2.5龟兔赛跑悖论古希腊哲学家(数学家)Zeno提出关于运动的4个悖论

2． 5 龟兔赛跑悖论

古希腊哲学家(数学家)Zeno 提出关于运动的4个悖论，是针对当时的对时空的两种对立观点：

1. 时空无限可分（故运动是连续的平稳的）；

2. 时空由不可分的小段组成（故运动是不连续的，跳动的，象放电影似的）。 Zeno 的第二悖论：领先者无法被追上。

Zeno 原话：“Achilles （希腊的神行太保）追不上乌龟”。

演绎成如今的“龟兔赛跑悖论”：

设乌龟跑步速度50 m/分，兔子跑步速度100 m/分，乌龟领先100 m ，现赛跑开始。兔子跑了100 m 追到乌龟的领先点，乌龟已经又领先50 m ，兔子再跑了50 m 追到乌龟的第二领先点，乌龟又领先25 m ，如此一直无限追下去，兔子永远追不上乌龟？

Zeno 的上述第二悖论是攻击“时空无限可分”的哲学观点的。

即：若时间无限可分，从而有限时间含无限段，无限段时间无法走完。 或者：若空间（长度）无限可分，从而有限空间含无限段，无限段无法走完。

事实上，兔子追了n 次后，

用时： 11111...2(1)222

n n n t -=+++=-(2)<，2n t →分钟， 行走距离：11001001100...200(1)(200)222

n n n s -=+++=-<，200n s →m 。 将2分钟时段分解成无限段：111{1,,...,,...}22

n -，每时段内追不上。 将200m 长度分解成无限段：1100100{100,,...,,...}22

n -，每段内追不上。 但跨过2分钟时间界限（或跨过200 m 的距离界限），兔子就追上乌龟了。

事实上，有限时间2分钟内可以跨越有限长度200 m 的无限可分的无限段。

Aristotle 在驳斥Zero 时也指出：无限性有两种意义：无限可分与无限宽广。有限时间内是可以接触可分意义上无限的东西。

参考书：《古今数学思想》，第一册，P40－42. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 龟 兔 100m 150m 175m