2015年陕西省中考数学总复习教学案：第27讲 几何作图
初中几何作图教案
初中几何作图教案教学目标：1. 掌握几何作图的基本方法和技巧。
2. 能够运用尺规作图解决简单的几何问题。
3. 理解几何作图在数学中的重要性和实际应用。
教学内容：1. 尺规作图的基本概念和技巧。
2. 五种常用的基本作图方法。
3. 几何作图的实际应用案例。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入尺规作图的概念，解释尺规作图的意义和作用。
2. 引导学生思考尺规作图在几何学中的重要性和实际应用。
二、基本作图方法（15分钟）1. 介绍尺规作图的基本方法，包括直线、射线、圆、弧等的作法。
2. 演示和讲解五种常用的基本作图方法：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、平分已知角、作线段的垂直平分线、经过一点作已知直线的垂线。
三、实践操作（15分钟）1. 让学生独立完成一些基本的尺规作图题目，巩固所学的作图方法。
2. 引导学生思考和解决作图过程中遇到的问题，提高作图的技巧和能力。
四、几何作图的实际应用（15分钟）1. 介绍几何作图在实际问题中的应用，如计算几何图形的面积、证明几何定理等。
2. 给出一些实际应用案例，让学生运用尺规作图解决问题，培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
五、总结和复习（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调尺规作图的基本方法和技巧。
2. 提醒学生复习和巩固所学的作图方法，以便能够灵活运用。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，评价学生对尺规作图的基本概念和方法的理解和掌握程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生运用尺规作图解决实际问题的能力。
教学资源：1. 尺规作图的演示和示例图。
2. 练习题和实际应用案例。
教学建议：1. 在教学中，注重学生的实际操作能力的培养，鼓励学生动手实践，提高学生的作图技巧。
2. 结合具体的实际应用案例，让学生感受几何作图在解决实际问题中的重要性。
3. 加强对学生作图过程的指导，引导学生思考和解决作图过程中遇到的问题。
2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题四 情境应用型问题
专题四 情境应用型问题情境应用问题是以现实生活为背景，取材新颖，立意巧妙，重在考查阅读理解能力和数学建模能力，让学生在阅读理解的基础上，将实际问题转化为数学问题．其主要类型有代数型(包括方程型、不等式型、函数型、统计型)和几何型两大类．解决代数型应用问题：关键是审题，弄清关键词句的含义；重点是分析，找出问题中的数量关系，并将其转化为数学式子，进行整理、运算、解答．解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题，再运用相关的几何知识进行解答，要注重数形结合，充分利用“图形”的直观性和“数”的细微性．三个解题方法(1)方程(组)、不等式、函数型情境应用题：解决这类问题的关键是针对背景材料，设定合适的未知数，找出相等关系，建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决；(2)统计概率型应用题：解决这类问题：①要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用；②通过对数据的整理，能从统计学角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测；(3)几何型情境应用题：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题进行恰当地抽象与概括，建立恰当的几何模型，从而确定某种几何关系，利用相关几何知识来解决．几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程(组)，用解方程(组)的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想．方程型情境应用题【例1】 (2013·温州)某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲、乙、丙三位同学得分情况(单位：分)：(1)按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分；(2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上(包含80分)的学生获一等奖，现获悉乙、丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？解：(1)由题意，得甲的总分为：66×10%＋89×40%＋86×20%＋68×30%＝79.8； (2)设趣题巧解所占的百分比为x ，数学运用所占的百分比为y ，由题意得⎩⎨⎧20＋60x ＋80y ＝70，20＋80x ＋90y ＝80，解得⎩⎨⎧x ＝0.3，y ＝0.4，∴甲的总分为：20＋89×0.3＋86×0.4＝81.1＞80，∴甲能获一等奖．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、加权平均数的运用，在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键．1．(2014·山西)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，根据题意得：46000－22000x－46000－220001.5x＝4解得：x ＝2000，经检验，x ＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米(2)设人行道的宽度为x 米，根据题意得，(20－3x)(8－2x)＝56，解得：x ＝2或x ＝263(不合题意，舍去)．答：人行道的宽为2米．不等式型情境应用题【例2】 (2014·河北)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米/分．探究：设行驶时间为t 分．(1)当0≤t ≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A 的路程y 1，y 2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时，t 的值；(2)t 为何值时，1号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图②，游客甲在BC 上的一点K(不与点B ，C 重合)处候车，准备乘车到出口A ，设CK ＝x 米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策：已知游客乙在DA 上从D 向出口A 走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA 上一点P(不与点D ，A 重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；(2)设PA ＝s(0＜s ＜800)米．若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？解：探究：(1)由题意，得y 1＝200t ，y 2＝－200t ＋1600，当相遇前相距400米时，－200t ＋1600－200t ＝400，t ＝3，当相遇后相距400米时，200t －(－200t ＋1600)＝400，t ＝5.答：当两车相距的路程是400米时t 的值为3分钟或5分钟(2)由题意，得1号车第三次恰好经过景点C 行驶的路程为：800×2＋800×4×2＝8000，∴1号车第三次经过景点C 需要的时间为：8000÷200＝40分钟，两车第一次相遇的时间为：1600÷400＝4.第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400＝8，∴两车相遇的次数为：(40－4)÷8＋1＝5次．∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次．发现：由题意，得情况一需要时间为：800×4－x 200＝16－x 200，情况二需要的时间为：800×4＋x 200＝16＋x 200，∵16－x 200＜16＋x 200，∴情况二用时较多．决策：(1)∵游客乙在AD 边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD 边上，∴乘1号车到达A 的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，∴乘1号车的用时比2号车少．(2)若步行比乘1号车的用时少，s 50＜800×2－s 200，∴s ＜320.∴当0＜s ＜320时，选择步行．同理可得当320＜s ＜800时，选择乘1号车，当s ＝320时，选择步行或乘1号车一样．【点评】现实世界中的不等关系是普遍存在的．许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识．本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式，求出所有方案是解题关键．2．(2012·宁波)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：(说明：①费用)已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a ，b 的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？