幂级数收敛域(绝好课件)
第六讲幂级数
b-a 在 (a,b) 外发散 ， R 则 . 2
#2012022801
例3. 设
在 x 1 处收敛，则此级数在
x 2 处收敛性如何？
（A）条件收敛
（B）绝对收敛 （C）发散 （D）太难确定了
例3. 设
在 x 1 处收敛，则此级数在
x 2 处收敛性如何？
解: 令 y x 1 设级数 的收敛半径为R。
1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
1 x2 (x ) 2x 2
而
x x x n x n 1 dx n 1 n x dx x dx 1 x n 1 n 1 0 0 n 1 0
ln(1 x)
故
1 S 2
内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
(4.7) 逐项求极限
性质2 幂级数 a n x n 的和函数 s( x ) 在其收敛域 I 上可积， 并且可以逐项积分，即有
n 0
x
0
s( t )dt
x
0
x n a n t dt a n t n dt , x I 0 n 0 n 0
(4.8)
性质3 幂级数 a n x n 的和函数 s( x ) 在其收敛区间 ( R, R) 内可导，并且可以逐项求导，即有
第7章 第4讲 幂级数及其收敛性
22
02
幂级数及其收敛性
∞
例7 求幂级数 的收敛区间.
=1
1
+1
= lim ( + 1)(1 + ) = +∞ ,
解 因为 = lim
→∞
→∞
所以幂级数的收敛半径为 = 0,
则级数仅在 = 0处收敛,
它的收敛域为{| = 0}.
23
02
幂级数及其收敛性
(2) ′ 若缺项,应用比值判别法或根值判别法
+1 ()
（即求 lim
→∞ ()
或 lim
→∞
| ()|）;
(3) 考察幂级数在两端点的收敛性, 写出收敛域.
27
02
幂级数及其收敛性
∞
( − 1)
例9 求幂级数
的收敛域.
2
=1
∞
解 令 = − 1, 原级数变为 .
又因为| − 2 − (−1)| = 1 < 2,
∞
(
+
1)
在 = −2处绝对收敛.
所以幂级数
故本题应选.
16
02
幂级数及其收敛性
∞
例4 已知幂级数 ( + 1) 在 = 0处收敛,
=1
∞
(
−
3)
在 = −2处发散,则幂级数
2
=1
的收敛域为 (1,5]
|1+|
= 1时, = 0或 = −2.
∞
(−1)
, 该级数收敛;
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的收敛域
幂级数的收敛域幂级数是一类重要的无穷级数，它具有广泛的应用和深刻的数学理论。
在研究幂级数的性质时，我们常常关心的一个问题是它的收敛域，也就是幂级数在哪些点上收敛。
一、定义首先，让我们来回顾一下幂级数的定义。
给定一个复数序列{$c_n$}，以及一个复数$z$，我们定义幂级数为：$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$$其中，$c_n$称为幂级数的系数，$z$是一个复数变量。
在幂级数中，$z$的幂次逐渐增加，系数$c_n$则随着$n$的增加而变化。
幂级数可以理解为无穷项的多项式，而收敛域则决定了该幂级数在哪些点上收敛。
二、收敛半径幂级数的收敛域可以通过收敛半径来刻画。
收敛半径是一个非负实数$R$，满足以下性质：当复数$z$满足$|z| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z| > R$时，幂级数发散；当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
根据幂级数的收敛半径，我们可以将收敛域划分为三种情况：上确界收敛区间、下确界收敛区间和间断点。
1. 上确界收敛区间当$|z| < R$时，幂级数绝对收敛的区间称为上确界收敛区间，记为$I_u = (-R, R)$。
在上确界收敛区间内，幂级数的每一项都绝对收敛，因此任意有限项之和也收敛。
2. 下确界收敛区间当$|z| > R$时，幂级数发散的区间称为下确界收敛区间，记为$I_l = (-\infty, -R) \cup (R, \infty)$。
在下确界收敛区间内，幂级数的每一项都发散，因此任意有限项之和也发散。
3. 间断点当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
这些点称为幂级数的间断点。
在间断点上，幂级数的性态不能确定，需要进一步的讨论。
三、求解收敛域的方法确定幂级数的收敛域通常需要利用数学工具和技巧，下面介绍一些经典的方法。
1. 比值判别法比值判别法是判断幂级数收敛半径的一种常用方法。
设幂级数为$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$，则收敛半径$R$满足以下关系：$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$其中，如果极限存在，则取反之，然后求出绝对值。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
幂级数.ppt
1 n 时, 级数成为 (1) (1 ) n n 1
n
当
(0, 2)
，发散 ，发散
(0, 2)
x 1 1
当
x 1 1
1 n 时, 级数成为 (1 ) n n 1
1 n ( lim (1 ) e ) n n
cn 1 2n 2n 2 (2) cn 2 , lim lim 2, 2 n c n ( n 1) n n
1 1 收敛半径 R , 收敛圆为 z i 2 2
例 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域:
( x 1) (1) n n 1 cn 1 1 解 (1) cn , lim lim n n n cn
n 1
S (x)
ln 3 ln(3 x) x
1 3
x 3, 0 0, 3
x0
2n 1 2 n 2 (6) z , 并求 n 2 n 1
2n 1 2n n 1
的和.
