系统的微分方程
2-1 系统的微分方程
2
式中，F1(t)为阻尼器的阻力，F2(t)为弹簧恢复力， 它们的方向均与位移的方向相反。 由弹簧、阻尼器的特性可得： dy ( t ) F1 (t ) = − f dt F2(t)=–ky(t) 式中 f —阻尼系数, k —弹性系数
8
由输入端开始，按照信号传递顺序列写方程：
di a u a = R a ia + L a + Eb dt dθ m Eb = K b dt M m = C m ia M
m
dθ m d θm = J + f +M 2 dt dt
2
l
式中 Kb为电动机反电势系数，Cm为电动机力矩系数， J为电动机转动惯量。
本例若不考虑负载效应时，有：
第一级 第二级 R R
1
C C
1
du dt
2
c1
+ u + u
c1
= u = u
r
2
du dt
c
c
c1
消去中间变量得：
du c d 2u c R1 C 1 R 2 C 2 + ( R1 C 1 + R 2 C 2 ) + uc = ur 2 dt dt
或 T1 T 2 d 2uc dt 2 du c + (T 1 + T 2 ) + uc = ur dt
7
显然，与前面得到的结果不同。
例2-3 设电枢控制的它激直流电动机如图所示， 若以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角θm为输出量， 试写出该电动机的微分方程。
La Ra
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
3-1.2系统微分方程的建立
[例3]：写出RLC串联电路的微分方程。
L R
解：(1)确定输入输出量
C
ui
i
uo
ui
uo
输入
(2)列写微分方程 di 1 L Ri idt ui ① dt C
输出
(3)消去中间变量
duo iC dt
②
把②代入①，并进行整理得：
d2 d LC 2 uo RC uo uo ui dt dt
// /
y(t ) t 2 y(t ) 6 y(t ) 6
• 线性系统的特点：可以运用叠加原理。 • 叠加原理：系统在几个外加作用下所产生 的响应，等于各个外加作用单独作用的响 应之和
•非线性系统
• 用非线性方程描述的系统称~，它不能使用叠加原理
(t ) x 2 (t ) y
我们来试一下，由上例结果可得： d d u1 R2C 2 uc uc ur R1C1 u1 u1 dt dt 消去中间变量可得：
d2 d R1 R2C1C 2 2 uc ( R1C1 R2C 2 ) uc uc ur dt dt
显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？
在列写电路的微分方程时，必须考虑到后 级电路是否对前级电路产生影响。 例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很 大时，对前级的影响才可以忽略不计。 这种后一级对前一级的影响称为负载效应。
令R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。
这是一个线性定常二阶微分方程。
[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。
i1
R1
i2
C1
R2 C2
问题：
ur
uc
u1
输入 输出
uc
系统微分方程课件
03
系微分方程的用
人口模型
要点一
总结词
人口模型是系统微分方程的一个重要应用，用于描述人口 随时间的变化规律。
要点二
详细描述
人口模型通常采用Malthus模型和Logistic模型等，通过建 立微分方程来描述人口数量的增长或减少趋势。这些模型 可以帮助我们理解人口变化的内在机制，预测未来人口数 量，并制定相应的政策措施。
详细描述
龙格-库塔法通过构造一系列线性方程组来逼近微分方 程的解，具有较高的计算精度和稳定性。该方法适用于 求解各种复杂微分方程，是数值分析中常用的一种方法。
MATLAB在数值解法中的应用
总结词
MATLAB是一种强大的数值计算软件， 可用于求解各种微分方程。
VS
详细描述
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱， 可以方便地求解各种微分方程。通过使用 MATLAB，可以大大简化数值计算的过程， 提高计算效率和精度。同时，MATLAB还 提供了可视化工具，可以直观地展示微分 方程的解和动态过程。
系统微分方程是通过代数和微积分相结合 的方法来描述一个或多个变量随时间变化 的数学模型。它具有连续性、可积性和可 微性等性质，这些性质对于理解和分析微 分方程的解非常重要。
线性与非线性微分方程
总结词
线性微分方程和非线性微分方程是微分方程的两种基本类型，它们在形式和求解方法上 有很大的不同。
详细描述
线性微分方程的特点是方程中未知函数的最高阶导数项与未知函数及其导数项成正比， 而非线性微分方程则不具备这一性质。在形式上，线性微分方程更为简单，但非线性微 分方程更常见于实际问题中。求解方法上，线性微分方程可以使用叠加原理来求解，而
