第11章 系统的稳定性分析图文

U1(s) R=1
R=1 U4(s)
U2(s)
稳定条件为3-K>0,即K取值范围为K<3（例如K=2）时，求出留数r、极点p， 程序如下：
b=[0 0 2];a=[1 1 1];
U3(s)
K 1/s
[r,p,k] = residue (b,a)
(b)
pzmap(b,a);
figure(2);
impulse(b,a);
-0.5000 有一个极点(-2)在单位圆外，所以系统不稳定，如图11-1-7所示。
k=4
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图11-1-7有一个极点在单位圆外
X
11.1.3控制系统的稳定性
第 8
页
线性自动控制系统一般是闭环的反馈系统，比普通的线性系统更复杂，因此研 究线性自动控制系统的稳定性更有代表意义。
控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负 载和电源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在 这些任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。如果在 扰动消失后，系统不能恢复到原来的平衡工作状态（即系统不稳定），则系统是无 法工作的。
title('k=10')
该控制系统的极点分布图，如图11-1-8所示。k=2时，闭环极点全部在s平 面左半平面，所以系统稳定。k=10时，闭环极点不是全部在s平面左半 平面，所以系统不稳定。
X
11.1.4 最小相位系统
第 10
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最小相位系统是一类最普遍的系统，其重要特征在于：幅频特性与相频特 性有确定的关系。因此，在利用对数频率特性对最小相位系统进行分析或综 合时，常常只需画出和利用对数幅频特性曲线，而可以以省略相频特性作图。
与一般线性系统一样，线性控制系统同样分为连续系统和离散系统，其稳定性条件和 判断方法也同样分为时域和频域。
X
例11-1-4 用极点分布图判断控制系统稳定特性
第
9
页
一个控制系统结构图如图11-1-7所示，利用函数pzmap(num,den)计算极点 分布，试分别确定k=2，k=10时系统的稳定性。
图11-1-7 控制系统结构图 解：程序如下。
（2）若极点位于s右半平面，系统属于不稳定系统。 若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点(n≥2)，系统也属于不稳定系统。 （3）若单极点位于虚轴上（包括原点），系统属于临界稳定系统。
函数pzmap(num,den) ：绘出零极点在s平面上的位置，以图形可视方式显示系统的稳定性。
X
例11-1-1放大器电路的稳定性分析
运用前面的程序运行，可知极点位于右半平面上，具有共轭极点：
r=
图11-1-4 指数衰减波
0 - 2.3094i
0 + 2.3094i
p=
0.5000 + 0.8660i
0.5000 - 0.8660i
k = []
即极点 p1,2 0.5000
其单位冲激响应为：
0.8660
j
1 2
3j 2
h(t) 2 * 2.3094 et / 2 sin( 3 t) (t)
在离散系统中，系统的稳定条件同样分为时域和频域：
（1）时域：离散系统：稳定的充分必要条件是冲激响h(n)应绝对可和，即
| h(n) |
n
（11.1.2）
（2）频域：当H(z)的收敛域包括单位圆时（|z|=1），则系统稳定。即，如果系统是稳定的因果系
统，则系统函数H(z)的收敛域为： r z ,
11.1 零极点分布与LTI系统的稳定性
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稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与初始条件无关，与外
来输入信号（输入、输出信号）无关，只与系统函数的极点有关，与零点无关。任何系统要正确 处理输入信号，都必须以系统稳定为先决条件。所以，系统的稳定性判断是十分重要的。稳定性 也是控制系统的重要性能，是控制系统能够正常运行的首要条件。
dz=[0,-1,-2];do=poly(dz);k1=[2];
[nc1,dc1]=cloop(k1,do);
subplot(2,1,1)
pzmap(nc1,dc1);
title('k=2') k2=[10];
[nc2,dc2]=cloop(k2,do);
subplot(2,1,2)
pzmap(nc2,dc2);
则系统是稳定的。
X
例 11-1-3 判断因果系统的稳定性
因果系统的系统函数如下，试说明这些系统是否稳定?
