浙江工业大学 高等数学(上)期末考试题及答案
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。
以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。
答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。
答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。
高等数学上期末试卷(含答案)
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C)()x α是比()x β高阶的无穷小； (D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ )。
（A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m 。
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
高等数学上册期末考试卷
高等数学上册期末考试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 2C. -2D. -42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)5. 函数\( y = \ln(x) \)的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{x}{1} \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \frac{1}{x} + 1 \)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\( \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 \)，则\( \int_{1}^{2} f(x)dx\)的值是______。
2. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在\( x = 0 \)处的极限是______。
3. 若\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4) = a \)，则\( a \)的值是______。
4. 函数\( y = \ln(1 + x) \)的二阶导数是______。
5. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)的和是______。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A)(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；(C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。
3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值; （B)函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C)函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A)22x （B ）222x+（C)1x - （D ）2x +.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数。
高等数学测试卷(上)+答案
高等数学测试卷（上）一、填空题：（每小题2分，共20分）1．一切初等函数在其 内都是连续的。
2．若y x ,满足方程xyy x arctan ln22=+，则=dy 。
3．已知)100()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f 。
4．当0→x 时，x x x f -=sin )(是3x 的 阶无穷小。
5．已知C xxdx x f +-=⎰21)(，则=⋅⎰dx x f x )(cos sin 。
6．=-⎰-dx x 312 。
7．若)(x f 在[]a a ,-上连续且为奇函数，则⎰-=aadx x f )( 。
8．曲线x y =2和2x y =所围成的平面图形的面积是 。
9．已知向量)1,2,1(),1,1,2(-=-=b a，单位向量e 同时垂直于a 与b ，则e= 。
10．通过点)5,0,3(0M 与坐标原点的直线的对称式方程为 。
二、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列极限存在的是：（ ）)A 2)1(lim x x x x +∞→ )B 121lim 0-→x x )C x x e 10lim → )D xx x 1lim 2++∞→2．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ） )A 极限不存在 )B 极限存在，但不连续 )C 连续，但不可导 )D 可导高等数学测试卷（上）-答案一、 填空题：（每小题2分）1． 定义区间 2．dx yx yx -+ 3． 100！ 4． 同5． C x x +⋅-csc cot 6． 5 7． 0 8．31 9． )355,353,351(-±10． ⎪⎩⎪⎨⎧==053y z x二、 选择题：（每小题2分） 1).A 2).D 3).C 4).D 5).D6).A 7).A 8).D 9).C 10).B三、 计算题：（每小题7分）1．3162sin lim 52202==→x x x ex x x e x 原式 2．x x f xxx x x dx dy x 2sin )(sin )sin ln (cos 2sin '++= 3．C x x dx xx dx x x +++=+++=⎰⎰]arctan )1[ln(211arctan 12222原式 4．3821)1()(221210=++==⎰⎰⎰dx x dx x du u f 原式5．由2222222)1()1)(1(2)1(4)1(2,12x x x x x x y x x y ++-=+-+=''+='得拐点坐标为：)2ln ,1(),2ln ,1(-在),1[],1,(+∞--∞上凸，在[-1，1]上凹。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案1. 单选题：1) 高数是一门基础学科。
2) 导数的几何意义是函数在某一点的斜率。
3) 定积分是求曲线下某一段的面积。
