三角形内角和定理(第2课时) 教学设计

第七章平行线的证明

5．三角形内角和定理（第2课时）

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础．

活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．

二、教学任务分析

在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

1.掌握三角形外角的两条性质；

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．

3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上．

(2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

②两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：

推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例1、已知：∠BAF ，∠CBD ，∠ACE 是△ABC 的三个外角．

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．

证明：(略)．

例2、已知：D 是AB 上一点,E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，

∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

第三环节：课堂练习 活动内容：

① 已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ．求证：AD ∥BC 分析：要证明AD ∥BC ,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE =∠B .

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠B =2

1∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAE =21

∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAE =∠B （等量代换）

∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？

B

A

C

D

E

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =2

1∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）

∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAC =∠C （等量代换）

∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）

∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAC =21∠EAC ∴∠DAC =∠C （等量代换） ∵∠B +∠BAC +∠C =180° ∴∠B +∠BAC +∠DAC =180° 即：∠B +∠DAB =180°

∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）

② 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．

证明：∵∠1是△ABC 的一个外角（已知）

∴∠1>∠ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知）

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质）

A B

C D E

1

F

2