非线性微分方程则需要采用更为复杂的方法。
系统的高阶微分方程描述
x1 0 x 0 2 x ，A xn 1 0 xn an
C [1 0 0 0] 。
其中, A矩阵为友矩阵。
【例1】设系统的微分方程为:
求系统的状态空间表达式。
解 选取
5 13y 7 y 6u y y ,
y y, y, 为状态变量，即 x1 y, x2 y, x3 y
x1 x 2 x x 2 3 x3 7 x1 13x 2 5 x3 6u y x1
则由系统的微分方程得状态空间表达式,即
其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为
则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为
式中
x Ax Bu y Cx
1 0 0 an 1 0 1 0 an 2 0 0 0 0 ，B , 1 0 b a1
数的实现称为最小实现,本节仅讨论最小实现。
下面讨论将级联法、串联法和并联法三种分解
方法用于一般n阶严格有理真分式传递函数 G (s ) 的
实现。
b1 s n 1 b2 s n 2 bn 1 s bn G(s) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
y, y,, y ( n 1) 在这种情况下，不能选用
作为状态变量，否则状态方程中包含有输入信号u 的导数项，它可能导致系统在状态空间中的运动出 现无穷大的跳变。为了避免这种情况的产生，通常
选用输出y和输入u及它们的各阶导数组成状态变量，
以保证状态方程中不含u的导数项。
方法一
设系统微分方程为
请注意式 中状态方程的 系数矩阵A、B 的结构特征(B 中最后一个元 素为1,而其余 元素为零; A为 友矩阵),若单 输入量系统状 态空间表达式 中的A、B具有 这种标准形式, 则称其为状态 空间表达式的 能控标准型。 因此,也称之为 系统的能控标 准型实现。
二阶系统的微分方程
二阶系统的微分方程二阶系统的微分方程是描述二阶线性时不变系统动态行为的数学模型。
在控制系统、电路理论以及机械振动等领域中，二阶系统的微分方程被广泛应用于系统分析与设计。
二阶系统的微分方程可以表示为：\[ m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \frac{{dx}}{{dt}} + kx = u(t) \]其中，\( m \) 是系统的质量，\( c \) 是系统的阻尼系数，\( k \) 是系统的刚度，\( x(t) \) 是系统的位移，\( u(t) \) 是外部施加的力或输入。
在上述微分方程中，第一项表示系统的惯性作用，第二项表示系统的阻尼作用，第三项表示系统的弹性作用，最后一项表示系统的输入。
二阶系统的微分方程可以通过多种方法求解。
其中，常见的方法包括拉普拉斯变换、复频域分析和状态空间分析等。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而方便进行系统的频域分析和控制器设计。
通过复频域分析，可以得到系统的频率响应和稳定性分析等重要信息。
通过状态空间分析，可以将系统表示为一组一阶微分方程的形式，从而方便进行状态观测、状态估计和控制器设计等。
二阶系统的微分方程在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在控制系统中，二阶系统的微分方程可以描述机械振动系统、电路系统和热力系统等。
在机械振动领域中，二阶系统的微分方程可以描述弹簧质量系统或阻尼质量系统的振动特性。
在电路理论中，二阶系统的微分方程可以描述电感电容电阻（LCR）电路的动态行为。
在热力系统中，二阶系统的微分方程可以描述热传导或热辐射的传热过程。
通过对二阶系统的微分方程的分析和求解，可以研究系统的稳定性、动态响应、频率特性以及控制器设计等问题。
在控制系统设计中，常常需要根据系统的要求选择合适的阻尼系数和刚度，以实现系统的稳定性和性能指标的要求。
二阶系统的微分方程是描述二阶线性时不变系统动态行为的重要数学模型。
通过对该微分方程的分析和求解，可以深入理解系统的特性，为系统的分析、设计和控制提供理论基础。
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
列写系统微分方程的步骤
+La la
dia dt
dia dt
+E a C e -电势常数
Cen
（2-1）
电动机机械微分方程
ra Ua
ia
La
+ -
Ea
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
Tnian
Tfu
GD 2 375
dn dt
（2-2）
电动机机械微分方程
若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：
T
解：(1)确定系统输入输出量
输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc.
