2015-2016学年下学期《数学建模与数学实验》期末考查试题

（1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表； （2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解； （3）如果可用排课教室多于 4 个，请修改你的模型并重新求解。 第 6 题 房地产销售问题 我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析 （即数据拟合） ， 并结合 2008 年上半年 可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司 2008 年上半年的销售情况如下表所示： 月 份 1 42 2 32 3 41 4 67 5 25 6 29 销售量（套）
表１ 各公司所需要的货物量 第 3 题 高阶常微分方程模型——饿狼追兔问题 现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西 100 米处，假设兔子与狼同时发现对方并一 起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 是兔子的两倍。 要求： （1）建立狼的运动轨迹微分模型。 （2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。 （3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ （4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ 第 4 题 多元回归模型 设某公司生产的商品在市场一的销售价格为 x1（元/件） 、 用于商品的广告费用为 x 2（万 元） 、销售量为 y （万件）的连续 12 个月的统计数据如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 销售价格 x1 100 90 80 70 70 70 70 65 广告费用 x 2 5.50 6.30 7.20 7.00 6.30 7.35 5.60 7.15 销售量 y 55 70 90 100 90 105 80 110
N 0 101654万人， N m 200000万人。
年 人口 （万） 年 人口 （万）
1982 101654 1991 115823 1983 103008 1992 117171 1984 104357 1993 118517 1985 105851 1994 119850 1986 107507 1995 121121 1987 109300 1996 122389 1988 111026 1997 123626 1989 112704 1998 124810 1990 114333
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售金额成正比。 （3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分 40 年平均摊销， 即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为 48 万元/（40*12）=0.1 万元。 近年以来， 央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格， 但由于对建材需 求结构而言， 总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善， 预计今年建材的价格仍会有一 定的增长。预计的增长速度（以 2007 年 12 月的价格为基准）见下表： 月 份 1 2 3 4 5 6 10% 10% 15% 15% 20% 20% 增长速度 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从 。 2008 年 1 月到 6 月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套 120 平方米计算） （1）如果公司的月建造能力没有限制，并允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在 6 月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？ （2）如果公司的月建造能力限于 33 套（以平均每套 120 平方米计算） ，并且允许期房 （即尚未建好的房屋）销售，但在 6 月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？ 第 7 题 产销问题 某企业主要生产一种手工产品， 在现有的营销策略下， 年初对上半年 6 个月的产品需求 预测如表 1 所示。 表 1. 产品需求预测估计值（件） 月份 预计需求 量 1月 1000 2月 1100 3月 1150 4月 1300 5月 1400 6月 1300
该公司的楼盘 2007 年 12 月的销售均价为 4800 元/平方米，平均每套 120 平方米，2008 年上半年的售价保持不变。2007 年 12 月末尚有 49 套现房未售出。商品房从规划到售出会 发生下列费用： （1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成 本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约 40%） ，按 照 2007 年 12 月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套 120 平方米计算）的平方成正比，比例系数为 0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如 建材价格上涨 10%，则可变成本是按前面方法计算结果的 1.1 倍。 （2）销售费用，与当月销
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载费用分别为 0.2，0.4，0.7 元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2) 当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时， 分析运输调度的难度所在， 给出你的解决问 题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图１ 唯一的运输路线图和里程数 公司 材料 A B C ① 4 1 5 ② 1 5 2 ③ 2 0 4 ④ 3 1 2 ⑤ 1 2 4 ⑥ 0 4 3 ⑦ 2 2 5 ⑧ 5 3 1
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9 10 11 12 要求：
60 60 55 50
7.50 6.90 7.15 6.50
125 115 130 130