4) 曲线的凸性由函数的二阶导数决定。
答案：ABCD2. 多选题：1) 函数y = √x在x = 0处不可导的原因有：a) 函数不连续；b) 函数在x = 0处有间断点；c) 函数在x = 0处的左、右导数不等；d) 函数在x = 0处的导数不存在。
2) 函数y = e^x在区间(-∞, +∞)上是增函数的条件是：a) 函数在该区间内连续；b) 函数在该区间内为正；c) 函数的导数在该区间内恒大于0；d) 函数的导数在该区间内恒小于0。
答案：1) CD；2) C3. 简答题：请详细解释导数的定义，并给出一个实际例子。
解答：导数的定义是一个函数在某一点处的变化率或斜率。
数学上，对函数y = f(x)求导数，表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以用于描述曲线的斜率，也可用于求函数的最大值、最小值等。
例如，一个移动的物体的位置随时间的变化可以用函数s(t)表示。
速度是位置对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt。
假设某物体的位置函数为s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t + 1，则速度函数为v(t) = 6t^2 + 2t - 3。
4. 计算题：计算下列定积分：1) ∫(x - 2) dx，积分区间为[-1, 3]。
2) ∫(2e^x + 3x^2) dx，积分区间为[0, 2]。
3) ∫(2cos(x) - e^x) dx，积分区间为[0, π]。
解答：1) ∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C （C为常数）在积分区间[-1, 3]上计算，得到：∫[-1, 3](x - 2) dx = [(1/2)(3)^2 - 2(3)] - [(1/2)(-1)^2 - 2(-1)]= (9/2 - 6) - (1/2 + 2)= -11/22) ∫(2e^x + 3x^2) dx = 2∫e^x dx + 3∫x^2 dx= 2e^x + x^3 + C （C为常数）在积分区间[0, 2]上计算，得到：∫[0, 2](2e^x + 3x^2) dx = [2e^2 + 2^3] - [2e^0 + 0^3]= 2e^2 + 8 - 2 - 1= 2e^2 + 53) ∫(2cos(x) - e^x) dx = 2∫cos(x) dx - ∫e^x dx= 2sin(x) - e^x + C （C为常数）在积分区间[0, π]上计算，得到：∫[0, π](2cos(x) - e^x) dx = [2sin(π) - e^π] - [2sin(0) - e^0]= 0 - 1 - 0 + 1= 0以上就是高数期末考试题及答案，希望对你的学习有所帮助。
浙江工业大学2014-2015一高数期末A
1．
dy dx
x 1
x
x
ln
1
x
x
1 1
x
6分
2． dy 1 dx t
3分
d2 y 1 dx 2 t 3
6分
3． y' 3( x 1)( x 3) ，驻点 x 1, x 3
3分
判别知 x 1 是极大值点，从而得极大值为 0
6分
4． cos3 xdx (1 sin2 x)d sin x sin x 1 sin3 x c 3
从而 A 2
1
y
1 y'2 dx 2
1
2
x
1
1 dx
8
3
(2 2
1)
0
0
x
3
4分
2
14/15(一)浙江工业大学高等数学考试试卷参考答案
一、填空选择题(每小题 3 分)
1． 1 2
2．
y xy xy x
3． x 2
4．2
6． y c1 cos ax c2 sin ax
7． y c1(1 x) c2 (1 x 2 ) 1 或…… 8．B
二、试解下列各题(每小题 6 分)
3分
从而有 d y de x , y e x c
6分
x
x
三、(8 分)
Vx
2
f
2(
x)dx
0
2
(2x
x 2 )2 dx
16
0
15
4分
Vy
2
2xf ( x)dx 2
0
2 x(2 x x 2 )dx 8
0
3
8分
或Vy
1
大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印
第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。
3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。
5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。
1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。
浙江工业大学高等数学期末03-04(二)卷A标准答案
a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ⎰ν xy⎝⎰ ν ⎪ 0 ⎭ ∞ 03－04(二)期终试卷答案一．1、 z x - z ；2、2 3 ；3、 ν 3 d 0 4 ν 4 d ϕ 0 0 f (ψ 2 )ψ 2 sin ϕd ψ 4、2； 5、 (-1)n -1 n二．A ；B ；C ；B ；D∂z三．1、 ∂x= 2 f u + yf v ，∂z = ∂y f u + xf v ，dz = (2 f u + yf v )dx + ( f u + xf v )dya x2a 2ax - x 2 2、 ⎰0 dx ⎰- xf ( x , y )dy + ⎰a dx ⎰- 2ax - x 2 f ( x , y )dy a a + a 2 - y 20 a + a 2 - y 2 ⎰0 dy ⎰y f (x , y )dx + ⎰- a dy ⎰- y f (x , y )dx3、∑ : z = D : x 2 + y 2 ≤ a 2 a ⎛ a ⎫ ds = dxdy = dxdy 或 = dxdy ⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎰⎰ zds = ⎰⎰ z ⋅ a dxdy∑ D xy z= νa 3sin ν四．1、 lim = lim 1 ⋅n +1 n →∞ n →∞ ν sin ν n = lim 1 ⋅ n = 1 < 1n →∞ ν n +1 ν 所以绝对收敛。