(2)编写各环节的微分方程
1）比例放大环节
I1 I2 I3 0
假定
R01 R，02有
Ug U f Uk 0 R01 R02 R12
Uk
R12
U (
g
R01
Uf ) R02
R12 (U g U f R01
L
U1 i
U2 C
解：（1）确定电路的输入量和输出量
U1为输入量，U2为输出量
（2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程
U1 UR UL UC
UR Ri
UL
L
di dt
1
U 2 U C C idt
U1
Ri
L
di dt
U2
(1)
U1
(2) (3)
R
L
i
C U2
（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程
得
TaTm
d 2n dt
Tm
dn dt
第一节 系统微分方程
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。
第二章(微分方程)
u1 uR1 uR 2 u2 i R1R1 i R 2R2 u2
d( u R 2 u 2 ) du 2 du 2 i R1 i C2 i R 2 C1 C2 i R 2 i C 2 C2 dt dt dt du 2 d( C 2 R 2 u2 ) du 2 dt C1 C2 dt dt
d( u R 2 u 2 ) du 2 du 2 i R1 i C2 i R 2 C1 C2 i R 2 i C 2 C2 dt dt dt du 2 d( C 2 R 2 u2 ) du 2 dt C1 C2 dt dt
d u2 du2 C1C2R1R 2 2 [(C1 C2 )R1 C2R 2 ] u2 u1 dt dt
2
第二章 物理系统的微分方程
学习要点： 2.能建立系统的微分方程(以R-C电路为例) 【例2】试列图P2-5所示R-C电路微分方程式。u1为输入量， u2为输出量。 uR du C iR iC C R 根据R、C的电流与电压关系 dt 由克希荷夫定律，列出电压方程式：
1 di u 2 i R2 C dt
第二章 自动控制系统的数学模型
学习要点： 2.能建立系统的微分方程(以R-C电路为例) 【例3】试列图P2-4所示R-C电路微分方程式。u1为输入量， u2为输出量。 uR du C iR iC C R 根据R、C的电流与电压关系 dt 由克希荷夫定律，列出电压方程式：
u1 uR1 uR 2 u2 i R1R1 i R 2R2 u2
Ri uo ui
这就是R-C串联电路微分方程式，是一阶微分方 程。
第二章 物理系统的微分方程
学习要点： 2.能建立系统的微分方程(以R-C电路为例) 【例2】试列图P2-5所示R-C电路微分方程式。u1为输入量， u2为输出量。 uR du C iR iC C R 根据R、C的电流与电压关系 dt 由克希荷夫定律，列出电压方程式：
自控理论 2-1系统的微分方程
m( t ) =8)
电机轴上的转矩平衡方 程
J
dn = m − mc dt
( 2 − 9)
(3)从式 (3)从式(2-7) ～(2-9)中消去中间变量 ia 、 ea、 m 从式(2 (2-9)中消去中间变量 并标准化
Ta Tm dm c dn + n = K u ua − K m (Ta + mc ) 2 dt dt dt L 式中：电磁时间常数 Ta = a ; 式中： Ra + Tm
2
t =0
1 1 1 L∫K f (t)(dt) = n F(s) + n [ f (t)dt]t=0 +L+ ∫K f (t)(dt)n ∫ t=0 s ∫ s s
n n
[
]
[
]
(4)实位移定理 (4)实位移定理
L[ f ( t − τ )1( t − τ )] = e −τs F ( s )
(5)复位移定理 (5)复位移定理
§2-1
系统的微分方程
一.微分方程的建立 步骤： 步骤： 1. 确定系统输入、输出； 确定系统输入、输出； 2. 据基本定律列原始方程； 据基本定律列原始方程 列原始方程； 3. 消去中间变量, 得输入、输出微分方程； 消去中间变量, 得输入、输出微分方程； 4. 标准化。 标准化。
【例2-1】 求 RLC 电路的微分方程 电路的微分方程
重根待定系数 a m = F ( s )( s + s1 ) m
a m −1
s = − s1
d = [ F ( s )( s + s1 ) m ] s = − s1 ds
am − j
1 dj [ F ( s )( s + s1 ) m ] s = − s1 = j ! ds j
系统微分方程的(精)
§2.2 系统微分方程的 建立与求解
主要内容
复习求解系统微分方程的经典法
物理系统的模型 微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
求解系统微分方程的经典法
例2-2-3
系统的特征方程为 特征根： 因而对应的齐次解为
例2-2-4
给定微分方程式
如果已知： 方程的特解。
分别求两种情况下此
平衡，试选特解函数式
为使等式两端
将此式代入方程得到
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
联解得到 所以，特解为
(2) 代入方程后有：
这里，B是待定系数。
例2-2-5
四．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
齐经次解典：法由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系
数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