解：(1)由题意，得⎩⎨⎧17（a ＋0.8）＋3（b ＋0.8）＝66，①17（a ＋0.8）＋8（b ＋0.8）＝91，②②－①，得5(b ＋0.8)＝25，b ＝4.2，把b ＝4.2代入①，得17(a ＋0.8)＋3×5＝66，解得a ＝2.2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.2，b ＝4.2. (2)当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116元，∵9200×2%＝184元，116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨．设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x －30)≤184，6.8(x －30)≤68，解得x ≤40.答：小王家六月份最多能用水40吨．统计与概率型情境应用题【例3】 (2013·潍坊)随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻．某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示：(2)求15个城市的平均上班堵车时间；(计算结果保留一位小数)(3)规定：城市的堵车率＝上班堵车时间上班花费时间－上班堵车时间×100%，比如：北京的堵车率＝1452－14×100%＝36.8%；沈阳的堵车率＝1234－12×100%＝54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率．解：(1)补全的统计图如图所示：(2)平均上班堵车时间＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分钟)(3)上海的堵车率＝11÷(47－11)＝30.6%，温州的堵车率＝5÷(25－5)＝25%，堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海．从四个城市中选两个的方法共有6种(北京，沈阳)，(北京，上海)，(北京，温州)，(沈阳，上海)，(沈阳，温州)，(上海，温州)．其中两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：(北京，沈阳)，(北京，上海)，(沈阳，上海)所以选取的两个城市堵车率都超过30%的概率P＝36＝12.【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及加权平均数的应用和条形图的应用，根据图表得出正确的数据关系是解题关键．第三问先确定堵车率超过30%的城市，再根据概率的意义，用列表或树形图表示出所有可能出现的结果，找出关注的结果，从而求出它的概率．3．(2014·宁夏)如图是银川市6月1日至15日的空气质量指数趋势折线统计图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染．某人随机选择6月1日至6月14日中的某一天到达银川，共停留2天．(1)求此人到达当天空气质量优良的天数；(2)求此人在银川停留2天期间只有一天空气质量是重度污染的概率；(3)由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大．(只写结论)解：(1)此人到达当天空气质量优良的有：第1天、第2天、第3天、第7天、第12天，共5天(2)此人在银川停留两天的空气质量指数是：(86，25)，(25，57)，(57，143)，(143，220)，(220，158)，(158，40)，(40，217)，(217，160)，(160，128)，(128，167)，(167，75)，(75，106)，(106，180)，(180，175)，共14个停留时间段，期间只有一天空气质量重度污染的有：第4天到、第5天到、第7天到及第8天到．因此，P(在银川停留期间只有一天空气质量重度污染)＝414＝2 7(3)根据折线图可得从第5天开始的第5天、第6天、第7天连续三天的空气质量指数方差最大．几何型情境应用题【例4】(2013·铜仁)为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图①，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD＝a，CA＝b，CE＝c；乙同学画出了示意图②，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE＝m，AE ＝n，∠BDC＝α.(1)请你帮助甲同学计算旗杆AB 的高度(用含a ，b ，c 的式子表示)；(2)请你帮助乙同学计算旗杆AB 的高度(用含m ，n ，α的式子表示)．解：解：(1)∵DC ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴△ECD ∽△EAB ，∴CD AB ＝CE AE ，即：a AB ＝c c ＋b，∴AB ＝a （c ＋b ）c ＝a ＋ab c(2)∵AE ⊥AB ，DC ⊥AB ，DE ⊥AE ，∴DC ＝AE ＝n ，AC ＝DE ＝m ，在Rt △DBC 中，BC CD＝tan α，∴BC ＝n·tan α，∴AB ＝BC ＋AC ＝n ·tan α＋m【点评】 本题考查了相似三角形的应用及解直角三角形的应用，解决本题的关键是根据题目的条件判定相似三角形．4．(2014·德州)问题背景：如图①：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是__EF ＝BE ＋DF__；探索延伸：如图②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：问题背景：EF ＝BE ＋DF ；探索延伸：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明如下：如图，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝BE ∠B ＝∠ADG AB ＝AD，∴△ABE ≌△ADG(SAS )，∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ∠EAF ＝∠GAF AF ＝AF，∴△AEF ≌△AGF(SAS )，∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF ；实际应用：如图，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EAF ＝12∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC ＋∠OBC ＝(90°－30°)＋(70°＋50°)＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE ＋BF 成立，即EF ＝1.5×(60＋80)＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里试题 为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取：(1)式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ （0≤x ≤10）， （x ＞10）； (2)若小华家4月份付水费17元，问他家4月份用水多少吨？(3)已知该住宅小区100户居民5月份交水费1682元，且该月每户用水量不超过15吨(含15吨)，求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户？错解 (1)1.3x ；13＋2(x －10)(2)设小华家4月份用水量为x 吨，∵17＞1.3×10，∴小华家4月份用水量超过10吨，由题意，得1.3×10＋(x －10)×2＝17，2x ＝24，x ＝12，即小华家4月份用水12吨．(3)由题意，要求这个月用水量不超过10吨的居民最多的户数，则假设每户用水量均用了10吨，即1.3×1000＝1300，那么1682－1300＝382(元)．表明当每户用10吨水时，还有一部分用户又用了382元的水，则按15吨的用水量去计算用户数，那么余下的表示不超过10吨的用户数，此时不超过10吨的用户数将达到最多，即382÷[(15－10)×2]＝38.2(户)，四舍五入取38户．故不超过10吨的用户数为100－38＝62(户)．剖析 此题在第(3)问的分析中，没有按题意建立不等式去求解，则容易造成与实际情况脱轨．若不超过10吨用水量的居民有62户，则即使这62户都用了10吨水，总水费为13×62＝806(元)；还有38户即使都用了15吨水，其总水费仅为：38×[13＋(15－10)×2]＝874(元)．那么这100户居民的总水费仅为806＋874＝1680(元)＜1682(元)．问题出在每户用水超过10吨时不能用四舍五入的方式取整数解，而应该取大于38.2的整数解，即39户．故这个月用水量不超过10吨的居民最多为100－39＝61(户)．正解(1)1.3x；13＋2(x－10)(2)设小华家4月份用水量为x吨．∵17＞1.30×10，∴小华家4月份用水量超过10吨．由题意得1.3×10＋(x－10)×2＝17，∴2x＝24，∴x＝12(吨)．即小华家4月份的用水量为12吨．(3)设该月用水量不超过10吨的用户有a户，则超过10吨不超过15吨的用户为(100－a)户，由题意得13a＋[13＋(15－10)×2](100－a)≥1682，化简得10a≤618，∴a≤61.8.故正整数a的最大值为61.即这个月用水量不超过10吨的居民最多可能有61户．。
2015届中考数学自主复习课件【第27讲】立体图形的展开图与视图(31页)
图 27－13
第27讲┃ 立体图形的展开图与视图
[解析] 由主视图可以看出该几何体有两层， 第一层有 两列，第二层有一列，结合俯视图可看出，第一层左边的 那一列后面不可能有小正方体， 第一层右边的那一列后面 必有一排，且有可能为一层，也有可能为两层，当为一层 时，小立方体的个数最少，个数为 3＋1＝4.故答案为 4.