2、 ∑bn sin( n ν ) 是x 在(- ν ,ν )上的付氏级数 n =1因为x 是奇函数， 所以a n = 0b =2 νx sin( nx )dx n ν ⎰0= - 2 ⎛ x cos nx ν - 1 sin (nx ) ⎫ n ν 0 n ⎪ 2(-1)n -1 n 1 + + x 2 y 2 z 2 z 2 u n +1 u n ⎰ 1 z =2 ⎪ ∂z ⎩ ⎩⎫ 23、 lim = lim n + 2 ⋅ 2n n ! = 0 所以收敛区间(- ∞,∞)n →∞ n →∞ 2n +1 (n +1)! n +1 ∞ 1 ⎛ x ⎫n ∞ 1 ⎛ x ⎫ns ( x ) = ∑ (n -1) ⎪ + ∑ ⎪ n =1 x ∞ !⎝ 2 ⎭ 1⎛ x ⎫nn =1 n !⎝ 2 ⎭ x = ∑ ⎪ + e 2 -1 2 n = 0 n !⎝ 2 ⎭=⎛ x + ⎝ x 1⎪e 2 -1 ⎭⎧ ∂z = 14 - 8y - 4x = 0 ∂x 五、（1） ⎨ ⎪ = 32 - 8x - 20 y = 0 ⎩∂y⎧x = 1.5 驻点⎨ y = 1∂2 z ∂2 z ∂2 z2 因为∂x 2 = -4 ， ∂y ∂x = -8 ， ∂y 2 = -20 所以 AC - B = 16 > 0. A < 0所以当 x = 1.5, y = 1 时， z 取唯一极大值，为最大值。
浙江工业大学 2020-2021高等数学(上)期末考试题及答案
浙江工业大学高等数学(上）期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.设f (x ) cos x (x sin x ),则在x 0处有( ).（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f (x )不可导.2.设 (x ) 1 x1 x ， (x ) 3 33x ，则当x 1时（ ）.（A） (x )与 (x )是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） (x )与 (x )是等价无穷小；（C） (x )是比 (x )高阶的无穷小； （D） (x )是比 (x )高阶的无穷小.x 3.若F (x )(2t x )f (t )dt，其中f (x )在区间上( 1,1)二阶可导且f (x ) 0，则（ ）.（A）函数F (x )必在x 0处取得极大值；（B）函数F (x )必在x 0处取得极小值；（C）函数F (x )在x 0处没有极值，但点(0,F (0))为曲线y F (x )的拐点；（D）函数F (x )在x 0处没有极值，点(0,F (0))也不是曲线y F (x )的拐点。
4.设f (x )是连续函数，且f (x ) x 2 1f (t )dt , 则f (x ) (x 2x 2（A）2 （B）2 2（C）x 1 （D）x 2.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim (sin xx 01 3x ).6.已知cos x x 是f (x )的一个原函数,则 f (x ) cos xxd x.lim (cos 2cos 227.n nn ncos2n 1n ) .12x 2arcsin x 18.－11 x2dx2.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数y y (x )由方程e x ysin(xy ) 1确定，求y (x )以及y (0). )1 x 7求 d x .7x (1 x )10.x1 xe ， x 0设f (x ) 求f (x )dx ．322x x ，0 x 1 11.1012.设函数f (x )连续，g (x )并讨论g (x )在x 0处的连续性.g (x )f (xt )dtf (x )lim A x 0x ，且，A 为常数. 求1y (1)xy 2y x ln x 9的解. 13.求微分方程满足四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线y y (x )(x 0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M (x 0,y 0)处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x 0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线y ln x 的切线，该切线与曲线y ln x 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数f (x )在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，q 1f (x )d x q f (x )dx.17.设函数f (x )在 0, 上连续，且0xf (x )d x 0，0f (x )cos x dx 0.证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f ( 1) f ( 2) 0.（提F (x )示：设f (x )dx）参考答案一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1cos x 2 () c 6e 35. . 6.2x .7. 2. 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导x ye (1 y ) cos(xy )(xy y ) 0e x y y cos(xy )y (x ) x ye x cos(xy )x 0,y 0，y (0) 177x 6dx du 10.解：u x 1(1 u )112原式 du ( )du7u (1 u )7u u 11(ln |u | 2ln |u 1|) c 712 ln |x 7| ln |1 x 7| C 77.11.解： 30 31f (x )dx xe dx30 x12x x 2dxxd ( e )x11 (x 1)2dx0 2xxxee 3 2(令x 1 sin )cos d 412.解：由f (0) 0，知g (0) 0。