解
R 2
z 2
2n 1 2 n 2 1 S ( z) z n ( z 2 n 1 ) 2n n 1 n 1 2
当 |z|<R时,级数绝对收敛,当 |z| >R 时,级数发散,
当 |z|=R 时,不 一定.
x
|z|<R
R
0
R
R Sup{ z
z B}
注 1. R---收敛半径 ,
cn z n : z R
n 0
---收敛圆 ---收敛区间
06-幂级数收敛域的求法PPT
8
Z (2) ( - nx ) n ；
n=1
an
解：由于p = lim
n—8
则 R = 0. 故收敛域为{0}.
=lim n = +8,
ns
8n
(3)R n!；
---->>w^
• n=1 n
板书)
解：由于p
=
lim
n—8
“n+l
an
=lim 1 is n +1
0,
则R = +8.
故收敛域为(-8,+8)・
故收敛域为（0,1].
板书
8 2 n-1
例2、求幂级数£ r的收敛域. n=1 2
解：级数缺少偶次幂的项，由达朗贝尔判别
法,
lim 〃n+1（
ns X ）
x2n+1 /
/2 n+1
X, 1
=lim
_
1
当1
uXn（2 <X）1
,即n|一x8|<x421n时-/12/,级n 数收2敛.
当1 / > 1 ,即|x| >41时，级数发散.
n—8
n—8 an
1 ⑴若0 V p V +8 ,则当日I x |< 1,即I x Iv 一时, p
8
级数£ anxn绝对收敛.
n=0
当p\x |> 1,即| x |>一时，级数£8 anxn发散
P
n=0
板书
1
从而收敛半径R =丄. P
---8
板书
(2)若 p = 0,贝lj Vx 了 0, p x = 0 v 1,
一、幂级数收敛半径的确定
幂级数的收敛域
§9.3. 幂 级 数一、 幂级数的收敛域1．幂级数的定义：形如+-++-+-+=-∑∞=nn n n n a y a a y a a y a a a y a )()()()(22100 的函数级数称为幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 为常数，称为幂级数的系数. 令x a y =-，则幂级数化简为：)1(22100+++++=∑∞=nnn n n x a x a x a a x a2．定理1.(阿贝尔第一定理)1)若幂级数(1)在00≠x 收敛,则幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2) 若幂级数(1)在1x 发散,则幂级数(1)在1:x x x >∀都发散.证明: 1)若级数∑∞=00n nn x a 收敛,由收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a ,因此数列{}nn x a 0有界,即,,2,1,0,0 =∀>∃n M 有M xa nn≤00:x x x <∀,即10<x x,有 nn nnn nn x xM x x x a x a 000≤= 由于几何级数nn x xM∑∞=收敛,所以幂级数(1)在0:x x x <∀都绝对收敛.2)用反证法: 假设1:x >∃∀ξξ,幂级数(1)在ξ收敛,由上述1)的结论,可知幂级数(1)在1x 绝对收敛, 这与已知条件矛盾,所以级数(1)在1:x x x >∀都发散.成:发散收敛2)令 {}的收敛点是幂级数)1(sup x x r =,易证明幂级数(1)在 r :<∀x x 绝对收敛；在r :>∀x x r 称为幂级数（1）的收敛半径.3）当幂级数(1)仅在原点0收敛,则收敛半径0r =；幂级数(1)D 在R 收敛,则收敛半径+∞=r ；其它情况下，+∞<<r 0.4）若幂级数(1)的收敛半径是r ，则在)r -r,(幂级数(1)都绝对收敛，在区间端点r 或r -处的收敛性则要另外判断.3．定理2 有幂级数（1），即∑∞=0n nn n x a ，若l a a nn n =+∞→1lim（ l a nn n =∞→lim ），则幂级数（1）的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞==∞++∞<<=.,0,0,,0,1l l l l r 证明：讨论正项级数∑∞=0n n n x a .根据§9.1达朗贝尔判别法（或柯西判别法），有 x l x a a u u nn n n n n ⋅=⋅=+∞→+∞→11lim lim . 1）,0+∞<<l 当1<⋅x l 或l x 1<，幂级数(1)绝对收敛；当1>⋅x l 或l x 1>，幂级数(1)发散.于是，收敛半径lr 1=.2）R x l ∈∀=,0，有10<=⋅x l ，即,R x ∈∀幂级数(1)绝对收敛.于是，收敛半径+∞=r .3）R x l ∈∀+∞=,，且0≠x ，有+∞=⋅x l ，即0,≠∈∀x R x ，幂级数(1)发散.于是，收敛半径0=r .例1.求幂级数nn n x n∑∞=12的收敛半径，并讨论收敛域.解：已知 .12,211+==++n a na n n nn .212lim 212lim 1=+=+=∞→+∞→n nn n l n n n n 于是，收敛半径21=r . 幂级数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-21,21端点的敛散性须分别讨论：21=x ，级数∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛111212n nn n nn 发散.21-=x ，级数()∑∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-111212n nnn nn n 收敛.于是，幂级数的收敛域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21.例2. 求幂级数nn x n ∑∞=0!1的收敛半径.解： 已知 .)!1(1,!11+==+n a n a n n.011lim !1)!1(1lim =+=+=∞→∞→n n n l n n 于是，收敛半径+∞=r ，即收敛域是R.例3．求幂级数n n n x n ∑∞=1的收敛半径.解： 已知 .)1(,11+++==n n nn n a n a.11)1(lim )1(lim 1+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=∞→+∞→nn n n n n n n n l于是，收敛半径0=r ，即仅在0收敛，收敛域{0}.例4. 求幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径，并讨论收敛域.