(解答题90道)第一章 数的整除性

第一章 数的整除性

解答题

1、设1859,1573a b =-=，求整数,s t 使得(,)sa tb a b +=。

2、设169,121a b ==，求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。

3、设,a b 是两个正整数，则21a -被21b -除的最小正余数是21r -，其中r 是a 被b 除的最小正余数。

4、设,a b 是两个正整数，则21a -和21b -的最大公因数是(,)21a b -。

5、设,a b 是两个正整数，则21a -和21b -互素的充要条件是(,)1a b =。

6、设,,,a b x y 是整数，k 和m 是正整数，并且

111,0a a m r r m =+≤<

则ax by +和ab 被m 除的余数分别与12r x r y +和12r r 被m 除的余数相同。特别地，k

a 与1k

r 被m 除的余数相同。

7、 证明：2

121|212n n ++/，n Z ∈。

8、求50！中2的最高指数幂。

10、设,,a b c 是正整数，证明：[](),,,, a b c ab bc ca abc =。

11、证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

12、求81234

被13除的余数。

13、设k 是正奇数，证明：12...9|12...9k k k ++++++。

122,0b b m r r m

=+≤<

14、求正整数,a b ，使得()[] 120, 24, 144a b a b a b +===，，。

15、设223|a b +,证明：3|a 且3|b .

16、计算：()27090,21672,11352.

17、设,x y ∈ ,1723x y +，证明：1795x y +.

18、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为

2a p +（0a >是整数，p 为素数）

的形式。

19、求20!的末尾有多少个零？

20、用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387162(1387,162)x y .

21、证明：若|,m p mn pq -+则|m p mq np -+

22、若n 是奇数，则28|1n -,

23.以()d n 表示n 的正约数的个数，例如：

()()()1 12 23 2d d d ===，，，()4 3d = ，。

问：()()()121997d d d +++ 是否为偶数？

23、求[1992)23(+]的个位数。

24、任意给出的五个整数中，必有三个数之和被3整除。

25、求24871与3468的最大公因数?

26、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

27、证明对于任意整数n ,数23

326

n n n ++是整数.

28、设a 是自然数，4

2

39a a -+问是素数还是合数？

29、设,a b 是正整数，证明：()[][],,a b a b a b a b +=+。

30、若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数是多少？

31、写出22345680的标准分解式。

32、设12 {,,...,}k A d d d =是n 的所有约数的集合，则

12,,,

{

}k

n n n

d d d B = 也是n 的所有约数的集合。

33、设p 是n 的最小素约数，11 1n pn n =>，

，证明：若p >，则1n 是素数。

34、将612

- 1分解成素因数之积。

35、记21n

n M =-，证明：对于正整数,a b ，有(,(,a b a b M M M =））

。

36、若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数,,a b 是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则00,ax by ax by ++其中,x y 是任何整数.

37、证明：存在无穷多个正整数a ，使得4(1,2,3,)n a n += 都是合数。

38、若1n

a -是素数，则2,a =并且n 是素数。

39、求30!的标准分解式。

40、证明00(,)a b ax by =+，其中00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数）的整数里的最小正数，并将此结果推广到n 个整数的情形.

41、设,,a b c 是正整数，证明：[](),,,,a b c ab bc ca abc =.

42、设n 是任一正整数，α是实数，证明：

11

[][[][]n x x x nx n n

-+++++= .

43、求()252,198。

44、证明：设n 是奇数，则4

216|411n n ++。

45、设,a b 是整数，证明：()[],,a b a b ab =

46、设12,,n a a a 是整数，且

12120,n n a a a a a a n +++==

则4|n 。

47、求自然数N ，使得它能被5和49整除，并且包括1和N 在内，它共有10个约数。

48、证明素数有无限个。

49、对于任意的整数12,,...,k a a a n 及整数k ，1k n ≤≤，证明：

][121 1[,,..., [,...,][,...,]]n k k n a a a a a a a +=