（1） 解： H (z) z 2
8z2 2z 3
（2）
8(1 z 1 z 2 ) H(z)
2 5z 1 2z 2
（1）将系统函数转变为标准形式，即： 零极点分布图实现程序如下：
第11章 系统的稳定性分析
本章讨论LTI系统的稳定性分析，适合于一 般LTI系统，也适合于LTI控制系统。
在控制理论中，控制系统的稳定性分析经 常使用几种间接分析方法，如劳斯判据、赫尔 维斯判据和奈奎斯特判据等。而在MATLAB中， 采用直接方法，使分析非常简单、方便，本章 从时域和频域两个方面分析系统稳定性。
r=
0 - 1.5000i
0 + 1.5000i
p=
0 + 1.0000i
0 - 1.0000i
k = []
，系统临界稳定。
h(t) 2 *1.5sin(t) U (t) 3sin(t) U (t)
（5）K>3时，例如K=4，则
H(s)
4 s2s 1
，即a=[1 -1 1]，b=[0 0
4]。
(2(1ss)U)U34((ss))UU1
(s) sU 3(s) 0
2
(s)
U
4
(s)
0
1/s (a)
（1）由s域电路模型，可列方程为：
U 2 (s) KU 4 (s)
1/s
所以，
H (s) U2 (s)
K
U1 (s) s 2 (3 K )s 1
（2）欲使该电路为一个稳定系统，则3-K=0，即临界稳定条件为K=3，
只要考察系统的零极点分布，就可以判断系统稳定性。
➢ 对于一般系统，系统稳定性定义
可概括、等效为下列时域或频域条件：
➢ 对于连续时间系统，如果闭环极
点全部在s平面左半平面，或者说系统
特征方程的根（即传递函数的极点）全
为负实数或具有负实部的共轭复根，则
系统是稳定的。对于离散时间系统，如
果Байду номын сангаас统全部极点都位于z平面的单位圆内，
r = 0 - 1.1547i
0 + 1.1547i
p=
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
k = []
图11-1-2极点p位于左半平面
可见极点p位于左半平面，系统稳定，如图11-1-2所示。具有一对共轭复数根 r1 , r2 。
写成复函数的形式：
h(t) [r1e i t r2e i t ]
0 r 1
（11.1.3）
系统稳定时，系统函数的收敛域是在圆外区域，并一定包含单位圆，系统函数的极点不能位 于单位圆上。
因此因果系统稳定的条件是：系统函数的极点应集中在单位圆内。
对于非因果系统，收敛域并不在圆外区域，极点不限于单位圆内。
连续系统和离散系统稳定性的比较如表11-1所示。
注意：不论是在时域或频域，这两个条件是等价的，系统的稳定性由极点的分布决定，而零点不 影响稳定性。
第
r= 0 1
4
p = -1 -1
页
k = []
系统具有2重极点p=-1，位于左半平面，系统稳定。
即单位冲激响应为指数衰减波，如图11-1-4所示。
h(t) (0 1* t)et (t) tet (t)
（4）K=3时，
3 H (s) s21
，即
a=[1 0 1]，b=[0 0 3]。
运用前面的程序运行，可知极点位于虚轴上，单位冲激响应为正弦波：
k = 0.1250
（2）系统函数可整理为z的降幂形式：
8z2 8z 8
>> B=[8 -8 -8]; >> A=[2 5 2];
H(z) 2z2 5z 2
>> [z,p,k] = tf2zpk(B,A)
>> zplane(B,A)
z=
-0.6180
1.6180
p=
-2.0000
图11-1-6极点都在单位圆内
可求出极点为：p1,2
3 2
(3)2 2 k 2
要使系统稳定，极点应在左半开平面，则：
3 (3)2 2 k 22
即当
(3)2 2 k (3)2
2
2
，即k>2时，系统稳定。
X(s) +
k H1(s)
G(s)
Y(s)
图11-1-5 带反馈的系统
X
11.1.2离散系统的稳定条件
第 6
页
稳定是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能。因此，分 析系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。
控制系统稳定的基本概念：
设系统处于某一起始的平衡状态。如果系统受扰动后，在外作用的影响下， 离开了该平衡状态。当外扰动作用消失后，如果系统经过足够长的时间又能回复到 原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。反之，若在初始扰动的影响 下，系统的动态过程随时间的推移而发散，不能逐渐恢复到原来的工作状态，则称 系统不稳定。可见，稳定性是系统在去掉扰动以后，自身具有的一种恢复能力，所 以是系统的一种固有特性。这种特性只取决于系统的结构、参数而与初始条件及外 作用无关。