3.1.1变化率问题

极限
（数学术语）
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“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A
不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。

此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

极限思想
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简介
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计
极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。

“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。

例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。

为此，人们先在小的时间间隔范围内用“匀速”计算方法代替“变速”状态的计算，求其平均速度，把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”，是借助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。

曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。

善于利用这种对立统一关系，是处理数学问题的重要手段之一。

用直线构成的图形的面积易求；但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能准确地解决的。

古人刘徽用“”圆内接多边形逼近圆面积”；人们用“变形为矩形的面积”来逼近曲边梯形的面积，等等，都是借助于极限的思想方法，从直线形来起步认识曲线形问题的解答。

无限逼近“真实值”（结论完全没有误差）思想，在数学研究工作中起着重要作用。

例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。

人们不断地让其边数加倍增加，经过无限过程之后，多边形就“变”成一个与真实的圆面积相差不大的“假圆”，每一步“边数增加的变化”都可以使用原来的‘常量公式累计，得到越来越靠近真实值的“圆面积”，圆的边上的‘越来越多的新的小的三角形底边，变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形，其长边的总和的极限等于“圆周长的一半”与半径的乘积计算得到圆面积（就是极限概念的应用），趋势极限，愈来愈逼近圆面积。

这就是借助于极限的思想方法，化繁为简’解决求圆面积问题，其他问题思维方法一样。

用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用‘低等数学思维的常量思维建立某一个函数（计算公式），再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变量的极限求出，就可以解决问题了。

这种“恒等”转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的重要诀窍。

前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积方法”，分别是相应的“无穷级数之趋近数值”、“瞬时速度”、“求圆面积”的最为精确的近似值的办法，用极限思想，可得到相应的无比精确的结论值。

这都是借助于极限的思想方法，人们用‘无限地逼近’也可以实现精密计算结果’，用此新方法——微积分的极限思维，可满意地解决‘直接用常量办法计算有变化量的函数但无现成公式可用，所以计算结果误差大’的问题。

函数极限
自变量趋近有限值时函数的极限：
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任定义：设函数f(x)在点x
意给定的正数ε，都，使不等式在时恒成立，那么常数就叫做函数当时的极限，记作。

[1] [2] 如果函数当时不以a为极限，则存在某个正数ε，对于任何正数δ当时，。

（解释：当时收敛于，我们一定
时，与极限的差距小于任意小的指定误差。

而当
能证明x足够接近x
的距离有多近，f(x)与a的差距都时不收敛于，我们就能证明无论x与x
无法小于指定的某个误差。

）
函数的左右极限：
1：如果当从点的左侧（即）无限趋近于时，函数无限趋数，就说是函数在点处的左极限，记作。

2:如果当x从点右侧（即）无限趋近于点时，函数无限趋于常数，就说是函数在点处的右极限，记作。

两个重要极限：
1、
2、
或
（其中
是一个无理数，也就是自然对数的底数）运算法则：
设
，
存在，且令
，则有以下运算法则：
线性运算：
加减：
数乘：
（其中c是一个常数）
非线性运算：
乘除：
( 其中B≠0 )
幂运算：。