第一章有限差分法 ppt课件

f(x)f(x h )f(x)
lim f'(x)df
f(x)
dx x 0 x
f'(x) f(x)f(xh)f(x)
x
h
4
差分与差商
前向差分
df f(x)f(xh)f(x)
dx x
h
后向差分
df f(x)f(x)f(xh)
dx x
h
中心差分
源自文库
df f(x)f(xh)f(xh)
dx x
2h
2
x2
0
1
20
h2
3
Possion方程五点差分格式
i 1 ,ji 1 ,ji,j 1 i,j 1 4i,j h 2 F i,j
i 1 ,j i 1 ,j i,j 1 i,j 1 4 i,j 0
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不同媒质分界面上的差分格式
L
h3
h1
2 2
j+1
分界面与网格线重合的情况
y0h42(2h 2h4 0()h2h 22h ( 4)40)
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差分格式
(1 0 )(3 0 ) x 0 (h 1 h 3 ) 2 1 ! x 2 2 0 (h 1 2 h 3 2 ) L
二阶偏导数的差分格式
令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达
断误差来计算系数
10 x 0h 12 1 ! x 22 0h 1 2 3 1 ! x 22 0h 1 3 L
10
差分格式
(1 0 )(3 0 ) x 0 (h 1 h 3 ) 2 1 ! x 2 2 0 (h 1 2 h 3 2 ) L
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差分格式
二维Possion方程差分格式
2(x,y)22F(x,y)
2x 2y
有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的 分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式 的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平 面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六 边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划 分，
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型， 有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格 离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来 近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问 题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组 解出各离散点处的待求函数值——离散解。
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1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
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不同媒质分界面上的差分格式
其次，假设在分界面上没有自由电荷
a
a
n
b
b
n
B o u n d a r y :n v ( D v 1 D v 2 ) s
中心差分格式表示
a a 1a 3b b 1 b 3
把前面关于 a 1 和 b 3 式子代入上式
0 1 4 1 2 Kb 12 1 2 K Ka 34 1 K K h 2 F a
忽略h3以上的高次幂的项，并且令 2 / x2 项的系数为零， 这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为 零的条件
h12h32 0hh1322
求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式
x 0(1 0 h 1 ) h (3 3 0 ) h 3 2 (1 h 1 h 0 3 ) (h 1 h 1 2 h ( 3 ) 3 0 )
f (x)
f (x) f (x h)
h
f (x h) 2 f (x) h2
f (x h)
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差分与差商
对偏导数，可仿照上述方法，将表示为：
uu(xh,y,z)u(x,y,z)
x
h
2 u u (x h ,y ,z) 2 u (x ,y ,z) u (x h ,y ,z)
x 2
h 2
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差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶 导数的逼近度可由泰勒公式展开
f(x 0 h )f(x 0) h f'(x 0 ) 2 1 !h 2f''(x 0 ) L
f(x 0 h )f(x 0) h f'(x 0) 2 1 !h 2f''(x 0 ) L
两式相减
f(x 0 h ) f(x 0 h ) 2 h f'(x 0 ) 3 2 !h 3 f'''(x 0 ) L
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差分格式
h3
h1
一阶偏导数差分格式
x
x
0 0
1 0
h1
0 3
h3
O(h2 ) O(h2 )
h2 3
h4 3
i-1
2
2
j+1
0
1
0
1
j
4
4
j-1
i
i+1
可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度， 它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰
勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截
式
h3
h1
代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式
x 2 2 0 2(1 h 0 1 2 ) ( h 3 2 3 0 ) 2 h 3 (1 h 1 h 0 3 ) (h 1 h 1 h ( 3 ) 3 0 )
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差分格式
当 h1 h3 h 时，上式可以简化为
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差分与差商
前向、后向差分截断于h2 f ''(x0)/2! ，具有h的一阶 精度，而中心差分法截断于2h3 f '''(x0)/3!，具有h的 二阶精度，中心差分的精度比较高。
函数f（x）的二阶导数
d2 f dx2
1 x
df dx
x x
df dx
x
前向差分 前向差分
1 h
f (x h) h
h2 3
0
1
j
a 1a 3a 4a 2 4a 0 h 2 F ah4 3 b 1 b 3b 4b 2 4b 0 0 i-1
0
1
4 4
ai
b
i+1
j-1
两式中 a 1 和 b 3 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场
量遵循的边界条件，削去它们
a ib ii
(i 0 ,2 ,4 )
第一章 有限差分法
1
主要内容
一． 差分和差商 二． 有限差分格式 三． 不同媒质分界面上的差分格式及定解
问题的差分格式 四． 有限差分法的求解 五． 场强与电、磁积分量的计算 六． 典型算例分析
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介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年 代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方 法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的 有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点 在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种 数值方法。