期末高等数学上习题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共16小题，总计 80分) 1、(本小题5分)求极限l im x 312x163 9x 212x4x22x2、(本小题5 分)求x 22dx.(1x) 3、(本小题5分) 求极限limarctanxarcsin 1xx4、(本小题5分)求x dx.1 x5、(本小题 5 分)求dx 2 1t 2dt ．dx 06、(本小题 5 分) 求cot 6xcsc 4xdx.7、(本小题5分)2 1cos 1dx ．求1 x 2x8、(本小题5 分)x e t cost 2y(x),求dy ．设 确定了函数y ye 2tsint dx9、(本小题5 分)3求 x1xdx ．10、(本小题5分) 求函数 y 4 2x x 2的单调区间11、(本小题5分)求2sinx dx ．sin 2x0812、(本小题 5 分)设xt )e kt(3cos t 4sin t ，求dx ．( )13、(本小题 5 分)设函数yyx 由方程y 2 l n y 2 x 6所确定 , 求dy ．( )dx14、(本小题 5 分)求函数y e x e x 的极值215、(本小题 5 分)求极限lim (x1)2 (2x1)2(3x1)2(10x 1)2x16、(本小题5分)(10x 1)(11x1)求cos2xdx.1sinxcosx二、解答以下各题(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、(本小题7分)求由曲线yx 2 和y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积.28三、解答以下各题 (本大题6分)设f(x) x(x 1)(x 2)(x3),证明f(x) 0有且仅有三个实根.一学期期末高数考试(答案)一、解答以下各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解:原式lim 3x 2 12218x12x26x6xlim212x1822、(本小题3分)1dx (1x 2)21 d(1 x 2)2(1 x 2)211x 2c.3、(本小题3分)因为arctanx2 而limarcsinx故limarctanxarcsin1xx4、(本小题3分)xdx1 x1 x 1dx 1x dxdxxln1xc.5、(本小题3分)原式2x1x 4 6、(本小题4分) cot 6xcsc 4xdxcot 6x(1cot 2x)d(cotx)1x1cot7x 1cot9xc.797、(本小题4分)211原式1cos d()x x1 sin2 118、(本小题4分)解：dy e2t(2sint cost)dx e t(cost22tsint2)e t(2sint cost)(cost22tsint2)9、(本小题4分)令1 x u2原式 2 (u4u2)du12(u5u3)12531161510、(本小题5分)函数定义域(,)y22x2(1x)当x1，y0当x，y函数单调增区间为,1 10当x，y函数的单调减区间为1,1011、(本小题5分)原式2dcosx09cos2x13cosx2lncosx0631ln2612、(本小题6分)dx x(t)dte kt(43k)cos t(4k3)sintdt13、(本小题6分)2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、(本小题6分)定义域(，),且连续y2e x(e2x1)2驻点：x1ln 12 2由于y2e x e x故函数有极小值,,y(1ln1) 2 215、(本小题 8分)2 2(1 1 )2 (2 1 )2 (3 1 )2(10 1 )2原式lim x xxxx (10 1)(11 1)10 11 21x x6 10 117216、(本小题 10分)解:cos2x dxcos2x dx1 sinxcosx11sin2xd(12sin2x1) 2 11sin2x12sin2x cln12二、解答以下各题(本大题共2小题，总计13 分)1、(本小题5 分)设晒谷场宽为 x,那么长为512米,新砌石条围沿的总长为xL2x 512 (x0)xL2512唯一驻点x16x 2L1024 0即x16为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米,长为51232米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)解:x 2x 3, 2 2x 3 x 1 ,.28x0x 148V x4 x 2 )2 (x3 2dx 4x4x 6( ) 0()dx284 64(11x 5 41 1x 7)4 564 744( 1 1 ) 51257 35三、解答以下各题(本 大题10分)证明:f(x)在( , )连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)f(1)f(2)f(3)0那么分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f(x)有且仅有三个实根参考答案一。
(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档
1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
第 7 页，共 7 页
9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )
高等数学(上)期末考试试题及答案
高等数学（上）期末考试试题一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续． 3、设x x y ln +=,则______=dydx 4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是 5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、若函数x xx f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ） A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞0sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞01 D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
则AMB ∠=A 、3πB 、4πC 、2π D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→ 。
2、求极限 )111(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 102lim x dte x t x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求22dx y d 6、求不定积分dx x x ⎰+)32sin(12 7、求不定积分 x x e x d cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x， 求 ⎰-20d )1(x x f四、 应用题（本题7分） 求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
101高数试卷A1
♥π10 浙江工业大学高等数学(上)考试试卷 A学院 班级姓名 学号一、试解下列各题（每小题 3 分）：1． lim x cot x ＝。