2． 在一个晴朗的上午， 皮皮拿着一块正方形木板在阳光下 做投影试验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是( A )
图 27－2
[解析] 太阳光可以看作是平行光， 因此正方形木板在 太阳光的作用下形成的投影所形成的图形都是平行四边 形，故选项 A 不可能．
第27讲┃ 立体图形的展开图与视图
【归纳总结】 平行 投影和 1．按照照射光线的不同，投影可分为________ 中心 投影． ________ 垂直 于投影面产生的投影叫做正投影． 2．投影线________ 平行 于投影面时，这个面的正 3．当物体的某个面________ 投影与这个面的形状、大小完全相同．
图 27－23
第27讲┃ 立体图形的展开图与视图
8．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和 俯视图如图 27－24 所示，则组成这个几何体的小正方体的个 数可能是________ 4或5 ．
图 27－24
第27讲┃ 立体图形的展开图与视图
9．[2014· 白银] 如图 27－25 是一个几何体的三视图，根据 24π 图示的数据计算该几何体的全面积为________( 结果保留π )．
变式题 [2014· 宜宾 ] 如图 27－ 11①放置的一个机器零 件， 若其主视图如图 27－11②， 则其俯视图是 ( D )
图 27－11
图 27－12
陕西中考数学第题尺规作图专题练习复习
陕西中考数学第题尺规作图专题练习复习图（1）图（2）2015中考数学--尺规作图（复习）班别：姓名：学号：⼀、理解“尺规作图”的含义1.在⼏何中，我们把只限定⽤直尺（⽆刻度）和圆规来画图的⽅法，称为尺规作图．其中直尺只能⽤来作直线、线段、射线或延长线段；圆规⽤来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与⼀般的画图不同，⼀般画图可以动⽤⼀切画图⼯具，包括三⾓尺、量⾓器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）⽤尺规作⼀条线段等于已知线段；（2）⽤尺规作⼀个⾓等于已知⾓. 利⽤这两个基本作图，可以作两条线段或两个⾓的和或差. ⼆、基本作图最基本,最常⽤的尺规作图,通常称基本作图。
⼀些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：1、作⼀条线段等于已知线段；2、作⼀个⾓等于已知⾓；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知⾓的⾓平分线；5、过⼀点作已知直线的垂线；1.作⼀条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
2. 作⼀个⾓等于已知⾓。
求作⼀个⾓等于已知⾓∠MON （如图1）．已知：如图，∠MON .求作：∠COD ，使∠COD =∠MON . 作法：（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆⼼，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆⼼，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆⼼，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的⾓． 3.作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆⼼，⼤于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
陕西省2015年中考数学总复习教学案34份
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作__x＝±__；正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__x＝__.
(7)识记：
112＝________，122＝________，132＝__________，142＝________，152＝________，162＝__________，172＝________，182＝________，192＝__________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________.
13＝__________，23＝________，33＝__________，43＝__________，53＝________，63＝__________，73＝__________，83＝________，93＝__________，103＝__________.
2．实数的分类
按实数的定义分类：
第12讲 反比例函数及其图象48
第13讲 二次函数及其图象53
第14讲 函数的应用62
第15讲 数据的收集与整理69
第16讲 统计的应用73
第17讲 简单随机事件的概率80
第18讲 概率的应用84
第19讲 线段、角、相交线和平行线88
第20讲 三角形与全等三角形94
第21讲 特殊三角形102
第22讲 平行四边形(含多边形)107
5．(2014·陕西)用科学计算器计算：＋3tan56°≈__10.02__.(结果精确到0.01)
6．(2013·陕西)计算：(－2)3＋(－1)0＝__－7__．
2015年中考数学总复习解题指导课件含2几何共210张PPT77
∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.故选 C.
第15讲┃图形的初步认识
5．[2014·邵阳] 已知∠α＝13°，则∠α的余角的大 小是___7_7_°___．
6．若∠α的补角为76°28′，则∠α＝__1_0_3_°__3_2．′
第15讲┃图形的初步认识
核心考点二 相交线
第15讲┃图形的初步认识
图15－7 第15讲┃图形的初步认识平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直
垂直的 基本性
质
线． (2)在连接直线外一点与直线上各点的线段中，___垂_线__段__最 短
直线外一点到这条直线的__垂__线_段___的长度叫做点到直线的
距离
线段的 垂直平
第15讲┃图形的初步认识
4．角的平分线
(1)如图 15－2，若 OC 是∠AOB 的平分线，则__∠__A_O_C__＝ __∠__B_O_C__＝12∠AOB.
图 15－2 第15讲┃图形的初步认识
(2) 定 理 ： 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 两 边 的 距 离 __相__等____．
第15讲┃图形的初步认识
[解析] ∵OB 是∠AOC 的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB. 又∵∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝40°. ∵∠COE＝60°，OD 是∠COE 的平分线， ∴∠COD＝30°， ∴∠BOD＝40°＋30°＝70°.
