(完整版)初三圆的知识点总结

1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：

∵ CD 过圆心

∵CD ⊥AB

2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例：

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例：

(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD

(2) ∵ AB = CD

∴∠AOB=∠COD

4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1）（2）（3）（4）

几何表达式举例：

（1）∵∠ACB=21

∠AOB

∴……………

（2）∵ AB 是直径

∴∠ACB=90°

（3）∵∠ACB=90°

∴ AB 是直径

（4）∵ CD=AD=BD

∴ΔABC 是Rt Δ

5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：

∵ ABCD 是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC

∠C+∠A =180°

6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例：

（1）∵OC 是半径

∵OC ⊥AB

∴AB 是切线

（2）∵OC 是半径

∵AB 是切线

∴OC ⊥AB

（3）……………

A B

C D O A B C D E

O 平分优弧

过圆心垂直于弦平分弦

平分劣弧∴AC BC

AD BD

==AE=BE

A B C D

E F O A B

C O A B C

D

E A B C O A B

C D ∵∴∥=AB CD

AC BD

A B C O 是半径垂直

是切线

2．关于圆的常见辅助线：

7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例：

∵ PA 、PB 是切线

∴ PA=PB

∵PO 过圆心

∴∠APO =∠BPO

8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）

几何表达式举例：

（1）∵BD 是切线，BC 是弦

∴∠CBD =∠CAB

（2）∵ ED ，BC 是切线

∴∠CBA =∠DEF

9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：

（1）∵PA ·PB=PC ·PD

∴………

（2）∵AB 是直径

∵PC ⊥AB

∴PC 2=PA ·PB

10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：

（1）∵PC 是切线，PB 是割线

∴PC 2=PA ·PB （2）∵PB 、PD 是割线

∴PA ·PB=PC ·PD

11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1）（2）

几何表达式举例：

（1）∵O 1，O 2是圆心

∴O 1O 2垂直平分AB

（2）∵⊙1 、⊙2相切

∴O 1 、A 、O 2三点一

线

12．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，

边长a n ，内角n ，边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：

(1) n =

n 360

；

(2) n

180

2n A B C D

A B C

D E F P A B O A

B C P A

B C

D

P A B O1O2A O1O2n n

A B C D

E O

a r

n n n R A B C D P A B C

P

O ∵EF AB

=

O C A B 已知弦构造弦心距. O A B

C 已知弦构造Rt Δ.

O A B C 已知直径构造直角. O

A

B

已知切线连半径，

出垂直.

O B C A D P 圆外角转化为圆周角. O A

C D B

P

圆内角转化为圆周角. O D C P

A B

构造垂径定理. O A

C D

P

B

构造相似形.

M 01A N O2两圆内切，构造外公切线与垂直. 01

C N O2

D E A

B

M 两圆内切，构造外公切线与平行. N A M 02O1两圆外切，构造内公切线与垂直. C

B

M

N

A

D E

O102两圆外切，构造内公切线与平行.

C E A

D B O 两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB. A C B O102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. B

A C

O P PA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.

O

A

B

C

D

E

相交弦出相似.