解： 设.2y x =- .1)2(11212n n n n y nx n ∑∑∞=∞==- 已知 212)1(1,1+==+n a n a n n .,11lim 1)1(1lim222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→n n n n l n n 即幂级数n n y n ∑∞=121的收敛半径是1.1±=y ，幂级数n n y n ∑∞=121nn y n∑∞=121的收敛域是[]1,1-.于是，幂级数nn x n )2(112-∑∞=的收敛半径是1，收敛域是[]3,1.1 二、幂级数和函数的分析性质1.定理 3.（阿贝尔第二定理） 若幂级数（1）的收敛半径0>r ，则幂级数（1）在任意闭区间[]()r r a a ,,-⊂-都一致收敛.证明： []a a x ,-∈∀，即)0(r a a x <<≤，有 n n n n a a x a ≤.已知级数n n na a∑∞=0收敛.根据 M 判别法，幂级数（1）在闭区间[]a a ,-一致收敛.注：称幂级数在收敛区间内的任意闭区间都一致收敛的性质为内闭一致收敛. 2.定理4. 若幂级数nn nxa∑∞=0与11)(-∞=∞=∑∑='n n n nn n x na x a 的收敛半径分别是正数1r 与2r，则21r r =.证法： 首先证明21r r ≤，即往证，若0x 是nn n x a ∑∞=0的收敛点，则0x 也是)(0'∑∞=nn n x a 21r r ≥.于是21r r =. 证明：证明21r r ≤.1101100:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=01n n n x a 收敛.,+N ∈∀n 有 n n nn n x a x x x n x na 110010=- .已知极限0lim10=∞→nn x x x n ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧nx x x n 10有界，即+N ∈∀>∃n M ,0，有M x x x n n≤10.于是， n n n n x a M x na 110≤- .根据比较判别法，级数101-∞=∑n n n x na绝对收敛，即21r r ≤.同法证明，21r r ≥.2101200:,0:r x x x r x x <<∃<<∀.已知级数∑∞=-111n n n xna收敛.,+N ∈∀n 有 111100--=n n n nn x na x x n x x a .已知极限0lim110=-∞→n n x x n x ，从而数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1100n x x n x 有界，即 +N ∈∀>∃n M ,0，有M x x n x n ≤-110.于是， 110-≤n n nn x na M x a .根据比较判别法，级数nn nx a00∑∞=绝对收敛，即21r r ≥.综上所证，21r r =.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0与10001+∞=∞=∑∑⎰+=n n n nn xn x n a dt t a 的收敛半径1r 与2r ，则21r r =.证明： 因为n n n n n n x a x n a ∑∑∞=∞=+='⎪⎭⎫⎝⎛+0011，根据定理4，所以21r r =. 注： 虽然幂级数nn n x a ∑∞=0，)(0'∑∞=nn n x a ，dt t a nn xn ∑⎰∞=0的收敛半径相等，但是它的收敛域可能不相同.例如，幂级数∑∞=12n nn x ， 收敛半径1=r ，收敛域是[]1,1-. ∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112n n n n n x n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1[-. 22121-∞=∞=∑∑-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n n n x ， 收敛半径1=r ，收敛域是)1,1(-. 3.定理 5. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -连续.证明： ,0),,(>∃-∈∀ηr r x 使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理6，和函数)(x S 在x 连续，从而，和函数)(x S 在区间),(r r -连续.推论 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛半径0>r ，且在)(r r -收敛，则和函数)(x S 在)(r r -左连续（右连续），且))(lim (lim 000n n n n n n rx n n n n n nrxr a x a r a x a-==∑∑∑∑∞=∞=-→∞=∞=→+-.证明： 由§9.2例8，幂级数n n n x a ∑∞=0在区间[]r ,0一致收敛. 根据§9.2定理6，和函数)(x S 在r 左连续，且())(lim lim 0r S r a x a x a nn n rx nn n nn n rx ===∑∑∑∞=→∞=∞=→--. 同法可证在r -的情况.4.定理 6. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则),,(r r x -∈∀它的和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .证明： 0),,(>∃-∈∀ηr r x ，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理7，和函数)(x S 由0到x 可积，且可逐项积分，即1001)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xx n a dt t a dt t S .根据定理4，此幂级数的收敛半径也是r. 5.定理7. 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn nn xna xa x S .证明： 根据定理4，幂级数11-∞=∑n n n x na 的收敛半径也是r. ),(r r x -∈∀，0>∃η，使[]()r r x ,,-⊂-∈ηη.已知幂级数内闭一致收敛，根据§9.2定理8，和函数)(x S 在x 可导，从而和函数)(x S 在区间),(r r -可导，且可逐项微分，即),(r r x -∈∀，有 ()11)(-∞=∞=∑∑='='n n nn n nxna x a x S .