x →02． d [sin(1 + 3x 2 )] = dx 。
♣x = at 2 dy3.设♦ y = bt 3，则 dx = 。
4. 设 y = y (x ) 由方程xy = e x + y所确定，则 dy = 。
dx5. 曲线 y = 2x + 8x ♣ x 2 (x > 0) 在区间 是单调增加的。
x ≤ 16. 设函数 f (x ) = ♦ ♥ax + bx > 1 在 x = 1处连续且可导，则常数 a , b = 。
7.设 f ''(x ) 在 x = 0 的邻域内连续，则lim f (x ) + f (- x ) - 2 f (0)＝ 。
8.limx →02xcos t 2dt 03xx →0 x 2＝ 。
9. 曲线 y = x 2 ， x = y 2 所围成图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积为。
10．⎰1 - sin2 xdx = 。
二、试解下列各题（每小题 3 分）：1.设 f (x ) 的导数在 x = a 处连续，又limf '(x )= 1，则下列选项正确的是（ ）x →ax - aA ） x = a 是 f (x ) 的极大值点；B ） x = a 是 f (x ) 的极小值点；C ） (a , f (a )) 是 y = f (x ) 的拐点；D ） x = a 不是 f (x ) 的极小值点， (a , f (a )) 也不是 y = f (x ) 的拐点。
1⎰R⎰⎰ π 1+ sin x 2．设 f (x ) 可导，且 f (0) = 0 ，则 x = 0 是函数φ (x ) =f (x ) 的（ ）。
xA ） 可去间断点； B) 跳跃间断点； C ） 无穷间断点； D) 震荡间断点。
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浙江工业大学高等数学(上）期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）参考答案一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===⎰⎰1()()()xxt uf u dug x f xt dt x(0)x ≠02()()()(0)xxf x f u dug x x x-'=≠⎰20()()A(0)lim lim22xx x f u duf xg x x →→'===⎰02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA Ag x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2ln dy y x dx x +=22(ln )dx dx x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰211ln 39x x x Cx -=-+1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x=- 四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为 xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1= 则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2⎰-=122)(dye e V y πD 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰10(1)()()qqq f x d x q f x dx=--⎰⎰1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕。
17.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0。
其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=π00sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .附：浙江工业大学高等数学A （下）期末试卷 （无答案）学院： 班级： 姓名： 学号： 任课教师：一、填空题（每小题3分）：1、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000)sin(1)(2xy xy y x xy y x f ，，，，则=)10(，x f 。
2、,),,(2yz e z y x f x= 所确定的隐函数是由方程其中0x yz z y x ),(=+++=y x z z ，则=-)110(，，y f 。
3、已知,yxxy z +=则dz= 。
4、函数xy y x f =)(，在闭区域x ≥0，y ≥0，x+y ≤1上的最大值是 。
5、若02=∂∂∂yx z，且当x = 0是z = sin y ；y = 0时，z = sin x,则函数z (x, y)= .。
6、积分⎰⎰+xxdy y x f dx 3222)(化为极坐标下的二次积分是 。
7、设22222222R z y x R z y x =++∑≤++Ω：；：的外侧，则下列等式正确的是 。
A 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==++5222234)(R dv R dv z y x π B 、⎰⎰⎰⎰∑∑==++42222)(R dxdy R dxdy z y xπC 、⎰⎰⎰⎰∑∑==++422224)(R dS R dS z y x π 8、设L 为圆周222a y x =+，则⎰=+Ly x ds e22 。
9、级数∑∞=+0!1n n n 的和是 。
10、函数xx f +=21)(展开为麦克劳林级数的收敛半径是 。
11、设幂级数∑∞=+0)1(n nnx a的收敛域为（-4，2），则幂级数∑∞=-0)3(n nn x na 的收敛区间是（不讨论端点） 。
二、试解下列各题（每小题6分）：1、一平面过A （1，1，1）和B （0，1，-1），且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程。
2、设)(xyxf z =，其中是二次可微函数，求：。
，22x z x z ∂∂∂∂3、求曲线⎩⎨⎧=-=，x 0y -x 22z 在点（1，1，1）处的切线及法平面方程。
三、试解下列各题（每小题6分）： 1、求⎰⎰Dd y x σ22，其中D 是由直线y=x ，x=2及曲线xy=1所围成的闭区域。
2、设L 是正方形1y 1≤≤，x 的正向边界，求⎰---++L222)(22dy ye x y x x dx xey y 。