第15讲┃图形的初步认识
核心练习
1．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且
图 15－9
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 第15讲┃图形的初步认识
9．[2014·厦门] 已知直线 AB，CB，l 在同一平面内，若 AB⊥l，
2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第27讲 几何作图
D．50°
2 ． (2014· 杭州 ) 已知直线 a∥b ， 若∠ 1 ＝ 40°50′ ， 则 ∠2＝__∠B__．
3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD， ∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度． 4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A 大20°，则∠A等于( A ) A．40° B．60° C．80° D．90° 5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__ 度．
(4)圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的__一半__． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等 的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周 角所对的弦是__直径__．
(5) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离 ， r 为圆
【点评】 在解答有关线段的计算问题时，一般要注意 以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图 形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段
之间的关系，列算式或方程来解答．
1．(1)(2012·菏泽)已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画 线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC＝__11_cm或5_cm__． (2)如图，已知AB＝40 cm，C为AB的中点，D为CB上一
(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常 见类型 6．作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定 要保留作图痕迹．
初中数学课堂教案：几何作图
初中数学课堂教案：几何作图一、引言几何作图是初中数学教学中的重要内容之一。
通过几何作图的学习，学生可以培养准确观察、分析问题的能力，并运用所学知识解决实际问题。
本篇教案将围绕几何作图的基本概念、常用工具和作图步骤展开，旨在帮助学生掌握几何作图的技巧和方法。
二、基本概念1. 几何作图的定义几何作图是利用几何工具和规定的步骤，在平面上根据给定条件画出线段、角、三角形、四边形等几何图形的过程。
2. 几何作图的分类几何作图可以分为直尺作图和圆规作图两种。
直尺作图是利用直尺和铅笔，在平面上绘制线段、角等不同图形。
圆规作图是利用圆规、直尺和铅笔，在平面上绘制含有圆弧的图形。
三、常用工具1. 直尺直尺是绘制直线和线段的基本工具，它具有边缘光滑、刻度清晰的特点。
2. 圆规圆规是绘制圆弧和圆的基本工具，它由两臂组成，一个固定在底板上，一个可调节，可以用来绘制不同半径的圆弧。
3. 铅笔铅笔是绘制几何图形时常用的书写工具，它要削尖并保持干净，以确保绘制的图形准确无误。
四、几何作图的步骤几何作图的步骤可以总结为以下四个基本步骤。
第一步：分析题目，明确作图要求仔细阅读题目，理解题意，明确需要作图的对象和要求。
第二步：准备条件，选择合适工具根据题目要求，选择适当的工具，如直尺、圆规等，确保作图的准确性和完成性。
第三步：按顺序进行作图根据给定条件，依次按照规定的步骤完成作图，注意线条的精确度和图形的准确性。
第四步：细化图形，标注必要的信息作图完成后，对图形进行必要的标注，如线段的长度、角的度数等，以便于进一步分析和解题。
五、实践案例以作图一个等边三角形为例，介绍几何作图的具体步骤和技巧。
1. 题目要求：作一个边长为5cm的等边三角形。
2. 准备条件：直尺、铅笔。
3. 步骤：步骤一：用直尺画一条长5cm的线段AB。
步骤二：以A为圆心，以AB为半径，画一条弧与线段AB相交于点C。
步骤三：以B为圆心，以AB为半径，画一条弧与线段AB相交于点D。
中考数学总复习 第一轮 横向基础复习 第七单元 图形的变化 第27课 尺规作图课件
证明：在Rt△ABC中，AC=12，AB=13，
∴BC= 132 122 5，
∵ 1 ×AC×BC=1 ×AB×CD，
2
2
∴CD= 6 0 ． 13
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7.（2018·福清市二模）如图，△ABC中，BC＞AC， ∠C=50°．
（1）作图：在CB上截取CD=CA，连接AD，过点D作 DE⊥AC，垂足为E；（要求：尺规作图，保留作图 痕迹，不写作法）
点B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB、BC于
1
点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于 EF长
2
为半径作弧，两弧相交于点G，连结BG并延长交AC于
点D，若∠A=80°，
则∠ABD= 25
度．
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3.（2018·赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点， ∠C=∠DAC.
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E； （保留作图痕迹，不写作法）
E；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
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（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求 ∠AEC的度数．
∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠B=50°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．
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5.（2018·广东模拟）如图，△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°.
（1）求作线段BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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（2）在（1）的条件下，连接CD，求证：AC=CD.
证明：连接CD，如图，∵DE垂直平 分BC，∴BD=CD， ∴∠BCD=∠B=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°， ∵∠A=80°，∴∠ADC=∠A， ∴AC=CD．
中考数学总复习 第七章 尺规作图及图形变换 第27讲(课堂本)课件
3．作一个角的平分线 作法：①在 OA，OB 上分别截取 OD，OE，使 OD＝OE；② 分别以 D，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠ AOB 内交于点 C；③作射线 OC，则 OC 就是∠AOB 的平分线， 如图．
第十五页，共五十六页。
4．作线段的垂直平分线 作法：①分别以点 A 和 B 为圆心，大于21AB 的长为半径作弧， 两弧相交于点 C 和 D；②作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，如图．
第十三页，共五十六页。
2．作一个角等于已知角 作法：①作射线 O′A′；②以点 O 为圆心，以任意长为半径 画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；③以 O′为圆心，以 OC 的长为半径画弧，交 O′A′于点 C′；④以 C′为圆心，以 CD 的长为半径画弧，交前弧于点 D′；⑤过点 D′作射线 O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角，如图．
第十六页，共五十六页。
5．过定点作已知直线的垂线，不论点在已知直线上，还是在 已知直线外，都可以利用线段垂直平分线的作法作出． 6．过定点作已知直线的中线，可以利用线段垂直平分线的作 法作出．
第十七页，共五十六页。
课堂精讲
基本作图 (6 年 6 考) 1．(2018 赤峰)如图，D 是△ABC 中 BC 边上一点，∠C＝∠ DAC. (1)尺规作图：作∠ADB 的平分线，交 AB 于 点 E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：DE∥AC.
