第十五章 量子物理 习题解答

15.13 设描述微观粒子的波函数为ψ ( r , t ) ， 则ψψ
率密度 （或单位体积内出现的概率） ， ψ (r , t ) 应满足的条件是 单值、连续、有限、可归一化 其归一化条件是 Ψ dV = 1 。 分析：见第十五章复习提纲 P.43

，
∫
2
ϕ ( x) = 15.14 已知粒子在一维无限深方势井中运动， 其波函数为：
2
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§15.4 ～15. 7
15.7 根据波尔的氢原子理论，氢原子在 n=5 轨道上的角动量与其在第一激发态的轨道上的 角动量之比为【B】 （A）5； （D）5/4。 h 分析：根据波尔的氢原子理论，氢原子的轨道角动量 L = n ，第一激发态（n=2） ，由题 2π 意可得答案 B。 15.8 关于不确定关系 ∆X∆Px ≥ ，下面说法中正确的是： 【D】 （B）5/2； （C）5/3；
§15.8～15. 9
15.12 提出概率波遵循的动力学方程的科学家是【C】 （A）海森堡； （B）德布罗意； （C）薛定谔； （D）玻恩。
分析：量子力学中描述微观粒子运动状态的方程为薛定谔方程。其解为描述微观粒子运动 的概率波波函数。
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∗
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2 = ψ 表示 t 时刻粒子出现在 r 处的概
h 2mkT
； （B）
h 3mkT
； （C）
h 5mkT
； （D）
h 6mkT
。
分析：氢原子为单原子，其平动自由度为 3，根据能量均分定理可知平均平动能 Ek = 动量 p 2 = ( mv )2 =
3 kT ， 2
1 2 h mv ⋅ 2m = Ek ⋅ 2m ，德布罗意波长 λ = = p 2
h Ek ⋅ 2 m
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E1 13.6 = − 2 ev ，则需要吸收的能量为： 2 n n
1 ) ≤ 12.9eV ，得 n ≤ 4.4 ，由此可知基态氢原子最高可被激发到 n=4 的激 n2
n=4 n=3 n=2
λ32 =
hc hc ≈ 658nm ； λ42 = ≈ 488nm 。 E3 - E2 E4 - E2
n=1
2 2
（ m0 = 9.11× 10 −31 kg ，单位换算 1eV = 1.6 × 10 −19 J ） ≈ 5.2 × 10 −10 m 。
3
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讨 论 ： 本 题 电 子 的 动 能 Ek = 5.6eV ≈ 8.96 × 10 −19 J ， 静 止 能 量 E0 = m0c 2 ≈ 8.2 × 10 −14 J ， 即光电子的速度较真空光速小， 可以近似用非相对论的动能和动量关系 Ek = p 2 2m 0 ， Ek << E0 ， 得λ = h = p h Ek ⋅ 2m0 ≈ 5.2 × 10 −10 m 。注意与题 15.6 的不同！
按量子力学理论，当氢原子中电子的轨道角动量 L= 6 时，其角量子数为 2 ；轨
± ， ± 2（其中 = h 2π） 道角动量在外磁场方向的投影 Lz 可能取的各个值为 0， 。 分析：见第十五章复习提纲 P.57 例题
15.16 主量子数 n=4 的量子态中，角量子数 l 的取值可能为 0,1,2,3 ；磁量子数 ml 的可能取 值为 0， ± 1， ± 2， ±3 。 分析：见第十五章复习提纲 P.59
则粒子在 x=a/6 处出现的概率密度为： 【A】 （A）1/2a； （B）1/3a； （C）1/4a； （D）1/5a。
1 3π cos x （-a< x < a ） a 2a
2 分析：概率密度 P =| ϕ ( x ) | =
1 3π cos 2 x ，代入粒子坐标可得答案 A a 2a
15.15
λ
−W =
6.63 × 10 −34 × 3 × 108 eV − 5.4eV ≈ 0.8ev 。 200 × 10 − 9 × 1.6 × 10 −19
（注意 hν 的单位为焦耳（J） ，需进行单位换算（2）遏止电压 U 0 = Ek 0.8eV = = 0.8V e e
15.11
用动能为 12.9ev 的电子轰击基态氢原子，试问： （1）氢原子最高将被激发到哪个能
级？（2）受到激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出哪些谱线（在能级图上画出）？其中属于 巴耳末线系的有几条？其波长各为多少？ 解： （1）设基态氢原子能被激发到能级 En， E n = ∆E = En − E1 = 13.6( 1 − 发态。 （2）可能发出的谱线一共有 6 条，如图所示，其中属于巴耳末系（从各激发态向第一激发 态 n=2 的跃迁）的有两条，如图中虚线所示（见第十五章复习提纲 P.34 图） 。 n=1: E1 = −13.6ev E1 = −3.4ev ≈ −5.44 × 10 −19 J n=2: E2 = 2 2 E1 n=3: E3 = 2 = −1.51ev ≈ −2.416 × 10 −19 J 3 E1 n=4: E4 = 2 = −0.85ev ≈ −1.36 × 10 −19 J 4 c hc 跃迁谱线波长 λ = = ，则虚线光谱的波长分别为 ν ∆E