推论 若幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径0>r ，则它的和函数)(x S 在区间),(r r -存在任意阶导数，且+N ∈∀-∈∀k r r x ),,(，有()k n kn n n k n n k x a k n n n xa x S-∞=∞=∑∑+--==)1()1()(0)()( ，此幂级数的收敛半径也是r.小结：由定理1～7看到，幂级数nn n x a ∑∞=0（收敛半径0>r ）具有以下性质： 1. 收敛域是以原点为心的区间（可能是开区间、闭区间、半开区间，特殊情况可能是R 或退化为原点）.2. 在区间),(r r -内闭一致收敛.3. 和函数在区间),(r r -连续.4. 和函数在任意闭区间[]),(,r r b a -⊂可积，且可逐项积分，特别是，),,(r r x -∈∀由0到x 可逐项积分，逐项积分得到的幂级数的收敛半径也是r.5. 和函数在区间),(r r -存在任意阶导函数，且可逐项微分.逐项微分得到的幂级数的收敛半径也是r.例5. 求下列幂级数的和函数：1）n x nn n ∑∞=--11)1(； 2） ∑∞=+0)1(n n x n .解：1）不难计算它的收敛半径是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有 +-+-=-=∑∞=-432)1()(43211x x x x n x x f n n n . 根据定理7，逐项微分，有xx x x xx f n n n +=+-+-=-='-∞=-∑111)1()(32111 . )1,1(-∈∀x ，对上式等号两端从0到x 积分，有⎰⎰+='xxtdtdt t f 001)( 或 )1ln()0()(x f x f +=-. 已知0)0(=f .于是，)1ln()(x x f +=，即)1,1(-∈∀x ，有+-+-=+432)1ln(432x x x x x . 根据定理5的推论，当1=x 时，有 +-+-=41312112ln . 2）不难计算它的收敛半径也是1. 设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=∑∞=3204321)1()(x x x x n x f n n . 根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有.132)1()(43202000xx x x x x dt t tdt dt dtt n dt t f xx xn xn x-=++++=+++=+=⎰⎰⎰∑⎰⎰∞=对上式等号两端求导数，有 2)1(1)(x x f -= ，即)1,1(-∈∀x ，有++++=+=-∑∞=32024321)1()1(1x x x x n x n n .例6. 求幂级数n n x n∑∞=12的和函数.解： 不难计算幂级数的收敛半径是1.设它的和函数是)(x f ，即)1,1(-∈∀x ，有nn x n x f ∑∞==12)(.为了逐项积分，将它改写为112)(-∞=∑=n n x n x x f . ()1lim lim )(lim 101211200===-→∞=-∞=→→∑∑n x n n n x x x n x n x x f . 将函数x x f )(在0作连续开拓⎪⎭⎫⎝⎛==1)(,0x x f x 定义. )1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有∑∑⎰∑⎰∞=-∞=-∞====11101120)(n n n nx n n xnx x nx dt t n dt t t f)4321(32 ++++=x x x x . 由例5.2，有 20)1()(x x dt t t f x-=⎰. 对上式等号两端求导数，有342)1(1)1()1(2)1()(x x x x x x x x f -+=--⋅+-=， 于是， 3)1()1()(x x x x f -+= .三、泰勒级数1. 定理8. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数，即),(r a r a x +-∈∀，有n n n a x a x f )()(0-=∑∞=， （2）则函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 ,2,1,0,!)()(==k k a f a k k . 证明：根据定理7的推论，函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且 k n kn n k a x a k n n n x f-∞=-+--=∑)()1()1()()(+-++=+)(2)1(!1a x a k k a k k k .令k k a k a f a x !)(,)(==，即 !)()(k a f a k k =.推论 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-能展成幂级数（2），则其幂级数展开式是唯一的，即),(r a r a x +-∈∀，有nn na x ax f )()(0-=∑∞= 与 n n n a x b x f )()(0-=∑∞= ，则 ,2,1,0,==n b a n n .证明： 根据定理8，!)(,!)()()(n a f b n a f a n n n n ==，有 ,2,1,0,==n b a n n .注：定理8指出，（1）若函数)(x f 在a 的邻域能展成幂级数，则)(x f 在此邻域必存在任意阶导数，并且幂级数的系数k a 由函数)(x f 的k 阶导数在a 的值唯一确定，即!)()(k a f a k k = .（2）如果函数)(x g 在a 存在任意阶导数，我们总能形式地写出相应的幂级数： +-++-''+-'+n n a x n a g a x a g a x a g a g )(!)()(!2)()(!1)()()(2， 称为函数)(x g 在a 的泰勒级数，表为 nn n a x n a g x g )(!)(~)(0)(-∑∞=， （3）其中符号“～”表示（3）式右端的泰勒级数是函数)(x g 生成的.特别是，函数)(x g 在0的泰勒级数，即nn n x n g x g ∑∞=0)(!)0(~)(称为函数)(x g 的麦克劳林级数.注意：泰勒级数（3）在区间),(r a r a +-收敛，但它的和函数并不是函数)(x g .因此（3）式用符号“～”，而不用等号“=”.如函数)(x g 的麦克劳林级数是：+++''+'+nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0(~)()(2 . （4）但0)(,0≠≠∀x g x 时， +++''+'+≠nn x n g x g x g g x g !)0(!2)0(!1)0()0()()(2. 