解：如图，⊙O 即为所求．
第九页，共五十六页。
5．(2018 广西)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三 个顶点坐标分别是 A(1,1)，B(4,1)，C(3,3)．
【聚焦中考】中考数学（陕西省）总复习教学案：第28讲 视图与投影
第28讲视图与投影陕西《中考说明》陕西～中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1三视图、立体图形的展开与折叠1.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图；2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型；3.了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系；4.会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；5.通过典型实例，知道基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系在现实生活中的应用(如物体的包装)；6.观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)选择题23判断几何体的左视图选择题23判断圆柱和长方体组成的几何体的俯视图选择题23判断小正方体组成的几何体的左视图2.5%考点2投影通过实例了解中心投影和平行投影————————————陕西近三年对本节内容主要考查三视图，且稳定在选择题第2题，分值为3分，试题难度不大，考查形式也较为灵活，涉及常见几何体的视图、小正方体组成的几何体的视图以及组合体的视图，此部分对学生的想象力和识别能力的要求较高，是近几年新课改的一个重要考查点．预计仍固定在选择题第2题对视图进行考查，分值为3分．1．三视图(1)主视图：从__正面__看到的图；(2)左视图：从__左面__看到的图；(3)俯视图：从__上面__看到的图．2．画“三视图”的原则(1)位置：__主视图__；__左视图__；__俯视图__．(2)大小：__长对正，高平齐，宽相等__．(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．3．几种常见几何体的三视图几何体主视图左视图俯视图圆柱长方形长方形圆圆锥三角形三角形圆和圆心球圆圆圆4.(1)主视图可以分清长和高，主要提供正面的形状；(2)左视图可以分清物体的高度和宽度；(3)俯视图可以分清物体的长和宽，但看不出物体的高．5．投影物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．6．判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．7．立体图形的展开(1)正方体的展开图是__六__个正方形．(2)正棱柱的展开图是两个正多边形与一个长方形．(3)圆柱的展开图是两个__圆__和一个__长方形__．(4)圆锥的展开图是一个__圆__与一个__扇形__．(5)要围成正方体必须要有六个小正方形，其中四个做侧面，两个做底面，如下图中的几个图形都可以围成正方体．8．立体图形的折叠一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的过程．两个技巧(1)主视图与俯视图的列数相同，其每列方块数是俯视图中该列中的最大数字；(2)左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图中该行中的最大数字．三类投影(1)物体所处的位置、方向及时间都对该物体的平行投影产生影响：不同时刻，同一地点，同一物体的影子的长度不同；同一时刻，同一地点，不同物体的影子的长度与物体长度成比例．(2)光源和物体所处的位置及方向对物体的中心投影产生影响：一般来说，同一物体相对同一光源的距离近时的影子比距离远时的的影子短；光源或物体的位置改变，一般来说该物体的影子的位置也改变，但光源和物体的影子始终分居在物体的两侧．(3)正投影的性质：当线段平行于投影面时，它的正投影长度不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影线段变短；当线段垂直于投影面时，它的正投影缩为一个点．点的正投影还是点；线的正投影可能是线，也可能是点；面的正投影可能是面，也可能是线；几何体的正投影是面．1．(·陕西)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是( A ),第1题图),第2题图)2．(·陕西)如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是( D )3．(·陕西)如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是( C )由几何体判断其三视图【例1】(·威海)用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是( D )【点评】掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形．1．(1)(·德州)图甲是某零件的直观图，则它的主视图为( A )(2)(·河南)将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是( C )由三视图确定原几何体的构成【例2】(·毕节)如图是某一几何体的三视图，则该几何体是( C )A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥【点评】本题考查了三视图的识别．由视图联想几何体形状，本题容易把主视图、俯视图、左视图对应的观察方向弄错．2．下图是几何体的俯视图，所标数字为该位置立方体的个数，请补全该几何体的主视图和左视图．解：根据三视图进行计算【例3】(·宁夏)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是( A )A.10πcm2B．210πcm2C．6πcm2D．3πcm2【点评】将立体图形与平面图形对照来看，将所给的数据标注到立体图形上，本题考查空间想象能力．3．(·济南)如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是( B )A．主视图的面积为5B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4试题如图所示的几何体的俯视图是( )错解 C剖析先要明确俯视图的观察方向，再区分是实线还是虚线．观察俯视图时要从上往下看，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线．正解 B。
新人教版九年级数学下册《二十七章 相似 27.3 位似 在平面直角坐标系中画位似图形》教案_18
(2)如图(2)，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？解：可以看出，图(1)中把AB 缩小后，A ，B 两点的对应点分别为A ′(2，1)，B ′(2，0)；A ″(－2，－1)，B ″(－2，0)． 图(2)中，作图略．将△ABC 放大后，A ，B ，C 对应的点分别为A ′(4，6)，B ′(4，2)，C ′(12，4)；A ″(－4，－6)，B ″(－4，－2)，C ″(－12，－4)． 归纳位似变换中对应点的坐标的变化规律： 三、例题讲解 例 如图，四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为A(－6，6)，B(－8，2)，C(－4，0)，D(－2，4)．画出它的—个以原点O 为位似中心、相似比为12的位似图形．解法一：如上图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3，3)，B ′(－4，1)，C ′(－2，0)，D ′(－1，2)．依次连接点A ′，B ′，C ′，D ′，四边形A ′B ′C ′D ′就是要求作的四边形ABCD 的位似图形． 解法二：点A 的对应点A ″的坐标为(－6×(－12)，6×(－12))，即A ″(3，－3)．类似地，可以确定其他顶点的坐标．(具体解法与作图略) 巩固练习 1. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. 学生小组讨论，共同交流，回答问题．规律： 1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．2.在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似中心，所作图形与原图形相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k例如：点A(x,y)的对应点为A ′，则A ′点的坐标可以这样确定 A ′（kx,ky ）或A ′（-kx,-ky ）四、至此,我们己经学习了四种变换;平移、轴对称、旋转和位似.在平面直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些变换。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神，提高学生对数学美的鉴赏能力。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章：三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章：四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章：圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章：几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 利用多媒体教学手段，直观展示几何图形的性质和变换过程，提高学生的空间想象能力。
3. 注重个体差异，针对不同学生进行分层教学，使每位学生都能在复习过程中得到提高。
四、教学评价1. 定期进行课堂检测，了解学生掌握几何知识的情况。
2. 组织中考模拟试题训练，检验学生的应用能力和解题水平。
3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神，进行全面评价。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照章节顺序进行复习，每个章节安排一周时间。
3. 复习方法：先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式，进行典型例题分析，进行课堂练习和总结。
4. 课外作业：每章节安排2-3道课后习题，巩固所学知识。
5. 课后辅导：针对学生疑难问题进行解答，提供个性化的学习指导。
中考数学复习基本图形几何作图PPT学习教案
4．(2011·益阳)如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，
他是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于12AB 的
长为半径画弧，两弧相交于 C、D，则直线 CD 即为所
求．根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一．定．是．( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
答案 B 解 析 根 据 画 法 ， 有AC＝ AD＝ BC＝BD， 所 以四边 形ADBC是 菱 形．
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知能迁移2 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁， 为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送 到A、B两地，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道 最短？试在图中画出该点．
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解 (1)画点A关于直线a的对称点A′； (2)连A′B交直线a于点C. ∴点C即所要建的抽水站的位置．
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解 (1)画图略． (2)∵AB＝a＝4， ∴BC＝12a＝2， ∴AC＝ 42＋22＝2 5， ∴AC 边上的高＝24×25＝45 5.
