排列与组合(自)PPT文档资料

排列与组合
风子编辑
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从慈溪到宁波要新建一条铁路，在铁路沿线会设4个站，你认为铁路公司应该设计多少种车票呢？又有 多少种票价？
我们用枚举法来试试。四个站分别为：慈溪、龙山、镇海、宁波，采用握手法来做枚举。
慈溪 龙山
慈溪 龙山
同样名称不需要连线，不同名称的车站间需要连线，每条线表示一种车票。
所以，左边的慈溪与右边一列有3条连线，即慈溪出发的车票为慈溪—龙山、 慈溪—镇海、慈溪—宁波；
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方法二：比对法（先找出10个字母组合）
1、符合条件的字母组合有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、 be、cd、ce、de
2、对10个数字根据十位上的数码个数从多到少排序： 33、37、37、37、38、73、77、78、83、87
3、比对1和2，十位上a最多，有4个；b次之，有3个；c 位两个。所以，a=3，b=7，c=8
1、10个两位数中，最多的是3和7Hale Waihona Puke Baidu且十位3比7多一个，说明 最前面的是3
2、33、77的存在，说明这个五位数有两个3和7。
3、78和87、38和83的存在，说明8在五位数的中间
4、有三个37，说明个位上的应该是7
5、所以这个五位数为37837
方法一：数轴法（在一条线上比较数字的现后位置）
3 78
3
镇海 宁波
镇海 宁波
同理，左边的龙山、镇海、宁波分别和右边一列车站也有三条连线，即各有三 种车票；
所以，车票种类为12种。
而两站名称相同，车票的票价也是相同的，即票价是没有方向性的。
排列
指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合
指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
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数字排列问题
因为数字可以重复，2~6号碟子中可以放0~9的任何一 个数字，所以有10种可能；
因此，这样的六位数可以有： 9×10×10×10×10×10=900000
1
2
3
4
1号碟子中不能放0，则可以有3种可能
1号碟子已经放了一个数字，因为不能重复，所以只能 在剩下的三个数字中选择一个，放在2号碟子中。这样， 2号碟子会有3种可能。
【分析】对于这类为问题，我们引入“碟子法”。题目是要用10个数 字，组成不同的六位数，也就是在六个碟子中放入相应的数字。
4、用2、0、1、9这四个数字可以组成多少个没有重复数字的 四位数？
【分析】用“碟子法”，我们需要四个碟子来表示四位数。
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23
4
5
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1号碟子中不能放0，只能放1~9的任何一个数字，所以 有9种可能；
同理，3号、4号碟子分别有2和1种可能。
那么，满足题目要求的四位数有：3×3×2×1=18个
如果数字不允许重复的话，会怎样呢？
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思考：用这四个数字，能组成多少个三位数
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数字排列问题
5、从1~20这20个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们 的和是4的倍数，共有多少不同的取法？
6、由数字0、1、2、9这四个数字，组成的所有非零自然数， 按照从小到大排列，2019排在第几个？
先对1~20这20个自然数根据除以4后的余数进行分类： 1）被4整除的数有：4、8、12、16、20； 2）被4整除余1的数有：1、5、9、13、17； 3）被4整除余2的数有：2、6、10、14、18； 4）被4整除余3的数有：3、7、11、15、19。
可以组成的非零一位数有：3个 可以组成的二位数有：3×3=9个 可以组成的三位数有：3×3×2=18个
【分析】先从题目中抽取出限制条件：1）从1~20中取出两个数字；2） 取出的两个数字的和是4的倍数。
怎样的两个数字之和会是4的倍数呢？只要两个数除以4的余数的 和能被4整除，则这两个数的和就是4的倍数。
【分析】首先需要注意，题目没有要求是几位数，所以先要按位数进 行分类考虑。然后，考虑2019是“2”在千位上的四位数中排在第几 位。
使5个数的和最大，则最高权位的数码尽量大，所以选 9、8、7、6、5；
剩下的5个数码为个位，而个位数码的和影响5个数的和 的奇偶性。而0+1+2+3+4=10，不符合和为奇数的要求。
因此，用十位上最小的奇数与个位上最大的偶数进行交 换，可以符合要求。即4放到十位上，5放到个位上。
所以，这五个数的和为： （4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351
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3、用数字2、2、3可以组成多少个不同的三位数？
【分析】这个题目不同之处是有重复的数字，需要进行讨论。当百位 位3时，只有1种可能了。而百位为2时，剩下3、2在个位、十位，就 有2种可能。合计为3个不同的三位数。
思考：如果1、2、3、3四个数，能组成几个不同的 三位数
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数字排列问题
3、某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位 可以是0~9中任何一个数字，而且不同数字位上的数字可以重 复，那么这个城市最多可以容纳多少部电话？
1、用0、1、2、3、4、……、9这10个数字组成5个两 位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数， 并且尽可能的大，那么这5个两位数的和是多少？
2、用1、2、3、4这四个数字构成一个四位数abcd，要 求：1）a、b、c、d互不相同；2）b比a、d都大，c比a、 d都大，这样的四位数有几个？
【分析】本题有三个条件：1、10个数字组成5个两位数，数字不能重 复；2、5个数字的和最大；3、和为奇数。
. 4、十位上的3还多一个37，所以，d=3，e=7
以“1”为千位的四位数有：1 ×3×2×1=6个 以“2”为千位的四位数中，2019是第一个。
所以，2019在第3+9+18+6+1=37个上。
所以，合计有10+25+10=45种
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数字排列问题
6、一个五位数 abcde 从五个数码中任意取出两个数码，构成
一个两位数（保持数码在原先五位数中的前后顺序），这样 的两位数有10个：37、38、33、37、78、73、77、83、87、37。 则abcde =
三个条件中，我们可以从和最大着手，再进行调整。数相加，我
们可以对不同权位上的数码进行处理，所以可以不考虑是哪5个两位 数，而只需要考虑不同权位上的数字。
【分析】本题提供了两个条件作限制，所以可以指导b、c应该为3、4， a、d为1、2。则b c和a d各有两种可能。所以这样的四位数有2×2=4 种。