由此可见，幂级数（3）在区间),(r a r a +-不一定收敛于函数)(x g .2.定理9. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且),(r a r a x +-∈∀，泰勒公式的余项)(0)(∞→→n x R n ，则),(r a r a x +-∈∀，有∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f . 证明：由§6.3泰勒公式，),(r a r a x +-∈∀，有)(0)()(!)()(0)(∞→→=--∑∞=n x R a x k a f x f n k k k ，即 ∑∞=-=)()(!)()(n n n a x n a f x f . 3.定理10. 若函数)(x f 在区间),(r a r a +-存在任意阶导数，且,0>∃M ),(r a r a x +-∈∀， ,2,1,0=∀n，有M x f n ≤)()(，则 ∑∞=-=0)()(!)()(n n n a x n a f x f ， ),(r a r a x +-∈. （5） 证明：由§6.3，带有拉格朗日余项的泰勒公式，有[])10()(!)()()(1<<-+-=-θθa x a f n a x x R n n n[]M n ra x a f n a x n n n!)(!)(≤-+-=θ.已知0!lim =∞→n r nn ，有0)(lim 1=-∞→x R n n .根据定理9，（5）式成立. 四、初等函数的幂级数展开几个常用的初等函数的幂级数展开式：1. R x n x x x x x f n n∈++-++-==+,)!12()1(!3sin )(123R x n xx x x f n n ∈+-++-==,)!2()1(!21cos )(22由§5.5例3，有 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+==2sin sin )()()(πn x x x fn n .,2,1,0,=∀∈∀n R x ，有12sin )()(≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x x f n . 根据定理10，函数x sin 0=a ，有,1)0(,0)0(,1)0(,0)0(-='''=''='=f f f f .于是，R x n x x x x n n∈++-++-=+,)!12()1(!3sin 123用同样方法，可把函数x cos 在R 展成幂级数R x n x x x nn ∈+-++-=,)!2()1(!21cos 22 .2.R x n x x x e x f nx∈+++++==,!!2!11)(2已知 ,2,1,0=∀n，有()x n x n e e x f ==)()()(.当0=a 时，有1)0(0)(==e f n .,2,1,0),,(,0=∀-∈>∀n r r x r ，有 r x n e e x f≤=)()(.根据定理10，函数x e 在),(r r -可展成幂级数.因为r 是任意的，所以函数x e 在R 可展成幂级数，即R x n x x x e nx∈+++++=,!!2!112 .特别是，当1=x 时，有 +++++=!1!21!111n e . 3. 1,)1(32)1ln()(12<+-+-+-=+=-x nxx x x x x f nn已知+-+-=+32111x x x x. 不难计算，这个幂级数的收敛半径是1.根据定理6，)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰dt t dt t tdt dt tdt x x x x x03020001， 即 1,)1(32)1ln(12<+-+-+-=+-x nx x x x x n n .当1=x 时，有 +-++-+-=-nn 1)1(41312112ln 1. 4.()()++--++-++=+=n x n n x x x x f !11!2)1(!11)1()(2ααααααα（α是常数）,,)1)(1()(,)1()(21 --+-=''+='αααααx x f x x f ()()(),111)()(nn x n x f-++--=αααα .当0=a 时，有 () ,1)0(,)0(,1)0(-=''='=αααf f f ，()() ,11)0()(+--=n f n ααα .从而，函数()αx +1的麦克劳林级数是 ()()++--++-++n x n n x x !11!2)1(!112αααααα. （6）当+N ∈=n α时，已知,n k >∀有0)()(≡x f k .这是，函数n x )1(+的麦克劳林级数就是牛顿二项式公式，即n n x n n x n n x n x !!!2)1(!11)1(2++-++=+ n n n n n n x C x C x C C ++++=2210.当+N ∈≠n α时，有极限 11lim lim1=+-=∞→+∞→n na a n nn n α.即幂级数（6）的收敛半径是1.下面证明麦克劳林级数（6）在区间)1,1(-收敛于函数()αx +1()αx +1的麦克劳林公式的柯西余项（见§6.3定理2）是()()()()1111!1)(--++---=n n n nx n n x x R αθαααθ()()()11111!1-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=αθθθαααx x xn n nn ， （7） 其中10<<θ.不难证明，（7）式中的因式nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11与()11-+αθx 有界.事实上，1->∀x ，有x θθ+<-<110或1110<+-<xθθ，从而+N ∈∀-∈∀n x ),1,1(，有1110<⎪⎭⎫⎝⎛+-<nx θθ.因为10:<≤∀x x ，有x x +<+≤111θ， 01:≤<-∀x x ，有111<+≤+x x θ， 所以)1,1(-∈∀x ，有()(){}111,1max 1--+≤+ααθx x （与n 无关）.又已知，)1,1(-∈∀x ，有极限 ()()0!1lim1=--+∞→n n x n n ααα .于是，由（7）式，)1,1(-∈∀x ，有 0)(lim =∞→x R n n .根据定理9，函数()αx +1在区间()1,1-可展成幂级数（6），即()()++--++-++=+n x n n x x x !11!2)1(!11)1(2ααααααα，称为二项式展开公式.