探 究 提 高 1.作 三 角 形 包 括：① 已知三 角形的 两边及 其夹角 ，求作 三角形 ；②已 知三角 形的两 角及其 夹边， 求作三 角形； ③已知 三角形 的三边 ，求作 三角形 . 2.求 作三角 形的关 键是确 定三角 形的顶 点；而 求作直 角三角 形时， 一般先 作出直 角，然 后根据 条件作 出所求 的图形 ．
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解 (1)作AB的中垂线，在中垂线上任取一点作⊙O； (2)以点A为圆心，AB长为半径画弧交⊙O于点C.
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题型四 画图并计算
【例 4】 某公园有一个边长为4 米的正三角形花坛，三角形的顶 点A、B、C上各有一棵古树．现 决定把原来的花坛扩建成一个圆 形或平行四边形花坛，要求三棵 古树不能移动，且三棵古树位于 圆周上或平行四边形的顶点 上．以下设计过程中要求用直尺
2015年陕西省中考数学总复习教学案：第27讲几何作图
第27讲几何作图
陕西《中考说
明》
陕西2012～2014年中考试
题分析
考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重
尺规作图1.能完成以下基
本作图：作一条
线段等于已知
线段，作一个角
等于已知角，作
角的平分线，作
线段的垂直平
分线；2.了解尺
规作图的步骤，
对于尺规作图
题，会写已知、
求作和作法(不
要求证明)；3.
利用基本作图
作三角形：已知
三边作三角形；
已知两边及其
夹角作三角形；
已知两角及其
夹边作三角形；
已知底边及底
边上的高作等
腰三角形； 4.探
索如何过一点、
两点和不在同
一直线上的三
点作圆；作三角
形的外接圆、内
切圆．(在尺规
作图中，了解作
图道理，保留作
图的痕迹，不要
求写出作法)
——
由上表可知，我省近三年的中考试题中有关尺规作图的考查明显有所淡化，未单独考查过，有时会在第25题中有所涉及，比较简单，由于其是中考需要掌握的内容，因此在2015年的中考试题可能会考查到其相关知识，因此在复习中不容忽视．
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；。
陕西省2015年中考数学总复习教学案7个专题
陕西省2015年中考数学总复习教学案专题一规律探索型问题 (1)专题二开放探究型问题 (6)专题三方案设计与动手操作型问题 (10)专题四情境应用型问题 (19)专题五阅读理解型问题 (26)专题六运动型问题 (33)专题七综合型问题 (38)专题一规律探索型问题规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．数字猜想型问题【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__336__分．【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．1．(2014.兰州)为了求1＋2＋22＋23＋...＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是__32015－12__．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是__165__．【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．2．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为__－1__．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__x 1＝3__；图的对称中心的横坐标为__20133__．【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等，注意观察图形及表格，总结规律．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有__485__．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为__10070__．【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意数形结合得出B 点横坐标变化规律是解题关键．4．在由m ³n(m ³n ＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，(1)当m ，n 互质(m ，n 除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m ＋nf 1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 63 4 7 6猜想：当m ，n 互质时，在m ³n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m ，n 的关系式是__f ＝m ＋n －1__．(不需要证明)(2)当m ，n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．解：(2)当m ，n 不互质时，上述结论不成立，如图试题(1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：[n2＋(n＋2)]个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形：2＝1³2；第②个图有6个相同的小正方形：6＝2³3；第③个图有12个相同的小正方形：12＝3³4；第④个图有20个相同的小正方形：20＝4³5；……按此规律，第个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2³6；……故第9个图由1＋6＋2³6＋3³6＋…＋8³6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)³6＝217(个)圆组成．答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题 探索n ³n 的正方形钉子板上(n 是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有二种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，5，22五种，比n ＝2时增加了三种，即S ＝2＋3＝5.(1)观察下图，并填写下表：钉子数(n ³n) S 值2³22 3³3 2＋34³4 2＋3＋( )5³5( ) (2)写出(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n ³n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．错解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3＋…＋n ；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n.剖析 (1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S 值之间关系，而不是每个钉子板上的S 值与每边上的钉子数n 的关系，显然，S n 比S n －1的值大n ；(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式．正解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3…＋n ，∴S n －S n －1＝n.即在(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n 种；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝n （n ＋1）2－1＝n 2＋n －22.专题二开放探究型问题开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．条件开放型问题【例1】已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°……【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等．都能得到平行四边形的结论．1．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是__EH ＝FH__，并证明．(2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．解：(1)答：添加：EH ＝FH ，证明：∵点H 是BC 的中点，∴BH ＝CH ，在△BEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH∠BHE ＝∠CHF EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS ) (2)解：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当BH ＝EH 时，则BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)．结论开放型问题【例2】 (2014·襄阳)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D.(1)求证：△ADP ∽△BDA ；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD ＝2，PD ＝1，求线段BC 的长．解：(1)证明：作⊙O 的直径AE ，连接PE ，∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，∴∠DAE ＝∠APE ＝90°，∴∠PAD ＋∠PAE ＝∠PAE ＋∠E ＝90°，∴∠PAD ＝∠E ，∵∠PBA ＝∠E ，∴∠PAD ＝∠PBA ，∵∠PAD ＝∠PBA ，∠ADP ＝∠BDA ，∴△ADP ∽△BDA(2)PA ＋PB ＝PC ，证明：在线段PC 上截取PF ＝PB ，连接BF ，∵PF ＝PB ，∠BPC ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝BF ，∠BFP ＝60°，∴∠BFC ＝180°－∠PFB ＝120°，∵∠BPA ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠BPA ＝∠BFC ，在△BPA 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAB ＝∠PCB ∠BPA ＝∠BFC PB ＝BF，∴△BPA ≌△BFC(AAS )，∴PA ＝FC ，AB ＝BC ，∴PA ＋PB ＝PF ＋FC ＝PC(3)解：∵△ADP ∽△BDA ，∴AD BD ＝DP DA ＝AP AB，∵AD ＝2，PD ＝1∴BD ＝4，AB ＝2AP ，∴BP ＝BD －DP ＝3，∵∠APD ＝180°－∠BPA ＝60°，∴∠APD ＝∠APC ，∵∠PAD ＝∠E ，∠PCA ＝∠E ，∴PAD ＝∠PCA ，∴△ADP ∽△CAP ，∴AP CP ＝DP AP，∴AP 2＝CP·PD ，∴AP 2＝(3＋AP)·1，解得：AP ＝1＋132或AP ＝1－132(舍去)，∴BC ＝AB ＝2AP ＝1＋13.