机械位移例系统2-，2其-2质量为m的刚体一端由弹簧
m
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与
刚体运动速度 间的关系可以推导出为
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
第二章动力学系统的微分方程模型
第⼆章动⼒学系统的微分⽅程模型第⼆章：动⼒学系统的微分⽅程模型利⽤计算机进⾏仿真时，⼀般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握⼀定的建⽴数学模型的⽅法。
在动⼒学系统中，⼤多数情况下可以使⽤微分⽅程来表⽰系统的动态特性，也可以通过微分⽅程可以将原来的系统简化为状态⽅程或者差分⽅程模型等。
在这⼀章中，重点介绍建系统动态问题的微分⽅程的基本理论和⽅法。
在实际⼯程中，⼀般把系统分为两种类型，⼀是连续系统；其数学模型⼀般是⾼阶微分⽅程；另⼀种是离散系统，它的数学模型是差分⽅程。
§2.1 动⼒学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或⾓加速度）产⽣单位变化所需要的⼒（或⼒矩）。
惯量（质量）=）加速度（⼒（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）⾓加速度（⼒矩（2/)s rad m N ?2 弹性元件：它在外⼒或外⼒偶作⽤下可以产⽣变形的元件，这种元件可以通过外⼒做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和⾮线性元件，通常等效成⼀弹簧来表⽰。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的⼒与位移成正⽐，⽐例常数为弹簧刚度k 。
x k F ?=这⾥k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性⼒的⽅向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受⼒之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受⼒和弹簧变形之间的关系是⼀⾮线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，⽽不储存能量，可以形象的表⽰为⼀个活塞在⼀个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼⼒通常表⽰为：αxc R = 阻尼⼒的⽅向总是速度⽅向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为⾮线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼⼒表⽰为：||1--=αx xc R 这⾥的“-”表⽰与速度⽅向相反§2.2 动⼒学建模基本定理1 动⼒学普遍定理对于⼤多数⼒学问题，可以使⽤我们熟知的⽜顿动⼒学基本定理来解决，动⼒学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是⽐较直观，针对不同的问题可以选择不同的⼒学定理，在⼀般情况下利⽤普遍定理可以得到⼤多数动⼒学系统的数学模型。
系统的微分方程
ud
ed Cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
M GD2 dn 375 dt
M Cmid
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
GD2 375
Ld CmCe
d2n dt2
GD2 Rd 375CmCe
dn dt
n
ud Ce
令 则得
Td
Ld Rd
,Tm
GD2 375
Rd CmCe
TmTd
d2n dt 2
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合 第(4)步要求的微分方程，则无须第(4)步。
自动控制原理
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
d2 y dy m dt2 f dt Ky F
例1-4 列写直流调速系统的微分方程，如图14所示。
图1-4 直流调速系统
解 （1）确定输入、输出量为Ug n、 。
（2）根据电路、电动机力矩平衡原理 列微分方程
uk K 1(Ug uf )
ud Ksuk
Tm
dn dt
n
ud Ce
例1-3 列出具有质量-弹簧-阻尼器的机械位移 系统的微分方程，如图1-3所示。
图1-3 质量-弹簧-阻尼系统
解 （1）确定输入、输出量为F y、 。
（2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F Fs Ff
d2 y a dt2
Fs Ky dy
Ff f dt
。
通过以上例子，可以归纳出列写微分 方程的一般步骤：
全面分析系统的结构组成及工作原理，确 定系统的输入、输出变量。
从输入端开始，按信号传递遵循的有关规 律列出各元器件的微分方程。
将所有微分方程联立起来，消去中间变量， 求得一个仅含系统的输入、输出变量的微 分方程。
系统微分方程的求解方法有哪些？
【问题】系统微分方程的求解方法有哪些？
【知识点】系统微分方程的求解
【解题思路】
线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性微分方程。
在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的时间函数以及它们对于时间的各阶导数的线性组合