二项式展开公式的几个特殊情况（1<x ）：1-=α，是+-+-=+32111x x x x. k -=α，是 +++-++-=+!3)2)(1(!2)1(!11)1(1k k k k k x k x k.21=α，是 +⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅-+=+4328642164214212111x x x x x . 5. .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin )(123<++-++⋅+==+x x n n n x x x x f n.1,12)1(3arctan )(123<++-++-==+x n x x x x x f n n已知 ()2122)1(11arcsin --=-='x xx .由二项式展开公式，有.1,!)!2(!)!12(21111222<+-+++=-x x n n x xn)1,1(-∈∀x ，从0到x 逐项积分，有+-+++=-⎰⎰⎰⎰dt t n n dt t dt tdt x nx xx020202!)!2(!)!12(211， 即 .1,)12(!)!2(!)!12(321arcsin 123<++-++⋅+=+x x n n n x x x n用同样方法，可把函数x arctan 在)1,1(-展成幂级数..1,12)1(3arctan 123<++-++-=+x n x x x x n n五、幂级数的应用1. 数π的近似计算2. 数e 的近似计算3. 对数的近似计算六、指数函数与三角函数的幂级数定义1. 指数函数的定义定义 设幂级数∑∞=0!n nn x 的和函数是)(x E ，即,!!2!11)(2 +++++=n x x x x E n称为指数函数（就是以e 为底的指数函数）. 指数函数)(x E 的性质和运算公式：1）指数函数)(x E 的定义域是R. 2）指数函数)(x E 在定义域R 连续. 3）.1)0(=E4）R y x ∈∀,，有)()()(y x E y E x E +=⋅. 5）R x ∈∀，有 1)()(=-⋅x E x E .6）R x ∈∀，有0)(≠x E ，且[]1)()(-=-x E x E .7）)()(x E x E ='. 2. 三角函数的分析定义定义 设幂级数)!2()1(20n x n n n∑∞=-与)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n的和函数分别是)(x C 与)(x S ，即=+-+-= !6!44!21)(642x x x x C )!2()1(20n x nn n∑∞=- 与 +-+-=!7!5!3)(753xx x x x S =)!12()1(120+-+∞=∑n x n n n，称)(x C 是余弦函数，)(x S 是正弦函数.余弦函数与正弦函数的性质和运算公式：1）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 的定义域都是R. 2）余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 在定义域R 都连续. 3）.0)0(.1)0(==S C 4）R y x ∈∀,，有).()()()()(),()()()()(y S x C y C x S y x S y S x S y C x C y x C ⋅+⋅=+⋅-⋅=+5）余弦函数)(x C 在R 上是偶函数，正弦函数)(x S 在R 上是奇函数. 6）[][].1)()(22=+x S x C7）1)(lim0=→x x S x 与 .21)(1lim 20=-→xx C x 8）[])()(x S x C -=' 与 []).()(x C x S ='9）存在数220(<<ππ），使 02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πC 与.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛πS余弦函数)(x C 与正弦函数)(x S 都是以π2为周期的周期函数.。
高数课件29幂级数
幂级数的收敛性：在收敛区间内， 幂级数可以表示为收敛函数
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幂级数的展开形式： f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx ^n+...
幂级数的应用：在数学、物理、 工程等领域有广泛应用
幂级数展开式的应用
解决微分方程： 幂级数展开式 可以用来求解
幂级数的求积
幂级数的求和与求积是幂级数理 论的重要内容
幂级数的求和与求积在数学、物 理、工程等领域有着广泛的应用
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幂级数的求和与求积可以通过积 分法、级数法等方法实现
幂级数的求和与求积是解决实际 问题的重要工具
幂级数求和与求积的应用
数值计算：用于求解复杂函数的数值解 微积分：用于求解微积分中的积分问题 概率论：用于求解概率论中的期望和方差问题 物理：用于求解物理中的微分方程问题
的值
幂级数的导数： 幂级数的导数 也是幂级数， 且其收敛半径 与原幂级数相
同
幂级数的几何意义
幂级数的系数可以表示为函 数在该点附近的导数
幂级数是函数在某点附近的 一种近似表示
幂级数的收敛半径可以表示 为函数在该点附近的最大导
数
幂级数的收敛半径可以表示 为函数在该点附近的最小导
数
幂级数的展开
幂级数的展开式
幂级数在微积 分中具有广泛 的应用，如泰 勒级数、傅里
叶级数等。
幂级数在微积 分中可以用来 近似计算函数 值，如泰勒级 数在数值分析
中的应用。
幂级数在微积 分中可以用来 研究函数的性 质，如傅里叶 级数在信号处 理中的应用。
高等数学：第六讲 幂级数的收敛域
目录
01 幂级数的收敛域的概念 02 幂级数收敛域的求法
幂级数的收敛域的概念
定义1 函数项级数:
函数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x) x I
n1
例
幂函数
xn1 1 x x2 xn1 x R
n1
定义2 幂级数 系数 an xn a0 a1x a2x2 n0
x
3
时，
xn
n0 n 3n
(3)n n0 n 3n
(1) n n0 n
收敛域 [3,3)
收敛
谢谢
对于幂级数 anxn,
n0
如果
lim
n
an1 an
(1)
当0
时，R
1
；
，则
(2) 当 0 时，R ；
(3) 当 时，R 0 .
