(解答题90道)第一章 数的整除性

第一章 数的整除性解答题1、设1859,1573a b =-=，求整数,s t 使得(,)sa tb a b +=。

2、设169,121a b ==，求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。

3、设,a b 是两个正整数，则21a -被21b -除的最小正余数是21r -，其中r 是a 被b 除的最小正余数。

4、设,a b 是两个正整数，则21a -和21b -的最大公因数是(,)21a b -。

5、设,a b 是两个正整数，则21a -和21b -互素的充要条件是(,)1a b =。

6、设,,,a b x y 是整数，k 和m 是正整数，并且111,0a a m r r m =+≤<则ax by +和ab 被m 除的余数分别与12r x r y +和12r r 被m 除的余数相同。

特别地，ka 与1kr 被m 除的余数相同。

7、 证明：2121|212n n ++/，n Z ∈。

8、求50！中2的最高指数幂。

10、设,,a b c 是正整数，证明：[](),,,, a b c ab bc ca abc =。

11、证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

12、求81234被13除的余数。

13、设k 是正奇数，证明：12...9|12...9k k k ++++++。

122,0b b m r r m=+≤<14、求正整数,a b ，使得()[] 120, 24, 144a b a b a b +===，，。

15、设223|a b +,证明：3|a 且3|b .16、计算：()27090,21672,11352.17、设,x y ∈ ,1723x y +，证明：1795x y +.18、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为2a p +（0a >是整数，p 为素数）的形式。

19、求20!的末尾有多少个零？20、用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387162(1387,162)x y .21、证明：若|,m p mn pq -+则|m p mq np -+22、若n 是奇数，则28|1n -,23.以()d n 表示n 的正约数的个数，例如：()()()1 12 23 2d d d ===，，，()4 3d = ，。

问：()()()121997d d d +++ 是否为偶数？23、求[1992)23(+]的个位数。

24、任意给出的五个整数中，必有三个数之和被3整除。

25、求24871与3468的最大公因数?26、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.27、证明对于任意整数n ,数23326n n n ++是整数.28、设a 是自然数，4239a a -+问是素数还是合数？29、设,a b 是正整数，证明：()[][],,a b a b a b a b +=+。

30、若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数是多少？31、写出22345680的标准分解式。

32、设12 {,,...,}k A d d d =是n 的所有约数的集合，则12,,,{}kn n nd d d B = 也是n 的所有约数的集合。

33、设p 是n 的最小素约数，11 1n pn n =>，，证明：若p >，则1n 是素数。

34、将612- 1分解成素因数之积。

35、记21nn M =-，证明：对于正整数,a b ，有(,(,a b a b M M M =））。

36、若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数,,a b 是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则00,ax by ax by ++其中,x y 是任何整数.37、证明：存在无穷多个正整数a ，使得4(1,2,3,)n a n += 都是合数。

38、若1na -是素数，则2,a =并且n 是素数。

39、求30!的标准分解式。

40、证明00(,)a b ax by =+，其中00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数）的整数里的最小正数，并将此结果推广到n 个整数的情形.41、设,,a b c 是正整数，证明：[](),,,,a b c ab bc ca abc =.42、设n 是任一正整数，α是实数，证明：11[][[][]n x x x nx n n-+++++= .43、求()252,198。

44、证明：设n 是奇数，则4216|411n n ++。

45、设,a b 是整数，证明：()[],,a b a b ab =46、设12,,n a a a 是整数，且12120,n n a a a a a a n +++==则4|n 。

47、求自然数N ，使得它能被5和49整除，并且包括1和N 在内，它共有10个约数。

48、证明素数有无限个。

49、对于任意的整数12,,...,k a a a n 及整数k ，1k n ≤≤，证明：][121 1[,,..., [,...,][,...,]]n k k n a a a a a a a +=50、证明：在!n 的标准分解式中，2的指数h n k =-，其中k 是n 的二进制表示的位数码之和.51、证明：方程2345()[][2][2][2][2][2]12345f x x x x x x x =+++++=没有数解.52、若d 为奇数，|d a b +，|d a b -，则()|,d a b 。

