高中数学学案：互斥事件及其发生的概率

高中数学学案：互斥事件及其发生的概率
1. 理解互斥事件与对立事件的概念,能判断两个事件是否是互斥事件、对立事件.
2. 了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为1的结论.
3. 能用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.
1. 阅读：必修3第112～117页.
2. 解悟：①读懂互斥事件、对立事件的定义；②归纳出互斥事件、对立事件的特征；③重解课本例题,体会方法.
3. 践习：在教材空白处,完成本节习题.
基础诊断
1. 根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为0.35.
解析：设事件“某地6月1日下雨”为事件A,“某地6月1日阴天”为事件B,“某地6月1日晴天”为事件C,由题意可得事件A,B,C为互斥事件,所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.因为P(A)＝0.45,P(B)＝0.2,所以P(C)＝0.35.
2. 一个人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是2次都不中靶.
3. 将两枚均匀的正六面体的骰子各掷一次,出现点数之和不小于8的概率是5 12.
解析：将两枚均匀的正六面体骰子各掷一次,则基本事件的总数是6×6＝36,且每个基本事件都是等可能的.出现点数之和不小于8的基本事件有(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有15种,所以出
现点数之和不小于8的概率为P＝15
36＝
5
12.
4. 从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；
③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”. 其中是对立事件的有③.(填序号)
解析：从袋中任意取3只球,可能的情况有“3只红球”“2只红球、1只白球”“1只红
球、2只白球”“3只白球”,由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件；对于③,“取出3只球中至少有1只球”包含“2只红球、1只白球”“1只红球、2只白球”“3只白球”三种情况,故“取出3只红球”与“取出3只球中至少1只白球”是对立事件.
范例导航
考向❶ 互斥事件的概念
例1 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中：
(1) 射中10环或7环的概率；
(2) 不够7环的概率.
解析：(1) 记“射中10环”为事件A,记“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A 与B 不可能同时发生,故A 与B 是互斥事件,故P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2) 记“不够7环”为事件E,则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”,
所以P(E)＝1－P(E)＝1－(0.21＋0.23＋0.25＋0.28)＝0.03.
箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色
不同的概率为 35 .
解析：从5只球中一次摸出2只球,共有10种摸法,摸到的2只球颜色不同的摸法共有6
种,则所求的概率为35.
考向❷ 对立事件的概念
例2 一盒中装有各色球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1个球,求：
(1) 取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2) 取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
解析：方法一：(1) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法,得到黑球有4种取法,得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法.任取1球,有12种取法,故任取1球得到红球或黑球的概
率为P 1＝912＝34.
(2) 从12个球中任取1个球得到红球有5种取法,得到黑球有4种取法,得到白球有2种取
法,从而得到红球或黑球或白球的概率为P2＝5
12＋4
12＋
2
12＝
11
12.
方法二：记事件A1＝{任取1个球为红球},A2＝{任取1个球为黑球},A3＝{任取1个球为
白球},A4＝{任取1个球为绿球},则P(A1)＝5
12,P(A2)＝
1
3,P(A3)＝
1
6,P(A4)＝
1
12.
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率加法公式,得：
(1) 取出的1个球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝5
12＋1
3＝
3
4.
(2) 取出的1个球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝
5 12＋1
3＋
1
6＝
11
12.
方法三：(1) 由方法二知,取出的1个球为红球或黑球的对立事件为取出1白球或绿球,即
A1＋A2的对立事件为A3＋A4,所以取得1个红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－1
6－
1
12＝
3
4.
(2) A1＋A2＋A3的对立事件为A4,所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－1
12＝11 12.
为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花
种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是2 3.
解析：将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,
其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有4种,故概率为2 3.
考向❸互斥与对立事件的综合
例3袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1) 问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2) 若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为奇数的概率.
解析：(1) 一共有8种不同的结果,列举如下：红红红,红红黑,红黑红,红黑黑,黑红红,黑红黑,黑黑红,黑黑黑.
(2) 记“3次摸球所得总分为5”为事件A,事件A包含的基本事件为：红红黑,红黑红,黑
红红,故P(A)＝3 8.
记“3次摸球所得总分为3”为事件B,事件B 包含的基本事件为：黑黑黑,所以P(B)＝18,
所以3次摸球所得总分为奇数的概率P ＝P(A)＋P(B)＝18＋38＝12.
某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选1个.假设各部门选择每个景区是等可能的.
(1) 求3个景区都有部门选择的概率；
(2) 求恰有2个景区有部门选择的概率.
解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34＝81.由于任意选择,所以这些结果出现的可能性都相等.
(1) 从4个部门中任选2个作为1组,另外两个部门各作一组,共3组,共有6种分法,每组选择不同的景区,共有3×2×1＝6种选法,所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6
＝36.记“3个景区都有部门选择”为事件A 1,所以事件A 1的概率P(A 1)＝3681＝49.
(2) 分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和
A 3,则事件A 3的概率为P(A 3)＝334＝127,所以事件A 2的概率为P(A 2)＝1－P(A 1)－P(A 3)＝1－49－
127＝1427.
【注】 注意区分放回不放回.
自测反馈
1. 一只口袋中有大小一样的5只球,其中3只红球,2只黄球,从中摸出2只球,2只球颜色不
同的概率为 35 .
解析：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10.记：“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A,“从5只球中任意取2只为红球”为事件B,“从5只球中任意取2只为黄球”为事件C,则A ＝B ＋C.
因为P(B)＝310,P(C)＝110,
所以P(A)＝P(B ＋C)＝310＋110＝25,
则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率为：P(A)＝1－P(A)＝1－25＝35.
2. 甲、乙两个人下棋,甲获胜的概率为0.2,甲、乙两人和棋的概率0.5,则甲不输的概率为
0.7.
解析：“甲不输”由“甲胜”和“甲、乙和棋”两个互斥事件构成,故“甲不输”的概率为0.2＋0.5＝0.7.
3. 在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是1 2.
解析：在数字1,2,3,4中任取两个不同的数,共有6种情况,其中满足和大于积的取法有
(1,2),(1,3),(1,4),共3种,故其和大于积的概率是3
6＝
1
2.
4. 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9
的概率为19 125.
解析：从1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复),可以组成5×5×5＝125(个)不同的三位数,其中各位数字之和等于9的三位数,可分为以下情形：①由1,3,5三个数字组成的三位数：135,153,315,351,513,531共6个；②由1,4,4三个数字组成的三位数：144,414,441,共3个；③同理由2,3,4三个数字可以组成6个不同的三位数；④由2,2,5三个数字可以组成3个不同的三位数；⑤由3,3,3三个数字可以组成1个三位数,故满足条件的三位数共有6＋3＋6＋3＋1＝19,
所求的概率为19 125.
1. 在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.特别是计算“至少有一个发生”的概率问题时,常用方法二.
2. 你还有那些体悟,写下来：。