幂级数收敛域的求法
幂级数 anxn 收敛域的求法： n0
(1) 求收敛半径R ；
(2) 写出收敛区间(R, R) ；
(3) 讨论幂级数在x R 处的敛散性， 并写出收敛域.
n0
对任何点 x : x x0 anxn 发散
n0
x0 0
x0 发散点
阿贝尔定理的解释
以幂级数 xn1 为例，解释阿贝尔定理 n 1
3 2
2 3
2
3
3
2
2
5
1 4 5
1 2
4
0
1 41 5 254
2
收敛半径 R
问题：对于一般的幂级数 anxn，怎样求收敛半径？ n0
收敛半径R的求法
定理2
例题1：
xn
求幂级数 n0 n 3n
幂级数的收敛域
1 1 , a n 2 , a n1 2 ( n 1) n n2 an1 l lim| | lim 1 n ( n 1) 2 n an
yn 2 收敛半径为 r 1. n 1 n
1 n 当y 1时， 2 (1) 12 收敛. n 1 n n 1 n
至于x r处，可能收敛也可能发 散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
定理2
n 对幂级数 a x n ，若 n 0
an1 lim| | l n an
则
(lim an l )
n
n
1 (i) 0 l 时, 此幂级数的收敛半径 r ; l
(ii) l 0 时, 此幂级数的收敛半径 r ;
收敛半径为 r .
收敛域为 R.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
n n 例3、 求 幂 级 数 n 收 域. x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 n 1
解 : an n n ,
n lim n lim n l lim | an | n
n
n
n
n
收敛半径为 r 0.
收敛域为 {0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例4、 求 幂 级 数 ( x 2 ) 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. 2 n 1 n
解：设 x 2 y,
1 1 n n ( x 2 ) y 2 2 n 1 n n 1 n
[a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
则其和函数在I连续可导，且
d d un ( x ) un ( x ). dx n1 n 1 dx
幂级数-PPT
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
幂级数及其收敛性
其中
f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x x 0 ) n +1 (n + 1)!
( ξ 在 x0 与 x 之间 ) .
称为泰勒公式 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x 0 = 0 ,
就得到
f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x n! 2! + rn ( x ) . ②
还要考察函数 f ( x ) = e x 的麦克劳林公式中的余 项 , 因为
⑥ ⑥ ⑥ ⑥
e (θ x ) n + 1 rn ( x ) = x ( n + 1)!
(0 < θ < 1) ,
且θ x≤
θ x < x , 所以 e θ x < e x , 因而有
θ x
x
e e n +1 n +1 rn ( x ) = x x . < ( n + 1)! ( n + 1)!
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = = f ( n ) (0) = 1 .
因此我们可以得到幂级数
1 2 1 n 1 + x + x + + x + . 2! n!
⑥
显然， ∞,+ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (∞ ∞) . 至于级 ∞
数
是否以 f ( x ) = e x 为和函数 , 收敛于 f ( x ) = e x ,
∞
n=0
∑1
∞
, 它是发散的 ;
当x = 4时，幂级数 化为∑ ( 1) n , 也是发散的 .
求幂级数的收敛区间
求幂级数的收敛区间
分成两个幂级数，分别求收敛半径，取半径小的，计算收敛区间，把e代入f(x)
得到f(x)＝1－1＋k＝k，先凑微分，再用分部积分法。
过程如下图：
幂级数是一类重要的函数项级数，讨论它的收敛域是这部分学习的一个重点，而求收敛域最关键的是求它的收敛半径。
虽然所有教材给出了求幂级数收敛半径的方法，但有一定的局限性：
1、当考虑的幂级数不是完全幂级数时不可直接使用；
2、设定理的条件仅是充分的的情况下。
扩展材料：
求幂级数的收敛域方法：
1、首先求幂级数的收敛半径R；。
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作变换： x x0 t
aaxt
n n 0 0 nn
2014-5-31
nn
a a a a x t a2 tx a a t x (2 () 2) 00 11 nn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ22 nn
2
问题：幂级数的收敛域是怎样的？
xn [例1] 求 的收敛域. n 1 n!
( n 0, 1, 2,)
n n 0
于是,由优级数判别法知, 级数 an x 在[ b, b]上一致收敛.
2014-5-31 25
定理2：（和函数的连续性）
若幂级数 an x 的收敛半径 R 0,
n n 0
则和函数 S ( x ) an x 在收敛区间
n n 0
2 2
lim un ( x ) 0
n
级数发散
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1 1 故, 级数的收敛域为 ( , ) 2 2
23
2
二、幂级数的解析性质
定理1：（内闭一致收敛性）
若幂级数 a n x n 的收敛半径 R 0, 则
n 0
对任意实数 b, 0 b R, 幂级数 a n x
x1
x M x1
n
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x 因为当 x x1 时, 等比级数 M x1 n 0 所以, 级数 an x n 绝对收敛
n 0
n
收敛
10
第二部分证明用反证法 假设有一点 x0 , 满足 x0 x2 ,而使级数
a x 收敛. 绝对收敛 , 从而收敛 ,矛盾!
n 0 n n 0
则
(1) 当0 时, ( 2) 当 0 时, ( 3) 当 时,
R
1
；
R ； R 0.
19
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( 2) n [例4] 求幂级数 x 的收敛域. n n 1
n
an1 ( 2 ) n 2n lim lim 2 [解] nlim n a n n 1 n n 1 ( 2) n
[解] 当x 0时, 级数收敛;
当x 0时,
n
lim
un1 ( x ) un ( x )
lim
x n1
n
01
由达朗贝尔判别法知 , 级数收敛
故 , 级数收敛域为 ( , ) 2014-5-31
3
[例2] 求 ( n! ) x 的收敛域.
n n 1
n 0
因为R是E的上确界, 所以x2必是发散点 ,
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于是, 幂级数 an x 在点x处发散.
n n 0
16
问题： 怎样求幂级数的收敛半径?
