高中数学学案：互斥事件及其发生的概率

高中数学学案：互斥事件及其发生的概率

1. 理解互斥事件与对立事件的概念,能判断两个事件是否是互斥事件、对立事件.

2. 了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为1的结论.

3. 能用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.

1. 阅读：必修3第112～117页.

2. 解悟：①读懂互斥事件、对立事件的定义；②归纳出互斥事件、对立事件的特征；③重解课本例题,体会方法.

3. 践习：在教材空白处,完成本节习题.

基础诊断

1. 根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为0.35.

解析：设事件“某地6月1日下雨”为事件A,“某地6月1日阴天”为事件B,“某地6月1日晴天”为事件C,由题意可得事件A,B,C为互斥事件,所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.因为P(A)＝0.45,P(B)＝0.2,所以P(C)＝0.35.

2. 一个人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是2次都不中靶.

3. 将两枚均匀的正六面体的骰子各掷一次,出现点数之和不小于8的概率是5 12.

解析：将两枚均匀的正六面体骰子各掷一次,则基本事件的总数是6×6＝36,且每个基本事件都是等可能的.出现点数之和不小于8的基本事件有(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有15种,所以出

现点数之和不小于8的概率为P＝15

36＝

5

12.

4. 从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；

③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”. 其中是对立事件的有③.(填序号)

解析：从袋中任意取3只球,可能的情况有“3只红球”“2只红球、1只白球”“1只红

球、2只白球”“3只白球”,由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件；对于③,“取出3只球中至少有1只球”包含“2只红球、1只白球”“1只红球、2只白球”“3只白球”三种情况,故“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”是对立事件.

范例导航

考向❶ 互斥事件的概念

例1 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中：

(1) 射中10环或7环的概率；

(2) 不够7环的概率.

解析：(1) 记“射中10环”为事件A,记“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A 与B 不可能同时发生,故A 与B 是互斥事件,故P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.

(2) 记“不够7环”为事件E,则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”,

所以P(E)＝1－P(E)＝1－(0.21＋0.23＋0.25＋0.28)＝0.03.

箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色

不同的概率为 35 .

解析：从5只球中一次摸出2只球,共有10种摸法,摸到的2只球颜色不同的摸法共有6

种,则所求的概率为35.

考向❷ 对立事件的概念

例2 一盒中装有各色球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1个球,求：

(1) 取出的1个球是红球或黑球的概率；

(2) 取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.

解析：方法一：(1) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法,得到黑球有4种取法,得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法.任取1球,有12种取法,故任取1球得到红球或黑球的概

率为P 1＝912＝34.

(2) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法,得到黑球有4种取法,得到白球有2种取

法,从而得到红球或黑球或白球的概率为P2＝5

12＋4

12＋

2

12＝

11

12.

方法二：记事件A1＝{任取1个球为红球},A2＝{任取1个球为黑球},A3＝{任取1个球为

白球},A4＝{任取1个球为绿球},则P(A1)＝5

12,P(A2)＝

1

3,P(A3)＝

1

6,P(A4)＝

1

12.

根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率加法公式,得：

(1) 取出的1个球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝5

12＋1

3＝

3

4.

(2) 取出的1个球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝

5 12＋1

3＋

1

6＝

11

12.

方法三：(1) 由方法二知,取出的1个球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球,即

A1＋A2的对立事件为A3＋A4,所以取得1个红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3)－P(A4)

＝1－1

6－

1

12＝

3

4.

(2) A1＋A2＋A3的对立事件为A4,所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－1

12＝11 12.

为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花

种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是2 3.

解析：将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,

其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有4种,故概率为2 3.

考向❸互斥与对立事件的综合

例3袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.

(1) 问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

(2) 若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为奇数的概率.

解析：(1) 一共有8种不同的结果,列举如下：红红红,红红黑,红黑红,红黑黑,黑红红,黑红黑,黑黑红,黑黑黑.

(2) 记“3次摸球所得总分为5”为事件A,事件A包含的基本事件为：红红黑,红黑红,黑

红红,故P(A)＝3 8.