在分析过程中，如果不经过任何变换，则所涉及的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法
如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量，则相应地称为变换域分析法
【问题解答】
微分方程的求解方法有：
1、时域经典法：
系统的全解＝齐次解＋特解
齐次解的形式由齐次方程的特征根确定；
特解的形式由方程右边激励信号的形式确定。
2、系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应
系统的零输入响应由微分方程直接求解得到（可以利用算子法）。
系统的零状态响应可以利用卷积积分的方法。
3、变换域的分析方法。
在变换域中，将复杂的微分运算变为简单的线性运算。
【小结】线性时不变系统可以用线性常系数的微分方程来描述，因此系统的求解等价于相应微分方程的求解。
已知系统的微分方程
已知系统的微分方程已知系统的微分方程微分方程是数学中的一种重要工具，它是用来描述变量变化率的方程。
在物理，工程，生物等领域中，常常需要通过微分方程来描述某些系统的动态发展过程。
在这些系统中，往往有若干个变量，它们的变化彼此互相影响，相互作用。
通过建立微分方程模型，可以帮助我们更好地理解这些系统内部的关系，并预测它们的发展趋势。
已知系统的微分方程，通常可以通过以下几个步骤来求解：1. 确定变量首先需要明确需要描述的系统的各个变量及其相互关系。
这些变量可以是物理量（如温度，压强，速度等），也可以是某些数学对象（如函数，矩阵等），或是任何具有变化的属性。
2. 建立微分方程模型在确定了变量之后，我们需要建立微分方程模型。
这个模型应该能够描述变量之间的动态变化关系。
具体建模的方法因系统而异，可以采用物理规律，统计学方法，人工经验等多种手段。
3. 解微分方程一般来说，微分方程并不是很容易求解的，需要借助一些数学工具来进行分析。
通过分离变量，变形等方法，可以将微分方程化为可求解的形式。
当然，有些微分方程比较复杂，可能需要借助计算机等高级工具来求解。
4. 分析结果通过求得微分方程模型的解析解或者数值解，我们就可以获得相应的变量的演化规律，从而更好地理解系统的内部机制。
在这个基础上，我们可以对该系统进行预测分析，调整参数等操作，以满足实际应用的需求。
总之，已知系统的微分方程，是解决复杂的物理，工程，生物等问题的必要工具之一。
只有通过合理的建模和分析，才能更好地理解和预测这些系统的演化趋势，为人类的发展和进步做出更大的贡献。
系统微分方程的解系统的全响应
系统微分方程的解系统的全响应一、线性系统微分方程线性的证明线性系统必须同时满足齐次性与叠加性。
所以，要证明线性系统的微分方程是否是线性的，就必须证明它是否同时满足齐次性与叠加性。
线性系统微分方程的一般形式是(2-5)设该方程对输入f1(t)的解是y1(t)，则有(2-6)设该方程对输入f2(t)的解是y2(t)，则有(2-7)给式(2-6)等号两端同乘以任意常数A1，给式(2-7)等号两端同乘以任意常数A2，则有将此两式相加即有这就是说，若f1(t) y1(t), f2(t) y2(t) 则A1f1(t)+A2f2(t) A1y1(t)+A2y2(t)，即式(2-5)所描述的系统是线性的。
二、系统微分方程的解——系统的全响应求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全响应y(t)。
系统微分方程的解就是系统的全响应y(t)。
线性系统的全响应y(t)，可分解为零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)的叠加，即。
下面证明此结论。
在图2-2中，若激励f(t)=0，但系统的初始条件不等于零，此时系统的响应即为零输入响应yx(t)，如图2-4(a)所示。
根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为:(2-8)在图2-2中，若激励，但系统的初始条件等于零(即为零状态系统)，此时系统的响应即为零状态响应yf(t)，如图2-4(b)所示。
根据式(2-5)可写出此时系统的微分方程为(2-9)将式(2-8)与式(2-9)相加得即式中可见确是系统微分方程(2-5)的解。
这个结论提供了求系统全响应y(t)的途径和方法，即先分别求出零输入响应yx(t)与零状态响应yf(t)，然后再将yx(t)与yf(t)叠加，即得系统的全响应y(t)，即。
这种方法称为零输入零状态法。
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第三章 自动控制系统的数学模型（12 学时）
目的、教学要求：本章主要从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模 型。
在经典控制理论中，常用的数学 模型为微分方程、传递函数和系统框图。
它们反映了 系统的输出量、输入量和内部各种变量间的关系，也反映了系统的内在特性。
因此在本章中 主要掌握：
²物理系统的传递函数
²典型环节及其传递函数
²控制系统框图（结构图）的化简及系统闭环传递函数的求取
重点、难点：
本章重点是： 自动控制系统的数学模型主要是传递函数的建立、系统框图的化简及系统 传递函数的求取。
而本章的难点是：物理系统的数学模型的建立过程及系统框图的建立。
本章内容概要：
²研究自动控制系统的方法与目的
²系统的微分方程——物理系统的建模
²系统的传递函数的基本概念及建立方法
²习题课——阻抗法求电气系统的数学模型
²典型环节及其传递函数
²控制系统的框图（结构图）——传递函数的图形表示法