15.3 用频率为 ν 1 和 ν 2 的两种单色光，先后照射某金属表面时均能产生光电效应，若该金 属的截止频率为 ν 0，测得两次照射时的遏止电压为 U a1 = 2 U a 2 ，则 ν 1 和 ν 2 的关系为【C】 （A）ν 1 = ν 2 -ν 0； （B）ν 1 = ν 2 +ν 0； （C）ν 1 =2 ν 2 -ν 0； （D）ν 1 = ν 2 -2ν 0。 1 1 分析：光电效应方程 hν = mv 2 + W ，根据题意可知 W = hν 0 ，电子的初动能 mv 2 = eU 。 2 2 于是得到下面的两个方程： h(ν 1 −ν 0 ) = eU a1 和 h(ν 2 −ν 0 ) = eU a 2 ，两式等号两边分别相除得到 ν 1 −ν 0 U a1 = = 2 ，整理后的答案 C。 ν 2 −ν 0 U a 2
eU 0 hc hc ； （B） λ ≤ ； （C） λ ≤ ； eU 0 eU 0 hc
（D） λ ≥
eU 0 。 hc
1 2 mv + W ，根据题意可知 hν ≥ W = eU 0 ，即能产生光电效应的单 2 c eU 0 色光的频率需满足ν ≥ ，再由 λ = 可求波长 λ 满足的条件。 h ν 分析：光电效应方程 hν =
15.4 光电效应和康普顿效应都包含有光子和电子的相互作用过程。对此，下面几种说法中 正确的是【D】 （A）两种效应中电子和光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律； （B）两种效应都相当于电子和光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的效应； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。 分析：光电效应与康普顿效应的物理本质是相同的，都是个别光子与个别电子的相互作用。 但二者有明显差别。其一，入射光的波长不同。入射光若为可见光或紫外光，表现为光电效应； 若入射光是 X 光，则表现为康普顿效应。其二，光子和电子相互作用的微观机制不同。在光电
λ0
−
1
λ
) ≈ 3.85 × 10 −15 J ；
根据狭义相对论 ( mc 2 )2 = p 2c 2 + ( m0c 2 )2 ，且 mc 2 = Ek + m0c 2 Ek 2 + 2m0c 2 Ek c ≈ 8.5 × 10 − 23 kg ⋅ m / s
则反冲电子的动量为 p =
计算中取电子静质量 m0 = 9.11× 10 −31 kg （本题还可根据动量守恒分别求出电子 x 和 y 方向的分动量，由矢量合成求解总动量，过程略）
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§15.1 ～15. 3
则其辐出度提高 15 倍， 其辐射谱峰值波长减少 0.5 倍。 15.1 若某黑体的温度 T 提高一倍， 分析：见第十五章复习提纲 P.6“斯特藩-玻耳兹曼定律”和“维恩位移定律” 。 总辐出度与温度的四次方成正比， 因此温度 T 提高一倍 （变为 2T） ， 辐出度变为 24=16M(T)， 即提高了 15 倍；而辐射谱峰值波长与温度成反比，温度 T 提高一倍（变为 2T） ，峰值波长 λ 变 为 1/2 λ ，减少了 0.5 倍。 15.2 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出功电势为 U0（使电 子从金属表面逸出需做功 e U0） ，则此单色光的波长 λ 必须满足【B】 （A） λ ≥
15.17 一电子被限制在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为
φ2 ( x) =
2 2π sin x, (0 < x < a ) a a
求： （1）出现粒子概率最大处的坐标； （2）出现粒子概率为零处的坐标。 解：概率密度 ϕ 2 ( x)
2
=
2 2 2πx sin , (0 < x < a ) ，根据题意得 a a
注意：动能 Ek = p 2 2m 同样适用于非相对论性的微观粒子（低速运动） 。
15.10 能量为 19.2ev 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离并发射一个光电子， 求此光电子的德布罗意波长。 解：处于基态的氢原子能量 E1 = −13.6eV （基态能量，电离能） 。当处于基态的氢原子中的 电子吸收光子全部能量后，飞出原子具有的初动能为 Ek = 19.2eV − 13.6eV = 5.6eV ，根据狭义相 对论 ( mc 2 )2 = p 2c 2 + ( m0c 2 )2 ，且 mc 2 = Ek + m0c 2 ，得到 p = Ek 2 + 2m0c 2 Ek c 。于是德布罗意 波长 λ = h = p hc Ek + 2m0c Ek