【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．2．(2013·杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，已知∠EDM ＝84°，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ，D ，求k 的值．(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．解：(1)①∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM ，又∵∠EDM ＝84°，∴∠A ＋3∠A ＝84°，解得，∠A ＝21°；②∵点B 在反比例函数y ＝k x 图象上，点B ，C 的横坐标都是3，∴点B(3，k 3)，∵BC ＝2，∴点C(3，k 3＋2)，∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴D(1，k 3＋2)，∵点D 也在反比例函数图象上，∴k 3＋2＝k ，解得，k ＝3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．存在开放型问题【例3】 (2014·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根(OA ＞OB)．(1)求点D 的坐标．(2)求直线BC 的解析式．(3)在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∠ABO ＋∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°＝∠AOB ，在△DAE 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠DAE ∠AED ＝∠AOB ＝90°AB ＝AD，∴△DAE ≌△ABO(AAS )，∴DE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝3，∴OE ＝7，∴D(4，7)(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM ＝OB ＝3，BM ＝OA ＝4，∴OM ＝7，∴C(7，3)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0，k ，b 为常数)，代入B(3，0)，C(7，3)得，⎩⎪⎨⎪⎧7k ＋b ＝33k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝－94，∴y ＝34x －94 (3)存在．点P 与点B 重合时，P 1(3，0)，点P 与点B 关于点C 对称时，P 2(11，6)．【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性．3．已知一次函数y ＝－x －4和反比例函数y ＝k x(k ≠0)． (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为A ，B ，试问∠AOB 是锐角还是钝角？为什么？解：(1)解两个函数关系式构成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝k x（k ≠0），由此可求得：k<4且k ≠0； (2)当0<k<4时，∠AOB<90°，是锐角；当k<0时，∠AOB>90°，是钝角．综合开放型问题【例4】 (2012·南京)看图说故事．请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系式，要求：①指出变量x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解：①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km )与他所用的时间x(单位：min )的关系．②小明以400 m / min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以500 m / min 的速度匀速骑车回出发地．(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．4．已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是±42或2或16．(只需写出一个)试题在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数，a＜b＜c，d，e是两个连续奇数，d＜e，且满足a＋b＋c＝d＋e，例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：错解剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接；(2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如：此题中可采用二元一次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为x，最小奇数为y，则三个连续偶数为x，x＋2，x＋4，两个连续奇数为y，y＋2.据题意，a＋b＋c＝d＋e，得x＋(x＋2)＋(x＋4)＝y＋(y＋2)，3x＋6＝2y＋2，整理得y＝32x＋2，下面列表表示它的解：故符合条件的解有⎩⎨⎧x＝2，y＝5，或⎩⎨⎧x＝6，y＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝10，y＝17.正解专题三方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案．操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110³(3.2＋7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18³(7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α²tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备 A 型 B 型价格(万元/台) m m －3月处理污水量(吨/台)220 180 (1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180³9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220³2＋180³8＝1880吨，当x ＝3时，y ＝7，月处理污水量为220³3＋180³7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220³4＋180³6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220³5＋180³5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规．带刻度三角板、圆规. 画出示意图简述设计方案 作⊙O 两条互相垂直的直径AB ，CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份. (1)以点O 为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O 上依次取三等分点A ，B ，C ；(3)连接OA ，OB ，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．(4)作⊙O 的一条直径AB ；(5)分别以OA ，OB 的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O 1，⊙O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O 中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：。
中考总复习数学27-第一部分 第27讲 尺规作图
线l
O作直
(2)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半
的
线l的
径向直线两侧作弧,两弧分别交于点M,N;
垂
垂线
(3)过点M,N作直线MN,则直线MN即为所求
线
MN
垂线
图形示例
第27讲
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尺规作图— 考点梳理
续表
1.五种尺规作图
作图内容
作图步骤
作
过直线l (1)在直线另一侧取点M,连接PM;
OA等于已知 (2)在射线OP上截取OA=①
a
线段a
_____,OA即为所求线段
图形示例
第27讲
尺规作图— 考点梳理
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续表
1.五种尺规作图
作图内容
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作图步骤
作∠A'O'B' (1)在∠α上以O为圆心,以任意长为半径作弧,交∠α的
等于∠α
两边于点P,Q;
O 'A '
(2)作射线②_______;
第27讲
题型
尺规作图— 题型突破
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尺规作图
1.(2022·石家庄模拟)已知,在△ABC中,AB=AC,根据以下各图所保留的
作图痕迹,一定能使点O到△ABC三边距离相等的是( D )
1
2
3
4
5
第27讲
尺规作图— 题型突破
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2.(2022·邯郸一模)如图,已知△ABC,用尺规按照下面步骤操作:
图,并保留作图痕迹.