53、设1n f +和2n f +是连续的Fibonacci 序列，1n >，求证：12(,)1n n f f ++=54、证明：若n 是正整数，则214143n n ++是既约分数。

55、证明：2121212,n n n Z /++∈。

56、证明()200220042003|200220042005+-57、写出51480的标准分解式.58、证明：设12,,,,k a a a Z ∈ 记1;,,1ki i i i A y y a x x Z i k =⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭∑如果0y 是集合A 中最小的正数，则()012,,,k y a a a = .59、证明：()()3|n 121n n ++，其中n 是任何整数。

60.证明：若(,)1a b =，则22(,)13a b a ab b +-+=或61、设(1,2)i a i n =……是正整数，证明11211112[,,](,,)nii n nnni iii i i naa a a a aaa a a =====∏∏∏∏。

3、求20!的标准素因数分解式62.证明：存在无穷多个正整数a ，使得4 1, 2, 3,L n a n +=（）都是合数。

62. 证明：若n 是正整数，则214143n n ++是既约分数。

63.设|m p mn pq -+，其中,,,m n p q Z ∈，求证|m p mq np -+。

64．设,p q 是自然数，使得111112313181319p q =-+--+，证明p 被1979整除。

65.若,,,a b c d 是不等的整数，求证12|()()()()()()d a d b d c c a c b b a ------66. 设整数2n ≥，证明：()1(,)112i n i n i n n ϕ≤≤==∑，即在数列1, 2,...,n 中，与n 互素的整数之和是()n n ϕ。

67. 若1,1n a a >-是素数，则2a =，并且n 是素数。

68. 证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.69. 求[1992)23(+]的个位数。

70.如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.72. 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.73.证明：在123121,21,21,,21,n ----- 这1n -个数中，至少有一个数能被n 整除，其中n 为大于1的奇数。

74.已知三个整数是完全平方数，证明：如果这三个整数之和能被9整除，那么可以从中挑出两个，他们的差也能被9整除。

75.求证：形如42,43,k k ++的数不是完全平方数。

76.证明：53335333-是10的倍数。

77.证明若0,(,)1,a b a b p +≠=是奇素数，则(,1p pa b a b a b++=+或p78.设n 2≥,,k N ∈求证()21|1k n n --的充要条件为1|n k -。

79.设a 是大于2的整数，0b >是一个合数，如果有r 个不同的自然数能整除b ，求证，也至少有r 个不同的整数能整除1b a -。

80.（1）若p 和281p +为素数，则228182p p p --+和皆为素数。

（2）若8181p p p -+和为素数，则为合数。

81.设1,1a n >>,称n a 为一个完全方幂，证明当p 是一个素数时，23p p +不是完全方幂。

82、以()d n 表示n 的正约数的个数，例如：(1)1,(2)2,(4)3,...d d d === 问：(1)(2)(3)...(2010)d d d d ++++是否为偶数？83.计算：(27090,21672,11352)。

84.记21n M =-，证明对于任意正整数a 、b ，有（a M ，b M ）= (,)a b M 。

85. 设n 是正整数，证明：()() i n ϕ>()ii 若n 是合数，则()n n ϕ<。

86．用辗转相除法求288,158a b ==的最大公因数和,m n ，使(,)ma nb a b +=87、证明两整数a,b 互质的充要条件是存在两个整数s,t 满足条件as+bt=1。

88、01,,,n a a a z ∈ ，()1110nn n n f x a x a xa x a --=+++ ，已知()0f 与()1f 都不是3的倍数，证明：若方程()0f x =有整数解，则()()0123|11nn f a a a a -=-+-+-89. 求出有序整数对（n m ,）的个数，其中991≤≤m ，991≤≤n ，n m n m +++3)(2是完全平方数。

90、证明：对于任意的整数()53357n f n n n n =++，被15整除。