高等数学C1-期末考试卷-A-(答案)

5

一、 单项选择题

1. D （解释：，

2. A （解释：

在

处连续

，所以

必须存在，

也就是

在

处有定义。）

3.

B （解释：

，可以这样理解：

。）

4. C

，见书P90。）

5. D

就是

，定积分

是一个常数，

所以它的导数为0。

，

。

二、

填空题

1. 解：由的定义，

在

处连续，是指：

，也就是：

2. 解：先回顾导数的定义

看作

，那么原极限可以变为：

计算两部分的极限，其中

所以答案为：。

3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在

处的导数（也就是切线斜率），法

线的导数是切线斜率的负倒数。

在点

出导数

，代入

，

得到，所以法线的斜率为

。

4. 解：函数

的正负变化情况

所以极大值：

。5. 解：此题可先计算不定积分

计算定积分：

5

三、求解下列各题

1.解：

2.解：

3.解：

4.解：

5.解：先对原等式两侧求微分，得到：

整理后得到

再计算

即：，代入，并代入点

得到：

6.解：

5

5

7.解：可以令

，

代换原式得到：

8.解：第一步用凑微分的方法，就是

可知：当为最小

值。

边际成本函数为，代入。

2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。

首先计算：

，

用使上面两式等于0：

1.是垂直渐进线；

2.由可知，是其水平渐进线；

3.无斜渐进线。

3.解：先计算，并作图

曲线的切线斜率为

方程则为，此线过原点，也就是说：代入

，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。

回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为：

但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题

证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道：

所以：，其中，所以.

5