（1）选择恰当的模型，建立销售量 y 关于销售价格 x1 和广告费用 x2 的关系模型。并利 用 MATLAB 画出曲线图形。 （2）设第 13 个月将该商品的销售价格定为 80 元/件，广告费用为 7 万元，预计该商品 的销售量将是多少？并对其作统计上的误差分析。 第 5 题 课程安排优化问题 某年级学生共分四个班， 现需要为其安排下学期课程表 （课程开设及任课教师情况见表 1） ，具体要求如下： 1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节 连上； 2、可用排课教室数为 3 个（D1、D2、D3） ； 3、同一课程两次课之间至少相隔一天； 4、每位教师每天上课不超过四节； 5、周四下午全校政治学习，不安排上课。 表 1： 课程 B1 B2 B3 B4 B5 周学时 4 4 6 2 4 班级 A1 A1 A1 A1 A1 教师 C1 C2 C3 C5 C5 班级 A2 A2 A2 A2 A2 教师 C1 C2 C3 C6 C6 班级 A3 A3 A3 A3 A3 教师 C1 C2 C4 C5 C5 班级 A4 A4 A4 A4 A4 教师 C1 C2 C4 C6 C6
《数学建模与数学实验》考查方案
教学部门 教学班级 考查时间 数学学院 13 级信息与计算科学班 20 周 课程名称 数学建模与数学实验
一、简答题： （30 分） 通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模的认识，学习《数学建模 与数学实验》课程的收获。 二、建模题：（70 分）（任选一题） 第 1 题 一阶常微分方程模型——人口模型与预测 下表列出了中国 1982-1998 年的人口统计数据，取 1982 年为起始年（ t 0 ） ，
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备注： 建模题要求严格按照数学建模的步骤来写论文； 建模题最少写 5 页， 正文统一用小四号 宋体，1.5 倍行距，一级标题用四号加粗宋体，题目用三号加粗宋体。 交卷形式：纸质文档和电子文档； 交卷时间：第 20 周最后一堂课前上交，过时没交答卷的同学做缺考处理；. 注：如有答卷雷同，则同时计 0 分，如查实为抄袭网上已有论文计 0 分。 论文的要求: 论文基本内容和格式大致分三大部分： 一、标题、摘要部分 1.题目：应写出较确切的题目，根据所写论文自拟标题；(不能只写第 1 题、第 2 题等) 2.摘要(含关键词)200 字左右，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果； 二、正文 正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。 必须包括以下部分: 1．问题分析 2．模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键) 3．符号说明 4．模型建立与求解(必要时包括计算方法设计及计算机实现（MATLAB）) 5．结果分析与检验(简述) 6．讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述) 7．参考文献（参考文献要在论文中引用） 参考文献在正文引用处用方括号标示参考文献的编号， 如[1][3]等， 引用书籍还必须指 出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销 方案； （2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为 220 元/ 件时，则接下来的两个月中 6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四 月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销 规划方案。 第 8 题 自命题 要求是自己感兴趣的题，有一定的难度和一定的现实意义。注：严禁网上直接拷贝。
要求： （1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）建立中国人口的 Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （3）利用 MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲 线。 （4）利用 MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 第 2 题 送货模型 某地区有 8 个公司(如图一编号①至⑧)， 某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原 材料 A,B,C 从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。 路线是唯一的双向道路(如图１)。 货运公 司现有一种载重 6 吨的运输车，派车有固定成本 20 元/辆，从港口出车有固定成本为 10 元 /车次(车辆每出动一次为一车次)。 每辆车平均需要用 15 分钟的时间装车， 到每个公司卸车 时间平均为 10 分钟， 运输车平均速度为 60 公里／小时(不考虑塞车现象)， 每日工作不超过 8 小时。运输车载重运费 1.8 元/吨公里，运输车空载费用 0.4 元/公里。一个单位的原材料 A,B,C 分别毛重 4 吨、3 吨、1 吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在 上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足 各公司当天的需求量(见表１)。 要求： 1、货运公司派出运输车 6 辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头， 应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。 2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应 如何调度？ 3、(1)如果有载重量为 4 吨、6 吨、8 吨三种运输车，载重运费都是 1.8 元/吨公里，空
1 月初工人数为 10 人，工人每月工作 21 天，每天工作 8 小时，按规定，工人每个月加班时 间不得超过 10 个小时。1 月初的库存量为 200 台。产品的销售价格为 240 元/件。该产品的 销售特点是， 如果当月的需求不能得到满足， 顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满 足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6 月末的库存为 0（不允 许缺货） 。各种成本费用如表 2 所示。 表 2. 产品各项成本费用 原材料成本 100 元/件 解聘费用 100 元/人 库存成本 10 元/件/月 产品加工时间 1.6 小时/件 缺货损失 20 元/件/月 工人正常工资 12 元/小时/人 外包成本 200 元/件 工人加班工资 18 元/小时/人 培训费用 50 元/人
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