设有幂级数 an x n ,
n 0
记 un an x n
an1 x n1 an 1 li m x n a n
n n 0
17
如果0 , 就有 1 当 x 时, 幂级数 an x n 收敛; n 0
当x 1
时, 幂级数 an x n 发散.
1
n 0
如果 0, 则x ( , ), 都有 x 0 1,
级数收敛, 即收敛半径 R .
发散
12
定理2：如果幂级数 a n x 既有非零
n n 0
收敛点, 又有发散点, 则必存在唯一 确定的正数 R 0, 使得 (1) 当 x R时, 幂级数 a n x 绝对收敛;
n n 0
( 2) 当 x R时, 幂级数 a n x 发散.
n n 0
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n1
1 1 收敛区间 ( , ) 2 2 1 1 当x 时, 级数 发散 2 n 1 n 考察端点 1 n 1 当x 时, 级数 ( 1) 收敛 2 n n 1 1 1 所以, 幂级数的收敛域为 ( , ] 20 2014-5-31 2 2
1 收敛半径 R , 2
n 0
n
在闭区间[ b, b] 上一致收敛.
b
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R
一致收敛
o
b
R
24
[证] 因为0 b R, 所以由阿贝尔定理知 ,
幂级数 an b 绝对收敛.
n n 0
又当x [b, b]时, 有
an x an x an b anb
n n n n
n 0
n
x 绝对收敛 绝对收敛 ; 若幂级数 a n x 在点
n n n 0
x2 ( 0)处发散, 则对满足不等式 x x x2 2 的一切点 x , 幂级数 an x 发散 发散 .
n
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n 0
7
发散
绝对收敛
发散
x2 x1
o
x1
x2
x
在 X2 发散
un1 ( x ) 考察 li m li m n n u ( x ) n a x n n
若
an1 lim , 则由达朗贝尔判别法知 n a n
当 x 1时, 幂级数 an x 收敛;
n n 0
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当 x 1时, 幂级数 an x 发散.
定义 (幂级数的收敛半径、收敛区间)
R称为幂级数 an x 的收敛半径 收敛半径 .
n
区间 ( R, R)称为幂级数 an x 的
n n 0
n 0
收敛区间 收敛区间.
[注意] : 在端点 x R处, 幂级数
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a
n 0
n
x 的收敛性要另行讨论.
14
n
n
当x 1时, 级数收敛 n (1) 当x 1时, 级数为 收敛 n n 1 1 当x 1时, 级数为 发散 n 1 n
故, 级数收敛域为 [1, 1)
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问题： 由以上三个例题 [小结 ] 由以上三个例子可见, 幂级数 可以看出，幂级数的收敛域 是怎样的？
因此, 收敛半径R
如果 , 如何? x 0, 级数都发散! 仅在点 x 0 处收敛 , 可以说 , 收敛半径 R 0 . 2014-5-31 18
定理3： (收敛半径的计算公式 )
设幂级数 an x 的相邻两项系数
n n 0
之比满足
an1 lim n a n
[例6] 求幂级数 x 2 x 2 x 2
3 2 5
n1
x
2 n 1
的收敛域.
[解] 问: 这个幂级数有什麽特点 ？ 缺项!
利用达朗贝尔判别法
un 1 ( x ) 2 n x 2 n1 2 2 lim lim n 1 2 n 1 lim 2 x 2 x n u ( x ) n 2 n x n
n
9
[证] 设 an x n在点x1 ( 0)处收敛
n 即, 数项级数 an x1 收敛, 故有 li man x1 0 n
n 0
因而, 数列{a x } 有界,即存在M 0, 使得
an x M
n 1
n 0 n 1 n
n
( n 0, 1, 2, )
n
于是, 有 a x n a x n x n n 1
x R
lim an x an R
n n 0 n 0
n x R
又因为x0 是( R, R)内的任意一点 , 所以 S ( x )在( R, R)内连续.
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[推论] 若幂级数 a n x n的收敛半径
n 0
R 0, 且在x R(或R )处收敛, 则和函数S ( x )在x R(或R )处 右连续(或左连续).即
则由前一部分的证明知 , 级数 an x2 n
n 0
所以, 对满足不等式 x x2 的一切点 x , 幂级数 an x 发散.
n
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n 0
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问题： 由阿贝尔定理看， 幂级数的收敛域有何特点？
发散
R
x2 x1
绝对收敛
发散
R
o
绝对收敛
x1
x2
x
发散
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( R, R)内连续.
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[证] 任取x0 ( R, R ),即 x0 R, 则必存在
b 0, 使得 x0 b R
由内闭一致收敛性知 , 幂级数 an x 在
n n 0
[ b, b]上一致收敛.
再由一致收敛级数的性 质知, 幂级数的 和S ( x )在[b, b]上连续, 从而在点x0处连续.
第二讲 幂级数（一）
—— 幂级数收敛域
一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的解析性质
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一、幂级数及其收敛性
什麽叫幂级数？
每一项都是幂函数的函数项级数
n 2 n a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) (1) n 0 0 1 0 2 0 n 0 n 0
的收敛域有以下三种情形:
(1) 收敛域为整个实数集; (2) 收敛域为一个单点集;
(3) 收敛域为一个有穷区间.
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