的基本事件数：， 事件A所包含的基本事件数：， 事件所包含的基本事件数： （1） （2） 9 从5双不同的鞋中任取4只，问这4只鞋至少能配成一双的概率是
4设A，B是两个事件。 （1）已知，验证； （2）验证A与B恰有一个发生的概率为。 解 （1）因为 ，
， 已知，
所以 （2）因为事件“A与B恰有一个发生”＝ 所以 “A与B恰有一个发生”的概率为＝ 而 ＝，
且 ， 故 5 10片药片中有5片是安慰剂， （1）从中任意取5片，其中至少有2片是安慰剂的概率。 （2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概 率。 解 （1）设＝“所取的5片药片中至少有2片安慰剂” 设Ai＝“5片中有i片是安慰剂”，（i=1，2，3，4，5），则
样本空间所饮食的基本事件数： 含有的基本事件数：； 。 （2）设C＝“前3次取到的都是安慰剂” 样本空间所饮食的基本事件数：10×9×8＝720 事件C所包含的基本事件数为：5×4×3＝60 6 在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的徽章，任选3人记录其 徽章的号码。 （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率。 解 A＝“最小号码为5”，B＝“最大号码为5” 样本空间所包含的基本事件数：； 事件A所包含基本事件数（即5固定，再从6，7，8，9，10这5个数中 任选2个）： 事件B所包含的基本事件数（即5固定，再从1,2，3,4这4个数中任选2 个）： 故 ； 7 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在 搬运的过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个 订货为4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所订颜色得到订货的 概率是多少？
于是 ；。 10 在11张卡片上写有probability这11个字母，从中任意抽7张， 求其排列结果为ability概率。 解 设A＝“抽到7张卡片能排列成ability”， 则 样本空间所包含的基本事件数： 事件A所包含的基本事件数： （即在11个字母中只有1个a，2个b，2个i,1个l，已经取了一个i，
；
或 19 （1）设甲袋中装有只白球，只红球；乙袋中装有N只白球，M只红 球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，问取 到白球的概率是多少？ （2）设第一只盒子中装有5只红球，4只白球；第二个盒子中装有4只红 球，5只白球，先从第一个盒子中任意取2球放入第二个盒子中，然后从 第二个盒子中任意取一只球，求取到白球的概率是多少？ 解 （1）R＝“从甲袋中取到红球”，W＝“从乙袋中取到白球”，则 ，且， ＝； （2）设＝“从第一个盒子中取得的球中有只红球。”（） ＝“从第二个盒子中取得一只白球。”则 由乘法公式，得
P{孩子得病}＝0.5， P｛母亲得病｜孩子得病｝＝0.5， P｛父亲得病｜母亲及孩子得病｝＝0.4 求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。 解 设A＝“孩子得病”，B＝“母亲得病”，C＝“父亲得病”，则 ＝“母亲及孩子得病而父亲未得病” 已知，， 由乘法公式： 又 ，且 所以，。 。 17 已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不 放回抽样，求下列事件的概率： （1）两件都是正品； （2）两件都是次品； （3）1件正品，1件次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设＝“第次取得的是正品”（ ）。 因为是不放回抽样，故样本空间所包含的基本事件数：， （1）事件所包含的基本事件数 ：，
ห้องสมุดไป่ตู้
只剩下1个i，同样t、y也只有1个可取。） 于是 。 11 将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别 为1,2，3的概率。 解 设＝“放入杯子中球的最大个数”，（ ） 由于每个球可以任意地放入4个杯子中的任何1个中，且每个杯子可 以放入的球的个数没有限制，于是“将3只球随机地放入4个杯子中去”共 有种放法，即。 ：只有3个球都放入一个杯子中才能发生，且有4全杯子可任意选 择，则； ：只有当每个杯子最多放入1个球时才能发生，因而 又，且，（） 故 从而 。 12 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太 弱，每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱有铆钉都装在一个部件上， 则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 解 将10部件自1至10编号。则随机试验E：随机地取铆钉，各部件 都装3个铆钉。 ＝“第号部件强度太弱”，（ ） 由题设知，只有当3只强度太弱的铆钉同时装在第号部件上时，才能 发生。由于从50只铆钉中任取3只装在第号部件上共有种取法，强度太 弱的铆钉仅有3只，它们都装在第号部件上，只有种取法。 故 ，（ ）。 又 两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为 。 13 一个俱乐部有5名一年级的学生，2名二年级的学生，3名三年级 的学生，2名四年级的学生。 （1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的 概率； （2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在 内的概率。 解 （1）设A＝“4名学生中，一、二、三、四年级各有一名学 生”；
18 某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求 他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；若已知最后一位数字是奇 数，那么此概率是多少？
解 ＝“第次所能电话”，（ ），＝“电话所能” 则 （1）第一次拨通电话：；
第2次拨通电话，即是，由乘法公式，得
第3次拨通电话，即是，由乘法公式 。 或 （2）当已知最后一个数字是奇数时，与（1）有同样的思路和解法：