步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①;
步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;
2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题三 方案设计与动手操作型问题
专题三 方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α·tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：(1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180×9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220×2＋180×8＝1880吨，当x ＝3时，y＝7，月处理污水量为220×3＋180×7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220×4＋180×6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220×5＋180×5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．点A ，B ，C ；(3)连接OA，OB，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：__都是轴对称图形__；特征2：__都是中心对称图形__．(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个．图形的分割与拼接【例4】 (2014·广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a(a ＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．解：①如图，a ＝4，②如图，a ＝52，③如图，a ＝43， ④如图，a ＝53，【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD 将平行四边形分割是解题关键．4．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图①)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．(2)图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图②)，则S 2＝__12__；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S 3(如图③)；继续操作下去……则第10次剪取时，S 10＝__12． (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，S 正方形CFDE ＝1.如图乙，设MN ＝x ，则由题意，得AM ＝MQ ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ，∴3x ＝22，解得x ＝223，∴S 正方形PNMQ ＝(223)2＝89.∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大； (2)由题意可得，S 1＝1×1＝1，S 2＝2×12×12＝12，S 3＝22×1414＝14，S 4＝23×1818＝18……S n ＝12n －1.故S 2＝12，S 10＝129； (3)结合(2)中求得的规律：S n ＝12n －1，则第10次剪取后余下的所有小三角形的面积和为S 9－S 10＝S 10＝129.图形的平移、旋转与翻折【例5】 (2014·江西)如图①，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去……(1)图②中的三角形EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为__等边三角形__，求此时线段EF 的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ；①请判断四边形EFGH 的形状为__正方形__，此时AE 与BF 的数量关系是__AE ＝BF__； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．解：(1)等边三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°.∵ED ＝FD ，∴△ADE ≌△CDF.(HL )∴AE ＝CF ，BE ＝BF.∴BEF是等腰直角三角形．设BE的长为x，则EF＝2x，AE＝4－x.∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(2x)2解得x1＝－4＋43，x2＝－4－43(不合题意，舍去)．∴EF＝2x＝2(－4＋43)＝46－4 2(2)①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝16－8x＋x2＋x2＝2x2－8x＋16，∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x2－4x＋4)＋8＝2(x－2)2＋8，∴当x＝2时有最小值8，当x＝0或4时，有最大值16，∴y的取值范围是8≤y＜16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键．5．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C ＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是__DE∥AC__；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__S1＝S2__．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF ＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．解：(1)①∵△DEC 绕点C 旋转，点D 恰好落在AB 边上，∴AC ＝CD ，∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ，∴DE ∥AC ；②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝12AB ，∴BD ＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ，∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°，∴∠ACN ＝∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，⎩⎨⎧∠ACN ＝∠DCM ，∠CMD ＝∠N ＝90°，AC ＝CD ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(3)如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE ＝DF 1，且BE ，DF 1上的高相等，此时S △DCF ＝S △BDE ，过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－30°＝150°，∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，⎩⎨⎧DF 1＝DF 2，∠CDF 1＝∠CDF 2，CD ＝CD ，∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS )，∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝12×60°＝30°，又∵BD ＝4，∴BE ＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833，故BF 的长为433或833.立体图形与平面图形之间的相互转化【例6】 (2012·绍兴)把一边长为40 cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm 2，求此时长方体盒子的长、宽、高．(只需求出符合要求的一种情况)解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm.则(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x＝800.的函数关系为：y＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，∴x＝10时，y最大即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800 cm2；(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为x cm.则2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得：x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，把平面图形围成立体图形然后找到等量关系，准确地列出函数关系式是解决问题的关键．6．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__ cm.试题动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为____．错解：1.剖析学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.理得A′C＝4，此时BA′取最小值为1.则点A′在BC边上移动的最大距离为3－1＝2.。
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第27讲 几何作图
考查过，有时会在第25题中有所涉及，比较简单，由于其是中考需要掌握的内容，因此在2015年的中考试题可能会考查到其相关知识，因此在复习中不容忽视．
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线．
3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型
6．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹．
两种画图方法
对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法．事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用．
三点注意
(1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论．
(2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案．
(3)实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题．
六个步骤
尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
画三角形
【例1】(2013·鞍山)如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC ＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示：
【点评】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．
1．已知：线段a(如图)．
求作：(1)△ABC，使AB＝BC＝CA＝a；
(2)作⊙O，使它内切于△ABC.(要求保留作图痕迹，不必写出作法)
解：画法略．
(1)如图①，△ABC是所求的三角形
(2)如图②，⊙O是所求的圆
应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例2】(2014·怀化)两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
(1)那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(3＋1) km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME 的距离．
解：(1)答图如图：
(2)作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，
∵在Rt △CMD 中，CD
MD
＝
tan ∠CMN ，∴MD ＝CD 3
3＝3CD ；∵在Rt △CND 中，CD DN ＝tan ∠CNM ，∴ND ＝CD
1＝
CD ；∵MN ＝2(3＋1) km ，∴MN ＝MD ＋DN ＝CD ＋3CD ＝2(3＋1) km ，解得：CD ＝2 km .∴点C 到公路ME 的距离为2 km
【点评】 本题考查了尺规作图及解直角三角形的应用，正确的作出图形是解答本题的关键．
2．(2014·玉林)如图，BC 与CD 重合，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，△ABC ≌△CDE ，并且△CDE 可由△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是__90°__．
试题 尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：∠α，线段a .
求作：△ABC ，使AB ＝AC ，∠BAC ＝α，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝a .
错解 如图，(1)作∠EAF ＝∠α；
(2)作AG 平分∠EAF ，并在AG 上截取AD ＝a ；
(3)过D 画直线MN 交AE ，AF 分别于C ，B ，△ABC 为所求作的等腰三角形．
剖析 上述画法考虑AD 平分∠BAC ，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到要使AD ⊥BC ，也难以使AB ＝AC .
正解 如图，(1)作∠EAF ＝∠α；
(2)作AG 平分∠EAF ，并在AG 上截取AD ＝a ；
(3)过D 作MN ⊥AG ，MN 与AE ，AF 分别交于B ，C .则△ABC 即为所求作的等腰三角形．。