²控制系统的框图（结构图）的化简及控制系统闭环传递函数的求取
²习题课
²习题
而对利用阻抗法求电气系统的数学模型、 教学方式：该部分内容基本上均可采用多媒体教学，
框图化简及等练习方面的教学可采用课堂教学。
教学设计：对自动控制系统的分析是建立在数学模型基础之上的，所以数学模型是整个自动 控制原理研究内容的理论基础， 主要讲述传递函数的基本概念及建立方法， 并简要介绍典型 控制环节的特点及传递函数， 这其中主要让学生建立典型环节和自动控制系统分析方法之间 的相互关系，可联系工程实际来探讨典型环节和自动控制系统分析方法之间的这一等效关 系。
然后以框图简化为例， 引导学生理解典型闭环系统特点，并由此让学生了解单位反馈的 由来与控制系统闭环传递函数的求取方法。
教学内容：
引言：研究自动控制系统的方法与目的
一、系统的微分方程——物理系统的建模
1. 建立微分方程的步骤
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入 量和输出量。
②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的 微分方程。
③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量 和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。
④将该方程整理成标准形式。
即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量 有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列， 并将方程中的系数化为具有一定物理意 义的表示形式，如时间常数等。
2. 微分方程建立举例：
①一阶 RC 电路数学模型的建立
②模拟电路数学模型的建立
③一个简单的机械系统的数学模型
二、传递函数
1. 传递函数的定义
2. 传递函数的一般表达式
3. 传递函数的性质
4. 习题课——阻抗法求电气系统的数学模型
例：求如图所示电路的传递函数。
解：1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
2．由电路中的相关定理列出其电流或电压方程。
Cs R s U s I R Cs R s U s I o f i / 1 )
( ) ( 2 / ) / 1 // 2 / ( )
( ) ( 1 0 0 +
= + = 由虚断概念可得：
Cs R s U s I R Cs R s U s I o f i / 1 ) ( ) ( 2 / ) / 1 // 2 / ( ) ( ) ( 1 0 0 +
- = - = + =
由此得出： ) 4 )( 1 ( ) 6 ( / 1 ) 2 4 /( ) 6 ( ) ( ) ( 0 1 2 0 0 1 1 0 2 0 0 Cs
R Cs R Cs R R C R Cs R Cs R Cs R R s U s U i o + + + = + + + - = 三、系统框图——传递函数的图形表示法
1. 系统框图的定义
系统框图又称方框图（Block Diagram）或系统结构图，它是传递函数的图形描述 方式，它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有
简明直观、运算方便的优点。
所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。
2. 系统框图的图形符号及物理含义
功能框(Block Diagram)如图 a 所示。
它表示了相对独立单元输入信号的拉氏变换与输 出信号的拉氏变换之间的关系，即： )
( ) ( ) ( s R s G s C ´ = 信号线(Signal Line)如图中的有向线段所示。
它表示信号流通的路径和方向，其中流 通方向用箭头表示。
引出点(又称分点)(Pickoff Point)如图b 所示。
它表示信号由该点取出。
从同一信号 线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。
比较点又称和点(Comparing Point 或 Summing Point)如图 c 所示。
它表示了信号在该 点的代数和。
3. 一个典型的自动控制系统的框图
四、典型环节的传递函数及功能框
五、框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取
1. 框图等效变换规则
2. 自动控制系统闭环传递函数的求取
3. 习题课
例： RC 无源网络如图所示， 试采作复数阻抗法画出该电路的系统框图， 并求其传递函数。
解： 1．将原电路中的电路元件用阻抗表示，同时将输入及输出变换成拉氏式，如图 b 所示。
2．用复阻抗写电路方程式： s
C S I S V R S U S U S I s
C S I S I S U R S U S U S I c c c c C r 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
) ( ) ( 1 )] ( ) ( [ ) ( 1 )] ( ) (
[ ) ( 1 )] ( ) ( [ ) ( × = - = × - = ×
-
=
将以上四式用方框表示，在相互连接后即得 RC 网络结构图，见下图。
其中框图的简化 过程如图 b、c、d 所示
4. 交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取
5. 习题课：见书中例题
六、习题
1．利用阻抗法求下列电路的传递函数。
2．将如图所示方框图进行化简， 并求出其闭环传递函数。